Transfert de Chaleur Par Rayonment

7/21/2019 Transfert de Chaleur Par Rayonment

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1

UUNNIIVVEERRSSIITTEE AABBDDEELLMMAALLEEKKEESSSSAAAADDIIFFaaccuulltt ddeess SScciieenncceess BB..PP 22112211 TTttoouuaann

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FFaaccuulltt ddeess SScciieenncceess TTttoouuaann

Cours de rayonnement thermique

Pr. Abdelaziz MIMET


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Chapitre I : Description des proprits rayonnantes des corps

I.1 Rayonnement Thermique

Le rayonnement thermique constitue lun des trois mcanismes par lesquels de

lnergie calorifique peut schanger entre corps tempratures diffrentes.

Le spectre des radiations lectromagntiques comprend les ondes radio, les micro-ondes,

les rayons X, les rayons gamma et certains rayons cosmiques.

Nous allons tudier uniquement le rayonnement thermique :

qui rsulte de lmission, par tous les corps au dessus de zro absolu, dondes

lectromagntiques, du fait de leur temprature, ou de lagitation molculaire et atomiqueassocie leur nergie interne calorifique.

La temprature joue donc le mme rle que le potentiel lectrique vis--vis dun

dplacement de charges lectriques (courant lectrique).

I.2. Nature du rayonnement thermique :

Deux thories, apparemment inconciliables, ont permis dexpliquer les phnomnes lis au

rayonnement en gnral :

La thorie ondulatoire lectromagntique de Maxwell, complte par Lorentz La thorie corpusculaire de Planck, reprise par Einstein


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On peut dcrire certains phnomnes de rayonnement par la thorie ondulatoire et

dautres par la thorie des quanta, mais aucune de ces thories nexpliquent

compltement toutes les observations exprimentales.

Pour lingnieur, il nest pas important de connatre la nature exacte du rayonnement

thermique. Nous utiliserons surtout la thorie ondulatoire parcequelle est la plus utile

dans les calculs de lingnieur.

Nous associons, une onde lectromagntique de frquence , un photon qui est une

particule de charge et de masse nulles et possdant une nergie E=h

h : constante de Planck valant 6.626 10-34J.S

: frquence en Hz

Lorsquon chauffe un solide, dans les tats de vibration des molcules et atomes

provoquent lmission dondes lectromagntiques distribues dans un domaine de

longueur donde compris entre 0,1 et 100 m.

La propagation de lnergie rayonne par un corps chaud est donc un phnomne

ondulatoire. La propagation se fait sous forme dondes lectromagntiques dont la vitesse

de propagation dans le vide est c = 3.108 m/s.

Le domaine des longueurs donde du rayonnement thermique comprend donc le spectre

visible (0,4 0,8 m), maispratiquement la plus grande partie de lnergie mise se trouve

dans linfrarouge et est donc invisible.

Dans notre cas, on ne sintresse quau transfert thermique par rayonnement. Engnral, tout corps dont sa temprature est suprieure au zro absolu peut jouer le rle


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dune source (met, sans interruption, un rayonnement thermique) et dun rcepteur.

Entre les trois modes de transferts thermiques existent des diffrences

fondamentales :

- le flux chang par rayonnement entre deux corps dpend normment du niveau de

tempratures : en fait, il dpend de la diffrence des tempratures absolues (Kelvin) des

deux corps, leves une puissance 4.

- En conduction et en convection, lchange dpend de la simple diffrence des

tempratures leves la puissance unit (comme en convection naturelle o la puissance

est 1,25).

On peut conclure que le transfert dnergie par rayonnement est particulirement intense

aux tempratures leves (fours, chambre de combustion, tuyre de fuse, ), mme

basse temprature, le rayonnement joue souvent un rle non ngligeable : dans les

radiateurs domestiques eau chaude par exemple (environ 80C).

Autre diffrence importante entre les mcanismes de transfert thermique :

Le rayonnement thermique, contrairement aux deux autres mcanismes, na besoin

daucun autre milieu entre les corps considrs (aucun support matriel solide ou fluide).

I. 3. Le spectre lectromagntique :

La matire met des ondes lectromagntiques sous leffet de diverses

excitations.

Le spectre des ondes lectromagntiques se manifeste sous divers aspects :

hertziennes, lumineuses, thermiques, rayons X, rayons et certains rayons

cosmiques (voir figure).

La vitesse de propagation des ondes lectromagntiques, ou clrit est la

mme que celle de la lumire, soit dans le vide C0=2,998.108

m/s.


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Dans un milieu matriel, la vitesse est infrieure C0, et donne par :n

CC

0 .

Avec n>1 : lindice de rfraction du milieu considr.

Ces ondes sont caractrises, soit par une longueur donde, soit par une

frquence,

Elles sont lies par la relation :

C

.

Il est important de savoir que fondamentalement, une radiation est caractrisepar sa frquence (

0

0C

),

Elle reste constante au cours de rflexion, diffusion, rfraction, c..d au

cours de ses interactions avec la matire, mme lorsquune radiation change de

milieu.

Mais change dans ce dernier cas cause de la variation de la vitesse selon lemilieu (

n

0 ).

0 est la longueur donde dans le vide

n est la longueur donde dans un certain milieu


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I. 4. Le spectre thermique :Nous tudierons ici uniquement le spectre thermique,

Celui qui rsulte de lmission, par tous les corps, au dessus du zro absolu,

dondes lectromagntiques, du fait de leur temprature, qui est due

lagitation molculaire et atomique associe leur nergie interne calorifique.

Ce rayonnement noccupe quune trs faible portion du spectre des ondeslectromagntiques comprise entre 0,1 et 100 m.

Cette zone est dlimite par les ultraviolets (UV) du ct de courtes longueurs

donde et les infrarouges (IR) du ct de grandes longueurs donde. Dans cette

plage, nos sens sont capables de dtecter la chaleur diffuse.

Le rayon devient perceptible lil (rayonnement thermique visible) dans le domaine

du visible entre 0,4 et 0,8 m.

Tout corps joue le rle de source (met, un rayonnement thermique) et de

rcepteur (le reoit dautres corps).

Pour fixer les ides, lmission dun corps noir 1500C se trouve pratiquement entre

0,6 et 20 m, et est donc presque compltement dans linfrarouge. Quant au rayonnement

solaire (avant de traverser latmosphre terrestre), il est compris (pour environ 99%) entre

0,1 et 4 m, un peu moins de la moiti de lnergie mise se trouve dans le spectre visible,

le maximum ayant lieu pour 0,5 m.


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Le mcanisme complet de lchange thermique par rayonnement est le

suivant :

Une transformation dnergie calorifique en un rayonnementlectromagntique (mission) par le corps-source, qui peut tre un solide,

liquide ou gaz.

Un parcours de rayonnement travers le vide, un milieu transparent(lair), ou semi-transparent (H2O, CO2, ).

Une interaction de ce rayonnement avec des sparateurs opaques, o il seconvertit, en partie et par absorption en nergie calorifique (augmentation

de son nergie interne), ou est rflchi en gardant son caractre dondes

lectromagntiques.


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I.5. Classification des corps du point de vue rayonnement :

I.5.1. Corps diathermane :

Cest un corps qui se laisse au moins partiellement traverser par

lnergie rayonnante : fumes, gaz, verre,

Si pendant sa propagation travers un tel milieu, lnergie

radiante se transforme partiellement en chaleur: on dit quelle est

absorbe. Un tel milieu est appel semi-transparent.

Un corps parfaitement diathermane est travers compltement parle rayonnement, sans absorption, mme partielle.

Le vide parat tre le seul milieu parfaitement diathermane bien quen

pratique, on considre souvent lair sec, ou lair humide sous de faiblespaisseurs.

Chaque particule situe l'intrieur d'un corps diathermane met

de l'nergie radiante. C'est notamment le cas des flammes. On a alors

affaire des phnomnes de volume.


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I.5.2 Corps athermane:

Un milieu est dit athermane sil est opaque tout rayonnement

dans la gamme des du rayonnement thermique.

Comme dans ce cours, on ne considre que lnergie thermique,on peut qualifier une plaque dacier dathermane (bien quelle soit

traverse par les rayons X ou les rayons cosmiques).

En gnral, le transfert de chaleur par rayonnement comprend trois

phases :

- lmission ou transformation dnergie dagitation molculaire en

ondes lectromagntiques (nergie de vibration, rotations, nergielectronique, en nergie des photons).

- La propagation de cette onde lectromagntique dans le diathermaneinterpos.

- Labsorption ou transformation totale ou partielle de londelectromagntique en chaleur (conversion inverse dnergie radiative

en nergie matrielle). Nous allons caractriser les corps vis--vis deces trois phases par diffrentes grandeurs que nous allons dfinir dans

ce cours.


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Rappels : Angles solides :

Un angle solide est l'analogue tridimensionnel de l'angleplan. Onle note souvent (omga majuscule)

Au lieu de deux lignes se runissant un sommet, on a besoin

d'une figure tridimensionnelle qui se runit en un point, c'est--

dire un cne.

Les bons exemples de tels objets sont le cne de rvolution ou lapyramide, mais on peut prendre n'importe quel objet form par les

droites passant par un point et s'appuyant sur le contour d'unesurface ferme, quelle que soit sa forme (elle n'est en particulier

pas ncesssairement plane).
http://fr.wikipedia.org/wiki/Anglehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Om%C3%A9gahttp://fr.wikipedia.org/wiki/C%C3%B4ne_%28g%C3%A9om%C3%A9trie%29http://fr.wikipedia.org/wiki/Pyramidehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Image:Angle_solide_definition.pnghttp://fr.wikipedia.org/wiki/Pyramidehttp://fr.wikipedia.org/wiki/C%C3%B4ne_%28g%C3%A9om%C3%A9trie%29http://fr.wikipedia.org/wiki/Om%C3%A9gahttp://fr.wikipedia.org/wiki/Angle


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Un angle se mesure par rapport la longueurCde l'arc sur uncercle de rayon unit (la circonfrence de ce cercle vaut 2) ; sil'on prend un cercle de rayonRquelconque, on prend pour angle

= C/R.

De la mme manire, un angle solide se mesure par rapport

l'aire Sde la surface d'une sphre de rayon unit (l'aire de cette

surface vaut 4 ). Si le rayonR de la sphre est quelconque, on

prend pour mesure = S/R2.


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13


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I.6. Proprits caractrisant lmission dun corps :

On peut classer les grandeurs physiques selon deux critres indpendants :

- soit la composition spectrale du rayonnement : suivant que lon sintresse un intervalle

troit d centr autour dune longueur donde (grandeur monochromatique), ou lensemble du spectre du rayonnement thermique (grandeur totale).

- soit la distribution spatiale (directionnelle) du rayonnement : si on sintresse une

direction particulire, la grandeur sera qualifie de directionnelle, tandis quelle est

hmisphrique lorsqu'elle concerne lensemble des directions de lespace dans lesquelles

un lment de surface peut rayonner ou recevoir du rayonnement.

Rem : le qualificatif total ou hmisphrique est facultatif.

I.6.1. Grandeurs relatives aux surfaces mettant un rayonnement :

I.6.1.1. Flux total dnergie mis par une source :

Un corps port une certaine temprature convertit son nergie interne (nergie

microscopique) en rayonnement thermique.

Le flux total nergtique mis par un corps de surface S est l'ensemble de toute

lnergie rayonne par cette surface, par unit de temps. On envisage donc toutes les

directions d'missions possibles, tous les points de la surface et toutes les longueurs d'onde.

Le flux total s'exprime comme une puissance en Watt.


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I. 6.1.2. Emittance totale :

Cest le flux total mis par unit de temps et de surface de la source. On considre la

puissance dmise par un lment de surface dS dans lensemble des directions o il peut

rayonner.

Lmittance M est dfinie par :dS

d

S0S

limM

(W/m2)

: le flux nergtique rayonn parS dans toutes les directions.

La limite deS

lorsque S0 est donc le flux de chaleur rayonne par unit de surface

en un point P ou densit de flux de chaleur.

I.6.1.3. Luminance :

Nous allons maintenant dfinir une grandeur permettant de caractriser commentvarie dans lespace le rayonnement mis par une surface solide : soit

Pour tudier la rpartition de lnergie radiante mise par une surface, en fonction de la

direction, on est conduit la notion de luminance : cest le flux total mis en un point o de

la surface dans une direction ox rapport lunit de surface normale ox et dans un angle

solide unitaire, dirig suivant ox.

cosdSd

d

cosS

ox

0S,lim

'S

ox

0'

S,

limL ox2

ox

(W/sr.m2).

Rem : Langle solide dest la surface intercepte, sur une sphre de rayon unit, par une

dS

dS'

S

xLox

Iox

n


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surface conique dont le sommet est plac au centre de cette sphre.

Lexprience montre que la luminance dpend de :

- la nature du matriau constituant le corps- ltat de surface de la source- la temprature de la source- la direction ox considre- les dimensions de la surface- la longueur dondeOn constate en effet, par exemple, qu la mme temprature et dans la mmedirection lacier poli met plus que laluminium poli, quun mtal oxyd met plus que le

mtal poli la mme temprature, que les matriaux mettent dautant plus que leur

temprature est plus leve.

I.6.1.4. Intensit dune source :

Lintensit dune source de surface dS dans une direction donne est la puissancemise, dans une direction, par unit dangle solide centr sur cette direction :

cosdSLd

dox

0

limI oxox

ox

(W/sr).

I.6.1.5. Rpartition spectrale de lnergie rayonne :

Toutes les proprits prcdentes se rapportent un rayonnement total, quelque soit

sa rpartition spectrale. Il peut tre utile de caractriser lnergie mise par un corps dans

un intervalle lmentaire de longueur donde (, +d).

Soit , le flux monochromatique mis par la longueur donde est gale

d

)(davec

0 d)(

- La luminance monochromatique :

dcosdSd

)(d

cosS

)(limL

0S 0

0

dS

dR1


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18

Comme2

112

D

cosdSd

2

21212

2

D

dSdScoscosd

Lclairement de dS1 sera donc :2

2212

1

2

D

dScoscosL

dS

dE

I.6.2.3. Loi de Lambert :

Pour certains corps, quon appelle lambertiens , la luminance une temprature

donne, est la mme dans toutes les directions x. On dit quils mettent de faon isotrope

ou diffuse.

Dans ce cas, Lox=L : la loi de Lambert exprime que la luminance, quelque soit les valeurs

de et T, est indpendante des angles dmission.

Donc : dS

I

cosdS

IL

onox

(dans la direction On normale la surface).

I.6.2.4. Relation entre mittance et luminance dans le cas dune mission diffuse

(ou isotrope) :

Considrons un point sur lhmisphre, et donc une direction, qui est dfini par des

angles et .

d

N

R

RdS

2

dS1

r

0 2

0 /2


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La surface diffrentielle dS2dans lespace, travers laquelle passe un flux mis par dS1,

sous-entend un angle solide d partir dun point de dS1, on a : dS2 = r.d.R.d =

r2.sin.d.d

Le flux mis par dS1 (de luminance L), dans langle solide d, vaut : d =

L().dS1.cos.d = L().dS1.cos.sin.d.d / 22r

dSd

Lmittance de dS1 sera :

2

020hmisphre

ddsincos),(Ld),(LM

Pour les corps lambertiens, la luminance est indpendante de la direction (L()= L)

2

0

22

020

L)(sind2

1L2ddsincosdLM

De mme, pour les grandeurs monochromatiques : LM

IV. Lois du rayonnement du corps noir :

IV. 1. Dfinition du corps noir :

Le corps noir est une surface idal, qui absorbe tout rayonnement quil reoit. On

peut raliser assez parfaitement un corps noir en prenant une cavit recevant le

rayonnement par un petit orifice (ouverture perce dans sa paroi).

En effet, tout rayonnement pntrant dans la cavit par cet orifice ne pourra ressortir

quaprs avoir subit un nombre plus ou moins importatnts de rflxions sur les parois

intrieures. A chaque rflxion, il y a une absorption partielle.

Lorifice de la cavit joue le rle dun absorbeur quasi-parfait.


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Ltude du rayonnement dune surface quelconque prsente un aspect assez

complexe puisque ce rayonnement dpend de plusieurs paramtres rarement indpendants

les uns des autres. Pour simplifier le problme, on utilise une mthode analogue celle

utilise pour ltude des gaz rels, o on commence par tablir les proprits dun gaz

standard ou idal : gaz parfait.

De mme, ici le rayonnement dune surface quelconque sera compar celui dune

surface standard, ou un corps talon corps noir , dont les proprits doivent tre tablies

en premier, et les autres vont tre caractriss par les diffrences entre les proprits et

celles du corps noir.

IV. 2. Energie mise par le corps noir :

Le rayonnement lectromagntique absorb par louverture du corps noir est mis par

les parois internes puis rabsorb jusqu absorption totale. A lquilibre (lenceinte se

trouve une temprature constante T), la quantit dnergie mise par unit de temps est

gale la quantit absorbe.

Cette enceinte de temprature T est le sige dondes lectromagntiques, qui sont

quivalentes une assemble de photons obissant la statistique de Bose-Einstein (le spin

est entier).

A une onde de frquence , on associe des photons dnergie =h, h tant la

constante de Planck.

Cherchons lnergie des photons dont la frquence est comprise entre et +d.


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21

Le nombre de photons ayant une nergie comprise entre et +d

est :

d)(gtat

particulesdenombre

detentretats'dnombretat

particulesdenombredN

On montre que la dgnrescence

dCh

V8d)(g

33

2

Or, le nombre moyen de particules par tat est :kT

1/

1e

1ni

, do

d

)1e(Ch

V8

1e

d)(gdN

33

2

En remplaant par h, on trouve le nombre de particules correspondant une frquence

comprise entre et +d :

d

)1e(C

V8dN

h3

2

Ainsi, lnergie des photons sera :1e

d

C

Vh8dN.d

3

3

IV. 3. Loi de Planck : mittance monochromatique du corps noir :

La loi de Planck permet de calculer lnergie mise par un corps noir en fonction de

la longueur donde considre et de la temprature de la surface.

Ainsi, lmittance monochromatique dans le vide est, dans lintervalle d, :

1e

d

C

h8dMh3

0

3

, or

0C

dCd 20

MCM

20

Do

)1e(

hC8

)1e(C

CCh8

M0hC

5

0

h30

2

0

3

30

Ainsi :1e

.C

MT

C

51

2

avec 01 hC4C , et K

hCC

0

2


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utilisable que pour les rayonnements de grandes longueurs donde telles que les

ondes radio, par contre elle nest pratiquement pas utilisable dans les rayonnements

thermiques.

IV. 3. 2. Formule simplifie de Wien :

Pour de faibles longueurs donde

1

T

C2 , on obtient : TC

51

2

eCM

Lerreur introduite par lemploi de cette formule est infrieure 1% pour T 3000

m.K.

Remarque : formule valable pour le visible, employ surtout en pyromtrie optique.

IV. 3. 3. Loi de dplacement de Wien :

Cette loi relie la temprature T la longueur donde m pour la quelle la

courbe de Planck passe par un maximum. 0M

si = m

En rsolvant cette quation avec la variable T, on trouvera : K.m8,2897T.m :

1re

loi de Wien.

Ce qui montre que m se dplace vers les courtes lorsque la temprature slve.

a. Tamb = 290 K m = 10 mb. T = 2900 K m = 1 mc. Tsoleil = 6000 K m = 0,48 m

Lmittance 55

8,2897C

51

T T.BT.

e

)8,2897(CM

2m

IV. 3. 4. Loi de Stefan-Boltzmann :

Cette loi sintresse lmittance totale en fonction de la temprature, en intgrant la


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loi de Planck, on obtient :

d

)1e(

C2dMM

0

T

C

5

1

0 2

dx

1e

x

C

C2M

0 x

3

42

1

/

T

Cx

2

44

42

1T.

15C

C2M

avec la constante de Stefan : 428

42

51 K.m/W10.67,5C15

C2

.

IV. 3. 5. Energie mise dans un intervalle de longueur donde :

Dans les calculs dchange thermiques, il est souvent ncessaire de connatre

lnergie mise dans une bande de longueur donde bien dtermine 21, :

2

1

2

1

21dM

T

1

dM

dM

F0

4

0

0

0

Que lon peut crire sous la forme :

12

12 0

0

40

0

400dM

T

1dM

T

1FF

Ou bien :

T

0 5

0T

0 5

0

T0T012

12)T(d

T

M1)T(d

T

M1FF

Les valeurs de T0F sont donnes dans la littrature.


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Exemple : pour un corps noir : 956,0FF T5,0T5 mm

95,6% du rayonnement du corps noir est mis entre 0,5 m et 5 m

Autre exemple : pour le soleil : 46,0FF 8,04,0

46% de lnergie solaire est rayonne dans le visible.

V. Le rayonnement des corps rels :

V. 1. Emissions des corps rels :

V. 1. 1. Emissivit :

Lvaluation des proprits des corps rels se fait par rapport celle du corps noir

plac dans les mmes conditions de temprature et de longueur donde, laide des

coefficients appels missivits, totales ou monochromatiques, hmisphriques ou

directionnelles.

Ainsi, les mittances totales et monochromatiques dune surface seront fournies par

les relations :

00 MM;MM .

Avec : missivit totale hmisphrique0L

L

4

0

0

4

0

0

0

0

0

0

0

0

0

T

dM

T1

dM1

dM

dL

dL

dL


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et ox : missivit totale directionnelle :4

0

0,ox

4

0

0,ox

0

0

0,ox

ox

T

dM

T

dL

dL

dL

L

L

* Pour un corps gris, est indpendante de :

et ox,ox

* Pour un corps mission diffuse :

ox et ox,

* Pour un corps gris et diffusant :

ox,

V. 1. 2. Absorptivit, rflectivit, transmittivit, monochromatiques :

Une surface quelconque, ne rayonnant pas en gnral comme un corps noir,

nabsorbe donc pas la totalit du rayonnement quelle reoit.

Soit une surface S recevant un flux i monochromatique de longueur, ainsi :

- une partie )( ia est absorbe- une partie )( ir est rflchie spculairement- une partie ( )i est rflchie dune faon diffuse, cd renvoye dans toutes les

directions, ainsi la partie rflchie globale est i avec )( .

- Lnergie restante )( it pntre dans le corps en gardant sa forme dnergieradiante et en suivant les lois de rfraction : cest le flux transmis.


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Chacun des facteurs et, est fonction de :

- la nature chimique du corps- ltat de la surface- la longueur donde- la temprature de la surface- langle dincidenceEntre ces facteurs existe la relation suivante : 1

Si 0;1 : la surface est dite parfaitement rflchissante pour la longueur

donde .

Si 0;1 : la surface est dite parfaitement transparente

Si0;1

: la surface est dite parfaitement absorbante

Le flux incident total :

d0

ii

d0

ir ;

d0

ia ;

d0

it

d

d

0i

0i

i

a ;

d

d

0i

0i

;

d

d

0i

0i

V. 2. Proprits radiatives des corps rels :


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28

V. 2. 1. Loi de Kirchoff :

Cette loi exprime lide quun corps met autant dnergie quil absorbe, ce qui

relie les coefficients dmission et dabsorption.

Considrons un corps enferm dans une enceinte impermable aux

rayonnements, la temprature T :

A lquilibre, tout le systme est la temprature uniforme T.

Donc, le flux capt par dS (suivant une direction px, et la longueur donde ) est

gale celui quil met dans les mmes conditions. Ainsi :

ddcosdSLddcosdSLd 0,pxmis,

Le flux absorb est :

ddcosdSLd 0,pxabsorb,

Lgalit donne : ,px,px

En gnral, labsorptivit totale et lmissivit totale sont diffrentes, sauf pour:


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* un corps gris : comme et

* un corps noir : comme 1 pour tout 1

Lmissivit et labsorptivit des matriaux sont calculs partir de leurs proprits

optiques et lectriques (thorie lectro-magntique de Maxwell).

V. 2. 1. 1. Effet de Serre :

L'effet de serre repose sur le fait que certains matriaux ont des proprits trs

diffrentes dans deux domaines spectraux diffrents. C'est notamment le cas des

matriaux utiliss pour les vitres (verre, plexiglas, polycarbonate...) qui sont

transparents au rayonnement solaire (transmittivit leve), mais qui absorbent le

rayonnement infrarouge, cause de la faible transmittivit (et donc des hautes

rflctivits et absorptivits).

Prenons une plaque noire dont la face arrire est isole thermiquement, on ne

considre que les changes radiatifs (les changes par convection et conduction sont

supposs ngligeables).

(a) : si la plaque est seule, elle reoit et absorbe le rayonnement solaire. Cette

puissance absorbe vaut 100 dans une unit arbitraire. A l'quilibre thermique, les

puissances reues et perdues par la plaque sont gales, et la puissance du

rayonnement infrarouge mis par la plaque vaut galement 100 dans nos units. (Tsolei


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30

= 6000 Km= 0,6 m) ; (Tplaque = 300 Km= 10 m).

(b) : on recouvre la plaque par une vitre parfaitement transparente au rayonnement

solaire et parfaitement opaque au rayonnement infrarouge lointain. A l'quilibre

thermique, le systme "vitre-plaque" perd comme prcdemment autant d'nergie

qu'il en gagne. La seule diffrence est que maintenant c'est la vitre qui a mis le

rayonnement infrarouge l'extrieur.

(c) : regardons maintenant les changes l'intrieur du systme "vitre-plaque". Si la

vitre met 100 vers l'extrieur, par raison de symtrie elle met galement 100 vers la

plaque. Celle ci reoit donc en plus du rayonnement solaire le rayonement infrarouge

mis par la vitre. A l'quilibre thermique, la plaque doit perdre par rayonnement

infrarouge autant d'nergie qu'elle en gagne, c'est dire 200 dans nos units. On peut

vrifier que la vitre est alors aussi en quilibre : elle reoit 200 et met 200 (100 vers

l'extrieur, 100 vers la plaque).

Ainsi un observateur qui regarde de loin n'est pas capable de savoir si notre

plaque est recouverte ou non par une vitre car dans les deux cas il reoit un mme

rayonnement infrarouge.

La situation de la plaque est trs diffrente puisque dans le cas a, elle met 100

alors que dans le cas b, elle met 200. Et cette mission plus importante se fait via

une augmentation de la temprature de la plaque.

Sur Terre, les constituants qui interviennent dans l'effet de serre naturel sont la

vapeur d'eau, le dioxyde de carbone, mthane...

Le rayonnement solaire, essentiellement visible, est rflchie 30% par

l'atmosphre et le sol, 20% de ce rayonnement solaire est absorb par l'ozone et la


31/44

31

vapeur d'eau. Il reste alors 50% du rayonnement solaire, qui est absorb par la surface

puis rmis sous forme de rayonnement infrarouge. Certains auteurs parlent de

rayonnement infrarouge tellurique.

L'atmosphre terrestre absorbe alors 95% de ce rayonnement infrarouge tellurique (50% par

la vapeur d'eau, 25% par le dioxyde de carbone, le reste par le mthane, l'ozone (qui a une bande

d'absorption centre 11,4 m), les nuages..., puis rmet toujours dans l'infrarouge un

rayonnement contribuant l'chauffement du sol.

Cet effet de serre est important car il permet la temprature de surface de la Terre d'tre

environ 30C plus lev que si l'atmosphre n'tait pas prsente. On estime que la vapeur d'eau est

responsable d'un effet de serre naturel de + 20C alors que le C0 2 contribue une lvation de la

temprature d'quilibre la surface de la Terre de + 10C.

Actuellement, les hommes, de par leurs activits, augmentent notablement la concentration

des gaz effet de serre, ce qui fait craindre un rchauffement significatif de la temprature moyenne

de notre plante.

VI. Echanges radiatifs entre surfaces spares par un milieu parfaitement transparent :

VI. 1. Echanges entre surfaces noires :

Considrons deux lments de surfaces diffrentielles dS1, la temprature uniforme T1, et

dS2 la temprature uniforme T2, spars par la distance r.

Le flux quittant dS1 et incident sur dS2scrit :

111

0

11110112dSdS dcosdSM

dcosdSLdd 21


32/44

32

avec2

221

r

cosdSd

, do

2

212101

12r

coscosdSdSMd

en intgrant :21

S S 2

2101

S S1212SS dSdS

r

coscosMd

1 21 221

: Cest le flux mis par

S1, qui atteint S2.

VI. 1. 1. Facteurs de forme :

On appelle facteur de forme21 SS

F

la fraction du flux quittant la surface S1 (dans toutes les

directions), qui tombe sur la surface S2 : 21S S 2

21

1

12SS dSdS

r

coscos

S

1FF

1 221

Tel que : 1210112 FSM , de mme 212

0221 FSM

Avec F21: fraction dnergie misepar S2 qui atteint S1.

Or21212121

S S 2

21FSFSdSdS

r

coscos

1 2

: relation de rciprocit.

Lutilit des facteurs de forme facilite normment le calcul pour des gomtries complexes, surtout

la relation de rciprocit qui est particulirement importante.

VI. 1. 1. 1. Rgle daddition et principe de fermeture :

Si on subdivise une surface totalement ferme (four, pice dhabitation, ) en diffrentes

parties numrotes S1, S2, , Sn, de faon que lon puisse attribuer chacune une temprature

uniforme et une proprit rayonnante (, ou ), on aura :

- pour la ime surface Si : Fi-1 + Fi-2 + ..+ Fi-n = 1, car :

1FFFn

1j

ij

n

1j

iji

n

1j

iji

n

1j

iji

(rgle daddition pour une enceinte)

Fiiest la surface de forme de lchange de S i avec elle-mme, il est nul si la surface est non

concave, mais dans le cas d'une surface concave, une partie de cette surface peut "voir" une partie

d'elle-mme (cd une telle surface intercepte une partie de son propre flux mis de sorte que le

facteur de forme correspondant n'est pas nul.

Application : Calculer les facteurs de forme existant dans un four sphrique S2 au centre duquel on


33/44

33

place une sphre S1 On suppose que les changes sont diffus.

VI. 1. 2. Principe de dcomposition :

Considrons deux surfaces diffuses S1 et S2, si une surface S1 est dcompose

gomtriquement en deux surfaces S3 et S4, alors : 1-2= (3+4)-2 = 3-2 + 4-2, qui peut scrire :

S1 F12 M1 = S3 F32 M2 + S4 F42 M4

Comme M1 = M3 = M4 S1 F12 = S3 F32 + S4 F42, en appliquant la relation de rciprocit Si Fij = Sj

Fji

On trouve : F21 = F23 + F24.

Lintrt de la dcomposition est de combiner les facteurs de forme et faciliter le calcul.

VI. 1. 3. Flux net chang :

Le flux net est le flux perdu par chaque surface par suite des changes thermiques pour

quelle garde sa temprature uniforme.

Soit 12net le flux net chang par rayonnement entre deux surfaces noires S1 et S2 = 12 - 21.

12: perte dnergie thermique pour S1

21: gain dnergie thermique pour S1

)MM(FSFSMFSM 02

01121212

02121

01net12

)TT(FS42

41121

VI. 1. 4. Cas de plusieurs surfaces noires :

Soit k le flux fourni la surface Sk par une source extrieure pour la maintenir la

temprature uniforme Tk, cest aussi le flux net perdu par Sk.

Le flux mis par Sk est Sk Tk4

, le flux reu par Sk partir dune surface Sj est Tj4

SjFj-k. Le bilan

nergtique donne :


34/44

34

n

1j

kjk4

jk4

k

n

1j

jkj4

jk4

knet,k FSTSTFSTST daprs la relation de rciprocit.

Comme

n

1j

kj4

jk

n

1j

kjk4

knet,k

n

1j

kj FTSFST1F

kj

n

1j

4j

4kk FTTS

VI. 1. 5. Cas de gomtries simples :

Dans le cas dun grand nombre de gomtries simples (> 5), lexpression

21S S 2

21

1

12 dSdS

r

coscos

S

1F

1 2

peut tre interprte analytiquement, les paramtres gomtriques

sont souvent ramens un nombre minimum en utilisant des nombres sans dimensions. En gnral, on

procde une intgration numrique, les surfaces pouvant tre discrtises selon une mthode aux

lments finis.

Pour un nombre de surfaces ( 5), on peut appliquer les relations signales auparavant ou faire une

analogie lectrique.

VI. 1. 5. 1. Relations de rciprocit particulires :

a) rectangles diagonalement opposs sur deux plans perpendiculaires ayant une arte commune :

b) deux paires de rectangles opposs faisant partie de plans parallles :

c) quatre paires de rectangles opposs appartement des plans parallles :

A1F1-2 = A3F3-4

A1F1-4 = A2F2-3


35/44

35

d) rectangles perpendiculaires opposs diagonalement :

e) rectangles parallles opposs diagonalement :

VI. 1. 5. 2. Catalogues de facteurs de forme :

Plusieurs gomtries simples ont t tudies pour donner les facteurs de forme, soit sous forme

dquations, ou dabaques, ou logiciel (programme informatique).

Nous donnerons ici quelques rsultats parmi les plus importants :

A3F3-6 = A2F2-7 = A1F1-8 = A4F4-5

A1F1-3 = A3F3-1

A1F1-9 = A3F3-7 = A9F9-1 = A7F7-3


36/44

36

a) une surface S1 et un rectangle S2 situ dans un plan parallle :

a

cCet

a

bBavec

C1

Barctg

C1

C

B1

Carctg

B1

B

2

1F

222212

a) une surface S1 et un rectangle S2 situ dans un plan perpendiculaire :

a

cCet

a

bBavec

C1

Barctg

C1

1Barctg21F

2212

c) deux rectangles parallles laplomb lun de lautre :


37/44

37

d) deux rectangles perpendiculaires possdant une arte commune :

VI. 1. 6. Analogie lectrique :

On peut reprsenter le relation exprimant le flux net chang entre deux surfaces noires par une

relation concernant un rseau lectrique entre deux nuds de potentiels V1 et V2, spars par une

rsistance R12.

)VV(

R

1I)MM(FS 21

1212

02

01121net12

, dont le schma reprsentatif est le suivant :


38/44

38

VI. 1. 7. Conclusions :

En gnral, on considre toujours quune enceinte noire est remplie (dans le cas simple) par un

milieu parfaitement diathermane. En pratique, on peut distinguer :

- une ou plusieurs surfaces solides temprature plus leve et qui servent de source de chaleur.

Exemple : des rsistances parcourues par un courant lectrique, des panneaux chauffs par circulation

deau chaude ou de vapeur.

- une ou plusieurs surfaces solides temprature faible et qui servent de puits de chaleur.

- des surfaces qui sont flux net nul, cd qui, au total, ne gagnent ni ne perdent de chaleur par

rayonnement (une porte rfractaire isolante dun four).

Dans tous les cas, on aura affaire une enceinte, tant donn que toute surface peut tre considre

comme tant entour par une enveloppe constitu dautres surfaces solides ou mme douvertures

(fentres), ainsi on peut tudier toutes les changes thermiques en jeu entre la surface considre et le

reste de lenceinte.

Pour ce faire, on subdivise lenceinte en un nombre suffisant de surfaces (chacune de temprature

uniforme et de proprit rayonnante). Une ouverture sera considre, pour le rayonnement intrieur,

comme un plan-source (laissant pntrer le rayonnement provenant de lextrieur).

- chaque fentre, on attribuera une temprature quivalente de corps noir correspondant au rayonnement

pntrant par la fentre.

- si le rayonnement est nul ou ngligeable, on considrera que la fentre comme un corps noir

temprature nulle, qui absorbe toutes les radiations voulant sortir de lenceinte.

VI. 2. Echanges dans une enceinte compose de surfaces diffuses grises spares par un milieu

parfaitement diathermane :

Considrons une enceinte divise en n surfaces telles que :


39/44

39

- les surfaces sont opaques (+ = 1)

- les proprits radiatives sont celles des surfaces grises diffuses ( = = 1- ) sont uniformes de mme

que la temprature (indpendants de , et les mmes en tout point de la surface).

- les surfaces mettent et rflchissent de faon isotrope (la mme selon toutes les directions).

VI. 2. 1. Radiosit :

Pour une surface opaque quelconque S soumise un clairement E (provenant de toutes les

directions de lhmisphre). Une partie de cet clairement E est absorbe (transforme en chaleur), le

reste E est rflchi.

On appelle radiosit J de la surface S, le flux radiatif par unit de surface qui quitte la surface S :

E)1(TEME)1(MEMJ 40

- pour une surface noire : 0MJ

- pour une surface opaque : E)1(MJ11;0 0

Le flux net perdu par la surface S = flux misflux absorb :

S)EJ(S)E)1(M(S)EM(net ou bien )EM(SS)EM(00

net

En introduisant la radiation J : )JM(1

S 0net

Si on considre que lenceinte est constitue de n surfaces S i, le flux incident sur Si sera :

n

1j

jiji

n

1j

jjij

n

1j

jii JFSJFS

Or la radiosit pour la surface Si est :

n

1j

jiji0ii

n

1j

jiji0iii

JF)1(MJFMJ


40/44

40

0ii

n

1j

jijii MJF)1(J

En introduisant le symbole de Kronecker ij : 4ii0iij

ijiij TMJjF)1( : quation utilise

dans le cas o la temprature T i est connue.

Si cest le flux qui est connu, le flux net perdu par unit de surface est :

n

1j

jijij

n

1j

jijiinet J)F(JFJ systme linaire de n quations n inconnues Jj quon doit

rsoudre pour obtenir les tempratures laide de lquation : )JT(

1i

4i

i

iinet

VI. 2. 2. Reprsentation analogique :

Lexpression du flux rayonn par une surface (grise et diffusante) est :

)VV(R

1I)JM(

1

S21

iii

0i

i

iiinet

O iI reprsente le courant traversant une rsistance iR sous une diffrence de potentiel )VV( 21 . La

rsistanceii

ii

S

1R

est appele rsistance de surface.

Lorsquil y a change entre deux surfaces Si et Sj, le flux net quittant Si et incident sur Sj est :

iji

jiijijijjijiijiinet

FS

1

)JJ()JJ(FSJFSJFS

;

ijiFS

1est appele rsistance gomtrique (ou

rsistance spatiale)

jijFS

1est appele rsistance gomtrique (ou

rsistance spatiale)


41/44

41

Considrons maintenant le rseau complet dune enceinte compose de deux surfaces grises diffuses. Le

flux net perdu par Si, est en valeur absolue, le mme que jnet :

jnet

jj

j

ijiii

i

0j

0i

inetij

S

1

FS

1

S

1

MM

Dans le cas des changes mutuels entre trois surfaces grises et diffusantes, le schma analogue

serait comme suit :

Dans le schma, nous aurons affaire :

- 3 rsistances de surfaces (une pour chaque surface)

- 3 rsistances gomtriques : une entre chacune des surfaces prises deux deux (pour n surfaces, cela

ferait n (n-1)/2 rsistances gomtriques)

- 3 nuds reprsentant les mittances des corps noirs

- 3 nuds reprsentant les radiosits

Si les tempratures sont donnes, on dduit 01

M , 02

M et 03

M , et on applique la lois des nuds de Kirchoff

aux nuds J1, J2 et J3 (la somme algbrique des courants arrivant un nud est nulle) :

0

FS

1

JJ

FS

1

JJ

S

1

JM

131

13

121

12

11

1

10

1


42/44

42

0

FS

1

JJ

FS

1

JJ

S

1

JM

232

13

121

21

22

2

20

2

0

FS

1

JJ

FS

1

JJ

S

1

JM

232

32

131

31

33

3

30

3

On obtient un systme de 3 quations 3 inconnues J1, J2 et J3. Lquation )JM(1

Si

0i

i

iiinet

fournit les flux nets perdus. Les premiers termes de chacune de ces quations reprsentent les flux nets

perdus par la surface Si et les deux autres termes reprsentent les changes nets entre surfaces prises deux

deux.

* Si la surface S3 est noire ou trs grande par rapport aux autres, la rsistance33

3

S

1

est nulle : J3 se

comporte comme un nud potentiel fixe dtermin par la temprature T3.

On a affaire deux quations deux inconnues. Lapplication de la loi de Kirchoff aux nuds J 1 et J2

donne :

0

FS

1

JM

FS

1

JJ

S

1

JM

131

10

3

121

12

11

1

10

1

0

FS

1

JM

FS

1

JJ

S

1

JM

232

20

3

121

21

22

2

20

2

Ce qui permet de trouver J1 et J2.

* Si la surface S3 est rfractaire : J3 se comporte comme un nud potentiel flottant dpendant de la


43/44

43

temprature des autres surfaces. : pas de source connecte au nud 03

M .

On note que la rsistance

121

FS

1est en parallle avec les rsistances

131

FS

1et

232

FS

1prises en srie.

Le flux net perdu par S1 (ou S2au signe prs) sobtient en combinant les deux rsistances en parallle, en

une seule RC, et en appliquant la loi dOhm entre0

1M et 0

2M , on aura :

R

)MM(S02

011

1

Avec C22

2

11

1R

S

1

S

1R

;--- et

232131121

C

FS

1

FS

1

1

FS

1

1

R

1

232131

2313212

2

2

2

1

1

1

02

011

1

FSFS

FFSF

11

S

S1

)MM(S

Une fois 1 connue (ou 2= - 1), on peut dduire J1 et J2 par 2

22

2

0

22

11

1

10

11

S

1

MJ

S

1

JM

, ainsi J3

peut se calculer par :

0

FS

1

JJ

FS

1

JJ

232

32

131

31

, et T3 par :43

0

33TMJ

VI. 3. Coefficient dchange thermique par rayonnement :

VI. 3. 1. Rgime stationnaire :

Pour faire une tude comparative du transfert thermique par conduction rayonnement et convection,

et prendre en considration les conditions aux limites sur la surface S1, on introduit un coefficient

dchange par rayonnement, tel que :

)TT(FS)TT(Sh 424

1121211r12

Avec :21

42

4112

211

12r

TT

)TT(F

)TT(Sh

en W/m

2.K.

J3


44/44

VI. 3. 2. Rgime instationnaire :

Nous avons suppos jusqu prsent que les systmes taient stationnaires (la temprature restait

constante dans le temps), mais en ralit, lnergie interne des corps varie avec le temps, ainsi que les

proprits radiatives des surfaces, dans ce cas, on dfinit le nombre de Biot par :k

L.hB

ri

O L est la longueur caractristique du corps (volume/surface dchange) en m

et k la conductivit du corps considr en W/m.K.

Documents

Transfert de Chaleur Par Rayonment