Vibration de systèmes continus

Vibration de systèmes continus

L. Champaney

Notes du cours du Dynamique des Constructions

Sommaire

1 Vibrations longitudinales d’une barre 21.1 Vibrations libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Fréquences et modes propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Mise en évidence d’une base modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5 Vibrations forcées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Vibrations de torsion d’une poutre 6

3 Vibration de flexion d’une poutre 63.1 Vibrations libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.2 Fréquences et modes propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.4 Mise en évidence d’une base modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.5 Vibrations forcées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1

ENSMP - Dynamique des Constructions Vibration de Systèmes Continus

1 Vibrations longitudinales d’une barre

1.1 Vibrations libres

Les variables considérées sont :

ε =∂u

∂xN = ESε (1)

L’équation d’équilibre local est :dN

dx= ρS

∂2u

∂t2(2)

soit :∂

∂x

(S

∂u

∂x

)=

ρS

E

∂2u

∂t2(3)

qui devient :

∂2u

∂x2=

1c2

∂2u

∂t2(c2 =

E

ρ) (4)

Energie potentielle :

V =12

∫Ω

σεdΩ =12

∫ L

0

ES

(∂u

∂x

)2

dx (5)

Energie cinétique

T =12

∫Ω

ρ

(∂2u

∂t2

)2

dΩ =12

∫ L

0

ρS

(∂2u

∂t2

)2

dx (6)

Les conditions aux limites possibles sont :– déplacement imposé nul aux extrémités :

u(0, t) = 0 et/ou u(L, t) = 0

– effort imposé nul aux extrémités :

∂u

∂x(0, t) = 0 et/ou

∂u

∂x(L, t) = 0

1.2 Fréquences et modes propres

On effectue une séparation des variables :

u(x, t) = U(x)T (t) (7)

L’équilibre devient :1U

d2U

dx2=

1c2

d2T

dt2= cste (8)

On a égalité de deux fonctions de variables indépendantes. Les deux fonctions sont donc égalesà une constante. Cette constante est choisie négative pour assurer la stabilité de la solution entemps :

1U

d2U

dx2=

1c2

d2T

dt2= −ω2

c2(9)

ce qui donne d2U

dx2+

(ω

c

)2

U = 0

d2T

dt2+ ω2T = 0

⇒

U(x) = A sinωx

c+ B cos

ωx

cT (t) = C sinωt + D cos ωt

(10)

Les constantes A, B, C et D sont calculées à partir des conditions initiales et des conditions auxlimites.

ENSMP 2 L. Champaney


1.3 Exemples

1.3.1 Barre libre aux deux extrémités

Les conditions aux limites :

∂u

∂x(0, t) = 0 et

∂u

∂x(L, t) = 0

donnent : A

ω

c(C sinωt + D cos ωt) = 0

ω

c

(A cos

ωL

c−B sin

ωL

c

)(C sinωt−D cos ωt) = 0

(11)

qui a pour solution non triviale : A = 0

sinωL

c= 0

(12)

Les modes possibles de vibration sont donc caractérisés par :

ωL

c= iπ (13)

Les «pulsations propres» de vibration sont donc :

ωi = iπc

L= i

π

L

√E

ρ(14)

et les «modes propres» associés :

Ui(x) = cosiπx

L(15)

La solution générale du problème de vibration est donc :

u(x, t) =∞∑

i=0

cosiπx

L(Ci cos ωit + Di sinωit) (16)

où les constantes Ci et Di dépendent des conditions initiales.

1.3.2 Barre encastrée-libre


u(0, t) = 0 et∂u

∂x(L, t) = 0

conduisent à :

cosωL

c= 0 (17)


ωi = (2i− 1)π

2L

√E

ρ(18)


Ui(x) = sin(2i− 1)πx

2L(19)



1.3.3 Barre encastrée-encastrée


u(0, t) = 0 et u(L, t) = 0

conduisent à :

sinωL

c= 0 (20)


ωi = iπ

L

√E

ρ(21)

1.4 Mise en évidence d’une base modale

1.4.1 Orthogonalité des modes

Les modes propres Ui(x) sont caractérisés par l’équation caractéristique :

(ESU ′i)′ = −ω2

i ρSUi (22)

en multipliant chaque membre par un autre mode Uj et en intégrant sur la barre, on obtient :∫ L

0

(ESU ′i)′Ujdx = −

∫ L

0

ω2i ρSUiUjdx (23)

En intégrant par partie le premier terme on obtient :[ESU ′

iUj

]L

0−

∫ L

0

ESU ′iU

′jdx = −ω2

i

∫ L

0

ρSUiUjdx (24)

Le premier terme est nul car, aux extrémités, la barre est soit encastrée (Ui = Uj = 0) soit libre(U ′

i = U ′j = 0). Il reste : ∫ L

0

ESU ′iU

′jdx = ω2

i

∫ L

0

ρSUiUjdx (25)

En répétant la même opération en remplaçant l’équation (22) par :

(ESU ′j)′ = −ω2

j ρSUj (26)

en multipliant chaque membre par Ui, en intégrant sur la barre est en suivant la même procédureque ci-dessus ont obtient : ∫ L

0

ESU ′iU

′jdx = ω2

j

∫ L

0

ρSUiUjdx (27)

En retirant l’équation 25 de l’équation 27 on obtient :

(ω2i − ω2

j )∫ L

0

ρSUiUjdx = 0 (28)

Lorsque i 6= j, les deux fréquences sont différentes et on obtient alors la propriété :∫ L

0

ρSUiUjdx = 0, si i 6= j (29)



qui indique que deux modes différents sont orthogonaux par rapport à l’opérateur ρS, appeléopérateur de masse.

En injectant cette propriété dans l’équation 25 ou dans l’équation 27, on obtient :∫ L

0

ESU ′iU

′jdx = −

∫ L

0

(ESU ′i)′Uj = 0, si i 6= j (30)

qui indique que deux modes différents sont orthogonaux par rapport à l’opérateur de raideur( d

dx (ES ddx ).

1.4.2 Normalisation

Lorsqu’on considère deux fois le même mode (i = j), on normalise en général le mode Ui demanière à ce que : ∫ L

0

ρSU2i dx = 1 (31)

La condition d’orthonormalité des modes par rapport à la masse peut donc s’écrire :∫ L

0

ρSUiUjdx = δij (32)

Dès lors qu’on fait cette normalisation, on obtient :∫ L

0

ESU ′i2dx = −

∫ L

0

(ESU ′i)′Ui = ω2

i (33)

1.5 Vibrations forcées

Lorsque qu’on force la vibration par un effort f(x, t), l’équation d’équilibre devient :

∂

∂x

(S

∂u

∂x

)− ρS

E

∂2u

∂t2+ f(x, t) = 0 (34)

On cherche une solution décomposée dans la base modale :

u(x, t) =∞∑

j=0

qj(t)Uj(x) (35)

En introduisant cette décomposition dans l’équation d’équilibre (34), en multipliant chaque membrepar Ui et en intégrant le long de la barre on obtient :∫ L

0

ρSUi(∞∑

j=0

qj(t)Uj(x))dx−∫ L

0

Ui(∞∑

j=0

(qj(t)ESU ′j(x))′)dx =

∫ L

0

Uif(x, t)dx (36)

Le terme

Qi(t) =∫ L

0

Uif(x, t)dx (37)

est appelée projection de la force imposée sur le mode i. En utilisant les propriétés d’orthonor-malité des modes, ils reste :

qi(t) + ω2i qi(t) = Qi(t), i = 0 . . .∞ (38)

La résolution du problème de vibrations forcées se ramène à la résolution d’un ensemble desystèmes scalaires à un degré de libertés indépendant.



2 Vibrations de torsion d’une poutre

Les variables considérées sont :

χt =∂θ

∂xMt = GI0χt (39)

L’équation d’équilibre local est :dMt

dx= ρI0θ (40)

soit :∂

∂x

(I0

∂u

∂x

)=

ρI0

G

∂2u

∂t2(41)

Cette forme est identique à celle obtenue pour un problème de vibration longitudinale de barre.Les solutions sont du même type.

3 Vibration de flexion d’une poutre

3.1 Vibrations libres

Les variables considérées sont :– le déplacement radial : v(x, t)

– la rotation de la section : θ(x, t) =∂v

∂x(hypothèse de Bernoulli)

– la courbure : χf =∂θ

∂x– le moment fléchissant Mf = EIχf

– ł’effort tranchant Tt

Les équations d’équilibre local sont : ∂Tt

∂x+ ρS

∂2v

∂t2= 0

∂Mf

∂x− Tt = 0

(42)

Ici, on a négligé les termes d’inertie dus à la rotation des sections devant les termes d’inertie duà leur translation. En éléminant l’effort tranchant, on obtient :

∂2Mf

∂x2+ ρS

∂2v

∂t2= 0 (43)

qui devient :

∂4v

∂x4+

ρS

EI

∂2v

∂t2= 0 (44)

Energie potentielle :

V =12

∫ L

0

EI

(∂2v

∂x2

)2

dx (45)

Energie cinétique

T =12

∫Ω

ρ

(∂2v

∂t2

)2

dΩ =12

∫ L

0

ρS

(∂2v

∂t2

)2

dx (46)

Les conditions aux limites possibles sont :– déplacement imposé nul aux extrémités :

v(0, t) = 0 et/ou v(L, t) = 0



– rotation imposée nulle aux extrémités :

∂v

∂x(0, t) = 0 et/ou

∂v

∂x(L, t) = 0

– moment imposé nul aux extrémités :

∂2v

∂x2(0, t) = 0 et/ou

∂2v

∂x2(L, t) = 0

– effort imposé nul aux extrémités :

∂3v

∂x3(0, t) = 0 et/ou

∂3v

∂x3(L, t) = 0

3.2 Fréquences et modes propres

On effectue une séparation des variables :

v(x, t) = V (x)T (t) (47)

L’équilibre devient :EI

ρS

1V

d4V

dx4= − 1

T

d2T

dt2= cste (48)

On a égalité de deux fonctions de variables indépendantes. Les deux fonctions sont donc égalesà une constante. Cette constante est choisie positive pour assurer la stabilité de la solution entemps :

EI

ρS

1V

d4V

dx4= − 1

T

d2T

dt2= +ω2 (49)

ce qui donned4V

dx4− β4V = 0

d2T

dt2+ ω2T = 0

⇒

U(x) = Achβx + Bshβx + C cos βx + D sinβx

T (t) = E sinωt + F cos ωt(50)

avec

β4 =ρSω2

EI

Les constantes A, B, C, D, E et F sont calculées à partir des conditions initiales et des conditionsaux limites.

3.3 Exemples

3.3.1 Poutre en appuis simples


v(0, t) = v(L, t) = 0 et v′′(O, t) = v′′(L, t) = 0

donnent : A + C = 0

β2(A− C) = 0AchβL + BshβL + C cos βL + D sinβL = 0

β2(AchβL + BshβL− C cos βL−D sinβL

)= 0

(51)



qui a pour solution non triviale : A = C = 0BshβL = 0⇒ B = 0

D sinβL = 0(52)

Les modes possibles de vibration sont donc caractérisés par :

βi =iπ

L(53)


ωi = i2π2

√EI

ρSL4(54)


Vi(x) = siniπx

L(55)

La solution générale du problème de vibration est donc :

u(x, t) =∞∑

i=0

siniπx

L(Ei cos ωit + Fi sinωit) (56)

où les constantes Ei et Fi dépendent des conditions initiales.

3.3.2 Poutre encastrée-libre


v(0, t) = v′(0, t) = 0 et v′′(L, t) = v′′′(L, t) = 0

donnent : A + C = 0B + D = 0

AchβL + B cos βL + CshβL + D sinβL = 0

β2(AchβL + B cos βL− CshβL−D sinβL

)= 0

(57)

qui une solution non triviale si :

chβL + cos βL

shβL− sinβL=

shβL + sinβL

chβL + cos βL(58)

soit :chβL cos βL + 1 = 0 (59)

dont les solutions sont : β1 = 1.875, β2 = 4.694, ...

3.4 Mise en évidence d’une base modale

3.4.1 Orthogonalité des modes

Les modes propres Vi(x) sont caractérisés par l’équation caractéristique :

(EIV ′′i )′′ = ω2

i ρSVi (60)



en multipliant chaque membre par un autre mode Vj et en intégrant sur la poutre, on obtient :∫ L

0

(EIV ′′i )′′Vjdx = −

∫ L

0

ω2i ρSViVjdx (61)

En intégrant deux fois par partie le premier terme on obtient :[(EIV ′′

i )′Vj

]L

0−

[EIV ′′

i V ′j

]L

0+

∫ L

0

EIV ′′i V ′′

j dx = ω2i

∫ L

0

ρSViVjdx (62)

Le premier terme est nul car, aux extrémités, la barre est soit appuyée (Vi = Vj = 0) soit libred’effort (V ′′′

i = V ′′′j = 0). Le deuxième terme est aussi nul car, aux extrémités, la barre est soit à

rotation bloquée (V ′i = V ′

j = 0) soit libre de moment (V ′′i = V ′′

j = 0). Il reste :∫ L

0


j dx = ω2i

∫ L

0

ρSViVjdx (63)

En répétant la même opération en remplaçant l’équation (60) par :

(EIV ′′j )′′ = ω2

j ρSVj (64)

en multipliant chaque membre par Vi, en intégrant sur la barre est en suivant la même procédureque ci-dessus ont obtient : ∫ L

0


j dx = ω2j

∫ L

0

ρSViVjdx (65)

En retirant l’équation 63 de l’équation 65 on obtient :

(ω2i − ω2

j )∫ L

0

ρSViVjdx = 0 (66)

Lorsque i 6= j, les deux fréquences sont différentes et on obtient alors la propriété :∫ L

0

ρSViVjdx = 0, si i 6= j (67)

qui indique que deux modes différents sont orthogonaux par rapport à l’opérateur ρS, appeléopérateur de masse.

En injectant cette propriété dans l’équation 63 ou dans l’équation 65, on obtient :∫ L

0

(EIV ′′i )′′Vjdx =

∫ L

0


j = 0, si i 6= j (68)

qui indique que deux modes différents sont orthogonaux par rapport à l’opérateur de raideur( d2

dx2 (EI d2

dx2 ).

3.4.2 Normalisation

Lorsqu’on considère deux fois le même mode (i = j), on normalise en général le mode Vi demanière à ce que : ∫ L

0

ρSV 2i dx = 1 (69)

La condition d’orthonormalité des modes par rapport à la masse peut donc s’écrire :∫ L

0

ρSViVjdx = δij (70)

Dès lors qu’on fait cette normalisation, on obtient :∫ L

0

EIV ′′i

2dx =

∫ L

0

(EIV ′′i )′′Vi = ω2

i (71)



3.5 Vibrations forcées

Lorsque qu’on force la vibration par un effort radial f(x, t), l’équation d’équilibre devient :

∂2

∂x2

(EI

∂2v

∂x2

)+ ρS

∂2u

∂t2= f(x, t) (72)

On cherche une solution décomposée dans la base modale :

v(x, t) =∞∑

j=0

qj(t)Vj(x) (73)

En introduisant cette décomposition dans l’équation d’équilibre (72), en multipliant chaque membrepar Vi et en intégrant le long de la barre on obtient :

qi(t) + ω2i qi(t) = Qi(t), i = 0 . . .∞ (74)

en utilisant les propriètés d’orthonormalité des modes. Le terme

Qi(t) =∫ L

0

Vif(x, t)dx (75)

est appelée projection de la force imposée sur le mode i. La résolution du problème de vibrationsforcées se ramène à la résolution d’un ensemble de systèmes scalaires à un degré de libertéindépendants.


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Vibration de systèmes continus