'N° d'Ordre 1.85

N° de Série 40

THESEprésentée

DEVANT L'UNIVERSITE DE RENNES 1

ET L'INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE RENNES

pour obtenir

LE TITRE DE DOCTEUR EN TROISIEME CYCLE

SPECIALITE : ANALYSE NUMERIQUE ET MECANIQUE

par

Pascal DOUILLET

Sujet de la thèse IDENTIFICATION DE PARAMETRES OCEANIQUES

PAR UNE METHODE INVERSE

. soutenue le 4 Juin 1985 devant la Commission d'Examen

MM. Chr. COATMELEC Président

F. BROSSIER

Chr. COLIN ExaminateursA. MIGNOT

M. POGU

Ce travail a été effectué dans le cadre du contrat C.N.E.X.O.

N° 84/3146 intitulé:

Identification des coefficients de viscosité virtuelle

dans l'Atlantique Equatorial

Je suis très heureux de pouvoir exprimer ici ma profonde

gratitude à Madame Françoise BROSSIER qui m'a proposé ce sujet de thèse,

pour les nombreux encouragements qu'elle n'a cessé de me prodiguer et

pour la grande disponibilité dont elle a fait preuve tout au long de ce

travail.

Je remercie particulièrement Monsieur COATMELEC d'avoir bien

voulu présider ce Jury.

Je remercie Messieurs MIGNOT et POGU qui ont accepté de

prendre part à ce Jury.

Mes remerciements vont à Monsieur COLIN et aux membres de

l'O.R.S.T.O.M. avec lesquels j'ai travaillé pendant un an.

Je veux aussi exprimer mes plus sincères remerciements à tous

mes amis et collègues de l'INSA pour l'aide morale qu'ils m'ont apportée.

INTRODUCTION

La circulation océanique de l'Atlantique Equatorial est

maintenant bien connue grâce à des campagnes de mesures effectuées depuis

une vingtaine d'années. On peut décrire brièvement les caractéristiques

de cette circulation.

La distribution verticale des temp~ratures dans la zone

équatoriale présente une très nette discontinuité : on observ~ en surface

une couche d'eau mélangée, de température élevée. Son épaisseur est variable

et dépend en partie du processus d'échange thermique en surface, en partie

des vents et des courants. Entre cette couche d'eau superficielle et l'eau

profonde, à très faible gradient de température, se trouve une zone de

transition, appelée thermocline, où la température décroît très rapidement

avec la profondeur.

Le phénomène de thermocline est caractéristique des régions

équatoriales. Les principaux courants sont observés dans la couche super­

ficielle, et au niveau de la thermocline.

Le système de courants dans l'Atlantique Equatorial est carac­

térisé par, l'existence de grands cou~ants zonaux qui peuvent être résumés

ainsi :,

Deux courants très stables traversent l'Atlantique d'Rst en

,Ouest. Ce sont les courants Nord et Sud Equatoriaux. Entre les deux, le

contre-courant équatorial s'écoule d'Ouest en Est, sa position ainsi que

son débit étant sujet à d'importantes variations saisonnières. Le trait

dominant de la circulation est le sous-courant équatorial, se propageant

vers l'Est, et situé au niveau de la thermocline. En moyenne, ce courant

est axé sur l'équateur et s'étend sur une largeur de )°30'. Son transport

présente d'importantes variations saisonnières. Les vitesses mesurées sont

très importantes, en particulier à l'équateur où on a observé des vitesses

de l'ordre de 60 à )00 cm/s.

2

~es équatiqns vérifi&e$ par les courants océaniques sont

d~ type Navier~Stokes. Afin d~ cpnserv~r ces équations au niveau du

mouv~ment moy~n, on introduit les tensions de Reynolds qui servent à

r~présen~~r les turbul~nces. Ces tensions de Reyno~ds fpnt intervenir

des çOeffici~nts de viscosité virtuelle. Habituellem~nt, ces coefficients

sont ppis éga~x à 4es constantes. Dr il se~ble que dans la zone équatoriale

leur~ valeurs soient influencées par les fOrtes variations du courant

suivant la ve~ticale.

~'objet de cette étud~ ~st de pr~senter une méthode permettant

de déterminer de manière plus fine les valeurs des coefficients de visco­

sité virtuelle à partir de valeurs observées du courant.

Pour les valeur~ observées du courant, nous allons utiliser

les données du programme FOCAL (Français OGéan Climat Atlantique

êquatori~) effectué par l'O,R.S.T.O.M. d'Octobre 1982 à AoOt 1984.

Les mesures effectuées, lors de ces campagnes océanographiques, sont de

deux types : mesures effectuées par un mouillage fixe et sur des radiales

transéquatoriales.

Le mouillage fixe est situé à l'équateur par 4° Ouest, et

ço~porte cinq courantomètres situés à 10, 35, 60,85 et 110 mètres de

profondeur, et une station météorologique. Chaque courantomètre, toutes

les 15 mn , effectue des relevés des deux composantes de la vitesse,

de la pression et de la température. La station météorologique

relève, toutes les heures, la direction et la force du vent, la pression

atmosphérique, la température ambiante et la température de la mer en surface.

L'ensemble des radiales du projet FOCAL a été exécuté dans le

cadre de 8 ca~pagnes étalées sur 2 &ns. Chaque c~pagne comporte des radiales

à des longitudes de 4° ouest~ 10° ouest, 23° ouest, 28° ou 29° ouest et

35° ouest. ~Qrs de celles-ci, des profils de COurant, de~ relevés de tempé­

rature et des anomalies de hauteur dynamique ont été mesurés tous les

trente milles nautiques.

3

Pour la détermination des' coefficients de viScosité virtuelle,

onapp1l.quera un~ méthode d'identification développée par G. CRAVRNT [SJ.

On peut définir brièvement le problème d'id~ntificationo~ problème inverse

en ~i~ant qu'il consiste à minimiser la distance ~ntr~ un courant observé

et un courant calculé pour des valeurs fixées des coefficients de visco­

sité, c'est-à-dire une fonctionnelle des moindres carrés, en utilisan~ la

méthode du ~ontr6le optimal. L'avantage de cette méthode est qu'elle donne

un algorithme très simple d'utilisation.

Le contre-courant équatorial axé ~ur ~;équàtèijr s'étend sur

une largeur d'environ )0 30'. Dans cette bandé équatoriale; les variationS

du courant suivant la latitude et la longitude sont faibl~s. et peuvent

~tre négligées d~vant les variations vertical~s du courant qui sont très

importantes. Ceci nous conduit à la formulation du modèle mOnodimensionnel

'présenté dans le chapitre 1. Ce chapitre est consacré à ia d~termination

du coefficient de viscosité virutellever~icale V intervenant dans les

équations de Stokes monodimensionnelles :

( )

Pour résoudre le problème d'identification; on sUppose que

l'on dispose d'une observation du courant qui peut ~tre de deux types:

une observation répartie en espace et en temps, urie obserVàtion; moyenne

par rapport au temps, répartie en espace.

Le problème à résoudre est un problème inversa qui se râmène

â la minimisation d'une fonctionnelle. On utilise, pour 2~ttè minimisation,

une méthode du gradient conjugué. Le calcul du gradient; n~cessa:î.re à

chaque étape, est effectué en résolvant l'équation d'état (t), et une équa­

tion adjointe faisant intervenir la différence entre le courant calculê et

le courant observé.

La résolution numérique du problème utilise une méthode d'élé­

ments finis. Ceci permet une grande so\.\plesSe pour le choix des pas de

discrétisation suivant la verticale et est donc bien adapt~ aU problème

4

pnysiqu~, les variations verticales du couran~ étant très importantes,

dans la couche superficielle et au niveau de la thermocline, beaucoup

plus faibles ~n profo~deur.

La validité d~ modèle a été testée sur un exemple académique

pour lequel oq connatt le" coefficient de viscosité virtuelle verticale.

On a ensuite trait~ des cas réels, utilisan~ les d9nnées fou~nies par le

progre~e FOCAL. Le coefficient de viscosité a été calculé soit à partir

des meaures du courant pa~ le mouillage fixe, soit à partir d'un profil

moyen d~ c9urant déduit des mesures faites sur les radi~les.

Le chapitre II est une généralisation de cette ~éthode d'iden~

tification. Sionconsidè,re une bande équatoriale de ~lus grande largeur,

pn ne peut plus négliger les variations de courant ~vec la la~itude.

Par co~tre, les grands c9urants étant essentiellement zonaux, on néglige

leurs variati9ns avec la longitude. On est donc amené à traiter les équa­

tiona de Navier-Stokes bidimensionnelles. La eQnst~nce des vents sur pe

grandes périodes de temps donne un courant quas~-stationnaire pendant ces

périodes. Les radiales du programme FOCAL nous fournissent ces valeurs

~oyennes d~ courant. C'est pourquoi on va chercher à identifier les coeffi­

cients de" viscosité virtuelle verticale et horizontale dans le cas des équa­

tions de Navier-Stokes bidimensionnelles stationnaires. Les coefficients

qbtenus seront des valeurs saisonnières caractéristiques de la période pour

laquelle le profil moyen de courant a été obtenu.

Pour la résolution numérique des équations, on utilise u~e

méthode développée par R. GLOWINSKI [gJ qui est basée sur la théorie du

contr51e optimal, Elle permet de supprimér le problème posé far les

non-linéarités. Pratiquement, elle consiste en une méthode du gradient

~onjugué où à chaque étape on doit résoudre des équations de Stokes

di~cr~tes. La solution de chaque équation de Stokes discrète sera, elle-même,

4ét~rminée ~ar optimisation. Pour les mêmes raisons qu'au chapitre l, on

emplQie des éléments finis. pour la pression, on définit une première trian­

gulation, l~ pression est alors un polyn6me de degré un sur chaque triangle.

~a triangulation de la vitesse est obtenue par subdivision de chaque

triangle de la première triangulation en quatre triangles, la vitesse est

alo~s un polynBme de degré un sur chacun d'eux.

5

Dans la dernière partie, on présente un exemple académique

du calc~l des coefficients par la méthode bidimensionnelle et quelques

remarques sur cette méthode.

Nous n'avons pas traité le cas des données réelles. La méthode

de détermination des coefficients de viscosité virtuelle, de part sa com­

plexité, est très lente et très coOteuse en temps machine. Traiter ces

données nécessiterait l'utilisatiop d'un ordinateur plus puissant que celui

dont nous ~isposions. par exemple un GRAY \.

Chapitre li

UNE ttETHODE DE DETERMINATION DE CERTAINS PARAlVETRES OCEANlQUÈS

DANS LE CAS QES EQUATIONS DE STOKES f()NQDIMEN$IONNElLES

';J:HTRODUCTIO.Bi..

La -détermination du èoeffici,.ent ,de viscosité virtueHè verd.cale

int'erv-enant, en océanographie, dAns les 'éq:tiâ'tion;~dè NavÎ-e't-sto'kes

bi~ÎJn~nsi'Onn~).l;essta·tiohnatresne l'eut ·~t:té 'entreprise qU"après 'tarie

approc'he monod~ens ionneH'e 'évolut ive. L'âpproche .filortcidimensionne il.e

do~ne :un ,p1:'ofil vertical de la viscosit:é vi:rtueih~ qui servira

il 'initiali'sati,.on lors de la résolution bidimènsionneHe.

~tant donné Un domaine J -H , '0 '[ de 'l1t,ort con$idère b's 'équ,s.tion's:

<dans J '""H .,0 [xJ d , T t

d u 2 )az- (z,t) , == 0 dans ] -H , 0 [xJ 0 , t [

avec les 'èonditipns limites :

a 'u"• \1(.0) ai- I(Ô.,.t) .. 'Î

1(t) ; T 'L

'et la cQuditj.on initia:~e •

u2

(z,0) = u2 (z) Pbüt" zE ] -'ff , 0 t

8

-+T = ( Tl ' T

2) est la force exercée par le vent.

Nous allons donc chercher à identifier le coefficient de viscosité

virtuelle V ne dépendant que de la profondeur.

Le plan de ce chapitre est le suivant

1- Etude de l'équation parabolique: existence et unicité.-+

2- Dérivabilité de l'application v--+U

3- Etude du problème inverse.

4- Résolution numérique du problème.

S- Résultats numériques.

1. ~TUnR Dr. L'EQUATION PARABOLIQUE

Soit n = ] -H , 0 [un ouvert borné de IR et soit Q n x JO, T [

on définit:

munis des produits scalaires et des normes usuelles

« .,. »

( .,. )

11• 11 pour \V

1.1 pour tH

A partir de ces deux espaces et quels que soient M et a, M > a ~ Q,

nQU$ définissons :

{.+ 2 /dÛ 2 }W(O,T) =. UEL (O)T;\V) cItEL (O,T;\v')·

lX>

A = L (n)

Ac = {V € A / Il vii A~ M et V(z) ~ a p. p . sur n }

Supposons enfin que

±Ou 0 0 -+ 2 2( u l ' u2 )E IR et que TE ( L (O,T) )

9

qn co~sidère alors l'équation variationnelle suiva~t~

. -+Trouver ue W(O, or) t~l que :'

-+ -++ à (U, V )

V

+ -+ ~(a U

I a vI )+ ( a U2 d v2 ),où a ( u- , V ) V~ '. ~

V "'1i"'" ,~V

;1

-+~ )'

-+ ( "2)ay~c U ~~ \.lI , u2 ~t V '" . VI'

. ;prqposi ti<;>n 1.E.

Sous l.~$: hYP9th~$~'~ et. nota:tions~ pdç~dellte.:" ~~ Pl'Qbl~me v~r~a~iQnnel

(1.4) admet une' solution e~ une: seule ~pp~rtenanf; àW:(O',r) .qut est ~ll~$i

sôlq'tion de If'~quation {I. J1 ~t' 'JédH~ les cot1<f~tiQnS U-mitea ~.t initiales

(l.~) et (1.3)..

Délllonstration,

Pour la démonstration de cette proposition nO~8 allons reprendre les

llypothès~s d~LIONS et MAÇE~F.S·dans leu1;' HV'r~ ";problèmes auJ:t HJ;Ilitea non

hoJ(logènes et application" chapitre 3,paragraphe 4 ~t chapitre 6..

-+ -+' .La. forme' ·s~e$.quqi,nE~iJ;~ av.- .( U " V ). .est cQ.n~~n.,\,le sut' W x ~ et

sathfait a.ux hypot;hhes ~.

puisque 1~, form~ a~estconstante par raR~ort au' teJllp!h

H) Il existe ·lof indépendant de t, k >' 0 et Çt; > ,O' te1squ~

0.5) 1av (.Ô , V) 1" M Il Ô Il Il V Il p. p. t ~J °, T [ 'f VE. \V

et

(1.6) aV ( Ô , Ô ) + k 1 Ô 12 ~ 0. Il Ô 11

2 -+'ri UE\V

10

étant vérifiées par définition de A.C

Les deux dern1ères hypothèses

Alors le problème (d Û -+)dt ' V +

-+ -+ -+-+av (U , V ) = < F , V:>W', \V

-+JI V ... W

oU F€ L2 (O,T;W') admet une solution et une seule. De plus, cett~ solution

dépend continuement du second membre et de la condition initiale,

-+ .~our démontrer que U solution de (1.4) est solution de (1.1), (1.2),

(1.3), on utilise le tneorème de Lax Milgram, on a~socie à la fo~e av

un isomorphisme Av de \V dans vi tel q\Je

et ensuite on utilise la formule de Green.

2. D!«lV'.lLITE DE L~APPLICNTION v -+ Û

On défi~itl'application ~ de A dans W (O,T) par:c

(1. 7) -+V{; A ..... Ue W (O,T) solution deO.4)

c

On a, alors, la

Proposition 2.i

Sous les hypothèses et· notations du paragraphe precédent,

définie en (1.7) est continue, dérivable en tout point de Ac

dérivée ~'(v) au point ve A est donnée parc

l'&pplication ~

et l'application

(l,8) ~'(v) : ôVE;:A-+ÔUE W(O, T) solution de

(1.9)

( aéû .v) + a (ÔUat ' V

= 0

=T+-V )

-+'tJ vew

"

Démonstration.

L'application ~ est bien définie, car pour un V fixé et po~r les

hypothèses faites, (1.4) admet une solution et une seule dans W (O,T) •

1,1

...Donnons nous une fois pour tout~ veA et'mQnt~ons .que $'~~t ~ontiriue

çet dérivable en ce point..

D'après les hypothèses faites sqr A , il existe M, ~ et k avec M> Œ >0cvérifiant ,les conditions (1.5) et (1.6).

Soit, alors, B(V) une Qoulede A de centre 0 e~ dè rayon E(V) péfini

par

E(V) = a/2

On a .;llors évidel1llDent pour tout ôve B(v)

..,

-+On définit ~U par :

-+'. , .,.~U = H \l + ôv )'4' ( v )

i~ est clair que ~U est solution de :

(1.11)[

(a ~Û v)ôt '

~Û(O). '0

+-+ -+ -+ -+.

aV + ôv ( ~u , V ) = - aôv ( U , V )-+

If ve \Il

-+Indépendamment de l'interprétation de ~U co~e l~ diff~rence entre

deux solutions de systèmes de type (1.4), le système (1.11) admet une

solution et une seule dans W (O,T).

Pour démontrer que le problème (1.11) admet une solution et une

seule, nous allons de nouveau appliquer le théo1;'ème ut.;i.lisé pour la

démonstration de la propositon 1.1. Les hypothèses de ce théorème sont

vérifiées en (l.10),par ladétinition d~ a~ , ,le second membre de (l.Il)'\,IV '

-Aôv Û ap,partient à L2(O,T;\V'), puisque Û appartient à L2 (O,T;\V)., Nous

en déduisons donc l'existence et l'unicité de la solution du problème

(1.11).

12

i) L'appl~~ation ~ est cont~nue.

--~-~~---~-------~--,

. ~

II faut qémo~trer que 6U tend vers zéro d~ns W (O,T) lorsque du tend

vers z~ro q~n~ A. Nou$ allons utiliser pqur cel~ le syst~me (1.11).

Ce ~ystème admet une solution et une s~ule dan~ W (O,Tr qui dépçnd

continuement du second membre.

Or le second membre~ ~

.- 8 0\1 ( U , V ) e~t majod par

1- a 0\1 ( li , V ) 1~ c Il 0\1 liA' Il U Il Il V Il

On a donc

Il tli Il W (0, T) ~ c Il 0\1 liA Il u Il~

ee 6U tend verll zéro dans ltl (0, T) lorsqu~ 0\1 ten4 pers zéro dan~ AT

ii) L'application ~ est dérivable.-~~---------~------~-

Notons ~'(\I) l'élément de~( A , W (OtT) ) défin~ par (1.9)

Le probl~me (1.9) est équivalent au problème (1,4) avec un 8~cond

membre et une condition initiale différents, Ce s~cond membre appart~ent

A L2(0,T;W'). L'équation (1.9) adm~t donc une solution unique d~ns ~ (O,T).

Posons

Pour prpuver que ~~(\I) est bien la dérivée de ~ au point \l, il faut

mon~rer que Il Rv,o\l Il tend vers zéro lorsque Il 0\1 Il tend v~r~ zéro,

avec O\l~, O. (1.12) se réécrit:

on 6U et oU so~t ~e~peètivement solutions de (1.1~) ~t (1.9).-+ ' .R\I,O\l vérifie l'équation:

13

+Pour prouver que R tend vers zéro avec ôv. on va utiliser le thé9r~~ev.ôv

déjà cité dans la démonstration de la proposition 1. Ce théorème stipule+

que si F est le second membre d'un système de type.(1.4). alors:

Il +tIW(O.T) , c ( 1 ~O 1 Il F Il L2 (0 •T;W ' ) )U +

Or dans le cas du problème (1. 13)

.+ +( I:i~

+ +( F V )W';\V --- a ôv V ) 'tJ VEW

Ilôvll A

ce qui implique

de 'plus RV

ôv(O) = a .on a donc :. .

et d'après le i)

'tJ ôve B(V)

+Donc R Ô tend vers zéro en norme lorsque ÔV tend vers zéro dans A.v. V

3. ETUDE DU PROBLKME INV!RSE

On se propose maintenant d'identifier v. le coefficient d~ viscosité

virtuelle verticale. Pour résoudre ée problème nous disposons suivant

les cas de l'une ou de l'autre de ces deux observations du courant :

- une observation répartie en espace et en temps

Z~EL2 (O.T;V) (1)

- une observation. moyenne par rapport au temps. répartie ~n espace

~

ZU E \V (II)

Pour résoudre le probème d'identification. nous allons le poser so~s

la forme d'une minimisation de fonctionnelle

14

dans le cas de l'ooservation l

dans le cas de l'observation II

1 fT -- 2(1.15) JII(~) = 1 T °Ûdt - ZU 1

Le problème inverse revient à rechercher une fonction ~ appartenant

à Ac minimisant soit la fo~ctionnelle JI' soit la fonctionnelle J II sur

le convexe A • Le vecteur U estcatculé pour un ~ fixé.c

3.1- Calcul du gradient de JI'

Proposition 3.

Sous les hypothèse~ et notations précédentes la fonctionnelle JI

définie en (1.14) est dérivable de Ac dans IR. Sa dérivée JI'(~) est

donnée par

(1.16) Ji(~)'o~

+ . +où U est solution du système direct (1.4) et PI est solution du

système adjoint

(1.17)(. aP

. l-~

+V )

+ +- 2 ( U - zu +V )

+'rJ VeW

Démonstration.

Pour la démonstration de l'existence et l'unicité d'une solution

du problème (1.17), on applique le théorème utilisé lors de la

démonstration de la proposition 1.1. Les hypothèses de ce théorème+ +

sont vérifiées et de plus le second membre U - ZU appartient à

L2 (O,T;W') puisque Ûet zn appartiennent à L2

(O,T;W).

+La proposition 2 démontre la dérivabilité de U par rapport à ~ ; la fonc-

tionnelle JI qui est la composée d'une norme hilbertienne et de la fonction $:

e~t donc dérivable. La différentielle oJI de JI correspondant à

15

une variation êv de V s'écrit:

fo êU ( u- ZU ) dz dt-H

compte-tenu de (1.17) la différentielle se réécrit

ôJl (v) • ôv = - I: {(-~tPI. ôÛ ) + av ( i\ . ôÛ )} dt

et par intégration par partie par rapport au temps

êJr(v) .êv = - I: {(PI • aa~ )-+ -+ ).} dt+ av ( êU , Pr

êU étant solution du problème (1. 9) on obtient

êJr(v).êv I: -+ -+a êv ( P

r U ) dt

3.2- Calcul du gradient de Jrr

·

Proposition 4.

Sous les hypothèses et notations précédente$ la fonctionnelle J rrdéfinie en (l.15) est d{;rivable de Ac dans IR. La dérivée .Jir e~t

donnée par

(1.18)

-+ -+où U est soll,\tion du système direct (1.4) et PlI est solution du

système adjoint :

(l. 19)

-+V )

( rT

- ~ (-4- Jo Udt - ZÛ-+

'fi' VE \V

Démonstration.

Comme au paragraphe .3.1, l'existence et l'unicité de la $Qlu,tidn

du problème (1.19) seront démontrées. Ce problème est équiv&lent au

problème (1.17) avec un second membre différent" celui-ci appartient

à L2 (O,T;W') d'o~ le résultat d'existence et d'unicité.

16

Nous appliquons de nouveau le résultat de la propo&ition 2,

la fonctionnelle J II qui est la composée de plusieurs applications

dérivables

est donc dérivable. La différentielle OJII correspondant à une varation

av de V s'écrit

compte-tenu de l'équation (1.19) la différentielle s'écrit:

f: {( -~/II , oU ) + av ( ï\I ' oU ) } dt

et par intégration par partie par rapport au t~ps

r{ ~ ) ) }daU ~ ~ ~

OJII (v) •av = - o (~, PlI + a (oU , PlI dtV

~

OU étant solution de l'équation (1.9), on obtient

dt

4. RESOLUTION NUMERIQUF. DU PRO_LEME

4. I~ R~solution de l~6qua~ion d'état

4.1.1- ~!~SE~~!~~~!~~_~~_~~E~S~

Pour la discrétisation en espace, on utilise la méthode d'éléments

finis de Lagrange de degré 1. L'intervalle [-H , 0 ] est découpé en Nzintervalles inégaux de longueur h , n= 0, ..• , N - 1 . On pose:n z

z.~

i-lL h - H

n=O n\1 i = l, ... ,N

zet z =-Ho

zNz

zn

~

1 }Uh [ ] e:. PI Il n:;oo, •• , N -z , zn+l zn

hnt )

Ona donc :

hO hl~ l(; ~

Zo zl

. ~

On va chercher à chaque instant t à approcher la fonct~on U pav. ~

une fonct~on Uh appartenant à :

Wh ={ Ûh€ ( C·(-H,D) )2 1

17

-+ -+Il est alors facile de construir~ des fonctions ~n1 ' BnZ appartenant

il l'espace Wh et telles que :

( b (z) , 0 )n

( 0 , b (z) )n

{0 si n :f- ioù' b (z.) = 'If n 0, .... , Nn I. Z

1 si n = i

-+bas~Les fonctions B n '" 0, ... ;, N . i • -1:,2 forment &lors iJneni z

, ,de l'espace Wh la déterminat~on de iiétat -+

l'instant;et par conséquent U il t,

se réduit il celle de ces 2( N + 1) variables u n '" 0, ... , N . i '" 1,2z hni z

,sur la base précédente :

2l uh .(t) B .(z)

i= 1 nI. nI.-+

et par construc~ion de la base B . on anI.

uh .(t) = uh.tz ,t)nI. I. n. . -+

Ces composantes sont déterminées 'e~ écrivant que la fonction Uh(z,t~

doit satisfaire l~ formulation ~ariationneile (1.4) pour toute fonctiQ~

test appartenant il Wh' D'où en prenant successivement çomme valeur tout~s

-+les fonctions de base B .nI.

(1.20)

Nz

ln=O

2

Li=l

'1/ k ;:: 0, ..• , Nz

-+ -+= T(t):B

kj(0)

'If j • 1-,2

uh

.(0) '" uoh

. (z )nI. I. n V n =0, •.. , Nz :Vi=I,2

Le coefficient "(z) est supposé continu et linéaire par morceaux

sur des intervalles de longueur hn

N - 1 et 'If ze [ zz n(1.21)

[

'" n 0, ... ,

z -zV (z) = V + n ( " v)n vn+l - n

hn

zn+l ] on a

où. v ... \I(z )n n

18

On remarque que':

-+( B •

n~

-+Bk· )J .

o si if j et

-+ -+

(dB. d Bk.. )

n;L J, 0' ---az- 'az- = si if j

On peut, alors, calculer les intégrales apparaissant dans (1.20)-+ ,

de manière exacte. On obtient ainsi pOUT le vecteur Uh

le systeme

différentiel suivant :

VtE[O, TJ-+F (t)

'[: dd~b ~:)Uh

(0) = Uh

'OÙUh(t) =(~Ol(t), •.. ,uhNl(t),uh02(t), ... ,uhN2 )'. z' z

où A et B sont deux matrices tridiagonales symétriques,

(1.22)

et où F(t) = ( 0, ... , T1(t), 0, ... , T2(t) ).

Dans le reste du chapitre l'indice h est supprimé afin d'alléger

les notations.

Pour la discrétisation en temps on divise l'intervalle [ 0 , T]

~n Nt intervalles de longueur 6t = TINt et on approche la solution

U (t) du système différentiel (1.22) par la suite de vecteurs

oje (IRNz+1 )2, j = 0, ... , Nt ' définie par :

[~-+j+l -+j oj + -+j+l -+j+lU - U

BU F 2 j 0, N -

tt+

2 ... , t(1.23)

0°-+j+l -+j + -+j+l -+j -+.

où F 2 F F2

et U = U(J 6t)

c'est le schéma de Crank-Nicholson qui est A-stable et d'ordre 2.

4.2- Résolution du problème d'identification pour l'observation 1.

Supposons maintenant que nous disposi0!'1s des vecteurs

-+j - ( j j j j )Z? - ZUOl' .•. , zUN l' zU 02 ' ..• , zUN 2Z Z

la dicrétisation dans Wh de l'observation l donnée

j = 0, ... , Nt

au paragraphe 3.

,19

La fonctionnelle (1.14) discrétisée s'écrit alors:

N -1t

t;t lj=O

où Uj est calculé pour un vecteur V fixé' de la forme (1.21) à partir

de l'équation d'état (1.23). La matrice C est une matrice t~i4iagonale

symétr ique similaire à A.

Le vecteur:

( U; +U;+I ; ZU; - ZU;+! ya pour composantes

+ uj;1 - 'zuj " _ 'ZUj ;I)2

nl. nl. nl.n = 0, •••• ,N ; i .. 1,2

2 ,'Z

'Le problème d'identification va'donc consister à minimis~r une

fonctionnelle des moindres carrés JI de Nz+ 1 variables vn •

Le critère JI pouvant dépendre d'un nombre important de variables,

toute méthode d'optimisation de type exploratoire est exclue. On utilise

une méthode du gradient conjugué (Fletcher-Reeves). On est aini assu~é

d'obtenir à chaque itération m du gradient une erreur J~ sur ~'obser­

vation, inférieure à la valeur J~-I de li itération précédente.

En pratique, une itération du gradient, c'est à dire le passage

de vm à vm+1,nécessite:

- le calcul du gradient éJI

de JI : cf; 4.2.2

- une minimisation monodimensionnelle; :elle est réalis~e 4e façon

approchée en balayant tR+ par une progression géométrique de

raison 2, ce qui nécessite quelques évaluations du critère JI'

puis par une interpolation parabolique pour obtenir le point

définitif.

Le critère JI considéré ici n'est pas ~ar constuction, une fonction

quadratique de va' ... , vNz

• On ne peut alors seulement espérer

la convergence que lorsque te nombre m d'itérations du graqient tend

1 ,· f"" * 1 1" d m d 1 1 ~vers l.n l.nl.. V a l.ml.te es V, correspon, a ors, seu e1Dent é1

un minimum local du critère JI' ou même à un point stationnaire

quelconque.

20

Pour le calcul du gradient on utilise le calcul des variations

(ou théorie du contrôle). C'est la méthode la plus précise et la plus

économique. Elle ne requiert que la résolution de l'équation d'état

(1.23) et de l'équation adjointe

-+j -+j+l -+j -+j+l

-2 C (-+j -+j+l

ZUj -+j .... 1 )PI - P PI .... ;PIA l + B U + U - ZU

b.t =2 2

(l. 25) j = Nt- 1, , 0

pNt(t) = 0

~où PI' , pit sont des vecteurs deIR2 (Nz+ 1) formant l'état adjoint.

On a, alors, en notant OJI , OB, OV, etc ••• les Yariation~ au

premier ordre des quantités correspondantes :

(l. 26)

Nt-l •• 1-+J -+J +

L <oB _U----=-;_U~j=O

La matrice oB étant une fonction linéaire de OVO' ••• , OVNz

'

la formule (1.26) donne après une simple substitution le gradient de JI

par rapport à VO' ••• , VNz

' La dérivée âJI/avi est alors le coeffict~nt

de ov. dans le deuxième membre de (1.26).1.

est exprimée par

OUj +1 _ OUj OUj + OUj +1 ( -+j-+j+ 1 )A + B = oB U + U

b.t 2 2

j = 0, ... ,N t - 1

OUO = 0

Pour démontrer la formule (1.26) nous allons d'abord différentier-+jU , par rapport à v, dans l'équation d'état (1.23). La différentielle

Ouj

(1.27)

-+U étant différentiable, la fonctionnelle des moindres carrés l'est;

sa différentielle est alors :

(1. 28)

N -1t<2 b.t L C

j=O

Uj + ûj +1 - ZUj ,- Zü'j+J2

21

et ~ommOns pour j = 0, •.• ,Nt' en remarquan~ quepar

Effectuo~s le produit, I>cala~re,dans (IRNZ+ J-+j -+J+} .."PI + PI

2Nt -l

L <A ôuj

, P~>j=O

~des ~quatiplll! (1. 2,7)

Les matri~es

, N -1t

jlo <A

A et B étant syrodtriques nou~ en d~d~ison~

-+. -+j+lô-+j ôtrj oUj +}

pJ + PtU B+ l >+ j

'2 ··3 .. "2 l

N -1 -+j -+j+ 1 -+j -+j+ltoûJ. Qu)+1L PI - P . P + PI<A l + B l + >' =

j=O ~t 2 12

'

N -1 -+j -+:-j+ltu j -+j+lL Pl + PI

<ôB + U , >'= ....2

,2j=O

en utilisant la formule (J.28), nou~ avons

N -1.. t ..

.IJ-Q

-+. -+' 1pJ ... p)+' .lI,. 2" >

4.3- Résolution du problème, d'identification pO~r l'QP~ervation II~:.. " JJ ' "

Supposon~ matntenan~ que l'on di~po~e q~ vecteur

~

2:U li'!' ( zu01 ' .,. , ~N l' ii:uo'" .·lt '%N 2 )z "~ . '2;

la discrétisation de l'ob~ervatton II donn~e 84 paragraphe ~.

La fonctionne1~e (1:15) qiacr~~isée sr~~+i.t. ~lo~s

'l" (~t Nf~l.uj+ UhJ _ .=t.).21

CT, l ,'.. 2' , Z;UJ=O ,

.:± )2.. ~U

2

-+JO -+'+1U + UJ

où ujest la. ao1.u,tion de l'équation o. 2~~ ppur !Jn veateût V fixé.

4evectel\rN ~1'

(~t ~T '0J=

22

Pour résoudre le problèmed'id~ritificationpourcetteobservation,

pous allons minimiser la fonctionnelle des moindres carrés (1.29)

de N + 1 variables.z

4.3.1- Méthode d'optimisation.

Comme au paragraphe 4.2, une mét~6de d'optimisat~du type gradient

conjugué (Fletcher-Reeves) sera, utilisée.

En pratique chaque itération du gradient nécessitera ~es ~êmes étapes

qu'au paragraphe 4.2.

4.3.2- Calcul du gradient.---------------

Pour le calcul de ce gradient nous utiliserons de nouvea~ l~ calcul

des variations. Dans le cas de l'observation II,l'équation adjointe

est donnée par :

+j +j+1 +j +j+1 N -1 +k -+~+1 )PlI -PlI PlI + PlI _ 2C (6t î . u + U ..:±A 6t + B = - ZO2 TT' k=O ·2

(l. 30)

pNt =0Il

j = Nt'" l, ... o

En notant ÔJII

, OB, oV,etc •.• les variations au premier ordre

des quantités correspondantes, nous avons la formule :

0·31)

Nt-1

ÔJ1I(v).ôv = ôt.I <:oB. J=O

De même qu'au paragraphe 4.2.2, oB est une fonction linéaire

de ôVO' ... , ÔVNz ' la formula (1. 31) donne aprè~ une simple su,bstitu,ti.on

le gradient de J u par rapport ~ vO' ... , VN •z

Nous allons démontrer la formule (1.31). Pour ceta nous Utilisons

la différentielle' de Ûi. par rapport à V déf.inie en (l.~7). Nou,s en

déduisons la différentiabilité de J u: p!lr rapport à :v. La différentieHe

est alors exprimée par la formule

0.32) (

Nt-1 -+k -+k+1.' Ôt U + U

ÔJII(V).Ôv = 2 C ~ L2 .k=O

N -1=t!) 6t t- ZU - t

T • 0J=.

-+' -+'+1ôU~ + oUJ

t' '2 1

23

~j +j+1Nous allons effectuer ~e produit scalaire de (I.Z7) par PII+ PlI

2et sommer de j = 0, ••• , Nt - 1. Les matrices A et B·étant des matriceS

symétriques, on obtient

N -1t

Ij=O

N -1t

Ij=ON -1

t

'" .,. Ij::;O

ô+j +1ôÛj ôü"j ôÛj +1 +j

""+j+1

<A U - + B + PlI PI!>lit 2 2

+j +j+1 +j +j+1ôijj ô+j +1

<A. PI! - PI!+ B

PIl: + PI! + U >lit Z 2

Ûj +·+1 -.+-j + +j+l

<ôB+ UJ PI! PlI2 2 >

2=

Dans la dernière égalité nous vQyons app~raitre l'é~uation

adjointe (1.30), on en déduit:

N -1 N -1

- 2 ·lit l c(lit IT j=O T k=O

N -1t

lit Ij=O

En utilisant la formule (l.32) , ori en déduit que :

N -1 +j +j+1 -.+-j +j+1t P + PI!

ôJI! (v) • ôv lit I <ôBU + U II >=

j=O 2 2

4.4- Mise en oeuvre.1

Le calcul da gradi:nt ~e JI ~u de JI~ nécessite la connaissance

de tous les vecteurs UJ , P~ ou Pli'- on résout l'équation d'état (1.23)

- puis les équations adjointes (1.25) ou (1.30)

- et enfin on calcule le gradient de JI ou de J I1 •

Pour clarifier les notations pré~édentes, on donne l'organigramme

correspondant à une méthode de gradient simple, le cas d'un~ méthode

du gradient conjugué est similaire mais un pe~ plus complexe.

24

Initialisation'.

.Choisir v et E: ,

1 J~1.-1

;= 01

=: 00 ou J n ~ 00 m

Résolut~on de 1 équation (1.23)

-+ Jm m(1. 24)l

ou ( 1. 29) -+Jn

l -1 - Jm < E: ImpJ;ïmer

lm 1

. l l 04~= m+l oum-l

mJ n -Jm<E: V

n Jm ml

ou JU

non

Résolution des équations (1.25) ou (1.30)

(1. 26) aJm (1.31) -+ m-+ ou aJnl

,

J (vm - mp -+l

p aJ I )

ouimpossiblem m

P-+Jn(v - () aJn )

pour p > 0

possible

1

m1

p

m+l m m aJm

V =v - P l

ou

m+l m m mV =v - r a.l

n1

25

5. RESULTATS NUMERIQUES

On considère tout d'abord un exemple académique pour lequel

on connait le coefficient de viscosité virtuelle vertica~. Get exemple

permet de tester la validité du modèle.

5.1- Un exemple académique.

5.1.1- Algorit~e d'optimisation.------~-----------

L~ convergence e$t trè~ lente avec l'~tgorithm~ du gradien~ simple.

L'l;ltilisation d'un algorithme du gradient conju8u~ (typ~ Fletcher...R~evf!s),

permet ~'augmenter la vitesse de convergence dans un r~pport d~ 1 à la

et de diminuer d'autant le temps calcul.

Bien que du point de vue de la convergence la plage admissibl~ $oit

r~~ativement large, on a constaté à 1 'utilisation ~ue si la valeur

initiale de vO s'écarte de la valeur moyenne du coefficient v, ~lpr$

le temps calcul croît, ~a rapidité de la convergen~e et la préçision

de calc~l de l'algorithme diminuent rapidement; par contre, si l'on

cherche V sous la forme d'une constante, on constate que ~'on conver~e

rapidl;!II\ent vers une "vale~r moyenne" de V. La méthoçle rtaturen~ pour

id~ntifier v lorsque l'on n'a aucune idée de son ordre de grand~ur

est donc d'opérer en trois phases:

1 : chercher v sous forme constante

2 : utiliser l.e résultat du 1 comme valeul!' initiale, chercher V

sous forme constante sur le$ bords du ~omaine et sous forme

linéaire continue sur le'reste du·domaine

o +-----'T'..

-Ii

3 ut ili'ser le résultat de la deuxième phase comme valeui['

initiale et chercher V en le laissant libre.

26

5.1.2- Choix des différents paramètres.

On a choisi des pas de discrétisation en espace h de la formen

12 pas de longueur 0.05

16 pas de longueur 0.025

N = 28z

On a choisi un pas de discrétisation en temps bt

N = 20t

T =

0.05

Pour simuler l'observation nous avons choisi un V donné par la

figure l, puis nous avons intégré le système (1.23).On considère, alors,

deux types d'observations définies par (1.24) et (1.29). Pour l'obser­

vation II,nous avons intégré l'observation 1. par rapport au temps.

On a pris comme valeur initiale V = 9.

5.1.3- Résultats

Phase 1

Pour les deux observations, nous avons convergé en six itérations.

Les valeurs moyennes de V obtenues sont

- pour l'observation l V

- pour l'observation II V

Phase 2

1.649

1.641

Pour cette phase, nous avons convergé respectivement en neuf

itérations pour l'observation l et en huit itérations pour l'obser­

vation II.

Les résultats de cette deuxième phase sont donnés en figure 2 .

On constate qu'il y a très peu de différence entre les résultats

des deux observations.

27

Phase 3

Pour la troisième phase, on obtient une convergence acceptable pour les

deux observations après trente itérations (figure 6).

On remarque que l'on approche très rapidement la solution à l'intérieur

du domaine, pour quinze itérations (figure 4), par contre sur les bords

du domaine, la convergence est beaucoup plus lente. Ceci s'explique par le

fait que les équations adjointes vérifient les conditions limites :

a et

les gradients de JI etJII sont donc très petits en ces points.

On aurait pu obtenir des résultats certainement meilleurs en utilisant

l . l . + + ==' ....:. (1 )e fa1t que a conna1ssance de T , ZU et ZU permetta1t, grace ~ .2

de calculer V(z) sur le bord du domaine et en ne cherchant v que sur les

points intérieurs. Nous ne l'avons pas fait car cette métho4e nécessite.+ -

le calcul des dérivées de ZU et ZU ,qui dans le cas de no·tre problème

risquent d'être peu significatives par suite des erreurs de mesure sur

les observations. Après un certain nombre de tâtonnements,la formule

suivante a été adoptée

d JIon approche -av- ou

au point de dicrétisation

d J rr-av-- sur les bords

le plus proche.

du domaine par la valeur

28

o 29 y_l-jo :.;lo+5:..- ~--~2~o+-~

19

II

6

V exact

-H

- Figure 1 .,..

29

19 //~

,//

"/"~

II

~ 2eme Phase

~,

(/~"

6

'V exact.

~------- 'V pour ( [ ) - Figure 2 -

-H ( [ [ )~---- 'V peur

5

2a

~eme Phase

[TERAT[oN

'V exact

________ 'V peur 11)

__--- \) pour ([f)

6

11

19

O 29la laS

~~---------~---.-,------,,-.........-=,:~.....::.

-H

30

o 29 +-_l-tD 1-tD5 ,....,..,--__2_-!D_.,:,.

-H

.-'

19

11

6

3eme Phase

rrEAIIHON 15

\) exact

\) pour (f)

\) pour (r f)

- Figure 4 -

a 29 +_1.--tD 1-1D5~ --.. 2_1.f--~

19

ul 3eme Phase- Figure 5 -

J rrEAIITroN 30

\) exact

-------- \) pour Cf)

-H 1 . ------ \) pour r r [)

31

10 -1 ~dl

10 ~

la -~ _

+o

FONCTION COUT

AU COLIRS DES ITERATIONS

0+

10 -&+ J l

+0

0 J rr

10 -7

èl

Ô10 -9 0

la -9 -I- +- +- +- +- ~

a 10 20 30 40 50

- Figure 6 -

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjJ

33

5.2. - UTlLISATION DE CE MODELE DANS L'ATLANTIQUE EQUATORIAL

5.2.1. - Evaluation de différents termes des équations de Navier-Stokes---------------~----------------------------------------------

Dans ce paragraphe nous allons utiliser les résultats des

campagnes océanographiqu~s FOCAL (Françai. Océan Climat Atlantique

équatoriaL) effectuées p~r Messieurs HISARD et HENIN (O.R.S,T.O.M.),

d'octobre 82 à aoOt 1984. L~ projet FOCAL a, en pa~ticulier, consisté en

8 campagnes de mesures, étalées sur deux ans, composées d~ radiales à

4 Q ouest, 10° ouest, 23° ouest, 28° (ou 29°) Ouest et 35° puest. Lors de ceS

radiales des profils de courant et des relev~s des anomalies de hauteur

dynamiqu~ ont été mesur~es tous les 30 milles nautiques.

Il nous est apparu important d'es~imer, à partir de ces données,

certains termeS des équations de Navier-Stoke~.

Les prOfils de courant sont des mesur~s instantané~s, ils ne

peuvent donc pas donner des résultats généraux pour les term~s de ces

équations. Ils peuvent par contre nous donner un ordre d'id~e de leur

grandeur. Tous les résultats de Ce paragraphe seront exprim~s en c.g.s.

La première de ces estimations a consisté à calculer le termeélu 1

ul:fJ{ • Pour cela, nous avons utilisé la formule de dérivation numérique

suivante :

oÙ u lW est le profil le plus à l'ouest, u lE le profil le plus à l'est

et 6x la longitude exprimée en centimètres.

élu 1On remarque que pour FOCAL 1 (figure 7~ les valeurs de u l ~

-5sont situées entre -1. et 1.5 10 c.g.s •• Pour FOCAL 3 (figure 8)

CeS valeurs sont un peU plus étalées et ,comprises entre -2.5 et 1.5 la-S.

Les valeurs les plus importantes Se retrouvent entre 0 et 100 mètres de

profondeur, c'est-à-dire dans la région où les variations du courant sont

les plus importantes.

A partir. des anomalies

2 premiers termes du gradient de

reliés aux anomalies de hauteur

34

2d ulNous avons ensuite estimé le terme ----2 Nous avons utilisé

une formule de dérivation numérique similaire dZ à la précédente. Dans les

figures 9 et 10, on représente ces termes pour les campagnes FOCAL 1 etdUI

FOCAL 3. On remarque que, comme pour le terme u l lhC t les valeurs les

plus importantes sont dans les 100 premiers mètres. Il est à noter aussi,

que l'intervalle moyen,dans lequel sont comprises ces valeurs, est plusdU 1

grand que celui de u l lhC

de hauteur dynamique nous avons estimé les. . 1 d.n 1 d n C

press10n - ~ et -~. es termes sontp oX p oy

dynamique par la formule (LACOMBE [IOJ )

Pour stabiliser les résultats dans' le calcul de ~~ nous avons

utilisé la formule de dérivation suivante

(h lE + :2E + h 3E ) _ ( h IW + :2W + h3W )

l:::.X

.où les indices 1, 2 et 3 représentent respectivement pour chaque palier de

profondeur les positions à 0°30' Nord, 0° et 0°30' Sud et où les indices E

et W représentent respectivement la radiale la plus à l'est et la radiale

la plus à l'ouest. Cette technique nous a permis d'avoir une courbe de

l~ beaucoup plus lisse.p ax

On remarquera sur les figures Il et 12 que ce terme a une grandeur

similaire à celle des termes calculés précédemment. Le terme l~ semblep oXavoir une forme très caractéristique liée à un système de courant. Sur les

figures Il et 12 on peut voir deux types de formes très distinctes

_ l'une avec une forte valeur négative en surface qui crott dans les

100 premiers mètres vers une valeur p~sitive maximale située entre 100 et

200 mètres, puis une phase de décroissance vers zéro de 200 à 500 mètres

(~oir FOCAL 3, ~~ entre 23°W et 29°W). Cette forme de gradient dePdXpression semble être liée à une distribution du type : fort courant de

surface dirigé vers l'Ouest t et faible sous"'" courant dirigé vers l'Est.

(figure 16)

35

l'autre a'une forte valeur positive en surface et une décroissance

rapide dans les 100 premiers mètres puis

lente de 100 à 500 mètres (voir FOCAL 1

Ce type de gradient semble être.1ié à un

à un fort sous-courant (figure 17).

une décroissance beaucoup plus1 a·p

entre 4°W et 100W).P axfaible courant de surface et

ahPour le calcul de ay nous avons utilisé la formule de dérivation

suivante

4

où les indices 1, 2 et 3 représentent respectivement pour chaque palier de

profondeur la station située à 0030'N 0° et 0°30'8, où les indices E et W

représentent respectivement la radiale la plus à l'est et la radiale la plus

à l'ouest, et où YI et Y2 représentent la distance entre les stations

et 2 et la distance entre les stations 2 et 3.

Ce calcul fait apparattre l'importance du terme lp

(cf. figures 13 et 14). Les variations.1es plus importantes

de pression sont situées dans les 200 premiers mètres.

apay

du gradient

Cette estimation succincte des différents termes des équations

de Navier-Stokes ne nous permet Eas de conclure, quant à l'importance de. u 1 . ,

certa~ns termes, par exemple ul

lhë . Par contre, elle montre qu on ne peut

négliger le gradient de pression, sa valeur étant importante et son profil

paraissant caractéristique d'un type de courant.

Le modèle monodimensionne1 traité dans ce chapitre néglige les

vàriations en x et Y et ne permet pas de calculer ce gradient de pression.

C'est pourquoi nous allons l'introduire dans les équations (1.1), au 2ème

membre, comme un forcing donné du mouvement.

36

Les équations (1.1) s'écrivent alors

aUI a

(V(z)aU

I(Z,t»)

1 ~at'" (z,t) -az az = -p ax

aU2 a

(v(z) .aU

2(Z,t»)

1 ÈÉ..at'" (z,t>- az az = p ay

Les termes.!. ~p i3x

du temps, caractérisant un

et .!. ~ sont donnés comme constants en fonctionp ay

certain type de courant.

Dans un premier temps, on a voulu traiter les données de couran­

tométrie fournies par le mouillage fixe situé à l'équateur, par 4° de longi­

tude ouest. Ce mouillage se compose de 5 courantomètres VACM fixés à 10, 35,

60,85 et 110 mètres de profondeur. Chaque courantomètre, toutes les 15 mn.

·effectue des relevés des deux composantes horizontales de la vitesse, de la

température, et de la· pression. Sur la bouée de surface une unité météo-

rologique est installée, relevant toutes les heures, la direction et la

force du vent, la pression atmosphérique, la température ambiante et la tempé­

rature de la mer. Le traitement de ces données a été réalisé en collaboration

avec Monsieur COLIN (O.R.S.T.O.M.) responsable de ce mouillage.

Dans le cas de ce mouillage on dispose donc de séries temporelles

de la vitesse et du vent, on peut alors traiter le problème de la détermina­

tion de la viscosité virtuelle verticale par la première méthode proposée.

Vu le manque de données en pr~fondeur (le dernier courantomètre

se situe à 110 mètres), on a décidé d'ajouter un palier situé suivant les

cas à 200 ou 250 mètres. Ce palier ne sert qu'à représenter la décroissance

du courant à ces profondeurs (confirmé par un VACM placé à 300 mètres lors de

la dernière période de mesure de mai à septembre 84) et n'est pas utilisé

pour la minimisation entre le courant calculé et le courant observé.

Les valeurs du courant mesurées à 10 mètres sont considérées comme les

valeurs du courant en surface. On dispose alors de 6 pas de discrétisation

en espace.

37

Pour calculer la force exercée par le vent, à partir des relevés,

on utilise la formule suivante

"OÙ P est la densité de l'air, VI la force du vent en mis et Vla force dua "vent en cm/s.

Le gradient de pression est donné. Compte-tenu des remarques

faites précédemment, on construit un profil moyen à partir des mesures faites

sQr les radiales transéquatoria1es durant la même période.

Bien que la méthode conduise à de, fortes valeurs du coefficient

de viscosité, on retrouve bien les traits principaux de la circulation avec

cependant "des valeurs un peu plus faibles au niveau du sous-courant équatorial.

Ceci apparatt sur la figure 15 où on a représenté la composante zonale du

courant observé (campagne MOCAL 1), et du courant calculé numériquement.

Nous allons tenter d'analyser le désaccord en sub-surface entre

le courant observé et le courant calculé. L'une d'elles apparatt de façon

évidente c'est le manque de données suivant la verticale. 5 mesures de

courant, et donc 5 points de discrétisation, sont insuffisantes pour représen­

ter correctement les variations verticales de la vitesse. Il est en particulier

difficile de fixer la profondeur du sous-courant et son intensité.

D'autre part, ce modèle ne peut s'utiliser que pour des variations

du vent à grandes périodes (exemple: variations sais~nnières), sinon il

présente une instabilité qui conduit à des différences :notables au niveau

du sous-courant entre les valeurs calculées et observées (figure 15).

38

L'objectif du modèle est de déterminer un coefficient de visco­

sité constant sur la période ~onsidérée, et correspondant à un écoulement

moyen caractéristique .de l'Atlantique Equatorial. Pour cela, les mesures

du courant doivent être lissées de façon à faire apparattre nettement le

profil moyen de vitesse.

Cette analyse des résultats obtenus dans le cas d'observations

instantanées nous amène donc à traiter le cas d'un courant moyen, en utili­

sant la formulation (II) du modèle numérique.

La circulation dans l'Atlantique Equatorial est dominée par de

grands courants zonaux : les courants Nord et Sud équatoriaux traversent

l'Atlantique d'Est en Ouest, le contre-courant et le sous-courant équatorial

s'écoulent d'ouest en est.

Une première approche de la circulation peut donc être obtenue en

supposant que la composante méridionale de la vitesse est négligeable devant

la composante zonale.

Compte-tenu de la distribution du vent, ce modèle est plus adapté à la

partie Ouest de l'Atlantique Equatorial où le vent est zonal, qu'à la partie

Est où le vent est méridien.

'Nous avons alors à traiter uniquement l'équation projetée sur

l'axe Ox

(au . )

\J( z) azl (z, t) 1 a= _!œ.p ax

On se propose maintenant de déterminer le coefficient de viscosité

virtuelle verticale par le deuxième modèle proposé en 4.3. Dans ce but, on

va construire un profil de courant moyen üt

' obtenu pour un vent moyen TI.On crée une perturbation du vent, de moyenne nulle, ÔT

Iet on cherche à

minimiser la perturbation du courant zonal ÔU 1 qui en résulte. L'équation à

résoudre s'écrit :

39

= 1 Clpp dX

et on minimise

Le profil moyen du courant peut être approché analytiquement.

Cette construction permet de faire varier les critères suivants :

- intensité du courant de surface

- valeur de la dérivée du courant de surface

profondeur du noyau du sous-courant

intensité du noyau du sous-courant

rapidité de décroissance en dessous du noyau.

A partir des relevés des campagnes FOCAL, on peut considérer que

le courant zonal se décompose en 2 parties: l'une allant de la surface au

maximum de sous-courant, l'autre concernant le courant en dessous du sous­

courant.

La formulation analytique que l'on a choisie se décompose en deux

fonctions définies sur les deux intervalles que l'on vient de donner. Elles

sont reliées entre elles par la, condition qu'au noyau du sous-courant, les

fonctions ainsi que leur dérivées soient' continues.

Entre la surface et le maximum de sous-courant, on utilise la

formulation suivante :

).- O',{; z ',{; zm

40

avec

SI et s2 forment une partition de l'unité et sont tels que

sI (zm) = 0 s2(zm) = s,(O) >= s2(0) = 0

si (zm) = 0 si(zm) = 0 si (0) '" 0 si(O) '" 0

u représente donc le courant de surface, a la pente du courant à la surface,sum le maximum de sous-courant et zm la profondeur du maximum de sous-courant.

Toutes les distances sont exprimées en centimètres et les vitesses en centi­

mètres par seconde.

Pour la partie en dessous du noyau du sous-courant, on utilise une

formulation donnée par K. WYRTKI et E. BENNET [17]:

2.- u (z) = u ~ e1 m Z -Elm

z-a1-­z -a-mz ~ Zm

Dans cette fonction, a permet de faire varier la rapidité de

décroissance du sous-courant.

On vient de donner une formulation analytique dépendant de 5 para­

mètres pour les 5 critères proposés. De plus, en z , on respecte bien la condi-. mtion de continuité imposée. Pour montrer que la formulation analytique repré-

sente bien la composante zonale du courant à l'équateur, on donne en figures

'6 et 17 une comparaison entre deux courants observés lors des campagnes FOCAL

(croix) et le courant calculé par la formulation analytique leur correspondant

(trait plein). Sur la figure 15, les mesures du courant observé ont été effec­

tuées lors de la campagne FOCAL 3, d'avril 83~ par 4° de longitude ouest.

Les mesures de courant de la figure 17 ont été effèctuées lors de la campagne

FOCAL 2, de février 83, par 4° de longitude ouest.

41

Dans un premier temps, on a voulu traiter le cas d'un profil

moyen donné par ajustement analytique aux vitesses fournies par l'une des

stations des campagnes FOCAL (figure 16). Pour ces campagnes, les valeurs

du courant sont mesurées tous les 5 à 10 mètres de profondeur. Dans ce cas,

on connatt très précisément, la valeur du courant près de la surface,

la profondeur du maximum de sous-courant et sa grandeur, la rapidité de

décroissance du courant en dessous du noyau. En faisant varier le gradient

de pression dans différents essais, on pourra tester l'influènce de celui-ci

sur le coefficient de viscosité virtuelle verticale et sur le courant.

Dans le cas du profil moyen de courant traité (figure 16), les

paramètres de la formulation analytique ont les valeurs

u = -72 cm/ss

Ct = 0'012 u = 74 cm/sm

z = 4750 cmm

a = 2750 cm

Le vent relevé sur la passerelle du navire lors de cette station,

nouS donne une force exercée par le vent :

- 2Tl == -O. 16 dynes/cm

Pour la discrétisation en temps, on a choisi un pas de temps

~t = 7200 secondes. La perturbation du vent est construite de manière

à former un bruit blanc de moyenne nulle. Les calculs sont effectués pour

une période de 5 jours.

Pour la discrétisation en espace on a pris. les pas suivants

- de 0 à 60 mètres

- de 60 à 160 mètres

- de 160 à 300 mètres

12 pas de 500 cm

10 pas de 1000 cm

7 pas Ode 2000 cm

ce qui permet de conserver de manière acceptable la forme du courant moyen

zonal.

42

Dans le paragraphe 5.2.1., on est arrivé à la conclusion que le

gradient de pression avait une importance primordiale dans les équations

de Navier-Stokes. Le problème, dans le cas que l'on traite, est que l'on

ne connaît que grossièrement sa forme et sa grandeur. On va donc utiliser

la forme très simple proposée par Robert S. ARTHUR [lJ pour le cas d'un

courant comparable à celui traité ici. Le terme 1 ~ proposé par ARTHURp oX

a la forme suivante :

Les essais que l'on présente dans ce paragraphe ont consisté à

faire varier les paramètres p , p et h, afin de trouver la meilleure opti-s . amisation pour la distance entre le courant calculé et le courant observé,

lors du calcul du coefficient de viscosité virtuelle verticale. Pour chaque

essai, on effectue quarante itérations pour le calcul du coefficient.

On compare la valeur de la distance entre courant observé et courant calculé,

après ces quarante itérations, pour déterminer quel est le gradient de pression

le mieux adapté au profil de courant proposé.

Dans l'exemple académique on décomposait la recherche du coefficient

de viscosité virtuelle verticale en trois étapes. Dans le cas que nous trai­

ton~, nous ne conservons que deux étapes : la recherche de V sous forme d'une

constante et la recherche de V sous forme libre. Pour la première étape, les

valeurs de V que nous trouvons, pour les différents gradients de pression,

vont de 2.67 à 3 cm2/s. Ces valeurs moyennes de V sont tout-à-fait comparables

à celles que l'on voit dans différents articles.

différents essais, on voit-5 3p = 0.5 10 dynes/cm.a

on présente plusieurs essais

En faisant varier le terme p dans, aque la meilleure optimisation est obtenue pour

-5Le terme p étant maintenant fixé à 0.5 10 ,a

pour lesquels on a fait varier les valeurs de

43

h et p • Le tableau ci-dessoussregroupe ces essais, en abscisse on donne la profondeu r "h" où la pente du

gradient de pression change de sens, en ordonnée la valeur du gradient de

pression en surface, et à l'intérieur du tableau la valeur de la distance

entre le courant calculé et le courant observé après quarante itérations

(la distance est une intégration numérique par rapport à l'espace, ce qui

explique les fortes valeurs, la profondeur étant exprimée en centimètres).

La meilleure valeur de la .distance est obtenue pour p = - 4.5 10~5 etsh = 100 mètres.

h

80 100 120

- 3.85 10-5 4167

Ps - 4.5 10-5 4012 2522 10839

- 6. 10-5 21502

Pour l'ensemble des essais effectués, on observe des caractéris­

tiques communes : une forte valeur de V en surface, des valeurs faibles

entre 15 et 35 mètres, un~cond~c à 45 mètres, de nouvelles valeurs faibles

de 50 à 60 mètres, un 3ème pic entre 80 et 150 mètres, puis une valeur à

peu près constante dans les 100 derniers mètres (figures 18, 19 et 20).

On va tenter d'interpréter ce profil vertical de la viscosité.

En surface les valeurs importantes ont pour but de freiner leau 1

courant entratné par la force exercée par le vent, on a en effet V ""1fZ = TI

Les faibles valeurs que l'on trouve ensuite permettent de laisser s'écouler

le courant, les variations du courant dans cette partie étant très importantes.

44

Le second pic à 45 mètres se situe au niveau du maximum de

sous-courant. Au-dessus et en dessous du noyau du sous-courant, aux fortes

variations de la vitesse zonale correspondent des valeurs faibles du coef­

ficient de viscosité virtuelle, mais au niveau du maximum,

le coefficient doit prendre une valeur plus importante afin de stabiliser

le courant.

Le troisième pic de la viscosité se situe dans une zone où les

variations du courant diminuent. Les valeurs importantes de la viscosité

ont pour but de compenser la trop forte décroissance verticale du courant

A partir de la profondeur où le courant se stabilise le coefficient de vis­

cosité virtuelle verticale diminue pour prendre une valeur constante.

On peut résumer brièvement la forme du coefficient de viscosité

virtuelle verticale, en disant que là où les variations du courant sont

importantes sa valeur est faible. Par contre la valeur du coefficient

augmente lorsque les variations du courant diminuent ou lorsque la dérivéeau 1~ du courant s'annule.

On peut regarder l'influence du gradient de pression

sur la forme et les valeurs du coefficient de viscosité virtuelle verticale.

Premièrement, on fixe h à 100 mètres, p à 0.5 10-5 dynes/cm3 ,aet l'on compare v, après 40 itérations, pour différentes valeurs de p

s(figure 18). Le pic du coefficient de viscosité situé à 45 mètres est minimum

pour le gradient de pression optimum, c'est-à-dire pour p =-4.5 10-5dynes/cm3.s

le troisième pic situé entre 80 et 140 mètres diminue lorsque la valeur de p5 -5 .. s

décrott. Pour p = -6.10- et p = -3.85 10 les valeurs du coeff1c1ents s

de viscosité virtuelle verticale situées au-dessus et en dessous du pic à

45 mètres tendent vers zéro. Pour ces valeurs de p , les valeurs du pic às45 mètres sont très grandes, afin de stabiliser le courant. Pour permettre

au courant de varier autour du noyau, il faut donc des valeurs très faibles

de v.

Deuxièmement, on fixe Pa à q.5 10-5 dynes/cm3 , Ps à -4.5

10-5 dynes/cm3 , et l'on fait varier la profondeur h où la pente du gradient

de pression change de sens (figure 19). Pour h = 120 mètres, les pics

du coefficient de viscosité virtuelle verticale prennent des valeurs très

45

importantes. La pente du gradient de pression change de sens trop tôt,

le pic de la viscosité situé entre 80 et 150 mètres doit prendre une

forte valeur afin que la profondeur et l'intensité du sous-courant

soient conservées.

si l'on regarde maintenant la forme du coefficient de viscosité

virtuelle verticale au cours des itérations pour le gradient de pression

optimum (figure 20) on observe que 1& grandeur des pics augmente en fonc­

tion des itérations, mais que par contre les valeurs faibles se stabilisent.

Pour ce profil de courant moyen, on peut faire une remarque

générale sur l'ensemble de ces essais, c'est que l'on a un phénomène d'oscil­

lations des valeurs de V d'une profondeur à l'autre, par exemple entre 20

et 40 mètres. Le coefficient de viscosité est défini comme un polynôme de

degré 1 sur chaque intervalle de discrétisation. Pour diminuer c~ phénomène

d'oscillations, on aurait pu choisir de prendre V sous la forme d'un poly­

nôme de degré 1 sur 2 ou 3 intervalles de discrétisation. On ne l'a pas fait

car dans ce cas on aurait perdu certaines informations, entre-autres le pic

à 45 mètres.

46

5.2.3.3. - f~~_~~_~~~~_E!~Éi!~_~~z~~~_~~E~~!~!i~!!9~~~

~~_!~~!!~~!!9~~_~g~~!~E!~!

A partir des données du vent et des courants fournies par le

mouillage FOCAL, on remarque que la circulation équatoriale comporte deux

saisons.

La grande saison froide, s'étendant de mai à septembre, est

caractérisée par un vent venant du Sud-Est. La composante zonale de la

vitesse pour cette saison est du type : fort courant de surface Ouest,

faible sous-courant Est. La première composante du gradient de pression

est caractérisée par une valeur de surface négative.

La grande saison chaude s'étend de décembre à avril et est carac­

térisée par un vent venant du Sud-Ouest. La composante zonale de la vitesse

est du type: faible courant de surface et fort sous-courant Est.

La première composante du gradient de pression est caractérisée par une

valeur de surface positive.

Dans ce paragraphe, nous allons, pour ces deux saisons, déter­

miner le coefficient de viscosité virtuelle verticale.

a) Grande saison froide

Pour construire un profil moyen caractéristique de cette saison,

on s'est servi des mesures du mouillage équatorial réalisées durant le mois

de juillet 1983. Les paramètres de la formulation analytique de ce profil

(figure 21) ont les valeurs·

us -90 cm/s 0.022 u = 65 cm/sm

zm

6000 cm a = 3500 cm

Le vent moyen relevé durant cette période par la bouée météoro­

logique nous donne une force exercée par le vent :

- . 2Tl = -0.30 dynes/cm

P04r la discrétisation en temps et la perturbation du vent,

on conserve les mêmes valeurs qu'au paragraphe 5.2.3.2.

47

Le maximum de sous-courant étant situé à 60 mètres, pour décrire

de manière acceptable la forme du courant moyen, les pas de discrétisation

en espace sont les suivants :

de a à 70 mètres

de 70 à 160 mètres

de 160 à 300 mètres

14 pas de 500 cm

9 pas de 1000 cm

7 pas de 2000 cm

Le choix de la forme de la première composante du gradient de

pression pose le même problème' qu'au paragraphe 5.2.3.2. On choisit la forme

très simple proposée par S. ARTHUR [J] et comme au paragraphe précédent,

on fait varier les paramètres h, Pa et Ps au cours d'essais successifs, afin

de déterminer le gradient de pression fournissant la meilleure optimisation

possible de la fonctionnelle des moindres carrés, après 40 itérations.

Après plusieurs essais, le gradient de pression fournissant la

meilleure optimisation entre le courant observé (le profil) et le courant

calculé. a pour paramètres h = 110 mètres. p = 0.5 10-5 dynes/cm3 et-5 a

Ps = -6.5 JO dynes/cm.

A la fin de la première étape d'optimisation. la valeur moyenne

obtenue pour le coefficient de viscosité virtuelle verticale est de 5.32 cm2/s •

Le coefficient de viscosité virtuelle verticale prend une forme

similaire au coefficient trouvé dans le paragraphe précédent : une forte valeur

de surface, des valeurs faibles entre 20 et 40 mètres. puis un pic à 55 mètres.

de nouvelles valeurs faibles de 65 à 80 mètres. un autre pic entre 100 et

200 mètres, et enfin une valeur à peu près constante dans les 100 derniers

mètres (figure 22).

Pour cette forme du coefficient de viscosité, on peut donner la

même explication qu'au paragraphe précédent. Le pic à 55 mètres se situe au

maximum de sous-courant. Au-dessus et en dessous du noyau du sous-courant.

aux fortes variations de la vitesse zonale correspondent les valeurs faibles

. du coefficient de viscosité virtuelle situées entre 20 et 40 mètres. et entre

65 et 80 mètres.

48

Les valeurs des pics du coefficient de viscosité virtue.lle verti­

cale déterminées à partir de ce profil sont beaucoup plus importantes que

celles déterminées à partir du profil donné par la campagne FOCAL 3.

Les grandes valeurs du coefficient de viscosité ont pour but de freiner les

variations du courant. Le maximum de sous-courant dans le cas du profil de

ce paragraphe (figure 21) est plus faible que dans le cas du profil précé­

dent (figure 16), les variations du courant sont donc moins importantes, ce

qui explique les fortes valeurs du coefficient de viscosité.

b) Grande saison chaude

Le profil moyen caractéristique de cette saison a été calculé

à partir des mesures du mouillage équatorial effectuées au mois de janvier 84.

Les paramètres de la formulation analytique de ce profil (figure 23) ont les

valeurs

u s 50 cm/s -0.035 um = 85 cm/s Zm = 6000 cm a = 3500 cm

Le vent moyen relevé durant cette période par la bouée météoro­

logique nous donne une force exercée par le vent :

- 2TI = 0.15 dynes/cm

Pour la discrétisation en temps et en espace, et pour la pertur­

bation du vent, on conserve les mêmes valeurs qu'au paragraphe a).

Le choix de la forme de la première composante du graidient de

pression pose un grand problème. Cette saison est moins marquée que la grande

saison froide, et on connaît moins bien le gradient de pression. Après de

l . l . l 1 an d . - . d -t- h· .mu t1p es essa1S, e terme - ~a ' eSS1ne C1- essous, a e e c 01S1 commep xétant le mieux lié au profil moyen de courant traité dans ce paragraphe.

+

49

Après plusieurs essais le gradient de pression fournissant la

meilleure optimisation entre courant observé et courant calculé a pour para­

mètres hl = 50 mètres, h2 • 120 mètres, p = -1.25 10-5 dynes/cm33 . -5 e 3

Pa = 0.25 dynes/cm et Ps = 8.10 dynes/cm.

La valeur moyenne du coefficient de viscosité virtuelle verticale,

à la fin de la première étape d'optimisation, est de 2.20 cm2/s.

Le coefficient de viscosité virtuelle verticale a une forme assez

différente de celles déterminées précédemment. Il a les caractéristiques

suivantes : un pic à 20 mètres, des valeurs faibles de 25 à 5à mètres,

un autre pic à 60 mètres, de nouvelles valeurs ,faibles de 65 à 90 mètres,

puis une valeur à'peu près constante sur les 200 derniers mètres (figure 24).

On va tenter d'interpréter ce profil vertical de la viscosité.

Le pic du coefficient de viscosité virtuelle verticale situé à

20 mètres est exactement à la même profondeur que le minimum de courant du

profil moyen. Le pic que l'on trouve à 60 mètres se situe au maximum de

sous-courant. En effet, au niveau du maximum dU sous-courant, le coefficient

de viscosité doit prendre une valeur plus importante afin de stabiliser le

courant.

On peut faire une étude comparative des coefficients de viscosité

virtuelle verticale en fonction des différents profils moyens de la vitesse

(figure 25). Le profil moyen (figure 16) peut ~tre considéré comme un profil

intermédiaire entre les profils correspondant aux 2 grandes saisons (figures

21 et 23). La valeur moyenne du coefficient de viscosité virtuelle verticale

diminue lorsque le maximum du sous-courant augmente : VM = 5.32 cm/s2 pour

u = 65 cm/s (profil moyen, figure 16), VM

= 2.76 cm/s2 pour u = 74 cm/sm 2 m

(profil moyen, figure 21), et VM = 2.2 cm/s pour um = 85 cm/s (profil moyen

figure 23). Le pic du coefficient de viscosité virtuelle verticale situé à la

même profondeur que le maximu~ du sous-courant et le pic situé en dessous du

noyau du sous-courant, diminuent lorsque la valeur du maximum du sous-courant

augmente (figure 25).

En conclusion, les faibles valeurs de viscosité,apparaissent pour

la grande saison chaude et augmentent lors de la grande saison froide. Les

variations de la viscosité sont proportionnelles aux variations de tension de

é . . d dU. tvent, on peut donc en d dU1re une certa1ne permanence u terme V az qU1 es

confirmée par l'observation.

50

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au entre 29 w et 35 wâx

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FOCAL 3

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59

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- Figure 16 -

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300D

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cal~ut~ par la fQrm~latiop ~n~lytiq4e (trait plein)

0 ..

60

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100 ..

+

+- Figure 17 -

20~

300 ..

Compar~ison entre ~e ~OUrant observii l'~quateQr, lors. ,.-' . '. 1 1

de la ~a~pagne FQCAL 2. par 4° de longitude Ouest (croix). , . . . .

et le çourant ca'lcul~ .par la formula~i<?n analytiq\l~;;. .

(trait plein)

61

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- Figure 18 ...

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..._.... \) po~r p = - 6 10....5s

~OOa

Cgefficient de vi~cosité virtuelle vertical~ apr~~ 40 itérations...5 ,,3

dan~ le cas où h est fixé à 100 mètres, Pa.est fixé à 0.5 la dynes/cm-

e(: oQ p v:ari~s

\) pOUr h ~ I~O mètres

{\

\\

\\

\\

\\\11

J11 ,. /".1 /"

!(1 (

UIl

:1; 111111Il11Il

: 1II

: 11

62

\)

- Figure 19 -

pour h ~ 80 mètres

pour h • 100 mètres

..Coeffiqi~nt de viscosité vi~~uelle ve~ticale après 40 itérations

dan~ le cali où P e~t t:i.~~ à -4.5 10-5 dynes/cm3,. s~~ est fixé à O.~ dyne~/cm~, et où h varie.

100a

200a

300a

5a

111

11

1

/1 //

l" /

/ / ~---:/ -------1r 1l, /liIl 1

~Il,

(1

63

10a

-===---

- Figure 20 -

v après 20 itérations

v après 40 itérations

v après 60 itérations

15a

Variations du coefficient de viscosité virtuelle verticale au cours

~es itérations pour le courant moyen donné en fig. 16 et pour le

gradient pression de paramètres: h = 100 mètres, p = 0.5 dynes/cm3

,-5 3 a

et p = - 4.5 10 dynes/cm.s

64

- Fig\,\re 21 -

Profil moyen de la première ccmposante de la vitesse caractéristique

d~ la grand~ Sa~son froide.

100.

6S

10.

-------.._.._-_._-------------_. -----------------

200~

-~

!. /

-------. ------//

\1

.,. Fig\,lre 22 ..,.--.--

Go~f~i~ient qe viscp~it~ vi~t\,lelle y~rtic$l~ d&terminê ~près

40 ttérations d'optimis~tion, ~~q~ le ca~ ~u profil mQy~n de la

gr~nde ~aison froiqe.

66

100.

200.

300.

- Figure 23 -

Profil moyen de la premièré composante de la vitesse caractéristique

de la grande saison chaude.

67 '

15D10D5DOD

OD +-----------r----l----:---------'-------------.J

100D

200D

- Figure 24 -

300D

Coefficient de viscosité virtuelle verticale déterminé après

40 itérations d'optimisation dans le cas du profil moyen de

la grande saison chaude.

68

15a10a

- Figure 25 -

pour le profil figure 23

pour le profil figure 16

pour le profil figure 21

---/

//

/j

5a

~~

,,~

,","

,"/'

11

//

1111111111111111

-,1J-- ...... - ... --- -\

\\,

"--',,/

(""

"," --,

~=---""-----)

/

"'"'~1

""'\\

\1

J1

11

11

//

11

11

11

11

11

11

1

OaOar---;~ç=;~====~~--~--- ~--_~ . ------

-==:-- - '-- -- -_~~-:-=::."':""...::::--=--~~-=---

c::.:':_ -------~= .... ~----- ------------- --------- ---------------- ----_______ :::.=. ..

------------------

200a

300a

100a

Coefficient de viscosité virtuelle verticale après 40 itérations de

l'optimisation en fonction des profils moyens de courant.

Chapitre II

UNE tETfi)DE lE Œ'TERMINATION lE CERTAINS PARMTRES OCEANIQUES

DANS LE CAS lES EQUATIONS lE NAVIER - S1U<ES

BiDIMENSIONNELLES STATIONNAIRES

INTRODUCTION

Dans l'Océan Atlantique Equatorial la constance des vents sur de grandes

périodes de temps donne un courant quasi-stationnaire pendant ces périodes.

Il en existe deux par année, l'hiver et l'été. Dans cette deuxième partie

nous allons chercher à déterminer pour ces deux saisons les coefficients

de viscosité virtuelle.

Le problème physique considéré est le suivant : dans un domaine

rectangulaire d'épaisseur H constante s'étendant de part et d'autre

de l'équateur

Eq. _

z

r ln

r"'y

-------~::..---------~x

-+la vitesse U et la pressl.·on p dOl.·vent ' 'f· 1 ' .verl. l.er es equatl.ons

[<Hl -+ -+ -+D2 li -+ ) -.!.. V p

-+U + f tA U - \)h - D ( \) D3 U - g t3 2 3 v Pm 3(2.1)

-+div U 0

70

avec les conditions limites

-+- -+-U = 0 sur r"

-+--+-U.n = 0 sur r' et r"'

(~' 2)a -+--+-

)-+--+-

i sur r'\Iv dii ( U.t. = T.t. l, Zl. l.

a (-+--+-

) i sur r"'an U.t. 0 1,3l.

Nous allons chercher à identifier les coefficients de viscosité

virtuelle, \Iv dépendant de la profondeur et de la latitude, \lh étant

constant.

Le plan de ce chapitre est le suivant :

1- Etude théorique du probème (2.1),(2.2).-+­

2- Dérivabilité de l'application ( \lh ' \Iv )~ U

3- Identification des coefficients de viscosité virtuelle.

4- Résolution numérique du problème.

5- Résultats numériques.

Notations.

On utilise le repère ( O,x,y,z ) lié à la terre, l'origine étant

situé à la surface de la mer au repos, l'axe O~ dirigé vers l'est,

l'axe Oy vers le nord et l'axe O~ suivant la verticale ascendante.

( u l ,uZ,u3

) vecteur vitesse du courant

pression

2 w sin <Il paramètre de coriolis

latitude

vitesse angulaire de rotation de la terre

accélération de la pesanteur

coefficient de viscosité virtuelle horizontale

coefficient de viscosité virtuelle verticale

-+-U

P

f =<Il

w

g

\lh

\1v

\1-+-T =

( \lh' \IV>( T

1,T

2,0 ) force exercée par le vent

71

d°2 = dY

d°3 = azV= ( 0'02'03 )

~ : normale extérieure à la frontière du domaine

t. : ième vecteur de base de R3~

1 - ETUDE THEOR1QUE ru PROBLEME (2,1) (2,2)'

1.1- Formulation variationnelle du problème (2.1) (2.2).

Nous noterons :

IHI (m

-+ -+ 2( U , V ) le produit scalaire dans ~ (Q)

-+ 2U la norme dans IL (m

Il U Il la norme dans /Hl (n)

[ -+]. 1. U la sem~ norme sur IR (n)

On introduit les espaces fonctionnels suivants :

.pl' {-+ 0.. _ • -+ -+ ~ -+ -+ }U= UE.@(Q) 1 d~v U = 0 , U = 0 sur r" et U.n = 0 sur r' et r"' .

W= la ferméture de ~dans Hl(Q)

W = {UEIHI(m 1 div U= 0, U= Ô sur r" et U.;: .. 0 sur r' et r"' }

Ac = { V.EIRx Loo(n) 1 al~ Vé Ml et IlvvIILoo(n) ~ M2

vv(y,z) ? a2 p. p. sur Q avec al> 0 et a2> 0 }

2 <001Q est un ouvert borné de m de classe ~ '.

Nous allons rappeler quelques théorèmes qui seront fréquemment utilisés

dans la suite du problème.

72

Théorème d'injection de Sobolev.

pour tout q ~ 1.

Les injections canoniques correspondantes étant de plus continues.

Théorème de Kondrasov.

pour tout q ~ 1.

Théorème (inégalité de poincaré).

Sur l'espace W, [V ] est une norme équivalente à la norme de 1B1(Il)

Il V Il. Il existe donc une constante k telle que :

+ + + lU, V, Wétant trois éléments de ~ (n), on définit les formes suivantes

+ + 3 3av ( U , V = V L ( DZ u. , D2 v. ) + L ( V D3 u. , D3 v. )

h i=l l. l. i=l v l. l.

d' ( + +) ( f

+ + +U V t 3" U V

+ + 3 3+

~ Lp ( U, V W ) = f u. ( D. v. ) w. dni=2 j=l n l. l. J J

+( -g

+ +F(V) , v

3) + < T,yoV ~l , l , r'

2 2

Propriétés des formes bilineaires av et d.

Lemme 1.1.

aV et d sont deux forme's bilinéaires continue's' sur W x W ayant

les propriétés suivantes :

v VEA , a est \V-elliptique sur W x W.CV.

(Z.3)+ +

d(U,U)=O

73

Démonstration.

'rJ Û et VEW, on a, d'après l'inégalité de Holder :3

1-+- -+- \ 1 -+- 1 -+-av ( li , V) 1 ~ sup ( Ml ' M2 ) l D. li 1 D. V

i~2 1 1

~t en appliquant l'inégatité de Schwar~ :

av ( U , V) 1~ sup (Ml ' M2 )(J21 Di U 12)~lt 1

3'Qr Il V 11 2", 1V12 + l 1D. V 12

i"'2 1

on a dOllC :

-+-,V)I~MII

-+- Il Il -+- Il1 av ( li li V

D'autre part

-+- -+- 1D2Û 12 -+-12

av ( li , li ) ~ al + a2 1 D3 li

-+- 12)tD. V

1

U ) ~ inf ( al' a 2 ) [U ] 2

où a = inf ( al ' a 2 )

Il existe donc un élément de \V' noté AvU tel que :

-+-'fi vew

-+--+-'fi li,VEW, on a d'après l~nêgalitê de Holder et en appliquant l'inégalité

de Schwarz :

Id(u,v)l~ fll.Ullvl

~ f 1 Il U\1 Il VIl

D'autre part ..-+- -+-

)d ( li , li ). = ( -f u , ul + <. f u l ' u2

)2

( ...f u2

ul

) + ( f u2 ul

) '" 0

-+- -+-'rJ ue IRI

(n)don,c d ( U , li ) .. 0

74

Propriétés de la forme trilinéaire b.

Lemme 1.2.

Démonstration.

Soient U, V,WEIH1(n). on a appliquant l'inégalité de Holder

1 In "k (DkVi)Wi dQ 1 ~ (IQ luk l4 dQY (fQ IDkv i 1

2 dSl)1 (IQ IWi 14 dSlY

~ , ~ 'L 4(n) 1 Dk vi I L2(n) 1 wi I L4(n)

~n a pour la forme trilinéaire b

3 3

~ i~1 kI2a i i uk IL4(n) 1 Dk vi IL2(n) Bk l wiIL4(n)

où a. et B. sont égaux à 1.~ ~

En utilisant une nouvelle fois l'inégalité de Holder :

1-+- -+- -+-

b(U,V,W)3 4I a.

k=2 ~

3

I Bkk=2

3 3 4IUkl~4W)

3 3

IUkl~4(n)3

IUkl~4 (n)or I I a. I a. I = 3 Ii=1 k=2 ~ i=1 ~ k=2 k=2

3 3 3 3IWi I~4(n)

3

IWil~4(n)I k~2~ IJi I~4(n) I Bk t == 2 ti=1 k=2 'i=1

. i=1

d'ou

-+- -+- -+-b(U,V,W)'1

(2.4)

75

En utilisant le théorèm~,d'injectionde Sobolev, nous obtenons

\b(Û,V W)I~cIIÛllllvllllwll

-+ -+-+ 1'<J Ue:W et V V,W&IH (n)

(2.5) o

(2.6) b ( Û -+V W)==-b(U

-+ -+W , V )

Démonstration.

-+ -+ -+ 3 3

Inb ( U , V , V ) == l l Uk ( Dk Vi ) v. dni=l k=2 1

3 3

In

2l l uk

( Dk

vi ) dni=l k==2 2

3 3

In

2 2l l Dk ukv.

Ir ~ nk== l. dn v.+ dri==l k=2 2 l.

2-+ • -+U appartient à\V, on a dl.V U = 0 et ~ ~ == 0, on a donc

La deuxième propriété est obtenue en écrivant que :

-+ -+-+ -+-+b ( U , V+W , V+W ) == 0

Lemme 1.4 (cf. TEMAM [16J).

-+++b(U.,V,V) o

-+ 2converge vers U faiblement dan$ W et fortement dans ~ (n), alors

(2.7)

Si UIl

b (ÛIl

-+U -+ -+ -+ -+ -+.., r,V)_--+)ob (U, U, V) VVe vIl

Démonstration.

Il est évident de montrer à partir de (2.5) et (2.6) que

-+ -+ -+ -+ -+ -+b ( U ,U ,V)==- b ( U , V., U )Il Il Il Il

3

J2 Inl u k u . Dk v. dn

i==l Il Ill. 1.

76

2 00u . converge vers u. dans L (0) fortement, et puhque D

kv

1• eL (m,

~1 1il est aisé de montrer que

f u k u . Dk v. dnQ ~ ~1 1

( -+-u -+- -+- -+- -+-' -+oU) -+- -+0 -+0·b ,U, V ) converge donc vers - .b ( U " V , = b ( U , U , V )~ \l

Propriété de la forme linéaire F •

. Lemme 1.5.

(2.8)-+- .1

, T€IH 2 (f')

alors F est une forme linéaire ~ontinue sur IHI(Q).

Démonstration.

d'après le théorème de trace:

(2.9)

-+-F(V)

-+-F(V)

~ Igi II v3 11 + IITIII.~ Ilvlll + IITIII.! II v

2 11

~ ( 1g 1+ Il T Il ~~)' Il V Il V ve III1

(fa)

Lemme 1.6 (cf. TEMAM ~

Soit X un espace de hi1bert de dimension finie avec le produit scalaire

[ .,. ] et la norme [ . J et soit P un opérateur continu de X dans

lui-même tel que :

(2.10) [P(Ç;) , ç; J > 0 pour [ç; J.• k l > 0

alors il existe un ç; e X [~J ~ k l tel que

(2.11) P(Ç;) = 0

77

Démonstration.

Ce lemme est une conséquence du th~or~me du point fixe de Brouwer.

Supposons que P n'~it pa~ de 0 dans la bo~le. P de X centr~e en 0

et de rayon k 1, alors l'~pplication

~ _---+~ S(~) = - k ~1 CP(~)J

qui envoie D dans lui-même est cont~nue. ~e th~or~me de Brouwer implique

alors que S a un point fixe d4ns D •

il existe ~oeD tel que

- k 1

Si nous prenons la norme. des 2 cotés de cette ~quation nous voyons que

[~oJ = k l et si ensuit~ nous éffectuons le pr04u~t scalaire de chaque

coté avec ~o, nous trouvons:

[ ~o ] 2 k .cP(~o),,~ol

1 [ P(~o) ]

Cette inégalité contredit (2.10) on en 4équit que P (~) doit s'annuler

en un point de D.

78

Nous allons considérer maintenant le problème variationn~l suivant

Etant donné

(2.12) Trouver UEW tel que

-+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+av ( U , V ) + d (U V) + b ( li ,U V) = F ( V )

Proposition 1.1.

-+"tJ VEW

Si V = ( Vh

,v )EA, le' problème variationnel (2.12) admet au moinsv c.

une solution. Si de plus

(2.13) avec a = inf (al ' a 2 )

alors cette solution est unique.

Démonstration.

i) Existence de la solution.

L'existence est démontrée par une méthode de Galerkin, nous construisons

une soiution approchée de (2.12), puis nous passons à la limite.

L'espace West séparable comme sous-espace fermé de IH I(n) • \! étant dense

•• • -+ -+ -+ ,~ é 1· ~ .dans W, ~l ex~ste une su~te Wl , W2

, •.. , Wm

, ••• d e~ ments ~nea~rement

indépendants de 1f qui soit totale dans W.

-+Pour tout m ~ 1 nous définissons une solution approchée U de (2.12) par

m

m

(2. 14)-+U

m li=1

-+l;. W.~m ~

l;. ElR~m

( ( -+u2.15) aV m

-+U

m-+Wk

) -+F (W

k) k = 1, ••• , m

Les équations (2.15) forment un système d'équations non-linéaires pour

l;lm' .•. ,.l;mm· L'existence d'une solution de ce système n'est pas immédiate

mais provient du lemme 1.6.

7~

... ...Sait X l'espace engendréparWf' ••• ,Wm, le produit scalaire de X est

le produit scalaire (( , )) dans\V. On définit l'opérateur Pm par

[ ... ... ... ... "'''''.''' ... . ......... ... ...P (U), VJ = ((P (U),V)) = a (U, V) + d (U ,V) + b (U ,U ,V) - F(V) 'fi VEXm m V

La continuité de l'opérateur P .est évidente. Montrons (2. JO)m

~ ~ Il li 11 2- ( 1g 1+ Il T 11_1 ) Il û Il

k

(2.16) .[Pm(IÏ),U] ~ Il U II(k~II:U II - (Igl+ Il T II_!) )

Nous avons donc [Pm (U),Û] > 0 pour Il U Il .. ~I et k] suffisamment

grand, plus précisément :

k 2 ...k l > Ci (1 g1+ Il T Il. ~ )

Les hypothèses du lemme 1.6 sont satisfaites et il existe alors une

solution li de (2.15).. m .

Passage à la limite.--------------Nous multiplions (2.15) par !;km et nol,lS additionn(;lns les égalités

correspondantes pour k ~ 1, , m, 'nous oht~nons

... -+ ...... '......... ... .a (U ,U ) + d(U ,U ) + h(U ,U ,U ) .. F(U )Vmm mm mmm m

En utilisant les relations (2.3) et (2.4) nous en déduisons que

Nous obtenons l'estimation a priori

(2. 17)

Puisque la suite U est bornée dans W, il existe un Udans W et une... m

sous-suite U' tels que :m

(2. 18)... ...U I __~) U pour la topologie faible dans W.

m

80

,,' Le théor~me de Kondrasov montre en particulier que l' inj ection <le W

d~ns ~2(n) est compacte, nous ~vons alors

(2. 19) +u: + 2 .m' ---.-'))U p01,lr la norme de IL (n)

Les hypoth~ses du lemme 1.4 étant véri~iées nous pouvons passer à la+limite dans (2.15) pour la sous-suite Um'. De (2.7), (2.18) et (2.19)

nous déduisons que

(2.20)+ + + + +av ( U , V ) + d ( U , V ) + b ( U u, V) • F ( V).+ + +

pour tout V = W1, ••• , Wm,

L'équation (2.20) reste vraie pour toute combinaison linéaire des

W1, ••• , Wm, ••• Et puisque ces combinaisons linéa~res sont denses dans \V,

de par sa définition~ un argument de continuité mon~re facilement que (2.20)• -+. + • ()reste vra1 pour tout VEW et que U est solut1on de 2,12

ii) Majoration de U.

+ +Nous prenons y • U dans (2.12) et nous obtenons

a (U, U ) s F ( U ),V

d'ou:

donc toute solution qe (2.12) satisfait la condition

(2.21)

iii) Unicité de la solution.

Supposons que le probl~me (2.12) admette deux solutions U* et ~*.' Posons+ + + -.' + +"D = U* - U** et soustrayons les équat10ns correspo~dant à U* et U**.

+ + + + + -+ + + + +a (D, V ) + d ( D , V ) + b ( U~ , D , V ) + b ( D , U** , V ) • 0

V

+ +Prenons V • D dans (2.22) et l,1t;ilisons (2.3)', (2.5)

+ + + + +Dav ( D , D) • - b ( D , U**, )

81

La forme bilinéaire av est \V-elliptique sur \V x W, la forme trilinéaire

b est continue sur W x\V x \V. De l'équation précédente nous déduisons

l'inégalité

+La solùtion U** de (2.12) étant majorée,l'inégalité (2.21) nous donne

c k2+ + 2a:- (igi + Il TII_l) Il D Il

. 2

IITII_~») Ilnl1 2-::;o

Donc si la condition (2.13) est vérifiée nous trouvons que lin Il 0+ +

et donc que U* = U**.

1.2- Interprétation du problème variationnel~

Nous allons montrer que la.solution du problème variationnel (2.12) est

solution au sens faible du problème (2.1) (2.2).

Par définition de l'espace W, l'équation div U= 0 est vérifiée, aU

sens des distributions.

Pour tout V€.{ V€ ~ (n) / div V = 0 } •

donc

+ + + +± + -+ +<Av U + f t 3" U + ( U. V ) U- F , V> = 0

On en déduit (cf. TEMAM) qu'il existe une distribution p sur.n telle que

++ +( U.\? ) U

++ A Uv

ce qui vérifie l'équation (2.1).

t .. ++ rr + ";tes cond1t10ns U.n = 0 sur r' et sur r ' , U = V sur r" sont vérifiées

par définition de W.

82

-+-Si VEW, en écrivant formellement la formule de Green, on obtient

-+--+­a (U,V)

V l-+-

V Cl U Vdr. v "'ilr 'ur" on

et donc·

. -+-.

f V Cl U Vdr +r'ur" v ~ f V Cl li -+-v dr = ""'" > +........ . >

"1 ......... l'v l _11 r' ......L 2 'V2 • 1 1 r'r" , h on 2 , 2. , 2 , 2 ,

Pour l'ouvert considéré, cette condition implique

Cl -++ ++V ~ (U.t.) =T.t.

v on 1. 1.i = 1,2 sur r'

o i 1,3 sur r'"

+2 - DERIVABILITE DE L'APPLICATION ( vh ' v) ---+) U

Dans cette deuxième partie nous allons considérer un espace A tenantc

compte de la condition d'unicité (2.13).

p.p sur StAc(2.24)

00

(2.23) A = IR x L (Q)

{ ve A / al ~ Vh ~ Ml ' Ilv)1 ~ M2 ' Vv(y,z) ~ aZ

al ' 0.2 étant tels que ) c

Définissons l'application ~ de A dans Wparc

(2.25)+

~ : V A __~~ uew solution de (2.12)c

On a, alors, la :

Proposition 2.1.

Sous les hypothèses et notations (2.8), (2.. 23) et (Z. 24), l'application

$ définie par (2.25)est continue dérivable en tout point vEA etc

l'application dérivée $'(v) au point veA est donnéeparc

+$' (V) : ôveA __~') ôuew solution de :

(2.26)++ ++ +++ + ++

av(ôU,V) + d(ôU,V) + b(ôU,U,V) + b(U,ôU,V) =+ + +

- al' >(U V) V vewo V '

83

Démonstration.

L'application est bien définie car pour les hypothèses faites (2.12)admet une solution et une seule dans W.

Dans la suite de la démonstration et pour raison de simplicité,

nous noterons

Il F Il

E(V)

ou E =

Donnons nous une fois nour toute VEA • Soit alors B(V) une boule de Ac

de centre 0 et de rayon E(V) défini par

4inf (~ - ~ Il F Il, E)6 6a

(2a2 - 2k6cIIFI.] + k6 1I FII)2 _ k

3 VIIFII( k6 1I FII + 4Ct2

-4k4cIIFII)

4 a3

Nous supposerons maintenant que ÔV EB (v).

i) L'application $ est contirtue.

-7-~éfinissons ~U par

-7- ,

~U = $ ( V + ôv ) $ ( V )

-7-Il est clair que ~U est solution de l'équation variationnelle

-7- -7- -7- -7- -7- -7- -7--7-+ d(~U~V) + b(~U,U,V) + b(U,6U,V)

-7-'ri vew

Indépendamment de l'interprétation de ~U comme la différence de deux

solutions d'équations variationnelles de type (2.12), la proposition

suivante dit que

Proposition 2.2.

Sou~ les hypothèses et notations précédentes l'équation variationnelle-7-

(2.27) admet une solution et une seule ~U telle que:

(2.28) Il F Il ) Il ~U Il ~ ~2 Il F Il Il ôv liA

84

-+ ~

L'inégalité (2.28) montre que ~U )0 dans W losque 8v )0

dans A, ce qui prouve la continuité de ~.

ii) L'application ~ est dérivable.

Notons ~'(v) l'élément de ~(A~V) défini par (2.26) et admettons pour

l'instant la proposition suivante:

Proposition 2.3

Sous les hypothèses et notations précédentes l'équation variationnelle

(2.26) admet une solution et une seule dans W.

On peut alors poser :

(2.29) ~ ( V + 8v ) = ~ ( V ) + ~'( V ).8v + Il 8v 1lA R( V , 8v )

-+ce qui définit R ( V , 8v )€W pour tout VEA et 8VEB(V), 8v :f O.

c

Pour prouver que ~'(v) est bien la dérivée de ~ en V il suffira de

montrer que :

Il R ( V , 8v ) 1\_~)O lorsque Il 8v \1 A-----=,.)0 et 8v :f 0.

L'égalité (2.29) peut se réécrire

(2. 30) ~U = 8U + Il 8v liA R( V , 8v )

-+ ~-+Uoù ~U est la solution de (2.27) et u est solution de (2.26).

-+R est alors solution de l'équation variationnelle

-+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+av(R,V) + d(R,V) + b(R,U,V) + b(U,R,V)

(2.31 ) -} -+ -+-+b(~U,~U,V)

-+'<:J vew

-+Pour montrer que R ( V , 8v ) >0 lorsque 8v )0, on utilise

la proposition 2~3. L'équation (2.31) est identique à l'équation (2.26),-+

seul le second membre change. La majoration de R, identique à celle obtenue

pour l'équation (2.26), est alors:

(2.32) ( c k2

)~2 - a . \1 F Il Il R Il ~ Il ~Û Il +c~Il 8v liA

85

Il 8U Il étant majoré par une cpnstaqte fois Il ôv Il (cf. relation(2.28»;

on a le résultat escompté

Démonstration de la proposition 2.2.

Pour tout U fixé, solution de (2,12) l'application qui a vew associe

a ôv ( U , V) est u~e application Ùnbire telle que

1

-+- -+- k2-+-

aôv ( U , V ) 1~ Il ôv liA Ci" Il F Il Il V Il

i) ~xistence de 8U.

Comme pour la démonstration de la proposition 1.1 nous utiliserons

une méthode de Galerkin.

.-+­Pour tout entier m ~ l, définissoqs une ~o.lution approchée 8U

mde (2.27) par

(2.33)-+­8U ..

m

m -+-L 8ç,. W.

i=1 1m 1bç,. EIR

1m

k=I, ••• ,m

Les équations (2.34) ~orment un syst~me d'équations non-linéaires pour

8Ç,lm' ••. , 6ç,mm' Pour montrer l'~istence d'une solution utilisons le

l,emme 1.6.

-+­On définit X comme le sous-espace de\V engendré par WI ,

l'opérateur P par:m

. I;>émontrons (2.10) :.

-+-, W et

m

-+- -+-V 8U ; VEX

86

Nous avons donc [Pm (liU) ~LiU] > 0 pour 11liU 1 1 = k 1 et k 1suffisamment

grand; plus précisément:

Les hypothèses du lemme 1.6 sont satisfaites~ il existe alors une

solution de (2.34).

Multiplions (2.34) par Li~km et additionnons les égalités correspondantes

pour k = 1~ ••• ~ m~ nous obtenons

-+ -+ -+-++ -+-+a ;: (LiU~LiU ) + b(LiU ~U~LiU ) .. - a;: (U~LiU )

V+uV m m m m uV m

En utilisant les relations précédentes :

et d'après la définition de la boule B(v)

(2.35) ~6· ( ct.~2

• • -+ -+PU1sque la sU1te liU est bornée dans 'V~ il existe un liU dans W et

-+ mune sous-suite liU , tels que:

m

(2.36)-+ -+ •liU , __~., liU pour la topolog1e faible dans W.

m

Le théorème de Kondrasov montre enparticulier que l'injection de Wdans IL2(~) est compacte et que:

(2.37) Liu , __---+, liU pour la norme de IL2 (~)

m

87

Les hypothèses du lemme 1.4 étant vérifiées,. on peut alors passer à. +

la limite dans (2.34) pour la sous-su~te ÔU ,. De (2.7), (2.36), (2.37)m

nous en déduisons

+ ++ + +++ b(ôU,ÔU,V) + b (U,ÔU,V)

+ + ++ b (ÔU,U,V)

+ +pour tout V = W1,

+, W , •••.

m

L'équation (2.38) reste vraie pour toute combinai~on linéaire d~s

+ +W

1, ••• , W

m, .•• Ces cOl1binaisons linéaires ,de par leur définition,

sont denses dans W. Un argument de continuité montre facilement que

(2.38) reste vraie pour tout VEW et que ÔU est solution de (2.27).

+ii) Majoration de ÔU.

+ +Prenons V = ÔU dans (2.27); nous obtenons

c'est à dire:

(2.39) (a - E(V) _ C k2

Il F Il)11 ÔU 112~ k2

Il F Il Il OV liA Ilôullk2 a a

et d'après la d~finition de la boule B(V)

k2a Il Fil 11 ov 1lA

ce qui donne la majoration (2.28).

iii) Unicité de la solution.

Supposons maitenant que le problème (2.27) admette deux solutions ÔU*+ + + + .

et ÔU**. Posons ~ = Ô~ - ô~* et soustrayons les équations correspondant+ +

à ÔU* et, ~U**.

[

++av+OV (ôD, V)

(2.40)

++ + ++ ++++ d(ôD,V) + b(U,ôD,V) + b(~D,U,V)

+'{ VEW

88

+ +Prenons V = ~D dans (2.40) et utilisons (2.3) et (2.4), on a

La forme bilinéaire a' ~ est V-elliptique sur W x V, la forme triliné~ire. \l+u\l

b est continue sur \V x 'fi x W. de (2.39) nouS dédui$ons

2Ct- E:(\l) c k IIFIIk2 -T

d'où la condition

(2.41) (Ct - E(\l) _ c k211FII)2 _ E:(\l) ck2

IIFII, 0. k2 Ct Ct

qui est vérifiée pour :

Or d'après la définition de la boule B(\l) donnée au début de la dé~onstra­

tion de la proposition 2.1, le rayon de cette boule est toujours inférieu~ à

cette valeur.

La condition (2.41) est vérifiée; nous trouvons que II~I 1 = 0 et+ +

donc que ~U 'le = ~U'le*.

89

Démonstration de la proposition 2.3.

i) Existence de oU.

Comme pour la démonstration de la proposition 1.1 utilisons la méthode

de Galerkin.

Pour tout entier m ~ l, nous d~finissons une solution approchée

de (2.26) par

oUm

.(2.42)

(2.43)

oUm

m

Li=1

-+o~. W.

l.m l.o~. EIR

l.m

k l, ... , m

Les équations (2.43) forment un système d'équations linéaires pour

0~1 ' ••• ,o~ • Pour démontrer l'existence d'une solution nous allonsm mm .utiliser le lemme 1.6. On définit X comme l'espace engendré par W

I, ... ,

-+W et l'opérateur P par:m m

-+ -+-+ -+-+ -+-++ b(U,oU,V) + ao)U,V) 'fi oU,VEX

Démontrons (2.10)

[ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+P (oU),oU] = a)oU,oU) + b(oU,U,oU) + aov(U,oU)m

? (~ _ ~2 Il F Il ) Il oU 112 2

- e;{v) ~ IIFII Iloullk2 a

~ Iloull [(:2c k2

IIFII) Iloull - E(V)k2

IIFIIJ-a a

Nous avops donc [Pm(OU),OU] > 0 pour IloU11 = kl

et kl

suffisamment grand,

plus précisément :

90

Les hypothèses du lemme 1.6 sont satisfaites, il existe alors une

solution de (2.43).

Passage à la limite.--------------Multiplions (2.43) par ô~km et additionnons les équations correspondantes

pour k =1, ,m, nOQs obtenons

-+ -+ -+ -+ -+ -+ -+a (ôU ,ôU ) + b(ôU ,U,ôU ) = - a

ô(U,ôU )

V mm mm V m

d'ou

( a. _ ~2 IIFII) Ilôû Il ~k2 a. m

Puisque la suite ônm

dans W et une sous-suite

-+est bornée dans V, on en déduit qu'il existe un ôU

-+ôU , tels que :

m

(2.44)-+ -+ .

ôU , -})ÔU pour la topologie faible dans WID

et tels que

(2.45)-+ -+ 2ôU , ...,) ôU pour la norme dans 11 (n)

m

Nous pouvons, alors, passer à la limite d~ns (2.43) pour la sous-suite-+

ôU ,. De (2.7), (2.44), (2.45), nous déduisons quem

(2.46)-+-+ -+-+ -+-+-+. -+ -+-+ -+-+

av(ôU,V) + d(ôU,V) +b(ôU,U,V) + b(U,ôU,V) = - aôv(U,V)

-+ -+pour tout V = W1'

-+, W , •••

m

L'équation (2.46) reste vraie pour toute combinaison linéaire des-+ -+ • -+W1, •.• , W , ..• , et par dens~té pour tout élément V de \V. On montre

-+mdonc que ôU est solution de (2.26).

ii) Majoration de ôn.

-+ -+Prenons V = ôU dans (2.26); nous obtenons

91

d'où

(2.47)

Le problème (2.26) étant linéaire l'unicité est immédiate en utilisant

la majoration (2.47) et un second membre nul.

3 - IDENTIFICATION DES COEFFICIENTS DE VISCOSITE VIRTIJELLE

On se propose d'identifier les coefficients de viscosité virtuelle

verticale et horizontale au moyen d'une observation répartie en espace.

Pour résoudre ce problème d'identification on va minimiser la fonction­

nel1e :

(2.49)+ + 2

J( V ) = 1 u - zu 1

Le problème d'identification se ramène à la recherche d'un V appartenant+

à A qui minimise la fonctionnelle J sur le convexe A • Le vecteur U estc c

calculé pour un V fixé.

3.1- Calcul du gradient de J.

Pour m~nimiser la fonctionnelle J, on utilise une méthode du gradient

conjugué. On est ainsi assuré d'une décroissance de cette fonctionnelle à

chaque itération. Le gradient est donné par la :

Proposition 3.1.

Sous les hypothèses et notations précédentes, la fonctionnelle J

définie en (2.49) est dérivable de A dans IR. Sa dérivée ôJ(v) estc

donnée par

(2.50) ÔJ(v).ôv + +a

ÔV( U , PU )

+où U est la solution du système direct (2.12)

92

et PÔ solution du système adjoint :

(2.51 )

où

-+-+ -+ -+ -+-+ -+ -+-+ -+ -+av(PU,V) + d(V,PU) + b(V,U,PU) + b(U,V,PU) = FI (V)

-+"J vew

Démonstration.

La démonstration de l'existence et de l'unicité du problème adjoint

(2.51) est similaire à la démonstration de la proposition 2.3.

-+La proposition 2.1 démontre la dérivabilité de U • $(v) par rappo~t à v.

La fonctionnelle J est la composée d'une norme hilbertienne et de la fonction $.

Elle est donc dérivable par rapport à V. La différentielle ôJ correspondant

à une variation ôv de V s'écrit sous la forme:

compte-tenu de (2.51) la différentielle se réécrit

[-+ -+ -+ -+ -+-+ -+ -+ -+ -+JÔJ(v).ôv = - av(PU,ôU) + d(ôU,PU) + b(ôU,U,PU) + b(U,ôU,PU)

d'aprés la définition du problème (2.26)

ÔJ(v).ôv -+ -+aôv ( U , PU )

93

4 - RESOLUTION N~1ERIQUE DU PROBLEME,

Pour la résolution des équations (2.12) et (2.51) nous allons utiliser

une formulation mixte permettant la détermination de la vitesse et de la

pression. La méthode utilisée est celle développée par GLŒUNSKI dans [9].

Définissons les espaces aux éléments finis suivants

Uh = Ô sur r"

+ + }et Uh.n 0 sur r' et r"'

(2.54) Wh

ou et h est la triangulation obtenue à partir de eth par .subdivision de

chaque triangle K appartenant à ~h en 4 triangles (en joignant les milieux

des côtés du triangle K figure 4.1). Dans les définitions précédentes Pk

désigne l'espace des polynômes de 2 variables de degré ~ k.

figure 4.1

4.1- Résolution de l'équation (2.12).

La résolution sera effectuée par application de la méthode du gradient

conjugùé à la méthode des moindres carrés. L'équation (2.12) discrète est

donnée par

(2.55)

94

4.1.1- Une formulation par les moindres carres de (2.55).----------~-------------~---:------

Une formulation naturelle par les moindres carrés de (2.55) est

représentée par

(2.56)

avec

(2.57)

-+ -+ -+ -+où ~(Vh) (=~) est une fonction de\Vh définie par l'équation d'état

-+ 1~E Woh et 7fh6 Ilh / ({ t.els que :

Nous observons que ~h est obtenu à partir de Vh comme la solution d'un

problème de Stokes discret.

La formulation précédente est justifiée par la

Proposition 4.1.

Supposons que ( Uh ' Ph )eWh JÇ: ~ / IR soit 1,1ne solution de (2.55) alors-+Uh est solution du problème des moindres carrés (2.56) et le couple

( Eh (Uh) , % ) vérifie :

(2.59) et 7fh = - Ph

ainsi que

95

4.1.2- Une méthode du gradient conjugué pour le problème des moindres-----------------~--------~---~---~------~~-

carrés (2.56).

Nous allons utiliser la méthode de Polak-Ribière similaire à la méthode

de Fletcher-Reeves mais qui parait préférable lorsque Jh n'est pas

quadratique 1

Pas 0 : Initialisation

:teNous calculons Zh comme la solution du problème variationnel linéaire

et posons :

-+6(2.62) .W

h" 'i0

h

Pour m ~ 0 , on suppose que u: ' Zb ' w: sont connus et on calcule:rolU

+1 2mZ

+1 ~+1h ' h 'Wh par:

Pas 1 .1 Descente

(2.63) Calculer

(2.64) ~+1 .. ~ _ À ~h h m h

Pas 2 : Construction de la nouvelle direction de descente

Définissons zm+l comme la solution de :.h

(2.65)

9'6

puis utilisons la stratégie de Polak-Ribière':

(2.66)m+ly =

et finalement

(2.67) ~+l = zmh

+l ~""'h + Ym+ l ""'h

m ID + 1

Revenir au pas 1.

Une des étapes les plus importantes dans .l'utilisation de l'algorithme

(2.60)-(2.67) est le calcul de J h( ~+l ), une autre est le èalcul de z:+l.

Du fait de l'importance de ces étapes nous détaillerons les calculs

correspondants. Nous avons

(2.68)

• ô-+- ô-+-Pour expr1mer ~ comme une fonction de Vh nous observons que (2.58)

a aussi la formulation variationnelle suivante

-+-~EWh

-+- -+- -+- -+- -+- -+-(2.69) av ( ~ Nh

) aV ( Vh ' Nh

) + d( Vh Nh)

-+- -+- -+-) - F(

-+-)

-+- .+ b( Vh ' Vh ' Nh Nh '1 NhE Wh

La relation (2.69) implique alors

(2.70)

97

+ + +puisque ~EVh nous prenons Nh Eh

(2.71) ÔJh

+On en déduit que J'( Vh ) peut être identifié à une fonction linéaire

de Wh.

(2.72)

On voit à partir de (2.72), que pour calculer z:+l à partir u:+ l

nous avons à résoudre premièrement le problème de Stokes discret (2.58)+V :mt+1 f· d' b . pn+ 1 . d . - à· . d (2 65)avec h = Uh a ~n 0 ten~r 1n ' pu~s eux~emement, part~r e •

et (2.72), nous calculons ~+1 solution de :

( 2.73) a (zm+ l +N)V h·' h

Le problème (2.73) est équivalent au problème de Stokes suivant

~+1 w~+IE ~ / IRZh EWoh et

av (~+1 ,+

+ (VW:+1 , N

h) (~+1 , Nh ) + de Nh

m+l )Nh ) = av ~ , h(2.74)

b( U:+l + ~+1 ) + b (Nh ' rrn+ l ~+1 ) +

+ , Nh ' , Eh "1 NhEWohh

o

m+l~ est une pression.

Pour satisfaire chaque étape de l'algorithme du gradient conjugué

(2.60)-(2.67) nous avons à résoudre plusieurs problèmes de Stokes :

i) les problèmes de Stokes discrets (2.58) et (2.69) permettant avec_ 7.ID+ 1 . +m+ 1 d +Um+ 1Vh - uh d'obten~r Eh à partir eh.

98

ii) Le problème de Stokes discret (2.74) pour obtenir ~+1 à partir~+1

de Eh .

iii) La solution du problème unidimensionne~ (2.63) requiert plusieurs

calculs de J h, donc plusieurs solutions des équations d'état (2.58)

et (2.69).

4.2- Résolution de l'équation (2.51).

Nous allons étudier en détail la formulation par les moindres carrés

et la résolution par un algorithme du gradient conjugué de l'équation:

(2.75)

Nous utilisons la même méthode que pour le 4.1.

Une formulation naturelle par les moindres carrés de (2.75) est

[

Trouver

(2.76)+

J h ( PUh

avec

+ + + +où PEh ( Vh ) = PEh est une fonction de Vh définie par l'équation d'état

(2.78)+

'VNEW hh 0

o

99

~ ~

Nous observons que PEh

est obtenu à partir de Vh

comme la solution

d'un problème de Stokes discret.

4.2.2- Une méthode du gradient conjugué pour le problème des moindres------------------------------------~--~----

a) Descr~tion de l'algorithme du gradient conjugué.- --- ------------------------------

Nous utilisons un algorithme du gradient conjugué similaire à

l'algorithme (2.60)-(2.67).

Pas 0 : Initialisation

(2.79)

+0Nous calculons PZh

comme la solution du problème variationnel suiva~t

(2.80)

t Nh

) == <J' ( PUo )h h

et prenons :

(2.81 )

Pour m ~ 0 on suppose que PU: t P~ t pW: sont connus et on calculep~+1 pzm+ 1 p~+1 par

h h t h

Pas 1 Descente

(2.82) Calculer

(2.83) Pum. - À P~hh m

100

Pas 2 : Co~structiori de là nouvelléCdii~ctiondè"descente

Définissons pzm+1 comme la solution deh

. (2.85)

et finalement

(2.86) p"'tr+1 =h

m = m +

P:!mz +1 P~h + Ym+1 Wh

(2.87)

Revenir au pas 1.

Comme au 4.1.2. b), nous avons:

. + +Pour expr~mer ÔPE

hcomme une fonction de ÔV

hnous observons que (2.78)

a aussi la formulation variationnelle suivante :

(2.88)

+ b( Nh:~Uh·V) -F (Nh·... ) 'tJ NhEWh'h ,i"l

101

Cette équation implique alors

(Z.89)

On en déduit que J'( Vh

) peut être identifié à une fonction linéaire 1.

de Wh'

(Z. 91)

Nous déduisons de (Z.91) que pour calculer p~+1 à vartir de p~+1

il faut résoudre, premièrement, le oroblème de Stokes discret (Z.78) avec+ 7:m+ 1 . d ' . -:±m+ 1 . d . , à' d (Z 84)Vh = PUb af~n obten~r PEh ,pu~s eux~emement, part~r e • et

(Z.91), obtenir Pz:+1 comme solution de :

Le problème ,eZ ..92) est aussi équivalent au problème de Stokes discret

-:±m+ 1 r~+IE ~ / IRPZh e: Woh et

a ( P-r.n+ 1 + ( Vr~+1 + av ( PE:+ 1 + -r.n+ 1 +, N ) + , Nh

) Nh) + d( P h ' Nh )

(Z.93)V· h h

+ -:±m+ 1. + 'PlD+ 1 + +)

++ b( Uh ' PEh ,Nh ) + b( - h ' Uh '

N . "1 NhE~h

( V. pzm+I ) = 0 'ri1

h ' qh qhE lb

102

4.3- Résolution d'une équation de Stokes discrète.

Explicitons maintenant la résolution d'une équation du type

et posons

1 2 3Voh = \Voh x \Voh x \Voh

où 1 { ° - ..,iE~h o sur r" }Woh = U1h€C (rt)/ u1hliEPl et u1h

=

\V 2 = { u2h€ CO (TI) / u2h 1KEP 1 'tJ KE'6het u2h = o sur r" et r"' }oh

V3 = { u3hE CO(fi)/ u3h li{EP l 'J KE't'h et u3h = o sur r' et r" }oh

Définissons maintenant Eh et Mh par :

Eh = { PE fi / P sommets des TE eth }

et

l\ = dim IÇ = Card ( ~ )

Supposons que Eh = { Pi }~l,nous associons à ~ le vecteur base de ~défini par

(2.96)

Pour i = 1, •.. , ~

w. ( P. )~ ~

et w. ( P. )~ J

o 't/ j'fi 1 ~ j ~ l\

103

Nous avons alors

(2.97) qh

De façon similaire nous définissons

l;, = { QEÎÏ / Q sommets des TECCh ou Q milieux des côtés des TE~h }

(2 ..98)

{ QeIT / Q sommets des Te~h }

1 2 3Pour Woh ,\Voh ' \Voh on en déduit

Q SiÉ r" et r" 1 . }(2.99)

-1Eh = { Qe Eh ' Q é r" }

-2lb

Q ~ rI et r" }

~~ = Card ( ~ ) = dim ( W:h ) r l, 2, 3

Nous supposons que

(2.100) ~= { Q: ~}i=1 :r; l , 2, 3

1

associons à Er r =. l, 2 , ·3 la baser définie paret nous de \Vohh

-r Nr

{ - h l , 313 = w. LI r = 2,h J J=

....rdéfiniavec w. par

J

'r:/ j = l , ... , Nr .h

(2.101 )-r rw. E.W hJ . 0

;:( 0: ) =J 0J ;j( Q~ ) = 0 'r:/ k~j k = l, ... , N~

'ri r = 1, 2,3(2.102)

104

rNous avons alors 'ri vrhE Woh

Nr~h r· r

vrh = l vrh ( Qj ) w.j=1 J

En utilisant les relations précédentes, le problème de Stokes discret

(2.94) est équivalent au système linéaire suivant de N~ + N~ + N~ + Mbéquations

(2.103)2

'ri i = 1, N2

• •• , h

(2.103)3

'ri i 1, ••• , N~

(2.104)

N2

[

Lhj=1

'ri 1 = 1, ... , ~

~ . . N~ + N~ + N~Defl.nJ:.ssons ~he IR et P ÊIR~

-hpar

(2.105)

u· .. {...h

-r rpuisque w.EW h V j

J 0de Green

105

1, .•• ,N~ r = 2, 3, nous avons de par la formule

f-r

= - w. D w d~~ J r l

(2.106)v j 1 N

r, ••• , h 'l/ l = 1, .•. , ~

En multipliant l'équation (2.104) par -1 nous déduisons de (2.105) et

(2.106) que le système linéaire (2.103)-(2.104) à la représentation

matricielle suivante

~ ~h + ~ p~h-h

(2. 107)

~ ~h 0

3 3où ~ est une matrice l 'N~ x l N~ symétrique définie positive.

r=} 'r=1

La matrice associée à (2.107)

(

~h

~h

~h

o

est symétrique indéfinie, nous avons

Ker( 5th ) = { ~ } x Ker( ~~ )

et si la triangulation est définie de telle manière qu'un triangle ait au

plus un côté sur la frontière du domaine

c'est à dire

(2.108)t

Ker( ~ ) =

dim Ker( Bt ) = 1 <=> rang(Xh )_h

CE~ }

106

Nous en déduisons de (2.108) que l'on peut réduire (2.94) à un

système dont la matrice est non singulière en prenant (par exemple) laM.ième d ~ 1 àO ~-fi composante e ~h ega e zero.

4.3.1- Une méthode itérative pour résoudre le problème de Stokes.----- ------- ---------------------------------

Nous avons montré dans la partie précedente que le problème de Stokes

. discret (2.94) était équivalent à un système linéaire (2.107) ayant la

structure suivante (en simplifiant les notations du paragraphe précédent)

+

o

b

où ( dans (2.109) ) A est une matrice N x N symétrique définie positive,

B une matrice M x N et b ~N

Le système (2.109) admet une solution et une seule ( x , À) ~Nx R(B)

et (.x' , À') (RNxlRM est une solution de (2.109) si seulement on a:

(2.110) [X'À'

x

À + lJ lJ Ker( Bt)

Le système linéaire (2.109) peut-être aussi écrit

(2.111) C :)C)=C)Puisque dans (2.111) la matrice est symétrique et indéfinie, le système

linéaire peut-être résolu par l'algorithme Uzawa - gradient conjugué.

107

a) L'algorithme Uzawa - gradient conjugué pour la résolution de (2.109)------------------------------------------------

Nous déduisons de (2.109) que À est une solution du système linéaire

dans IRM :

(2. 112) B A-1 Bt À

Nous voyons que

Ker( Bt

)

ce qui implique, puisque la matrice B A-1 Bt est symétrique, que

(2.113) R( B A- 1 Bt) = R( Bt

)

Pûisque B A- 1 ~t appartient à R( B ) nous déduisons de (2.113) que

(2.112) a au moins une solution; en fait cette solution À est unique. -1 t

dans R( B ) pu~sque ~ ~ B est un isomorphisme de R( B ) dans R( B ).

. B A-1 Bt .Pu~sque est symétrique, semi-définie positive et pu~sque

B A-1'bER( B ) nous pouvons résoudre (2.112) par l'algorithme du gradient

conjugué suivant

Pas 0 : Initialisation

(2.114) ÀOR

M

(2.115) 0 -1( b B

t ÀO )x A

(2. 116) 0 - B 0 0 0g x w g

Puis pour n ~ 0 nous définissons Àn+1 n+l n+l, g , w par

Pas 1 Descente

(2.117)

(2.118)

Ç;n

nn B Ç;n

108

n1 gn 1

2

(2. 119) P n n( n , w )

(2.120) Xn+1 Xn n n

- p w

Pas 2 : Nouvelle direction de descente

(2.121)n+l n n n

g g - p n

n1 gn+l

12

.(2.122) Y1 gn 1

2

(2.123) n+l n+l n nw g + y w

n = n +

Revenir au ~as 1.

Lorsque { ~n ln > 0 a convergé vers X solution de (2.112) nous obtenons

le x correspondant dans (2.109) par la relation:

x =

A chaque itération de l'algorithme (2.114)-(2.123) nous devons résoudre

un système linéaire pour la matrice A, PQisque A est symétrique définie

positive, on utilise la factorisation de Choleski A ~ L Lt (avec Lune

matrice triangulaire inférieure) une fois pour toute. Chaque itération de

(2.114)-(2.123) nécessite uniquement la résolution de 2 systèmes

triangulaires •

. b) l-~}i.sa.Ei-~_<!.e..!:'a1a.o!!..~~~~•.!.!..:41=t2..:..!..?~2.3_la_!.~olu!~O~

<!.u_ E.r..?È..~è!!'~.È=.Jl~~k~~_di~c.E~~ .E:~~..:

Au lieu de l'algorithme (2.114)-(2.123) nous allons utiliser une

formulation équivalente. Cet algorithme est donné par :

Pas 0 : Initialisation

(2,124) donné arbitrairement

109

[

Trouver U~E Woh tel que

(2.125)

av (U~ Vh ) = ( Fh ' Vh ) ~ Jn VP~ Vh dn

(2.126)

(2.127) oZh

par

n+1Puis pour n ~ 0 chercher Ph

Pas 1 : Descente

[

Trouver ~E\Voh

(2.128)-+Il -+

av ( Xh ' Vh ) =

puis

tel que

(2.129)

(2.130) n+1!lh

Pas 2 Nouvelle direction de descente

n+1 1Trouver zh Elb tel que

(2.131)

Inn+1

q dn = In z:q dn- n In v.~ qh dn

1Zh P 'fi qhEHhh h

n Il z~+1112(2.132) y =

Il Z~ 112

110

(2.133)

est l'ensemble des sommets de ~. En utilisant ce produit

remplace (2.126), (2.129), (2.131) et (2.132) par:

n = n +

Revenir au pas 1.

Nous éviterons la résolution, à chaque itération, du problème linéaire

(2.131) en utilisant pour ~, au lieu du produit scalaire de L2(n),

celui défini par :

~(2.134) (Yh ' qh )h= it Yh ( Pi ) qh( Pi)

où {p }~i i=1

scalaire, on

o 1zhEllh,

(2.126)

( 0, qh )h In 9.~ qh dn

1zh "J qh~ llh

n n, n ( Zh ' zh )h(2.129) P =

In 9.X~n

Wh dQ

n+l 1Zh C lb,

(2.131)

(n+l

, qh )h ( n, qh )h -

n In 9.~ qh dn1

zh zh P 'ri qhEllh

(n+l n+l,

n Zh ,zh )h(2.132) Y

n n)h( zh ' zh

111

5 - RESULTATS NUMERIQUES,

Nous allons présenter dans cette partie les résultats numériques

obtenus par la mèthode précédemment décrite. On considère un exemple·

académique pour lequel on connait ':

- lecoefficient de viscosité virtuelle vertica~en fonction de

la profondeur et de la latitude.

le coefficient de viscosité virtuelle horizontale qui est constant

sur tout le dômai~e.

Cet exemple permet de tester la validité du modèle.

5.1- Un exemple ,académique.

5.1.1- choix des différents paramètres •._------------------ ----

Pour respecter la condition (2.108) nous avons choisi la triangulation

donnée par la figure 1, elle est définie de telle manière qu'un triangle

ait au plus un côté sur la frontière du domaine.

Pour la latitude nous avons choisi des points de discrétisation

équidistants :

YI = -0.5 Y2 = -0.3 Y "" 0.• 1, 4 Y5 = 0.3

et pour la profondeur les niveaux suivants

z = o.1

z2

-0.2 z = -0 43' • z4 ... -0.6

Pour simuler 1'6bservationïl a été choisi un coefficient de viscosité

Vv

donné en figure 2 par la courbe en pointillé et un coefficient de

viscosité horizontal,vh

= 4.

Comme dans le chapitre l nous avons utilisé un algorithme de type

gradient conjugué (Fletcher-Reeves).

112

Pour l'initialisation des coefficients de viscosité virtuelle nous avons

utilisé les résultats donnés par le modèle du chapitre 1. Le co~fficient

de viscosité virtuelle verticale est alors supposé constant en latitude

(figure 2 traits pleins). Po~r le coefficient de viscosité virtuelle

horizontale nous avons pris une valeur arbitraire de 4.5.

5.].3- Résultats.

Lors des premières itérations de l'algorithme d'optimisation, le

coefficient de viscosité virtuelle verti~alesemble tout d'abord prendre

une valeur moyenne. Il garde une valeur l peu près constante en latitude

mais il s'équilibre par rapport au coefficient exact (figures 3 et 4 ).

Pour les itérations suivantes, on remarque que l'on approche

rapidement de la solution exacte à l'intérieur du domaine (figures 5 et

6 ). Par contre sur les bords du domaine, la convergence est beaucoup

plus lente.

Nous avons le même problème que pour le modèle du chapitre l, l'équation

adjointe vérifie les conditions limites :

et

Après un certain nombre d'essais, la formule suivante a été adoptée

on approxime ~~J sur la frontière par la valeur la plus proche dansv

dans la direction perpendiculaire à cette frontière; pour les coins de non a choisi de prendre la valeur moyenne des d~ux directions.

Remarque: Cette méthode implique l'imbrication de trois méthodes d'optimisation

- l'algorithme d'optimisation pour la résolution des équations de Stok~s

discrètes (méthode d'Uzawa) qui est imbriqué dans:

- l'algorithme de résolution des équations de Navier-Stokes lui-même dans

celui de :

- l'algorithme de détermination des coefficients de viscosité virtuelle.

Cela donne une résolution très lente et très coOteuse en temps machine

par exemple, pour effectuer 30 itérations, il a fallu 5 heures sur HB 68.

, ...1 ...

1 "' ...1 ...1 ... ... ... ...

... ... ... ... ... ..., 1

"' ... 1

,,,,,,1 ,

1 ',

,,,,,,1 ,

1 ',

ll3

,,

",,l "1 '.'

- Figure

,,,,,,1 ,

1 "

,,,,,,,,,

,,,,,,,,," ...

" l ", 1 ...

, 1 ...

" l ", 1 ...

" :------;r:::..---- I------~, ...1 , , 11,' ',11, ,11 , , 1

~ " " ~

, -L~"'-i' ~!. .. -~_---r ,_­

r , .11--1 , ......'.. _--40--

114

VALEUR rNrrrllLE DE AUH

- Figure 2 -

4.5

VALEUR INITIIILE DE RUV

,"---­, ,....... ..,'~ ....",,',,

-..,"D :s

y

ûI

-1 m :Il > -1 ..... D Z < > r m jj o m :Il

C <

< > r m c :D Cl

1il

j'.

.'li

...<:1

-'''.

l'''-

i1~r"

..il

'!-J'

..ln

JV

I

m :D C :z:: . ~ • ~ 'J ~ 'J

< > r ~ o JTI

~ <,... D......

-1 rn :Il > -1 ..... D Z

~

\JI-<

~: 'l. III .l::-

< > r m C :D Cl m ~ :z:: ~ • r.­ D m N

..... -1 ~ -1 ..... o z .... UI

1\) o..... -1 ~ > -1 ..... o z

<

1>

<r

>lT

1r

c

1.

m:D

C

Cl

:D

lT1

Cl

1

1

lT1

"t\

.:,

.,.;"..

7,

!"N"~

,!

"".t

ln.1

0

:D

.0'1

C:D

lc: l

~

:<H~~

.1

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i~

Il-.~

wE~

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< ><..

:

r~

mr

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Cl

:D

lT1

Cl

:D1

m

"':l

C:D

....<

"':l

C

JI)

....<

c:()

Q

r"f

c:l'D

r"f

0'1

al'D

,-\J

I

1-<

ITERIIHON • 25

ITEAATIaN • 30

117

VIILEUR DE RUH • 4.0234

VIILEUR DE RUH • 4.0009

VALEUR LJE RLlV

- Figure 7 -

VALEUR DE RUV

- Figure 8 -

v

119

CONCLUSION

Dans cette étude, nous avons présenté une méthode de détermination

de coefficient intervenant dans les équations de Navier-Stokes. L'avantage

de cette méthode est qu'elle calcule de manière exacte le gradient de la

fonctionnelle des moindres carrés. La bonne connaissance du gradient nous

permet d'utiliser un algorithme d'optimisation rapide, assurant, à chaque

itération, une décroissance de la fonctionnelle.

La première modélisation monodimensionnelle, calculant le coeffi­

cient de viscosité virtuelle verticale à partir des données temporelles du

courant, a fait apparattre des difficultés liées aux observations. Pour dé­

terminer le coefficient de viscosité virtuelle, il faut décrire, de manière

acceptable, le courant suivant la verticale. Les cinq pas de discrétisation,

fournis par les courantomètres, ne sont pas satisfaisants. Il faut, de plus,

que le gradient de pression soit très bien connu. Les seules mesures, per­

mettant le calcul du gradient de pression, sont données par les radiales, et

ne fournissent donc que des valeurs instantanées.

En utilisant la deuxième modélisation du chapitre l, la construc­

tion analytique d'un profil moyen du cour~nt, lié à un gradient de pression

et à un vent moyen, nous a permis de donner une première approximation du

coefficient de viscosité virtuelle verticale

Dans le chapitre II, nous avons développé une méthode de détermi­

nation des coefficients de viscosité virtuelle verticale et horizontale,

dans le cas des équations de Navier-Stokes bidimensionnelles stationnaires.

Ce modèle est assez complexe, surtout à cause de l'imbrication de plusieurs

algorithmes d'optimisation. L'ordinateur, dont nous disposions, n'est pas

assez puissant pour traiter le cas réel. Le traitement des mesures effec­

tuées lors des campagnes FOCAL nécessite l'utilisation d'un ordinateur

vectoriel, type CRAY, et fera l'objet d'études ultérieures •

.-:-

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjJ

121

BIBLIOGRAPHIE

[IJ R. ARTHUR. - A review of the calculation of ocean currents ·at theEquator.Deep-Sea Research, 1960, Vol. 6, p. 287 à 297.

[2J D. BEGIS et M. CREPON. - On the generàtion of currents by windsan identification method to determine oceanic parameters.Rapport de recherche N° 118, mai 1975.

[3J F. BROSSIER. - Analyse numérique de problèmes de Stokes ou Navier-Stokesintervenant en modélisation de phénomènes océanographiques.Thèse, Rennes, 1985.

[4J J. CEA. - Optimisation. Théorie et algorithmes.Paris, Dunod, 1971.

[5J G. CHAVENT. - Analyse fonctionnelle et identification de coefficientsrépartis dans des équations aux dérivées partielles.Thèse, Paris VI, 1971.

[6J G. CRAVENT et P. LEMONNIER. - Identification de la non-linéarité d'uneéquation parabolique quasi-linéaire.Applied Mathematics and Optimization, Vol. l, N° 2, 1974,Springer Verlag

[7J C. COLIN et PICAUT. - Personal communication. 1980.

[8J R. FLETCHER et C.M. RREVES. - Function minimization by conjugate gradientsComp.' Journal 6, .p. 163, ••• , 1964.

[9J R. GLOWINSKI. - Numerical methods for non-linear variational problemsCours de Nice, 19-23 Janvier 1981

[10J H. LACOMBE. - Cours d'Océanographie physique (Théorie de la circulationgénérale. Houles et vagues).Paris, Gauthier Villars, 1965.

DIJ J.L. LIONS. - Contrôle optimal de systèmes gouvernés par des équationsaux dérivées partielles.Dunod, Gauthier Villars, 1968.

82J J.L. LIONS et E. MAGENES. - Problèmes aux limites non homogènes etapplications •

. Volumes 1, 2 et 3, Dunod, 1968.

122

[ 13] G. NEUMANN. - Ocean Currents.Elsevier Publishing Company

[14J J. PEDLOSKY. - Geophysical Fluid Dynamics.Springer Verlag, 1979.

[15] E. POLAl< et G. RIVIERE. - Note sur la convergence de méthodes dedirections conjuguées.R. 1. R. O. , ND 16 , 1969.

[16] R. TEMAM. - Navier-Stokes equations.North Rolland, Amsterdam, 1977.

[17] K. WYRTKI et E.B. BENNET. - Vertical eddy viscosity in the PacificEquatorial undercurrent.Deep-See Research, 1963, Vol. la, pp. 449-455

1'23

TABLE DES MATIERES

CHAPITRE I UNE METHODE DE DETERMINATlON DE CERTAINS

PARAMETRES OCEANIQUES DANS LE CAS DES EQUATIONS

DE .STOKES MONODIMENSIONNELLES

DTROIJIJet'Iœ ..

1. B'lIJDE DB L'EQlJAUOB PARABOLI.QUE· ................................................. 8

0+-2. DERIVABILITB DE L'APPLlCAUœ 'V 0+- U .............................................. 10

3.. 'B1.'IJDE lJ1J PROBL'EIIE IBVERSE li) .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 13

3.1. Calcul du gradient de JI ••••••••••••••••••••••••••••••••••• 14

3.2. Calcul du gradient de J II •••••••••••••••••••••••••••••••••• 15

........................................................4. ~SOLUTION RUMERIQUE DU PROBLEME ••••••••••••••••••••••••••••••••

4.1. Résolution de l'équation d'état

4.1.1. Discrétisation en espace ••••••••••••••••••••••• ~ ••••

4.1.2. Discrétisation en temps •••••••••••••••••••••••••••••

16

16

16

18

4.2. Résolution du problème d'identification pour

l'obs~rvation 1 •........••..••..•...•.........•.•.••..••.•• 18

4.2. 1. Méthode d'optimisation •••••••••••••••••••••••••••••• 19

4.2.2. Calcul du gradient de JI •••••••••••••••••••••••••••• 20

4.3. Résolution du problème d'identification pour

l'observation II 21

4.3.1. Méthode d'optimisation •••••••••••••••••••••••·••••••• 22

4.3.2. Méthode du gradient ••••••••••••••••••••••••••••••••• 22

4.4. Mise en oeuvre

5. RESULTATS NtJMERIQUES

..........................................................................................

........................................................................................

23

25

5.1.' Un exemple académique ............................................................................ 25

5.1.1.

5.1.2.

5.1.3.

124

Algorithme d'optimisation ••••••••••••.•••.•••••••••

Choix des différents paramètres ••••.•••••••••••.•••

Résultats

25

26

26

5.2. Utilisation de ce modèle dans l'Atlantique Equatorial...... 33

5.2.1. Evaluation de différents termes des équations

de Navier-Stokes ••••••••••••••••••••••••••••••••••• 33

5.2.2. Traitement numérique d'observations instantanées

du courant ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 36

5.3.3. Traitement numérique d'un profil moyen de vitesse.. 38

5.2.3.1. Construction du profil moyen •••••••••••••• 39

5.2.3.2. Cas d'un profil moyen donné par les

radiales •••••••••••••••••••••••••••••••••• 41

5.2.3.3. Cas de deux profils moyens caractéristiques

de l'Atlantique Equaotorial ••••••••••••••• 46

CHAPITRE II - UNE METHODE DE DETERMINATION DE CERTAINS

PARAMETRES OCEANIQUES DANS LE CAS DES EQUATIONS

DE NAVIER-STOKES BIDIMENSIONNELLES STATIONNAIRES

Ift'1OlJIJCT'I(JII ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 69

1. ErODE THEORIQUE DU PROBLKMK (2.1) (2.2) ••••••••••••••••••••••••• 71

1.1. Formulation variationnelle du problème (2.1) (2.2) ••••••••• 71

1.2. Interprétation du problème variationnel •••••••••••••••••••• 81

+2. DERIVABILITE DE L'APPLICATION (Vh'Vv

) + U ••.••••..•.•.•.•...••• 82

3. IDIRTIFICATIOI DIS COIPPICIBBTS DI VISCOSITE VIRTUILLI •••••••••• 91

3.1. Calcul du gradient de J •••••••••••••••••••••••••••••••••••• 9]

4. RESOLUTIOR RUMBRIQUE DU PROBLEM! ••••••••.••••••••••••••••••••••• 93

4.1. Résolution de l'équation (2.12) •••••••••••••••••••••••••••• 93

4.1.1. Une formulation par les moindres carrés de (2.55) •••• 94

125

4.1.2. Une méthode du 'gradient conjugué pour le

problème des moindres carrés (2.56) ••••••••••••••••• 95

a) Description de l'algorithme du gradient conjugué ••••••• 95

b) Calcul de Jh(um+ 1) et ~+ 1 96

4.2. Résolution de l'équation '(2.51) ••••••••••••••••••••••••••• 98

4.2.1. Une formulation par les moindres carrés de (2.75) ••• 98

4.2.2. Une méthode du gradient conjugué pour le

problème des moindres carrés (2.76) ••••••••••••••••• 99

a) Description de l'algorithme du gradient conjugué ••••••• 99±m+l -+m+l .

b) Calcul de Jh (PUh ) et (PZh ) •••••••••••••••••••••••••• 100

4.3. Résolution d'une équation de Stokes discrète

4.3.1. Une méthode itérative pour résoudre le problème

102

de Stokes ••...•...•.•...•..•.......•...•..•.•..•..• 106

a) L'algorithme Uzawa-gradient conjugué pour la

résolution de (2.109) •••••••••••••••••••••••••••••••••• 107

b) Application de l'algorithme (2.114) - (2.123) à la

résolution du problème de Stokes discret (2.94) •••••••• 108

5. 'RESULTATS NUMERIQUES 1Il

5. 1. Un exemple académique ••••••.••••••...••.••.•.•..•.•..••.•• 111

5.1.1. Choix des différents paramètres ••••••••••••••••••••

5.1.2. Algorithme d'optimisation ••••••••••••••••••••••••••

5.1.3. Résultats ..........................................Il 1

111

112

CORCLUSIOB ......................................................... 119

BIBLIOGRAPHIE ...................................................... 121

TABLE DES MATIERES .................................................

-:-

123

vu

Le Président de la Thèse

Chr. COATMELEC

vu

vu

La Directeur de Thèse

Rennes, le 15 Mai 1985

Le Directeur de l'IN8A

C. CHICOIX