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limites et asymptotes
00
0 ∙ ∞ ∞∞
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3.1 Introduction : approche intuitive des limites
Soit la fonction inverse, d’expression analytique 𝑓(𝑥) = 1𝑥
et son graphe :
Détermine le domaine de 𝑓.
Que se passe-t-il lorsqu’on veut calculer 𝑓(0) ?
Le réel 0 n’a pas d’image par la fonction 𝑓 mais les réels proches de 0 ont une image par 𝑓. Calcule
l’image par 𝑓 de réels de plus en plus proches de 0.
𝑥 𝑓(𝑥) 𝑥 𝑓(𝑥)
-5 5
-1 1
-0.5 0.5
-0.25 0.25
-0.1 0.1
-0.01 0.01
… … … …
0 0
On remarque que 𝑓 n’est pas définie en 1 mais qu’elle est définie pour des valeurs aussi proches
que l’on veut de 1. On dira ici que 𝑓 tend vers l’infini lorsque 𝑥 tend vers 1.
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Soit la fonction rationnelle 𝑔, d’expression analytique 𝑔(𝑥) = 2𝑥+1𝑥
et son graphe :
Détermine le domaine de 𝑔 :
Calcule l’image par 𝑔 de réels de plus en plus grands d’une part, et de plus en plus petits d’autre part :
𝑥 𝑔(𝑥) 𝑥 𝑔(𝑥)
1 -1
3 -3
10 -10
50 -50
100 -100
… … … …
+∞ −∞
On remarque que 𝑔 devient aussi proche que l’on veut de 2 lorsqu’on choisit 𝑥 suffisamment
grand. De même, on remarque que 𝑔 devient aussi proche que l’on veut de 2 lorsqu’on choisit 𝑥
suffisamment petit. On dit que 𝑔 tend vers 2 lorsque 𝑥 tend vers±∞.
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Soit 𝑓 une fonction ayant le graphe suivant :
Sachant que :
i. 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) est définie comme la limite à droite. Intuitivement, c’est la limite pour 𝑥 tendant
vers 𝑎 par la droite, c’est-à-dire par les nombres positifs,
ii. lim𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) est définie comme la limite à gauche. Intuitivement, c’est la limite pour 𝑥 tendant
vers 𝑎 par la gauche, c’est-à-dire par les nombres négatifs,
iii. Si 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥)= lim𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) et existent toutes deux, alors lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) existe, et est égale à ces
limites. Sinon, lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) n’existe pas
Détermine les limites suivantes par observation du graphe :
a. lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = b. lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = c. lim𝑥→2
𝑓(𝑥) =
d. lim𝑥→−2+
𝑓(𝑥) = e. lim𝑥→−2
𝑓(𝑥) = f. lim𝑥→−4−
𝑓(𝑥) =
g. lim𝑥→−3
𝑓(𝑥) = h. lim𝑥→5
𝑓(𝑥) = i. lim𝑥→−5
𝑓(𝑥) =
j. lim𝑥→0+
𝑓(𝑥) = k. lim𝑥→0−
𝑓(𝑥) = l. lim𝑥→0
𝑓(𝑥) =
m. lim𝑥→−6
𝑓(𝑥) = n. lim𝑥→4−
𝑓(𝑥) = o. lim𝑥→4
𝑓(𝑥) =
p. lim𝑥→−7
𝑓(𝑥) = q. lim𝑥→∞
𝑓(𝑥) = r. lim𝑥→−∞
𝑓(𝑥) =
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Des différentes observations faites sur les exemples précédents, on peut déduire :
On considère une fonction 𝑓 et un réel 𝑎 :
• Dire qu’un réel 𝑏 est la limite de 𝑓 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 (ou que 𝑓 tend vers 𝑏 lorsque 𝑥
tend vers 𝑎) signifie que 𝑓(𝑥) peut s’approcher aussi près que l’on veut de 𝑏 pour autant
que 𝑥 soit suffisamment proche de 𝑎. On note :
lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑏
• Dire que +∞ est la limite de 𝑓 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 (ou que 𝑓 𝑡end vers +∞ lorsque 𝑥 tend
vers 𝑎) signifie que 𝑓(𝑥) peut atteindre une valeur aussi grande que l’on veut, pour autant
que 𝑥 soit suffisamment proche de 𝑎. On note :
lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = +∞
• Dire que -∞ est la limite de 𝑓 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 (ou que 𝑓 𝑡end vers -∞ lorsque 𝑥 tend
vers 𝑎) signifie que 𝑓(𝑥) peut atteindre une valeur négative aussi petite que l’on veut, pour
autant que 𝑥 soit suffisamment proche de 𝑎. On note :
lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = −∞
• Et de façon similaire pour les limites de 𝑓 pour 𝑥 tendant vers ±∞ :
o lim𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = 𝑏 signifie que 𝑓(𝑥) peut être aussi proche que l’on veut de 𝑏, pour
autant que l’on choisisse 𝑥 suffisamment grand
o lim𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = 𝑏 signifie que 𝑓(𝑥) peut être aussi proche que l’on veut de 𝑏, pour
autant que l’on choisisse 𝑥 suffisamment petit
o lim𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = +∞ signifie que 𝑓(𝑥) peut prendre des valeurs supérieures à
n’importe que réel, pour autant que l’on choisisse 𝑥 suffisamment grand
o lim𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = −∞ signifie que 𝑓(𝑥) peut prendre des valeurs inférieures à
n’importe que réel, pour autant que l’on choisisse 𝑥 suffisamment grand
o lim𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = +∞ signifie que 𝑓(𝑥) peut prendre des valeurs supérieures à
n’importe que réel, pour autant que l’on choisisse 𝑥 suffisamment petit
o lim𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = −∞ signifie que 𝑓(𝑥) peut prendre des valeurs inférieures à
n’importe que réel, pour autant que l’on choisisse 𝑥 suffisamment petit
• Définissons aussi les limites à droite et à gauche :
o La limite à gauche d’une fonction 𝑓 en un réel 𝑎 est la limite obtenue en ne
considérant que des valeurs de 𝑥 strictement inférieures à 𝑎. Elle est notée :
lim𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥)
o La limite à droite d’une fonction 𝑓 en un réel 𝑎 est la limite obtenue en ne
considérant que des valeurs de 𝑥 strictement supérieures à 𝑎. Elle est notée :
lim𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥)
o Si les limites à droite et à gauche d’une fonction 𝑓 en un réel 𝑎 existent et sont
égales, alors elles valent lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥). Si elles sont différentes, alors lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) n’existe
pas.
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3.2 Propriétés des limites
3.2.1 Sens d’une limite
Pour que la limite d’une fonction lorsque 𝑥 tend vers le réel 𝑎 ait un sens, il faut que le réel 𝑎 soit
adhérent au domaine, c’est-à-dire qu’il doit soit faire partie du domaine, soit « coller » au domaine.
Par exemple sur la fonction
représentée ci-contre, le point 𝐴 (𝑥 =9) fait partie du domaine, le point 𝐵
(𝑥 = 1) ne fait pas partie du domaine,
car sa valeur ne peut pas être calculée
𝑥 = 1, mais ce point « colle » au
domaine, car les points infiniment
proches de lui font partie du domaine.
Au contraire, le réel 𝑥 = −2 est situé
complètement en dehors du domaine
puisque la fonction contient une
racine carrée qui n’est pas définie
pour 𝑥 < 0.
La limite de la fonction a un sens si elle est calculée en 𝐵 ou en 𝐴, mais pas pour 𝑥 = −2.
3.2.2 Limite en un réel d’une fonction de référence
Pour les fonctions de référence :
Fonction Expression analytique
identité 𝑓(𝑥) = 𝑥
carré 𝑓(𝑥) = 𝑥2
cube 𝑓(𝑥) = 𝑥3
racine carrée 𝑓(𝑥) = √𝑥
racine cubique 𝑓(𝑥) = √𝑥3
inverse 𝑓(𝑥) = 1𝑥
valeur absolue 𝑓(𝑥) = |𝑥|
La limite en un réel 𝑎 de son domaine vaut la valeur de la fonction pour 𝑎, c’est-à-dire :
lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)
Exercice 1 (P2 : Appliquer) Calcule les limites suivantes :
a. lim𝑥→2
𝑥3 = b. lim𝑥→5
√𝑥 =
c. lim𝑥→6
4 = d. lim𝑥→𝜋
2
√𝑥3 =
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3.2.3 Opérations sur les limites
En un réel 𝑎, si lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) et lim𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)existent, alors :
i. la limite d’une somme est égale à la somme des limites
lim𝑥→𝑎
(𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)) = lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) + lim𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)
ii. la limite d’une différence est égale à la différence des limites
lim𝑥→𝑎
(𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)) = lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) − lim𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)
iii. la limite d’un produit est égale au produit des limites
lim𝑥→𝑎
(𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥)) = lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥). lim𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)
iv. la limite d’un quotient est égale au quotient des limites
lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)
= lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
lim𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)
v. la limite du produit d’une fonction par une constante est égale à au produit de la
constante et de la limite de la fonction
lim𝑥→𝑎
𝑘. 𝑓(𝑥) = 𝑘. lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) avec 𝑘 ∈ ℝ
vi. la limite d’une puissance de la fonction est égale à la puissance de la limite de la
fonction
lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)𝑛 = (lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥))𝑛 avec 𝑛 ∈ ℚ
vii. les limites respectent la composition, c’est-à-dire :
si lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑏 et lim𝑥→𝑏
𝑔(𝑥) = 𝑐 , alors lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑐
Tout ceci n’est valable que si le second membre a un sens.
Exercice 2 (P2 : Appliquer) Calcule les limites suivantes :
a. lim𝑥→2
𝑥3 + 2𝑥 + 2 = b. lim𝑥→−2
|𝑥| . (𝑥3 + 1) =
c. lim𝑥→−5
|𝑥|𝑥3 = d. lim
𝑥→1(3𝑥3 + 1)³ =
e. lim𝑥→2
2𝑥+13−𝑥
= f. lim𝑥→2
√𝑥2 − 6𝑥3 =
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3.2.4 Règles de calcul avec l’infini et cas d’indétermination
Dans le calcul des limites en utilisant les propriétés peut apparaître des opérations faisant
intervenir +∞ ou −∞. Ce ne sont pas des réels et il faut établir comment les utiliser dans les
opérations d’addition, de soustraction, de multiplication ou de division.
Quand on ne sait pas faire le calcul, on appelle cela un cas d’indétermination. Les cas suivants sont
des cas d’indétermination :
Pour les autres opérations, on utilisera les tableaux suivants. Quand un ? apparaît dans le tableau,
cela signifie qu’on a un cas d’indétermination.
Exemple d’utilisation des tableaux :
Cherchons le résultat de l’opération : (+∞) + (−∞)
- on cherche le premier terme dans la première colonne, ici
+∞,
- l’opération est l’élément en haut à gauche, nous avons
choisi le tableau de gauche car l’opération est l’addition
(+).
- on cherche le second terme dans la première ligne, ici −∞.
En prenant l’élément du tableau à l’intersection des lignes et des colonnes choisies on trouve ?, on
peut conclure que le calcul (+∞) + (−∞) est une forme d’indétermination.
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Pour la multiplication et la division par un réel 𝑟, on distingue les cas où le réel est strictement
positif ou strictement négatif.
𝒓 > 𝟎
𝒓 < 𝟎
Exercice 3 (P2 : Appliquer) Calcule les limites suivantes :
a. limx→2
𝑥−2𝑥2−4𝑥+4
= b. limx→0
3. 1𝑥
=
c. limx→0
−5. 1𝑥
= d. limx→0
1|𝑥|
− 1𝑥2 =
e. limx→0
1|𝑥|
+ 1𝑥2 = f. lim
x→∞7𝑥2 + lim
x→∞ 2𝑥 =
g. limx→−∞
7𝑥2 + limx→∞
2𝑥 = h. limx→∞
1𝑥
. limx→∞
𝑥 =
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3.3 Calcul pratique des limites
3.3.1 Fonction polynôme
Une fonction polynôme de degré 𝑛 est une fonction dont l’expression analytique est de la forme :
𝑓(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛
Elle existe pour tout valeur de 𝑥, son domaine de définition est donc ℝ. Ainsi, on peut calculer sa
limite pour n’importe quel réel.
Nous avons étudié en détail la fonction polynôme de degré 1 (𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑝) et la fonction
polynôme de degré 2 (𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐)
3.3.1.1 Limite en un réel
Par application des propriétés des limites (voir 3.2.3), on peut déduire que :
lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1. 𝑎 + 𝑎2. 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑛. 𝑎𝑛 = 𝑓(𝑎)
Exemple :
lim𝑥→2
−2𝑥3 + 2𝑥2 + 3𝑥 + 4 = −2.23 + 2.22 + 3.2 + 4 = 2
3.3.1.2 Limite en l’infini
La limite en l’infini d’une fonction polynôme est égale à la limite en l’infini du terme de plus haut
degré, c’est-à-dire :
lim𝑥→±∞
𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛 = lim𝑥→±∞
𝑎𝑛𝑥𝑛
Justifions cette formule à travers un exemple :
lim𝑥→+∞
−2𝑥3 + 2𝑥2 + 3𝑥 + 4 =
En mettant en évidence le polynôme par −2𝑥3 on a :
lim𝑥→+∞
−2𝑥3(1 −2𝑥2
2𝑥3 −3𝑥
2𝑥3 −4
2𝑥3) =
lim𝑥→+∞
−2𝑥3(1 −1𝑥
−3
2𝑥2 −4
2𝑥3)
Or on sait que les termes 1𝑥,
32𝑥2 et 4
2𝑥3 tendent vers 0 quand 𝑥 tend vers l’infini, on devine alors
que la limite deviendra :
lim𝑥→+∞
−2𝑥3(1 − 0 − 0 − 0)
lim𝑥→+∞
−2𝑥3 = −∞
Nous avons donc ramené le calcul de la limite du polynôme −2𝑥3 + 2𝑥2 + 3𝑥 + 4 au calcul de la
limite de son terme de plus haut degré, c’est-à-dire −2𝑥3.
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Exercice 4 (P2 : Appliquer) Calcule les limites suivantes :
a. lim𝑥→3
𝑥3 + 3𝑥 − 5 = b. lim𝑥→+∞
𝑥5 − 3𝑥2 + 2 =
c. lim𝑥→−∞
𝑥(1 − 𝑥) = d. lim𝑥→2
(1 − 𝑥2)(3𝑥 + 2) =
e. lim𝑥→−∞
𝑥3 − 𝑥 + 1 = f. lim𝑥→+∞
−5𝑥2 − 6𝑥 + 2 =
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3.3.2 Fonction rationnelle
Une fonction rationnelle est un quotient de polynômes :
𝑓(𝑥) =𝑁(𝑥)𝐷(𝑥)
où 𝑁(𝑥)et 𝐷(𝑥) sont des polynômes
Elle n’existe pas si 𝐷(𝑥) = 0, son domaine de définition est donc ℝ\{𝑥 tels que 𝐷(𝑥) = 0}.
3.3.2.1 Introduction : réduction des fonctions rationnelles
Une fonction rationnelle est un quotient de polynômes. Chacun de ces polynômes peut
éventuellement être décomposé en facteurs afin d’éventuellement réduire le quotient en
simplifiant les facteurs communs. Quelques méthodes de factorisation sont rappelées ci-dessous :
1. Factorisation d’une fonction du second degré
a. Mise en évidence : par exemple : 4𝑥2 + 2𝑥 = 2𝑥 ∙ (2𝑥 + 1)
b. Produits remarquables
𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏) ∙ (𝑎 + 𝑏) par exemple : 𝑥2 + 6𝑥 + 9 = (𝑥 + 3) ∙ (𝑥 + 3)
𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = (𝑎 − 𝑏) ∙ (𝑎 − 𝑏) par exemple : 𝑥2 − 4𝑥 + 4 = (𝑥 − 2) ∙ (𝑥 − 2)
𝑎2 − 𝑏2 = (𝑎 − 𝑏) ∙ (𝑎 + 𝑏) par exemple : 𝑥2 − 1 = (𝑥 − 1) ∙ (𝑥 + 1)
c. Méthode du discriminant
On peut factoriser l’expression analytique d’une fonction du second degré de la façon suivante :
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)
Par la règle du produit nul on peut déduire
que le produit des trois facteurs
𝑎 ∙ (𝑥 − 𝑥1) ∙ (𝑥 − 𝑥2) est nul lorsque au
moins 1 des 3 facteurs 𝑎, (𝑥 − 𝑥1), ou (𝑥 − 𝑥2)
est nul. Le premier facteur 𝑎 est différent de
0, pour une fonction du second degré. Les
deux facteurs suivants s’annulent lorsque 𝑥 =𝑥1 ou lorsque 𝑥 = 𝑥2.
Or 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2), donc
𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) est nul si 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
s’annule. Puisqu’une fonction s’annule à ses
racines, les valeurs de 𝑥1 et 𝑥2correspondent aux racines de la fonction du second degré. Le
nombre de racines diffère selon le signe du discriminant 𝜌, avec 𝜌 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐.
2. Factorisation d’une fonction de degré supérieur
Pour les fonctions de degré supérieur, on combinera la mise en évidence et les méthodes qui
s’appliquent aux fonctions du second degré. Par exemple :
𝑥4 + 2𝑥3 + 𝑥2 = 𝑥2 ∙ (𝑥2 + 2𝑥 + 1) = 𝑥2 ∙ (𝑥 + 1)2 = 𝑥2 ∙ (𝑥 + 1) ∙ (𝑥 + 1)
𝑥3 − 4𝑥² = 𝑥 ∙ (𝑥2 − 4) = 𝑥 ∙ (𝑥 − 2) ∙ (𝑥 + 2)
2𝑥4 − 12𝑥3 + 10𝑥2
= 2𝑥2 ∙ (𝑥2 − 6𝑥 + 5)
= 2𝑥2 ∙ (𝑥 − 1) ∙ (𝑥 − 5)
Ici il faut déterminer les racines de la fonction
𝑓 telle que 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 6𝑥 + 5, puisqu’il ne
s’agit pas d’un produit remarquable. On a 𝑥1 =6−√16
2= 1 et 𝑥2 = 6+√16
2= 5
𝜌 > 0 2 racines : 𝑥1 =
−𝑏−√ρ2𝑎
et 𝑥2 =−𝑏+√ρ
2𝑎
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝒂(𝒙 − 𝒙𝟏)(𝒙 − 𝒙𝟐)
𝜌 = 0
1 racine : 𝑥1 = −𝑏2𝑎
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝒂(𝒙 − 𝒙𝟏)(𝒙 − 𝒙𝟏)
𝜌 < 0
Aucune racine
Ne se factorise pas
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3. Réduction d’une fonction rationnelle
Pour réduire une fonction rationnelle 𝑓(𝑥) = 𝑁(𝑥)𝐷(𝑥)
où 𝑁(𝑥)et 𝐷(𝑥) sont des polynômes, il
convient de factoriser 𝑁(𝑥) et 𝐷(𝑥) pour établir s’il y a des facteurs communs, auquel cas ils
pourront être simplifiés afin de réduire la fonction rationnelle.
Attention, les conditions d’existence établies avant simplification doivent être conservées après
simplification. L’exclusion d’une valeur se traduira sur le graphe de la fonction pour la présence
d’un point vide pour cette valeur.
Par exemple :
𝑥4+2𝑥3+𝑥2
𝑥+1 = 𝑥2∙(𝑥2+2𝑥+1)
𝑥+1= 𝑥2∙(𝑥+1)2
𝑥+1= 𝑥² ∙ (𝑥 + 1) - point vide pour 𝑥 = −1
𝑥5−4𝑥3
𝑥2 = 𝑥3∙(𝑥2−4)𝑥2 = 𝑥 ∙ (𝑥2 − 4) - point vide pour 𝑥 = 0
2𝑥4−12𝑥3+10𝑥2
4𝑥4−20𝑥3 = 2𝑥2∙(𝑥2−6𝑥+5)4𝑥3.(𝑥−5)
= 2𝑥2∙(𝑥−1)∙(𝑥−5)4𝑥3.(𝑥−5)
= 𝑥−12𝑥
- point vide en 𝑥 = 0 et en 𝑥 = 5.
Exercice 5 (P2 : Appliquer) Réduis si possible les quotients suivants :
a. 3𝑥2−3𝑥2+1
b. 6𝑥2−9𝑥+62𝑥2−2
c. 𝑥+1𝑥2+4𝑥+3
d. 𝑥2+2𝑥+1𝑥2−1
e. 16−𝑥2
2𝑥2+8𝑥
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3.3.2.2 Limite en un réel
Calculons la limite pour 𝑥 = 𝑎 de la fonction, c’est-à-dire lim𝑥→𝑎
𝑁(𝑥)𝐷(𝑥)
, cela nous amène à trois
possibilités suivant les valeurs du numérateur et du dénominateur en 𝑎.
𝑫(𝒂) ≠ 𝟎 𝑫(𝒂) = 𝟎 et 𝑵(𝒂) ≠ 𝟎 𝑫(𝒂) = 𝟎 et 𝑵(𝒂) = 𝟎
lim𝑥→𝑎
𝑁(𝑥)𝐷(𝑥)
=𝑵(𝒂)𝑫 (𝒂)
lim𝑥→𝑎
𝑁(𝑥)𝐷(𝑥)
≈𝑵(𝒂)
𝟎= ±∞
lim𝑥→𝑎
𝑁(𝑥)𝐷(𝑥)
≈𝟎𝟎
Or,
lim𝑥→𝑎
𝑁(𝑥)𝐷(𝑥)
= lim𝑥→𝑎
(𝑥 − 𝑎)𝑁2(𝑥)(𝑥 − 𝑎)𝐷2(𝑥)
= lim𝑥→𝑎
𝑁2(𝑥)𝐷2(𝑥)
Ce cas est le plus simple, on
calcule directement la valeur
de la limite en remplaçant x
par la valeur de a dans la
fonction 𝑁(𝑥)𝐷(𝑥)
Ici, la limite a deux résultats
possibles : +∞ ou − ∞. Le
signe de l’infini dépend du
signe de 𝑁(𝑎) et du signe de
𝐷(𝑥) au voisinage du point
𝑥 = 𝑎 . Le signe de 𝑁(𝑎) est
connu, mais il faut faire un
tableau de signe pour
connaître le signe de 𝐷(𝑥)
(voir exercices)
Puisque 𝑁(𝑥) et 𝐷(𝑥) sont
nuls pour 𝑥 = 𝑎, 𝑎 est une
racine de ces deux
polynômes. On peut donc les
factoriser par (𝑥 − 𝑎).
Après simplification par
(𝑥 − 𝑎) au numérateur et au
dénominateur, on se ramène
à une nouvelle fonction
rationnelle 𝑓(𝑥) = 𝑁2(𝑥)𝐷2(𝑥)
.
Pour cette nouvelle fonction,
on cherche à nouveau dans
quelle colonne du tableau on
se trouve. Le point d’abscisse
𝑥 = 𝑎 est un point vide.
Exemple :
lim𝑥→1
𝑥2 − 4𝑥 + 4𝑥2 − 4
=1
−3
Exemple :
lim𝑥→−2
𝑥2 − 4𝑥 + 4𝑥2 − 4
=160
Tableau de signe :
𝑥 −2
𝑁(𝑥) + 16 +
𝐷(𝑥) − 0 +
𝑁(𝑥)𝐷(𝑥) − +
On voit que la limite à gauche
sera négative (-∞) et à droite,
elle sera positive (+∞). La limite
étant différente à gauche et à
droite, on dira que la limite en
𝑥 = 2 n’existe pas
Exemple :
lim𝑥→2
𝑥2 − 4𝑥 + 4𝑥2 − 4
~00
lim𝑥→2
𝑥2 − 4𝑥 + 4𝑥2 − 4
= lim𝑥→2
(𝑥 − 2). (𝑥 − 2)(𝑥 − 2). (𝑥 + 2)
On se ramène ici au premier
cas : (𝐷(𝑎) ≠ 0), on a :
= lim𝑥→2
(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)
=04
= 0
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Exercice 6 (P2 : Appliquer) Calcule les limites suivantes :
a. lim𝑥→1
3𝑥2+2𝑥3+1
=
b. lim𝑥→−1
1−𝑥²𝑥+1
=
c. lim𝑥→1
𝑥2−2𝑥+1𝑥−1
=
d. lim𝑥→0
3𝑥−2𝑥2−4𝑥−5
=
e. lim𝑥→1
2𝑥2−3𝑥+13𝑥3−3𝑥
=
f. lim𝑥→−3
𝑥2+3𝑥𝑥2+6𝑥+9
=
g. lim𝑥→2
𝑥2−4−𝑥2+2𝑥
=
h. lim𝑥→−1
2𝑥2−5𝑥−73𝑥2+2𝑥−1
=
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3.3.2.3 Limite en l’infini
Calculons la limite pour 𝑥 tendant vers l’infini de la fonction, c’est-à-dire lim𝑥→±∞
𝑁(𝑥)𝐷(𝑥)
.
Pour rappel, on a conclu au point 3.3.1 que la limite en l’infini d’une fonction polynôme est égale
à la limite en l’infini du terme de plus haut degré. Or on sait que 𝑁(𝑥) et 𝐷(𝑥) sont des polynômes,
on peut donc deviner la proposition suivante :
lim𝑥→±∞
𝑁(𝑥)𝐷(𝑥)
= lim𝑥→±∞
𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑙𝑢𝑠 ℎ𝑎𝑢𝑡 𝑑𝑒𝑔𝑟é 𝑑𝑒 𝑁(𝑥)𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑙𝑢𝑠 ℎ𝑎𝑢𝑡 𝑑𝑒𝑔𝑟é 𝑑𝑒 𝐷(𝑥)
Cela nous amène à trois possibilités suivant les degrés du numérateur et du dénominateur :
𝑑𝑒𝑔𝑟é 𝑁(𝑥) > 𝑑𝑒𝑔𝑟é 𝐷(𝑥) 𝑑𝑒𝑔𝑟é 𝑁(𝑥) = 𝑑𝑒𝑔𝑟é 𝐷(𝑥) 𝑑𝑒𝑔𝑟é 𝑁(𝑥) < 𝑑𝑒𝑔𝑟é 𝐷(𝑥)
lim𝑥→±∞
𝑁(𝑥)𝐷(𝑥)
= ±∞ lim𝑥→±∞
𝑁(𝑥)𝐷(𝑥)
= 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑟é𝑒𝑙
lim𝑥→±∞
𝑁(𝑥)𝐷(𝑥)
= 0 Le signe de l’infini dépend du
signe du quotient lorsqu’on
s’approche de l’infini
La valeur de la limite est le
quotient des coefficients des
termes de plus haut degré de
𝑁(𝑥) et 𝐷(𝑥)
Exemple :
lim𝑥→+∞
−𝑥2 + 12𝑥 − 1
=
Avec la proposition encadrée ci-
dessus : lim𝑥→+∞
−𝑥2
2𝑥=
On simplifie les 𝑥 :
lim𝑥→+∞
−𝑥2
= −∞
Exemple :
lim𝑥→+∞
−𝑥2 + 1𝑥2 − 1
=
Avec la proposition encadrée ci-
dessus :
lim𝑥→+∞
−𝑥2
𝑥2 = −11
= −1
Exemple :
lim𝑥→+∞
2𝑥 − 1−𝑥2 + 1
=
Avec la proposition encadrée ci-
dessus : lim𝑥→+∞
2𝑥−𝑥2 =
On simplifie les 𝑥 :
lim𝑥→+∞
2−𝑥
=2
−∞= 0
Exercice 7 (P2 : Appliquer) Calcule les limites suivantes :
a. lim𝑥→−∞
𝑥(𝑥2+1)(2𝑥+3)𝑥²
= b. lim𝑥→+∞
3𝑥−1𝑥2+𝑥+2
=
c. lim𝑥→+∞
𝑥2−𝑥1−3𝑥
= d. lim𝑥→−∞
5𝑥5+2𝑥4+3𝑥2−𝑥+2−𝑥4−3𝑥3−2𝑥
=
e. lim𝑥→−∞
3𝑥5−2𝑥2+4𝑥−23𝑥6+9𝑥+3
=
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3.4 Asymptotes
3.4.1 Définition
Une asymptote à une courbe est une droite telle que, lorsque l'abscisse ou l'ordonnée tend vers
l'infini, la distance de la courbe à la droite tend vers 0.
3.4.2 Asymptote verticale (AV)
La droite d’équation 𝑥 = 𝑎 est une asymptote verticale au graphe de la fonction 𝑓 si et seulement
si :
lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = ±∞
𝑎 doit être adhérent au domaine de 𝑓(𝑥), mais ne fait pas partie du domaine (voir 3.2.1) puisque
la limite en a est infinie. On observe typiquement une asymptote verticale pour des fonctions
rationnelles de la forme 𝑁(𝑥)𝐷(𝑥)
avec 𝐷(𝑎) = 0 (et 𝑁(𝑎) ≠ 0). On constate que 𝑎 ne fait pas partie du
domaine car le dénominateur est nul en 𝑎.
exemple :
𝑓(𝑥) = 𝑥+2𝑥+3
on voit que 𝑥 = −3 n’appartient pas
au domaine mais est adhérent au domaine, on a
bien lim𝑥→−3
𝑓(𝑥) = − 10
= ±∞.
En nommant 𝑁(𝑥) le numérateur, on a donc
𝑁(−3) = −1 et en nommant 𝐷(𝑥) le numérateur
on a 𝐷(3) = 0.
𝑓 admet une asymptote verticale en 𝑥 = −3
Une courbe peut avoir plusieurs asymptotes verticales. Une fonction qui aurait deux AV en 𝑥 = 𝑏
et 𝑥 = 𝑐 est typiquement une fonction rationnelle de la forme 𝑁(𝑥)𝐷(𝑥)
avec 𝐷(𝑏) = 0 et 𝐷(𝑐) = 0
(mais avec 𝑁(𝑥) ≠ 0 quand 𝑥 = 𝑎 𝑜𝑢 𝑏).
exemple :
𝑓(𝑥) = 𝑥+5𝑥2−4
on voit que 𝑥 = ±2 n’appartiennet
pas au domaine mais sont adhérents au domaine,
on a bien lim𝑥→−2
𝑓(𝑥) = 30
= ±∞ et lim𝑥→2
𝑓(𝑥) = 70
=
±∞.
En nommant 𝑁(𝑥) le numérateur, on voit que
𝑁(−2) ≠ 0 et 𝑁(2) ≠ 0 en nommant 𝐷(𝑥) le
numérateur on a 𝐷(−2) = 0 et 𝐷(2) = 0.
𝑓admet donc deux asymptotes verticales en 𝑥 =2 et en 𝑥 = −2.
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3.4.3 Asymptote horizontale (AH)
La droite d’équation 𝒚 = 𝑏 est une asymptote horizontale au graphe de la fonction 𝑓 si et
seulement si :
lim𝑥→±∞
𝑓(𝑥) = 𝑏 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑏 ∈ ℝ
Pour que la fonction admette une 𝐴𝐻, il faut que son domaine s’étende jusque ±∞, puisqu’on
s’intéresse au comportement à l’infini.
On a au maximum une 𝐴𝐻 d’un même côté (c’est-à-dire, maximum une quand 𝑥 tend vers −∞ (à
gauche) et maximum une quand 𝑥 tend vers +∞ (à droite).
Les fonctions qui admettent des asymptotes horizontales sont typiquement les fonctions
rationnelles 𝑓(𝑥) = 𝑁(𝑥)𝐷(𝑥)
décrites dans les colonnes 2 et 3 du tableau page 16, c’est-à-dire dont
𝑑𝑒𝑔𝑟é 𝑁(𝑥) ≤ 𝑑𝑒𝑔𝑟é 𝐷(𝑥)
Dans la colonne 2, on a :
lim𝑥→±∞
𝑁(𝑥)𝐷(𝑥)
= 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑟é𝑒𝑙
voici un exemple :
𝑓(𝑥) =−𝑥2 + 5𝑥2 − 1
on a :
lim𝑥→±∞
−𝑥2 + 5𝑥2 − 1
= −1
Et donc on a une 𝐴𝐻 en 𝑦 = −1.
Dans la colonne 3, on a :
lim𝑥→±∞
𝑁(𝑥)𝐷(𝑥)
= 0,
voici un exemple :
𝑓(𝑥) =2𝑥 − 1
−𝑥2 + 1
on a :
lim𝑥→±∞
2𝑥 − 1−𝑥2 + 1
= 0
Et donc on a une 𝐴𝐻 en 𝑦 = 0.
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3.4.4 Asymptote oblique (AO)
L’équation d’une asymptote oblique au graphe de la fonction 𝑓(𝑥) est une équation de droite :
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 avec 𝑎 et 𝑏 ∈ ℝ et 𝑎 ≠ 0
Il faut que le domaine s’étende jusque ±∞ (puisqu’on s’intéresse au comportement à l’infini)
On a au maximum une 𝐴𝐻 ou bien une 𝐴𝑂 d’un même côté (c’est-à-dire, maximum une quand x
tend vers −∞ (à gauche) et maximum une quand 𝑥 tend vers +∞ (à droite).
Les fonctions qui admettent des asymptotes obliques sont typiquement les fonctions rationnelles,
d’expression analytique :
𝑓(𝑥) =𝑁(𝑥)𝐷(𝑥)
où le degré de 𝑁(𝑥) = (degré de 𝐷(𝑥)) + 1 .
C’est un cas particulier des fonctions rationnelles décrit
dans la colonne 1 du tableau page 16.
Prenons par exemple la fonction 𝑓, d’expression
analytique :
𝑓(𝑥) =5𝑥²
𝑥 − 4
On peut trouver l’expression analytique de son
asymptote oblique en divisant le numérateur 𝑁(𝑥) = 5𝑥²
par le dénominateur 𝐷(𝑥) = 𝑥 − 4 par division
euclidienne.
On a :
5𝑥² + 0𝑥 + 0 𝑥 − 4
− (5𝑥² − 20𝑥) 𝟓𝒙 + 𝟐𝟎
20𝑥 + 0
− (20𝑥 − 80)
80
L’asymptote oblique à la fonction 𝑓 a donc pour équation
𝑦 = 5𝑥 + 20.
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Exercice 8 (P2 : Appliquer) Pour chaque fonction, détermine les éventuelles asymptotes
verticales, horizontales ou obliques et déduis-en quel est le graphe associé (voir page suivante).
𝑥4
𝑥3 + 1
AV :
AH :
AO :
Nom de la fonction (graphe) :
𝑥4 − 1𝑥4 + 1
AV :
AH :
AO :
Nom de la fonction (graphe) :
𝑥2
2𝑥 + 4
AV :
AH :
AO :
Nom de la fonction (graphe) :
2𝑥3 + 2𝑥2
AV :
AH :
AO :
Nom de la fonction (graphe) :
𝑥2
𝑥2 − 4
AV :
AH :
AO :
Nom de la fonction (graphe) :
𝑥2 + 1𝑥4 + 1
AV :
AH :
AO :
Nom de la fonction (graphe) :
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Exercice 9 (P2 : Appliquer) Calcule les limites suivantes. Indique s’il existe une asymptote ou un
point vide à l’abscisse où la limite est calculée (AV, AH ou AO). Donne l’équation dans le cas d’une
asymptote et les coordonnées dans le cas d’un point vide. Dans le cas d’une AV, établis si
nécessaire un tableau de signe pour calculer les limites à gauche et à droite (voir tableau p14,
colonne 2).
a. lim𝑥→+∞
−𝑥2
𝑥3+𝑥+1=
b. lim𝑥→−∞
3𝑥²𝑥2+𝑥+1
=
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c. lim𝑥→2
−𝑥2+4𝑥−4𝑥−2
=
d. lim𝑥→2
𝑥2−4𝑥+42𝑥2−8
=
e. lim𝑥→−∞
4𝑥3+2𝑥²−32𝑥2 =
f. lim𝑥→2
𝑥3+3𝑥−2𝑥2+5
=
g. lim𝑥→2
𝑥2+4𝑥+4𝑥2−4
=
