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Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis

Chapitre 1

Généralités sur les fonctions

Sébastien Pellerin

http://sebastien.pellerin.free.frsebastien.pellerin@iut-cachan.u-psud.fr

Septembre 2006


Plan du chapitre

1 Propriétés globales d’une fonction

2 Dérivation

3 Notion de courbes asymptotes

4 Comportement local d’une fonction

5 Application réciproque d’une bijection

6 Accroissements finis


Parité et imparité



DéfinitionSoit f : I → R où I est une partie de R symétrique par rapport à 0.

I La fonction f est paire si pour tout x ∈ I on a f (−x) = f (x).I La fonction f est impaire si pour tout x ∈ I on a f (−x) = −f (x).




I La fonction f est paire si pour tout x ∈ I on a f (−x) = f (x).

I La fonction f est impaire si pour tout x ∈ I on a f (−x) = −f (x).





Exemples

I La fonction f définie sur R par f (x) = x2 est paire.

En effet, pour tout x ∈ R, on a (−x)2 = x2 i.e. f (−x) = f (x).I La fonction g définie sur R∗ par g(x) = 1x est impaire.

En effet, pour tout x ∈ R∗, on a 1−x = −1x i.e. g(−x) = −g(x).





Exemples

I La fonction f définie sur R par f (x) = x2 est paire.En effet, pour tout x ∈ R, on a (−x)2 = x2 i.e. f (−x) = f (x).

I La fonction g définie sur R∗ par g(x) = 1x est impaire.






Exemples


En effet, pour tout x ∈ R, on a (−x)2 = x2 i.e. f (−x) = f (x).I La fonction g définie sur R∗ par g(x) = 1x est impaire.






Exemples


En effet, pour tout x ∈ R, on a (−x)2 = x2 i.e. f (−x) = f (x).

I La fonction g définie sur R∗ par g(x) = 1x est impaire.






Exemples


En effet, pour tout x ∈ R, on a (−x)2 = x2 i.e. f (−x) = f (x).

I La fonction g définie sur R∗ par g(x) = 1x est impaire.En effet, pour tout x ∈ R∗, on a 1−x = −

1x i.e. g(−x) = −g(x).





Si f est paire alors son grapheest symétrique par rapport à l’axedes ordonnées.

x−x

f(x)





Si f est impaire alors son grapheest symétrique par rapport àl’origine du repère.

x−x

f(x)

f(−x) = −f(x)


Périodicité

puis en effectuant des translations de vecteurs T~i , 2T~i , 3T~i , . . ., −T~i ,−2T~i , . . .


Périodicité

DéfinitionI Une fonction f : R → R est périodique s’il existe T > 0 tel que

f (x + T ) = f (x) pour tout x ∈ R.

I On dit que T est une période de f et que f est T -périodique.



Périodicité


f (x + T ) = f (x) pour tout x ∈ R.I On dit que T est une période de f et que f est T -périodique.



Périodicité



Exemple

La fonction cosinus est 2π-périoque.



Périodicité





Périodicité



Si f est T -périodique alors son graphe s’obtient en traçant le graphesur n’importe quel intervalle de longueur T

puis en effectuant destranslations de vecteurs T~i , 2T~i , 3T~i , . . ., −T~i , −2T~i , . . .

|

O ~ı

~

T


Périodicité



Si f est T -périodique alors son graphe s’obtient en traçant le graphesur n’importe quel intervalle de longueur T puis en effectuant destranslations de vecteurs T~i , 2T~i , 3T~i , . . ., −T~i , −2T~i , . . .

|

O ~ı

~

T

T~ı


Monotonie


Monotonie

DéfinitionSoit f : I → R où I est un intervalle de R.

I f est croissante sur I si : u < v =⇒ f (u) 6 f (v).I f est décroissante sur I si : u < v =⇒ f (u) > f (v).I f est monotone si f est croissante ou décroissante.


Monotonie


I f est croissante sur I si : u < v =⇒ f (u) 6 f (v).

I f est décroissante sur I si : u < v =⇒ f (u) > f (v).I f est monotone si f est croissante ou décroissante.


Monotonie


I f est croissante sur I si : u < v =⇒ f (u) 6 f (v).I f est décroissante sur I si : u < v =⇒ f (u) > f (v).

I f est monotone si f est croissante ou décroissante.


Monotonie




Monotonie



Exemple

f (x) =√

x


Monotonie



Exemple

g(x) = x2


Monotonie



Exemple

h(x) =1x


Monotonie

DéfinitionSoit f : I → R où I est un intervalle I de R.

I f est strictement croissante sur I si : u < v =⇒ f (u) < f (v).I f est strictement décroissante sur I si : u < v =⇒ f (u) > f (v).I f est strictement monotone si f est strictement croissante ou

strictement décroissante.


Plan du chapitre


2 Dérivation






Dérivée en un point

Définition

Soit f : [a, b] → R et x0 ∈]a, b[.

I La fonction f est dite dérivable en x0 si le rapportf (x)− f (x0)

x − x0admet une limite lorsque x tend vers x0.

I Cette limite est appelée dérivée de f en x0 et on note

f ′(x0) = limx→x0

f (x)− f (x0)x − x0

.



Définition

Soit f : [a, b] → R et x0 ∈]a, b[.





f (x)− f (x0)x − x0

.

On peut également écrire :

f ′(x0) = limh→0

f (x0 + h)− f (x0)h

.



Définition

Soit f : [a, b] → R et x0 ∈]a, b[.





f (x)− f (x0)x − x0

.

Exemples

I f (x) =√

x et x0 = 1

I g(x) = |x | et x0 = 0



Définition

Soit f : [a, b] → R et x0 ∈]a, b[.





f (x)− f (x0)x − x0

.

Exemples

I f (x) =√

x et x0 = 1I g(x) = |x | et x0 = 0


Interprétation géométrique

Soit f : [a, b] → R dérivable en x0 ∈]a, b[.




Le coefficient directeur de ladroite (M0M) est

f (x)− f (x0)x − x0

.

O x0 x

f(x0)

f(x)

M0

M




O

M0




Lorsque x tend vers x0, f (x) tendvers f (x0).

O

M0





Le point M(x , f (x)) se rapprochedonc du point M0(x0, f (x0))lorsque x tend vers x0.

O

M0






La droite (M0M) se rapprochedonc de la tangente à C en M0.

O

M0






La droite (M0M) se rapprochedonc de la tangente à C en M0.

O

M0

T




Le coefficient directeur de latangente en M0 est donc :

limx→x0

f (x)− f (x0)x − x0

= f ′(x0).

O

M0

T



Théorème

Soit f : [a, b] → R dérivable en x0 ∈]a, b[.Le graphe de f admet au point M0(x0, f (x0)) une tangente d’équation :

y = f ′(x0)(x − x0) + f (x0).



Théorème


y = f ′(x0)(x − x0) + f (x0).

Exemple

f (x) =√

x et x0 = 1.



Théorème


y = f ′(x0)(x − x0) + f (x0).



Théorème


y = f ′(x0)(x − x0) + f (x0).

Remarque

Sif (x)− f (x0)

x − x0−−−→x→x0

+∞ alors le graphe de f admet une tangenteverticale au point M0(x0, f (x0)).


Fonction dérivée

Définition

I On dit que f est dérivable sur ]a, b[ si f est dérivable en toutx0 ∈]a, b[.

I On définit alors sa fonction dérivée f ′ :]a, b[→ R, x 7→ f ′(x).


Fonction dérivée

DéfinitionI On dit que f est dérivable sur ]a, b[ si f est dérivable en tout

x0 ∈]a, b[.

I On définit alors sa fonction dérivée f ′ :]a, b[→ R, x 7→ f ′(x).


Fonction dérivée


x0 ∈]a, b[.I On définit alors sa fonction dérivée f ′ :]a, b[→ R, x 7→ f ′(x).


Fonction dérivée



Remarques

I Si f ′ est dérivable sur ]a, b[ alors sa dérivée est appelée fonctiondérivée seconde de f et est notée f ′′.

I De proche en proche, on définit ainsi les fonctions dérivéessuccessives f ′, f ′′, f ′′′, . . . , f (n), . . . de f .

I Si f admet des dérivées à tout ordre n ∈ N (i.e. si f est infinimentdérivable) alors on dit que f est de classe C∞ sur ]a, b[.


Fonction dérivée



RemarquesI Si f ′ est dérivable sur ]a, b[ alors sa dérivée est appelée fonction

dérivée seconde de f et est notée f ′′.

I De proche en proche, on définit ainsi les fonctions dérivéessuccessives f ′, f ′′, f ′′′, . . . , f (n), . . . de f .



Fonction dérivée




dérivée seconde de f et est notée f ′′.I De proche en proche, on définit ainsi les fonctions dérivées

successives f ′, f ′′, f ′′′, . . . , f (n), . . . de f .



Fonction dérivée




dérivée seconde de f et est notée f ′′.I De proche en proche, on définit ainsi les fonctions dérivées

successives f ′, f ′′, f ′′′, . . . , f (n), . . . de f .I Si f admet des dérivées à tout ordre n ∈ N (i.e. si f est infiniment

dérivable) alors on dit que f est de classe C∞ sur ]a, b[.


Tableau des dérivées usuelles

f (x) I f ′(x)

constante R 0

x R 1

1x

]−∞, 0[ ou ]0,+∞[ − 1x2

√x ]0,+∞[ 1

2√

x

xα (α 6= 0) ]0,+∞[ α xα−1

ln x ]0,+∞[ 1x

ex R ex


Règles de calcul

Proposition

Soit f et g dérivables sur un intervalle I.

I (f + g)′ = f ′ + g′

I (λf )′ = λf ′

I (fg)′ = f ′g + fg′

I Si g ne s’annule pas alors

( fg

)′=

f ′g − fg′

g2


Règles de calcul

Proposition

Soit f et g dérivables sur un intervalle I.I (f + g)′ = f ′ + g′

I (λf )′ = λf ′

I (fg)′ = f ′g + fg′

I Si g ne s’annule pas alors

( fg

)′=

f ′g − fg′

g2


Règles de calcul

Proposition


I (λf )′ = λf ′

I (fg)′ = f ′g + fg′

I Si g ne s’annule pas alors( f

g

)′=

f ′g − fg′

g2


Règles de calcul

Proposition


I (λf )′ = λf ′

I (fg)′ = f ′g + fg′


g

)′=

f ′g − fg′

g2

En particulier, si g ne s’annule pas alors(1

g

)′= − g

′

g2.


Règles de calcul

Proposition


I (λf )′ = λf ′

I (fg)′ = f ′g + fg′


g

)′=

f ′g − fg′

g2

Proposition

Soit u : I → J dérivable et F dérivable sur J.

Alors F ◦ u est dérivable sur I et (F ◦ u)′ = u′ × F ′ ◦ u.


Règles de calcul

Proposition


I (λf )′ = λf ′

I (fg)′ = f ′g + fg′


g

)′=

f ′g − fg′

g2

Proposition

Soit u : I → J dérivable et F dérivable sur J.Alors F ◦ u est dérivable sur I et (F ◦ u)′ = u′ × F ′ ◦ u.


Règles de calcul


Règles de calcul

f (x) f ′(x)(u(x)

)α(α 6= 0) α u′(x)

(u(x)

)α−11

u(x)− u

′(x)(u(x)

)2√

u(x)u′(x)

2√

u(x)

ln(u(x)

) u′(x)u(x)

eu(x) u′(x) eu(x)


Règles de calcul

f (x) f ′(x)(u(x)

)α(α 6= 0) α u′(x)

(u(x)

)α−11

u(x)− u

′(x)(u(x)

)2√

u(x)u′(x)

2√

u(x)

ln(u(x)

) u′(x)u(x)

eu(x) u′(x) eu(x)

Exemple

f (x) = e1

x2+1


Sens de variation d’une fonction dérivable

ThéorèmeSoit f dérivable sur un intervalle I.

I f constante sur I ⇐⇒ f ′(x) = 0 pour tout x ∈ II f croissante sur I ⇐⇒ f ′(x) > 0 pour tout x ∈ II f décroissante sur I ⇐⇒ f ′(x) 6 0 pour tout x ∈ I




I f constante sur I ⇐⇒ f ′(x) = 0 pour tout x ∈ I

I f croissante sur I ⇐⇒ f ′(x) > 0 pour tout x ∈ II f décroissante sur I ⇐⇒ f ′(x) 6 0 pour tout x ∈ I




I f constante sur I ⇐⇒ f ′(x) = 0 pour tout x ∈ II f croissante sur I ⇐⇒ f ′(x) > 0 pour tout x ∈ I

I f décroissante sur I ⇐⇒ f ′(x) 6 0 pour tout x ∈ I





Remarques

I Si f ′ > 0 alors f est strictement croissante.I Si f ′ < 0 alors f est strictement décroissante.





RemarquesI Si f ′ > 0 alors f est strictement croissante.

I Si f ′ < 0 alors f est strictement décroissante.





RemarquesI Si f ′ > 0 alors f est strictement croissante.I Si f ′ < 0 alors f est strictement décroissante.





Exemples

I Étude de f définie sur R par f (x) = 13 x3 − x + 1

I Étude de f définie sur ]0,+∞[ par f (x) = ln( x

x2 + 1

)


Plan du chapitre


2 Dérivation






Asymptotes verticales



Définition

Soit f :]a, α[∪]α, b[→ R.

Si f (x) −−−→x→α

∞alors la droite ∆ d’équation x = αest une asymptote verticale augraphe de f .

C ∆

α



Définition

Soit f :]a, α[∪]α, b[→ R.

Si f (x) −−−→x→α

∞alors la droite ∆ d’équation x = αest une asymptote verticale augraphe de f .

C ∆

α

Exemple

Soit f définie sur R∗ par f (x) = 1x .La droite d’équation x = 0 est une asymptote verticale.


Courbes asymptotes

Soit f et g de graphes Cf et Cg .

Cf

Cg


Courbes asymptotes


x

Cf

Cg


Courbes asymptotes


On dit que Cf et Cg sontasymptotes quand x tend vers alorsque la distance entre lescourbes tend vers 0 quand x tendvers a.

x

Cf

Cg


Courbes asymptotes



x

Cf

Cg

Si limx→a

(f (x)− g(x)

)= 0 alors Cf et Cg sont asymptotes.


Courbes asymptotes



Cf

Cg

Si limx→a

(f (x)− g(x)



Courbes asymptotes



x

g(x)

f(x)

Cf

Cg

Si limx→a

(f (x)− g(x)



Courbes asymptotes



x

Cf

Cg

Si limx→a

(f (x)− g(x)



Asymptotes en l’infini

Définition

Soit f définie sur [a,+∞[.C

∆



Définition

Soit f définie sur [a,+∞[.

Si f (x)− (ax + b) −−−−−→x→+∞

0 alors

la droite ∆ d’équation y = ax + best asymptote au graphe de f .

C

∆



Définition

Soit f définie sur [a,+∞[.

Si f (x)− (ax + b) −−−−−→x→+∞

0 alors


C

∆

Exemple

Asymptote en +∞ de f définie sur ]0,+∞[ par f (x) = 2x + 1x2

.



Définition

Si f (x)− (ax + b) −−−−−→x→+∞

0 alors


C

∆



Définition

Si f (x)− (ax + b) −−−−−→x→+∞

0 alors


C

∆

Remarque

Si f (x) −−−−−→x→+∞

` alors la droite ∆

d’équation y = ` est uneasymptote horizontale.

C

∆



Définition

Si f (x)− (ax + b) −−−−−→x→+∞

0 alors


C

∆

Remarque

Si la droite d’équation y = ax + b est asymptote en +∞ au graphe def alors

a = limx→+∞

f (x)x

et b = limx→+∞

(f (x)− ax

).



Remarque


a = limx→+∞

f (x)x

et b = limx→+∞

(f (x)− ax

).



Remarque


a = limx→+∞

f (x)x

et b = limx→+∞

(f (x)− ax

).

Exemple

Asymptote en +∞ de f définie sur [0,+∞[ par f (x) = 3x2 + 1

x + 3


Plan du chapitre


2 Dérivation






Continuité

DéfinitionSoit f une fonction définie sur une partie D de R et à valeurs dans R.

I f est continue en a ∈ D si limx→a

f (x) = f (a).

I f est continue sur D si f est continue en tout point de D .


Continuité



f (x) = f (a).


On

peu

t

trace

r cette courbe sans lever le

cray

on!


Continuité



f (x) = f (a).


Exemple

La fonction valeur absolue estcontinue sur R.

0


Continuité



f (x) = f (a).


Exemple

H : R −→ R

x 7−→ H(x) =

{0 si x < 01 si x > 0 0

1


Continuité



f (x) = f (a).


Exemple

H : R −→ R

x 7−→ H(x) =

{0 si x < 01 si x > 0 0

1

Si a est « au bord » de D alors on dit que f estI continue à droite en a si lim

x→ax>a

f (x) = f (a)

I et continue à gauche en a si limx→ax


Continuité



f (x) = f (a).


Soit f et g continues sur un même ensemble D et λ ∈ R.I f + g, f × g et λf sont continues sur D .

I Si g ne s’annule pas sur D alorsfg

est continue sur D .


Continuité



f (x) = f (a).


Remarques

I Si f est dérivable en a alors f est continue en a.I Plus généralement, si f admet une fonction dérivée ne f (n) alors

les fonctions f ′, f ′′, . . . , f (n−1) sont toutes continues.I Si f admet une fonction dérivée ne f (n) continue alors on dit que f

est de classe C n sur ]a, b[.

Par exemple dire que f est de classeC 1 signifie que f et dérivable et que sa dérivée f ′ est continue.

Une fonction de classe C∞ est donc une fonction de classe C n

pour tout n ∈ N.


Continuité



f (x) = f (a).


RemarquesI Si f est dérivable en a alors f est continue en a.

I Plus généralement, si f admet une fonction dérivée ne f (n) alorsles fonctions f ′, f ′′, . . . , f (n−1) sont toutes continues.

I Si f admet une fonction dérivée ne f (n) continue alors on dit que fest de classe C n sur ]a, b[.



pour tout n ∈ N.


Continuité



f (x) = f (a).


RemarquesI Si f est dérivable en a alors f est continue en a.I Plus généralement, si f admet une fonction dérivée ne f (n) alors

les fonctions f ′, f ′′, . . . , f (n−1) sont toutes continues.

I Si f admet une fonction dérivée ne f (n) continue alors on dit que fest de classe C n sur ]a, b[.



pour tout n ∈ N.


Continuité



f (x) = f (a).




est de classe C n sur ]a, b[.



pour tout n ∈ N.


Continuité



f (x) = f (a).




est de classe C n sur ]a, b[. Par exemple dire que f est de classeC 1 signifie que f et dérivable et que sa dérivée f ′ est continue.


pour tout n ∈ N.


Notion de fonctions équivalentes



Soit f , g : I → R et a un point de I ou du bord de I.On suppose que g(x) 6= 0 pour x « proche » de a.



Soit f , g : I → R et a un point de I ou du bord de I.On suppose que g(x) 6= 0 pour x « proche » de a.

Définition

On dit que f et g sont équivalentes en a si :f (x)g(x)

−−−→x→a

1.

On note f ∼a

g ou f (x) ∼a

g(x)



Définition


−−−→x→a

1.

On note f ∼a

g ou f (x) ∼a

g(x)



Définition


−−−→x→a

1.

On note f ∼a

g ou f (x) ∼a

g(x)

Exemple

x − 2x2 ∼0

x



Définition


−−−→x→a

1.

On note f ∼a

g ou f (x) ∼a

g(x)

Exemple

x − 3x3 + 2x6 ∼+∞

2x6



Définition


−−−→x→a

1.

On note f ∼a

g ou f (x) ∼a

g(x)

Exemple

ex − 1 ∼0

x



Définition


−−−→x→a

1.

On note f ∼a

g ou f (x) ∼a

g(x)



Définition


−−−→x→a

1.

On note f ∼a

g ou f (x) ∼a

g(x)

RemarquesI Si f ∼

ag alors g ∼

af .

I Si f ∼a

g et g ∼a

h alors f ∼a

h.

I Si f ∼a

g alors, au voisinage de a, les fonctions f et g ont le mêmesigne.



Définition


−−−→x→a

1.

On note f ∼a

g ou f (x) ∼a

g(x)



Définition


−−−→x→a

1.

On note f ∼a

g ou f (x) ∼a

g(x)

Exemples classiques

Un polynôme est équivalent en 0 à son terme de plus bas degré.Un polynôme est équivalent en ±∞ à son terme de plus haut degré.ex − 1 ∼

0x

ln(1 + x) ∼0

x

(1 + x)α − 1 ∼0

αx



Définition


−−−→x→a

1.

On note f ∼a

g ou f (x) ∼a

g(x)

Exemples classiques

Un polynôme est équivalent en 0 à son terme de plus bas degré.

Un polynôme est équivalent en ±∞ à son terme de plus haut degré.ex − 1 ∼

0x

ln(1 + x) ∼0

x

(1 + x)α − 1 ∼0

αx



Définition


−−−→x→a

1.

On note f ∼a

g ou f (x) ∼a

g(x)

Exemples classiques

Un polynôme est équivalent en 0 à son terme de plus bas degré.Un polynôme est équivalent en ±∞ à son terme de plus haut degré.

ex − 1 ∼0

x

ln(1 + x) ∼0

x

(1 + x)α − 1 ∼0

αx



Définition


−−−→x→a

1.

On note f ∼a

g ou f (x) ∼a

g(x)

Exemples classiques

Un polynôme est équivalent en 0 à son terme de plus bas degré.Un polynôme est équivalent en ±∞ à son terme de plus haut degré.ex − 1 ∼

0x

ln(1 + x) ∼0

x

(1 + x)α − 1 ∼0

αx


Opérations sur les équivalents



Théorème

I Si f ∼a

g et g(x) −−−→x→a

` alors : f (x) −−−→x→a

`.

I Si f (x) −−−→x→a

` 6= 0 alors : f ∼a

`.

I Si f1 ∼a

g1 et f2 ∼a

g2 alors : f1f2 ∼a

g1g2 etf1f2∼a

g1g2

.

I Si f ∼a

g et si α ∈ R alors : f α ∼a

gα.



ThéorèmeI Si f ∼

ag et g(x) −−−→

x→a` alors : f (x) −−−→

x→a`.

I Si f (x) −−−→x→a

` 6= 0 alors : f ∼a

`.

I Si f1 ∼a

g1 et f2 ∼a


g1g2 etf1f2∼a

g1g2

.

I Si f ∼a


gα.





x→a` alors : f (x) −−−→

x→a`.

I Si f (x) −−−→x→a

` 6= 0 alors : f ∼a

`.

I Si f1 ∼a

g1 et f2 ∼a


g1g2 etf1f2∼a

g1g2

.

I Si f ∼a


gα.

Exemple

x(ex − 1

)3 ∼0

x4





x→a` alors : f (x) −−−→

x→a`.

I Si f (x) −−−→x→a

` 6= 0 alors : f ∼a

`.

I Si f1 ∼a

g1 et f2 ∼a


g1g2 etf1f2∼a

g1g2

.

I Si f ∼a


gα.





x→a` alors : f (x) −−−→

x→a`.

I Si f (x) −−−→x→a

` 6= 0 alors : f ∼a

`.

I Si f1 ∼a

g1 et f2 ∼a


g1g2 etf1f2∼a

g1g2

.

I Si f ∼a


gα.

Ne pas additionner les équivalents !





x→a` alors : f (x) −−−→

x→a`.

I Si f (x) −−−→x→a

` 6= 0 alors : f ∼a

`.

I Si f1 ∼a

g1 et f2 ∼a


g1g2 etf1f2∼a

g1g2

.

I Si f ∼a


gα.





x→a` alors : f (x) −−−→

x→a`.

I Si f (x) −−−→x→a

` 6= 0 alors : f ∼a

`.

I Si f1 ∼a

g1 et f2 ∼a


g1g2 etf1f2∼a

g1g2

.

I Si f ∼a


gα.

Théorème

Si f (x) ∼̀ g(x) et u(x) −−−→x→a

` alors : f(u(x)

)∼a

g(u(x)

).





x→a` alors : f (x) −−−→

x→a`.

I Si f (x) −−−→x→a

` 6= 0 alors : f ∼a

`.

I Si f1 ∼a

g1 et f2 ∼a


g1g2 etf1f2∼a

g1g2

.

I Si f ∼a


gα.

Théorème

Si f (x) ∼̀ g(x) et u(x) −−−→x→a

` alors : f(u(x)

)∼a

g(u(x)

).

Exemple

ex2 − 1 ∼

0x2


Application des équivalents pour le calcul de limites



Dans un calcul de limites ne faisant intervenir que des produits et desquotients, on peut remplacer chaque fonction par une fonctionéquivalente.




Exemple

Calcul de limx→0

(x2 + 3x5) ln(1 + x)x

(√1 + 2x − 1

)




Exemple

Calcul de limx→1

( 21− x2

− 31− x3

)


Plan du chapitre


2 Dérivation






Définitions


Définitions

DéfinitionOn dit que f : E → F est bijective si :

pour tout y ∈ F , il existe un et un seul x ∈ E tel que y = f (x).


Définitions



Exemple

f (x) = 2x3 − 3x2 + 1


Définitions



Exemple

f (x) = ex


Définitions



Exemple

f (x) = x3


Définitions




Définitions



DéfinitionSoit f : E → F bijective.

Alors il existe une application f−1 : F → E , appelée l’applicationréciproque de f caractérisée par

y = f (x) ⇐⇒ x = f−1(y).


Définitions



DéfinitionSoit f : E → F bijective.Alors il existe une application f−1 : F → E , appelée l’applicationréciproque de f

caractérisée par

y = f (x) ⇐⇒ x = f−1(y).


Définitions



DéfinitionSoit f : E → F bijective.Alors il existe une application f−1 : F → E , appelée l’applicationréciproque de f caractérisée par

y = f (x) ⇐⇒ x = f−1(y).


Définitions


pour tout y ∈ F , il existe un et un se

Documents

Site de Sébastien Pellerinsebastien.pellerin.free.fr/fichiers/GMP-S1/chapitre1-amphi.pdf · Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements