?~MINISTERE DE L'EDUCATION NATIONALE REPUBLIQUE GABONAISE

(1~\)LYCEEJosephAMBOUROUE-AVARO UNION - TRAVAIL - JUSTICE

~ Tél:01552173 FAX:01551202 BP:236 PORT-GENTIL

Durée:4hBAC BLANC Fév 2013, Série D Coef:4Epreuve de MATHEMATIQUES

EXERCICE 1 (5 points ) Un fabriquant de jouets prépare, en vue de leur expédition, les commandes de quatre clients différents A,B,C et D. Le client A doit recevoir un colis; les clients B et C doivent recevoir chacun deux colis; le client D doit recevoir trois ~olis. Pour chaque colis, une étiquette portant l'adresse du client est prévue. On colle une des huit étiquettes sur chacun des colis, au hasard. On admet que toutes les étiquettes sont distinctes, comme les colis. 1°) Calculer : a) Le nombre de collages possibles. b) Le nombre de collages tels que chaque client reçoit le colis ou les colis qu'il a commandés. c) Le nombre de collages tels que A reçoit son colis. d) Le nombre de collages tels que D reçoit les trois colis qu'il a commandés. e) Le nombre de collages tels que A et D reçoivent chacun les colis qu'ils ont commandés. f) Le nombre de collages tels que D reçoit au moins l'un des colis qu'il a commandés.

2°) Reprendre les mêmes questions qu'en 1°) en considérant que les étiquettes et les colis d'un même destinataire sont identiques.

EXERCICE 2 ( 5 points ) On considère l'équation CE) d'inconnue complexe z : Z3 - (4 + i) z 2 + (13 + 4i)z - 13i = O. 1°) a) Vérifier que i est solution de (E).

b) Déterminer les nombres réels a, b et c tels que pour tORt nombre complexe z : Z3 - (4 + OZ2 + (13 + 4i)z - 13i = (z - i)(az 2 + bz + c).

c) En déduire les solutions de CE). 2°) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal (0,11, v), on considère les points A,B et C d'affixes respectives ZA = i, ZB = 2 + 3i, et Zc = 2 - 3i. Soit r la rotation de centre B et d'angle !:..

4

a) Déterminer l'affixe ZA' du point A' image de A par r. b) Calculer ZB-ZC . En déduire l'existence d'une homothétie h de centre B, qui transforme A' en C

ZB-ZAf

et préciser son rapport. 3°) On considère la transformation plane S définie par: S = hor.

a) Quelle est l'image de A par S ? b) Préciser la nature et les éléments caractéristiques de S.

4°) On désigne par Cn l'ensemble des points M du plan d'affixe z tels que Iz - 2 - 3il = 2-J2 . a) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de ( r ) b) Vérifier que AE (f) c) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de Cf') image de (r) par S. d) Construire (r) et ( r')

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PROBLEME ( 10 points)

On considère la fonction f de IR vers IR définie par f(x) = -lnlex - 11. On désigne par (C) la courbe représentative de f dans le plan muni d'un repère orthonormé (O,I,J).

PARTIE A 1°) Justifier que l'ensemble de définition de f est E = ]-00; O[ U ]0; +00[. 2°) Calculer les limites de faux bomes de E. 3°) a) Etudier le sens de variation de f.

b) Dresser le tableau de variation de f. 4°) a) Démontrer que la droite (D) d'équation y = -x est asymptote à la courbe (C) au voisinage de +00.

b) Etudier la position de (C) par rapport à (D) sur ]0; +00[. c) Préciser les autres asymptotes de la courbe (C). d) Tracer la courbe (C).

PARTIEB On pose K = ]0; +oo[ et on désigne par h la restriction de f à l'intervalle K. 1°) Démontrer-que h est une bijection de K sur un intervalle que l'on précisera. 2°) On désigne par g la bijection réciproque de h et (C') sa courbe représentative.

a) Tracer (C') dans le même repère que (C) . b) Déterminer l'ensemble de dérivabilité de E' de g.

-1c) Etablir que pour tout x E E' : g'(x) = --x'

l+e

d) Démontrer que, pour tout xE ]0; +00[, Ig'(x)1 ::;;~. 2

e) En déduire que, pour tout éléments a et b de l'intervalle ]0; +oo( on a:

Ig(a) - g(b)1 s la - bl·

PARTIEC On considère la suite (Un) définie par :

Ua = 1n2 {

U Il+! =g(un ),pour tout nE IN

1°) Démontrer que pour tout n E IN : Un > O.

2°) On pose oc= ln (1+.,)5). Démontrer que g(oc) =0<:. 2

3°) Démontrer que pour tout nE IN:

a) IUn+1-oc l::; ï1 IUn-ocl.

b) IUn-ocl::;; G)n IUo-ocl. c) En déduire que la suite (Un) est convergente puis préciser sa limite.

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