St2an Vibrations Ondes

7/21/2019 St2an Vibrations Ondes

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VVVIIIBBBRRRAAATTTIIIOOONNNSSS EEETTTOOONNNDDDEEESSS

Universit des Sciences et de la Technologie HouariBoumedine

Facult de Physique

MMMaaannnuuueeellldddeeeCCCooouuurrrsss

DDDeeeuuuxxxiiimmmeeeAAAnnnnnneeedd

eeesssFFF

iiillliiirrreeesssSSSccciiieeennntttiiifffiiiqq

uuueeesssddeeesssUUUnnniiivvveeerrrsssiiitttssseeetttddeeesssEEEcccooollleeesssdd

IIInnngggnnn

iiieeeuuurrrsss

Anne Universitaire 2006-2007

Pr. DJELOUAH Hakim


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Table des matires

1 Introduction aux quations de Lagrange 51.1 Equations de Lagrange pour une particule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Equations de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2 Cas des systmes conservatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.3 Cas des forces de frottement dpendant de la vitesse . . . . . . . . . . . 81.1.4 Cas dune force extrieure dpendant du temps . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Systme plusieurs degrs de libert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Oscillations libres des systmes un degr de libert 112.1 Oscillations non amorties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.1 Oscillateur linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.1.2 Energie Cintique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.1.3 Energie potentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.1.4 Equation diffrentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.1.5 Rsolution de lquation diffrentielle de loscillateur harmonique simple . 13

2.2 Oscillations libres des systmes amortis un degr de libert . . . . . . . . . . . 132.2.1 Equation de Lagrange pour les systmes dissipatifs . . . . . . . . . . . . 142.2.2 Cas particulier des oscillations de faible amplitude . . . . . . . . . . . . . 142.2.3 Rsolution de lquation diffrentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 Oscillations forces des systmes un degr de libert 203.1 Equation diffrentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2 Systme masse-ressort-amortisseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3 Solution de lquation diffrentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3.1 Cas particulier o A(t) = A0 cos(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3.2 Cas dune excitation priodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.4 Impdance mcanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.4.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.4.2 Impdances mcaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.4.3 Puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.4.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

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TABLE DES MATIRES 2

4 Oscillations libres des systmes deux degrs de libert 304.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.2 Systmes deux degrs de libert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.2.1 Systme masses-ressorts en translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.2.2 Cas particulier de deux oscillateurs identiques . . . . . . . . . . . . . . . 344.2.3 Pendules coupls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5 Oscillations forces des systmes deux degrs de libert 405.1 Equations de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.2 Systme masses-ressorts-amortisseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.2.1 Equations diffrentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.2.2 Etude du rgime permanent sinusodal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.3 Impdance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.4 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6 Gnralits sur les phnomnes de propagation 456.1 Propagation une dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6.1.1 Equation de propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.1.2 Solution de lquation de propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.1.3 Onde progressive sinusodale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486.1.4 Superposition de deux ondes progressives sinusodales . . . . . . . . . . . 496.1.5 Vitesse de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516.1.6 Vitesse de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526.1.7 Onde Vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6.2 Propagation en trois dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6.2.1 Equation de propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546.2.2 Onde plane progressive sinusodale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

7 Cordes vibrantes 577.1 Equation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577.2 Ondes progressives harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7.2.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7.2.2 Force en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597.2.3 Impdance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7.3 Oscillations libres dune corde de longueurfinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607.4 Rflexion et transmission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

7.4.1 Rflexion et transmission entre deux cordes semi-infinies . . . . . . . . . 627.4.2 Rflexion sur une impdance quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

8 Ondes acoustiques dans les fluides 648.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

8.2 Equation donde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

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TABLE DES MATIRES 3

8.3 Vitesse du son . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678.4 Onde progressive sinusodale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

8.4.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 688.4.2 Impdance acoustique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

8.4.3 Energie acoustique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 698.5 Reflexion-Transmission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

9 Propagation dune onde lectrique dans une ligne coaxiale 769.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 769.2 Equation de propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 769.3 Solution de lquation de propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 779.4 Onde Progressive sinusodale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

9.4.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 789.4.2 Impdance en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

10 Elments danalyse vectorielle 7910.1 Champ scalaire - Champ vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7910.2 Gradient dun champ scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7910.3 Divergence dun champ vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7910.4 Rotationnel dun champ vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8010.5 Laplacien scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8010.6 Laplacien vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8010.7 Oprateur nabla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8010.8 Thorme de Stokes-Thorme de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

10.8.1 Circulation dun champ vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

10.8.2 Flux dun champ vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8210.8.3 Thorme de Stockes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8210.8.4 Thorme de Gauss-Ostrogradski (ou thorme de la divergence) . . . . . 82

11 Les quations de Maxwell dans le vide 8311.1 Le champ lectromagntique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

11.1.1 Champ lectromoteur et vecteur densit de courant . . . . . . . . . . . . 8311.1.2 Le champ magntique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

11.2 Le rgime variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8511.2.1 Le phnomne de propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

11.2.2 Le phnomne dinduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8511.2.3 Le phnomne de capacit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

11.3 Linduction lectromagntique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8611.3.1 Loi de Faraday-Lenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8611.3.2 Equation de Maxwell-Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

11.4 Le thorme dAmpre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8711.4.1 Equation de continuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8711.4.2 Le thorme dAmpre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89


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TABLE DES MATIRES 4

11.5 En rsum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

12 Propagation des ondes lectromagntiques dans le vide 90

12.1 Equations de propagation pour Eet B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9012.2 Londe plane progressive sinusodale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

12.2.1 Relation de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9212.2.2 Structure de londe uniforme plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

12.3 Onde plane uniforme progressive et sinusodale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9312.3.1 Onde de polarisation rectiligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9312.3.2 Onde de polarisation quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9412.3.3 Notation complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

12.4 Energie lectromagntique : vecteur de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9612.4.1 Onde de forme spatiale et temporelle quelconques . . . . . . . . . . . . . 96

12.4.2 Onde plane progressive et uniforme sinusodale . . . . . . . . . . . . . . 9813 Rflexion et transmission des ondes lectromagntiques 99

13.1 Equations de Maxwell dans les milieux parfaits . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9913.2 Propagation dans les milieux dilectriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10013.3 Relations de passage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10113.4 Lois de Snell-Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10213.5 Formules de Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

13.5.1 Champ lectrique dans le plan dincidence . . . . . . . . . . . . . . . . . 10413.5.2 Champ lectrique perpendiculaire au plan dincidence : . . . . . . . . . . 10613.5.3 Discussion des rsultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

13.6 Rflexion sur un conducteur parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

A Equations diffrentielles 112A.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112A.2 Equation homogne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

A.2.1 Rgime fortement amorti ( > 0 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113A.2.2 Rgime critique (= O ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114A.2.3 Rgime pseudo-priodique ( < 0 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

A.3 Equation avec second membre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118A.3.1 Solution gnrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

A.3.2 Cas particulier o A(t) est constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119A.3.3 Cas particulier oA(t) =A0 cos(t) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120A.3.4 Cas o A(t) est une fonction priodique du temps . . . . . . . . . . . . . 121


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Chapitre 1

Introduction aux quations deLagrange

1.1 Equations de Lagrange pour une particule

1.1.1 Equations de Lagrange

Considrons le cas particulier dune particule astreinte se dplacer, sans frottement, surune courbe plane contenue dans le plan xOy. La courbe sur laquelle est astreinte se dplacer laparticule de massem, est le lieu des points dont les coordonnes vrifient les relation :

z= 0f(x, y) = 0

La premire relation correspond au plan xOy . La seconde relation reprsente lquation dela trajectoire dans ce plan. Ces deux relations dfinissent les quations des liaisons appelessouvent liaisons. Le nombre de degrs de libert est gal au nombre de coordonnes qui repr-sentent la position de m ( trois dans le cas gnral) moins le nombre de liaisons ( deux dans lecas prsent ). La particule possde donc un degr de libert. Il faut choisir une variable qpourreprer sa position. Cette variable est appele coordonne gnralise. Il est possible dexprimerle vecteur positionr de la particule en fonction de la coordonne gnralise qpr la relation :r= r (q).

Soit F la rsultante de toutes les forces agissant sur la particule. La relation fondamentalede la dynamique scrit :

F=md2r

dt2 =m

dv

dt

ov=dr

dtest la vitesse de la particule.

Soit W le travail fourni par la force F lors dun dplacement infinitsimal r :

W = F r



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1.1 Equations de Lagrange pour une particule 6

Le dplacementr peut scrire en fonction de la variation qde la coordonne gnraliseq :

r=r

qq

Dans ce cas le travailWpeut se mettre la forme :

W= F r

qq

On appelle force gnralise conjugue de q, ou q-composante de la force, la quantit Fqdfinie par :

Fq =W

q = F

r

q

Par consquentWscrit :

W =FqqEn tenant compte de la relation fondamentale de la dynamique, cette expression peut ga-

lement scrire :

W =mdv

dt

r

qq

Dautre part :

d

dt

v

r

q

=

dv

dt

r

q+ v

d

dt

r

q

Sachant que

d

dt

r

q

=

q

dr

dt

=

v

q

on obtient

dv

dt

r

q =

d

dt

v

r

q

v v

q

Le vecteur vitessev, peut aussi scrire :

v =dr

dt =

r

q

q

t =

r

qq

Do la relation :

r

q =

v

q

et

dv

dt

r

q =

d

dt

v

v

q

v v

q



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Sachant que

q

1

2v2

=

q

1

2v v

=v

v

q

et que

q

1

2v2

=

q

1

2v v

=v

v

q

on obtient

dv

dt

r

q =

d

dt

q

1

2v2

q

1

2v2

Lexpression du travail Wpeut alors scrire :

W=m ddt q1

2v2 q12v2 q

Si on noteT= 12

mv2 lnergie cintique de la masse m , on obtient finalement :

W =

d

dt

T

q

T

q

q

On obtient finalement les deux expressions quivalentes du travail Wd

dt

T

q

T

q

q= Fqq

On en dduit lquation de Lagrange pour un systme un degr de libert :

d

dt

T

q

T

q =Fq

1.1.2 Cas des systmes conservatifs

Dans les systmes conservatifs, la force applique au systme drive dun potentiel Uet ellescrit :

Fq = Uq

Lquation de Lagrange devient alors :

d

dt

T

q

T

q = U

q

Gnralement lnergie potentielle Une dpend pas de la vitesse, cestdire que U

q = 0.

Lquation de Lagrange peut alors scrire :

d

dt

(T U)

q

(T U)

q = 0



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On introduit la fonction de Lagrange ( ou lagrangien du systme ) qui est la diffrence delnergie cintique et de lnergie potentielle :

L= T

U

Do la forme de lquation de Lagrange dans le cas dun systme conservatif :

d

dt

L

q

L

q = 0

1.1.3 Cas des forces de frottement dpendant de la vitesse

Equation de Lagrange

Considrons une situation physique dans laquelle la particule est soumise des forces de

frottement de viscosit dont la rsultante fest de la forme :f= v

Pour calculer la force gnralise fq correspondante, nous utilisons la dfinition du para-graphe prcdent :

fq = fr

q =

r

q

2 qt

Cette dernire expression peut se mettre sous la forme :

fq = qavec

=

r

q

2Si en plus des forces qui drivent dun potentiel il existe des forces de frottement de viscosit,

lquation de Lagrange scrit :

d

dt

T

q

T

q =FU,q+ fq

oFU,q= Uq

reprsente les forces qui drivent dun potentiel. Do :

d

dt

L

q

L

q = q



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Fonction dissipation

Calculons le travail Wffourni par la force de frottement pendant un intervalle de tempst pour un dplacement r:

Wf= f r= v2 tLa quantit de chaleur Q gagne par le systme en interaction avec la particule, est telle

que :

Q = v2 t

Soit Pd=Q

t la puissance dissipe par les forces de frottement sous forme de chaleur :

Pd = v2

Cette puissance dissipe peut tre exprime en fonction de q, par :

Pd =

dr

dt

2=

r

q

q

t

2=q2

Par dfinition, la fonction dissipation est gale la demi-puissance dissipe :

D=1

2Pd=

1

2q2

Laq-composante fq de la force de frottement peut alors scrire :

fq = Dq

Lquation de Lagrange scrit alors :

d

dt

L

q

L

q +

D

q = 0

1.1.4 Cas dune force extrieure dpendant du temps

Considrons le cas plus gnral dun force extrieure dpendant du temps agissant sur un

systme qui est le sige de forces de frottement qui drivent dune fonction dissipation D. SoitFeq la q-composante de la force extrieure. Dans ce cas lquation de Lagrange peut scriresous lune des deux formes quivalentes suivantes :

d

dt

L

q

L

q =Feq q

d

dt

L

q

L

q +

D

q =Fe,q



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1.2 Systme plusieurs degrs de libert 10

1.2 Systme plusieurs degrs de libert

Dans le cas gnral dun systme plusieurs degrs de libert, il y a autant dquationsde Lagrange que de degrs de libert. Ainsi, si le systme possde N degrs de libert, il est

ncessaire davoir N coordonnes gnralises qi(i= 1, 2,....,N) ; nous aurons ainsi N quationsde Lagrange :

d

dt

L

qi

L

qi+

D

qi=Fe,qi (i= 1, 2,....,N)

La qicomposante de la force gnralise extrieure est dfinie par :

Fe,qi = W

qi

qi6=0

Dans cette expression Wreprsente le travail des forces extrieures rsultant dune variation

qi de la coordonne qi telle que les coordonnes qj6=i soient constantes(qj6=i = 0).



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Chapitre 2

Oscillations libres des systmes undegr de libert

2.1 Oscillations non amorties

2.1.1 Oscillateur linaire

Un systme oscillant un degr de libert est habituellement repr laide dune coor-donne gnraliseqqui est lcart par rapport la position dquilibre stable. Le mouvementvibratoire est dit linaire sil est rgi par une quation diffrentielle harmonique de la forme :

q+ 20q= 0

Cette quation est appele quation diffrentielle de loscillateur harmonique simple.

2.1.2 Energie Cintique

Dans le cas dun systme un degr de libert, constitu dune masse m dont la positionest rpre par la coordonne gnralise q, lnergie cintique scrit :

T =1

2m v2 =

1

2m

r

t

2=

1

2m

r

q

q

t

2=

1

2m

r

q

2q2

Lnergie cintique dun systme un degr de libert est fonction de q et q . Elle peut

scrire sous la forme :

T=1

2a(q) q2

oa(q)est une fonction de la coordonne gnralise q, dfinie dans le cas tudi par :

a(q) =m

r

q

2



13/124

2.1 Oscillations non amorties 12

En faisant un dveloppement limit dea(q)au second ordre enq, au voisinage deq= 0 , onobtient :

T(q, q) =1

2 "a(0) +

a

qq=0q+

1

2

2a

q2 q=0q2 +

#q2

En limitant lapproximation au second ordre, on obtient :

T =1

2a0 q

2

oa0 est une constante gale a (0) .

2.1.3 Energie potentielle

Les oscillations se font autour de la position dquilibre stable q = 0 caractrise parU

q(q= 0) = 0. Il est toujours possible , lorsque les carts par rapport la position dquilibresont faibles, de faire un dveloppement en srie de Taylor de U(q) au voisinage de la positiondquilibre q= 0. En ngligeant les puissances deqdordre suprieur deux, on obtient :

U(q) =U(0) + U

q

q=0

q+1

2

2U

q2

q=0

q2 +

q= 0correspond un minimum deU(q)pour lequel

U

q

q=0

= 0 et 2U

q2

q=0

>0

Si on choisit lorigine de lnergie potentielle cette position dquilibre (U(0) = 0) , lnergiepotentielleU(q) peut scrire sous une forme quadratique :

U(q)'1

2b0 q

2

avec :b0= 2U

q2

q=0

2.1.4 Equation diffrentielle

Lquation de Lagrange scrit :

d

dt

L

q

L

q = 0

Ce qui permet dobtenir lquation diffrentielle de loscillateur harmonique simple o :

20 = b0a0

=

2Uq2

q=0

a0



14/124

2.2 Oscillations libres des systmes amortis un degr de libert 13

Les oscillations dun systme vibratoire seffectuent autour dune position dquilibre stable.Pour des oscillations de faible amplitude autour de la position dquilibre, tous les mouvementsvibratoires peuvent tre assimils des vibrations linaires et lnergie potentielle peut alorstre approxime par une forme quadratique de la coordonne q, tandis que lnergie cintique

peut tre approxime par une forme quadratique en q.

2.1.5 Rsolution de lquation diffrentielle de loscillateur harmo-nique simple

Lquation diffrentielle de loscillateur harmonique simple scrit :

q+ 20 q= 0

La solution dune telle quation est une fonction sinusodale du temps

q(t) =A cos (0 t + )

oA reprsente lamplitude des oscillations, est la phase initiale.Il est important de remarquer que la pulsation propre 0 ne dpend que des lments qui

constituent le systme physique tudi (masse, ressort, etc...) tandis que lamplitude A et laphase initialesont calcules partir des conditions initiales :

q(t= 0) =q0q(t= 0) = q0

Enfin lamplitude des oscillations dun oscillateur harmonique libre ne dpend pas du temps.

De telles oscillations sont dites non amorties.Il faut nanmoins remarquer quau del dune certaine amplitude la vibration devient non

linaire. Il sensuit dabord une modification de la priode des oscillations et ensuite un chan-gement de la nature du mouvement.

2.2 Oscillations libres des systmes amortis un degrde libert

Dans le paragraphe prcdent, nous navons pas tenu compte de certaines ralits physiques.

En eff

et, nous navons pas pris en compte les forces de frottement qui sont lorigine de la pertednergie mcanique du systme sous forme de chaleur. Dans ce paragraphe, nous allons tenircompte de ces ralits en nous limitant toutefois au cas simple o les pertes sont dues desfrottements visqueux pour lesquels les forces de frottement, qui sopposent au mouvement, sontproportionnelles la vitesse .



15/124


2.2.1 Equation de Lagrange pour les systmes dissipatifs

Rappelons lquation de Lagrange associe un systme un degr de libert dont lvo-lution au cours du temps se ramne ltude de la coordonne gnralise q

d

dt

L

q

L

q =Fq

F qreprsente la composante suivantqde la rsultante des forces gnralises qui ne driventpas dun potentiel.

Nous nous intressons au cas particulier des forces de frottement dfinies par la force gn-ralise

Fq =fq = qoest une constante relle positive.

Lquation de Lagrange scrit alors dans ce cas :

d

dt

L

q

L

q = q

2.2.2 Cas particulier des oscillations de faible amplitude

Nous avons montr dans le chapitre prcdent que dans ce cas, la fonction de Lagrangescrit sous la forme :

L=1

2a q2 1

2b q2

Lquation diffrentielle du mouvement scrit alors :

aq+ bq= q

Cest une quation diffrentielle du second ordre coefficients constants qui peut se mettresous la forme :

q+ 2 q+ 20 q= 0

oest un coefficient positif, appel facteur (ou coefficient) damortissement et dfini par :

=

2 a0

0 est la pulsation propre dfinie par

0=

rb0a0


16/124


2.2.3 Rsolution de lquation diffrentielle

La solution de lquation diffrentielle dpend de la valeur de par rapport 0 : Si > 0 , on dit que le systme est suramorti ou apriodique.

Si= 0 , on dit que lon a un amortissement critique. Si < 0 , on dit que le systme est sous-amorti ou pseudopriodique.

Cas o le systme est suramorti ( > 0)

La solution de lquation diffrentielle scrit dans ce cas :

q(t) =A1 e

220

t

+ A2 e

+

220

t

A1 et A2 sont des constantes dintgration dfinies par les conditions initiales. La figureci-dessous reprsenteqen fonction du temps dans le cas particulier o q(0) =q0 et q(0) = 0.

q(t) est une fonction qui tend exponentiellement (sans oscillation) vers zro.

q0

temps

Rgime fortement amorti : variation de q en fonction du temps

Cas de lamortissement critique (= 0)

La solution gnrale de lquation diffrentielle est de la forme :

q(t) = (A1+ A2 t) e t

Dans le cas particulier o q(0) =q0 et q(0) = 0,

q(t) =q0(1 + t) e t

q(t) est encore une fonction qui tend vers zro sans oscillation lorsque le temps augmente.

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q0

temps

Amortissement critique : variation de q en fonction du temps

Cas o le systme est sous-amorti ( < 0)

La solution gnrale de lquation diffrentielle est de la forme :

q(t) =A et cos(A t + )

avec A =p

20 2 ; A et sont deux constantes dintgration dtermines partir desconditions initiales. Dans le cas particulier oq(0) =q0 et q(0) = 0, on obtient :

A = 0A

q0

= arctan

A

q0

temps

0

TA

Systme faiblement amorti : variation de q en fonction du temps


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La figure reprsente les variations de q(t) au cours du temps. On remarque que q(t) estenveloppe par les deux fonctions exponentielles : 0

Aq0 e

t.Le lieu des maxima est obtenu en rsolvant q(t) = 0. Ce qui donne :

tan(At + ) = A

= tan ()

do lon tire linstant tn correspondant au n-ime maximum :

tn=n2

A

Les maxima de q(t)sont spars par des intervalles rguliers gaux

TA= 2

A

TAest appele la pseudo-priode. On remarque que , en plus de la diminution de lamplitudedes oscillations au cours du temps, lun des effets de lamortissement est laugmentation de lapriode des oscillations. Pour des systmes faiblement amortis (


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Equation diffrentielle du mouvement Considrons le cas dune massem oscillant ver-ticalement et relie un bti fixe par un ressort de raideur k et un amortisseur de coefficientde frottement visqueux . Reprons par x lcart de la masse m par rapport la positiondquilibre.Lquation de Lagrange scrit :

d

dt

L

q

L

q = x

Sachant queT = 12

mx2 et queU= 12

kx2 , la fonction de Lagrange se met sous la forme

L=1

2mx2 1

2k x2

On obtient lquation diffrentielle du mouvement

m x + x + k x= 0Cette quation peut scrire sous la forme dune quation diffrentielle du second ordre

coefficients constants

x + 2 x + 20 x= 0

o 0 etsont des constantes positives appeles respectivement la pulsation propre et lefacteur damortissement ; elles sont donnes par les relations suivantes

=

2 m et 0 = r

k

m

Systme mcanique en rotation

Considrons un pendule simple constitu par une masse ponctuelle m relie un axe derotation fixe par une tige de masse ngligeable, qui effectue des oscillations de faible amplitudedans un plan vertical. Ce dispositif est un systme un degr de libert dont on repre laposition par langle par rapport la verticale. Le systme est immerg dans un fluide dont lesforces de viscosit se ramnent une force sexerant sur la masse m et donne par la relation

f= v

Lquation de Lagrange qui rgit le mouvement dun tel dispositif scrit :

d

dt

L

q

L

q = l2

Lquation diffrentielle du mouvement scrit alors :

m l2+ l2 + m g l = 0



20/124


+ 2 + 20 = 0

o la pulsation propre 0 et le facteur damortissementsont respectivement donns par :

0=rg

l et =

2 m



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Chapitre 3

Oscillations forces des systmes undegr de libert

3.1 Equation diffrentielle

Rappelons la forme gnrale de lquation de Lagrange pour les systmes un degr delibert :

d

dt

L

q

L

q +

D

q =Fqext

oFqext est la force gnralise associe Fext et o la fonction dissipation estD =1

2q2.

Pour les oscillations de faible amplitude, la fonction de Lagrange pouvait se mettre sous uneforme quadratique deqet q

L=1

2a0 q

2 12

b0 q2

Do lquation diffrentielle du mouvement

a0q+ q+ b0 q= Fqext

Cette quation peut se mettre sous la forme dune quation diffrentielle du second ordre coefficients constants, avec second membre

q+ 2 q+ 20q= A(t)

avec

=

2a0, 0 =

rb0a0

etA(t) =Fqext

a0



22/124

3.2 Systme masse-ressort-amortisseur21

3.2 Systme masse-ressort-amortisseur

m

F(t)

k

x

Systme masse-ressort-amortisseur

Considrons lexemple mcanique de la figure ci-dessus soumis une force extrieure F(t)applique la masse m. Calculons la force gnralise Fx conjugue de la coordonne x. Pourcela nous pouvons utiliser lune des deux mthodes suivantes :

Soit calculer le travaildWde la force F(t)pour une variation drde son point dapplication

dW= F dr= F dx

On en dduit lax-composante de la force extrieure

Fx =dW

dx =F(t)

Soit utiliser la dfinition de la force gnralise

Fx = F r

x=F(t)

Lquation diff

rentielle du mouvement scrit alors

x + 2x + 20x= A(t)

avec :

= /2m, 0 =

rk

m et A(t) =F(t)/m



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3.3 Solution de lquation diffrentielle 22

3.3 Solution de lquation diffrentielle

La solution de cette quation diffrentielle du second ordre est gale la somme de la solutionde lquation sans second membre (ou solution homogne) x

H(t)et dune solution particulire

de lquation avec second membre xP(t):

x(t) =xH(t) + xP(t)

Nous avons dj tudi lquation sans second membre xH(t) et nous savons que cettesolution contient dans tous les cas le terme exponentiel et . Aprs un temps t suprieur 3/ou4/, le termeet devient trs petit et la solution homogne est alors pratiquement nulle. Il nesubsistera que la solution particulire de lquation avec second membre. Lintervalle de tempspendant lequel la solution homogne est non ngligeable est appel le rgime transitoire. A lafin de ce rgime transitoire commence lintervalle de temps pour lequel la solution homogne

est quasi-nulle et pour lequel la solution x(t)' xp(t) ; ce rgime est appel rgime permanentou stationnaire.

3.3.1 Cas particulier o A(t) = A0 cos(t)

a) Calcul de la solution permanente laide de la mthode des nombrescomplexes

Pourtsuffisamment grand, nous pouvons considrer que la solution transitoire sest annuleet que la solution x(t)sidentifie alors avec la solution particulire :x(t)' xP(t). Par commodit

de notation lindice p est sous-entendu dans ce qui suit. La mthode des nombres complexespermet de calculer aisment la solution stationnaire.

Soit le dplacement complexe reprsent par le nombre complexe X = X ejt, avec X =X0 ej. Nous pouvons considrer, en outre, que A(t) =A0 cos(t) constitue la partie relle dunombre complexe A = A0 e

jt. Lquation diffrentielle se transforme en une simple quationalgbrique en fonction de lamplitude complexeX :

20 2

+j 2

X=A0

dont la solution est :

X= A0(20 2) +j 2

Do lon tire lamplitudeX0 et la phase:

X0= A0q

(20 2)2 + 4 2 2

= arctan 2 20 2


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b) Etude des variations de lamplitude et de la phase en fonction dela pulsation de lexcitation

Le maximum de lamplitude est obtenu pour la valeur de

qui annule

dX0

d .Il existe un maximum la pulsation R =

p20 22 seulement si lamortissement est

suffisamment faible pour que < 0/

2. A cette pulsation appele pulsation de rsonance, ondit que le systme entre en rsonance et lamplitude X0 est maximale ; elle vaut :

X0max= A0

2p

20 2La figure reprsentant les variations de X0 en fonction de la pulsation dexcitation est

appele courbe de rsonance en amplitude. On remarque qu la pulsation 0, le dphasage

est gal

2 , et qu la rsonance = arctanp20

22

!.

A 0

0

2

0 2 R

A0

0

2 2

2

> 0 2/

< 0 2/

X 0

0

Amplitude X0 en fonction de

o

/2

0

Dphasage en fonction de

c) Etude de la rsonance pour les faibles amortissements

Dans le cas des faibles amortissements (

25/124


o lamplitude complexe de la vitesse est dfinie par

X=jX= j A0

(20

2) +j 2

Ltude des variations de lamplitude de la vitesse en fonction de la pulsation dexcitationmontre que, quelle que soit la valeur de , la rsonance en vitesse est obtenue pour = 0(voir figure ci-dessous). La valeur maximale de lamplitude de la vitesse vaut dans ce cas :

Xmax= X(0) =A02

0 2 0

A 0

2

&X 0

Courbe de rsonance de la vitesse

o

/ 2

0

/2

Dphasage de la vitesse en fonction de

e) Bilan nergtiqueSoit PF(t) la puissance instantane fournie par la force extrieure F(t) au systme. En

rgime permanent, on obtient :

PF(t) =F(t) x(t) =F0 X0cos(t) cos(t + )

Soit < PF >la valeur moyenne sur une priode dePF(t) :

< PF >=1

2F0 X0 cos()

En tenant compte de lexpression de X0 en fonction de F0, on obtient :

< PF >=1

2 X20

Comparons cette valeur la valeur moyenne< PD >de la puissance dissipe par les forcesde frottement de viscosit. La valeur instantane de cette puissance dissipe scrit :

PD(t) =x2 = X20cos

2(t + )

Do lon tire la valeur moyenne sur une priode :

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< PD >=1

2 X20

Ltude des variations de la valeur moyenne de la puissance =< PF

>=< PD

> enfonction de la pulsation dexcitation montre que la valeur maximale de la puissance moyenneest obtenue pour = 0 quelle que soit la valeur de . La valeur maximale de la puissancemoyenne dissipe ou fournie vaut dans ce cas

max=F202

La figure ci-dessous reprsente les variations, en fonction de , de la puissance moyennedissipe par les forces de frottements ( ou de la puissance moyenne fournie par la force extrieure).

< >P max

< >P max

2

0

< >P

1 2

B

Courbe de rsonance pour la puissance

f) Bande passante

On dfinit par bande passante, la bande des pulsations autour de = 0 pour lesquellesmax/2. Les deux pulsations 1 et 2 ,situes de part et dautre de la pulsation0 et pour lesquelles =max /2, sont appeles pulsations de coupure. La bandepassante B scrit :

B= 2 1Le calcul de Bconsiste rechercher les deux pulsations pour lesquelles =max/2.

On obtient lexpression de la bande passanteB :


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3.4 Impdance mcanique 26

B= 2 1= 2

g) Coeffi

cient de qualit dun oscillateurLe coefficient de qualit dun oscillateur est dfini par le rapport de la pulsation propre 0 la largeur de bandeB :

Q=0

B

3.3.2 Cas dune excitation priodique

Nous avons tudi dans le paragraphe prcdent la rponse dun systme vibratoire uneexcitation sinusodale dite excitation harmonique. En pratique, les excitations mcaniques nesont pas toujours parfaitement sinusodales ; elles sont souvent priodiques. En considrant lecas dexcitations priodiques, nous procderons une gnralisation du cas harmonique.

Soit une excitation priodique applique un systme amorti un degr de libert. Lqua-tion diffrentielle qui rgit ce systme scrit :

q+ 2 q+ 20 q= A(t)

La fonctionA(t)tant priodique, de priode T, son dveloppement de Fourier scrit :

A(t) =a0

2 +

Xn=1 ancos(nt) + bnsin(nt)Lquation diffrentielle scrit alors :

q+ 2 q+ 20 q=a0

2 +

Xn=1

ancos(nt) + bnsin(nt)

La rponse permanente ( ou stationnaire ) qui sidentifie avec la solution particulire, pourt suffisamment lev, peut alors tre calcule pour chacune des composantes de lexcitation :a0/2,ancos(nt),bnsin(nt). On obtient alors par superposition :

q(t) = a0220

+

Xn=1

ancos(nt + n

) + bnsin(nt + n

)q(2n 20)2 + 422n

3.4 Impdance mcanique

3.4.1 Dfinition

Considrons un systme mcanique soumis une force sinusodale F(t) =F0cos (t). Enrgime permanent, le point dapplication de cette force se dplace avec une vitesse v (t) =


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V0cos (t + ) . On appelle impdance mcanique dentre du systme mcanique, le rapportdes amplitudes complexes de la force Fet de la vitessev

ZE=F

V

3.4.2 Impdances mcaniques

Amortisseur

Dans le cas dun amortisseur, la force applique est relie la vitesse par

F =v

On en dduit limpdance complexe dun amortisseur

Z=

Masse

Dans le cas dune masse, la relation fondamentale de la dynamique scrit

F=mdv

dt

On en dduit limpdance complexe dune masse

Zm = jm =m ej 2

Ressort

Dans le cas dun ressort de raideur k, la force appliquefapplique au ressort sexprime enfonction de lallongement par

f=k x

On en dduit limpdance complexe dun ressort

Zk= k

j=

jk

= k

ej2

3.4.3 Puissance

La valeur moyenne, sur une priode, de la puissance fournie est

< PF>=1

2F0 X0 cos() =

1

2Re

ZE

X20


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3.4.4 Applications

Systme mcanique rsonant

Soit un systme mcanique constitu dun ressort de raideur k, dun amortisseur de coef-ficient de frottement visqueux et dune masse m soumise une force sinusodale F(t) =F0cos (t). Limpdance dentre de ce systme est

ZE= +j

m k

A la rsonance

=0 =

rk

m

!, le module de limpdance estZE=. Lorsque la pulsa-

tion , limpdanceZE'jm.

|ZE

|

0

m

40

30

20

0

0

Module de limpdance dentre

|V|

F0

/

40

30

20

0

00

Amplitude de la vitesse

Systme antirsonant

Considrons un circuit constitu par un ressort de raideur k dont une extrmit est relie une massem et dont lautre est soumise une force sinusodale F(t). Soitx le dplacement

de la masse m et soit y le dplacement du point dapplication de la force F(t). Pour calculerlimpdance dentre de ce systme, nous devons dabord crire les quations diffrentielles dumouvement :

mx = k (x y)F = k (x y)

En utilisant la notation complexe, on obtient limpdance dentre :



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ZE=F

Y= j km

mk

La pulsation dantirsonance est 0 =

rk

m. Lorsque = 0, la vitesse Y est nulle tandis

que le module de limpdance est. Lorsque la pulsation , limpdanceZE 0.

0

|ZE

|

4

03

02

0

00

Module de limpdance dentre

F0

/k|V|

4

03

02

0

00

Amplitude de la vitesse



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Chapitre 4

Oscillations libres des systmes deuxdegrs de libert

4.1 Introduction

Les systmes qui ncessitent deux coordonnes indpendantes pour spcifier leurs positionssont appels systmes deux degrs de libert.

Exemples

k1

m1

m2

k

k2

x1

x2

k1 k2

M x

l1

m1

m2

l2x1

x2

y 1 y2

y

x

2

1

Figure 1 Figure 2 Figure 3

Figure 1 Si les massesm1etm2sont astreintes se dplacer verticalement, 2 coordonnesx1 etx2 sont ncessaires pour spcifier la position de chaque masse chaque instant.

Figure 2 Si la masse Mest astreinte se dplacer dans un plan vertical, deux coordonnessont ncessaires pour spcifier la configuration du systme. Lune de ces coordonnespeut tre le dplacement x qui correspond la translation verticale de la masse. Lautrecoordonne peut tre le dplacement angulaire pour tenir compte de la rotation de lamasse. Ces deux coordonnes sont indpendantes lune de lautre.

Figure 3Dans le cas du double pendule, deux coordonnes sont ncessaires pour spcifierla position des massesm1etm2. Plusieurs choix sont pourtant possibles, en effet on peutchoisir(x1, x2)ou (y1, y2)ou(1, 2).



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4.2 Systmes deux degrs de libert 31

Il est possible de spcifier la configuration dun systme laide de plusieurs ensembles decoordonnes indpendantes ; un ensemble quelconque de ces coordonnes est appel coordonnesgnralises. Il y a autant dquations de Lagrange que de degrs de libert ou de coordonnes

gnralises. Pour ltude des systmes deux degrs de libert, il est ncessaire dcrire deuxquations diffrentielles du mouvement que lon peut obtenir partir des quations de Lagrange

d

dt

L

q1

L

q1= 0

d

dt

L

q2

L

q2= 0

4.2 Systmes deux degrs de libert

4.2.1 Systme masses-ressorts en translation

x2x1

k1 k2Km1 m2

Considrons le systme ci-dessus, constitu de deux massesm1etm2 relies respectivementpar deux ressorts de raideur k1et k2 deux btis fixes. Les deux masses sont relies par unressort de raideur K. Ce ressort est appel ressort de couplage.

Equations diffrentielles du mouvement

Les quations du mouvement pour ce systme deux degrs de libert peuvent tre obte-nues partir des quations de Lagrange pour chaque coordonne x1(t) et x2(t). Soit T et U

respectivement lnergie cintique et lnergie potentielleT = 1

2m1 x21 +

12

m2 x22U = 1

2k1 x

21+

12

K (x1 x2)2 + 12 k2 x22U= 1

2 (k1+ K) x21+

12

(k2+ K) x22 Kx1x2Le lagrangienL = T Uscrit alors

L =1

2m1 x

21 +

1

2m2 x

22

1

2 (k1+ K) x

21

1

2 (k2+ K) x

22+ Kx1x2

Les quation de Lagrange scrivent



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d

dt

L

x1

L

x1= 0

d

dt L

x2 Lx2 = 0Do le systme dquations diffrentielles du mouvement

m1x1+ (k1+ K) x1 Kx2= 0m2x2+ (k2+ K) x2 Kx1= 0

Les termes Kx2 etKx1 qui apparaissent respectivement dans la premire et la secondequation sont appels termes de couplage, et les deux quations diffrentielles sont dites cou-ples.

Rsolution des quations diffrentiellesLes deux solutions de ces deux quations diffrentielles sont des fonctions priodiques et sont

composes de deux fonctions harmoniques de pulsations diffrentes et damplitudes diffrentes.Supposons que lune de ces composantes harmoniques scrive

x1(t) =A1 cos(t + )x2(t) =A2 cos(t + )

oA1,A2 et sont des constantes et lune des pulsations propres du systme. La substi-tution dex1 etx2 dans le systme dquations diffrentielles donne

[k1 + K m1 2] A1 K A2 = 0K A1 + [k2 + K m2 2] A2 = 0Ce qui constitue un systme dquations linaires homognes dont les inconnues sont A1 et

A2. Ce systme admet une solution non identiquement nulle seulement si le dterminant ()des coefficients deA1 etA2 est gal zro.

() =

[k1 + K m1 2] K

K [k2 + K m2 2]

Le dterminant () est appel dterminant caractristique. Lquation () = 0 estappele lquation caractristique ou quation aux pulsations propres. Elle scrit

k1 + K m1 2

k2 + K m2 2 K2 = 0

ou encore

4 2

k1 + K

m1+

k2 + K

m2

+

k1k2 + k1K + k2K

m1 m2= 0

Cette quation est une quation quadratique en qui admet deux solutions relles positives1 et2 appeles les pulsations propres du systme



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Cet exemple montre quil y a en gnral deux pulsations propres dans un systme deuxdegrs de libert. Chacune des coordonnes, x1etx2, possde deux composantes harmoniquesde pulsations1et2

x1=A11cos(1t + 1) + A12cos(2t + 2)x2=A21cos(1t + 1) + A22cos(2t + 2)

o A11, A12, A21, A22, 1 et 2 sont des constantes. Le terme de plus basse frquencecorrespondant la pulsation1 est appel le fondamental. Lautre terme, de pulsation 2, estappel harmonique.

Les doubles indices sont utiliss pour les amplitudes des diffrentes composantes harmo-niques ; le premier indice se rfre la coordonne et le second la pulsation. Par exempleA12est lamplitude dex1(t) la pulsation 2.

Lorsque A12 = A22 = 0, x1etx2 correspondent la premire solution particulire sont des

fonctions sinusodales, en phase, de pulsation 1 ; on dit que le systme oscille dans le premiermode. Dans ce cas

x1 = A11cos(1t + 1)x2 = A21cos(1t + 1)

LorsqueA11 = A21= 0,x1etx2 correspondent la seconde solution particulire et sont desfonctions sinusodales, en opposition de phase, de pulsation 2 ; on dit que le systme oscilledans le second mode. Dans ce cas

x1 = A12cos(2t + 2)

x2 = A22cos(2t + 2)

Etudions les particularits de ces deux solutions particulires : La premire solution particulire scrit :

x1=A11cos(1t + 1)x2=A21cos(1t + 1)

x1 etx2 doivent vrifier le systme dquations diffrentielles, ce qui donne

[k1 + K m1 21] A11 K A21 = 0

K A11 + [k2 + K m2 21] A21 = 0

Ces deux quations permettent dobtenir le rapport des amplitudes dans le premier modeou fondamental

1 = A21

A11=

k1 + K m1 21K

= K

k2 + K m2 21



35/124


La seconde solution particulire scrit :

x1=A12cos(2t + 2)x2=A22cos(2t +

2)

x1 etx2 doivent vrifier le systme dquations diffrentielles, ce qui donne [k1 + K m1 22] A12 K A22 = 0 K A12 + [k2 + K m2 22] A22 = 0

Ces deux quations permettent dobtenir le rapport des amplitudes dans le second modeou harmonique

2 = A22

A12=

k1 + K m1 22K

= K

k2 + K

m2 22

La solution gnrale (x1, x2) est une combinaison linaire de ces deux solutions parti-cuires.x1etx2scrivent alors

x1 = A11cos (1t + 1) + A12cos (2t + 2)

x2 = 1 A11cos (1t + 1) + 2 A12cos (2t + 2)

oA11, A12, 1 et2 sont des constantes dintgration dont les valeurs sont fixes par lesconditions initiales.

4.2.2 Cas particulier de deux oscillateurs identiquesCalcul des constantes dintgration

Considrons le cas particulier de deux oscillateurs identiques tels que m1 = m2 = m etk1 = k2= k. Dans ce cas les pulsations propres sont respectivement gales

1 =q

km

2 =q

k+ 2Km

= 1

q1 + 2 K

k

Les rapports damplitudes correspondant ces pulsations sont respectivement 1 = +1et2 = 1.

Soitx10, x20, x10 et x20 les valeurs initiales respectives de x1, x2, x1 et x2 . Tenant compte deces conditions initiales, on obtient le systme dquations suivant qui permet de dterminer lesconstantes dintgrationA11,A12,1 et2

A11 cos(1) + A12 cos(2) =x10A11 cos(1)A12 cos(2) =x201A11 sin(1) 2 A12 sin(2) = x101A11 sin(1) + 2 A12 sin(2) = x20

Les solutions de ce systme dquations sont



36/124


A11 = x10+ x202 cos(1)

et A12 = x10 x202 cos(2)

ou encore

A11 = x10+ x2021 sin(1)

et A12 = x20 x1022 sin(2)

1. Considrons le cas particulier suivantx10 =x20 =x0 et x10 = x20 = 0 ; on obtient dansce cas1 = 2= 0, A12 = 0 et A11 =x0 ; do

x1 = x0 cos(1t)x2 = x0 cos(1t)

Pour ces conditions initiales particulires, les deux masses oscillent en phase la mme

pulsation1. On dit que le systme oscille dans le premier mode.

-x0

x0

x1

x2

temps

temps

-x0

x0

2. Considrons un autre cas particulier pour lequelx10 = x20 =x0 et x10 = x20 = 0 . Onobtient dans ce cas 1 = 2 = 0,A11 = 0 et A12=x0 ; do

x1=x0 cos(2t)x2= x0 cos(2t)

On dit que le systme oscille dans le second mode car les deux masses oscillent en oppo-

sition de phase avec le mme pulsation 2.



37/124


x0

-x0

x1

x2

temps

temps

x0

-x0

3. Considrons enfi

n le cas particulier suivant x10 = x0, x20 = 0 et

x10 =

x20 = 0 ; do1 = 2 = 0,A11 = A12 = x0/2. Les solutions scrivent alors sous la forme

x1(t) = x0

2cos (1 t) +

x02

cos (2t)x2(t) =

x02 cos (1 t) x02 cos (2 t)

Les solutions ne sont plus des fonctions purement sinusodales du temps mais des combi-naisons linaires de deux fonctions sinusodales de pulsations respectives 1 et2.x1 etx2 peuvent scrire sous la forme

x1(t) = x0 cos2 1

2 t

cos

2+ 1

2 t

x2(t) = x0 sin

2 12

t

sin2+ 1

2 t

La figure suivante reprsente le rsultat obtenu dans le cas o 1 est trs diffrent de2(cest- -dire siK >> k).

x0

0-x

0-x

x0

temps

temps

x1

x2

Si 1 est peu diffrent de2 (cest- -dire siK


38/124


temps

temps

-x0

x0

x1

x2

-x0

x0

Coordonnes principales

Considrons les coordonnes p1 et p2 obtenues partir des coordonnes x1 et x2 par lesrelations

p1 = x1 + x2

2

p2 = x1 x2

2

Tenant compte des expressions de x1 et x2 et des valeurs particulires de 1 et 2 pourlexemple tudi, on obtient

p1 =

x02 cos(1t)

p2 = x0

2 cos(2t)

On remarque que, quelles que soient les conditions initiales, p1 et p2 sont des fonctionspurement sinusodales du temps de pulsations respectives1et 2. Ces coordonnes particuliressont appeles coordonnes principales. On peut vrifier que le systme dquations diffrentiellesqui rgit le mouvement du systme considr scrit sous la forme de deux quations dcouples

p1+ 21 p1= 0

p2+ 22 p2= 0

Les relations inverses suivantes

x1=p1+p2x2=p1 p2

permettent dobtenir les coordonnes x1etx2 partir des coordonnes principales p1 etp2.



39/124


4.2.3 Pendules coupls

Considrons le cas de deux pendules simples identiques coupls par un ressort de raideur Ket qui effectuent des oscillations de faible amplitude repres par les angles1et2.

mm

ll

K1 2

Etablissons tout dabord les quations diffrentielles du mouvement dans le cas des oscilla-tions de faible amplitude. Il est ais de montrer que lnergie cintique et lnergie potentiellescrivent sous les formes quadratiques suivantes

T= 12

ml2 2

1 + 12

ml2 2

2

U= 12[Kl2 + mgl] 21+

12[Kl2 + mgl] 22 Kl212

On remarque la prsence du terme de couplage Kl212 dans lexpression de lnergiepotentielle. Comme dans lexemple prcdent, on dit que le couplage est lastique. Si le termede couplage nexiste que dans lexpression de lnergie cintique, on dit que le couplage est detype inertiel.

Les quations de Lagrange permettent dobtenir les quations diffrentielles du mouvement

ml21+ [Kl2 + mgl] 1 Kl22= 0Kl21+ ml22+ [Kl2 + mgl] 2= 0

En labsence damortissement la solution de ce systme dquations diffrentielles est de laforme

1(t) =A1 cos(t + )2(t) =A2 cos(t + )

Ces deux expressions doivent satisfaire le systme dquations diffrentielles, do

[Kl2 + mgl ml22] A1 Kl2A2= 0Kl2A1+ [Kl2 + mgl ml22] A2 = 0

Ce systme dquations admet des solutions non nulles seulement si est solution de lqua-tion aux frquences



40/124


Kl2 + mgl ml222 K2l4 = 0

Do lon tire lexpression des pulsations propres 1et2

1=

rg

let2 =

rg

l +

2K

m

Les solutions du systme dquations diffrentielles sont donc

1 =A11cos(1t + 1) + A12cos(2t + 2)2 =A21cos (1t + 1) + A22cos (2t + 2)

Pour calculer les rapports des amplitudes dans les modes, on suppose que le systme oscillesoit dans le premier mode soit dans le second mode. Dans le premier mode, on obtient le systme

[Kl2 + mgl ml221]Kl21= 0Kl2 + [Kl2 + mgl ml221] 1= 0

Dans le second mode, on obtient

[Kl2 + mgl ml222]Kl22= 0Kl2 + [Kl2 + mgl ml222] 2= 0

Tenant compte des expressions de 1et2 on obtient les valeurs du rapport des amplitudesdans les modes 1 = +1 et 2 =1. Les solutions du systme dquations diffrentiellesscrivent alors

1 = A11cos (1t + 1) + A12cos (2t + 2)2 = A11cos (1t + 1)A12cos (2t + 2)



41/124

Chapitre 5

Oscillations forces des systmes deux degrs de libert

5.1 Equations de Lagrange

Soit un systme deux degrs de libert, soumis des forces qui drivent dun potentiel, des forces de frottement de viscosit et des forces extrieures. Si les coordonnes gnralisessontq1 etq2, les quations de Lagrange scrivent :

d

dt

L

q1

L

q1+

D

q1= Fq1

d

dt L

q2 Lq2 +Dq2 = Fq2Dans cette expression Fq1 et Fq2 sont les forces gnralises conjugues des coordonnes

gnralises respectivesq1 etq2. Elles sont respectivement dfinies par

Fq1 = W

q1

q16=0q2=0

, dans cette expressionW1reprsente le travail des forces extrieures pour

une variationq1 de la coordonneq1, lorsqueq2 = 0.

Fq2 = W

q2

q1=0q26=0

, dans cette expressionW2reprsente le travail des forces extrieures pour

une variationq2 de la coordonneq2, lorsqueq2 = 0.

5.2 Systme masses-ressorts-amortisseurs

Pour tudier les particularits des oscillations forces des systmes deux degrs de libert,tudions le systme symtrique suivant soumis une force horizontale F, applique la premiremasse.



42/124

5.2 Systme masses-ressorts-amortisseurs 41

mmK

k k

x1

x2

F

5.2.1 Equations diff

rentiellesLes quations diffrentielles du mouvement scrivent :

mx1+ (k+ K) x1+ x1 Kx2 = FKx1+ mx2+ (k+ K) x2+ x2 = 0

5.2.2 Etude du rgime permanent sinusodal

Solution permanente

La solution gnrale de systme dquations diffrentielles est gale la solution de la solu-

tion du systme homogne et dune solution particulire. La solution de lquation homogne,en raison de lamortissement, tend vers zro lorsque le temps augmente. Lorsque le rgimepermanent stablit, la solution devient gale la solution permanente et scrit alors :

x1 = X1cos (t + 1)

x2 = X2cos (t + 2)

Pour calculer les amplitudes X1 etX2, ainsi que les phases 1 et2, utilisons la mthodesdes nombres complexes. On peut ainsi crire :

x1 = Re X1 ejt x2 = Re X2 ejt F = Re F ejtDans ces expressions les amplitudes complexes sont dfinies par

X1= X1 ej1 X2 =X2 e

j2 F=F0 ej0

Dans ce cas les quations diffrentielles se transforment en quations algbriques : (k+ Km2 +j) X1 KX2 = FKX1+ (k+ Km2 +j) X2 = 0



43/124

5.2 Systme masses-ressorts-amortisseurs 42

Amortissement ngligeable

Considrons dabord le cas dun amortissement suffisamment faible pour que lon puisseconsidrer que ' 0. Le systme dquations diffrentielles scrit alors (k+ Km2) X1 KX2 = F

KX1+ (k+ Km2) X2 = 0Les solutions de ce systme sont :

X1 = F

m

(2A 2)(21 2) (22 2)

X2 = KF

m21

(21 2) (22 2)

Les pulsations1 = rkmet2= rk+ 2Km sont les pulsations propres calcules au chapitreprcdent. La valeur de la pulsation A est :

A=

rk+ K

m

Les amplitudes des dplacements X1 etX2 sont alors donnes par

X1 = F

m

|2A 2||21 2| |22 2|

X2 = KF

m2

1

|2

1 2

| |2

2 2

|Les variations des amplitudes X1 etX2 sont reprsentes sur les figures ci-dessous

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,00

5

10

A

2

1

X1

Variation de X1 en fonction de

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,00

5

10

A

2

1

X2


On remarque que le phnomne de rsonance se produit pour X1 comme pour X2 lorsque lapulsation dexcitation est gale lune des pulsations propres1ou2du systme. Lamortis-sement tant trs faible, les amplitudes la rsonance sont trs importantes. Lorsque la pulsa-tion devient trs grande, ces amplitudes tendent vers zro. Enfin lorsque = A, lamplitudeX1 est gale zro ; pour cette raison, la pulsation A est appele pulsation dantirsonance.



44/124

5.3 Impdance 43

5.3 Impdance

Considrons le systme deux degrs de libert tudi dans le paragraphe prcdent danslequel nous supposons que lamortissement est nul (' 0). En rgime stationnaire, on obtientpour lamplitude complexe de la vitesse X1 :

X1 = j

m

2 2A(2 21) (2 22)

F

On en dduit limpdance dentre :

ZE= F

X1=j

m

(2 21) (2 22)2 2A

Lesfi

gures ci-dessous donnent les variation de

X etZEen fonction de

. On note le ph-nomne de rsonance lorsque la pulsation dexcitation est gale lune des deux pulsationspropres 1 ou2. A ces pulsations, le module de limpdance dentre est nul. Enfin, lorsque est gale la pulsation dantirsonance A, la vitesse de la premire masse est nulle et lemodule de limpdance dentre est infini. Lorsque ,ZE'm.

X1

2

A

10


ZE

m

A

2

10

Variation de|ZE|en fonction de

5.4 Application

Le phnomne dantirsonance peut tre avantageusement utilis pour supprimer une vibra-tion rsultant dune rsonance dans un systme mcanique.

Considrons le systme deux degrs de libert de la figure ci-dessous.



45/124

5.4 Application 44

k

m

xF1

M

K

x2

Deux degrs de libert

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,00

2

4

6

8

10

12

14

A

X1

Variation de X1 en fonction de .

Les quations diffrentielles du mouvement scrivent mx1+ x1+ (k+ K) x1 Kx2 = F

Kx1+ mx2+ Kx2 = 0

En rgime permanent sinusodal, on obtient

X1=F0m

2 KM

4 + 2

k+Km

+ KM

kKmM

+j

m2 K

M

X2=

KF0

Mm

14 + 2 k+Km + KM kKmM+j m 2 KMLorsque la pulsation de la force excitatrice est gale A =

qKM

, la masse m est immobile

(X1 = 0).Si on choisit K etM telles que k

m = K

M (cest--dire telles que 0 = A), la masse m est

immobile lorsque la pulsation excitatrice est gale 0 =q

km

=q

KM

. Dans ces conditions,

lajout de M et K permet dannuler la vibration de m cette pulsation. Un tel dispositifconstitue un touffeur dynamique de vibrations.



46/124

Chapitre 6

Gnralits sur les phnomnes depropagation

6.1 Propagation une dimension

6.1.1 Equation de propagation

Dans les phnomnes vibratoires traits dans les chapitres prcdents, nous nous sommesintresss des phnomnes ou des grandeurs physiques qui dpendaient dune seule variable,le temps. Nous allons maintenant examiner toute une une srie de phnomnes qui sont dcritspar une fonction qui dpend la fois du temps tet dune variable despace , xpar exemple.

Ces phnomnes sont rgis par une quation aux drives partielles, appele quation donde

ou quation de propagation une dimension de la forme :

2s

x2 1

V22s

t2 = 0 (6.1)

dans laquelle Vest une grandeur physique qui a les dimensions dune vitesse et sera appeledans la suite vitesse de propagation.

6.1.2 Solution de lquation de propagation

Mthode de DAlembert

Pour rsoudre lquation des ondes une dimension, oprons le changement de variablesuivant :

= t xV

(6.2)

= t + x

V (6.3)

Calculons les drives partielles par rapport tet x, en fonction des drives partielles parrapport et.



47/124

6.1 Propagation une dimension 46

Sachant que :

t =

t = 1et que

x=

x=

1

V (6.4)

on obtient

s

t =

s

t+

s

t =

s

+

s

(6.5)

s

x =

s

x+

s

x=

1

V

s

s

(6.6)

En tenant compte de ces rsultats et sachant que

2s

=

2s

(6.7)

on obtient :2s

t2 =

2s

2 2

2s

+

2s

2 (6.8)

2s

x2 =

1

V2

2s

2 2

2s

+

2s

2

(6.9)

En remplaant dans lquation donde 2s

t2 et

2sx2

par les expressions ci-dessus, on obtientlquation donde exprime en fonction des drives partielles par rapport aux variables et :

2s

= 0 (6.10)

Cette dernire quation peut scrire

s

= 0 (6.11)

Un intgration par rapport donne :

s

=f() (6.12)

of()est une fonction qui ne dpend que de (et pas de). Enfin une intgration par rapportdonne :

s (, ) =F() + G () (6.13)

oF(), qui ne dpend que de , est une primitive def(). La fonctionG ()est une fonctionqui ne dpend que de . En revenant aux variables x et t, on obtient la solution gnrale delquation des ondes une dimension :

s (x, t) =F

t xV

+ G

t +

x

V

(6.14)

Les fonctions F

t xV

et G

t + x

V

sont des fonctions dont la nature est fixe par les

conditions aux frontires imposes la solutions (x, t).



48/124


Proprits des solutions particulires F

t xV

etG

t + x

V

Proprits deF

t x

V

On tudie le cas de la solution particulireF

t x

V

. Pour cela

on suppose que les conditions aux frontires sont telles que G t + xV est constamment nulle.On considre linstantt1un point dabscissex1. La valeur de la fonctions en ce point et cetinstant est s (x1, t1). On recherche un instant t2 postrieur t1 (t2 > t1) la position x2 dunpoint pour lequel la valeur de s est la mme que la valeur quelle avait en x1 linstant t1. Ceproblme est formul par lgalit suivante :

s (x1, t1) =s (x2, t2) (6.15)

Ce qui se traduit par

F

t1 x1V

= F

t2 x2

V

(6.16)

Cette quation est satisfaite si

t1 x1V

=t2 x2V

(6.17)

Do la valeur dex2 :x2= x1+ V (t2 t1) (6.18)

Commet2 > t1,x2 est suprieure x1 et ces deux points sont distants de

x2 x1=V(t2 t1) (6.19)

Ft xVcorrespond une onde se propageant dans le sens des x croissants (Voir la figureci-dessous).F t xVest appele onde progressive et cette expression constituera dans la suitela dfinition dune onde progressive.

x1

x1 x2

x2

t=t1

t=t2>t1

Direction depropagation

x2-x1=V(t2-t1)

x

x



49/124


Proprits deG

t + xV

On tudie le cas de la solution particulireG

t + x

V

. Pour cela

on suppose que les conditions aux frontires sont telles F

t xV

est constamment nulle. Onconsidre linstantt1 un point dabscisse x1 . La valeur de la fonction s en ce point et cet

instant est s (x1, t1). On recherche un instant t2 postrieur t1 (t2 > t1) la position x2 dunpoint pour lequel la valeur des est la mme que la valeur en x1 linstantt1. Ce problme estformul par lgalit suivante :

s (x1, t1) =s (x2, t2) (6.20)

Ce qui se traduit par

G

t1+x1V

= G

t2+

x2V

(6.21)

Cette quation est satisfaite si

t1+x1V

=t2+x2V

(6.22)

Do la valeur dex2 :x2 = x1 V(t2 t1) (6.23)

Commet2 > t1,x2 est infrieure x1. Ces deux points sont distants de

x1 x2=V(t2 t1) (6.24)G

t + xV

correspond une onde se propageant dans le sens des x dcroissants (Voir la

figure ci-dessous). G

t + xV

correspond une progressive se propageant dans le sens des x

dcroissant.

x1

x1x2

x2

t=t1

t=t2>t1


x1-x2=V(t2-t1)

x

x

6.1.3 Onde progressive sinusodale

On considre une onde progressive se propageant dans la direction de laxe des x, telle quele point dabscissex= 0 est soumis une vibration sinusodale de la forme

s (x= 0, t) =S0 cos(t) (6.25)



50/124


Le point se trouvant labscisse x > 0 aura la mme vibration que celle du point x = 0mais avec un retard gal x

V :

s (x, t) =S0 cos h t xVi (6.26)Cette expression constitue la dfinition dune onde progressive sinusodale (ou harmonique) ;

elle peut tre crite sous la forme :

s (x, t) =S0 cos[t (x)] (6.27)

o (x) = V

x reprsente le dphasage li au temps de propagation xV

. On dit que (x)reprsente le dphasage d la propagation. Londe progressive sinusodale scrit sous la formesuivante qui permet de mettre en vidence la double priodicit (dans le temps et dans lespace) :

s (x, t) =S0 cos

2tT x (6.28)La quantitT= 2

est la priode temporelle tandis que la quantit = V Test la longueur

donde qui constitue la priode spatiale. On peut vrifier aisment que :

s (x, t + nT) = s (x, t) (6.29)

s (x + n) = s (x, t) (6.30)

on est un nombre entier.Londe progressive scrit souvent :

s (x, t) =S0 cos[t kx] (6.31)

ok = V

= 2

est appel le module du vecteur donde qui sexprime enm1.On utilise trs souvent la notation complexe dune onde progressive sinusodale :

s (x, t) = S0 ei(tkx) (6.32)

s (x, t) = S eit (6.33)

o S = S0 eikx reprsente lamplitude complexe de londe progressive sinusodale. Le

moduleS0de Sest lamplitude de londe tandis que son argument kxreprsente le dphasaged la propagation.

6.1.4 Superposition de deux ondes progressives sinusodales

Cas de deux ondes de mme frquence se propageant dans le mme sens

Considrons deux ondes de mme frquence et de mme direction de propagation, dampli-tudes respectives S1 etS2, et de phases respectives 1 et2. Londe rsultante sera alors :

s (x, t) =S1 ej(tkx+1) + S2 e

j(tkx+1) =S ej(tkx+) (6.34)



51/124


ou encore en notation relle :

s (x, t) =Scos(t kx + ) (6.35)avec

S=q

S21 + S22 + 2S1S2cos (1 2) (6.36)

et

= Arctg

S1 sin(1) + S2 sin(2)

S1 cos(1) + S2 cos(2)

(6.37)

La superposition de deux ondes harmoniques de mme frquence, et qui se propagent dans lamme direction, donne une autre onde harmonique progressive de mme frquence, damplitude

Set de phase .

Cas de deux ondes de mme frquence se propageant dans des sens opposs

Si par contre, on superpose deux ondes harmoniques de mme frquence mais se propageantdans des sens opposs , le rsultat est tout autre. En effet, dans ce cas :

s (x, t) =S1 ej(tkx+1) + S2 e

j(t+kx+1) =

S1ej1ejkx + S2e

j2e+jkx

ejt (6.38)

et on ne plus crire londe rsultante sous la forme dune onde progressive simple. Un cas

particulier important se produit quand les deux amplitudes sont identiques. Si on note :

S1 = S2 = S0 (6.39)

on a :

s (x, t) = 2S0 cos

kx +

1 22

ej(t+

1+22 ) (6.40)

et donc en notation relle :

s (x, t) = 2S0 coskx +1 2

2 cost +1+ 2

2 (6.41)Ce mode de vibration est trs diffrent dune onde progressive puisque tous les points xde

la corde vibrent en phase avec des amplitudes diffrentes. En particulier, il existe une srie depoints :

xn=

n +

1

2

1 2

2

2 (6.42)

avec



52/124


n= 0,1,2, ......

o lamplitude de vibration est constamment nulle. On dit dans ce cas que londe est sta-

tionnaire et que les pointsxn sont les nuds de londe. Entre chaque paire de nuds existe unventre o lamplitude de vibration est maximum et gale 2S0. On note aussi que lintervalleentre deux nuds est gal une demi-longueur donde /2.

6.1.5 Vitesse de phase

Considrons une onde progressive sinusoidale qui se propage dans le sens desx croissant.Un point dabscissex possde, linstantt, llongation :

s (x, t) =S0 cos(t kx) (6.43)

Entre linstantt ett+ t londe progresse dune quantit x. A linstant t+ t, le pointdabscissex+ x possde la mme longation que celle que possdait le point dabscisse x linstant antrieurt. Ceci se traduit par lgalit :

s (x, t) = s (x + x, t + t) (6.44)

S0 cos(t kx) = S0 cos[ (t + t) k (x + x)] (6.45)

Cette galit est satisfaite si les phases instantanes sont gales :

t kx= (t + t) k (x + x) (6.46)

Soit encore t= k x (6.47)

On dfinit la vitesse de phase V= xt

qui sexprime en fonction de etk apr :

V=

k (6.48)

Si la vitesse de phase ne dpend pas de, le milieu est dit non dispersif. Dans le cas contraireil est dit dispersif.

La figure ci-dessous permet dillustrer la notion de vitesse de phase en considrant deux

reprsentations des instants diffrents dune corde parcourue par une onde . La courbe continuereprsente lensemble des points de la corde linstant t. Le point de la corde dabscisse x estreprsent par le point blanc, tandis que le point dabscissex + xest reprsent par le pointnoir. On constate quentre les instants t et t+ t chacun de ces point suit une trajectoirerectiligne et le dplacement du point noir linstant t+ t est gal au dplacement du pointblanc linstantt. En particulier la crte de la corde, correspondant une valeur particulirede la phase instantane, semble se dplacer dans le sens de propagation de londe avec la vitessedeVmais la trajectoire de chaque point matriel est une trajectoire rectiligne perpendiculaire la direction de propagation.



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t t+t

x

x

6.1.6 Vitesse de groupe

La vitesse de phaseVnest pas ncessairement la vitesse que lon observe lorsquon analyseun mouvement ondulatoire. En gnral une onde nest pas parfaitement sinusodale mais a une

dure limite et se prsente sous la forme dun train donde appel communment pulse ougroupe qui se propage avec une vitesse VG appele vitesse de groupe. Cette onde sous laforme dun pulse contient plusieurs frquences. Si la vitesse de phase est indpendante de lafrquence (Milieu non dispersif) alors toutes les frquences qui constituent le pulse se propagent la mme vitesse et le pulse se propage avec une vitesse de groupe gale la vitesse de phase.Mais si le milieu est dispersif (i.e la vitesse de phase dpend de la frquence), alors le pulse sepropage avec une vitesse de groupe diffrente de la vitesse de phase.

Pour illustrer ce phnomne, considrons une onde constitue de deux ondes de frquencediffrente et de mme amplitude. Enx = 0, cette onde scrit par exemple sous la forme :

s (0, t) =S0 cos(1t) + S0 cos(2t) (6.49)

Cette onde peut scrire encore :

s (0, t) = 2S0 cos(Bt) cos(t) (6.50)

o

B =2 1

2 et=

2+ 12

(6.51)

Si 1 est voisine de 2, la vibration rsultante se prsente sous la forme dune sinusodede pulsation dont lamplitude est module par un battement de pulsation B (Modulationdamplitude).



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En un pointx >0, londe obtenue rsulte de la superposition de ces deux ondes qui se sontpropages des vitesses diffrentes car le milieu de propagation est suppos dispersif :

s (x, t) =S0 cos(1t

k1x) + S0 cos(2t

k2x) (6.52)

s (x, t)peut scrire :

s (x, t) = 2S0 cos(Bt kBx) cos(t kx) (6.53)Dans cette expression :

kB =k2 k1

2 etk =

k2+ k12

(6.54)

Lamplitude du battement se propage une vitesse qui est la vitesse de groupe dfinie parla relation :

VG=BkB

=2 1

k2

k1=

d

dk (6.55)

Comme 2 est peu diffrente de1, la vitesse de groupe est dfinie par :

VG=d

dk (6.56)

Tandis que la sinusode contenue lintrieur du battement se propage la vitesse de phase :

V=

k (6.57)

t1

t2>t1

t3>t2>t1

VG

V

x

x

x

Lesflches verticales noires correspondent au maximum des battements qui se propagent lavitesse de groupe. Les flches verticales blanches correspondent au maximum des vibrations

qui se propagent la vitesse de phase.



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6.2 Propagation en trois dimensions 54

6.1.7 Onde Vectorielle

Dans ce qui prcde, la quantit s (x, t) reprsente une grandeur scalaire, mais certainsphnomnes dcrits par des vecteurs conduisent des quations similaires :

2 A

x2 1

V22 A

t2 = 0 (6.58)

Le vecteur A, dfini dans un milieu trois dimensions, a trois composantesAx,Ay,Az et lex-pression ci-dessus signifie que chacune de ces composantes satisfait individuellement lquationde propagation :

2Axx2 1

V22Ax

t2 = 0

2Ayx2 1

V2Ayt2

= 02Azx2 1

V22Az

t2 = 0

(6.59)

Chacune de ces composantes Ax,Ay,Az se propage en t xV ett + xV.

6.2 Propagation en trois dimensions

6.2.1 Equation de propagation

Dans un systme de coordonnes cartsiennes, lquation de propagation en trois dimensionsscrit sous la forme :

2s

x2+

2s

y2+

2s

x2 1

V22s

t2 = 0 (6.60)

On dfinit le laplacien scalaire de s par lexpression ci-dessous :

s= 2s

x2+

2s

y2+

2s

x2 (6.61)

et lquation des ondes scrit sous la forme condense :

s 1V2

2s

t2 = 0 (6.62)

s est fonction du temps mais galement des cordonnes du point Mo la fonction s doit

tre calcule. Si lon appelle le vecteur position r=OM, la quantits dpend du temps et du

vecteur positionr ; on crits (r, t).

6.2.2 Onde plane progressive sinusodale

Dfinition

Londe progressive sinusodale (ou harmonique), se propageant dans une direction donnepar un vecteur unitaire u est dfinie par :

s (r, t) =S0 cos

t k r

(6.63)



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o le vecteurk=k uest appel le vecteur donde. Si les composantes du vecteur k sontkx,ky etkz, alors londe plane est dfinie par

s (x,y,z,t) =S0

cos(t

kx

x

ky

y

kzz) (6.64)

On peut utiliser la notation complexe pour reprsenter londe plane progressive sinu-

sodale qui scrit dans ce cas sous la forme :

s (r, t) =S0 ei(tkr) (6.65)

Relation de dispersion

En remplaant s(r, t) par son expression dans lquation de propagation, on obtient la

relationk = k ()pour que londe plane dfi

nie ci-dessus constitue une solution particulire delquation donde. Cette relation est appele la relation de dispersion et elle scrit :

k=

V (6.66)

Surface donde

On appelle surface donde ou surface quiphase, lensemble des points de lespace pourlesquels, au mme instant,s (r, t)a la meme valeur. Recherchons la surface donde passant parun pointM0 un instantt ; cette surface est lensemble des pointsMde lespace pour lesquelslgalit suivante est satisfaite :

s (r, t) =s (r0, t) (6.67)

Cette galit se traduit par :

S0 ei(tkr) =S0 e

i(tkr0) (6.68)

Cette galit est satisfaite sik r= k r0 (6.69)

Tenant compte des proprits du produit scalaire, on obtient

k(r

r0) = 0 (6.70)

La surface donde passant, linstant t, par le pointM0 est lensemble des points M satis-faisant lquation ci-dessus. Cette surface est un plan passant par M0, et perpendiculaire ladirection du vecteur donde, donc la direction de propagation. Londe est dite plane.



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y

x

z M0

M

ur

k

r

rr

0rr

Surface donde


Il existe dautres types dondes dfinis par les surfaces donde respectives : par exemple lesondes sphriques pour lesquelles les surfaces donde sont des sphres ou les ondes cylindriquespour lesquelles les surfaces donde sont des cylindres.

Polarisation

Dans le cas dune onde plane progressive sinusodale reprsente par une quantit vectorielleA (r, t), cette quantit peut avoir di

ffrentes orientations par rapport aux surfaces dondes :

1. Aest constamment perpendiculaire la surface donde, ou de manire quivalente paral-lle la direction de propagation : londe est dite longitudinale.

2. A est contenu dans la surface donde, ou de manire quivalente perpendiculaire la di-rection de propagation : londe est dite transversale. Dans ce cas, lextrmit du champvectoriel A peut dcrire une trajectoire rectiligne : londe transversale est dite polarisa-tion rectiligne. Elle peut dcrire une trajectoire circulaire (onde transversale polarisationcirculaire), ou une trajectoire elliptique (onde transversale polarisation elliptique).



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Chapitre 7

Cordes vibrantes

7.1 Equation des ondesConsidrons une corde tendue, rectiligne selon la coordonne x, et de longueur infinie. Nous

allons tudier la propagation dun faible branlement le long de la corde. Supposons que cetbranlement se produise suivant laxe 0y.

Etudions lquation du mouvement de cette corde. Nous dnoterons par T la tension laquelle est soumise la corde. On considre en un point dabscisse x un segment trs court decette corde, de longueur x. La masse mdu segment est donne par :

m= x

o est la densit linique de masse de la corde, cest--dire la masse par unit de longueurqui sexprime enkg/m.

lquilibre

en mouvement

x

y

x x+x

x

uy(x,t)

T(x+x)

(x+x)

(x)

T(x)

Fy(x+x)

Fy(x)

Corde vibrant transversalement

Dans une situation hors quilibre, le segment nest plus droit, il prsente une courbu

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