Terminale S1 Corrig´e du Bac Blanc de janvier 2014
Correction du Bac Blanc de janvier 2014 Exercice 1 : Restitution organis´ee de connaissances On suppose connus les r´esultats suivants : ∗ on dit que deux ´ev`enements A et B sont ind´ependants si P (A ∩ B) = P (A) × P (B) ; ∗ si A et B sont deux ´ev`enements, alors P (B) = P (A ∩ B) + P (A ∩ B). Supposons que les ´ev`enements A et B soient ind´ependants.
On a P (B) = P (A ∩ B) + P (A ∩ B)
⇐⇒
P (B) = P (A) × P (B) + P (A ∩ B) car A et B sont ind´ependants
⇐⇒
P (B) × (1 − P (A)) = P (A ∩ B)
⇐⇒
P (B) × P (A) = P (A ∩ B) Ainsi, les ´ev`enements A et B sont ind´ependants. D’o`u, Si A et B sont deux ´ev`enements ind´ependants, alors les ´ev`enements A et B le sont aussi. Exercice 2 : Le plan est muni d’un rep`ere orthonorm´e (O ;
#” #”).
ı , On consid`ere une fonction f d´erivable sur l’intervalle [−3 ; 2]. On dispose des informations suivantes :
• f (0) = −1 ;
• la d´eriv´ee f ′ de la fonction f admet la courbe repr´esentative C
′
ci-dessous 1. Vrai.
En′ effet, pour tout r´eel x de l’intervalle [−3 ; −1], la courbe C est situ´ee au-dessous de l’axe des abscisses. On en d´eduit que
f ′(x) 6 0, ∀x ∈ [−3 ; −1].
2
1 #” j
−3 −2 −1 O
#” 1 2
i
−1
C ′
−2
2. Vrai.
En effet, pour tout r´eel x de l’intervalle [−1 ; 2], la courbe C ′ est situ´ee au-dessus de l’axe des abscisses. On
′
en d´eduit que f (x) > 0, ∀x ∈ [−1 ; 2]. Ainsi, la fonction f est croissante sur l’intervalle [−1 ; 2]. 3. Faux.
En effet, pour tout r´eel x de l’intervalle ] − 1 ; 0], la courbe C ′ est situ´ee strictement au-dessus de
l’axe des abscisses. On en d´eduit que f ′(x) > 0, ∀x ∈] − 1 ; 0]. Ainsi, la fonction f est strictement
croissante sur l’intervalle ] − 1 ; 0].
Pour tout r´eel x de l’intervalle ] − 1 ; 0[, on a f (x) < f (0). Puisque f (0) = −1, f (x) < −1 ∀x ∈] − 1 ; 0[. 4. Soit C la courbe repr´esentative de la fonction f .
Vrai.
En effet, f (0) = −1 et f ′(0) = 1 donc une ´equation de la tangente `a C en 0 est y = f
′(0)(x − 0) + f (0),
c’est-`a-dire y = x − 1. La tangente `a la courbe C au point d’abscisse 0 passe effectivement par le point de coordonn´ees (1 ; 0). Il suffit de remplacer . . .
Exercice 3 : √
Pr´e-requis :Pour tout nombre complexe Z, |Z| = ZZ ∈ R,
x′
#” #” #” x #” 1 y 2 y ′
Dans une base orthonormale, deux vecteurs e et e sont orthogonaux si, et seulement
si e1 · e2 = xx′ + yy
′ = 0.
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#” #” d’affixes respectives′ 2 et −2 et on Dans le plan muni d’un rep`ere (O ; u , v ), on consid`ere les points A et B
d´efinit l’application f qui `a tout point M d’affixe z et diff ´erent de A associe le point M d’affixe
z′ =
(z − 2) .
z
z − 2
1. a. L’affixe du point P ′ image par f du point P d’affixe 1 + i est :
f (1 + i) = (1 + i)(1 + i − 2) 2i( 1 + i)
(1 + i) − 2 = ( 1 −
−
i)( 1 + i)
(1 − i)(−1 + i)
− −
= = −2i − 2 1 − i − 2 1 + 1
= −1 + i + i + 1 = −
1 −
i
−1 − i
=
2i
Ainsi, l’affixe du point P ′ est
1
i.
−1 − i − −
# ”
b. Pour montrer que les droites (AP ) et (BP ′) sont parall`eles, il suffit de prouver que les vecteurs AP et
# ”
sont colin´eaires.
BP ′
On a A (2 ; 0) , B ( 2 ; 0) , P (1 ; 1) et P
′ (
1 ;
1). Donc,
# ” −1
# ” 1 .
− −
AP et BP ′
− 1 # ” −1
D’o`u, (−1) × (−1) − 1 × 1 = 0. On′
# ”
en d´eduit que les vecteurs AP et BP ′ sont colin´eaires et par
cons´equent, les droites (AP ) et (BP ) sont parall`eles.
c. Pour montrer que les droites (AP ) et (P P ′) sont perpendiculaires il suffi t de prouver que les vecteurs
# ” # ”
AP et BP ′ sont orthogonaux.
# ” −1 # ” # ” # ” = ( 1) ( 2) + 1 ( 2) = 0. On On a AP et P P ′
−2 . En utilisant le pr´e-requis, AP
· P P ′
1 #
2 # ”
− × − × − −
en d´eduit que les vecteurs AP et P P ′
sont orthogonaux et par cons´equent, les droites (AP ) et (P P ′)
sont perpendiculaires.
2. Pour d´eterminer l’ensemble des points invariants par f , on r´esout z′ = z
z′ = z
(z − 2) = z
⇐⇒ z
− 2
z
⇐⇒
(z − 2) = z(
− 2) et
6= 2
z z z
⇐⇒
z 6= 2
zz − 2z = zz − 2z et
⇐⇒
= z
et
z 6= 2
z
⇐⇒ z ∈ R et z 6= 2
⇐⇒ M est un point de l’axe des r´eels et M 6= A
Ainsi, l’ensemble des points invariants par f est l’axe des r´eels priv´e du point A.
3. a. Soit z ∈ C (z − 2)(z − 2) = (z − 2)(z − 2) = |z − 2|2 ∈ R, d’apr`es le pr´e-requis. Ainsi, pour tout nombre
complexe z, le nombre (z − 2)(z − 2) est un nombre r´eel.
b. Soit z 6= 2, http://mathematiques.ac.free.fr 2/7 25 janvier 2014
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(z−2)
z′ + 2
z
+ 2
−2 = z
z − 2
z − 2
(z−2)+2(
−2)
z z
−2
= z
z − 2
zz−2z+2z−4
−2
= z
z − 2
= zz − 4
(z − 2)(
− 2) z
Mais, d’apr`es le pr´e-requis et la question pr´ec´edente, on a zz = |z|2 ∈ R et (z − 2)(z − 2) ∈ R d’apr`es la
question pr´ec´edente.
Ainsi, zz − 4 R. Donc, pour tout nombre complexe z = 2, le nombre complexe z′+2
est r´eel. (z
− 2)( z
− 2) ∈ 6 z−2
c. D’apr`es la question pr´ec´edente, pour tout z = 2, il existe un r´eel k tel que z′+2 = k,
z−
6
soit z′ + 2 = k(z
2)
z
z z ) #” #
2 ” # ”
−
⇐⇒ ′ = k(z
⇐⇒ BM
′ = kAM . Les vecteurs AM et
#” M − B M −
A
BM ′
sont donc colin´eaires. # ”#”
4. Soit M un point quelconque non situ´e sur l’axe des r´eels. Prouvons que les vecteurs AM et M M ′
sont orthogonaux. Soit z = x + iy la forme alg´ebrique de l’affixe de M (z =6 R) : ∗ − − − y # ”
zA = z
# ”
x − 2 . L’affixe du vecteur AM est zM 2 = (x 2) + iy. d’o`u, AM # ”
∗ L’affixe du vecteur M M ′ est zM ′ − zM = z
′ − z.
(z − 2)
z
′
− z = z
− z
4iy (x − 2) + iy
z − 2
=
(x 2) iy (x 2) + iy
z z 2) z(z 2)
− −
−
= ( − − −
− 2
z
+ 2
= 4iy(x − 2) − 4y
2 zz z zz z = − 2 − (x
− 2)
2 + y
2
− 2
z
−4y 2
4y(x − 2)
2
+ 2z
z = + i
= −
− 2
(x − 2)2 + y
2
(x − 2)2 + y
2
z
= −2(x + iy) + 2(x + iy)
x + iy − 2
− 4y
2
2x + 2iy + 2x + 2iy ” (x 2 2 D’o`u, # ′ − 2) + y M M
= −
(x − 2) − iy 4y(x − 2)
4iy (x 2)2 + y
2
=
−
(x − 2) − iy 2 2 2 # ” # ” −4y 4y(x − 2) −4y (x − 2) 4y (x − 2)
∗ AM · M M ′ = (x − 2) ×
+ y ×
= + = 0. (x 2)2
+ y2
(x 2)2 + y
2 (x 2)
2 + y
2 (x 2)
2 + y
2 # ”
# ”
−
−
−
−
On en d´eduit que les vecteurs AM et M M ′ sont orthogonaux. Ainsi, les droites (AM ) et (M M
′)
sont perpendiculaires. 5. Soit M un point distinct de A. Il faut distinguer ici deux cas :
Si M est un point de l’axe des r´eels alors M ′ = M d’apr`es les invariants par f .
# ”#”
Si M n’appartient pas `a l’axe des r´eels. D’apr`es la question 3.c, les vecteurs AM et BM ′ sont colin´eaires.
D’apr`es la question pr´ec´edente, (AM ) ⊥ (M M ′). On en d´eduit que le point M
′ est l’intersection de la
parall`ele `a la droite (AM ) passant par B avec la perpendiculaire `a la droite (AM ) passant par M .
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2
1
#” v B A
×
O #”
×
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 u
−1
−2 × Q
−3
× Q′ −4
Exercice 4 : Les r´esultats seront donn´es en fractions irr´eductibles. Un club de tennis comporte 500 adh´erents dont 300 hommes. Le tennis, en comp´etition, est pratiqu´e par 30 % des hommes et 20 % des femmes. Les autres adh´erents pratiquent ce sport uniquement pour le loisir.
On choisit, au hasard, un adh´erent. On note les ´ev`enements :
F : « l’adh´erent est une femme » ;
C : « l’adh´erent pratique la comp´etition ».
1. a) Sachant qu’il y a 200 femmes dans le club et que le choix d’un adh´erent suit une loi equir´epartie, on a
P (F ) = 200
500 = 25 .
b) Sachant que la personne choisie est une femme, la probabilit´e qu’elle pratique le tennis en
comp´etition est PF (C) = 15 . En effet, 20 % des femmes pratiquent la comp´etition.
c) 1 5
F
C
2 5
4 5
C
3
10 3
5
C car 30 % des hommes pratiquent la comp´eti-tion
F
7 C
10
La probabilit´e d’un chemin est ´egale au produit des poids situ´es sur les branches de ce chemin.
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d) Les ´ev`enements F et F forment une partition de l’univers. D’apr`es la formule des probabilit´es totales,
P (C) = P (C ∩ F ) + P (C ∩ F )
= PF (C) × P (F ) + PF (C) × P (F )
= 15 ×
25 + 10
3 ×
35
= 13
50
La probabilit´e que la personne choisie pratique le tennis en comp´etition est 13 . 50
2. L’adh´erent choisit la comp´etition. La probabilit´e que ce soit une femme est PC (F ).
PC (F ) = P (C ∩ F ) = PF (C) × P (F ) = 51 × 5
2
= 4 . 13
P (C) P (C) 13
50
Sachant que l’adh´erent a choisi la comp´etition, la probabilit´e qu’il s’agisse d’une femme est 4 . 13
3. La probabilit´e que l’adh´erent soit une femme qui pratique la comp´etition est
P (C ∩ F ) = PF (C) × P (F ) = 15 ×
25 = 25
2 .
4. Le secr´etaire de ce club doit choisir un certain nombre d’adh´erents. Il les choisit parfaitement au
hasard, sans se pr´eoccuper de savoir s’il les a d´ej`a choisis ou non.
a) La phrase « il les choisit parfaitement au hasard, sans se pr´eoccuper s’il les a d´ej`a choisis ou non » signifie qu’il y a ind´ependance dans le choix des adh´erents.
b) Il choisit 4 adh´erents.
La probabilit´e de choisir une femme qui pratique la comp´etition est 252 .
On calcule dans un premier temps la probabilit´e qu’aucun des 4 adh´erents ne soit une femme qui pratique la comp´etition.
La probabilit´e qu’un adh´erent ne soit pas une femme qui pratique la comp´etition est 1 − 252 =
2325 .
Le choix des adh´erents `a contacter se fait de mani`ere ind´ependante. Donc, la probabilit´e qu’aucun des 4
adh´erents ne soit une femme qui pratique la comp´etition est 23 n. 25 prob abilit´ e po ur que l e sec r e taire cont acte au moins un e
Ainsi, par passage `a l’´ev`enement contraire, la 4
femme qui pratique la comp´etition est 1 − 2523
= 390110
625784
. c) L’algorithme ci-contre donne n = 28.
On note n le nombre d’adh´erents que le secr´etaire contacte (n > 0).
En raisonnant comme dans la question pr´e-c´edente, la probabilit´e pour que le secr´-taire contacte au moins une femme qui pra- tique la comp´etition parmi n adh´erents, est
1 − 2523
n.
On a :
1 − 2523
n > 0,9
⇐⇒ − 2523
n
> −0,1 23 n
6 0,1
⇐⇒
25
D´ebut Variables :
n est un entier
Initialisation :
n prend la valeur
0 Traitement :
Tantque 23
25 n > 0,1 Faire
n prend la valeur n + 1
FinTantque
Sortie : Afficher(n)
Fin
Le secr´etaire doit contacter au minimum 28 adh´erents pour que la probabilit´e de contacter au moins une femme qui pratique la comp´etition soit sup´erieure `a 0,9.
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Exercice 5 :
Partie A -
Soit g la fonction d´efinie sur R par g(x) = −xex + 1
. 1. ∗ lim g(x) : x→−∞
On sait que lim xex = 0 donc lim g(x) = 1 par produit et somme
x→−∞ x→−∞
∗ lim g(x) :
x→+∞ lim x = +
∞ )
x→+∞
=⇒ lim xe
x = +
∞ par produit
lim ex = +
∞ x→+∞
x→+∞
Ainsi, lim g(x) = −∞
par produit et somme x→+∞
2. g est d´erivable sur R comme produit et somme de fonctions d´erivables.
g′(x) = − (e
x + xe
x) + 0 = −(x + 1)e
x, ∀x ∈ R.
ex > 0 sur R donc le signe de g
′(x) sur R d´epend du signe de −(x + 1).
⋆ −(x + 1) = 0 ⇐⇒ x = −1
⋆ −(x + 1) > 0 ⇐⇒ x < −1
On en d´eduit que g′(x) > 0 sur ] − ∞ ; −1] et g
′(x) 6 0 sur [−1 ; +∞[ donc g est croissante sur ] − ∞ ; −1]
et d´ecroissante sur [−1 ; +∞[.
Tableau de variation de g : x
−∞ 0 α
+∞
−1 −1 g′(x) + 0 −
g(−1) = −(−1)e + 1 = e + 1 e−1
+ 1
g 0
1 −∞ 3. g est continue sur R car elle est d´erivable sur R.
Le minimum de g sur ]−∞ ; −1] est 1. Donc, l’´equation g(x) = 0 n’admet pas de soultion sur ]−∞ ; −1]. f
est continue et strictement d´ecroissante sur [−1 ; +∞[. L’image de l’intervalle [−1 ; +∞[ par f est
l’intervalle ] − ∞ ; e−1
+ 1]. Or, 0 ∈] − ∞ ; e−1
+ 1]. D’apr`es le corollaire du th´eor`eme des valeurs
interm´ediaires, l’´equation g(x) = 0 admet une unique soultion α sur [−1 ; +∞[.
On en d´eduit que l’´equation g(x) = 0 admet une unique solution α sur R.
` A la calculatrice
g(0,56) ≈ 0,019 6 > 0 = 0,56 < α < 0,57 ⇒
g(0,57) ≈ −0,007 9 < 0
4. On d´eduit du tableau de variation de la fonction g :
g(x) > 0 sur ] − ∞ ; α[
g(x) = 0 pour x = α
g(x) < 0 sur ]α ; +∞[
Partie B -
Soit f la fonction d´efinie par f (x) = x + 1 . x
e + 1 #” #”
On appelle C sa courbe repr´esentative dans un rep`ere orthonormal (O ; ı , )(unit´e : 1 cm).
1. f est d´efinie si ex + 1 =6 0. Mais e
x > 0 sur R donc e
x + 1 > 0 sur
R. La fonction f est donc d´efinie sur R. http://mathematiques.ac.free.fr 6/7 25 janvier 2014
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2. ∗
lim f (x) : x→−∞
lim x + 1 = −∞
lim ex = 0
) x→−∞
=⇒ lim f (x) =
−∞ par quotient
lim ex + 1 = 1 car
x→−∞
x→−∞ x→−∞
∗
lim f (x) : x→+∞
x 1 + 1 1 1 + 1
Au voisinage de + ∞ , f (x) = x = × x 1 e
X 1
ex 1 + eX x 1 + eX
lim ex = +
∞
x→+∞ x = lim 1 + 1
= 1
x→+∞ x
⇒
lim 1 + 1 = 1 car lim ex = +
∞
x→+∞
ex
x→+∞
On d´eduit de cette derni`ere limite, l’existence
d’une de +∞.
3. a) f est d´erivable sur R comme quotient de fonctions
lim f (x) = 0 par quotient et produit x→+∞
asymptote horizontale d’´equation y = 0 au voisinage
d´erivables.
Soit x ∈ R, f ′(x) =
1
×
(ex
+ 1)
−
(x
+ 1)ex
(ex + 1)
2
1 − xex
= (ex + 1)2
f ′(x) =
g(x)
(ex + 1)
2
Puisque (ex + 1)
2 > 0 sur R, le signe de f
′(x) d´epend du signe de g(x) sur R.
b) D’apr`es le signe de la fonction g obtenue `a la question A4., on en d´eduit que la fonction f est
croissante sur ] − ∞ ; α] puis d´ecroissante sur [α ; +∞[. 4. T : y = f
′(0)(x − 0) + f (0)
T : y = 41 (x − 0) + 2
1 car f
′(0) = 4
1 et f (0) = 2
1 T : y =
1 x +
1
4 2
5.
x −5 −4,5 −4 −3,5 −3 −2,5 −2 −1,5 −1 −0,5 0 α 1 1,5 2 2,5 3 3,5 44,55
y −3,9 −3,5 −2,9 −2,4 −1,9 −1,4 −0,9 −0,4 0 0,3 0,5 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,2 0,1 0,09 0,06 0,04
2
1 T
× × × × j
#”
× ×
O #” × × × × × × ×
−5 −4−3−2 −1 1 2 3 4 5
× α
i × −1
×
× −2
×
× −3
× CF
× −4
−5