Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Valeur a risque
Mesures de RM
VaR lineaire
Portefeuille
Decomposition
VaR historique
Modelisation de strategies en finance demarche
Seance 9 : Valeur a risque
Alexander Surkov, CFA, FRM, PRM, [email protected]
Ecole de gestionUniversite de Sherbrooke
Le 15 mars 2017
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Valeur a risque
Mesures de RM
VaR lineaire
Portefeuille
Decomposition
VaR historique
Table de matiere
Valeur a risqueMesures du risque de marcheVaR lineaireVaR pour un portefeuilleDecomposition de VaRApproche historique a l’estimation de VaR
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Valeur a risque
Mesures de RM
VaR lineaire
Portefeuille
Decomposition
VaR historique
Table de matiere
Valeur a risqueMesures du risque de marcheVaR lineaireVaR pour un portefeuilleDecomposition de VaRApproche historique a l’estimation de VaR
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Valeur a risque
Mesures de RM
VaR lineaire
Portefeuille
Decomposition
VaR historique
Mesure coherente de risque
I Normalisation : M0 = 0 (pas d’actifs, pas de risque)
I Monotonicite : X1 ≤ X2 ⇒ MX1 ≥MX2 (toujoursplus de rendements, moins de risque)
I Sous-additivite : M(X1 + X2) ≤MX1 +MX2
(diversification)
I Uniformite : M(bX ) = bMX , b > 0 (double de risquepour double de portefeuille)
I Invariance translationnelle : M(X + k) =MX − k(l’ajout d’un actif sans risque diminue le risque)
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Valeur a risque
Mesures de RM
VaR lineaire
Portefeuille
Decomposition
VaR historique
Ecart type (1)
I L’ecart type n’est pas monotone et n’a pas d’invariancetranslationnelle, mais il est sous-additif.
I La variance de rendement du portefeuille :
V πt = V
(1)t + · · ·+ V
(N)t , R
(i)t2,t1
=V
(i)t2
V(i)t1
− 1
Rπt2,t1≡
V πt2
V πt1
− 1 =N∑i=1
V(i)t1
V πt1
V(i)t2− V
(i)t1
V(i)t1
=N∑i=1
ωiR(i)t2,t1
σ2π =
N∑i=1
N∑j=1
ωiωjcov(R
(i)t2,t1
,R(j)t2,t1
)Rπt2,t1
≡ ωT︸︷︷︸1×N
·Rt2,t1︸ ︷︷ ︸N×1
, σ2π = ωT︸︷︷︸
1×N
· Σ︸︷︷︸N×N
· ω︸︷︷︸N×1
, ωT︸︷︷︸1×N
· 1︸︷︷︸N×1
= 1
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Valeur a risque
Mesures de RM
VaR lineaire
Portefeuille
Decomposition
VaR historique
Ecart type (2)
I La variance de valeur du portefeuille :
∆V πt2,t1
= ∆V(1)t2,t1
+ · · ·+ ∆V(N)t2,t1
, ∆V(i)t2,t1
= V(i)t2− V
(i)t1
I En termes monetaires :
σ2π =
N∑i=1
N∑j=1
cov(
∆V(i)t2,t1
,∆V(j)t2,t1
)
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Valeur a risque
Mesures de RM
VaR lineaire
Portefeuille
Decomposition
VaR historique
Exemple : deux actifs
σ2π = ωTΣω = (ω1 ω2)
(σ2R1
σR1R2
σR1R2 σ2R2
)(ω1
ω2
)= ω2
1σ2R1
+ ω22σ
2R2
+ 2ω1ω2σR1R2
σπ =√α2σ2
R1+ (1− α)2 σ2
R2+ 2α (1− α)σR1σR1ρR1R2
I Si ρ = 1, σπ = ασR1 + (1− α)σR2 .
I Si ρ < 1, σπ < ασR1 + (1− α)σR2 , diversification.
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Valeur a risque
Mesures de RM
VaR lineaire
Portefeuille
Decomposition
VaR historique
Valeur a risque
I VaR est une estimation des pertes actualisees d’unportefeuille fixe lors d’une periode predeterminee telleque de pertes plus grandes peuvent se produire avec laprobabilite choisie :
VaR1−α = inf x : P L > x ≤ α ,
I Les parametres :I L’horizon : 1 jour, 10 jours, 1 anI Le niveau de confiance : 1− α = 95%, 99%, 99.97%, . . .
I La VaR est monotone mais elle n’est pas toujourssous-additive.
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Valeur a risque
Mesures de RM
VaR lineaire
Portefeuille
Decomposition
VaR historique
VaR99% 1 jour pour l’indice TSX
−10 −5 0 5 100
50
100
150
200
250
300
350
∆V , $, V0 = 100$
Nom
bre
d’ob
serv
atio
ns
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Valeur a risque
Mesures de RM
VaR lineaire
Portefeuille
Decomposition
VaR historique
Non sous-additivite de VaR : exemple
I Pour une distribution elliptique des rendements, la VaRest sous-additive.
I Cependant, pour le risque de credit, ce n’est pas toujourle fait.
I Exemple : trois obligations A, B et C avec le notionnel100$, PD = 0.5%, PCD = 100%. Les defauts sontindependants.
I Pour chacune des obligations VaR99% = ?
I Pour chacune des obligations VaR99% = 0$
I Pour le portefeuille des obligations VaR99% = ?
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Valeur a risque
Mesures de RM
VaR lineaire
Portefeuille
Decomposition
VaR historique
Non sous-additivite de VaR : exemple
I Pour une distribution elliptique des rendements, la VaRest sous-additive.
I Cependant, pour le risque de credit, ce n’est pas toujourle fait.
I Exemple : trois obligations A, B et C avec le notionnel100$, PD = 0.5%, PCD = 100%. Les defauts sontindependants.
I Pour chacune des obligations VaR99% = ?
I Pour chacune des obligations VaR99% = 0$
I Pour le portefeuille des obligations VaR99% = ?
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Valeur a risque
Mesures de RM
VaR lineaire
Portefeuille
Decomposition
VaR historique
Non sous-additivite de VaR : exemple
Etat Probabilite Perte
Pas de defaut 0.9850749 0$1 defaut 0.0148504 100$2 defauts 0.0000746 200$3 defauts 0.0000001 300$
VaR99% = 100$
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Valeur a risque
Mesures de RM
VaR lineaire
Portefeuille
Decomposition
VaR historique
VaR conditionnelle
CVaR1−α = E (L |L > VaR1−α ) = − 1
α
−VaR1−α∫−∞
x fR(x) dx
I CVaR (Conditional VaR), ETL (Expected Tail Loss),ES (Expected Shortfall)
I La VaR conditionnelle est sous-additive.
I Par exemple, l’indice TSX, V0 = 100$, 1 jour :
VaR99% = 3.49$, CVaR99% = 5.22$
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Valeur a risque
Mesures de RM
VaR lineaire
Portefeuille
Decomposition
VaR historique
Table de matiere
Valeur a risqueMesures du risque de marcheVaR lineaireVaR pour un portefeuilleDecomposition de VaRApproche historique a l’estimation de VaR
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Valeur a risque
Mesures de RM
VaR lineaire
Portefeuille
Decomposition
VaR historique
VaR normale lineaire
I L’hypothese : les rendements du portefeuille sontindependants et identiquement distribues selon la loinormale :
Rπ ∼ N(µπ, σ
2π
),
Rπ − µπσπ
∼ N (0, 1)
I La VaR normale lineaire
VaR1−α = −σπΦ−1(α)− µπΦ−1(0.05) = −1.64, Φ−1(0.01) = −2.33,
Φ−1(0.0003) = −3.43
I Pour l’indice TSX, V0 = 100$, 1 jour
VaR99% = −1.18$ · (−2.33)− 0.02$ = 2.73$
VaR = - nanstd(dV) * norminv(0.01) - nanmean(dV)
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Valeur a risque
Mesures de RM
VaR lineaire
Portefeuille
Decomposition
VaR historique
Loi t de Student
−4 −2 0 2 40
0.1
0.2
0.3
0.4
ν=1ν=2ν=5ν=100
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Valeur a risque
Mesures de RM
VaR lineaire
Portefeuille
Decomposition
VaR historique
L’indice TSX : ajustement de la loi normale
−10 −5 0 5 100
50
100
150
200
250
300
350
∆V , $, V0 = 100$
Nom
bre
d’ob
serv
atio
ns
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Valeur a risque
Mesures de RM
VaR lineaire
Portefeuille
Decomposition
VaR historique
L’indice TSX : ajustement de la loi t de Student
−10 −5 0 5 100
50
100
150
200
250
300
350
∆V , $, V0 = 100$
Nom
bre
d’ob
serv
atio
ns
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Valeur a risque
Mesures de RM
VaR lineaire
Portefeuille
Decomposition
VaR historique
VaR lineaire : la loi t de Student
I Si X ∼ tν :
EX = 0, VX =ν
ν − 2, ν > 2
I L’hypothese : les rendements standardises duportefeuille sont independants et identiquementdistribues selon la loi t de Student
Rπ − µπσπ
√ν
ν − 2∼ tν
I La VaR lineaire si les rendements suivent la loi t deStudent
VaR1−α = −σπ
√ν − 2
νt−1ν (α)− µπ
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Valeur a risque
Mesures de RM
VaR lineaire
Portefeuille
Decomposition
VaR historique
Exemple : VaR lineaire de l’indice TSX
>> pd = fitdist(dV_TSX,’t’)
pd =
tlocationscale distribution
mu = 0.0815829
sigma = 0.664137
nu = 2.59919
>> VaR = - pd.sigma * tinv(0.01, pd.nu) - pd.mu
VaR =
3.3393
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Valeur a risque
Mesures de RM
VaR lineaire
Portefeuille
Decomposition
VaR historique
Table de matiere
Valeur a risqueMesures du risque de marcheVaR lineaireVaR pour un portefeuilleDecomposition de VaRApproche historique a l’estimation de VaR
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Valeur a risque
Mesures de RM
VaR lineaire
Portefeuille
Decomposition
VaR historique
Approximation lineaire pour les instrumentfinancieres (1)
I Generalement, la construction de previsions pour lavariance du portefeuille n’est pas evidente.
I Habituellement, l’historique des rendements pour leportefeuille actuel n’est pas observable.
I Cependant, l’historique peut etre disponible pour lesfacteurs de risque qui determinent les prix desinstruments financieres detenus :
I les prix d’actions et/ou les indices de marche,I les taux d’interet et les spreads,I les taux d’echange,I les volatilites implicites d’options. . .
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Valeur a risque
Mesures de RM
VaR lineaire
Portefeuille
Decomposition
VaR historique
Approximation lineaire pour les instrumentfinancieres (2)
I L’approximation lineaireI Les variances et covariances des facteurs de risque,I Les sensibilites des prix des instruments financieres
detenus aux facteurs de risque ( mappages ),I La prevision pour la variance de rendement du
portefeuille,I La VaR lineaire.
I Le nombre de facteurs de risque est limite : meme sil’historique etait disponible, la matrice de covariancepour des milliers actifs detenus serait enorme.
I L’attribution de VaR aux facteurs de risque est utilepour la gestion de risque (hedging, stress testing).
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Valeur a risque
Mesures de RM
VaR lineaire
Portefeuille
Decomposition
VaR historique
Positions → facteurs de risque
I N actifs exposes a m facteurs de risque
Ra︸︷︷︸N×1
= Ω︸︷︷︸N×m
· R f︸︷︷︸m×1
I La matrice de covariance de rendements des actifs
Σa︸︷︷︸N×N
≡ E (Ra − ERa)︸ ︷︷ ︸N×1
(Ra − ERa)T︸ ︷︷ ︸1×N
= E
Ω(R f − ER f
) [Ω(R f − ER f
)]T= Ω︸︷︷︸
N×m
·E(R f − ER f
)(R f − ER f
)T︸ ︷︷ ︸
m×m
· ΩT︸︷︷︸m×N
= Ω︸︷︷︸N×m
· Σf︸︷︷︸m×m
· ΩT︸︷︷︸m×N
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Valeur a risque
Mesures de RM
VaR lineaire
Portefeuille
Decomposition
VaR historique
Variance de rendement du portefeuille
Rπ ≡ ωT︸︷︷︸1×N
· Ra︸︷︷︸N×1
, σ2π = ωT︸︷︷︸
1×N
· Σa︸︷︷︸N×N
· ω︸︷︷︸N×1
σ2π = ωT︸︷︷︸
1×N
· Ω︸︷︷︸N×m
· Σf︸︷︷︸m×m
· ΩT︸︷︷︸m×N
· ω︸︷︷︸N×1
=(ωTΩ
)︸ ︷︷ ︸1×m
· Σf︸︷︷︸m×m
·(ωTΩ
)T︸ ︷︷ ︸m×1
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Valeur a risque
Mesures de RM
VaR lineaire
Portefeuille
Decomposition
VaR historique
Exemple : un portefeuille
I 50 actions de la Banque Royale du Canada,75.85$ · 50 ≈ 3783$
I 50 obligationsUS TREAS BD STRIPPED PRIN PMT15-Feb-2020,92.20 · 50 · 1.2659$ ≈ 5836$
I 300 USD, 300 · 1.2659$ ≈ 380$
I V π0 = 9998$
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Valeur a risque
Mesures de RM
VaR lineaire
Portefeuille
Decomposition
VaR historique
Mappages : actions
I Supposons que l’historique pour RBC n’est pasdisponible, mais on sait que βRBC = 0.9 par rapport al’indice TSX :
∆V RBC ≈ 0.9 · V RBC0 · RTSX
I La sensibilite a la variation de 1 pdb du rendement deTSX
Ω1,1 =0.9 · 3783
10000≈ 0.34$
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Valeur a risque
Mesures de RM
VaR lineaire
Portefeuille
Decomposition
VaR historique
Mappages : obligations
I Obligations gouvernementales des Etats-Unis,T = 5.2 ans
∆V TB ≈ −V TB · T1 + y
∆y +V TB
ExUSD/CAD∆ExUSD/CAD
I La sensibilite a la variation de 1 pdb du taux d’interet5 ans
Ω2,2 = − 5836 · 5.2(1 + 0.0157) · 10000
≈ −2.99$
I La sensibilite a la variation de 1 pdb du taux de change
Ω2,3 =5836
1.2659 · 10000≈ 0.46$
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Valeur a risque
Mesures de RM
VaR lineaire
Portefeuille
Decomposition
VaR historique
Mappages : devises
I USD
∆V USD =V USD
ExUSD/CAD∆ExUSD/CAD
I La sensibilite a la variation de 1 pdb du taux de change
Ω2,3 =300
10000= 0.03$
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Valeur a risque
Mesures de RM
VaR lineaire
Portefeuille
Decomposition
VaR historique
Exemple : VaR
Ω =
0.34 0 00 −2.99 0.460 0 0.03
Σf =
1.4 0.024 −0.310.024 0.0037 −0.0067−0.31 −0.0067 0.64
· 104
σπ = 47$, VaR99% = 109$
Omega = [beta*V_RBC/10000 0 0; ...
0 -T*V_TB/(1+y)/10000 V_TB/USDCAD/10000; ...
0 0 V_USD/USDCAD/10000];
Sigma_f = nancov([R_TSX d_y d_Ex], 1);
sigma = sqrt(sum(sum(Omega*Sigma_f*(Omega’))));
VaR = -norminv(0.01)*sigma;
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Valeur a risque
Mesures de RM
VaR lineaire
Portefeuille
Decomposition
VaR historique
Table de matiere
Valeur a risqueMesures du risque de marcheVaR lineaireVaR pour un portefeuilleDecomposition de VaRApproche historique a l’estimation de VaR
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Valeur a risque
Mesures de RM
VaR lineaire
Portefeuille
Decomposition
VaR historique
VaR par facteur de risque
I La VaR par facteur de risque est calculee en mettantnul au lieu de toutes autres sensibilites.
I Exemple :
VaRTSX99% = 94$, VaRt5a
99% = 43$, VaRUSD99% = 91$
Omega = [beta*V_RBC/10000 0 0; 0 0 0; 0 0 0];
%Omega = [0 0 0; 0 -T*V_TB/(1+y)/10000 0; 0 0 0];
%Omega = [0 0 0; 0 0 V_TB/USDCAD/10000; ...
% 0 0 V_USD/USDCAD/10000];
sigma = sqrt(sum(sum(Omega*Sigma_f*(Omega’))));
VaR_f = -norminv(0.01)*sigma;
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Valeur a risque
Mesures de RM
VaR lineaire
Portefeuille
Decomposition
VaR historique
VaR marginale (1)
I La VaR marginale pour la position i
MVaR(i) =∂VaR
∂V (i)V (i), VaRπ ≈
N∑i=1
∂VaR
∂V (i)V (i)
I Exemple :
MVaRRBC99% = 43$, MVaRTB
99% = 62$, MVaRUSD99% = 3$
I La VaR marginale peut etre negative.
I La VaR incrementale (IVaR) est la variation de la VaRsuite a un certain changement dans la position.
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Valeur a risque
Mesures de RM
VaR lineaire
Portefeuille
Decomposition
VaR historique
VaR marginale (2)
dOmega = [beta*1/10000 0 0; 0 0 0; 0 0 0];
%dOmega = [0 0 0; 0 -T*1/(1+y)/10000 ...
% 1/USDCAD/10000; 0 0 0];
%dOmega = [0 0 0; 0 0 0; 0 0 1/USDCAD/10000];
dsigma_sq = sum(sum(2*dOmega*Sigma_f*(Omega’)));
dVaR = -norminv(0.01)*dsigma_sq/sigma/2;
VaR_m = dVaR*V_RBC;
%VaR_m = dVaR*V_TB;
%VaR_m = dVaR*V_USD;
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Valeur a risque
Mesures de RM
VaR lineaire
Portefeuille
Decomposition
VaR historique
Table de matiere
Valeur a risqueMesures du risque de marcheVaR lineaireVaR pour un portefeuilleDecomposition de VaRApproche historique a l’estimation de VaR
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Valeur a risque
Mesures de RM
VaR lineaire
Portefeuille
Decomposition
VaR historique
Approche historique a l’estimation de VaR
I La VaR historique est un quantile de la distributionempirique des pertes actualisees.
I La serie de rendements historiques pour le portefeuilleest construite en utilisant
I les positions du portefeuille actuel et les rendementshistoriques des actifs detenus, si disponibles,
I les mappages permettant une reevaluationcomplete et l’historique des facteurs de risque.
I Le modele n’est donc pas lineaire.
I Aucun matrice de covariance n’est estimee.
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Valeur a risque
Mesures de RM
VaR lineaire
Portefeuille
Decomposition
VaR historique
Exemple : VaR historique pour l’indice TSX
>> alpha = 0.01;
>> VaR = - quantile( rts, alpha )
VaR =
3.4496
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Valeur a risque
Mesures de RM
VaR lineaire
Portefeuille
Decomposition
VaR historique
Exemple : VaR historique pour l’indice TSX
−10 −5 0 5 100
50
100
150
200
250
300
350
∆V , $, V0 = 100$
Nom
bre
d’ob
serv
atio
ns
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Valeur a risque
Mesures de RM
VaR lineaire
Portefeuille
Decomposition
VaR historique
Exemple : un portefeuille
I 50 actions de la Banque Royale du Canada,75.85$ · 50 ≈ 3783$
I 50 obligationsUS TREAS BD STRIPPED PRIN PMT15-Feb-2020,92.20 · 50 · 1.2659$ ≈ 5836$
I 300 USD, 300 · 1.2659$ ≈ 380$
I V π0 = 9998$
I Il faut appliquer les chocs historiques (relatifs ouabsolus) aux valeurs actuels des facteurs de risque
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Valeur a risque
Mesures de RM
VaR lineaire
Portefeuille
Decomposition
VaR historique
Exemple : VaR historique pour un portefeuille
>> vrbc = rbc * 50;
>> vtb = 50*100 * usdcad ./(1 + y5y / 100 ).^T;
>> vusd = 300 * usdcad;
>> prtf = vrbc + vtb + vusd;
>> dV = prtf - V0;
>> VaR = - quantile( dV, 0.01 )
VaR =
154.5170
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Valeur a risque
Mesures de RM
VaR lineaire
Portefeuille
Decomposition
VaR historique
Precision de la VaR historique
I Precision de l’estimation de quantile peut etre calculeeen utilisant la methode bootstrap.
I Pour 10 ans d’observation quotidiennes de l’indice TSX
>> VaR =@(x)-quantile(x, alpha);
>> CI = bootci(2000, VaR, rts, ’alpha’, 0.05)
CI =
3.1989
4.0353
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Valeur a risque
Mesures de RM
VaR lineaire
Portefeuille
Decomposition
VaR historique
L’intervalle de confiance pour la VaR historique
2.5 3 3.5 4 4.5 50
50
100
150
200
250
300
VaR, $, V0 = 100$
Nom
bre
d’ob
serv
atio
ns
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Valeur a risque
Mesures de RM
VaR lineaire
Portefeuille
Decomposition
VaR historique
Difficultes
I La queue de distribution doit contenir assezd’observations pour atteindre la precision requise.
I L’historique de plusieurs annees de donneesquotidiennes est donc utilise.
I Des changements structurels peuvent poser desproblemes.
I La regle de racine carree du temps ne fonctionne pas.
I Sous l’hypothese d’une distribution stable
VaR1−α,T = T 1/ξVaR1−α,1
I Les exposants d’echelle sont differents pour differentsclasses d’actifs et facteurs de risque.
I Une certaine approche est donc necessaire pourrecalculer la VaR a un autre horizon.
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Valeur a risque
Mesures de RM
VaR lineaire
Portefeuille
Decomposition
VaR historique
Exemple : S&P 500, 1950–2015
100
101
102
10−3
10−2
10−1
100
T, jours
−Quantile
α
α = 0.001, ξ = 2.20α = 0.010, ξ = 1.76α = 0.050, ξ = 2.09α = 0.100, ξ = 2.31
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Valeur a risque
Mesures de RM
VaR lineaire
Portefeuille
Decomposition
VaR historique
Exemple : 3M TB yield, 1960–2015
100
101
102
10−2
10−1
100
101
T, jours
−Quantile
α
α = 0.001, ξ = 1.57α = 0.010, ξ = 1.58α = 0.050, ξ = 1.60α = 0.100, ξ = 1.44
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Valeur a risque
Mesures de RM
VaR lineaire
Portefeuille
Decomposition
VaR historique
Exemple : VIX, 1990–2015
100
101
102
10−2
10−1
100
T, jours
−Quantile
α
α = 0.001, ξ = 3.63α = 0.010, ξ = 3.02α = 0.050, ξ = 2.85α = 0.100, ξ = 2.79
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Valeur a risque
Mesures de RM
VaR lineaire
Portefeuille
Decomposition
VaR historique
L’effet de l’exposant d’echelle
La difference entre T 1/ξ et T 1/2 par rapport a T 1/2 :
Tξ
1.5 1.8 2.1 2.4 2.7 3.0
2, j 12% 4% −2% −6% −9% −11%10 47 14 −5 −17 −26 −3260 98 26 −9 −29 −41 −49252 151 36 −12 −37 −51 −60
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Valeur a risque
Mesures de RM
VaR lineaire
Portefeuille
Decomposition
VaR historique
L’exposant d’echelle en Matlab
T = 1:100;
for i = 1:length(T)
P1 = P( 1:T(i):end ); % P contient les prix
r = log( P1( 2:end ) ./ P1( 1:(end-1) );
q(i, :) = - quantile( r, alpha );
end
for i = 1:length(alpha)
lm = fitlm( log( q(:,i) ), log(T) );
xi(i) = lm.Coefficients.Estimate(2);
end
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Valeur a risque
Mesures de RM
VaR lineaire
Portefeuille
Decomposition
VaR historique
Modeles avec ponderation
I La precision de la VaR historique est determinee par lenombre d’observations dans la queue ⇒ l’historique estlong.
I Dans la methode simple, des observations anciennesfont la meme contribution que celles plus recentes.
I Dans le modele lineaire, la matrice de covariances peutetre estimee en utilisant l’approche EWMA.
I Methodes de ponderation pour la VaR historique :I ponderation exponentielle des probabilites,I ajustement des volatilites.
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Valeur a risque
Mesures de RM
VaR lineaire
Portefeuille
Decomposition
VaR historique
Ponderation exponentielle des probabilites
I Assigner les probabilites aux rendements observes :
pt−1 = 1− λ, pt−2 = (1− λ) · λ, pt−3 = (1− λ) · λ2, . . .
I Trier les rendements dans l’ordre croissant
I Calculer la probabilite cumulative jusqu’a l’atteint de α
I −VaR1−α est entre les dernier et avant-dernierrendements inclus (multiplier par la valeur duportefeuille si en termes monetaires).
I Exemple : VaR99% 1 jour pour l’indice TSX en utilisant10 ans d’observations (V0 = 100$)
VaRλ=0.9999% = 2.42$, VaRλ=0.995
99% = 2.28$
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Valeur a risque
Mesures de RM
VaR lineaire
Portefeuille
Decomposition
VaR historique
VaR99% 1 jour pour l’indice TSX
−10 −5 0 5 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
∆V , $, V0 = 100$
Pro
b. c
umul
.
1/Nλ = 0.99λ = 0.995
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Valeur a risque
Mesures de RM
VaR lineaire
Portefeuille
Decomposition
VaR historique
La ponderation des probabilites en Matlab
N = length( rts );
prb = ( 1 - lambda ) * lambda .^ ( (N-1):(-1):0 );
[rts, ind] = sort( rts );
prb = cumsum( prb( ind ) );
[~, idx] = max( prb>alpha );
p2 = prb( idx );
p1 = prb( idx - 1 );
VaR = -( rts(idx) * ( alpha - p1 ) + ...
rts(idx-1) * ( p2 - alpha ) ) / ( p2-p1 );
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Valeur a risque
Mesures de RM
VaR lineaire
Portefeuille
Decomposition
VaR historique
Ajustement des volatilites
I L’idee est de ponderer les rendements historiques pourque leur volatilite soit egale a la volatilite actuelle.
I Obtenir les series de volatilites en utilisant le modele deGARCH (EWMA est aussi parfois utilise)
I Ajuster les rendements :
rt =σTσt
rt
I Estimer la VaR
I Exemple : VaR99% 1 jour pour l’indice TSX en utilisant10 ans d’observations est egale a 2.04$ (V0 = 100$).
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Valeur a risque
Mesures de RM
VaR lineaire
Portefeuille
Decomposition
VaR historique
L’ajustement des volatilites en Matlab
Mdl = arima( ’ARLags’, [1 2], ...
’Variance’, garch(1,1) );
eMdl = estimate(Mdl, rts);
[res, V] = infer(eMdl, rts);
autocorr(res.^2);
parcorr(res.^2);
rts_n = rts ./ sqrt(V) * sqrt( V(end) );
VaR = -quantile( rts_n, alpha );
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Valeur a risque
Mesures de RM
VaR lineaire
Portefeuille
Decomposition
VaR historique
L’effet ARCH pour les rendements TSX
0 10 20
0
0.5
1ACF
0 10 20
0
0.5
1PACF
0 10 20
0
0.5
1
0 10 20
0
0.5
1
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Valeur a risque
Mesures de RM
VaR lineaire
Portefeuille
Decomposition
VaR historique
L’ajustement des volatilites en Matlab
Mdl = arima( ’ARLags’, [1 2], ...
’Variance’, garch(1,1) );
eMdl = estimate(Mdl, rts);
[res, V] = infer(eMdl, rts);
autocorr(res.^2);
parcorr(res.^2);
rts_n = rts ./ sqrt(V) * sqrt( V(end) );
VaR = -quantile( rts_n, alpha );
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Valeur a risque
Mesures de RM
VaR lineaire
Portefeuille
Decomposition
VaR historique
Exemple : rendements TSX ajustes
05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16−10
0
10
05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16−5
0
5
Date