abdoulaziz95.files.wordpress.com · Web viewLimites (Terminale S) Les calculs de limites et la recherche d'asymptotes ont été abordés en classe de première. Nous en rappelons

ANNALE TERMINALE S MATHS/OBLIGATOIRE

Limites (Terminale S)Les calculs de limites et la recherche d'asymptotes ont été abordés en classe de première. Nous en rappelons les résultats essentiels. On constatera par ailleurs que, par simple comparaison avec les fonctions de référence, on peut déterminer facilement les limites d'une fonction donnée aux bornes de son ensemble de définition.

1. De quelles fonctions faut-il connaître les limites ?

Il faut connaître les limites en + des fonctions de référence (racine, carré, cube et inverse) :

Seule la fonction inverse a une limite finie en + (lorsque x tend vers tend vers 0 par valeurs supérieures à 0, donc positives). Pour en déduire les limites en + , on doit se rappeler que la parabole représentant la fonction carré est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées et que la courbe représentant la fonction

cube est symétrique par rapport à l'origine : et

Les deux branches de l'hyperbole d'équation sont également symétriques par rapport à

l'origine, d'où : (lorsque x tend vers tend vers 0 par valeurs inférieures à 0, donc négatives). En 0, seule la fonction inverse n'est pas définie. Il faut donc connaître sa limite, lorsque x

tend vers 0, par valeurs supérieures à 0 :

On déduit par symétrie sa limite en 0, par valeurs inférieures à 0 : On mémorisera ces résultats à l'aide de la représentation graphique ci-dessous :

1 yahya MOHAMED MAHAMOUD


Remarque :

Au voisinage de l'infini, les deux branches de l'hyperbole se rapprochent de l'axe des abscisses qui est une asymptote au voisinage de – et + .

Au voisinage de l'origine O, elles se rapprochent de l'axe des ordonnées qui est une asymptote au voisinage de 0.

Pour connaître la limite d'une fonction quelconque, on décompose cette fonction en une somme, une combinaison linéaire, un produit, un quotient ou une composée de fonctions de référence.

2. Une fonction a-t-elle toujours une limite aux bornes de son ensemble de définition ?

Hormis certaines fonctions, comme les fonctions trigonométriques sinus ou cosinus qui oscillent entre –1 et 1 et qui ne peuvent donc pas avoir de limite à l'infini, les fonctions étudiées au lycée ont des limites aux bornes de leur ensemble de définition. En revanche, certaines fonctions ne permettent pas de conclure directement. En effet, les

opérations sur les limites telles que , , et sont des formes indéterminées. Pour lever l'indétermination, il faut transformer l'écriture de la fonction. Ainsi, la limite de la fonction est indéterminée en + . Pour obtenir sa limite, on multiplie numérateur et dénominateur par la quantité conjuguée du numérateur :

;

;

Comme et alors :



3. Quelles sont les limites, aux bornes de leur ensemble de définition, d'une fonction polynôme et d'une fonction rationnelle ?

La limite à l'infini d'une fonction polynôme est la limite de son terme de plus haut degré.

Ainsi, , considérée comme la limite de la différence de deux fonctions monômes et , conduit à la forme indéterminée .

Factorisons x avec son plus grand exposant, puis calculons

Comme et , on en déduit que :

La limite de 2x3 – 3x2 en + est donc la limite de son terme de plus haut degré 2x3.

Plus directement, on écrira : Une fonction rationnelle est le quotient de deux fonctions polynômes. Pour lever les indéterminations au voisinage de l'infini telles que ou , on calcule la limite du quotient des termes de plus haut degré.

On écrira par exemple : Si le dénominateur s'annule pour une valeur réelle, on calcule séparément la limite du numérateur et celle du dénominateur au voisinage de cette valeur interdite.

Par exemple, pour la fonction g définie sur ]1 ; + [ par , il faut calculer la limite de g(x) lorsque x s'approche de 1, par valeurs supérieures à 1 :

4. Comment peut-on déterminer une limite par comparaison avec une autre fonction ?

Si f(x) < g(x) pour toute valeur de x sur l'intervalle ]a ; + [, alors la représentation graphique de f, sur cet intervalle, est au-dessous de la représentation graphique de g.

Donc si alors

De même, si l'on a cette inégalité sur l'intervalle ]– ; a] et si , alors

Si f(x) < g(x) < h(x) au voisinage d'une valeur réelle a et si , alors

Cette méthode, qui consiste à déterminer la limite d'une fonction en l'encadrant par deux fonctions de même limite au voisinage d'un réel donné, s'appelle « la méthode des gendarmes ».

5. Comment sait-on qu'une courbe possède une ou plusieurs asymptotes ? 3 yahya MOHAMED MAHAMOUD


Lorsque la limite est infinie au voisinage d'une valeur pour laquelle la fonction n'est pas définie, la courbe admet une asymptote verticale.

Si , alors la courbe de f admet pour asymptote verticale la droite d'équation x = a au voisinage de a. Lorsque la limite à l'infini est finie, la courbe possède une asymptote horizontale.

Si , alors la courbe de f admet pour asymptote horizontale la droite d'équation y = b au voisinage de + .

Si , alors la courbe de f admet pour asymptote oblique la droite d'équation y = ax + b au voisinage de + . La courbe est au-dessus de l'asymptote lorsque la différence est positive, sinon elle est au-dessous. À retenir

À l'infini, une fonction polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré. À l'infini, une fonction rationnelle a la même la limite que le quotient de ses termes de plus haut degré. Si deux fonctions f et h encadrent une troisième fonction g sur un intervalle et si les fonctions f et h ont la même limite à l'infini ou en un point donné, alors g a la même limite que ses deux « gendarmes ». Il existe quatre formes pour lesquelles la détermination de la limite est impossible :

Continuité et théorème des valeurs intermédiairesLa notion de continuité permet d'énoncer correctement le théorème des valeurs intermédiaires. Ce dernier sert à déterminer le nombre de solutions d'une équation du type f(x) = k, où et où f est une fonction continue, et à en donner une valeur approchée ou un encadrement ; ceci est surtout intéressant lorsque l'on ne sait pas résoudre algébriquement une telle équation.

1. Qu'est-ce qu'une fonction continue en un point ? Sur un intervalle ?

Une fonction f, définie sur un intervalle ouvert contenant un réel a, est continue en a si

Une fonction f, définie sur un intervalle I ouvert, est continue sur I lorsque f est continue en tout réel a appartenant à I. Une fonction f, définie sur un intervalle [a ; b], est « continue sur [a ; b] » lorsque :



En conséquence, lorsqu'une fonction est continue sur un intervalle de son ensemble de définition, on peut tracer sa représentation graphique « sans lever le crayon ». Dans le cas contraire, la courbe présente un ou plusieurs « sauts ».

2. Quel est le lien entre continuité et dérivabilité ?

Toute fonction dérivable sur un intervalle I ouvert est continue sur I (et donc définie sur I). Attention, la réciproque est fausse : ainsi, la fonction valeur absolue est continue sur mais pas dérivable en 0.

3. Quelles sont les fonctions continues sur tout intervalle de leur ensemble de définition ?

D'après le point précédent, toutes les fonctions dérivables sur chaque intervalle de leur ensemble de définition y sont continues ; en particulier :

les fonctions polynômes sont continues sur ; les fonctions rationnelles sont continues sur tout intervalle de leur ensemble de

définition ; la fonction racine carrée est continue sur ; les fonctions cosinus et sinus sont continues sur ; la fonction tangente est continue sur tout intervalle de son ensemble de définition.

4. Qu'est-ce que le théorème des valeurs intermédiaires ? À quoi sert-il ?

Le théorème des valeurs intermédiaires s'énonce ainsi :soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I, et a et b deux réels de I ; pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe (au moins) un réel c compris entre a et b tel que f(c) = k.



Ce théorème a pour corollaire : si f est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I alors, pour tout réel k de l'intervalle J = f(I), l'équation f(x) = k admet une unique solution dans I. Remarques :

On convient que, dans les tableaux de variation, les flèches obliques traduisent la continuité et la stricte monotonie de la fonction sur l'intervalle considéré.

Le théorème des valeurs intermédiaires sert notamment à déterminer le nombre de solutions d'une équation et à donner un encadrement ou une valeur approchée de ces solutions.

À retenir Une fonction f, définie sur un intervalle ouvert contenant un réel a, est continue en a si

Si une fonction f est dérivable sur un intervalle, alors elle est continue sur cet intervalle. Attention, la réciproque est fausse : une fonction continue n'est pas nécessairement dérivable. Si f est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I, alors, pour tout réel k de l'intervalle J = f(I), l'équation f(x) = k admet une unique solution dans I. Ce corollaire du théorème des valeurs intermédiaires est très utile pour déterminer le nombre de solutions d'une équation du type f(x) = k et donner une valeur approchée ou un encadrement de ces solutions.

DérivationLes calculs de dérivées ont de nombreuses applications. Ils permettent, entre autres :

de déterminer les variations d’une fonction, si celle-ci est dérivable sur un ou plusieurs intervalles ;

de déterminer ses extrema locaux éventuels ; de faire des approximations affines à l’aide de la notion de tangente ; de calculer certaines limites ; etc.

1. Qu’est-ce que la dérivée ? Que représente-t-elle ?

Une fonction f est dérivable en un réel a de son ensemble de définition si le taux d’accroissement de f en a admet une limite finie quand x tend vers a. Dans ce cas, ce réel



est appelé le nombre dérivé de f en a et est noté f’(a) :

Une fonction f est dérivable sur un intervalle I si elle est dérivable en tout réel a appartenant à I et on appelle fonction dérivée de f la fonction qui, à tout , associe le réel f’(x).

2. Quelles sont les formules de dérivées à connaître ?

À part les formules de dérivées d’une fonction logarithme et d’une fonction exponentielle (voir les thèmes correspondants), seules les formules suivantes sont indispensables à connaître :

où u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle de et et deux réels quelconques.

3. Comment déduit-on des formules précédentes les autres formules de dérivation ?

Sachant que et que , il est possible de déterminer les dérivées du type

et à l’aide de la dérivée de donnée dans le paragraphe 2.

De même, on sait que pour , où , On peut déduire, à l’aide des formules de dérivées d’une fonction composée et des fonctions sinus et cosinus, toutes dérivées de fonctions tangente.

On retiendra que et donc que



4. Quelle est l’équation de la tangente à une courbe en un point où la fonction est dérivable ?

Si f est une fonction dérivable sur un intervalle I de et , alors le nombre dérivé de f

en a, égal à et noté f’(a), est le coefficient directeur de la tangente T à la courbe C de f au point Ainsi, une équation de T est : y = f’(a)(x – a) + f(a).

5. Comment détermine-t-on le sens de variation d’une fonction dérivable sur un intervalle ?

On utilise le théorème ci-dessous : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I de On note f ’ sa dérivée sur I :

si f’ = 0 sur I, alors f est constante sur I ; si f’ > 0 (respectivement f’ < 0) sur I, sauf éventuellement en un nombre fini de

points isolés où f’ = 0, alors f est strictement croissante (respectivement décroissante) sur I.

Ce théorème permet également de déterminer les extrema locaux (maxima et minima locaux) éventuels d’une fonction sur un intervalle donné ; le tableau de variation les met clairement en évidence.À retenir Une fonction f est dérivable en un réel a de son ensemble de définition si le taux d’accroissement de f en a admet une limite finie. Dans ce cas, ce réel est appelé le nombre

dérivé de f en a : Si f est une fonction dérivable sur un intervalle I de et a appartient à I, alors le nombre dérivé de f en a est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f, au point A de coordonnées (a ; f(a))Le signe de la fonction dérivée donne le sens de variation de la fonction :

si f’ = 0 sur I, alors f est constante sur I ; si f’ > 0 (respectivement f’ < 0) sur I, sauf éventuellement en un nombre fini de

points isolés où f’ = 0, alors f est strictement croissante (respectivement décroissante) sur I.

Fonction exponentielle (Terminale S)C'est en recherchant des fonctions dérivables sur dont la dérivée est proportionnelle à la fonction que l'on est conduit à l'étude de la fonction exponentielle. Celle-ci joue un rôle capital en mathématiques, en particulier dans la résolution des équations différentielles. Elle intervient aussi dans de nombreuses lois de probabilité.

1. Quelles sont les trois manières de définir la fonction exponentielle ? 8 yahya MOHAMED MAHAMOUD


La fonction exponentielle de base e est la réciproque de la fonction logarithme népérien. La fonction exponentielle est l'unique fonction dérivable sur vérifiant les deux conditions

suivantes : Enfin, la fonction exponentielle peut être définie par une équation fonctionnelle. Il existe en effet une seule fonction f dérivable sur telle que, pour tous réels a et b, f(a + b) = f(a) × f(b) et f(0) = 1. Il s'agit de la fonction exponentielle.

2. Quelles sont les propriétés analytiques de la fonction exponentielle ?

La fonction exponentielle étant la réciproque de la fonction logarithme népérien, ses propriétés peuvent se déduire de celles de la fonction logarithme. On peut également retrouver ses propriétés en mémorisant l'allure de sa courbe représentative.

Ainsi :

la fonction exponentielle est définie, dérivable, strictement croissante sur ;

la limite de la fonction exponentielle lorsque x tend vers est ;

la limite de la fonction exponentielle lorsque x tend vers est 0 ;

la fonction exponentielle est égale à sa propre dérivée ;

si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors la fonction est dérivable sur I et sa dérivée est la fonction

3. Quelles sont les propriétés algébriques de la fonction exponentielle ?

On retiendra les propriétés algébriques suivantes :

pour tout réel ;

pour tout réel ; pour tous réels a et b, ;

pour tous réels a et b, ; pour tout réel a et pour tout entier relatif



On peut utiliser de manière indifférente la notation ou la notation

4. Que faut-il savoir sur les fonctions exponentielles de base a ?

La fonction exponentielle permet de définir la puissance réelle d'un nombre a strictement positif : pour tout réel strictement positif a et pour tout réel b, ab = eb ln a. Cette formule sert notamment à étudier les fonctions du type f(x) = ax, où a est un réel strictement positif, appelées fonctions exponentielles de base a. On écrit alors f(x) sous la forme et on est ramené à une étude de fonction classique. On retiendra les formules qui suivent. Pour tous réels x et y, et pour tout entier a > 0 :

À retenir La fonction exponentielle de base e est la réciproque de la fonction logarithme népérien. Elle est égale à sa propre dérivée. L'allure de sa courbe représentative permet de se souvenir que :

les représentations graphiques de la fonction exponentielle et de la fonction logarithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x ;

la fonction exponentielle est strictement croissante et positive sur ;

;

La fonction exponentielle permet de définir la puissance réelle d'un nombre a strictement positif : ainsi, pour tout réel b, ab = eb ln a.

Fonction logarithmeLe logarithme népérien, comme son nom l'indique, doit son existence au mathématicien écossais John Neper (1550-1617), qui cherchait à simplifier les calculs trigonométriques des astronomes en « transformant les produits en sommes ».De nos jours, la fonction logarithme ne sert plus seulement à simplifier les calculs ; elle tient une place importante dans de nombreux problèmes d'analyse et son étude constitue un chapitre essentiel du programme de terminale.

1. Quelles sont les trois manières de définir la fonction logarithme népérien ?

Comme pour la fonction exponentielle, il existe trois manières principales de définir la fonction logarithme népérien :La fonction logarithme népérien peut être définie à partir de la fonction exponentielle.Il existe en effet, pour tout réel a strictement positif, un unique réel x tel que ex = a. Ce nombre s'appelle le logarithme népérien de a et on le note x = ln a



La fonction inverse étant continue sur ]0 ; + [, elle admet des primitives sur cet intervalle. La fonction logarithme népérien est la primitive de la fonction inverse, sur ]0 ; + [, qui prend la valeur 0 en 1.Enfin, on peut définir la fonction logarithme népérien à partir de son équation fonctionnelle caractéristique.Les fonctions f définies sur ]0 ; + [ telles que, pour tous réels x et y, f(xy) = f(x) + f(y), sont les fonctions k ln, où k désigne une constante réelle.

2. Quelles sont les propriétés analytiques de la fonction logarithme népérien ?

L'allure de la courbe représentative de la fonction logarithme népérien permet de retrouver les propriétés suivantes :

Ln x existe si et seulement si x est strictement positif ; ln 1 = 0 et ln e = 1 ; ln x < 0 si et seulement si 0 < x < 1 ; la fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ]0 ; + [ ; la limite de ln x quand x tend vers 0 (par valeurs supérieures) est – ; la limite de ln x quand x tend vers + est + ;

la fonction ln est dérivable sur ]0 ; + [ et sa dérivée est la fonction ; si u est une fonction dérivable et qu'elle est strictement positive sur un intervalle I,

alors la fonction ln o u est dérivable sur I et sa dérivée est

Remarque :Dans un repère orthonormal, les courbes représentatives de la fonction exponentielle et de la fonction logarithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x.

3. Quelles sont les propriétés algébriques de la fonction logarithme népérien ?



Pour tous réels a et b strictement positifs et pour tout rationnel z : ;

; ;

Cette dernière formule admet un cas particulier très utile : Les propriétés algébriques de la fonction logarithme jouent un rôle essentiel dans la simplification des calculs. Elles permettent notamment de résoudre certaines inéquations où l'inconnue figure en exposant.

4. Qu'appelle-t-on croissance comparée ?

La comparaison des croissances respectives de ex, xn et ln x permet de lever certaines indéterminations qui peuvent se présenter lors du calcul de limites.Pour cela, on se ramène aux formules ci-dessous, soit en effectuant un changement de variable, soit en factorisant le terme dominant.

Pour tout entier naturel n > 0 :

Une représentation graphique illustre la croissance comparée de ex, xn et ln x.

À retenir La fonction logarithme népérien est la primitive de la fonction inverse qui prend la valeur 0 en 1. Elle est définie sur et strictement croissante sur cet intervalle.

; l'axe des ordonnées est donc une asymptote verticale de la courbe

représentative de la fonction logarithme népérien. Pour tous réels a et b strictement positifs et pour tout rationnel z :

On retiendra les règles opératoires suivantes :



à l'infini, l'exponentielle de x l'emporte sur toute puissance de x ; à l'infini, les puissances de x l'emportent sur les logarithmes de x.

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Suites et récurrencesLes suites occupent une place essentielle dans l'enseignement de l'analyse. Un couple de lapins, né le premier janvier, donne naissance à un autre couple de lapins, chaque mois, dès qu'il a atteint l'âge de deux mois. Les nouveaux couples suivent la même loi de reproduction. Combien y aura-t-il de couples de lapins le premier janvier de l'année suivante, en supposant qu'aucun couple n'ait disparu entre-temps ? Pour résoudre ce problème de la reproduction des lapins, le mathématicien italien Leonardo Fibonacci (appelé aussi Léonard de Pise) introduit dès 1202 la notion de suite. Ainsi, si on note un le nombre de couples de lapins au cours du ne mois (avec u1 = 1), la suite (un) vérifie la relation de récurrence un + 2 = un + 1 + un. On peut alors exprimer un en fonction de n et prévoir le nombre de lapins au bout de quelques mois.

1. Comment définir une suite ?

Définir une suite réelle (un), c'est associer à tout entier naturel n un nombre réel noté un ; un s'appelle le terme d'indice n de la suite. Si u désigne une suite, un s'appelle le terme général de la suite. Une suite peut être définie de deux manières :

sous sa forme explicite ; on exprime alors un en fonction de n ; par exemple, on considère la suite de terme général un = 2n + 7.

par récurrence ; on donne alors le premier terme de la suite et une relation permettant, à partir de chaque terme, de calculer le terme suivant.

Par exemple, la suite u est définie par u1 = 5 et, pour tout naturel n,

2. Quand utiliser un raisonnement par récurrence et comment le rédiger ?

On peut utiliser un raisonnement par récurrence chaque fois qu'une propriété à démontrer dépend d'un entier naturel n, surtout lorsqu'il semble y avoir un lien simple entre ce qui se passe au rang n et ce qui se passe au rang n + 1. Un raisonnement par récurrence se rédige en quatre étapes :

on commence par énoncer la propriété à démontrer, en précisant pour quels entiers naturels cette propriété est définie ;

on vérifie que la propriété est vraie au rang initial (qui est souvent 0 ou 1) ; on prouve le caractère héréditaire de la propriété ; on suppose que la propriété est

vraie pour un entier n arbitrairement fixé et on démontre que la propriété est encore vraie au rang n + 1 ;

on conclut en invoquant le principe de récurrence.



3. De quelles méthodes dispose-t-on pour étudier le sens de variation d'une suite ?

Il existe quatre méthodes principales pour étudier le sens de variation d'une suite. La plus fréquente consiste à étudier le signe de la différence un + 1 – un :

si cette différence est positive, alors la suite (un) est croissante ; si cette différence est négative, alors la suite est décroissante ; si cette différence est nulle, alors la suite est constante.

Quand la suite étudiée est à termes strictement positifs, on calcule le quotient et on le compare à 1 :

si , alors la suite (un) est strictement croissante ; dans le cas contraire, elle est strictement décroissante.

Si la suite étudiée est de la forme un = f(n), alors la suite (un) a le même sens de variation sur que la fonction f.

Enfin, dans certains cas, on utilise une démonstration par récurrence pour prouver qu'une suite est croissante ou décroissante. Remarque :Une suite qui est soit croissante, soit décroissante est dite monotone.

4. Que doit-on savoir sur les suites arithmétiques ?

Une suite (un) est arithmétique si et seulement s'il existe un réel r (appelé la raison de la suite) tel que, pour tout entier naturel n, un + 1 = un + r. On doit alors être capable d'exprimer le terme général un de la suite en fonction de n, à l'aide de la formule : un = u0 + nr. Attention au premier terme de la suite : si celui-ci est u1, la formule ci-dessus se transforme en : un = u1 + (n – 1)r. Plus généralement, pour tous naturels n et p, on a : un = up + (n – p)r. Il est aussi intéressant de connaître la somme des n premiers entiers consécutifs :

5. Que doit-on savoir sur les suites géométriques ?

Une suite (un) est géométrique si et seulement s'il existe un réel q (appelé la raison de la suite) tel que, pour tout entier naturel n, un + 1 = un × q. On doit alors être capable d'exprimer le terme général un de la suite en fonction de n, à l'aide de la formule : un = u0 × qn. Attention au premier terme de la suite : si celui-ci est u1, la formule ci-dessus se transforme en : un = u1 × qn–1. Plus généralement, pour tous naturels n et p, on a :



On retiendra aussi la somme des n premiers termes consécutifs d'une suite géométrique,

valable dans le cas où q est différent de 1 : Là aussi, on sera attentif au premier terme de la suite et au nombre de termes de la somme.

Enfin, on saura que si |q| < 1 alors

6. Que doit-on savoir sur les suites adjacentes ?

Il faut savoir démontrer que deux suites sont adjacentes. Pour cela, on montre que l'une est croissante, l'autre est décroissante et que leur différence tend vers 0 quand n tend vers l'infini. Il faut également savoir en tirer les conclusions : si deux suites sont adjacentes, alors elles sont convergentes et elles ont la même limite.

7. Comment étudier la limite d'une suite ?

Si la suite (un) admet comme limite le réel l, alors tout intervalle ouvert centré en l contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. On dit que la suite (un) converge vers l. Pour étudier la limite d'une suite, on peut exprimer le terme général de la suite en fonction de n et déterminer la limite de ce terme en faisant tendre n vers l'infini. On peut utiliser les théorèmes de limite par comparaison :

si ;

si ;

si

Enfin, il convient de se souvenir que toute suite croissante majorée est convergente et que toute suite décroissante minorée est également convergente :

une suite (un) est majorée s'il existe un réel M tel que, pour tout naturel n, ;

une suite (un) est minorée s'il existe un réel m tel que, pour tout naturel n, ; une suite est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Remarques :Une suite convergente est bornée mais la réciproque est fausse : ainsi, la suite de terme général un = (–1)n, qui est bornée, est divergente. Ce théorème de convergence monotone est très utile puisqu'il permet d'établir la convergence d'une suite. En revanche, il ne permet pas de déterminer la valeur de la limite. À retenir Définir une suite réelle, c'est associer à tout entier naturel n un nombre réel un. Dans une suite arithmétique, on passe toujours d'un terme au suivant en ajoutant un même nombre appelé la raison. Dans une suite géométrique, on passe toujours d'un terme au suivant en multipliant par un même nombre appelé la raison. Si une suite converge vers un réel l, alors tout intervalle de centre l, aussi petit soit-il, contient une infinité de termes de la suite.



Si une suite de réels positifs converge, alors sa limite est positive ou nulle.

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Intégration et dérivationLe calcul intégral intervient dans un nombre très important de problèmes : calculs d'aires et de volumes, calcul de l'intensité efficace d'un courant, calcul du coût total à partir du coût marginal... C'est donc un outil précieux dans de nombreux domaines scientifiques, tels la géométrie, la physique, l'économie...

1. Comment calculer une intégrale ?

Avant tout calcul, on s'assure que l'intégrale existe, ce qui est toujours le cas lorsque la fonction à intégrer est continue. On cherche ensuite si la fonction f à intégrer est, à une éventuelle constante près, la dérivée d'une fonction F connue. La fonction F est alors une primitive de la fonction f. Pour cela, on peut s'aider du tableau donné dans le formulaire du baccalauréat.

Il convient notamment de mémoriser les formules donnant les primitives d'une somme, du

produit d'une fonction par un réel, du quotient , des expressions du type (où est distinct de –1) et u' × eu. On peut ensuite en déduire toutes les autres formules, à l'aide des égalités :

et Enfin, il ne reste plus qu'à appliquer la formule :



2. Quel est le lien entre le calcul intégral et les aires ?

Si la fonction f est continue et positive sur l'intervalle [a ; b], l'intégrale est égale à l'aire (exprimée en unité d'aire) de la partie du plan comprise entre l'axe des abscisses, les droites d'équations x = a et x = b et la courbe représentative de f. Cette intégrale correspond à « l'aire sous la courbe ».

Si la fonction f est continue et négative sur l'intervalle [a ; b], alors cette même aire est égale à

Si la fonction f ne garde pas un signe constant sur l'intervalle [a ; b], on décompose [a ; b] en intervalles sur lesquels f garde un signe constant.

3. Une intégrale peut-elle être négative ?

Comme la notion d'intégrale est liée à celle d'aire, beaucoup d'élèves pensent, à tort, qu'une intégrale ne peut pas être négative. Or, c'est précisément le cas lorsqu'on intègre une fonction négative et que la borne inférieure de l'intégrale est plus petite que la borne supérieure.

Si sur [a ; b] avec a < b, alors

Par exemple : C'est également le cas lorsque l'on intègre une fonction positive et que la borne inférieure de l'intégrale est plus grande que la borne supérieure.

Si sur [a ; b] avec a > b, alors

Par exemple :

4. Comment intégrer par parties ?



Le choix de la technique d'intégration par parties se rencontre souvent (mais pas nécessairement) lorsque la fonction à intégrer se présente sous la forme d'un produit. Dans la plupart des cas, l'énoncé du problème précise qu'on doit intégrer par parties.

On utilise alors la formule : , avec u et v deux fonctions dérivables sur [a ; b] et u' et v' deux fonctions continues sur [a ; b]. Remarque :Dans certains cas, on peut être conduit à effectuer deux intégrations par parties successives mais cela sera toujours précisé dans un sujet de baccalauréat. À retenir

Lorsqu'une fonction f est continue et positive sur un intervalle [a ; b], l'intégrale correspond à « l'aire sous la courbe » ; elle est égale à l'aire de la partie du plan comprise entre l'axe des abscisses, les droites d'équations x = a et x = b et la courbe de f. Si f est négative sur l'intervalle [a ; b], alors l'aire est égale à :

La formule d'intégration par parties sert à remplacer une intégrale que l'on ne sait pas calculer par une autre intégrale dont le calcul est plus simple. Elle s'utilise en particulier lorsque l'expression à intégrer se présente sous la forme d'un produit.

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Propriétés de l'intégraleDans un certain nombre de problèmes, on peut être amené à travailler sur des intégrales qu’on ne sait pas calculer.

Par exemple, si on veut prouver que l’intégrale est positive, il n’est pas possible de le faire en calculant explicitement sa valeur. En revanche, il existe des théorèmes (par exemple, ici, le théorème de positivité des intégrales) qui permettent, sous certaines conditions, de connaître le signe d’une intégrale ou de comparer deux intégrales en ne s’intéressant qu’aux fonctions à intégrer.

1. Quelles sont les propriétés de l’intégrale ?

L’intégrale est linéaire. Soit et deux nombres réels et f et g deux fonctions continues sur [a ; b], alors :

L’intégrale de la somme de deux fonctions est donc la somme de leurs intégrales. Attention, cette propriété est généralement fausse pour un produit ou un quotient. L’intégrale vérifie la relation de Chasles :Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a, b et c trois réels appartenant à I, alors :



2. Comment comparer des intégrales ?

Pour déterminer le signe d’une intégrale ou pour comparer deux intégrales, il est la plupart du temps inutile de les calculer, il suffit de s’appuyer sur le théorème de positivité et le théorème de comparaison des intégrales :— si une fonction f est continue et positive sur un intervalle [a ; b], avec , alors

;— si f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b], avec , et si ,

alors

On peut ainsi encadrer à partir d’un encadrement de f(t) sur l’intervalle [a ; b].

3. Comment calcule-t-on la valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle ?

Soit a et b deux réels distincts et f une fonction continue sur [a ; b], la valeur moyenne de la

fonction f sur l’intervalle [a ; b] est égale au réel On utilise la valeur moyenne en physique ou en sciences économiques, lorsqu’on travaille avec des variables continues prenant une infinité de valeurs. On retiendra aussi l’inégalité de la moyenne qui permet d’obtenir des encadrements d’intégrale : soit f une fonction continue sur [a ; b], telle que, pour tout x de [a ; b],

alors

4. Comment étudier une fonction définie par une intégrale ?

On utilise le théorème suivant : soit f une fonction continue sur un intervalle I et a un

élément de I. Alors, la fonction F, définie sur I par , est la primitive de f qui s’annule en a. Ce théorème permet dans certains cas de calculer la primitive d’une fonction en utilisant une intégration par parties.Exemple :La primitive de la fonction logarithme qui s’annule en 1 est la fonction F définie sur

par On procède alors au calcul de cette intégrale à l’aide d’une intégration par parties et on obtient

Ainsi, les fonctions de la forme , sont les primitives de la fonction ln sur Ce même théorème permet d’étudier les variations de F sans la déterminer explicitement.En effet, d’après la définition d’une primitive, la fonction F est dérivable sur I et pour tout réel x appartenant à I, on a F’(x) = f(x).19 yahya MOHAMED MAHAMOUD


Ainsi, on peut déterminer le sens de variation de la fonction F définie sur par

, sans calculer cette intégrale.

La fonction F est dérivable sur et pour tout réel x > 0, Comme F’ est strictement positive sur , on en déduit que la fonction F est strictement croissante sur À retenir L’intégrale est linéaire ; l’intégrale de la somme de deux fonctions est donc la somme de leurs intégrales.L’intégrale conserve le sens des inégalités lorsque les bornes sont dans le « bon ordre ».Toute fonction continue sur un intervalle I possède des primitives sur I.

La valeur moyenne de f sur l’intervalle [a ; b] est égale à : Dans le cas des fonctions continues, dériver et chercher des primitives sont des opérations contraires l’une de l’autre. La connaissance des formules de dérivation permet de reconnaître les primitives d’une fonction.

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Équations différentiellesEn sciences, l'étude d'un phénomène dont l'évolution est décrite par une fonction conduit très souvent à une équation dans laquelle figurent la fonction et ses dérivées successives. Une telle équation s'appelle une équation différentielle. Le programme de mathématiques de terminale S comprend l'étude de deux types d'équations différentielles : y' = ky, qui permet d'introduire la fonction exponentielle, et y' = ay + b, qui correspond au cas général. Les solutions de l'équation différentielle y' + 2y = 0 seront, elles, introduites en cours de physique.

1. Qu'est-ce que résoudre une équation différentielle ?

Soit k un nombre réel, résoudre l'équation différentielle y' = ky, c'est déterminer toutes les fonctions f dérivables sur telles que, pour tout nombre réel x, f'(x) = kf(x). Soit a et b deux nombres réels, résoudre l'équation différentielle y' = ay + b, c'est déterminer toutes les fonctions f dérivables sur telles que, pour tout nombre réel x, f'(x) = af(x) + b.

2. Quelles sont les solutions générales de ces équations différentielles ?

Les solutions de l'équation différentielle y' = ky sont les fonctions f définies sur par , où c est un réel quelconque.

Les solutions de l'équation différentielle y' = ay + b, avec , sont les fonctions f définies

sur par , où c est un réel quelconque.

3. Comment déterminer une solution particulière de ces équations ? 20 yahya MOHAMED MAHAMOUD


Pour tout couple de réels (x0 ; y0), l'équation y' = ky admet une solution f et une seule telle que f(x0) = y0. Pour tout couple de réels (x0 ; y0), l'équation y' = ay + b, avec , admet une solution f et une seule telle que f(x0) = y0.Pour la déterminer, on remplace x et y dans l'équation par leurs valeurs respectives x0 et y0, puis on calcule la valeur de c correspondante.

4. Comment résoudre une équation différentielle avec un second membre ?

Seule la résolution des équations différentielles y' = ky et y' = ay + b est exigible. Néanmoins, on peut, dans certains problèmes, rencontrer des équations différentielles dont le second membre est non nul. Dans ce cas, le programme officiel précise clairement que toutes les indications utiles seront fournies au candidat pour lui permettre de se ramener aux modèles du cours. Il faut donc se laisser guider par l'énoncé du problème.

5. Que faut-il savoir sur les équations de la forme y' + 2y = 0 ?

Soit un réel non nul, résoudre l'équation différentielle y' + 2y = 0, c'est déterminer toutes les fonctions f deux fois dérivables sur telles que, pour tout nombre réel x,

Les solutions de l'équation différentielle y' + 2y = 0 sont les fonctions f définies sur par , où A et B sont deux réels quelconques.

Pour tous réels x0, y0 et v0, l'équation y' + 2y = 0 admet une solution f et une seule telle que f(x0) = y0 et f'(x0) = v0. À retenir Résoudre l'équation différentielle y' = ky, où k est un nombre réel, c'est déterminer toutes les fonctions f dérivables sur telles que, pour tout nombre réel x, f'(x) = kf(x). Dans une équation différentielle, les inconnues (et les solutions) sont des fonctions. Les solutions de l'équation différentielle y' = ky sont les fonctions f définies sur par

où c est un réel quelconque. Pour tout couple de réels (x0 ; y0), l'équation y' = ky admet une solution f et une seule telle que f(x0) = y0.

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Nombres complexesAu XVIe siècle, les mathématiciens italiens Jérôme Cardan et Raffaele Bombelli ont introduit des nombres « imaginaires » ayant un carré négatif, pour résoudre des équations du troisième degré. Deux siècles plus tard, Leonhard Euler et Jean le Rond d’Alembert ont parachevé la création des nombres complexes et fixé les notations actuelles, en particulier celle du nombre i. Aujourd’hui, les nombres complexes sont utilisés non seulement dans toutes les branches des mathématiques, en particulier en trigonométrie et en géométrie, mais aussi dans d’autres sciences comme la physique.



1. Quelles sont les différentes formes sous lesquelles peut se présenter un nombre complexe non nul ?

Un nombre complexe z, non nul, admet trois types d’écriture :

une écriture algébrique : z = x + iy, où x et y sont deux nombres réels ; x est la partie réelle de z et y, sa partie imaginaire ;

une écriture trigonométrique : , où r désigne le module de z et un argument de z,

une écriture exponentielle : Selon le cas, on privilégie l’une ou l’autre écriture.

2. Comment calculer le module et un argument d’un nombre complexe z non nul ?

Si le nombre complexe z est donné sous sa forme algébrique z = x + i y, on commence par

calculer le module r à l’aide de la formule :

Puis on détermine un argument de z en calculant : et Soient deux nombres complexes z et z’. Dans le cas où Z = zz’, le module de Z est égal au produit des modules de z et de z’ et l’argument de Z est égal à la somme des arguments de z et de z’, modulo 2 . Cela signifie que : , où On peut aussi écrire plus simplement : ou .

Dans le cas où , le module de Z s’obtient en divisant le module de z par le module de z’ et l’argument de Z est égal à la différence des arguments de z et de z’, modulo 2 .

3. Comment résoudre une équation dans l’ensemble des nombres complexes ?

On rencontre essentiellement trois types d’équations dans l’ensemble .Dans le cas d’une équation du premier degré de la forme az + b = c, avec a non nul, les méthodes de résolution sont les mêmes que dans . Dans le cas d’une équation du second degré à coefficients réels de la forme az2 + bz + c = 0, où a est un réel non nul, on calcule le discriminant de l’équation : Si , alors l’équation admet une racine double. Si , alors l’équation admet deux racines réelles. Dans ce cas comme dans le précédent, les méthodes de résolution sont les mêmes que dans

Si , alors l’équation admet deux racines complexes conjuguées : . Dans le cas d’une équation faisant intervenir , le conjugué de z, ou son module |z|, on pose

puis on fait appel au théorème suivant : deux nombres complexes sont égaux si et seulement s’ils ont même partie réelle et même partie imaginaire.

4. Quel lien y a-t-il entre la géométrie plane et les nombres complexes ?



Les nombres complexes constituent un outil privilégié pour résoudre de manière simple de nombreux problèmes de géométrie. Le plan étant rapporté à un repère orthonormé direct, l’image du nombre complexe z = a + ib est le point M de coordonnées (a ; b). On dit alors que z est l’affixe du point M. L’affixe du vecteur est le nombre complexe L’affixe du milieu du segment [AB] est la demi-somme des affixes des points A et B. Il est impératif de connaître aussi :

le lien entre les distances et les modules : ;

le lien entre les angles et les arguments : ; enfin le lien entre les transformations et les nombres complexes (voir le

paragraphe 5).

5. Quel lien y a-t-il entre les transformations et les nombres complexes ?

Chacune des trois transformations au programme a une expression complexe :

la translation de vecteur d’affixe b a pour expression complexe z’ = z + b ; la rotation de centre , d’affixe et d’angle a pour expression complexe :

; soit k un nombre réel non nul ; l’homothétie de centre , d’affixe et de rapport k

a pour expression complexe :

À retenir Un nombre complexe z, non nul, admet trois types d’écriture :

une écriture algébrique : z = a + ib, où a et b sont deux nombres réels ; a est la partie réelle de z et b, sa partie imaginaire ;

une écriture trigonométrique : , où r désigne le module de z et un argument de z,

une écriture exponentielle :

Deux nombres complexes sont égaux si et seulement s’ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire. Pour multiplier des nombres complexes non nuls, on multiplie leurs modules et on ajoute leurs arguments. Le plan étant rapporté à un repère orthonormé direct, l’image du nombre z = a + ib est le point M de coordonnées (a ; b). On dit alors que z est l’affixe du point M.

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Produit scalaire dans l'espaceLa définition du produit scalaire envisagée dans le plan, en classe de première, peut être étendue à l'espace et exploitée pour étudier des configurations de l'espace ainsi que pour calculer des distances, des angles, des aires ou des volumes.



1. Quelles sont les différentes manières de calculer un produit scalaire ?

Le produit scalaire de deux vecteurs et de l'espace est le nombre réel noté et défini par

Si est une mesure de l'angle géométrique associé à et à , on a aussi :

Dans un repère orthonormal, si et ont pour coordonnées respectives (x ; y ; z) et (x' ; y' ; z'), alors Quand on calcule un produit scalaire en géométrie non analytique, on utilise la relation de Chasles pour décomposer les vecteurs et se ramener ainsi à des calculs de produits scalaires sur des vecteurs orthogonaux ou colinéaires.

2. Quels sont les cas particuliers à connaître et leurs utilisations ?

Si l'un des deux vecteurs est nul, leur produit scalaire est nul.Deux vecteurs de l'espace sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.Si deux vecteurs non nuls de l'espace sont colinéaires, alors Pour démontrer que deux droites de l'espace d et d', de vecteurs directeurs respectifs et , sont orthogonales, on montre que La sphère de diamètre [AB] est l'ensemble des points M de l'espace tels que

3. Quelles sont les propriétés du produit scalaire ?

Pour effectuer des calculs vectoriels avec des produits scalaires, on utilise les propriétés suivantes :

; ; pour tout réel ; le carré scalaire de

4. Que faut-il savoir sur le vecteur normal ?

On appelle vecteur normal à un plan P tout vecteur directeur d'une droite orthogonale à P. Par conséquent, un vecteur normal à un plan est toujours un vecteur non nul. Un vecteur non nul est vecteur normal d'un plan P de vecteurs directeurs et si et seulement s'il est orthogonal à et à La notion de vecteur normal intervient dans de multiples situations. Elle permet en particulier d'interpréter vectoriellement l'orthogonalité de droites et de plans. Elle permet aussi de déterminer une équation cartésienne d'un plan dans un repère orthonormal de l'espace, en s'appuyant sur le théorème : le plan passant par A et de vecteur normal est l'ensemble des points M de l'espace tels que

5. Comment déterminer une équation cartésienne d'un plan ?

Outre la méthode exposée dans le paragraphe précédent, on peut déterminer une équation cartésienne d'un plan en s'appuyant sur la propriété énoncée ci-dessous.



Soit a, b, c trois réels non tous nuls, l'ensemble des points M de l'espace de coordonnées (x ; y ; z) tels que ax + by + cz + d = 0 est un plan de vecteur normal de coordonnées (a ; b ; c). Réciproquement, tout plan de vecteur normal de coordonnées (a ; b ; c) admet une équation cartésienne de la forme ax + by + cz + d = 0. Pour déterminer une équation cartésienne d'un plan passant par A et de vecteur normal , on peut :

donner la forme générale de l'équation : ax + by + cz + d = 0 ; remplacer les coefficients a, b et c par les coordonnées du vecteur ; déterminer ensuite la valeur de d à l'aide des coordonnées du point A.

6. Comment calculer une distance ?

Distance d'un point A à une droite d dans un plan muni d'un repère orthonormal.La distance du point A à la droite d est la distance AH entre A et son projeté orthogonal H sur la droite d. Si A a pour coordonnées et d a pour équation cartésienne ax + by + c = 0,

alors Distance entre deux points A et B de l'espace.L'espace étant muni d'un repère orthonormal, Distance d'un point A à un plan P.La distance du point A au plan P est la distance AH du point A à son projeté orthogonal H sur le plan P. Si les coordonnées de A sont et l'équation du plan P est ax + by + cz + d

= 0 alors À retenir Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel. Dans un repère orthonormal, si les vecteurs et ont pour coordonnées respectives (x ; y ; z) et . Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. Si A est un point de l'espace et un vecteur non nul, l'ensemble des points M de l'espace tels que est le plan passant par le point A et de vecteur normal Tout plan de l'espace admet une équation cartésienne de la forme ax + by + cz + d = 0.

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Droites et plans dans l'espaceL’étude des objets de l’espace déjà abordée dans les classes antérieures se poursuit en terminale : on apprend à caractériser droites et plans à l’aide de la notion de barycentre ; par ailleurs, l’étude de l’intersection de plans de l’espace permet de donner une interprétation géométrique de la résolution de systèmes linéaires à trois inconnues.

1. Quelles sont les trois manières de caractériser une droite ?



Soit D une droite de l’espace contenant un point A de coordonnées et de vecteur directeur de coordonnées (a ; b ; c). On peut caractériser cette droite de trois manières.Caractérisation barycentrique : la droite (AM) est l’ensemble des barycentres des points A et M.Conséquence : pour démontrer que trois points sont alignés, il suffit de démontrer que l’un d’entre eux est barycentre des deux autres.

Caractérisation vectorielle :

Caractérisation par un système d’équations paramétriques :

2. Quelles sont des trois manières de caractériser un plan ?

Soit P un plan de repère et un vecteur de coordonnées (a ; b ; c) normal au plan P. On peut caractériser ce plan de trois manières.Caractérisation barycentrique : le plan (ABC) est l’ensemble des barycentres des points A, B et C.Conséquence: pour démontrer que quatre points sont coplanaires, il suffit de montrer que l’un d’entre eux est barycentre des trois autres.

Caractérisation vectorielle : Caractérisation par une équation cartésienne : le plan P admet une équation cartésienne de la forme ax + by + cz + d = 0.

3. Quelles sont des deux manières de caractériser un segment ?

On peut également caractériser un segment de deux manières.Caractérisation barycentrique : le segment [AB] est l’ensemble des barycentres des points A et B affectés de coefficients de mêmes signes.

Caractérisation vectorielle :

4. Comment étudier la position relative de deux droites de l’espace ?

On étudie la position relative de deux droites de l’espace : la droite D passant par A, de vecteur directeur et la droite D' passant par A', de vecteur directeur Il suffit d’étudier leurs vecteurs directeurs.Si et sont colinéaires, alors les droites D et D' sont parallèles.Deux cas sont alors possibles :

si A appartient à D', alors les droites D et D' sont confondues ; si A n’appartient pas à D', alors les droites D et D' sont strictement parallèles, leur

intersection est vide.

Si et ne sont pas colinéaires alors les droites D et D' sont soit sécantes (leur intersection est un point) soit non coplanaires (leur intersection est vide).

5. Comment étudier la position relative d’une droite et d’un plan ?26 yahya MOHAMED MAHAMOUD


On étudie la position relative d’une droite D passant par A, de vecteur directeur et d’un plan P de vecteur normal On s’intéresse alors aux vecteurs et Si et sont orthogonaux, alors la droite D est parallèle au plan P.Si, en outre, le point A appartient au plan P, alors la droite D est incluse dans le plan P.Sinon, la droite D est strictement parallèle au plan P et leur intersection est vide.Si et ne sont pas orthogonaux, alors D et P sont sécants ; leur intersection est un point. Si, par ailleurs, et sont colinéaires, alors la droite D est orthogonale au plan P.

6. Comment étudier les positions relatives de deux plans ?

On considère deux plans P et P' de vecteurs normaux respectifs et Point de vue géométrique : P et P' sont parallèles si et seulement si et sont colinéaires. Deux cas sont alors possibles : soit P et P' sont confondus et leur intersection est un plan ; soit P et P' sont strictement parallèles et leur intersection est vide.Sinon P et P' sont sécants et leur intersection est une droite.Point de vue algébrique : soit ax + by + cz + d = 0 et a'x + b'y + c'z + d' = 0 les équations cartésiennes respectives des plans P et P'. Pour étudier l’intersection de ces deux plans, on

résout le système : Soit ce système n’a pas de solutions, soit il en a une infinité.Ainsi, une droite de l’espace peut être représentée par un système de deux équations linéaires composé des équations cartésiennes de deux plans sécants selon cette droite (on remarque que ce système n’est pas unique).

7. Comment étudier l’intersection de trois plans ?

On considère trois plans P, P' et P'' de vecteurs normaux respectifs , et Point de vue géométrique : P, P' et P'' sont parallèles si et seulement si , et sont colinéaires. Deux cas sont alors possibles : soit P, P' et P'' sont confondus et leur intersection est un plan ; soit P, P' et P'' sont strictement parallèles et leur intersection est vide.Sinon P, P' et P'' sont sécants et leur intersection est soit une droite soit un point.Point de vue algébrique : soit ax + by + cz + d = 0, a'x + b'y + c'z + d' = 0 et a''x + b''y + c''z + d'' = 0 les équations cartésiennes respectives des plans P, P' et P''. Pour étudier l’intersection

de ces trois plans, on résout le système : Ce système peut admettre soit aucune solution, soit une unique solution, soit une infinité de solutions.Le schéma suivant récapitule les différentes situations :



À retenirLa droite (AM) est l’ensemble des barycentres des points A et M.Le plan (ABC) est l’ensemble des barycentres des points A, B et C. Ainsi, pour démontrer que quatre points sont coplanaires, il suffit de montrer que l’un d’entre eux est barycentre des trois autres.Un système linéaire à trois inconnues peut se résoudre algébriquement par substitution ou par combinaisons linéaires. On peut aussi l’interpréter géométriquement en considérant chaque équation du système comme l’équation cartésienne d’un plan de l’espace. Chercher le nombre de solutions du système se ramène alors à étudier les positions relatives des plans.

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Outils de résolution en géométrieÀ l’issue d’une terminale scientifique, l’élève dispose d’un certain nombre de méthodes pour résoudre un problème de géométrie donné : les propriétés des configurations étudiées au collège et approfondies en seconde, le calcul vectoriel, le calcul barycentrique, les transformations, la géométrie analytique ou encore, les applications géométriques des nombres complexes. Il s’agit donc de choisir, dans une situation donnée, la méthode la plus pertinente. On notera néanmoins que, dans beaucoup de cas, plusieurs méthodes sont envisageables.

1. Quand utiliser la géométrie analytique et quel type de repère choisir ?

La géométrie analytique permet de ramener l’étude de propriétés géométriques à des calculs sur les coordonnées des points. En théorie, il est toujours possible d’y avoir recours, même si l’énoncé ne le précise pas. Cependant, la géométrie analytique présente deux écueils : les calculs ne doivent pas faire perdre de vue l’interprétation géométrique.



Ainsi si l’on cherche à déterminer l’intersection de deux plans de l’espace en résolvant le système linéaire formé par leurs équations cartésiennes, il faut se souvenir que l’intersection de deux plans est soit l’ensemble vide (les plans sont disjoints), soit une droite (les plans sont sécants) soit un plan (les plans sont confondus) mais ne peut en aucun cas être un point ; par conséquent, le système considéré ne peut avoir une unique solution. Parfois, la solution est obtenue à l’issue de calculs très lourds que des considérations géométriques auraient pu permettre d’éviter.

1. Si on est amené à choisir un repère dans un exercice, on veillera à : 2. choisir un repère orthonormal dans toutes les situations où on s’intéresse à des

distances, des angles, des conditions d’orthogonalité ; 3. choisir un repère orthonormal direct dans le cas où on s’intéresse à des angles

orientés ou à des rotations ; 4. choisir astucieusement le repère (choix de l’origine et des vecteurs de base) de

manière que les points de la figure aient des coordonnées les plus simples possible.

2. Quand utiliser les nombres complexes ?

A priori, la majorité des problèmes de géométrie peuvent être traités dans le cadre des applications géométriques des nombres complexes. On peut ainsi résoudre :

des problèmes de distances en utilisant les modules ; des problèmes d’angles en utilisant les arguments ; des problèmes avec des vecteurs, des barycentres en utilisant les affixes ; des problèmes de transformations (rotations, translations, homothéties, symétries

centrales, etc.) en utilisant l’écriture complexe associée.

Il s’agit là d’un outil particulièrement puissant et facile à mettre en œuvre. Comme dans le cadre de la géométrie analytique, on choisit (judicieusement) un repère orthonormal direct et on cherche les affixes des différents points de la figure. On remarquera que le traitement des rotations et des composées de transformation, qui est difficile dans le cadre de la géométrie analytique, est extrêmement simplifié par le recours aux nombres complexes.

3. Dans quelles conditions peut-on utiliser les transformations ?

Il est important de relier les configurations usuelles aux transformations. Voici des exemples :

« ABCD est un parallélogramme de centre O » équivaut à « la translation de vecteur transforme D en C « ou « la symétrie de centre O transforme A en C et B en D » ;

ABCD est un carré de centre O si et seulement si la rotation de centre O et d’angle

transforme A en B et C en D ; ABC est un triangle équilatéral si et seulement si la rotation de centre A et d’angle

transforme B en C ;



ABC est un triangle équilatéral de centre O si et seulement si la rotation de centre

O et d’angle transforme A en B et B en C.

Pour montrer que trois points sont alignés, on peut prouver que :

l’un est l’image de l’autre par une homothétie dont le centre est le troisième point ; ce sont les images de points alignés par une transformation qui conserve

l’alignement.

Pour montrer que des droites sont parallèles, on peut montrer que :

l’une est l’image de l’autre par une homothétie ou une symétrie centrale ; ce sont les images de deux droites parallèles par une transformation qui conserve

le parallélisme.

4. Comment déterminer un ensemble de points (lieu géométrique) ?

On considère une figure dont certains éléments sont fixes et d’autres variables. On connaît l’ensemble décrit par l’un des points variables A et on cherche alors l’ensemble décrit par un autre point variable de la figure, M. Dans un premier temps, il convient de faire des essais soit à la main soit à l’aide d’un logiciel de géométrie en envisageant plusieurs positions pour les points considérés de manière à pouvoir conjecturer la nature de l’ensemble obtenu. On peut alors déterminer l’ensemble cherché par recours à la géométrie analytique ou aux nombres complexes. L’ensemble est alors caractérisé par une équation. Ainsi, dans le plan, x2

+ y2 = 1 est une équation cartésienne du cercle de centre O et de rayon 1. On peut aussi procéder à une étude directe (on montre que le point variable étudié appartient à un certain ensemble E) puis à une étude réciproque (on étudie si tout point de l’ensemble E convient). Enfin, on peut prouver que le point M dont on cherche le lieu géométrique est l’image du point A par une transformation (translation, symétrie, rotation, homothétie). Dans ce cas, il n’est pas nécessaire de procéder à une étude réciproque, les théorèmes du cours fournissant directement une réponse complète à la question.

5. Comment résoudre un problème de construction géométrique ?

Un problème de construction se résout en général en trois étapes principales. AnalyseOn suppose que le problème posé admet une solution et on réalise la figure correspondant à ce qui est demandé. On étudie alors les propriétés de la configuration obtenue (droites parallèles, perpendiculaires, milieux, etc.). SynthèseParmi toutes les propriétés mises en évidence lors de l’étude précédente, on met en évidence les conditions nécessaires à la construction de la figure demandée. ConstructionOn réalise matériellement la construction demandée à la règle et au compas en discutant sur l’existence de solutions et le nombre de solutions obtenues.



6. Comment appliquer les méthodes précédentes à la résolution d’un problème ?

Dans la figure ci-dessous, les triangles ABC, BAB’ et CAC’ sont rectangles et isocèles respectivement en C et A. Soit M le milieu du segment [BC]. On se propose de démontrer que les droites (AM) et (B’C’) sont perpendiculaires et que B’C’ = 2AM.

Utilisation des nombres complexesOn rapporte le plan à un repère orthonormal direct d’origine A tel que l’affixe de B’ soit 1. Voici alors les étapes de résolution :

déterminer les affixes des points B, C, M, C’ ; déterminer les affixes des vecteurs et ;

en déduire AM et B’C’ puis une mesure de l’angle ; conclure.

Utilisation des transformationsOn considère l’homothétie h de centre B et de rapport 2. Voici alors les étapes de résolution :

déterminer les images des points A et M par h ; trouver une rotation r telle que transforme A en B’ et M en C’ ; conclure.

Utilisation de la géométrie analytique et vectorielleOn rapporte le plan à un repère orthonormal direct d’origine A tel que le point B ait pour coordonnées (1 ; 0). Voici alors les étapes de résolution :

déterminer alors les coordonnées des points B, C, M, C’ ; calculer le produit scalaire puis les normes des vecteurs et ; conclure.

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Probabilités et dénombrementDepuis leur entrée dans l'univers des mathématiques (avec Blaise Pascal au XVIIe siècle), les probabilités ont pris une place croissante dans notre façon d'appréhender le monde. La mécanique quantique, par exemple, repose en partie sur le calcul des probabilités.Le programme de terminale se limite à l'étude des cas où le nombre de résultats possibles est fini et à quelques exemples de lois continues.

1. Comment définir et calculer une probabilité ?

À partir d'une expérience aléatoire E, on définit l'univers c'est-à-dire l'ensemble des résultats possibles de l'expérience. Les sont également appelés événements élémentaires. Un événement est une partie quelconque de Définir une probabilité sur E, c'est associer à chacun des résultats possibles un nombre

, tel que : On peut déterminer les nombres de deux façons : — soit statistiquement : , lors d'un grand nombre de répétitions de E ; on a alors pour un événement A quelconque : ;

— soit par hypothèse d'équiprobabilité : ; on a alors pour un

événement A quelconque : Dans ce dernier cas, on est amené à dénombrer, c'est-à-dire à compter le nombre d'éléments d'un ensemble. Pour cela, on utilise des techniques assez simples comme les arbres, les diagrammes, les tableaux à double entrée.

2. Comment compter le nombre de tirages successifs, avec remise ?

Le modèle de référence dans ce cas est celui d'une urne contenant n jetons numérotés dont on extrait p jetons, en remettant après chaque tirage le jeton tiré dans l'urne. Combien de résultats différents peut-on obtenir lors de cette expérience ? On peut fabriquer un arbre ou simplement tenir le raisonnement suivant :

pour le 1er jeton, on a n possibilités ; pour le 2e jeton, on a n possibilités ; ... ; pour le pe jeton, on a n possibilités.

On en déduit que le nombre de résultats possibles est :

3. Comment compter le nombre de tirages successifs, sans remise ?

Le modèle de référence dans ce cas est celui d'une urne contenant n jetons numérotés dont on extrait p jetons , en conservant le jeton après chaque tirage. Combien de résultats différents peut-on obtenir lors de cette expérience ? Là encore, on peut fabriquer un arbre ou recommencer notre raisonnement :



pour le 1er jeton, on a n possibilités ; pour le 2e jeton, on a n – 1 possibilités ; ... ; pour le pe jeton, on a n – p + 1 possibilités.

On en déduit que le nombre de résultats possibles est :

; où n! est le nombre Cas particulier :Si l'on fait n tirages sans remise dans l'urne et que l'on vide l'urne, alors le nombre de résultats possibles est n!. C'est aussi le nombre de façons de ranger n objets les uns par rapport aux autres.

4. Comment compter le nombre de tirages simultanés ?

Si l'on extrait p jetons simultanément (c'est-à-dire sans ordre ni répétition) de l'urne contenant n jetons numérotés, le nombre de tirages possibles ou nombre de combinaisons est

alors :

5. Comment développer (a + b)n ?

Les propriétés des combinaisons sont les suivantes :

La dernière propriété permet d'établir le triangle de Pascal qui, de proche en proche, donne

les valeurs des nombres Connaissant ces nombres, on peut développer (a + b)n à l'aide du binôme de Newton :

(généralisation des « identités remarquables »).

6. Comment calculer une probabilité sans passer par le dénombrement ?

Connaissant les probabilités de certains événements, on peut en trouver d'autres à l'aide des propriétés suivantes :

(événement impossible) ; (événement certain) ; soit A et B deux événements incompatibles, c'est-à-dire tels que :

; soit A un événement quelconque et l'événement contraire : ; soit A et B deux événements quelconques :

; soit A et B deux événements quelconques avec alors :

À retenir



Définir une probabilité, c'est associer, à chacun des résultats xi de l'expérience aléatoire, un nombre pi positif tel que la somme des pi soit égale à 1. Dans une situation d'équiprobabilité, la probabilité d'un événement A quelconque est :

Soit une urne contenant n jetons numérotés dont on extrait p jetons :

si l'on remet le jeton tiré après chaque tirage, le nombre de résultats possibles est : ;

si l'on conserve le jeton après chaque tirage, le nombre de résultats possibles est :

Soit une urne contenant n jetons numérotés dont on extrait p jetons simultanément, le nombre

de résultats possibles est :

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Probabilités conditionnelles (Terminale S)Si je jette un dé non truqué, la probabilité d'obtenir un 6 est de Si je lance ce même dé, qu'une tierce personne me cache le résultat et me dise « j'ai vu que le résultat est pair », la

probabilité de l'événement « avoir un 6 » devient J'ai tenu compte de l'information donnée.

On dit que la probabilité d'obtenir 6, sachant que le nombre obtenu est pair, est ; il s'agit d'une probabilité conditionnelle.

1. Comment calculer une probabilité conditionnelle ?

Soit A et B, deux événements quelconques de probabilités non nulles.Si je sais que l'événement A est ou va être réalisé, alors :

les résultats possibles se réduisent à ceux qui réalisent A ; les résultats qui réalisent B se réduisent à ceux qui réalisent à la fois A et B.

La « probabilité de l'événement B, sachant que l'événement A est réalisé », notée PA(B) ou

P(B/A), est alors

Or :

Soit : 34 yahya MOHAMED MAHAMOUD


On calcule donc une probabilité conditionnelle à l'aide de la définition suivante :

On retrouve, sur les probabilités conditionnelles, les propriétés habituelles d'une probabilité, c'est-à-dire :

;

2. Comment passer de PA(B) à PB(A) ?

Très souvent, dans la pratique comme dans les problèmes posés, on connaît PA(B) et on veut trouver soit , soit PB(A).Pour obtenir ces probabilités, il suffit de repartir de la définition précédente.Soit A et B, deux événements quelconques de probabilités non nulles.

On a : d'où

Mais on a aussi : d'où Et comme , on obtient :

Ce qui nous donne au final :

3. Comment montrer que deux événements sont indépendants ?

Intuitivement, deux événements sont indépendants si la réalisation de l'un de ces événements n'influe pas sur la probabilité de l'autre.On doit donc avoir : PA(B) = P(B).

C'est-à-dire A et B sont donc indépendants si et seulement si Si deux événements A et B sont indépendants, alors :

et B sont indépendants ; et sont indépendants ; A et sont indépendants.

La notion d'indépendance pose souvent problème car on l'utilise dans les deux « sens » :

dans certains cas, on dira : il est évident que A et B sont indépendants donc Ce cas de figure se présente lorsque A et B sont issus de

deux expériences séparées ou de deux répétitions distinctes d'une même expérience, réalisées dans des conditions identiques ;

dans d'autres cas, on dira : , donc A et B sont indépendants. C'est d'ailleurs la réponse que l'on attend quand on pose la question : A et B sont-ils indépendants ?

Remarque :



Attention à ne pas confondre :

A et B incompatibles (c'est-à-dire : ; A et B indépendants (c'est-à-dire : ).

4. Comment utiliser la formule des probabilités totales ?

La formule des probabilités totales repose sur l'existence d'une partition.Les événements réalisent une partition de l'univers si, pour tous nombres i et j compris entre 1 et n :

;, pour ;

Cas particulier important : si B est un événement avec et , alors B, forment une partition. Ayant une partition B1, B2,…, Bn de l'univers , on considère un événement A quelconque. On peut écrire que les événements élémentaires qui réalisent A sont les événements élémentaires de B1 qui réalisent A « union » les événements élémentaires de B2 qui réalisent A « union » … « union » les événements élémentaires de Bn qui réalisent A.C'est-à-dire : D'où la première expression de la formule des probabilités totales :

Et comme , on obtient la seconde expression de la formule des probabilités totales : À retenir Soit A et B deux événements de probabilités non nulles. La probabilité de l'événement A, sachant que l'événement B est réalisé, est appelée probabilité conditionnelle. Elle est définie

par : Les événements A et B sont indépendants lorsque la réalisation de l'un de ces événements n'influe pas sur la probabilité de l'autre. A et B sont donc indépendants si et seulement si :

À partir d'une partition, on peut utiliser la formule des probabilités totales.

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Variables aléatoires (Terminale S)Soit un jeu de 32 cartes, on convient que les figures (roi, dame, valet) valent 10 points et que les autres cartes valent 5 points. On tire deux cartes du jeu. On effectue ainsi une expérience aléatoire. À chaque tirage, c'est-à-dire à chaque événement élémentaire, on peut associer un nombre, comme par exemple la valeur de la somme des points des deux cartes tirées. C'est ce que l'on appelle définir une variable aléatoire.On verra ici comment déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire mais aussi comment calculer ses paramètres (espérance, variance, écart-type).



On étudiera également une loi très importante de par ses diverses applications, la loi binomiale. Il est nécessaire de connaître cette loi, mais surtout de savoir la reconnaître à l'aide de ses conditions d'application.

1. Comment déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire ?

On considère une expérience aléatoire E et l'univers associé . Une variable aléatoire X est une application qui, à chaque événement élémentaire de l'univers, associe un nombre réel. C'est-à-dire : L'ensemble des valeurs prises par X est noté X( ). En classe de terminale, on se limite au cas où X( ) est un ensemble fini de nombres, c'est-à-dire au cas où La loi de probabilité de X attribue à chaque valeur xi la probabilité pi de l'événement (X = xi), constitué de tous les événements élémentaires dont l'image par X est xi. Cette loi est généralement représentée sous la forme d'un tableau à double entrée :

On a : , avec pi = P(X = xi), et Pour établir une loi de probabilité, on étudie d'abord l'image des événements élémentaires, puis on détermine X( ), enfin, pour chaque xi, on calcule pi = P(X = xi). Exemple :On jette une pièce deux fois de suite, ce qui constitue une expérience aléatoire. L'univers associé est , où, par exemple, FP signifie« face » au premier lancer et « pile » au second. Soit X, la variable aléatoire qui, à chaque événement élémentaire, associe le nombre de côtés « face » obtenus (donc X associe à FF le nombre 2, à FP le nombre 1, etc.). Les valeurs prises par X sont 0, 1 et 2. La loi de probabilité est :

Par exemple, P(X = 1) est la probabilité des événements pour lesquels on a obtenu une seule fois le côté « face », c'est la probabilité des événements FP, PF.

se traduit ici par :

2. Comment calculer des probabilités à l'aide de la loi d'une variable aléatoire ?

Soit X une variable aléatoire dont la loi est pi = P(X = xi), pour P(X = xi) est la probabilité de l'événement constitué de tous les événements élémentaires dont l'image par X est xi. 37 yahya MOHAMED MAHAMOUD


On généralise cette notation. est alors la probabilité de l'événement constitué de tous les événements élémentaires dont l'image par X est supérieure ou égale à a et inférieure ou égale à b. On a, par exemple, (autrement dit l'événement contraire de

est X > a). Exemple :Si X est une variable aléatoire de loi :

Alors : ;

;

3. Comment calculer l'espérance et la variance d'une variable aléatoire ?

Soit X une variable aléatoire dont la loi est pi = P(X = xi), pour Autrement dit, la loi de X est :

L'espérance de X est le nombre réel noté E(X) et défini par :

L'espérance est la « moyenne » des valeurs prises par X lors d'un grand nombre de répétitions de l'expérience.

La variance de X est le nombre réel noté V(X) et défini par : ;

Pour calculer ce nombre, on privilégie cependant la formule de Koenig :

Attention, la variance est forcément un nombre positif.

L'écart-type de X est le nombre réel noté et défini par : Exemple :Reprenons la variable aléatoire X de loi :

Alors : E(X) = 1 × 0,1 + 2 × 0,2 + 3 × 0,4 + 4 × 0,1 + 5 × 0,2 = 3,1.

4. Comment reconnaître une loi binomiale ?



On considère une expérience aléatoire E et un événement A lié à E, de probabilité non nulle, avec P(A) = p. On appelle succès, la réalisation de A et échec, celle de Soit Y, la variable aléatoire qui prend la valeur 1, si A est réalisé au cours de l'expérience, et la valeur 0, si A n'est pas réalisé. La variable aléatoire Y ainsi définie est appelée variable de Bernoulli. La loi de Y est alors :

On a aussi : E(Y) = p et V(Y) = p – p2 = p(1 – p) = pq avec q = 1 – p.On réalise ensuite le schéma de Bernoulli, c'est-à-dire qu'on répète n fois l'expérience E dans des conditions identiques et de manière indépendante. Soit X la variable aléatoire comptant le nombre de succès au cours des n répétitions, alors X suit une loi binomiale de paramètres n et p, notée B(n, p).

On a alors : avec q = 1 – p.C'est-à-dire :

Remarque :

; on retrouve la formule du binôme de Newton. On a de plus : E(X) = np et V(X) = npq. En résumé :Lorsque l'on a une variable aléatoire X qui compte le nombre de réalisations de A, avec P(A) = p (p est non nul), au cours de n répétitions indépendantes, alors on sait que X suit une loi binomiale de paramètres n et p, notée B(n, p). À retenir Une variable aléatoire X est une application qui, à chaque événement élémentaire de l'univers, associe un nombre réel. Définir une loi de probabilité de X, c'est associer à chaque résultat xi un nombre pi positif tel que la somme des pi soit égale à 1.

L'espérance de X est :

La variance de X est :

L'écart-type de X est : Une expérience qui ne comporte que deux résultats, appelés succès et échec, est appelée épreuve de Bernoulli.



Lors de la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, on s'intéresse au nombre de succès. La loi de probabilité sur cet ensemble est nommée loi binomiale de paramètres n et p, où p est la probabilité de succès.

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NE SOYEZ PAS DES MATERIALISTES DIRE MERCI.


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abdoulaziz95.files.wordpress.com · Web viewLimites (Terminale S) Les calculs de limites et la recherche d'asymptotes ont été abordés en classe de première. Nous en rappelons