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Terminale S Exercices limites et continuité 2011-2012
1
Exercice 1 : limite finie en l'infini
Soit f la fonction définie sur]0;+ ∞[ par f(x) = 3 + 1x.
1) Soit r un réel strictement positif et I = ]3 – r;3 + r[.
Montrer que, si x > 1r, alors f(x) ∈ I.
2) En déduire la limite de f en + ∞, en utilisant la définition. 3) Pour quelles valeurs de x a-t-on f(x) – 3 < 10-3 ?
Exercice 2 : continuité
Soit f la fonction définie sur Y par : f(x) = 2ax² + 5 si x < 2 et f(x) = 2x – 1 si x > 2. Déterminer a pour que f soit continue en 2. Exercice 3 : calcul de limites Déterminer les limites suivantes :
a) limx→- ∞
x
3 - sin x
b) limx→ 2
+ x² - 4
2 - x
c) limx→π/3
cos x - 12
x - π3
Exercice 3 : QCM
1) La limite en + ∞ de la fonction f définie sur Y \ {3} par f(x) = -2x² + 7x – 4
3 - x est :
0 2 + ∞ - ∞
2) La limite en - ∞ de la fonction f définie sur - ∞ ; -
32
par f(x) = x² + x3 + 13x – 4x3
est :
13 -
14 + ∞ - ∞
3) Soit f la fonction définie sur Y \ {-1 ;1} par f(x) = (2x – 3)(x² + 1)
(1 – x²)².
f admet pour limite en + ∞ : 0 - 2 - ∞ + ∞
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4) Soit f la fonction définie sur Y \ {3} par f(x) = -2
(x – 3)².
La limite de f en 3 est : -2 - ∞ N’existe pas + ∞
5) Soit f la fonction définie sur Y* par f(x) =1 – cos(x)
x.
La limite en + ∞ de f est : + ∞ 0 1 N’existe pas
6) Soit f la fonction définie sur Y\{-1} par f(x) = x3 + 1x + 1
.
La limite de f en -1 est : 1 3 + ∞ - ∞
7) Soit f la fonction définie sur ]3 ; + ∞[ par f(x) =. x - 3x - 3
.
La limite de f en 3 est :
+ ∞ 3 1
2 3
1
3
8) Soit f la fonction définie sur ]1 ; 5[ par f(x) =.x – 4
x² - 6x + 5.
La limite de f en 1 est : - ∞ + ∞ 1 -3
9) Soit f la fonction définie sur ]- ∞ ; -1[ par f(x) =. x² - 1 + x. La limite de f en - ∞ est :
- ∞ + ∞ 0 12
10) Soit f la fonction définie sur ]1 ; + ∞[ par f(x) =.1
x – x² + 2x.
La limite de f en 1 est : 2 - ∞ + ∞ N’existe pas
11) Soit f la fonction définie sur Y* par f(x) =.x sin
1
x .
La limite de f en 1 est : N’existe pas + ∞ 0 1
12) Soit f la fonction définie sur ]0 ; + ∞[ par f(x) =. x 1 +1x.
La limite de f en 0 est : 1 0 + ∞
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13) La courbe représentative de la fonction f définie sur Y \ {-2} par
f(x) = x² + 3x – 2
x + 2 admet pour asymptote la droite d’équation :
y = x x = -2 y = x + 1 y = -2 14) La courbe représentative de la fonction f définie sur ]-1; + ∞[ par
f(x) = x² - 3x + 1
admet pour asymptote la droite d’équation :
y = x y = x - 1 x = -1 x = - 3 Exercice 4 :
Calculer : limx→− ∞
( 2x² + 5x + 1 + x + 1)
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CORRECTION
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Exercice 1 : limite finie en l'infini
1) x > 1r �
1x < r (car la fonction inverse est décroissante sur ]0;+ ∞[.)
Donc 3 + 1x < 3 + r
D'autre part, 1x > -r car
1x > 0 et r > 0
Donc 3 – r < 3 + 1x < 3 + r
Soit f(x) ∈ I.
2) Pour x assez grand (supérieur à 1r) l'intervalle ouvert I contient toutes les valeurs
de f(x). On en déduit que lim
x→+ ∞ f(x) = 3
3) f(x) – 3 < 10-3 � 1x < 10-3 � x > 1000
Exercice 2 : continuité f est continue en a si lim
x→2− f(x) = lim
x→2+ f(x)
limx→2
− f(x) = 2×a×4 + 5 = 8a + 5
limx→2
+ f(x) = 2×2 – 1 = 3
On doit avoir donc 8a + 5 = 3
D'où a = - 14
Vérification graphique
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CORRECTION
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Exercice 3 : calcul de limites a) Pour tout x réel, -1 < sin x < 1 Donc 2 < 3 – sin x < 4
Donc 14 <
13 – sin x
< 12
Pour x négatif, on a alors : x2
< x
3 – sin x <
x4
Or limx→− ∞
x2 = lim
x→− ∞ x4 = - ∞
Le théorème des gendarmes appliqué à l'encadrement précédent assure que :
limx→- ∞
x
3 - sin x = - ∞
b) Pour x ≠ 2, x² - 4
2 - x =
(x + 2)(x – 2)×( 2 + x)2 - x
= - (x + 2)( 2 + x)
On en déduit alors facilement que : limx→ 2
+ x² - 4
2 - x = -8 2
c) On pose f(x) = cos(x)
On a alors
cos x – 12
x - π3
= f(x) – f
π
3
x - π3
Par définition du nombre dérivé, on a : limx→π/3
cos x - 12
x - π3
= f'
π
3
Or f'(x) = - sin(x)
Donc limx→π/3
cos x - 12
x - π3
= - sin π3 = -
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CORRECTION
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Exercice 3 : QCM
1) La limite en + ∞ de la fonction f définie sur Y \ {3} par f(x) = -2x² + 7x – 4
3 - x est :
0 2 + ∞ - ∞
2) La limite en - ∞ de la fonction f définie sur - ∞ ; -
32
par f(x) = x² + x3 + 13x – 4x3
est :
13 -
14 + ∞ - ∞
3) Soit f la fonction définie sur Y \ {-1 ;1} par f(x) = (2x – 3)(x² + 1)
(1 – x²)².
f admet pour limite en + ∞ : 0 - 2 - ∞ + ∞
4) Soit f la fonction définie sur Y \ {3} par f(x) = -2
(x – 3)².
La limite de f en 3 est : -2 - ∞ N’existe pas + ∞
5) Soit f la fonction définie sur Y* par f(x) =1 – cos(x)
x.
La limite en + ∞ de f est : + ∞ 0 1 N’existe pas
6) Soit f la fonction définie sur Y\{-1} par f(x) = x3 + 1x + 1
.
La limite de f en -1 est : 1 3 + ∞ - ∞
7) Soit f la fonction définie sur ]3 ; + ∞[ par f(x) =. x - 3x - 3
.
La limite de f en 3 est :
+ ∞ 3 1
2 3
1
3
8) Soit f la fonction définie sur ]1 ; 5[ par f(x) =.x – 4
x² - 6x + 5.
La limite de f en 1 est : - ∞ + ∞ 1 -3
9) Soit f la fonction définie sur ]- ∞ ; -1[ par f(x) =. x² - 1 + x. La limite de f en - ∞ est :
- ∞ + ∞ 0 12
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CORRECTION
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10) Soit f la fonction définie sur ]1 ; + ∞[ par f(x) =.1
x – x² + 2x.
La limite de f en 1 est : 2 - ∞ + ∞ N’existe pas
11) Soit f la fonction définie sur Y* par f(x) =.x sin
1
x .
La limite de f en 1 est : N’existe pas + ∞ 0 1
12) Soit f la fonction définie sur ]0 ; + ∞[ par f(x) =. x 1 +1x.
La limite de f en 0 est : 1 0 + ∞
13) La courbe représentative de la fonction f définie sur Y \ {-2} par
f(x) = x² + 3x – 2
x + 2 admet pour asymptote la droite d’équation :
y = x x = -2 y = x + 1 y = -2 14) La courbe représentative de la fonction f définie sur ]-1; + ∞[ par
f(x) = x² - 3x + 1
admet pour asymptote la droite d’équation :
y = x y = x - 1 x = -1 x = - 3 Exercice 4 :
Calculer : limx→− ∞
( 2x² + 5x + 1 + x + 1)
2x² + 5x + 1 + x + 1 = ( 2x² + 5x + 1 + x + 1)× ( 2x² + 5x + 1 – (x + 1))
2x² + 5x + 1 – (x + 1)
= 2x² + 5x + 1 – (x + 1)²
|x| 2 + 5x +
1x²
- x - 1
= x(x + 3)
|x| 2 + 5x +
1x²
- x - 1
Pour x négatif, |x| = - x Donc :
2x² + 5x + 1 + x + 1 = x(x + 3)
-x
2 + 5x +
1x²
+ 1 + 1x
= x + 3
-
2 + 5x +
1x²
+ 1 + 1x
(car x ≠ 0)
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CORRECTION
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Or limx→− ∞
(x + 3) = - ∞ et limx→− ∞
-
2 + 5x+
1x²
+ 1 + 1x = - 2 - 1
Donc limx→− ∞
( 2x² + 5x + 1 + x + 1) = + ∞
