Vibrations des poutres 1/6

1

Vibrations des poutres

L'objectif est de mettre en place les outils et les méthodes permettant de résoudre de façon analytique le système d'équations différentielles "EDP" du modèle barre. Les problèmes pouvant être traité analytiquement sont peu nombreux et généralement académiques. Ils sont cependant utiles comme éléments de comparaison et de validation des méthodes numériques utilisées pour résoudre les problèmes industriels.

Ces solutions analytiques sont basées sur l'analyse modale, qui consiste à résoudre le problème homogène (régime libre), puis à utiliser les solutions élémentaires obtenues (modes de vibration) comme base de projection pour construire la réponse dynamique complète ou en régime forcé.

Régime libre

Le régime libre d'une poutre en flexion dans le plan ( , , )o oO x y� �

est caractérisé par un système d'équations

différentielles de la forme :

Équation locale : ] [ 4,0, 0

xx Sv EIvρ∀ ∈ + =ɺɺℓ

Avec des C.L. homogènes : ,

(., ) 0

(., ) 0x

v t ou

v t

= =

et 2

3

,

,

(., ) 0

(., ) 0x

x

EIv t ou

EIv t

= =

L'équation locale définie les opérateurs masse et raideur ( ) ( ) 0M v L v+ =ɺɺ � 4 4 /

M S

L EI x

ρ= = ∂ ∂

Les problèmes ayant des C.L. homogènes sont représentés ci-dessous

Libre – Libre

Encastré – Libre

Encastré – Encastré

Appuyé – Libre

Encastré – Appuyé

Appuyé – Appuyé

Glissant – Libre

Glissant – Encastré

Glissant – Appuyé

Glissant – Glissant

On cherche des solutions de la forme : ( , ) ( ) ( )v x t V x f t= avec 2f fω= −ɺɺ

Écrivons l'équation locale sous sa forme canonique : 44

,0

xV Vλ− = avec 4 2 /S EIλ ω ρ=

Les solutions de cette équation sont :

Pour 0ω = 2 30 1 2 3( )V x A A x A x A x= + + +

Pour 0ω ≠ ( ) cos sin cosh sinhV x A x B x C x D xλ λ λ λ= + + +

Le système homogène des conditions aux limites homogènes, admet une solution non banale si son

déterminant est nul. Cette équation caractéristique donne une infinité dénombrable de solutions iλ

� ( )2

4i i

EI

Sω λ

ρ= ℓ

ℓ

A chaque iλ correspond une solution ( )i iZ V x= définie à une constante multiplicative près, c'est le

mode de vibration de la poutre correspondant à la pulsation de résonance iω .

Modes rigides

Vibrations des poutres 2/6

2

Propriétés de la base modale

Pour deux valeurs propres distinctes i jω ω≠ :

( ) 0

( ) 0

ij i j

o

ij i j

o

m Z M Z dx

k Z L Z dx

= =

= =

∫

∫

ℓ

ℓ

L⊥ et M ⊥ (orthogonalité des modes)

Dans le cas d'une valeur propre multiple on construira une base L⊥ et M ⊥

Pour i j=

( )4

2

2

,,

ii i

o

ii i i xxi xo o

m S Z dx

k Z EI Z dx EI Z dx

ρ

= = − =

∫

∫ ∫

ℓ

ℓ ℓ on montre que : ( )2 2 2 2 2

2i i i i i

o

Z dx A B C D= + + −∫ℓ

ℓ

Rappel 2 iii

ii

k

mω =

En pratique on utilise la M norme 2i

o

S V dx mρ =∫ℓ

� 2 2 2 2 2i i i iA B C D+ + − =

Exemple

Libre – Libre

Les conditions aux limites : 2

3

,

,

(0, )

(0, )

0

0x

x

t

t

v

v

= =

et 2

3

,

,

( , )

( , )

0

0x

x

t

t

v

v

= =

ℓ

ℓ

Il faut chercher les solutions à 0ω = 2 3

0 1 2 3( )V x A A x A x A x= + + + les CL ==> 2 3 0A A= =

Il existe deux modes rigides : translation de la poutre 0 0( )V x A=

rotation de la poutre 0 1( )V x A x=

Pour 0ω ≠ ( ) cos sin cosh sinhV x A x B x C x D xλ λ λ λ= + + +

Les CL en 0x = ==> A C

B D

= =

celle en x = ℓ ==> alors { }cos sin0

sin cos

ch sh A

sh ch B

λ λ λ λλ λ λ λ

− + − + = + − +

ℓ ℓ ℓ ℓ

ℓ ℓ ℓ ℓ

Il existe une solution non banale si le déterminant est nul c'est l'équation caractéristique cos cosh 1 0λ λ − =ℓ ℓ

Les deux premières solutions sont :

1 4,73004λ =ℓ

2 7,85320λ =ℓ

Puis pour 2 (2 1)2ii iπλ> ≅ +ℓ

cos λℓ1/ ch λℓ

λℓ1λ ℓ 2λ ℓ

/ 2π 3 / 2π 5 / 2π

Les modes sont donnés par ( )cos ch( ) cos ch sin sh

sin shi i

i i i i ii i

V x x x x xλ λλ λ λ λλ λ

−= + − +−ℓ ℓ

ℓ ℓ

Les modes ainsi définis sont M normé 2i

o

S V dx mρ =∫ℓ

Vibrations des poutres 3/6

3

Réponse libre d'une poutre

Pour déterminer les oscillations libres d'une barre il faut se donner des conditions initiales ( )( , 0) ( , 0)x xv vɺ

Toute solution de la forme1

( , ) ( ) ( )i ii

v x t Z x q t∞

==∑ , satisfait toutes les conditions aux limites du problème

Les modes sont des fonctions de comparaison

En reportant dans l'équation locale ] [ ,1 1

0, ( ) ( ) 0i i i xx ii i

x S Z q t ES Z q tρ∞ ∞

= =∀ ∈ − =∑ ∑ɺɺℓ

Une équation avec une infinité d'inconnues ( )iq t

En multipliant cette équation par ( )jZ x et en intégrant sur la longueur du barreau

La base modale est une base L⊥ et M⊥ complète.

L’orthogonalité des modes � [ [1, 0ii i ii ii m q k q∀ ∈ ∞ + =ɺɺ

Une infinité d'équations à une inconnue

Soit en fonction des pulsations [ [ 21, 0i i ii q qω∀ ∈ ∞ + =ɺɺ

Les solutions en régime libre sont donc de la forme 00( ) cos sini

i i i ii

qq t q t tω ω

ω= +

ɺ

Les constantes 0 0( , )i iq qɺ s'expriment en fonction des conditions initiales sur ( ) ( )0 0( , )x xv vɺ

0 01

( ) ( ) i ii

v x Z x q∞

==∑ et 0 0

1

( ) ( ) i ii

v x Z x q∞

==∑ɺ ɺ

En utilisant l’orthogonalité des modes, � ( ) 0 02 0

0

1 xi i

i

q v Z dx

Z dx

= ∫∫

ℓ

ℓ et ( ) 0 0

2 0

0

1 xi i

i

q v Z dx

Z dx

= ∫∫

ℓ

ℓɺ ɺ

Si la base est M normée � ( ) 0 0

0

1 xi iq v Z dx= ∫

ℓ

ℓ et ( ) 0 0

0

1 xi iq v Z dx= ∫

ℓ

ɺ ɺℓ

Exercice 6: Pulsations propres et base modale Objectifs : Modes de vibrations et propriétés du problème aux valeurs propres

Oscillations libres.

1 Mise en équations Poser le système d’équations du problème représenté sur la figure ci-contre

Pb de flexion

2 Problème aux valeurs propres

Chercher les solutions harmoniques de la forme : ( , ) ( ) ( )v x t V x f t=

Montrez qu’il existe un mode rigide de translation (fréquence nulle) Déterminer les pulsations et modes propres de vibrations de cette structure. Vérifier que les modes sont « L et M » symétriques et orthogonaux

Utilisez la norme suivante : ( )i i

o

V M V dx m=∫ℓ

, m étant la masse de la poutre.

3 Oscillations libres

Déterminer la réponse de la structure aux conditions initiales suivantes : ( , ) ( )

( , ) ( )o

o

v x o v x

v x o v x

= = ɺ ɺ

déplacement et vitesse initiales données.

Vibrations des poutres 4/6

4

Réponse forcé à une excitation harmonique

On s'intéresse à la réponse du système en régime permanent, c'est à dire lorsque la solution générale du problème homogène qui est fonction des conditions initiales est amortie. Cette réponse correspond à une solution particulière harmonique des équations du mouvement, c'est le régime forcé.

Solution directe

La réponse forcée peut être obtenue en cherchant directement une solution de la forme

( , ) ( ) cos( )v x t V x tω= avec 4 2

( ) cos sin cosh sinh

/

V x A x B x C x D x

et S EI

λ λ λ λλ ω ρ

= + + + =

Les conditions aux limites permettent alors de déterminer les constantes ( , , , )A B C D

Solution par l'analyse modale : démarche générale présentée dans le paragraphe suivant

Pour utiliser l'analyse modale il faut reformuler le problème pour faire apparaitre les conditions aux limites du problème homogène.

Le principe de Saint Venant permet de considérer que les charges sont appliquées juste avant l'extrémité de la barre, elles interviennent alors au niveau de l'équation locale par l'intermédiaire d'une fonction de

type Dirac, notée ( )ix xδ − , c'est la

Réponse complète par l'analyse modale

Il faut se ramener à la formulation du problème avec des conditions aux limites homogènes.

On résout alors le problème aux valeurs propres (détermination de la base modale)

Le théorème d'expansion permet de chercher une solution de la forme 1

( , ) ( ) ( )i ii

u x t Z x q t∞

==∑

On diagonalise les équations et les conditions initiales en utilisant l'orthogonalité des modes

On détermine l'infinité de solutions des problèmes élémentaires à 1 degré de liberté "1 ddl"

On reporte les solutions dans le changement de base 1

( , ) ( ) ( )i ii

u x t Z x q t∞

==∑

C'est long mais ça marche !

Exercice 7: Base modale et réponse forcée

Objectifs : Norme des modes de vibrations. Solution particulière.

1 Mise en équations Poser le système d’équations du problème représenté sur la figure ci-contre

2 Problème aux valeurs propres

y�o

�xo

(ρ , E, I, S)

tF�

Déterminer les pulsations et modes propres de vibrations de cette structure. Montrez que pour ( ) cos sin cosh sinhV x A x B x C x D xλ λ λ λ= + + +

( )2 2 2 2 2( )2o

V dx A B C D= + + −∫ℓ

ℓ

3 Réponse forcée Déterminer la solution particulière forcée pour une excitation harmonique cosF tω

a- directement b- par l’analyse modale

Vibrations des poutres 5/6

5

Quelques solutions de références qui seront utilisées dans les exercices pour qualifier les méthodes d'approximations, vous pouvez chercher à retrouver ces résultats.

Encastré - Libre

Équation caractéristique : cos cosh 1 0λ λ + =ℓ ℓ

cos λℓ

1/ ch λ− ℓ

λℓ1λ ℓ2λ ℓ

/ 2π 3 / 2π 5 / 2π3λ ℓ 4λ ℓ

1 1,87510λ =ℓ ; 2 4,69409λ =ℓ ; 3 7,85473λ =ℓ Puis 3 (2 1)2ii iπλ> ≅ −ℓ

( )cos ch( ) cos ch sin sh

sin shi i

i i i i ii i

V x x x x xλ λλ λ λ λλ λ

+= − − −+ℓ ℓ

ℓ ℓ

Encastré - Encastré

Équation caractéristique : cos cosh 1 0λ λ − =ℓ ℓ

cos λℓ1/ ch λℓ

λℓ1λ ℓ 2λ ℓ

/ 2π 3 / 2π 5 / 2π

1 4,73004λ =ℓ 2 7,85320λ =ℓ Puis 2 (2 1)2ii iπλ> ≅ +ℓ

( )cos ch( ) cos ch sin sh

sin shi i

i i i i ii i

V x x x x xλ λλ λ λ λλ λ

−= − − −−ℓ ℓ

ℓ ℓ

Appuyé – Libre

1 mode rigide

0 1( )V x A x=

rotation de la poutre

Équation caractéristique : tan t h 0λ λ− =ℓ ℓ

tan λℓ

t h λℓ

λℓ1λ ℓ 2λ ℓ/ 2π 3 / 2π 5 / 2π

3λ ℓ 7 / 2π

1 3,9266λ =ℓ 2 7,0686λ =ℓ Puis 24ii iπλ π> ≅ +ℓ

sin

( ) sin shsh

ii i i

i

V x x xλλ λλ

= + ℓ

ℓ

Appuyé - Encastré

Équation caractéristique : tan t h 0λ λ− =ℓ ℓ (cf figure ci-dessus)

1 3,9266λ =ℓ 2 7,0686λ =ℓ Puis 24ii iπλ π> ≅ +ℓ

( )cos ch( ) cos ch sin sh

sin shi i

i i i i ii i

V x x x x xλ λλ λ λ λλ λ

−= − − −−ℓ ℓ

ℓ ℓ

Vibrations des poutres 6/6

6

Appuyé - Appuyé

Équation caractéristique : sin sinh 0λ λ =ℓ ℓ

� i iλ π=ℓ

( ) sin /iV x i xπ= ℓ

Glissant – Libre

1 mode rigide

0 0( )V x A=

translation de la poutre

Équation caractéristique : tan t h 0λ λ+ =ℓ ℓ

tan λℓ

-t h λℓ

λℓ1λ ℓ 2λ ℓ/ 2π 3 / 2π 5 / 2π 3λ ℓ 7 / 2π

1 2,3650λ =ℓ 2 5, 4978λ =ℓ Puis 24ii iπλ π> ≅ − +ℓ

cos

( ) cos chch

ii i i

i

V x x xλλ λ

λ= + ℓ

ℓ

Glissant - Encastré

Équation caractéristique : tan t h 0λ λ+ =ℓ ℓ (cf figure ci-dessus)

1 2,3650λ =ℓ 2 5, 4978λ =ℓ Puis 24ii iπλ π> ≅ − +ℓ

cos

( ) cos chch

ii i i

i

V x x xλλ λ

λ= − ℓ

ℓ

Glissant - Appuyé

Équation caractéristique : cos cosh 0λ λ =ℓ ℓ

� (2 1)2i iπλ = −ℓ

et ( ) cos(2 1)2i

xV x i

π= −ℓ

Glissant – Glissant

1 mode rigide : translation de la poutre 0 0( )V x A=

Équation caractéristique : sin sinh 0λ λ =ℓ ℓ

� i iλ π=ℓ

et ( ) cos /iV x i xπ= ℓ

Votre parcours pédagogique

La suite logique de ce chapitre sur les solutions analytiques est la Recherche d'une solution approchée de

la réponse dynamique d'une poutre par les « méthode d'approximation ».