Transmission des signaux en milieux discontinus itératifsDeuxième partie: Milieux itératifs (échelles de multiplets)

pp. 237-249 237

Milieux Georges B O N N E T *

Pr~fesseur ?t la Facult~ des Sciences

Transmission des signaux en milieux discontinus it6ratifs

Deux idme par t ie :

it6ratifs (6chelles de multiplets)

Analyse

Etude de la propagation monodimensionnelle de signaux transitoires dans des multiplets, formks par juxtaposition de plusieurs segments homogbnes, d'imp~- dances et de dimensions arbitraires : mifieux stratifies ~lectromagn6tiques ou acoustiques, aussi bien que lignes de transmission discontinues. L'accent est mis sur une approximation adapt~e aux signaux de spectre ~troit ; ce qui r~duit la description exhaustive des multiplets ~ trois constantes seulement, dont la d~ter- ruination est ~tabfie clans le cas le plus gkn~ral. Le comportement dominant est alors un retard de transmission, dknotant un effet de f re inage par rapport au temps de parcours attendu, auquel se surajoute un effet de filtrage passe-bandes p~riodique en frkquence. L'it~ration d'un multiplet a pour seule consequence de faire ressortir les deux effets precedents, le systbme se comportant alors en parfaite analogie avec les r~seaux klectriques en dchelle. Les opkrateurs de transmission et de r~flexion d'un tel milieu it6ratif plac~ entre deux milieux homogbnes ind~finis, sont caract~- ris6s par leurs r@onses percussionnelles dont l'expression litt~rale est ~tabfie clans le cas non dissipatif Par comparaison avec le comportement d'un milieu homogbne qui serait substituk au milieu it~ratif, on constate un phknombne de r~verb~ration de chronologie identique, mais lissk par l'effet de filtrage.

Mots cl~s : Th6orie signal, Propagation onde, Onde 61ectro- magn6tique, Onde acoustique, Milieu discontinu, Milieu stra- tifi6, Ligne transmission, Milieu p6riodique, Freinage, Filtrage fr6quence, R6ponse impulsion, R6verb6ration.

S I G N A L T R A N S M I S S I O N IN D I S C O N T I N U O U S OR L A Y E R E D ITERATIVE M E D I A . P A R T T W O

Abstract

Study of unidimensional propagation of transient signals through so called ~ multiplets ~, formed by

juxtaposing several homogeneous sections of arbitrary impedances and sizes : electromagnetic or acoustic layered media as well as discontinuous transmission lines. The emphasis is put on an approximation, fitted to narrow-band signals : which, in so doing, reduces the exhaustive description of any multiplet to three constants only, whose expressions have been fully determined in the most general case. The main behaviour is then a transmission delay, that suggests a << slowing down effect >> in regard to the expected transit time, to which is added a band-pass filtering, periodic in frequency. The sole result of the periodic iteration of a multiplet is to emphasize the two previous processes : the whole system thus behaves in a very analogous manner with electrical ladder networks. The transmission and reflection operators of such iterative media, when put between two boundless yet homogeneous external media, are characterized by their impulse responses, whose literal expressions are determined in the zero-loss case. Comparing the behaviour of some homogeneous medium that could take the place of the genuine periodic medium, a reverberation process is noticed, with the same chronology but smoo- thed by filtering effect.

Key words : Signal theory, Wave propagation, Electromagne- tic wave, Acoustic wave, Discontinuous medium, Layered medium, Transmission line, Periodic medium, Slowing down effect, Frequency filtering, Impulse response, Reverberation.

Sommaire de ia deuxi6me partie

3. Milieux itOratifs : Ochelle de N multiplets.

4. Conclusion gOn~rale.

5. Bibliographie (24 rOf ).

* Laboratoire G.E.S.S.Y., Universit6 de Toulon et du Var, Chfiteau Saint-Michel, 83130 La Garde (France).

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3. MILIEUX ITI~RATIFS : I~CHELLE DE N MULTIPLETS

3.1. Iteration.

3.1.1. Structure.

a) La juxtaposition de N multiplets identiques donne naissance/t un milieu it6ratif que nous d6nom- merons ~chelle de N (Fig. 15). Le multiplet de

. . . . .

2 N

FIG. 15. - - Echelle de N multiplets it6r6s (symbolique).

Ladder of N iterated multiplets (symbolized).

base, celui qui est ainsi it6r6, est suppos6 connu : nous savons qu'il est enti~rement d6crit par sa matrice de transfert T, d'616ments t u .

b) Un tel milieu it6ratif de transmission, consid6r6 dans son ensemble, est lui-m~me un multiplet. I1 est donc d6crit h son tour par une matrice de transfert facile h d6terminer. En effet, en raison de la continuit6 des deux composantes tangentielles, ~ et ~ , du vecteur d'6tat, c'est bien /t la matrice T des multiplets qu'il faut recourir pour d6crire l'it6ration. Alors, puisque les N multiplets constitutifs sont identiques, la matrice de transfert ON de l'6chelle de N e s t tout simplement 6gale ~t (83) ON = T N.

3.1.2. Matrice de transfert globale.

a) Etant donn6 la nature des valeurs propres et doric la nature (22) de la matrice diagonale D, les relations de diagonalisation s'6crivent respectivement,

10o o] T = Q D Q -1 = Q Q - l ,

I o-N~ 01Q_, O N = T N = Q D N Q - ' = Q [ o e-N~ 1

II r~sulte imm6diatement de la comparaison de ces deux expressions que :

- - la matrice de transfert | de l'6chelle de N a pour mleurs propres exp{• Are} ;

- - ses vecteurs propres sont ceux de la matrice T du multiplet ; par suite, cf. w 2.2.2.2., l'~chelle de N conserve les impedances caractdristioues 3:~ du multiplet constituant ;

- - la matrice de transfert | a l a marne morphologie que celle du multiplet it6r6 ; le passage de T g ON s'effectue par la simple substitution,

a-> N~.

Cette substitution dans les 616ments tij fournit ainsi les 616ments de matrice 0 u de | :

Ou(a ) : tii(N~) ;

b) en particulier, si nous partons de la forme canonique (23) du multiplet de base, la r6gle de substitution pr6c6dente fournit la forme canonique d 'une ~chelle de N :

1 (84) | - - x

3+ + 3 -

k [ 3 + + 3 _ l c o s h N e + - - 2 3 + 3 - sinhNcr~ .

[3+ - - 3 - ] sinh Ne

- - 2 sinh Na [3+ + 3-] cosh Ne - - | [3+ - - 3-] sinh Na_]

Dans cette matrice, les 616ments structuraux sont d6termin6s par :

- - la structure du multiplet it6r6 : e, donn6 par (17) ; 3+ , donn6s par (19),

- - l ' o r d r e d'it6ration N.

3.1.3. Comportement g6n6ral d'un milieu it6r6.

Les caract6ristiques du transfert par un multiplet se retrouvent toutes aupr6s d 'une 6chelle de N ; la seule diff6rence provenant de la substitution e -+ Ne. C'est ainsi que, les valeurs propres de N 6tant devenues exp{• Ne}, il convient d'en 6voquer rapidement les cons6quences principales.

3.1.3.1. Effet de freinage.

a) Dans l 'approximation de basse fr~quence r6ser- v6e au transfert des signaux lentement variables, la partie principale de N~ est 6gale ~ N~p, cf. (29). La partie principale des valeurs propres de l'6chelle de N e s t donc exp{• N~p}. Le comportement dominant vis-fi-vis des signaux de tr6s basse fr6quence en est donc un retard de transmission (tout comme pour un multiplet, conform6ment/l la r6gle I du w 2.2.5.1.) Ce retard de transmission s'av6re ~gal /~ N~ soit, comme il se devait, ~ ~ par multiplet.

b) Par suite, le facteur de freinage de l'6chelle de N toute enti6re demeure identique h celui,

: ~[Y:rm, de son multiplet constituant. m

c) Enfin, la forme canonique (84) montre que l'6chelle de N poss6de les m~mes, imp6dances caract6- ristiques 3+(p) et 3 - (p) que le multiplet constituant.

En particulier les termes fondamental Zc et de dissym6trie A de l 'approximation basse fr6quence sont les m~mes pour l'~chelle de N et pour son multiplet const i tuant ; cela, quel que soit N.

3.1.3.2. Bandes interdites.

En r6gime monochromatique, l'existence de fr6- quences de coupure d6coule de ce que les valeurs propres doivent conserver un module unit6 (w 2.5.1.1.). Concernant maintenant une 6chelle de N, il faut donc que Ne soit imaginaire put. Comme N e s t r6el, la

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condition est donc la mSme que pour le multiplet constituant : ~(2 n i ~) = i q0(v) ~ i s

I1 en r6sulte que la structure des bandes passantes et des bandes interdites de l'6chelle de N 6pouse exactement celle du multiplet it&& Cela est vrai en particulier pour la fr6quence de coupure fondamentale, laquelle conserve la valeur approch6e ~ -- l inE.

3.1.3.3. Transparence totale.

a) A l'oppos6 des bandes passantes, la r6partition des fr6quences de transparence totale v a s e trouver boulevers6e par le fait de l'it6ration. En effet, la transparence totale d'une 6chelle de N e s t acquise pour toute fr6quence qui transforme la matrice de transfert | en matrice identit6 ; nous allons voir que de nombreuses solutions ( N - 1) existent, pour lesquelles T n'est cependant pas identique.

La forme canonique (84) de la matrice | adap- t6e au r6gime monochromatique de fr6quence par la substitution ~(2 n i v) -- i g(v), donne la condition de transparence :

tel que cos(Ng) : • 1 ~ s inN 9 : 0 ~ | = I.

Compte tenu de l'expression (61) de 9, cette condition se reporte sur la matrice de transfert T du multiplet it6r6 et devient :

cos N a r c c o s , - l t r = ~_ 1, ~\ 2

soit finalement,

que tr T~= 2cos ( m :z) " ~ O~ = ( - -1 ) m I, (85) vtel 1u /

m ~ Z .

b) Compte tenu d'une part, de la p6riodicit6 d 'un multiplet, d 'autre part de la parit6 de la trace, il suffit de consid6rer l'intervalle de fr6quences ]0, 114 0].

On sait (62) que chaque bande passante int&ieure cet intervalle est d6finie par l'ensemble compact

des fr6quences pour lesquelles la trace a une valeur comprise entre - - 2 et 4- 2 : il existe donc (N 4- 1) fr6quences de transparence totale, solutions de la condition (85), pour chacune des s bandes passantes de l'interva[le consid&6. En particulier, les deux fr~quences extremes de chaque bande, qui correspondent ~ m = 0 et m = N, donc aux valeurs limites tr T, -- • 2, sont en mSme temps les fr6quences de transparence totale du multiplet de base.

c) Nous pouvons ainsi grouper les fr6quehces de transparence totale en trois families : les deux pre- mi6res propres au multiplet de base, la troisi6me d6coulant de l 'it&ation :

�9 I re famil le : Fr6quence z6ro et multiples entiers de la semip6riode,

v : k [20 , V k a Z .

�9 2 ~ famil le : Paires de fr6quences de coupure, d61imitant chacune des bandes passantes de l'intervalle fondamental ; plus, les fr6quences d6duites des pr6c6dentes par toutes les translations multiples de

1/2 0. Ce sont les solutions 6ventuelles de :

t r T ~ = •

�9 3~famille : ( N - - 1)fr6quences suppl6mentaires pour chaque bande passante, solutions de,

t r T ~ = 2 c o s ( m , n l , m : l , 2 .... ( N - - 1 ) ; N > 1, \iv - /

ainsi que les fr6quences qui s'en d~duisent par des translations multiples de 1[20.

3.2. Le mult iplet optimal .

Nous nous proposons de rechercher les conditions d'optimalit6 d 'un multiplet d 'ordre M, construit avec des 616ments d'imp6dance Z1 , Z2 . . . . . ZM dont un certain hombre peuvent ~tre, 6ventueltement, 6gales entre elles (par principe, nous consid&erons ici comme indiscernables deux mat6riaux ayant la m~me imp6- dance ; deux segments juxtapos6s de mSme imp6dance seront donc trait6s comme un segment unique).

Le premier crit6re retenu sera le maximum du facteur de freinage (w 2.4.5.). Nous lui adjoindrons ensuite le crit6re simultan6 du maximum de largeur de bande passante fondamentale (w 2.5.2.2.).

On voit, par le choix de ces crit6res, que le probl6me d'optimalit6 concerne uniquement les signaux de bande &roite. Nous nous plagons donc, par hypoth6se, dans un tel r6gime.

3.2.1. Calcul des variations.

Etant donn6 l'expression (60) du carr6 ~2 du temps de transit, la recherche d'un extremum de cette quanti t6 sous la contrainte (':1 + ":2 4- ... 4- ":M) : constante conduit /t annuler simultan6ment les M variations :

M M 8[ 52 VkzmZJZm- ~2( E %.)2],

k,m=l m = l

oh ~2, carr6 du facteur de freinage (61) est trait6 ici comme un multiplicateur de Lagrange. Cela conduit aux M 6quations d'Euter (m : 1 fi M ) :

z m ( g ":~lZs) + ( l l Z , . ) ( Z ":jzs) - - ~2(E us) = 0. J J J

3.2.2. Solution de base : doublet.

a) Choisissons arbitrairement l 'une des imp6dances, celle du segment p : Z v = ZA �9 Les 6quations d'Euler imposent alors ( M - 1) conditions n6cessaires, qui sont (m @ p) :

(86) (Z~, - - ZA) Z ":s/Zs = ( 1 / Z A - 1/Zm) Z z sZs . J J

Convenons alors, dans une premi6re d6marche, de prendre des imp6dances Z,, toutes diff6rentes de celle, ZA, du segment p. Les conditions pr6c6dentes deviennent tout simplement :

7.,, = ( 52 ":sZs)/(ZA E "rslZs) =-- const. Z , (V rn 4= P). J J

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Autrement dit, une approche possible du probl6me d'extremum est constitu6e d 'un segment p, d'imp6- dance ZA, encadr6 de ( M - 1) segments ayant tous la m~me imp6dance ZB : par 6quivalence, le probl6me est ainsi ramen6 h l'optimalisation d 'un triplet.

b) De plus, la r6gle III de permutation du w 2.4.6.5. permet de r6duire ce triplet 5. un doublet 6quivalent. Le probl6me de l'extremum est ainsi r6solu, puisque nous avons d6termin6 au w 2.4.5.2. que le doublet optimal est le doublet isochrone.

Ce doublet optimal comporte ainsi deux segments ayant le m~me temps de transit -r et deux imp6dances ZA et ZB. Ces derni&es d6finissent, selon (39) un facteur de freinage,

1 = +

Par suite, ce doublet poss~de :

- - u n temps de transit ~ = 2ev,

- - u n e fr6quence de coupure fondamentale ~ = l [ n ~ , cf. (71).

Enfin, l 'optimum du facteur de freinage sera donn6 par le choix de deux imp6dances ZA et Z~ les plus contrast6es dans le lot disponible.

3.2.3. Autres solutions.

a) Un grand nombre d'autres solutions aux conditions (86) auraient pu &re recherch6es en choisissant un nombre K arbitraire (1 < K < M) de segments ayant la m~me imp6dance ZA et de rangs p~, P2 ... PK : Zp~, = ZA. On voit facilement que l 'optimum serait ~t rechercher sous les (N - - K) conditions pr6atables :

Zm = const. ZB pour tout m ~ Px �9

b) La r6gle III montre alors que ce multiplet, qui diff6re du doublet ant6rieur par une permutation de ses segments, suivie d 'un regroupement, lui est 6qui- valent en ce sens qu'il conduit toujours ~ un optimum sous la forme isochrone, avec :

- - le mEme temps de transit ~,

- - l a m~me fr6quence de coupure ~ = l /n~ .

3.2.4. Optimum absolu.

Supposons, pour simplifier, que le nombre total M des segments du multiplet soit pair. Le cas particulier, K : M]2, des multiplets de la famille pr6c6dente (w 3.2.3.) va permettre de trouver une solution singu- li6re : au d6part, une lois r6alis6 l'isochronisme, le temps de transit ~ et la fr6quence de coupure v~ sont les m~mes que pr6c6demment.

Mais nous pouvons ici, par le jeu de la r~gle III de permutation, r6partir les segments en M[2 paires altern6es (ZAZB), i.e. adopter la structure it6r6e d'une 6chelle de M[2 doublets isochrones. Dans ces conditions particuli~res :

- - le temps de transit conserve la valeur ~ (r6gle I I I ) ; il est r6parti 5. raison de 2 ElM par doublet 616mentaire ;

- - la fr6quence de coupure du multiplet devient (w 3.1.3.2.) celle du doublet, soit :

MI2 = ( m / 2 )

Une telle augmentation de bande passante repr6sente en t616communication, une am61ioration consid6rable, dos lors que M est grand. Nous d6duisons de tout cela :

Rbgle VIII.

Le multiplet optimal d'ordre 2 N donnd, qui maxi- malise ~ la fois le temps de transit et la largeur de la bande passante fondamentale, possbde une structure p~riodique. II est formd par l'itdration de N doublets isochrones, construits sur les deux impddances les plus contrastdes parmi toutes celles disponibles.

Remarque : en fonction de ce qui a 6t6 6tabli au w 2.4.5.1. et exprim6 par la figure 8, une solution suboptimale parfaitement acceptable peut ~tre four- nie par une 6chelle de N doublets h6t6rochrones, 6ventuellement assez 61oign6s de l'isochronisme : zB[% ~ (0,5 ; 2) 6tant tout ~ fait satisfaisant.

3 .3 . T r a n s m i s s i o n e t r ~ f l e x i o n .

3.3.1. Probl~me g6n6ral de propagation.

3.3.1.1. Schdma universel. On consid6re, suivant le sch6ma de principe de la figure 15,

a) l'6chelle de N multiplets it6r6s. Comme nous venons de le voir, un tel syst6me est enti6rement caract6ris6 par sa matrice de transfert ON, sous la forme canonique (84).

b) 2 milieux extremes, ind6finis, associ6s respectivement ~t l'entr6e E et /t la sortie S de l'6chelle. Ces milieux, suppos6s homog6nes, sont caract6ris6s par :

- - l e u r s imp6dances, respectivement 3~ et 3s ,

- - l e u r s c616rit6s, respectivement cE et Cs.

Darts le cas off ces milieux seraient dispersifs, les quantit6s pr6c6dentes seraient des fonctions de la fr6quence complexe p ; par exemple,

3s(P) = Zs + Asp + 0[p21 �9

Nous conviendrons cependant de tenir pour n6gli- geable la dispersion du milieu d'entr6e (amont) de faqon h conserver son sens 5. la notion de r~ponse percussionnelle.

Ainsi pos6, le probl6me consiste ~t d6terminer le comportement en transmission et en r6flexion du syst6me form6 par l'6chelle de N, ptac6e entre les deux milieux ind6finis.

3.3.1.2. Filtres lindaires.

Conform6ment aux hypoth6ses faites dans l'introduction, le syst6me 6tudi6 poss6de les deux caract6-

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ristiques d 'un filtre lin6aire : lin6arit6 et invariance dans le temps. De fait, s'agissant de deux compor- tements s6parables en transmission et en r6flexion, ce sont deux filtres lin6aires qu'il nous faudra consi- d6rer pour d~crire le syst~me. Pour caract6riser chacun d'entre eux, il faut recourir, on le sait, h la r6ponse percussionnelle ; ou encore, en r6gime monochromatique, au gain complexe de ces deux filtres. La

[-~,-[ <~ ~ ' - -P" T(t} ~ t(r) transmission Sit)

R(t) ~- r(v) r6ftexion

FIG. 16. - - Filtres de transmission et de r~flexion (symboliques).

Transmission and reflection filters (symbolized).

figure 16 sch6matise le double effet de filtrage, que nous dfcrivons comme suit :

a) Filtre de transmission ~.

- - Sa r6ponse percussionnelle, T(t), repr6sente le champ observable /l la sortie S de l'6chelle de N lorsque l'entr6e E reqoit, /t la date t = 0, un champ d6crit par une distribution unit6 de Dirac 3(t).

- - Son gain complexe t(v), transform6e de Fourier de T(t), repr6sente l 'amplitude complexe du champ t(v) exp(2n iv t ) provoqu6, ~ la sortie S, en r6gime stationnaire, par un champ unitaire monochromatique exp(2rciut) situ6 ~t l'entr6e E.

b) Filtre de r6flexion.

- - Sa r6ponse percussionnelle R(t) d6crit l'6volu- tion au cours du temps du champ observable ~ l'entr6e E du syst6me, ~ la suite de l'6mission, au mSme point E et ~t la date t = 0, d 'un champ d6crit par la distribution unit6 de Dirac 3(t).

- - S o n gain complexe r(v) ~ R(t) est le reflet de ce comportement en r6gime stationnaire monochromatique.

3.3.2. Filtres lin6aires et ondes progressives.

II nous faut maintenant traduire en termes d'ondes progressives le schdma symbolique de la figure 16. Nous d6finirons comme suit les composantes 61ectrique et magn6tique du vecteur d'6tat associ6 aux ondes incidente, transmise et r6fl6chie :

3.3.2.1. Champs dlectriques.

Introduisons les r@onses percussionnelles opdration- nelles,

(87 a) ~3(p) I" T(t),

(87 b) :R(p) I" R(t),

qui sont les transform6es de Laplace respectives des r@onses percussionnelles de transmission et de r6flexion de l'6chelle de N multiplets.

Les paires de Laplace descriptives des ondes progressives consid6r6es sont alors :

a) onde incidente (en amont de E : x ~ 0)

3(t - - X/eE) -'1 exp ( - - pxlc~},

b) onde transmise (en aval de S : x >~ N Y , d,,) m

T [ t - - ( x - - N ) ] dm)/Cs] ~1 T~(p)exp { - - p ( X / C s - - N • %)}, m m

c) onde r~fl6chie (en amont de E : x ~< 0)

R(t + XlCE) "1 :g(p) exp {+ px/cE}.

3.3.2.2. Champs magnOtiques.

Compte tenu de la solution g6n6rale (2) des 6qua- tions de propagation, les repr6sentations de Laplace des trois types d'ondes progressives sont :

- - onde incidente :

+ exp {-- pXlCE}/3r,

- - onde transmise :

+ ~6(p) exp {-- p(x/cs - - N Y~ v,,)}/3s, m

- - onde rOflOchie :

- - :g(p) exp {+ pX/CE}/3E.

3.3.2.3. Equation de transfert.

a) vecteur d'6tat /t l 'entr&. Au point E(x = 0), le vecteur d'6tat correspond fi la superposition des ondes incidente et rffl6chie. I1 s'6crit, en fonction de ce qui pr6c~de :

[ C > E = 1 - - 5 { ] / 3 E '

b) vecteur d'~tat ~t la sortie. Point S(x = N 2~ d,,) ; onde transmise, m

] c > s = ~/Ss '

c) transfert. On doit avoir, pour exprimer le trans- fer t / l travers l'6chelle de N multiplets :

I c > s = 0N[C>E ou encore [1 ] (88) WSs = O N [ I - - ~ ] / S E '

oh ON est, rappelons-le, la matrice de transfert de l'6chelle de N, matrice suppos6e connue.

d) Les inconnues &ant les r6ponses percussionnelles op6rationnelles ~(p) et 5~(p), l '6quation (88) constitue un systkme de Cramer dont la solution s'exprimera en fonction des 616ments 0~j(p) de la matrice de transfert et des imp6dances 3E(P), 3s(P) des milieux extrames On trouve ainsi :

- - r6ponse percussionnelle (op6rationnelle) de transmission,

(89 a) 13(p) = - - 2 5S/(012--3E0,, --3S022 + 3ESS02,),

- - r 6 p o n s e percussionnelle de r6flexion,

012 + 5~0, , - - 5s022 - - 5~5s%~ (89 b) oR(p) = 012 __ 5E0,a - - 3S022 + 5E5S021

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3 .4 . R 6 p o n s e s p e r c u s s i o n n e l l e s de t r a n s m i s s i o n e t d e

r 6 f l e x i o n .

3.4.1. Expressions op6rationnelles.

3.4.1.1. Emploi des fonctions hyperboliques. Nous exprimons les 616ments de matrice 0~j dans

(89)/t partir de la forme canonique (84), donc/l partir des fonctions hyperboliques de l'argument No(p). Les interm6diaires simplificateurs seront :

a) facteur de transmission (op6rationnel) entre milieux extremes,

(90 a) ~,~s(P) = 2 5s/(Ss -r 5E),

b) facteur de r6flexion (op6rationnel) entre mames milieux,

(90 b) ~ s ( P ) = ( S s - 5E)l(Ss + 5~),

C) facteurs composites,

(91 a)

r = - - 2 ( S s - - 5 _ ) (SE + 5+)/(5+ + 5 - ) (Ss - -5~) ,

(91 b)

~(p) = 2 (Ss - - 5_) (5~ - - 5+)/(5+ + 5_) (5~ + 5E).

On remarque, concernant ces deux derniers facteurs, que

- - si le milieu de sortie est adapt6 au multiplet dans le sens aller, 5s ~= 5- , alors

if(p) ~ O(p) ~ 0 ;

- - s i le milieu d'entr6e est adapt6, darts le sens << retour >>, 58 =- 5+ , alors seul

~(p) ~ 0.

d) La r6ponse percussionnelle de transmission (op6rationnelle) est alors,

~ E S

(92 a) ~(P) = cosh(N~) q- (1 q- O)s inh(Na)"

e) La r6ponse percussionnelle de r6flexion est, de mame,

cosh(N~) -k (1 -b if) sinh(Na) (92 b) 5~(p) = o~ES cosh(N~r) + (1 + ~) sinh(Na) "

3.4.1.2. Emploi direct des exponentielles.

En vue de la transformation inverse de Laplace, qui interviendra au stade final, il est pr6f6rable d'exprimer les r6sultats pr6c6dents h partir des exp (• N~r).

a) On introduit dans ce but un nouvel interm6diaire,

~(P) (5s - - 5-) (SE - - 5+) (93) 3~(p)= 2 q - O ( p ) - - ( S s q-5+) ( 3 E §

Ce terme sans dimension 6voque le produit de deux facteurs de r6flexion op6rationnels :

- - r 6 f l e x i o n multiplet/milieu de sortie, dans le trajet aller (5-),

- - r6flexion multiplet/milieu d'entr6e, dans le trajet retour (5+).

En particulier, notons que ~(p) s'annule identiquement lorsque, soit le milieu d'entr6e, soit le milieu de sortie sont adapt6s au multiplet de base.

b) La r6ponse percussionnelle de transmission (op6rationnelle) devient ainsi,

(94 a) 25s(5+ + 5 - ) e - ' ~

~(p) = (Ss + 5+) (5E + 5_) 1 - - ~ c e -2"~

c) La r6ponse percussionnelle de r6flexion (op6ra- tionnelle prend la forme,

3---3E ~(p) - + 3- +3E

(94 b) 25~(5+ + 5_) (5s - - 5_) e - : ~

(SE + 5-) 2 (Ss + 5+) 1 - - ,-~ e -2N~

- - L e premier terme est le facteur de r6flexion op6rationnel entre le milieu d'entr6e et le multiplet, dans le sens aller. Ce terme disparaR si ces milieux sont adapt6s dans cette direction, 5E = 5- �9

- - Le second terme fait intervenir le nombre N de multiplets it6r6s et le contraste d'imp6dance au niveau du milieu de sortie. I1 s'annule identiquement si ce dernier est adapt6, 3s = 3- �9

d) Nous rappelons ici, pour faciliter l'emploi des formules (92) et (94) pr6c6dentes que :

- - 3E(P) et 3s(P) sont les imp6dances op6ration- nelles qui d6crivent les milieux homog~nes d'entr6e (amont) et de sortie (aval) ;

- - *(p), 3+(p) et 5-(p) caract6risent exhaustivement le multiplet de base. Ce dernier est d6crit par sa matrice de transfert T, consid6r6e comme une donn6e du probl6me. Alors, la relation (17) permet d'en d6duire cr, tandis que les relations (19) conduisent h 3+ et 3 - ;

- - N e s t l'ordre d'it6ration du multiplet de base.

3.4.1.3. Remarques.

a) Les formules (92 a, b) et surtout (94 a, b) appor- tent la solution la plus complete et la plus rigoureuse au probl6me de la d&ermination des r6ponses percussionnelles op6rationnelles d'une 6chelle de N multiplets.

I1 va de soi que la connaissance des gains complexes de transmission, t(v) et de r6flexion, r(~) fournirait une solution enti6rement 6quivalente. Or, les formules pr6cit6es ne pr6sentent manifestement pas de singu- larit6s sur l'axe imaginaire. De ce fait, le passage de la transform6e de Laplace it celle de Fourier est imm6diat : les gains complexes t(u) et r(v) seront d6duits directement des expressions (92) et (94) par la simple substitution p --> 2 n iv :

t(v) = ~6(2ni~) ; r(v) = ~(2niv) .

On a vu que, ce faisant, e(p) est remplac6 par le

A N N . Tt~L~COMMUNIC., 35, n ~ 7-8, 1980 6/13

G . BONNE T. - T R A N S M I S S I O N DES S I G N A U X . M I L I E U X D I S C O N T 1 N U S 243

d6phasage i?(v), cf. (59), solution de l'6quation de d6finition (61).

b) L'Etape finale serait le passage aux rEponses percussionnelles T(t) et R(t) par une transformation de Laplace inverse, /l partir des r6ponses operation- nelles q3(p) et .R(p) [ou par une transformation de Fourier inverse, /t partir des gains complexes flu) et r(v)].

Cette &ape ne peut 6videmment &re abord6e qu'/t partir du moment o(1, d'une part, les multiplets utilis6s sont precis& par l'expression litt6rale de leurs param&res fonctionnels o(p), 5~(p) et off, d'autre part, les milieux extremes sont dEcrits par la donnEe explicite de 5E(P) et de 5s(P).

Dans l'&ude actuelle, cantonn6e dans une description d'ordre gEn6ral, nous allons certes entreprendre l'&ape ultime ; mais cela sera fa r dans le cadre forc6ment limit6 d'une approximation.

3.4.2. Approximation basse fr6quence.

L'inversion de Laplace sera tent6e dans un cadre restreint aux signaux lentement variables. Dans ces conditions, l'6tude du w 2.2.5. montre comment, tant ~(p) que les imp6dances 5+(P) peuvent &re remplacEs par des d6veloppements limit&.

3.4.2.1. Impddances.

Dans l'hypoth&e off le spectre des frEquences utilis6es est suffisamment &roit, nous convenons de nEgliger, dans l'expression des imp6dances, le terme de dissym6trie impliqu6 par le dEveloppement (31) ; de ce fait, les impedances se rEduisent chacune ~t un terme reel et constant, ~ savoir �9

- - impedance caract6ristique du multiplet, 5_+(p) = zo ,

- - impedance des milieux extrames, 5E(P) = ZE ; 5s(p) = Zs .

3.4.2.2. Facteurs auxiliaires.

a) Le terme en facteur dans la rdponse de transmission (94 a) devient,

2 5s(5+ + 5-) (95 a) lira

~-~o (Ss + 5+) (5~ + 5- ) 4 Z~Zs = t~ M t~ s,

(zE + zo) (Zs + zo)

off apparait le produit de deux facteurs de transmission �9

- - transmission milieu d'entr6e/multiplet (sens aller),

(95 b) t~ M = 2 Zol(Z~ + z~),

- - transmission multiplet/mileu de sortie (sens aller),

(95 c) t~ s = 2 Zsl(Zs + Zr

b) Le premier terme de la r@onse de r6flexion (94 b) devient,

(96) lim ~ - - - 5 E __ Z c - - Z E __ rFEM

p--~O 5-- @ 5E Zc -[- ZE

qui est le facteur de r6flexion milieu d'entr6e/multiplet, dans le sens aller.

c) Le facteur du second terme de la rEponse (94 b) devient,

2 3~(3+ + 3_) (3s - 3_) (97 a) lim

p§ (SE + 5- ) 2 (Ss + 5+) 4 Zc(Zs - - Zc) ZE = = t~ Mtr~ s t y ME,

(z~ + zo)2(Zs + zo)

ce qm est le produit des facteurs suivants �9

- - facteur de transmission milieux d'entrEe/multiplet (sens aller) "

tv T M d&rit par (95 b),

- - f a c t e u r de r6flexion multiplet/milieu de sortie (sens alter) �9

(97 b) rvMS _ Zs - - Zc Zs + Z~'

- - facteur de transmission multiplet/milieu d'entr6e (sens retour) �9

2 ZE (97 c) t ME = 2 - - tF T M - - - - ,

Z~ + ZE

d) Enfin, le coefficient 3~ d6fini par (93) et pr&ent dans les deux r@onses percussionnelles ~6(p)et .R(p) devient,

Z s - - Z ~ Z E - - Z r (98a) l im~(p ) = = r ~ s t y E

p--,o Zs + Zc ZE + Z~ '

qui est le produit de deux coefficients de r6flexion :

- - r6flexion multiplet/milieu de sortie (sens aller) :

rF Ms, d&rit par (97 b),

- - r6flexion multiplet/milieu d'entr6e (sens retour) �9

(98 b) r ME - - r v T M - - Z E - - Z e

ZE + Z~ '

f ) Remarque importante �9 Du fa r de la structure (98 a) en produit de facteurs de r6flexion, le facteur ~ poss6de une limite BF r6elle et born&,

(99) [lim ~;(P)I = ]rPS] [rFMEI < 1. p--~O

3.4.2.3. Exponentielles exp {-< No}.

a) Partons de l'approximation BF (29) "

~,(p) = ~p + 0[p3].

Nous pouvons en d6duire une approximation du m~me ordre de cosh (~). En consid6rant alors comme identiquement nul le reste en p3 de cette approximation, nous adoptons - - par convention - - l'6galit6,

cosh (or)= 1 + ~2p2[2, d'ofi rEsulte

sinh (~) = ~p~/1 + ~2p214,

et finalement,

(100) exp{Nz} = h/l + (~p/2) z + ~p/2] 2N.

7 /13 ANN. TI~LI~COMMUNIC., 35 , n ~ 7-8, 1980


b) En vue d'une transformation de Laplace, l'expression (100) apparait comme la plus commode parmi toutes les approximations de second ordre possibles, qui lui sont 6videmment routes 6quivalentes. Citons cependant une autre possibilit6 int6ressante,

exp {N~} = [~p § (1 q- i)] N [~p + (1 - - i)]n/2 N.

3.4.2.4. Rdponse percussionnelle de transmission.

a) Dans l 'approximation BF, la r6ponse op6ration- nelle de transmission (94a) devient donc :

e - NeE

( 1 0 1 a) ]3(p) = tF TM tF Ms 1 - - r~ s r y E e-2N" �9

Or, 6tant donn6 que Re p > 0, l 'approximation (29) implique Re a > 0 et par suite, lexp {-- 2 NG} I < 1. Nous avons en outre (99) la majoration de "F"MS'r~E'F ," ce qui fait que le d6nominateur de la r6ponse percussionnelle de transmission (qui est le m~me que celui de la r6ponse de r6flexion, cf. (86 b)) peut ~tre d6velopp6 en s6rie uniform6ment convergente. D'o~, finalement,

co

(I01 b) ~3(p) : "F'EM "E'MS ,.--N'~ [1 + ~] (r~ s rvME) ~ e- z,N~]. q = l

b) Puisque exp(N~) a la forme (100), on utilisera la paire de Laplace classique,

1 J ~ ( ~ t ) r" ~ v 1 a ~ - ~ ) ( t ) ,

(~/1 + (p/002 -~- p/g)~ ~t

ofa J~ est la fonction de Bessel de premi6re esp6ce, d 'ordre ~. On aboutit ainsi h la r6ponse percussionnelle de transmission, dans son approximation basse fr6- quence To(t), sous la forme :

(102)

4 N ~ To(t) ~- - f - q_~tr TM_~ (r~ s r~E) q trMS(2q+ 1) •

J 2 ( 2 q + 1)N (2tiT)

(2 t/T)

On a bien To(t) :-- 0 pour t < 0, conform6ment /t la contrainte de causalit6.

c) L'interpr6tation physique de ce r6sultat, en termes de r6verb6ration, sera faite au w 3.5. Bornons- nous pour l'instant/~ remarquer que la r6ponse percussionnelle se r6duit/ l un terme unique,

To(t) ~- 7 tEEM tern J2/v(2 t]~)

(2 t/~) a(- 1)(t)'

lorsque, soit le milieu de sortie, soit le milieu d'entr6e sont adapt6s au multiplet ; ce qui supprime toute r&lexion /l l 'interface correspondante (r~ s ou r ~ E = 0).

d) Une des propri6t6s les plus remarquables des fonctions de Bessel J~(z) d'indice v 61ev6 est de conserver une valeur n6gligeable tant que la variable z n'atteint pas un voisinage de l'indice,

J ~ ( z ) ~ 0 si z < ~.

De fagon ~t b6n6ficier des cons6quences de cette propri6t6, nous allons nous restreindre dans toute la suite /t des ordres d'it6ration 61ev6s (N > 20).

- - La premiere cons6quence en est que la r6ponse percussionnelle To(t) d6crite par (102) ne prend de valeur sensible que lorsque son premier terme JzN(2 t /T) devient perceptible (Fig. 17) ; d o n c si,

(103) t ~ N~.

, T, lt}

| I : ---t

FIG. 17. - - Approximation basse fr6quence de la r6ponse percussionnelle de transmission T0(t ).

Low frequency approximation of transmission impulse response T0(t).

Le comportement d'une 6chelle de N multiplets de forte it6ration ~ l'6gard des signaux lentement variables est done avant tout un retard de transmission 6gal ~. ~ par multiplet ; ce qui est parfaitement conforme aux pr6visions du w 2.2.5. (r6gle I) et 3.1.3. S'y superpose unfiltrage passe-bas, en rapport avec l'6volution de To(t).

- - La seconde cons6quence, d6coulant de la structure de To(t), est que vont apparaitre suecessivement, d des dates espac~es de 2 N~, des termes suppl6men- taires de la r6ponse percussionnelle (Fig. 17). Le signal transmis par une 6chelle de N de forte it6ration est donc constitu6 d'une somme pond6r6e de termes ayant subi la conjonction :

�9 d 'un retard individuel de transmission 6gal ~. N~, 3N~, 5N~, . . . , (2q + 1) N~ ....

�9 et d 'un filtrage passe-bas.

e) On sait que la transform6e de Fourier de la fonction de Bessel cardinale J~(z)/z poss6de deux fr6quences de coupure sym6triques ~: 1/2 7~. Etant donn6 la structure (102) de To(t), il en r6sulte que le gain complexe de transmission to(u) a pour fr6quence de coupure BE :

vc = linE.

Ce qui est exactement le r6sultat (71) pr6vu par (34).

3.4.2.5. Rdponse percussionnelle de rOflexion.

a) Dans l 'approximation BF, la r6ponse op6ration- nelle de r6flexion (94 b) devient, compte tenu des expressions des imp6dances et coefficients auxiliaires,

e - 2N~ (104a) ~(p) ----- r TM § t TM _Ms ,ME

rF 'F 1 - - r Ms r ME e -2N~

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G . B O N N E T . - T R A N S M I S S I O N DES S I G N A U X . M I L I E U X D I S C O N T I N U S 245

b) L'inversion de Laplace s'effectue comme pr6c6- demment et fournit la r6ponse percusionnelle de r6flexion, dans son approximation basse fr6quence Ro(t), sous la forme :

(lO5)

4 N ~ o tv (rv rFUE) ~ • Ro(t) = rv T M 3(t) + ~ - ~] EM _~as

t /=0

J4{a+ ~)n(2 t/~) rMs tM~(2q 6- 1) (2 t/~) a~-~)(t)

c) En attendant l'interpr6tation physique d6taill6e du w 3.5., nous remarquons que Ro(t) comprend deux familles de termes �9

- - un terme de r6flexion instantan6e (dans l 'approximation faite) sans p6n6tration. Ce terme est non- salectif et son poids est 6gal au coefficient de r6flexion entre milieu d'entr6e et milieu it6r6, r TM ;

- - u n groupe de termes s61ectifs traduisant une r6flexion retard6e, apr6s p6n6tration dans l'6chelle de multiplets.

d) Le premier terme disparait et le groupe lui-m~me se r6duit / t un terme s61ectif unique lorsque le milieu d'entr6e est adapt6 au milieu it6ratif �9

rv ME : 0 ==> Ro(t) : ~ t v T M rv Ms t ME J4N(2 t/E) ~_ ~)(t). (2 t/E)

e) Le groupe s61ectif disparait enti~rement si c'est le milieu de sortie qui est adapt6 aux multiplets. La r6ponse se r6duit alors au terme instantan6 :

rF ~s = 0 ~ Ro(t) = r EM~(t).

f ) Etant donn6 la propri6t6, d6jh 6voqu6e, des fonctions de Bessel d'indice 61ev6, la r6ponse percussionnelle de r6flexion, abstraction faite de l'impulsion de Dirac b, l'origine, ne pr6sente de valeur sensible que si t > ~ 2 N ~ (dur6e d 'un aller-retour dans l'6chelle de N multiplets).

Puis interviennent successivement des termes sup- pl6mentaires, h des dates espac6es de 2 N ~ (Fig. 18).

Ro(t)

FI~. 18. - - Approximation basse fr6quence de la r6ponse percussionnelle de r6flexion R0(t).

Low frequency approximation of reflection impulse response R0(t).

t

g) Le signal r6fl6chi par une 6chelle de multiplets h forte it6ratioq comporte ainsi �9

1) tout d 'abord le signal incident affaibli, per~u sans retard ni d6formations sensibles ;

2) ensuite une somme de termes ayant subi la conjonction,

- - d ' u n retard individuel 6gal fi 2 N~, 4 N~ ... 2(q + 1) N(. ....

- - d'un filtrage passe-bas.

3.4.3. Approximation pour signaux de spectre 6troit.

3.4.3.1. Gains complexes.

Dans un r6gime monochromatique /t la fr~quence v, pour lequel il est loisible de poser p : 2n iv , nous avons la correspondance (59),

cr(27ziv) : i q~(v).

a) Pla~ons-nous d 'abord darts l 'approximation de basse fr6quence. La correspondance pr6c6dente, appli- qu6e h l'expression (100) donne :

e , ~ = h/1 __ 7~2 ~2 v~ Jr iTz~v]2n.

Portons cela dans la s6rie (101 b) ; nous en tirons l 'approximation basse fr6quence du gain complexe de transmission,

co

(106) to(v ) = ZtEE M(rF mrFME) ~ • q=O

tvMs h/1 __ 7~2 ~2 v2 __ iTz~v]2<2q+l)s.

De mdme, parvenons-nous, avec (104 b), /t l 'approximation basse fr6quence du gain complexe de r6flexion,

(107) ro(v) = rv T M + ~ tF T M (rF Ms r~E) q X q=O

rv Ms t~ E [~/1 - - ~2 ~z v2 __ i:z ~v]4r

b) Nous g6n6ralisons maintenant ces r6sultats au cas des signaux de spectres 6troits, centr6s sur des fr6quences multiples de la semi-p6riode 1 [2 0 attach6e au multiplet de base (w 2.5.1.). Ces signaux ont par hypoth6se un support spectral inclus dans l'ensemble des bandes,

/ n n \, vo, + vc) ,

(n entier ~ 0 ; vc : fr6quence de coupure, cf. w 2.5.2.). Si [n I a une valeur unique, le signal est quasi-monochromatique ; il peut cependant ~tre seulement quasi- p6riodique et occuper alors tm certain nombre de bandes autoris6es, correspondant /t ses harmoniques.

En vertu de l'6tude du w 2.4.5.1., sur lapOriodisation, les approximations basse fr6quence to(v) et ro(v) repr6sentent les motifs servant h b~ttir les approximations des gains complexes, valables pour la famille des signaux de spectre 6troit. On a ainsi, selon la formule de pOriodisation (74 b) et la d6finition (64 b) du terme de parit6 L,

- - gain complexe de transmission (spectre 6troit) : +0o

(108) t(v) = ]~ ( - - 1) kL to(v - - k/2 0), k: --oo

9/13 ANN. TI~LI~COMMUNIC., 35, n ~ 7-8, 1980


- -ga in complexe de rdflexion (spectre 6troit) : + o o

(109) r(v) = Z (-- 1) kL ro(v - - k/2 0),

off to(v) et ro(v) sont exprim6s par (106) et (107).

3.4.3.2. Rdponses percussionnelles.

Pour la m~me classe de signaux it spectre 6troit, les r6ponses percussionnelles r6sultent de l'6chantil- lonnage propre des approximations basse fr6quence To et Ro ; cela, selon les modalit6s de la r6gle VII du w 2.5.4.3.

a) R6ponse percussionnelle de transmission (spectre 6troit) on a, selon (79),

(I 10 a) T(t) = To(t) tU2o (t - -L0) ,

ou encore, de faqon explicite,

(110 b) +oo

T ( t ) = 2 0 Y~ T o [ ( 2 k § 0] 3[t - - (2 k + L) 0], k=- -oO

oh To(t) est exprim6 par (102) et L par (64 b).

b) R6ponse percussionnelle de t6flexion (spectre 6troit),

(111) R(t) ---- Ro(t) w20 (t - - L0),

d'ofi une forme explicite similaire ~ la pr6c6dente, avec Ro(t) donn6 par (105).

c) Remarque. Les deux r6ponses percussionnelles (110) et (111) prennent ainsi, dans lear approximation de spectre 6troit, l'aspect d'une << bouff6e ~ de fonctions de Bessel << hfich6es >> par an peigne de Dirac. Dans la majorit6 des cas cependant, les signaux transmis sont quasi-monochromatiques r6els. Ils n'occupent donc qu'une seule des bandes autoris6es, ainsi que sa sym6trique du c6t6 des fr6quences n6ga- tives. Alors, les r6ponses percussionnelles T(t) et R(t) relatives ~t ce type de signaux peuvent &re repr6sent6es plus simplement par une porteuse, modul6e en amplitude par une << bouffge >} de fonctions de Bessel ; par exemple,

T(t) ---- To(t) cos [n 7~ (t[O - - L)].

3.5. Signaux et r6verb6ration.

3.5.1. Effet de r&erb6ration.

3.5.1.1. Segment homogbne.

Consid6rons le cas le plus simple possible, celui d 'un segment homog6ne unique (temps de transit z, imp6dance non dispersive Z~) situ6 entre deux milieux ind6finis, d'imp6dances non dispersives ZE et Z s . Ce cas a 6t6 abondamment trait6, en particulier dans [14] et [15]. I1 pr6sente pour nous l'avantage d'&re accessible 5. une solution rigoureuse, laquelle va nous servir de comparaison.

a) Nous obtenons imm6diatement cette solution en consid6rant que la forme canonique de la matrice

de transfert, qui intervient dans les calculs du w 3.4., est donn6e par la matrice (9 b) d 'un segment homog6ne. Nous avons donc ici,

N = 1 ; ~ ( p ) = ~ p ; 5 + ( p ) --- 3 - ( p ) ---- Z o , Vp.

II s'agit maintenant d'expressions exactes, et non plus de d6veloppements en s6ries enti6res limit6es. Nous sommes ainsi conduits, selon (101 a) et (104 a), aux expressions d6sir6es, exemptes de toute approximation:

- - r6ponse op6rationnelle de transmission :

e-XV (112 a) ~;(p) = t TM t~ s r~ s rvME e_Z~ v

1 - -

- - r6ponse op6rationnelle de r6flexion : e-2-:p

(l12b) :R(p) -= rv TM § ,EM ,MS t~E ~F / F 1 rMS ~ME e - 2 - ~ p �9

- - ~ F t F

Les facteurs de transmission et de r6flexion sont toujours ceux d6finis au w 3.4.2.2.

b) L'inversion de Laplace est facile. Nous en obtenons :

- - r6ponse percussionnelle de transmission (segment homog6ne)

(113) T(t) = ~ tv TM (rv Ms rvME) q t~ s ~[t - - (2q -k 1)'r], 4 = 0

- - r6ponse percussionnelle de r6flexion

(114) R ( t ) = r E~t~( t )+ ~ t~ ~ ( r ~ sr~E) ~rv Mst~ E• q = O

8[t - - 2 (q + 1) -r].

Rappelons-nous que les solutions (113) et (114) sont rigoureuses. Elles pourraient d'ailleurs &re 6tablies directement dans l'espace-temps ~t l'aide du diagramme de Baranov-Kunetz [8].

3.5.1.2. Milieux it~ratifs quelconques.

I1 est visible que les r6ponses (113) et (114) d 'un segment homog6ne et celles (102) (105) d'une 6chelle de multiplets arbitraires pr6sentent strictement la m~me morphologie.

Si l 'on met ~t part le remplacement des impulsions de Dirac par des fonctions de Bessel, ce qui traduit un processus de filtrage ~ bande 6troite, l'identit6 de structure appelle une m~me 6tiologie : la rdverbd- ration.

Ainsi, une comparaison avec le segment homog6ne, dont le comportement est d'une interpr&ation imm6- diate, nous met en mesure d'interpr6ter les r6ponses percussionnelles d'une 6chelle de multiplets (dans les approximations basse fr6quence (102) et (105)) ; cela, de la fa~on suivante :

a) L'onde percussionnelle qui atteint l'entr6e du syst6me subit tout d 'abord une r6flexion partielle quasi-instantan6e, de coefficient rEM; cf. (105)et (114).

b) La p6n6tration dans le syst6me provoque un affaiblissement tF TM .

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c) L 'onde effectue une suite d'allers et de retours dans le milieu it6r6, par r6flexions successives sur la discontinuit6 de sortie (affaiblissement rp s) puis sur celle de l'entr6e (r~E). L'affaiblissement introduit par q allers et retours est ainsi (rv Ms rME) q - - c f .

(102) (105) - - et le temps n6cessaire ~t un tel parcours est 6gal h : 2 q-r pour le segment homog~ne, 2 q N ~ pour l'6chelle de N.

d) A chacune de ses arriv6es sur la discontinuit6 de sortie, l 'onde pi6g6e dans le milieu provoque l'6mission d'une impulsion dans le milieu de sortie : Dirac pour un segment, Bessel dans le cas g6n6ral. L'extraction du milieu introduit un affaiblissement suppl6mentaire t~ s. On observe en tout un affaiblissement tv T M

( rF Ms rME) ~ tv Ms" celui qui apparait justement dans les r6ponses de transmission (102) et (113). La date d'6mission de l'impulsion correspondante est : -r 6- 2q'r (q = 0, 1, 2 ...) pour un segment ; (2 q + 1) N~ dans le cas g6n6ral, ce qui correspond bien J2~2q + ~)N(2 t/~).

e) A chacun de ses retours sur la discontinuit6 d'entr6e, l 'onde pi6g6e provoque l'6mission d'une impulsion dans le milieu d'entr6e. L'affaiblissement d'extraction est 6gal h tF ME et, puisque au moins une r6flexion sur la discontinuit6 de sortie est n6cessaire pour ce processus, l'affaiblissement global d'une telle contribution ~ la r6ponse de r6flexion vaut t~ M (rv Ms rFME) q rv Ms t~ E .

C'est exactement ce que d6crivent (105) et (114).

La date d'6mission d'une impulsion de r6flexion est ainsi 2-= 6- 2 q z (q = 0, 1, 2 ...) pour le segment ; 2 (q 6- 1) N ~ dans le cas g6n6ral, ce qui correspond J,(q+,)s(2 t/~).

3.5.1.3. Conclusion. Nous venons ainsi de constater que :

Rkgle I X : Une dchelle de multiplets quelconques ddnote le m~me comportement de rOverb&ation qu'un segment homogbne, d'impddance dgale gt l'impkdance caractdristique de l'dchelle et de m~me temps de transit, intercald entre les m~mes milieux inddfinis que ceux qui entourent celle-ci. Les impulsions successives constituant les rdponses percussionnelles de transmission ou de rdflexion sont de nature diffdrente pour un segment et pour une dchelle ; mais elles interviennent aux m~mes dates et ont, dans chaque famille, les m~mes pond&a- tions relatives.

3.5.2. Transfert de signaux progressifs arbitraires.

L'6tude faite apporte une r6ponse complete au probl6me de la transmission ou de la r6flexion de signaux progressifs quelconques, par une 6chelle de multiplets 6galement quelconque. Pr6cisons-en rapidement le r6sultat :

3.5.2.1. Onde incidente (en amont de l'entr6e E : x ~< 0).

Un signal incident se traduit en milieu amont par

une onde plane progressive dont - - par exemple - - le champ 61ectrique est d6crit par :

(115)

E(x, t) = U(t - - X/CE) "=1 RL(p) exp {-- pX/CE} (X > 0),

Off l 'on a pos6 qL(p) I" U(t).

3.5.2.2. Onde transmise (en aval de la sortie S : X ~ X s = N ~ din).

m

a) Dans la repr6sentation de Laplace, les d6finitions du w 3.3.2.1. conduisent directement ~,

~;(x, p) : RL(p) ~(p) exp {-- p(x - - Xs)[Cs}.

b) D 'oh l'expression spatiotemporelle du champ 61ectrique de l 'onde transmise par l'6chelle de multiplets,

(116) X(x, t) : (U ~ T)tt_(x_xs)lcs I (x ~ Xs),

produit de convolution temporel dans lequel T(t) est la r6ponse percussionnelle donn6e, en spectre 6troit, par (110) et (102).

3.5.2.3. Onde rOflOchie (en amont de l'entr6e E : x ~<0),

- - dans la repr6sentation de Laplace,

�9 (x, p) = qL(p) ~(p) exp {+ PxlcE} ;

- - expression spatiotemporelle du champ 61ectrique r6fl6chi,

(117) Y(x, t) = (U ~ R)(t+xlcO (x <~ 0),

oh la r6ponse percussionnelle R(t) est donn6e, en spectre 6troit, par (111) et (105).

Remarque.

Bien entendu, les champs magn6tiques de ces ondes progressives s'obtiendraient en divisant par l'imp6- dance du milieu amont ou aval correspondant, compte- tenu de la convention sur les signes.

Comme nous le savons, enfin, tous les r6sultats obtenus se transposent ipso facto aux milieux acoustiques ou aux lignes de transmission.

4. CONCLUSION GI~NI~RALE

L'6tude pr6sent6e dans cet article avait fondamen- talement pour but de d6gager les lois g6n6rales du comportement des chaines de multiplets, 5. l'~gard des signaux qui les traversent. Nous nous sommes efforc6s d 'y parvenir dans un contexte trSs g6n6ral embrassant l'61ectromagn6tisme, l'acoustique ou les lignes de transmission; cela dans le cadre pr6f6rentiel d 'une repr6sentation spatiotemporelle de ces filtres ~ para- m~tres r6partis que sont des multiplets.

Evoquons rapidement les r6sultats qui nous parais- sent essentiels :

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a) Quelle que soit la complexit6 de sa structure, un multiplet est d6crit exhaustivement par sa matrice de transfert, sous une forme canonique construite sur trois param6tres fonctionnels seulement : un facteur de transfert a(p) et deux imp6dances caract6ristiques 5+(p), 5- (p) . Si l 'on se limite h une approximation valable pour la classe importante des signaux h spectre 6troit, les trois param6tres pr6c6dents se r6duisent alors/1 trois param6tres : temps de transit ~ ; terme fondamental Zc et terme de dissym6trie /x de l'imp6- dance caract6ristique. On constate ainsi (r6gle I) que le comportement dominant, /1 l'6gard de ces signaux de spectre 6troit, est un retard de transmission, 6gal. ~t ~.

b) Les trois param~tres fondamentaux pr6c6dents sont exprim6s par les formules du w 2.4.6. en fonction des temps de transit et des imp6dances de chaque segment constituant le multiplet. On peut ainsi acc6der quantitativement au comportement g6n6ral de n'importe quel multiplet ~t l'6gard des signaux de spectre 6troit (de basse fr6quence ou quasi-monochromatiques). Ces formules permettent 6galement d'6tablir l ' important th~orkmefondamental qui introduit, sous forme d'une majoration, l'effet de freinage, une des caract6ristiques majeures d'une discontinuit6 d'imp6dance. Elles montrent en outre, qu'un tel effet de freinage devient maximal lorsque les segments sont isochrones (r~gle II) ; enfin, que les param~tres fondamentaux ~ et Zc sont ind6pendants de l'ordre de juxtaposition des segments (r~gle III).

c) En r6gime monochromatique, toutes les gran- deurs associ6es au transfert dans un multiplet pr6- sentent une semi-p6riodicit6 spectrale, en relation avec le P.G.C.D. 0 des temps de transit des segments du multiplet. En particulier, le multiplet pr6sente une transparence totale pour chaque fr6quence multiple de la semi-p6riode 1[2 0 (r6gle IV).

Un multiplet poss~de une structure p6riodique de bandes passantes s6par6es par des bandes interdites ; effet qui s'av~re sp6cifique d'une discontinuit6 d'imp6- dance (r~gle VI). En g6n6ral, les fr6quences critiques, s6parant ces bandes correspondent h une transparence

totale du multiplet, donc & un comportement en segment demi-onde (r6gle V).

d) La cons6quence de la semi-p6riodicit6 spectrale est que la representation temporelle de toute grandeur associ~e au transfert dans un multiplet est l'Echantil- lonnEe propre du motif basse fr6quence de cette grandeur (r6gle VII).

e) L'it6ration d 'un muItiplet conserve : facteur de freinage, imp6dances caract6ristiques et structure de bandes. Elle multiplie par contre les frEquences de transparence totale. Le multiplet optimal, qui maxi- malise simultan6ment le facteur de freinage et la longueur de la bande passante fondamentale, est obtenu par l'it6ration de doublets isochrones (r6gle VIII).

f ) La d&ermination des rEponses percussionnelles de transmission et de r6flexion d'une 6chelle de multiplets, dans le domaine des signaux de spectre 6troit, montre que ces syst6mes complexes prEsentent le m~me effet de r6verb6ration qu'un segment homo- g6ne unique, dot6 du m~me temps de transit global (r6gle IX). S'y surajoute, pour de tels syst6mes it6ra- tifs, un effet de filtrage sElectif.

g) Cette Etude, d6j& longue, ne saurait pr&endre ~tre compl6te. En dehors de la n6cessaire introduction d 'un effet dissipatif ad6quat, beaucoup de travail reste ~ faire pour interpr6ter les ph6nom6nes de dispersion, souvent prononc6s, qui ont 6t6 rencontr6s darts les structures p6riodiques, depuis les travaux fondamentaux de L6on Brillouin [18] ; en particulier, dans les structures fibreuses [19] & [22].

Les gains complexes des filtres constitu6s par des 6chelles de multiplets demandent 5. ~tre connus en d6tail, ainsi que les lois gEn6rales qui r6gissent ces op6rateurs. Une telle 6tude correspond & l'aspect compl6mentaire de la n6tre, celui d'une repr6sen- tation fr6quentielle : elle sera publi6e prochainement par un groupe du m~me laboratoire [23] dans le cadre d'une 6troite collaboration entre le OESSY et la soci6t6 ELF-Aquitaine.

Manuscrit reeu le 3 mai 1979,

accept~ le 24 janvier 1980.

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Documents

Transmission des signaux en milieux discontinus itératifsDeuxième partie: Milieux itératifs (échelles de multiplets)