Transfert de chaleur en régime permanent.

Conduction_ Convection _ couche limite

Application aux echangeurs de chaleur par plaques,

tubulaire, ESR

2

1. Bilans de Chaleur

Conservation de la matière dans un système clos

Conservation de l ’enthalpie dans un système adiabatique

sur des grandeurs extensives (masse, chaleur... )

Entrée + Production = Sortie + Destruction + Accumulation

Système

ÉnergieCalorifique, Électrique,

Mécanique, Chimique... Énergie

Matière Matière

3

Ex 1 : Bilans de Chaleur

On place 1000 boîtes de soupe dans un stérilisateur (métal 50g,

soupe 450g). Elles sont initialement à 120°C, et doivent être

refroidies à 38°C. On utilise pour cela de l ’eau à 18°C qui en fin

de refroidissement est à 32°C.

Quelle est la quantité d ’eau nécessaire ?

Cpsoupe = 3970 J.kg-1.K-1

Cpmétal = 501 J.kg-1.K-1

Cpeau = 4180 J.kg-1.K-1

On estime à 15,26.103 kJ l’énergie nécessaire pour refroidir le stérilisateur. On néglige les

pertes de chaleur.

4

Ex 2 : Bilans de Chaleur

Du lait (2000 kg.h-1) est refroidi de 75°C à 30°C dans

un échangeur. De l’eau (température d’entrée 15°C)

circule à l ’extérieur, à 4500 kg.h-1.

Quelle est la température de l’eau en sortie de

l’échangeur ?

Cpeau = 4180 J.kg-1.K-1

Cplait = 4000 J.kg-1.K-1

5

Ex 3 : Evaporation

Quelle est la quantité de chaleur nécessaire à

l’évaporation complète d’un litre d’eau initialement à

20°C (pression atmosphérique).

On donne la chaleur latente de vaporisation de l’eau

(en kJ.kg-1) : Lv = 3334 –2,9 T (loi de Regnault valable

jusqu’à 473K).

6

2. Régime Stationnaire

Transferts par Conduction (ou Diffusion) Systèmes immobiles

1ère loi de Fourier

Conductivité thermique

Résistance thermique - analogie électrique

Transferts par Convection Fluide en mouvement

Convection libre

Convection forcée

Transferts par Rayonnement

7

2.1 Conduction

(1)x

dx

dTk

A

q pour une dimension x,

milieu isotrope homogène

qx puissance thermique W=J.s-1

débit d’énergie thermiquequantité de chaleur par unité de temps

A surface de transfert m2

T température K

k conductivité thermique W.m-1.K-1

dT/dx gradient de température selon x K.m-1

qx/A flux d ’énergie surfacique W.m-2

8

Conduction : cas général Dans le cas général, système à 3 dimensions

(x,y,z)

La 1ère loi de Fourier (1) s’écrit en considérant le

flux à travers une surface isotherme

(2)T grad kA

q

z

Ty

Tx

T

T T grad

eTempératur la de gradient : T grad

T1 T2

9

(3)

12

12

2

1

2

1

xx

T-T Akq

T

T

dTk

x

x

dxA

q

dT kdxA

q

Conduction

L ’équation (2) (ou (1)) est valable en régime stationnaire ou

transitoire.

Intégrons la 1ère loi de Fourier en état stationnaire pour une

paroi plane

une seule dimension : x

régime stationnaire : q est constant, T ne dépend que de x

k constante

x1 x2

T1

T2

q

10

Ex 4: Conduction dans une paroi

Calculer la perte thermique par m2 pour une paroi de

25,4 mm d’épaisseur dans les deux cas suivants :

paroi en aluminium

paroi en fibre isolante

Température intérieure : 352,7 K (79,5 °C)

Température extérieure : 297,7 K (24,5 °C)

Conductivité thermique fibre isolante : 0,048 W.m-1.K-1

Conductivité thermique de l’aluminium : 202 W.m-1.K-1

11

0,12 – 0,33-Bois

0,696296Sauce tomate

0,168293Huile olive

0,569273Eau

0,167273H2

0,0242273Air

k ( W.m-1.K-1)Température (K)substance

202273Aluminium

388273Cuivre

0,029266Laine de roche

0,130-Papier

2,25273Glace

Conductivité thermique La conductivité thermique est définie par l’équation (2)

k déterminée expérimentalement

12

Conductivité thermique

Gaz : mécanisme simple, échange d’énergie par collisionavec changement de niveau d’énergie des molécules.Déplacement des molécules en fonction du gradientd’énergie. La conductivité thermique est fonction de latempérature et indépendante de la pression k = aT2 ,a constante empirique.

Liquides : mécanisme physique identique au gaz maiscohésion plus forte des molécules entre elles. Laconductivité thermique est fonction de la températurek = a + bT , a et b constantes empiriques.

Solides : Énergie conduite par deux mécanismes;électrons libres, transmission d’énergie par vibrationd’atomes adjacents.

13

Résistance Thermique Dans les équations précédentes, on définit la Résistance

Thermique (en K.W-1) pour une paroi d ’épaisseur e (m), de conductivité k (W.m-1.K-1), de surface A (m2)

kA

eR

et on a donc (4)21

R

TTq

Analogie thermique/électrique :q débit thermique (W) I intensité (A)

T température (K) V potentiel (V)

T1-T2 différence de température (K) U différence de potentiel/tension (V)

R résistance thermique (K.W-1) R résistance électrique ()

k conductivité thermique (W.m-1.K-1) conductivité électrique (S.m-1)

(T1-T2)=R.q U=R.I

14

CBATotal

Total

41

CBA

41

C

C

B

B

A

A

41

C

C43

B

B32

A

A21

43

C

C32

B

B21

A

A

RRRRR

TT

RRR

TTq

Ak

Δx

Ak

Δx

Ak

Δx

TTq

: équations trois les aditionne On

Ak

ΔxqTT

Ak

ΔxqTT

Ak

ΔxqTT

)T(TΔx

Ak)T(T

Δx

Ak)T(T

Δx

Akq

Conduction en série

Conduction à travers plusieurs solides en série.

Le flux thermique traverse les différents matériaux.

En régime permanent, il est identique partout

la surface d ’échange A est la même.

Exemple 3 couches

A B C

DxA

T1

DxCDxB

T2

T3T4

q

RA RB RC

RTota

l

15

Ex 5 : Paroi isolée

Les parois d’une chambre froide de stockage sont construitesavec trois matériaux différents.

La paroi interne (A bois) de 1,27 cm, kA = 0,151 W.m-1.K-1

la paroi centrale (B liège) de 10,16 cm, kB = 0,0433 W.m-1.K-1

la paroi externe (C béton) de 7,62 cm, kC = 0,762 W.m-1.K-1

La température de surface intérieure est de 255,4 K (-17,75°C)

La température de surface extérieure est de 291,1 K (18°C)

Calculer les pertes thermiques pour 1 m2 et la température àl’interface entre la paroi interne et la paroi centrale.

16

CBATotalTotal

21

R

1

R

1

R

1

R

1avec

R

TTq

Conduction en parallèle

RA

RB

RC

RTotal

T2

T1qA

qB

qC

A

B

C

17

Ex 6 : Mur de briques

Un mur de briques réfractaires (hauteur 3 m, longueur 2 m,

épaisseur 10 cm) d’un four à 250°C est maintenu sur sa face

externe à 50°C. Il est traversé de tiges d’acier pour renforcer

sa structure. Leur section représente 1% de la surface totale

du mur.

kbrique = 0,075 W.m-1.K-1

kacier = 15 W.m-1.K-1

Calculer l’influence de ces tiges d ’acier sur les pertes de

chaleur.

18

(5)

21

21

)rrln(

TT

kL2

q

dTr

dr

kL2

q-

constantedr

dT-kA(r)q

Lr2A(r)échanged' surface

Conduction dans un cylindre creux

Conduction radiale un cylindre creux : cas typique des tubes

de transfert de liquides

une seule dimension : radiale T(r)

régime permanent : q = constante

L

r1

r2

T

2

T

1

19

kA

eRavec

R

TTqdonc et

TTe

kA

rr

TTkAqoùd'

A)AAln(

AA

)rrln(

rrL2

Lr2A

Lr2A

lm

21

21lm

12

21lm

lm

12

12

12

12

22

11

Conduction dans un cylindre creux

On réécrit l ’équation (5) en faisant apparaître les surfaces A1

et A2, surfaces interne et externe du tube

Équation identique à (4), où e est l’épaisseur de la paroi et Alm la

surface logarithmique moyenne

20

Ex 8 : Cylindre creux isolé

On considère un tube en acier inoxydable (kA=21,63 W.m-1.K-1) recouvert d ’une couche

d ’isolant (kB= 0,2423 W.m-1.K-1).

Il a les dimensions suivantes :

diamètre interne du tube d ’acier 2,54 cm,

diamètre externe du tube d ’acier 5,08 cm,

épaisseur de l’isolant : 2,54 cm

La température dans le tube est T1= 881 K (607,8°C), la température à la surface de l’isolant

est T3= 310,8 K (37,7°C).

Pour une longueur de 30,5 cm de tube calculer les pertes thermiques et la température T2 à

l’interface entre le tube et l’isolant.

21

Ex 9 : Sphère creuse

Une jarre (assimilable à une sphère) d’une contenance d’1 L en

terre cuite (k=0,1 W.m-1.K-1) contient du vin. Le vin est à

18°C lorsque la température extérieure est de 35°C.

On suppose le système immobile, en ne considérant que la

conduction de chaleur...

Déterminer le débit d’énergie thermique en fonction de

l’épaisseur de la jarre. Commenter.

22

Conduction

Pour toutes les géométries e épaisseur (m)

k conductivité thermique (W.m-1.K-1)

A (m2) surface plane ou bien ...

L ’analogie électrique est utilisable dans toutes les géométries en série les résistances thermiques s’additionnent

en parallèle l’inverse des résistances thermiques (conductances thermiques) s’additionnent

iTotal R

1

R

1

R

TTq 21

iTotal RR

(6) kA

eRavec

)AAln(

AAA

12

12lm

Symétrie cylindrique

21qm AAA

Symétrie sphérique

23

2.2. Convection

Échange de chaleur d’un fluide en mouvement avec un matériau

solide.

Convection naturelle ou forcée

Convection naturelle ou libre : l ’écart de température induit une variation

(et donc une hétérogénéité) de masse volumique, et donc des

mouvements de fluides (gaz ou liquides).

Convection forcée : plus importante dans les procédés industriels. Une

action extérieure (compresseur, ventilateur, pompe...) fait circuler le

fluide, favorisant l ’échange de chaleur.

Vitesse de transfert, équation de Base :

(7)FP )T(TAhq

qx vitesse de transfert thermique W

A surface de transfert m2

TP température de la paroi (surface du solide) K

TF température du fluide K

h cœfficient de transfert convectif W.m-2.K-1

24

11,3-55Air en mouvement

2,8-23Air calme

280-17000Eau en mouvement

1700-28000Liquide en ébullition

1100-2800Matière organique

5700-28000Vapeur condensée

Valeur de h (W.m-2.K-1)Mécanisme

Cœff. de transfert Convectif h est fonction de la géométrie du système, des propriétés du

fluide, de la nature de l’écoulement, de la nature du solide et

de sa température...

Dans de nombreux cas des corrélations empiriques

permettent de déterminer h

25

Convection

Dans la plupart des cas pratiques, la température

à la surface des solides n’est pas connue

précisément. On observe une couche limite fluide

autour du solide. Sa température sera la moyenne

entre celle de la paroi et celle du fluide loin de la

paroi.

2

TTT FP

film

26

interne convectionconductionexterne convectionTotal

Total

41

ie

41

43i3221e

RRRRavec

R

TT

A1/he/kAA1/h

TT qoùd'

)TA(Th)T(Te

kA)TA(Thq

q

T1T2

T3T4

e

he

hi

k

Conduction et Convection combinées

Exemple :

une paroi d ’épaisseur e (matériau de conductivité k) sépare

deux fluides à T1 et T4.

les coefficients de convection externe et interne sont he et hi

en régime permanent q est le même partout

on a donc convection entre T1 et T2

conduction entre T2 et T3

convection entre T3 et T4

27

Conduction et Convection combinées

On définit un coefficient global de transfert thermique

(convection et conduction) U (en W.m-2.K-1)

Ceci est possible dans toutes les géométries, notamment

dans le cas de conduites cylindriques (échangeurs

tubulaires)

ieTotal

(9)41

1/he/k1/h

1

AR

1U

)TUA(Tq

28

Ex 10 : Vapeur dans un tube isolé

De la vapeur saturée à 403,3 °C circule dans un tube métallique de

diamètre interne de 2,09 cm et de diamètre externe de 2,66 cm. Le

tube est entouré d’un isolant d’épaisseur 3,81 cm

Le coefficient de convection entre la vapeur et la surface interne est

hi=5,6783 kW.m-2.K-1. Le coefficient de convection entre la surface

externe et l’air ambiant est he=11,4 W.m-2.K-1. La conductivité

thermique moyenne du métal est de 45 W.m-1.K-1. La conductivité

thermique moyenne de l’isolant est de 0,064 W.m-1.K-1

Calculer les pertes thermiques pour 1 m de conduite si l’air extérieur

est à 26.8°C (300 K).

29

Le coefficient global de transfert thermique

U peut être défini en fonction de la surface

interne ou externe du tube.

eAlmeiie

e

eeiAlmii

i

1/h/kAAeA/hA

1U

A/hA/kAAe1/h

1U

R

TT

A1/h Ae/kA1/h

TT q 41

iiAlmee

41

q

he

hi

k

T1T2

T3

T4

Conduction et Convection combinées Cas d ’un cylindre creux dans lequel et autour duquel

circulent des fluides

longueur L, épaisseur e (m) ; T1 à l ’extérieur, T4 à l ’intérieur (K)

he et hi coefficients de transfert convectif (W.m-2.K-1)

k conductivité de la paroi (W.m-1.K-1)

régime permanent : q constant

externe surfaceLr2A et

interne surfaceLr2Aavec

ee

ii

)AAln(

A-A A

ie

ielm

)T(TAU)T(TAUq 41ee41ii

30

Pq=hA(T-T )

2.2.1. Convection forcée

Transfert thermique dans les procédés industriels :

Fluide Solide Fluide

Le flux thermique convectif est:

h dépend du type d ’écoulement

laminaire

turbulent

31

Convection forcée

2 types de transferts entre le fluide et le solide selon le procédé

industriel considéré

Écoulement d’un fluide à l’intérieur d’un solide (conduite)

Écoulement d’un fluide autour d’un solide

32

2.2.1.1 Écoulements dans une conduite

Détermination du coefficient de convection par des

méthodes semi empiriques. Influence des paramètres

physiques du fluide, du type et de la vitesse du flux, de la

géométrie du système.

Type d ’écoulement en fonction du Nombre de Reynolds

Flux laminaire : Re< 2200

Flux turbulent : Re > 10000

Système intermédiaire : 2200 <Re <10000

Nombre de Reynolds = rapport des forces d ’inertie / forces de viscosité

(10)DvDv

Re

D dimension caractéristique (m)

v vitesse moyenne du fluide (m.s-1)

masse volumique (kg.m3)

viscosité dynamique (Pa.s)

viscosité cinématique (m2.s-1)

33

Ex 11 : Écoulements

Lorsque l ’écoulement n ’est pas cylindrique, on utilise à la place de

D, le diamètre hydraulique :

Le régime est-il laminaire ou turbulent dans les 3 cas suivants ?

(11)hmouillé Périmètre

écoulementl' de Section4D

– de l ’eau à 20°C, à 1 m.s-1 dans un cylindre de 50

cm de diamètre à demi rempli

– de l ’air à 20°C, à 10 cm. s-1 dans une conduite

rectangulaire de section 100 x 2 mm2

– du lait à 70°C, à 5 m.s-1 dans une conduite

cylindrique concentrique (diamètre interne 15 cm,

diamètre externe 50 cm)

34

Convection forcée

Le nombre de Nüsselt est défini comme le rapport entre les

aspects convectif et conductif

Le nombre de Prandtl est le rapport entre les mouvements

de matière et de chaleur

(12)

k

hDNu

D dimension caractéristique (m)

h coefficient de transfert convectif (W.m-2.K-1)

k conductivité du fluide (W.m-1.K-1)

(13)P

k

CPr

viscosité dynamique (Pa.s)

CP capacité thermique (J.kg-1.K-1)

k conductivité du fluide (W.m-1.K-1)

35

Convection forcée

d’une manière générale, des formules heuristiques donnent une relation

entre ces nombres :

Nu = f (Re, Pr, L/D)

puis le coefficient de transfert convectif peut être déterminé puisque

selon le type d ’écoulement, la géométrie de l ’échangeur, le type de

fluides... un grand nombre de relation existe.

(14)

D

Nukh

36

Ce calcul de Nu est vrai pour (Re.Pr.D/L) >12

si (Re.Pr.D/L) 12Nu ne dépend que de la géométrie. Nu = 3,66 (cylindre)

Écoulement Laminaire dans un Tube horizontal

Lorsque Re<2100

(14)

0,14

P

F31

μ

μ)

L

DPr(Re1,61

k

DhNu

D dimension caractéristique (m)

h coefficient de transfert convectif moyen (W.m-2.K-1)

k conductivité (W.m-1.K-1)

L longueur du tube (m)

F viscosité du fluide à la température moyenne du fluide (Pa.s)

P viscosité du fluide à la température de la paroi (Pa.s)

Lorsque Re >> 2100, le flux devient turbulent et le

débit thermique important.

37

Ce calcul de Nu est peut être utilisé pour 0,7<Pr<700 et L/D>60

hL basé sur le logarithme moyen de la température.

Les propriétés du fluide sont évaluées pour une température moyenne du fluide

Pour L/D <60, cette équation (15) est corrigée par [1+(D/L)0.7]

Colburnμ

μPrRe0,023

k

DhNu (15)

0,14

P

F310,8

D dimension caractéristique (m)

h coefficient de transfert convectif moyen (W.m-2.K-1)

k conductivité (W.m-1.K-1)

L longueur du tube (m)

F viscosité du fluide à la température moyenne du fluide (Pa.s)

P viscosité du fluide à la température de la paroi (Pa.s)

Écoulement Turbulent dans un Tube horizontal

38

• Calculer le coefficient de transfert

• Calculer le flux de transfert q/A

Ex 12 : Chauffage d ’air

De l’air à une température moyenne de 60°C est chauffé dans un tube de

diamètre interne 2,54 cm de longueur 2,54 m; il circule à une vitesse de

7,62 m.s-1.

Le milieu de chauffage est de la vapeur condensée à 140°C à l’extérieur du

tube. Le coefficient de transfert de chaleur de la vapeur avec le tube est de

plusieurs milliers de W.m-2.K-1 et la résistance du métal est très petite. On

suppose que la température du métal en contact avec l’air est de 140°C

39

(16)12 )TUA(TTUAq D

Évolution de l’écart de Température

Les équations de transfert sont applicables si DT est constant

où T1 est la température du fluide, T2 celle du fluide caloporteur (K)

U le coefficient d ’échange thermique (convectif et/ou conductif) (W.m-

2.K-1)

A la surface d ’échange (m2)

Dans un échangeur DT change en fonction de la position (x) et du type

d’appareil. On distingue notamment :

les Échangeur à co-courant et les Échangeur à contre-courant

T1e

T1s

T2s

T2e

T1eT1s

T2e T2s

T1eT1s

T2 uniforme

40

Ecart de Température et Température moyenne

L’utilisation de ces équations est difficile car il faut connaître la température

moyenne du fluide pour évaluer TP , TF et connaître µP et µF . Par ailleurs la

température moyenne varie le long du tube entre l’entrée et la sortie suite

au transfert thermique.

Il faut chercher à estimer une valeur moyenne de T équivalente à l’entrée et

à la sortie.

pour un écoulement :

On considère généralement pour un écoulement laminaire :

DD

D

2

sortieentréem

sortie FPentrée FPmmoyen FPmmoyenm

TTAh

2

)T(T)T(TAhTTAhTAhq

2

TTT sortie Fentrée F

moyen F

sortie entrée

moyen

sortie entrée

ΔT -ΔTΔT =

ln ΔT ΔT moyenq UAΔT

41

Ex 13 : Échangeurs

Un liquide huileux avec un cp =2,30 kJ.kg-1.K-1 est refroidi dans un

échangeur de 98,6 °C (371,9 K) à 76,4 °C (349,7 K). Le fluide

circule dans un tube a une vitesse de 3630 kg.h-1. De l’eau à

15,4°C (288,6 K) circule à l’extérieur du tube avec un débit de 1450

kg.h-1. Le cp de l’eau est 4,187 kJ.kg-1.K-1

Calculer pour un échangeur à contre-courant puis à co-courant.

la température de l’eau en sortie,

l’aire de transfert de chaleur nécessaire si Ui = 340 W.m-2.K-1

Conclure

42

Ex 14 : Chauffage d’huile

De l’huile à 67°C (340 K) entre dans un tube de diamètre interne 1 cm

et d’une longueur de 4,5 m avec un débit de 36 kg.h-1. La température

de surface du tube est constante et égale à 227 °C (500 K),

température de la vapeur condensée à l’extérieur du tube.

Les propriétés de l’huile sont : Cp=2,5 kJ.kg-1.K-1, kh=0,144 W.m-1.K-1

Le coefficient de transfert thermique du tube est très important .

La viscosité dynamique de l’huile varie avec la température :

T (K) 340 367 395 420 450

(Pa.s) 6,5.10-3 5,05 .10-3 3,8 .10-3 2,8 .10-3 1,95 .10-3

Estimer le coefficient de transfert

Estimer la température de l’huile en sortie

43

Un solide est immergé dans un fluide en mouvement On considère les transferts de chaleur entre le fluide et le solide

uniquement. Le transfert est fonction de la forme du solide (sphère, cylindre, plaque ...). La nature du flux dépend du type de forme, de sa position dans le flux, la proximité d’autres formes, la vitesse du flux et les propriétés du fluide.

Le coefficient de transfert moyen d’un corps immergé est déterminé à partir d ’une relation du type:

m et C sont des constantes dépendant du type de géométrie

Les propriétés du fluide sont évaluées à la température du filmTf=(TP+TF)/2 avec TP température du fluide près du solide et TF température moyenne du fluide.

La vitesse du fluide est la vitesse libre du fluide proche du solide.

(17)31m PrReCNu

Écoulement autour d’un solide immergé

44

Plaque plate parallèle au flux de longueur L

Pour un système laminaire avec un Re inférieur à 3.105 et Pr >0.7

Pour un système turbulent avec Re supérieur à 3*105 et un Prr >0.7

Attention à la nature du matériau : si rugueux, Turbulence pour Re= 2.104.

(18)310,5 PrRe0,664Nu

Écoulement autour d’une Plaque plate immergée

L

LvLvρRe

L longueur de la plaque (m)

v vitesse moyenne du fluide (m.s-1)

masse volumique (kg.m3)

viscosité dynamique (Pa.s)

viscosité cinématique (m2.s-1)

(19)310,8 PrRe0,0366Nu

45

Ex 15 : Ailette de cuivre

Une fine ailette de cuivre soudée à un tube a une surface de 5,1 x 5,1 cm2. La température de cette ailette est de 82,2 °C.

De l’air a 15,6 °C et à une 1atm circule parallèlement à cette ailette à une vitesse de 12,2 m.s-1

Les propriétés physiques de l’air à 48,9°C sont :

k =0,0280 W.m-1.K-1 =1,097 kg.m-3

=1,95.10-5 Pa.s Cp=1006 J.kg-1.K-1

Calculer le coefficient de transfert h

Calculer le coefficient de transfert h pour une surface rugueuse avec un système complètement turbulent.

46

Écoulement autour d’un Cylindre immergé

Cylindre à axe perpendiculaire à un fluide en mouvement.

La dimension caractéristique est le diamètre externe du tube D

L ’équation permettant de calculer le transfert thermique est :

où C et m sont donnés dans le tableau suivant en fonction de Re

Re m C

1-4 0,33 0,989

4-40 0,358 0,911

40-4000 0,466 0,683

4000-40000 0,618 0,193

>40000 0,805 0,0266

Les propriétés du fluide sont évaluées à la température du film

La vitesse du fluide est la vitesse libre du fluide proche du solide.

D

(20)31m PrReCNu

DvDvRe

47

(21)310,5 PrRe0,62Nu

Écoulement autour d’une Sphère immergée

Une sphère est chauffée ou refroidie par un fluide en mouvement.

La dimension caractéristique est le diamètre de la sphère D

Les équations permettant de calculer le transfert thermique sont pour un Nombre de Reynolds de 1 à 70 000 et un Nombre de Prandtl de 0.6 à 400:

Pour les autres cas et notamment des Reynolds inférieurs il faut tenir compte de la convection naturelle.

D

DvDvRe

48

Ex 16 : Sphère immergée

Une sphère de cuivre est placée dans les

mêmes conditions que l ’ailette de l ’ex 15.

La température de surface de cette sphère

de diamètre 5,1 cm est de 82,2 °C.

De l’air a 15,6 °C et à une 1atm circule

autour de cette sphère à une vitesse de

12,2 m.s-1.

Calculer le coefficient de transfert h

49

Sn

Sp

D

Écoulement autour d’un Faisceau de tubes

Le fluide circule entre plusieurs rangées de tubes.

Beaucoup d ’échangeurs industriels sont de ce type (par exemple :un échangeur

gaz chaud circulant dans le tube et chauffant un gaz froid externe)

La dimension caractéristique est le diamètre externe D des tubes (m)

Le faisceau est caractérisé par :

Sn distance normale entre les centres

Sp distance parallèle entre les centres des tubes par rapport au flux

On distingue des faisceaux en ligne en quinconce

DvDvRe

Sn

Sp

D

50

Faisceau de tubes Pour un système avec un Nombre de Reynolds compris entre 2000 à 40000

on utilise l’équation

où C et m sont donnés dans le tableau suivant en fonction de la

géométrie

si moins de 10 rangées, multiplier C par :

(22)31m PrReCNu

Sn=Sp=1,25D Sn=Sp=1,5D Sn=Sp=2D

C m C m C m

en ligne 0,386 0,592 0,278 0,620 0,254 0,632

en quinconce 0,575 0,556 0,511 0,562 0,535 0,556

rangées : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

en ligne 0,64 0,80 0,87 0,90 0,92 0,94 0,96 0,98 0,99 1

en quinconce0,68 0,75 0,83 0,89 0,92 0,95 0,97 0,98 0,99 1

51

Ex 17 : Faisceau de tubes

De l’air à 15°C (288 K) et 1 atm passe dans un échangeurcomposé de 4 rangées de 10 tubes disposés en ligne. Lavitesse de l ’air est de 8 m.s-1 à l’entrée de l’échangeur. Latempérature à la surface des tubes est de 57 °C (330,4 K)

Le diamètre externe des tubes est de 2,5 cm. L’écartnormal au flux Sn des tubes est de 4 cm . L’écart parallèleau flux Sp des tubes est de 4 cm.

Les paramètres physiques de l’air à 37°C (310,8 K) sont :k =2,7 10-2 W.m-1.K-1, Pr=0.705, Cp=1,004 kJ.kg-1.K-1,= 1,137 kg.m-3, = 1,9.10-5 Pa.s

Pour une longueur des tubes de 30 cm calculer lavitesse de transfert thermique et la température desortie.

52

Convection libre

Le nombre de Grashof est défini comme le rapport entre les forces de pesanteur et de viscosité

d’une manière générale, des formules heuristiques donnent une

relation entre ces nombres :

Nu = f (Gr, Pr)

(23)

3

FP

²

DTTgrG

D dimension caractéristique (m)

g accélération de la pesanteur (m.s-2)

coeff. de dilatation isobare (K-1)

TP TF températures de la paroi et du fluide (K)

viscosité cinématique (m2.s-1)

53

Convection libre

Nu = C (Gr Pr )m

GrPr Régime C m

plaque verticale 104-109 laminaire 0,52 0,25

cylindre vertical 104-109 laminaire 0,59 0,25

109-1013 turbulent 0,13 0,33

cylindre horizontal 104-109 laminaire 0,53 0,25

109-1013 turbulent 0,13 0,33

plaque horizontale

au dessus 105-2.107 laminaire 0,54 0,25

en dessous 3.105-3.1010 laminaire 0,27 0,25

54

Ex 18 : Paroi d ’un four

La paroi d ’un four de cuisson (0.5 m de haut) est à la température de 232°C, est en contact avec de l ’air à 37,8°C. Calculer le coefficient de transfert et le transfert de chaleur par unité de largeur de la paroi. (on ne considère pas le rayonnement). Les propriétés de l ’air sont :

37,8°C 135°C 232°C

k (W.m-1.K-1) 0,0270 0,0343 0,0408

(kg.m-3) 1,137 0,867 0,7

µ (Pa.s) 1,9 10-5 2,32 10-5 2,71 10-5

Cp (kJ.kg-1.K-1) 1,0048 1,016 1,030

(K-1) 3,22 10-3 2,45 10-3 1,98 10-3

55

Dimensionnement

Traitement thermique des fluides

Les dimensions influencent les échanges

thermiques !

Problème complexe !

Hypothèses réalistes

Distribution des temps de séjour!

Objectifs (QmCp dT/dt) / Moyens (U A V)

Choix du type d’échangeur en fonction du

produit…

56

Échangeur Tubulaire

Caractéristiques :

diamètre et longueur des tubes...

Géométrie, Circulation et Nature du fluide caloporteur variées...

nombre de « passes » des deux fluides...

présence d’ailettes longitudinales ou transversales...

chicanes...

• Résistant à la pression

• Facilement nettoyable

• Remplacement du fluide caloporteur par un chauffage par effet Joule

57

Échangeur à Plaques

caractéristiques :

dimensions des plaques, diamètres des orifices (D en m),

écartement des plaques (y en m), épaisseur des plaques,

nombre de plaques

v vitesse du fluide dans l'échangeur (m.s-1)

v=Q/S avec Q débit volumique du fluide (m3.s-1) et S section de

passage du fluide entre 2 plaques (m2) S = largeur plaque x

épaisseur du canal x nombre de canaux

58

Échangeur à Surface Raclée

• Fluides visqueux ou avec

particules

• Accroissement du coefficient

de transfert en mélangeant la

couche en contact avec la paroi

à l’ensemble du flluide

• Température ~ homogène

• Action mécanique et thermique

(mélange, émulsification...)