C. R. Acad. Sci. Paris, t. 325, S&ie I, p. 1329-1332, 1997

Analyse num&ique/Numerical Analysis

Un r&ultat de convergence d’ordre deux pour l’approximation des hquations de Navier-Stokes par projection incrhmentale

Jean-Luc GUERMOND

LIMSI, B.P. 133, 91403 Orsay c&x.

R&urn& On propose une mkthode de projection incrkmentale pour approcher les equations de Navier-Stokes. On montre que l’erreur est d’ordre U(&” + h’+‘) sur la vitesse dans la norme semi-disc&e I”(L”(Q)“) (disc&te en temps, continue en espace), oti ! 2 1 est le degrC polynomial d’approximation de la vitesse.

A convergence result for the approximation

of the Navier-Stokes equations

by an incremental projection method

Abstract. An incremental projection method is proposed to approximate the Navier-Stokes equations. The error on the velocity in the semi-discrete norm I’(L’(C2)“) is shown to be C3(St2 + IL“+’ ), where B 2 1 is the polynomial degree of the veloci& approximation. It is also shown that the splitting error of the projection schemes that are based on the incremental pressure correction is O(St”); this result holds even if the approximation of the time derivative of the velocity is U(Ot).

1. Introduction

La mCthode de projection, introduite par Chorin (voir [l]) et Temam (voir [6]), est tr&s utilisCe pour approcher en temps les kquations de Navier-Stokes. Elle est basCe sur une marche en temps fractionnaire qui &pare le problkme de convection-diffusion de la contrainte d’incompressibilitC. A chaque pas de temps, la vitesse dCduite du sow-pas de convection-diffusion est projetee sur l’espace des champs de vecteurs solCnoYdaux ?I trace normale nulle. Une analyse de convergence en temps de l’algorithme original a CtC faite par Rannacher dans [5]. De nombreuses variantes ont Ctk proposCes pour en amCliorer l’ordre de convergence. Une variante introduite par Goda dans [2] consiste g expliciter la pression B l’&tape de convection-diffusion puis B la corriger g 1’Ctape de projection. Ce schCrna a &tC analysC formellement par Van Kan (voir [7]) dans le cadre d’une approximation MAC. Toutefois, il n’existe pas d’analyse de convergence compl&e. Dans cette Note, on propose et on analyse un schema de projection incrCmenta1 bask sur une approximation par diffkrentiation rCtrograde d’ordre deux pour la dCrivCe en temps et une technique de Galerkin pour l’approximation en espace.

Note prkserke par Philippe G. CIARLET.

0764.4442/97/0325 1329 0 AcadCmie des SciencesIElsevier, Paris 1329

J.-L. Cuermond

2. Le schdma de projection incrCmenta1

Soit 0 un ouvert borne connexe regulier de Rd (d 5 3), rempli d’un fluide visqueux incompressible. On supose que la vitesse u (resp. la pression p) est une fonction reguliere du temps clans HA(R)” (resp. L;(0)). L e couple (u,y) satisfait : ~1~~0 = ~0, oti ua E HA(fl)d est solenoIda et

7L. vu, u) - (V.v,p) = (f: w), Vv E H#)“: Vt E (O>T),

vq E L;(R),vt E (O,T),

oti (., .) designe indistinctement le produit scalaire de L2(R)” ou bien celui de L2(Q). Les donnees ua et .f sont des fonctions regulieres.

Pour construire une approximation de Galerkin, on introduit Xh E HA(Q)d et A+;, E L:(R).

On suppose qu’il existe ! E N, ! 2 1, et c > 0 tels que pour tout T E [I, !] et tout u E H’+l(fl)d n H;(0)“, inf,,zEAYh ]/U - 21h]]0 + h]]U - uh]]~ 5 chl’+l]]~]],+r ; et pour tout q <: H”(R)nLi(R), infqlLEhfh llq- &II0 5 ~ffllqllr. 0 n su PP ose aussi qu’on a les idgalites inverses :

3~2 > 0, vl)h E xh, II'uhllT~.p < C~L~-"+~-% IIVh1/7r~,q, pour 0 5 712 5 n < 1 et 1 5 q <I p < co, et ]]?~h]]a,~ 5 c(l+ ] l~gh-~])~/~]]vh]]r,a en dimension 2, ou ]]~h]]a,~ 5 Ch-1~2]]u4]l.2 en dimension 3.

On introduit la divergence discrete Bh E L(X,,; n/lb) telle que V(vh: qh) E Xh x Ad/,, (Bhuh, qh) = (?&,B;qh) = -(O. uh, qh). on suppose qu’il existe c > 0 tel que inf,lhEAlh sup,.,z l Ayh (‘uh, Bit@,)/

(llwLll1llc&llo) 2 c. p our decoupler la contrainte d’incompressibilite, on introduit un prolongement de BI, . On se donne Yj, c L2(0)d avec XI, c Yh et on suppose qu’on dispose de C,, E C(Y,,! A4rL), un prolongement de Bh, qui verifie la propriett de stabilite : si qh E Mh et q E H1(R) sont tels que

114 - d0 5 ~zOhkd 1, aors il existe C(Q) > 0 tel que ]]Ciy,L]]a 5 c(co)llqlll. Plusieurs choix sont 1

possibles pour Yh, les deux choix extremes Ctant Yr, = XrA ou bien Yf, = XI, + VMh, en supposant h!fh C H1(R). Dans le second cas on verifie que Ch defini par (Chzlh, qh) = (vh, Vqh) a les proprietes requises (voir [3] pour une revue des possibilites pour le choix de Yh).

Pour un entier K > 2, on dennit St = T/K et on introduit to, t’, . . . , t”, une partition de [O: T], telle que t” = k St pour 0 5 k 5 K. Soit (wh (t), qh(t)) E (ker Bh) x &,h une approximation optimale

de (u(t),dt)). 0 n ro P P ose l’algorithme suivant : pour k = 0.1, poser uk = iif; = we, et pour k = 1, poser 11: = qh (6t) ; p our 1 5 k 5 K - 1, chercher 6;+’ E Xh tel que :

+ (vii, . -k-l -Ic+1

Ic+’ &h) + d(2’&; - ‘Uh , uh , p)h)

oil d(U! w, w) := ((u .V) U, w) + $(V. IL: 2, w), cette forme coincide avec (u .Vv, w) lorsque u est a divergence nulle. Ensuite, chercher uk+l E Yh et pk+l E Mh telS que :

(2.3)

su”+l _ -&+I h h

2St + c;(pk+l - pi) = 0,

c,,?L;+1 = 0.

Remarque 2.1. - En pratique, IL: et IL:-~ sont elimines de (2.2) en utilisant (2.3) en t” et t&-l et en utilisant le fait que Ch prolonge Bh. Pour k 2 3, (2.2) s’ecrit : vvh E Xh,

(2.4) - 4u; + ii;-’

2& > t’h + (v$+‘; vvh) + d(2’ii; - ii;-‘> ,;+l, vh)

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Approximation d’ordre deux des equations de Navier-Stokes

et 1’Ctape de projection se rCduit 2 la dktermination de la pression en rCsolvant :

(2.5) k+l

Gc;(Pk+l - Pk, = 3B1,7& 2& .

Remarquer que dans (2.4), le terme (7~: - 5~:~1 +pk-‘)/3 peut s’kcrire 2~: -pi-’ + (pi - 2pi-’ + pk-*)/3 ; c’est formellement une extrapolation d’ordre deux.

Remarque 2.2. - Si on choisit Ml, C H1(R) et Yh = Xh + VMh, alors Ci est la restriction de V B Mh (voir [3] et [4]) et (2.5) se reduit g : trouver pi+’ E AI,, tel que :

(2.6)

3. Les estimations d’erreur

A l’ordre un on a :

TH~ORI~ME 3.1. - Si u E W1+(O,T;H;(R)” n H1+l(R)d) n H*(O,T;Hl(R)“) et p E Wls”(O, T; H’(R)) n H*(O, T; L*(R)), 1 a solution de (2.2)-(2.3) satisfait :

(3.1) lb - ‘IL~llP(L2(Q) ) d + II7.L - U)&c(LL(fl)d) < c(h’+l + St).

TH~ORI~ME 3.2. - Si u E W2@(0,T;Hh(R)d n H’+l(fI)“) n H3(0,T;H1(f2)d) et p E W2,“(0, T; H’(0)) n H”(0, T; L*(R)), ‘1 I existe c, > 0 et h, > 0, tels que pour h duns IO, h,] et St 5 cs/(l + I log h-ll)li2 en dimension 2 ou St 5 c,hl/* en dimension 3, on a :

(3.2)

Le rksultat essentiel de cette Note concerne l’ordre deux :

THBORBME 3.3. - Avec les hypothkses et les restrictions sur St et h du thkorSme 3.2, la solution de (2.2)-(2.3) vCrifie :

(3.3) lb - wtllI~(L~(bl)~) + II u - ii/JlI”(L2(qd) 5 C(S? + hp+l).

On a des estimations en norme I”(L2(0)d) en supposant plus de r&ularitC.

TH~OR~ME 3.4. - Si u E W 3’“(0:T;Hh(0)d n H’+1(C2)d) n H”(0,T;H1(f2)“) et p E W2sm(o, T; H’(0)) n H”(0, T; L*($2)), avec les restrictions sur 6t et h du the’or;me 3.2, 011 a :

(3.4) lb - wllP(LyR)q + II u - UhllIzc(L~(R)d) 5 (.(St7’4 + St3”he + h’+l).

Le risultat de convergence sur la pression du thkorkme 3.2 peut &tre am&liorC en introduisant une norme faible dkpendante du maillage. Posons IIPJ~II.+, = SIII),,,~~~~,, (V~~~Vw~)/llw~;(~ et pour

9 E L*(a) posons ll&3h,.4h = ~~~~~~~~~~ (4, V~~~h)/ll~hll.4,, .

THEOR~ME 3.5. - Avec les hypothkses du thkor.?me 3.4, on a :

(3.5) IIP - ~)~III~(II./I~,..~~,) 5 cW3’* + 6.

Remarque 3.1. - Les difficult& rencontrkes pour Ctablir la convergence B l’ordre deux (ou B un ordre plus grand que un) dans des normes naturelles pour la pression (c’est-&dire dans 12(L2(R)))

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J.-L. Guermond

ou pour la vitesse (c’est-a-dire dans I2 (H1 (0)“)) revelent la presence d’une couche limite numerique a la front&e de R. Cette couche limite est imperceptible a l’ordre deux pour la vitesse dans la norme 12(L2(fl)d) ; en revanche, elle apparait a un ordre compris entre un et deux lorsque la vitesse ou la pression sont mesurees dans des normes plus fortes (voir [5] a ce sujet).

4. L’erreur de fractionnement

On finit cette Note en montrant que l’erreur de fractionnement des algorithmes de projections bases sur une pression incrementale est d’ordre deux sur la vitesse dans la norme I2 (L2(R)d), que l’approximation de la derivee temporelle soit d’ordre un ou deux. Pour illustrer cette propriete remarquable, considerons l’algorithme de projection incremental suivant : pour 0 5 I; < K - 1, chercher Gk+’ E Xh, .:+I E Y,, et pk+’ E iWh tels que :

(4.1) @;+I !~h)-(&~h)

6t + (V2, Ic+l! V%) + d($, $+l, 7&) = (f”+l, 21h) - (j&q, Uh)>

(4.2)

k+l uh

- g+1

St + c;(p;+l - pk) = 0,

k+l _ ChUh - 0.

Considerons maintenant (w!,:~, 4::’ ) E Xh x kfh la solution de l’algorithme totalement couple (c’est-a-dire l’algorithme correspondant a la mCme approximation temporelle, mais en gardant la

’ pression implicite). La difference entre wti,’ et Gi+l ou bien entre $,+h’ et r~t+l est, par definition, l’erreur de fractionnement. C’est l’erreur induite par le decouplage, opere dans l’algorithme de projection, entre la contrainte d’incompressibilite et les phenomenes de convection-diffusion. On a le resultat suivant :

TH~~OR~ME 4.1. - I1 existe c > 0 qui ne depend que de (WZ,h, qz,h) et T, tel que :

(4.3) II%,h - %llI2(I?(fl)d) + I/%,/I - ~hllI”(I?(R)d) I: C&*.

Ce resultat un peu surprenant (noter que (4.1)-(4.2) est a priori d’ordre 0(St)) peut Ctre verifie numeriquement. La solution du syteme couple peut etre calculee de multiples facons (resolution directe ou iterative de I’operateur d’Uzawa, technique de matrice d’influence, etc.), mais en pratique son evaluation est toujours plus comeuse que celle de la solution decouplee (des rapports 20 a 50 en temps de calcul sont typiques). Cette experience a Cte realisee dans [4] pour le probleme de la cavite entrainee en dimension 2 en utilisant des elements finis F’i/Pz. L’experience numerique dans [4] montre clairement que l’erreur de fractionnement est d’ordre deux conformement a I’CnoncC du theoreme 4.1.

Note remise le 7 mars 1997, acceptee aprbs revision le 3 novembre 1997.

[I] Chorin A. J., 1968, Numerical solution of the Navier-Stokes equations, Marh. Camp., 22, p. 745-762. [2] Goda K., 1979, A multistep technique with implicit difference schemes for calculating two- or three-dimensional cavity

flows, J. Comput. Phys., 30, p. 76-95. [3] Guermond J.-L., 1996, Some practical implementations of projection methods for Navier-Stokes equationzs, Mod@l. Math.

Anal. Numkr. (@AN), 30, 5, p. 637-667.

[4] Guermond J.-L., Quartapelle L., 1997, Calculation of incompressible viscous flows by an unconditionally stable projection finite element method, J. Compur. Phys., 132, 1, p. 12-33.

[5] Rannacher R., 1992, On Chorin’s projection method for the incompressible Navier-Stokes equations, f~ctures Notes in

Mathematics, 1530, Springer, Berlin, p. 167-183. [6] Temam R., 1968, Une mtthode d’approximation de la solution des equations de Navier-Stokes, Bull. Sot. Math. France,

98, p. 115-152. [7] Van Kan J., 1986, A second-order accurate pressure-correction scheme for viscous incompressible flow, SIAM J. Sci. Stat.

Compur., 7, 3, p. 870-891.

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