APPLICATIONS:

Cas de systèmes à 1 degré de liberté

Nkesri. VOM

APPLICATIONS: Règles

• 1) Détermination de l’énergie potentielle:

• - de gravitation

• - élastique

• 2) Détermination de l’énergie cinétique

• 3) Assemblage d’un ensemble de ressorts

• - en parallèle : k=i ki

• - en série: 1/k= i(1/ki)

• 4) Conditions d’équilibre: stable, instable

• 5) Conditions d’oscillation

• 6) Equations du mouvement et solutions

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Détermination de l’énergie potentielle: Cas où Ep dérive d’une force F A/ de gravitation: F = mg

B/ d’un ressort élastique: F=-kx

rdFE p

.

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C) Conditions d’équilibre:

pEF

Conditions d’équilibre :

00

p

pEF

x

E

instable équilibre stable ;équilibre

0

²

²0

²

²

x

E

x

E pp

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A/ Energie potentielle de gravitation (pesanteur)

Ep dérive d’une force de gravitation agissant sur m

A11) Exemples: signe et expression de Ep:

(a) (b)

(c) (d)

Dans les 4 cas, l’origine de Ep(m) est en xo .

Donner le signe de Ep quand la masse m est déplacée en x.

(Ep =0) – xo

0-

0 -

(Ep =0) - xo

x-

x-

x-

x-

(Ep =0) – xo

0 -

0 -

(Ep =0) - xo

gmF

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A12) Cas d’un pendule de longueur L:

0 i) Ep=0 à y=0: quel est le signe de Ep(m) pour θ ≠ 0?

ii) Ep=0 à y =L: ″ ″ ″ ″ ″ ″

L θ

y

A13) Energie potentielle d’une masse accrochée à un ressort:

k m Ep=0

xo Ep(m)? k

x xo-

x Ep(m)?

Dans les 2 cas la masse m est en équilibre en xo

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B) Energie potentielle de déformation élastique

d’un ressort de cte d’élasticité k:

B11)

A comprimé en A’; B allongé en B’

xB – xA = lo ; xB’ – xA’ = l ; Δl = l –lo x

Si la déformation coté A est XA et celle coté B est XB

x= l –lo = |XA|+|XB|

kxF

B A

A’ B’

x

teconsllkE ondéformatiop tan)²(2

1,

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Applications (suite) • Ex.1: masse ponctuelle+ ressort

K

lo K

m

leq

∆leq =leq -lo l(t)= leq+ x(t)

=lo +Δleq +x(t)

K

lo

leq

x(t)

m

Résolution: i) par la mécanique de Newton: mx"+kx=0 avec kleq =mg

ii) par application de l’équation de Lagrange: (q1=x):

Ec =½mx’²; Ep = Epm+ Epk ; Epm= -mgx +cte ;

Ep= -mgx+½K(x+ Δleq)²+ cte : La condition d’équilibre: Ep/x|x=0 =0

donne KΔleq = mg

La solution x(t) est sinusoïdale

0 kxxm

te

eqeqpk ClxKdxlxKE )²(2

1)(

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Applications (suite)

2) Masse ponctuelle + ressort sur un plan incliné d’angle

Ec=½mx’² , Ep=Epm+Epk

k Epk=½k(x+ ∆l)²

x Le poids mg est décomposé en 2

α composantes, l’une // au plan

mg mg//=mgsinα, l’autre perpendiculaire

Epm=-ʃx+∆l mgsinα dx= -mg(x+∆l)sinα +Cte

Ep= ½k(x+ ∆l)² -mg(x+∆l)sinα +Cte

Condition d’équilibre:k(x+∆l)|x=0+mgsinα=0 ou

k∆l+mgsinα=0 Ep= ½k²x +Cte

l’équation du mouvement est inchangée par rapport au

cas (1) précédent.

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Ex.3:Le pendule - simple (a) - le métronome (b)

(a)

m θ

l1

m1

m2

l2

O L

θ

1)Exprimer l’énergie potentielle du système. Conditions d’équilibre

2) Exprimer l’énergie cinétique du système

3) Equation de Lagrange et équation différentielle du mouvement

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4) Masse +tige (sans poids)+ressort

K

O A B

X

m

q

1)Exprimer l’énergie potentielle du système. Déduire les

conditions d’équilibre

2) Exprimer l’énergie cinétique du système

3) Equation de Lagrange et équation différentielle du mouvement

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4bis) Masse +tige (sans poids)+ressorts

k1

L

θ

m

k2

1)Exprimer l’énergie potentielle du système.Conditions

d’équilibre?

2) Exprimer l’énergie cinétique du système

3) Equation de Lagrange et équation différentielle du mouvement

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5) Ressorts + tige pesante (horizontale)

2K 2K

O A B

x q

1)Exprimer l’énergie potentielle du système. Conditions d’équilibre

Condition d’oscillation

2) Exprimer l’énergie cinétique du système

3) Equation de Lagrange et équation différentielle du mouvement

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5bis) Ressorts + tige pesante (verticale)

1)Exprimer l’énergie potentielle du système. Conditions d’équilibre

Condition d’oscillation

2) Exprimer l’énergie cinétique du système

3) Equation de Lagrange et équation différentielle du mouvement

O

q

Nkesri. VOM

5bis) Tige pesante (verticale) + ressort

K θ

M

L

1)Exprimer l’énergie potentielle du système. Conditions d’équilibre

2) Exprimer l’énergie cinétique du système

3) Equation de Lagrange et équation différentielle du mouvement

Nkesri. VOM

6) Cylindre (M,R) +ressort k

Axe de rotation fixe (+masse m)

G

m

K

M,R

L’axe de rotation passe par G et est fixe:

1)Exprimer l’énergie potentielle du ressort

2) Exprimer l’énergie cinétique du système

3) Equation de Lagrange et équation

différentielle du mouvement

Nkesri. VOM

6) Cylindre (M,R) +ressort k

Axe de rotation fixe (+masse m)

L’axe de rotation passe par G et est fixe:

1)Exprimer l’énergie potentielle du ressort

2) Exprimer l’énergie cinétique du système

3) Equation de Lagrange et équation différentielle du

mouvement

G

m

q K

M,R G

m

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6) Cylindre (M,R) +ressort k

Axe de rotation mobile

G G M,R K

Le cylindre peut rouler sans glisser (2 cas a,b)

1)Exprimer l’énergie potentielle du ressort

2) Exprimer l’énergie cinétique du système

3) Equation de Lagrange et équation différentielle du mouvement

(a) (b)

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7) Cylindre +masse + ressort:

- Axe de rotation mobile: le cylindre peut rouler

sans glisser (exemples (a), (b))

θ K

M,R

K

M,R

θ

(a) (b)

1)Exprimer l’énergie potentielle du système. Conditions d’équilibre

2) Exprimer l’énergie cinétique du système

3) Equation de Lagrange et équation différentielle du mouvement

Nkesri. VOM