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TP 2 : Etudier une fonction Limites – Asymptotes – Dérivée
LOGICIEL : Geogebra
EXERCICE 1 :
On souhaite étudier quelques propriétés de la courbe représentative de la fonction f définie sur ] 0 ; + ∞[ par :
f(x) = x + 1 - ln1
1x
PARTIE 1 : Avec Geogebra 1°) Représenter la courbe représentative de f.
Enregistrer le graphique dans Mes documents sous le nom : tp2_exercice1{nom_prénom}_crsa1.ggb 2°) Lire sur le graphique les limites de f aux bornes de son ensemble de définition :
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3°) a) Cf la courbe représentative de f possède-t-elle des asymptotes ? Si oui, en donner les
caractéristiques.
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b) Cf semble posséder une asymptote oblique.
Tracer sur le graphique précédent la courbe représentative de la droite d’équation y = x + 1.
Qu’observer vous ?
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En déduire : xlim f(x)
- (x + 1) = ……………………..
Le signe de f(x) – (x + 1) pour x > 0 : …………………………………………………………………..
PARTIE 2 : Justifications 1°) Calcul de limites :
Compléter :
x
x x x
x
x
lim (x 1)
1 1lim donc lim 1 lim f(x)1x x lim ln 1
x lim ln(x)
En utilisant un « découpage » similaire, déterminer x 0x 0
lim f(x)
Interpréter graphiquement le résultat obtenu.
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2°) Asymptote oblique :
Compléter : f(x) – (x + 1) = ………………………………. et xlim f(x) (x 1)
…………………………..
Donc Cf admet ……………………………………………………………………………………………………………………………………….
Déterminer, en justifiant, le signe de f(x) – (x + 1) pour x > 0.
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Que pouvez-vous en déduire ?
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Pour créer une fonction à l’aide de Geogebra :
Dans la ligne de saisie, entrer l’expression de la fonction. (Son expression apparait dans la fenêtre algèbre et son tracé apparait dans la fenêtre graphique). Parfois il faut redéfinir l’ensemble sur lequel le dessin est fait.
Par exemple lorsque la fonction est tracée sur et que nous ne voulons la représentation graphique que sur
[0 ; + ∞[ . Dans ce cas on utilise : Fonction[{nom de la fonction},0,+∞] le ∞ est accessible via les caractères spéciaux, (le α en bout de ligne de saisie).
EXERCICE 2 : Exponentielle en mécanique
On considère le schéma suivant où la petite
poulie « poulie menante » entraîne l’autre
poulie par l’intermédiaire d’une courroie.
On démontrer que l’intensité de la tension T
dans le brin menant se calcule par la formule :
T = k
k
eF
e 1
F est l’intensité de la force tangentielle sur la poulie menante exprimée en déca Newtons (daN).
k est le coefficient de frottements de la courroie sur la jante.
α est la mesure en radians de l’arc de contact de la courroie sur la petite poulie.
On suppose dans la suite que : F = 10 daN et k = 0,25 = 1
4
En posant x = kα, l’étude de T en fonction de α mène à l’étude de la fonction : f(x) = 10x
x
e
e 1, où x ∈ ]0 ; + ∞[.
PARTIE A : Etude de fonction A l’aide de Geogebra, représenter la courbe représentative de f (on prendra un repère orthogonal, unités
graphique : 10 cm sur l’axe des abscisses et 0,5 cm sur l’axe des ordonnées), en déduire :
xlim
f(x) = …………………. et x 0lim
f(x) = ……………….
Interpréter graphiquement les résultats obtenus :
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Faire les tracés correspondant sur la figure.
Enregistrer le graphique dans Mes documents sous le nom : tp2_exercice2{nom_prénom}_crsa1.ggb
En utilisant Geogebra, calculer f’(x).
On a f’(x) = …………………………………………
Retrouver le résultat précédent par le calcul.
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En observant la courbe, donner le tableau des variations de f :
Etudier le signe de f’(x) et en déduire le tableau des variations de f. (Comparer avec le résultat précédent).
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PARTIE 2 : Exploitation On cherche à savoir dans quel intervalle varie α lorsque T varie entre 18,95 daN et 19,86 daN
(Arrondir au centième).
Mettre en place une démarche graphique pour répondre à cette question.
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Pour calculer une dérivée
Il suffit de saisir dans la fenêtre de saisie : f’(x) ou Dérivée[f]. L’expression de la dérivée apparait dans la fenêtre algèbre, la courbe représentative de la dérivée apparait dans la fenêtre graphique. Son tracé n’étant pas utile dans cet exercice, il suffit de « l’effacer » en cliquant sur la boule bleue située devant l’expression de la fonction.
