Transfert de chaleur - Conduction

7/30/2019 Transfert de chaleur - Conduction

1/60

1EMI - M. TAHA JANAN

Position du problme

=+++

=+++

=+++

mmmn22n11n

2mm2222112

1mm1221111

bxaxaxa

.

.

.

bxaxaxa

bxa......xaxa

Rsoudre le systme suivant :

RESOLUTION NUMERIQUES DE

SYSTEMS LINEAIRES D'EQUATIONS

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Ecriture matricielle

Rsoudre le systme suivant bxA =.

A : matrice (non forcment carre)

)(

......

.....

......

.....

......

.......

......

321

321

33333231

22232221

11131211

ij

nmnjnnn

imijiii

mj

mj

mj

a

aaaaa

aaaaa

aaaaa

aaaaa

aaaaa

A =

=

b : vecteur

colonne secondmembre

x : vecteur

colonne desinconnues

=

mx

xx

x

x

.

.

3

2

1

=

nb

bb

b

b

.

.

3

2

1

Le systme est linaire lorsque la matrice A

ne dpend pas des composantes xi du vecteur

des variables

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On distingue 3 cas :

Systme surdtermin (n>m)

Systme de Cramer (n=m)

Systme sous dtermin (n


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A.1. Mthode de Cramer : )(Adt=

Si 0 : solution unique

= iix i = 1 n

Si 0= : deux cas

Tous les i sont nuls : une infinit de solutions

Au moins un des nest pas nul : pas de solutioni

Mthode utilisable lorsque le nombre dquations est petit

Inconvnients majeurs :

- mthode difficile programmer

- temps dexcution trs lev

A- Mthodes directes

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Nombre doprations :

On a (n + 1) dterminants calculer et n divisions.

Pour chaque dterminant on a :

n! n multiplications et n! 1 additions.

Nombre doprations ncessaires :(n + 1) n! n multiplications.

(n + 1) (n! 1) additions

n divisions

soit au total TC = (n + 1)2 n! 1 oprations.

Pour n = 5 TC = 4319 oprations

Pour n = 10 TC = 439 084 799 ~ 4. 108 oprations

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A.2. Mthode de rsolution par inversion de A :

tC

AA

)det(

11 =

o C t est la matrice des cofacteurs.

Nombre doprations de la mthode :

T2 = n! (n2 + n + 1) + 3 n2 n.

Pour n = 5 TC = 3790 oprations

Pour n = 10 TC = 402 797 090 ~ 4 108 oprations

La mthode a les mmes inconvnients de celle de Cramer

bAxbxA .. 1==

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l h di


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A.3. Mthode de Gauss :

Prambule : Rsolution des systmes triangulaires.

Systme triangulaire suprieur.

=

=+

=++

=+++

nnnn

nn1)-n(1)-n(1)-n(1)-n(

2nn2222

1nn1221111

bxa

xaxa

0

bxa......xa

bxa......xaxa

La matrice associ A est triangulaire suprieure

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l h di


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Systme triangulaire infrieur.

=+++

=+

=

nnnn22n11n

2222112

1111

bxa......xaxa.

.

.

bxaxa

bxa

La matrice associ A est triangulaire infrieure

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La rsolution des deux systmes se fait de proche en proche.

Pour le deuxime systme on a :

11

1

1

abx = i = 2,. . ., n.

Nombre doprations :

n divisions

1 + 2 + 3 + + ( n 1 ) =

2

)1n(n multiplications

1 + 2 + 3 + + ( n 1 ) =2

)1n(n additions

Soit au total Tt = n2.

ii

j

1i

1j

iji

ia

xab

x

=

=

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Mthode de Gauss, principe :

A laide dun dun algorithme dlimination convenable, cette mthode

transforme le systme en une suite de systmes quivalents (ont mmessolutions) dont le dernier est triangulaire.

la procdure de rsolution se fait alors en deux tapes :

triangularisation par limination.

rsolution du systme triagulaire quivalent.

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Premire tape : triangularisation par limination.

1re limination : Supposons que a11

0, sinon on permute les lignes.

11

i1

i1

a

ag = a11 est appel le pivot et la ligne l1, ligne de pivot de

la premire limination.

Pour i = 2, 3, , n, remplaons la ligne li par li gi1.l1

Le systme devient :

=+++

=+++

=+++

)2(

nn

)2(

nn2

)2(

2n

)2(

2n

)2(

n22

)2(

22

1n

n1221111

bxa......xa0

.

.

.

bxa......xa0

bxa......xaxaAvec

j11iji

2)(

ji agaa =

i , j = 2, . . ., n

11ij

2)(

i gb bb =

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2ime limination

On applique le procd au systme form des (n 1) dernireslignes : a22pivot et l2 ligne de pivot.

Les xi ninterviennent pas dans les liminations. On considre

alors la matrice n x ( n + 1 )

Remarque

== b)(A,A

~

+

+

+

)1n(n

)1n(2

)1n(1

nnn2n1

2n2221

1n1211

a

a

a

a..aa

.

.

.

a..aa

a..aa

www.a o a d ss.co

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Algorithme de la mthode de Gauss ( kime limination )

++=+==

+===+

+

1,...,1,...,1

1,...,1,...,11

1

nkjnkiagaa

njkiaak

jkki

k

ji

k

ji

k

ji

k

ji

O)k(

k

)k(

ki

ki

aag

k

= i = k + 1, . . ., n. Les autres lments sont nuls.

2

ime

tape : Rsolution du systme triangulaire

Nombre doprations de la mthode de Gauss :6

794 23 nnnTG

+=

n = 5 TG = 115 ; n = 10 TG = 805

Pour des raisons de stabilit, on a intrt chaque tape de llimination

bien choisir le pivot tel que soit le plus grand possible.)( k

kka

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Exemple 1 :

On se propose de dterminer la solution du systme suivant par lamthode de Gauss :

=+

=+

=

13

32

232

zyx

zx

zy

Matrice augmente

1311

3102

2320

On remarquera tout de suite que le premier pivot est nul :

Il faudra changer la ligne 1 avec une autre, soit la troisime

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2320

3102

1311

l2-2l1

2320

1520

1311

l2/2

2320

2/12/510

1311

l3-2l2

1200

2/12/510

1311

l3/2

2/1100

2/12/510

1311

z = 1/2 y = 7/4 x=5/4

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Exemple 2 :

Soit infiniment petit ( par exemple = 10-6 )

=+

=+

2yx

1yx

=

211

11A~ )1(

Pivot a11 =

= 1-1-

)2(

-2-10

11

A~

1

1

1

2

6

6

101

102

Ce qui donne y = = 1 ; x =

y1 = 0.

Or

1

0nest pas solution du systme.

=

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=+

=+

1yx

2yx

= 11

211

A

~ )1(

Pivot a11 = 1

=

2-1-10211A~ )2(

1

21

6

6

101

1021

Ce qui donne y = = = 1 ; x = 2 - y = 1

11 est bien une solution prs.

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Exercices dapplication :

1) Rsoudre le systme linaire :

=++

=++

=++

25322

37532

10

zyx

zyx

zyx

)k(

kka { }n.,..k,ia )k(

ki=

)k(

kka { }n.,..k,,ia )k(

ji=j

Pour le choix du pivot deux stratgies sont possibles

La mthode du pivot partiel : = max

La mthode du pivot total :

= max

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=

25322

37532

10111

~ )1(A

Pivot a11

= 1. g21

= g31

=

1

2= 2.

=

5100

17310

10111~ )2(A

z = 5 ; y = 17 - 3 z = 2 et x = 10 y - z = 3.

La solution du systme est

5

2

3

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=++

=++

=++

203772142

270235

72

zyx

zyx

zyx

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=

203772142

270235

72111~ )1(A

1

5

1

42Pivot a11 = 1. g21 = = 5 ; g31 = = 42.

=

3024203735210

360270320

72111

~ )2(A

=

98735210

90320

72111

)2(

22a

2

21Pivot = - 2. g

32=

+

=

22190987

2633500

90320

72111~ )2(A

=

422700

90320

72111

7

84

2

390 zz = = 12 ; y = = 27 et x = 72 y z = 33.

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A.4. Mthode de Gauss-Jordan

Principe :

Diagonaliser la matrice

A du systme par

limination.

=

+

+

+

)1n(n

)1n(2

)1n(1

nnn2n1

2n2221

1n1211

)1(

a

aa

a...aa

.

.

.

a...aaa...aa

A~

1re tape

Normalisation : on

divise l1par a11.

+

+

+

)1n(n

)1n(2

11

)1n(1

nnn2n1

2n2221

11

1n

11

12

)'1(

a

a

a

a

a..aa

.

.

.

a..aa

a

a..a

a1

~A

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Rduction : on remplace lipar li - ai1 li pour i > 2.

=

+

+

+

)2(

)1n(n

)2(

)1n(2

11

)1n(1

)2(

nn

)2(

n2

)2(

2n

)2(

22

11

1n

11

12

)2(

a

a

a

a

a..a0

.

.

.

a..a0

a

a

..a

a

1

~A

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2me tape

)2(

22a

)2(

i2a

Normalisation : on divise l2par

Rdution :

on remplace lipar li - l2

=

+

+

)3()1n(n

)3()1n(2

)3(1n

)3(nn

)3(2n

)3(1n

)3(

a

a

a

a..00

.

.

.

a..10

a..01

A

A la nime limination le

systme quivalent est

diagonal.

=

+

+

+

)n(

)1n(n

)n(

)1n(2

)n(

)1n(1

)(

a1

a

a

0

01

1

~ nA

pour tout i

2.

Do les solutions :)n(

)1n(ii ax += pour i = 1, 2, . . . , n.

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Lalgorithme de Gauss Jordan est :

1n,...k,jn1,...,k1,k,...1,iaga )k(jkki

)k(

ji

)1k(

ji+=+==+a

Exercices dapplication :


=++

=+=++

11633

2220331

zyx

yxzyx

=

11633

2022

0331~ )1(A

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Normalisation Rduction

l1 :

11633

2022

0331

11360

2640

0331

113602

1

2

310

0331

86002

1

2

310

2

3

2

301

l2

3

4100

2

1

2

310

2

3

2

301

3

4100

2

5010

2

7001

l3

2

7

2

5

3

4La solution est x = ; y = - ; z =

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=

=++

=+

10232

1023

52

zyx

zyx

zyx

=

10232

10123

5211

~ )1(A

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10232

10123

5211

20610

5550

5211

20610

1110

5211

21700

1110

4101

3100

1110

4101

3100

2010

1001

l1

l2

l3

La solution est ( 1 , 2 , 3 )t.

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=++

=++

=++

1122

21432

2865

zyx

zyx

zyx

=1122121432

28651~ )1(A

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11221

21432

28651

17430

35270

28651

l1

17430

57

810

28651

2

7

400

57

810

37201

l2

l3

2

7100

57

810

37

201

2

7

100

1010

2001

La solution est ( 1 , 2 , )t.2

7

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=++

=+

=++

522

1

3

zyx

zyx

zyx

=++

=+

=++

922

2

6

zyx

zyx

zyx

=

9

2

6

5122

1111

3111

~ )1(A

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32/60


9

26

5122

11113111

5

4

6

3140

2020

3111

5

2

6

3140

1010

3111

3

24

1100

10102101

3

2

4

1100

1010

2101

3

2

1

1100

1010

1001

l1

l2

l3

Les solution sont ( 1 , 1 , 1 )t et ( 1 , 2 , 3 )t respectivement.

A li i I i d i

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33/60


Application : Inversion dune matrice

Linversion dune matrice peut tre recherche en posant :

bIxA .. = bAxI .. 1=

Matrice augmente :

10000

0000

0000100

0000010

0000001

......

...

......

...

.....

......

......

321

321

33333231

22232221

11131211

nnnjnnn

inijiii

nj

nj

nj

aaaaa

aaaaa

aaaaa

aaaaa

aaaaa

Processus de Gauss-Jordan :

A I I A-1

i d li i

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34/60


Exercice dapplication

Calculer la matrice inverse de A = 43

12

( A , In ) =

1043

0112

1043

02

1

2

11

1

2

3

2

50

02

1

2

11

L1 :

5

2

5

310

02

1

2

11

5

2

5

310

5

1

5

401

L2 :

5

1

23

14Do A -1 =

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A5 Factorisation

Principe :

Dcomposer la matrice A en facteurs faciles inverser : matrices triangulaires

Factorisations LU

U : Matrice triangulaire suprieure

L : matrice triangulaire infrieureOn pose A=L.U

A d d i i L i l i i i l

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36/60


A admet une dcomposition L U ssi les mineurs principaux sont non nuls

det( A ) = det( L ) det( U ) 0 ( car A est inversible ).

donc L et U sont inversibles

L et U sont uniques.

Rsolution : A x = b quivalent L U x = b

Nous sommes emmen rsoudre 2 systmes triangulaires :

=

=

yxU

byLL.y = b systme triangulaire infrieur

U.x = y systme triangulaire suprieur

Nombre doprations : TLU = (n3/3 - n/3) + n2 .

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A.5.1. Mthode de Crout :

Les uii sont gaux 1

A titre dexercice :

Dterminer les expressions de L et U.

=

nnnjnnn

ijiii

lllll

llll

lll

ll

l

L

......

.....0......

.....

0...0...

0....0...0

0...0...00

321

321

333231

2221

11

=

1...0...000

.....

......000

.....

......100

.......10

......1

33

2223

111312

inij

nj

nj

nj

uu

uu

uuu

uuuu

U

A 5 1 Mthode de Crout : formules de calcul

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38/60


A.5.1. Mthode de Crout : formules de calcul

=

1...0...000

.....

......000.....

......100

.......10

......1

......

.....

0......

.....

0...0...

0....0...0

0...0...00

.

33

2223

111312

321

321

333231

2221

11

inij

nj

nj

nj

nnnjnnn

ijiii uu

uu

uuu

uuuu

lllll

llll

lll

ll

l

UL

li1= ai1

n,2,jj,il

ulau

n,1,ii,julal

ii

1i

1k

kjikij

ij

1j

1k

kjikijij

K

K

=

=

==

=

=

On dtermine la colonne des l et puis la ligne correspondantes des u

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39/60


Exemple

=

100110

3/23/11

13/4203/71

003

122321

213

A 5 2 M h d d D li l

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40/60


A.5.2 Mthode de Doolittle

Identique celle de Crout mais avec ici lii = 1.

=

1......

.....

0...1...

.....

0...0...1

0....0...01

0...0...001

321

321

3231

21

njnnn

iii

llll

lll

ll

l

L

=

nn

in

nj

nj

nj

u

u

uuu

uuuu

uuuuu

U

...0...000

.....

......000

.....

......00

.......0

......

3333

222322

11131211

Nombre doprations : TD = 2n3/3+2n2

A 5 2 M h d d D li l f l d l l

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41/60


A.5.2 Mthode de Doolittle formules de calcul :

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42/60


Pour k = 1 n

pour j = k n :

=

=1

1

k

r

rjkrkjkj ulau

pour i = k +1 n

=

=

1

1

1 k

rrkirik

kkik ulaul

On dtermine dabord la kime ligne de U, puis la kime colonne de L

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A.5.3. Dcomposition de Cholesky

Dfinition : Matrice dfinie positive :

Une matrice A est dfinie positive lorsque pour tout vecteur x non nul de

Rn on a xt.A.x > 0.

PripritA dfinie positive ssi Tous les mineurs diagonaux > 0.

Mthode de Cholesky :

Une matrice symtrique dfinie positive peut tre dcompose comme suit :

tLLA =

L : matrice infrieure

Lt : transpose de L

Nombre doprations : TCh = n3/3 + n2 +8n /3-2 ~ moiti LU

Exercice : Etablir les expressions des lments de L.

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A.5.3. Dcomposition de Cholesky dtermination des lij

Pour i = 1 n

=

=1

1

2i

k

kiiiii lal

pour j = i +1 n

=

=

1

1

1 i

k

kikjij

ii

ij llal

l

B Mthodes itratives

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Mthode itrative :

Pour rsoudre un systme Ax=b o A est une matrice (n,n) et b ,

on construit des suites

qui vrifient la relation:

nIR

{ (p) np IN

x dans IR

(p+1) (p)x = Mx + c

M matrice (n,n) et c tant dfinis partir de A et b.nIR

Dans la suite, A est suppose relle et rgulire.

B- Mthodes itratives

Description des mthodes usuelles

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Description des mthodes usuelles

A partir d un vecteur x(0) quelconquepris dans , on construit la suite de

vecteurs x(p) dans suivant les formules:nIR

nIR

n(p+1) (p)

i iji jii j 1

j in

(p+1) (p) (p)i iji i j

ii j 1

1(1) i 1.....n x (b a x )

a

1(2) i 1.....n x x (b a x )

a

=

=

= =

= = +

1. Mthode de Jacobi

a) par points

Remarque: La mthode ne peut tre mise en uvre que si

iia 0, pour i=1 n

b) bl

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b) par blocs

Le systme Ax=b est crit sous la forme par blocs suivante

11 12 1j 1r1 1

21 22 2 j 2r 2 2

i ii1 i2 ij ir

r rr1 r2 rj rr

A A A A X B

A A A A X B

X BA A A A

X BA A A A

=

L L

L L

M MM M M M

L L

M MM M M M

L L

Pour i=1 r ,Aii sont des matrices carres (mi,mi) supposes inversibles. On a

donci im m

i iX IR et B IR .

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La formule par points (1) stend en une formule par blocs de la faon

suivante

r1

ii i iji j

j 1j i

(3) i=1,.....,r X A (B A X )

=

= (p)(p+1)

Si mi=1, pour i=1 r, les matrices Aii se rduisent des scalaires et la

mthode par blocs concide avec la mthode par points.

2. Mthode de Gauss-Seidel

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a) par points

Au lieu dattendre une itration entire comme il est fait dans la mthode de

Jacobi, on corrige au fur et mesure.

11 1 12 2 1n n 1

i1 1 ii 1 i 1 ii i ii 1 i 1 in n i

n1 1

.....

.......................

..........................

.......

a x a x a x b

a x a x a x a x

...................

. a........

....

x b

a x .

+ +

+ + + =

+ + + + =

+

(p) (p)

(p) (p)

(p+1)

(p+1) (p+1) (p+1)

(p+1)

M

M

nn 1 n 1 nn n na x a x. b

+ + =

(p+1) (p+1)

On tire de lquation ni, les valeurs des autres composantes tant fixes pour ji.

ix(p+1)

jx(p+1)

jx(p)

On obtient alors les formules:

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Comme pour Jacobi, la mthode ne peut tre mise en uvre que si

iia 0, pour i=1 n

On obtient alors les formules:

i 1 n

i ij iji j jii j 1 j i 1

i 1 n

i ij iji i j jii j 1 j i

1(4) i 1.....n x (b a x a x )a

1(5) i 1.....n x x (b a x a x )a

= = +

= =

= =

= = +

(p+1) (p+ (1)

(p+1)

p)

(p) (p)(p+1)

b) par blocs

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b) par blocs

On reprend la dcomposition par blocs introduite pour la mthode de Jacobi.

La formule par points (4) stend en une formule par blocs de la faon

suivante

i 1 r1ii i ij iji j j

j 1 j i 1

(6) i=1,.....,r X A (B A X ) A X )

= = +

= (p)(p+1) (p+1)

I-3 mthode S.O.R. par points

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En vue dacclrer la convergence de la mthode de Gauss-Seidel, on introduitun paramtre rel

i 1 n

i ij iji i j jii j 1 j i 1

i 1 n

i ij iji i j j

ii j 1 j i

(7) i 1...n x (1 )x (b a x a x )a

(8) i 1...n x x (b a x a x )a

= = +

= =

= = +

= = +

(p) (p)

(p) (p)

(p+1) (p+1)

(p+1) (p+1)

: pondration

Si =1 "S.O.R.=Gauss-Seidel"

R

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Remarques:

a) la mthode ne peut tre mise en uvre que si

iia 0, pour i=1 n

b) On peut aussi dfinir une mthode S.O.R. par blocs.

c) En pratique, doit tre pris dans . Cest une condition

ncessaire de convergence.

] [0,2

I-4 Test d arrt

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I 4 Test d arrt

Les mthodes directes le sont au sens o elles fournissent la solution dusystme en un nombre fini doprations lmentaires.

Par contre, Jacobi,Gauss-Seidel et S.O.R. sont des mthodes itratives .

Pour dterminer quand on arrte litration, il faut introduire un test darrt

bas sur un critre permettant destimer si on est proche de la solution.

Par exemple, le plus simple est un test sur le rsidu.

(p)Ax - b

est une norme sur et un rel positif petit choisir en fonction

du problme

nIR

Ecritures matricielles

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A=D-E-F D : partie diagonale de AE : oppos de la partie infrieure de A

F : oppos de la partie supieure de A

(p 1) (p)

x x bavec (

)

+

= ++ =

-1

--1 1EDJ D(9)

J = AF I - DJacobi

(p+1) (p) -1x = x + ( ) b

avec

-1

D

D

- E(10)

= ( - )E F

1

1

L

L

Gauss-Seidel

(p+1) (p) -1x = x + (D - E) b

avec [(1- + ]

-1ED D

(11)= ( - ) F

L

L )

S.O.R

Convergence des mthodes itratives

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Dfinition :

Soit A une matrice(n,n) valeurs relles ou complexes.

On dit que A est diagonale strictement dominante si

n

ii ij

j=1j i

a > a i = 1 n

Lemme de Hadamard:A diagonale strictement dominante A rgulire

Convergence des mthodes itratives

Thorme 3

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Thorme 4 (Kahan)La matrice ditration de S.O.R. par points ou par

blocs vrifie La mthode S.O.R. n est

donc pas convergente si .

( ) 1 . L

] [0,2

Thorme 3

Les mthodes de Jacobi et Gauss-Seidel par points pourrsoudre un systme de matrice diagonale strictement

dominante sont des itrations linaires convergentes.

Lw= (D-E)-1[(1-)D+F]

Exemple :

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Soit rsoudre le systme suivant :

=+

=++

=+

31123

1972

34

zyx

zyx

zyx

( )( )

( )

+=

=

+=

+

+

+

12/331

7/219

4/3

)()()1(

)()()1(

)()()1(

ppp

ppp

ppp

yxz

zxy

zyxJacobi :

0000

zyxitration

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Avec (x,y,z)(0)= (0,0,0,)

32117

32116

32,000000021,0000000115

3,000000011,999999990,9999999414

2,999999842,00000011,0000001113

2,999999761,99999930,9999997812

2,9999991221,0000028911

3,000006891,999995310,9999965510

3,000016482,000030281,000008179

3,000054222,000021550,999866898

2,999707982,00024041,000070597

2,999000421,998718060,999658376

2,996683531,998050041,006145045

3,011647891,987067741,001000924

3,05629962,052295921,01711313

3,199404762,130952380,71726192

2,583333332,714285710,751

( )( )

+=++

+

7/219

4/3

)()1()1(

)()()1(

ppp

ppp zyx

G S id l

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( )

( )

+=

=

+++

++

12/331

7/219

)1()1()1(

)()1()1(

ppp

ppp

yxz

zxyGauss-Seidel :

3219

321,0000000028

2,9999999961,9999999871,0000000147

3,0000000672,0000000130,9999992366

3,0000014382,0000044950,9999962265

2,9999760861,9999911821,0002605184

2,9995406911,9984986181,0010075643

3,0084945442,0044642860,9114583332

3,1458333332,50,751

0000

zyxItration

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Transfert de chaleur - Conduction