FIM702: lecture 4

Modelisation destrategies en

finance de marche

Alexander Surkov

Valeur a risque

Mesures de RM

VaR lineaire

Portefeuille

Decomposition

VaR historique

Modelisation de strategies en finance demarche

Seance 9 : Valeur a risque

Alexander Surkov, CFA, FRM, PRM, [email protected]

Ecole de gestionUniversite de Sherbrooke

Le 15 mars 2017


finance de marche

Alexander Surkov

Valeur a risque

Mesures de RM

VaR lineaire

Portefeuille

Decomposition

VaR historique

Table de matiere

Valeur a risqueMesures du risque de marcheVaR lineaireVaR pour un portefeuilleDecomposition de VaRApproche historique a l’estimation de VaR


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Alexander Surkov

Valeur a risque

Mesures de RM

VaR lineaire

Portefeuille

Decomposition

VaR historique

Table de matiere



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Valeur a risque

Mesures de RM

VaR lineaire

Portefeuille

Decomposition

VaR historique

Mesure coherente de risque

I Normalisation : M0 = 0 (pas d’actifs, pas de risque)

I Monotonicite : X1 ≤ X2 ⇒ MX1 ≥MX2 (toujoursplus de rendements, moins de risque)

I Sous-additivite : M(X1 + X2) ≤MX1 +MX2

(diversification)

I Uniformite : M(bX ) = bMX , b > 0 (double de risquepour double de portefeuille)

I Invariance translationnelle : M(X + k) =MX − k(l’ajout d’un actif sans risque diminue le risque)


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Valeur a risque

Mesures de RM

VaR lineaire

Portefeuille

Decomposition

VaR historique

Ecart type (1)

I L’ecart type n’est pas monotone et n’a pas d’invariancetranslationnelle, mais il est sous-additif.

I La variance de rendement du portefeuille :

V πt = V

(1)t + · · ·+ V

(N)t , R

(i)t2,t1

=V

(i)t2

V(i)t1

− 1

Rπt2,t1≡

V πt2

V πt1

− 1 =N∑i=1

V(i)t1

V πt1

V(i)t2− V

(i)t1

V(i)t1

=N∑i=1

ωiR(i)t2,t1

σ2π =

N∑i=1

N∑j=1

ωiωjcov(R

(i)t2,t1

,R(j)t2,t1

)Rπt2,t1

≡ ωT︸︷︷︸1×N

·Rt2,t1︸︷︷︸N×1

, σ2π = ωT︸︷︷︸

1×N

· Σ︸︷︷︸N×N

· ω︸︷︷︸N×1

, ωT︸︷︷︸1×N

· 1︸︷︷︸N×1

= 1


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Valeur a risque

Mesures de RM

VaR lineaire

Portefeuille

Decomposition

VaR historique

Ecart type (2)

I La variance de valeur du portefeuille :

∆V πt2,t1

= ∆V(1)t2,t1

+ · · ·+ ∆V(N)t2,t1

, ∆V(i)t2,t1

= V(i)t2− V

(i)t1

I En termes monetaires :

σ2π =

N∑i=1

N∑j=1

cov(

∆V(i)t2,t1

,∆V(j)t2,t1

)


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Valeur a risque

Mesures de RM

VaR lineaire

Portefeuille

Decomposition

VaR historique

Exemple : deux actifs

σ2π = ωTΣω = (ω1 ω2)

(σ2R1

σR1R2

σR1R2 σ2R2

)(ω1

ω2

)= ω2

1σ2R1

+ ω22σ

2R2

+ 2ω1ω2σR1R2

σπ =√α2σ2

R1+ (1− α)2 σ2

R2+ 2α (1− α)σR1σR1ρR1R2

I Si ρ = 1, σπ = ασR1 + (1− α)σR2 .

I Si ρ < 1, σπ < ασR1 + (1− α)σR2 , diversification.


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Valeur a risque

Mesures de RM

VaR lineaire

Portefeuille

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VaR historique

Valeur a risque

I VaR est une estimation des pertes actualisees d’unportefeuille fixe lors d’une periode predeterminee telleque de pertes plus grandes peuvent se produire avec laprobabilite choisie :

VaR1−α = inf x : P L > x ≤ α ,

I Les parametres :I L’horizon : 1 jour, 10 jours, 1 anI Le niveau de confiance : 1− α = 95%, 99%, 99.97%, . . .

I La VaR est monotone mais elle n’est pas toujourssous-additive.


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Valeur a risque

Mesures de RM

VaR lineaire

Portefeuille

Decomposition

VaR historique

VaR99% 1 jour pour l’indice TSX

−10 −5 0 5 100

50

100

150

200

250

300

350

∆V , $, V0 = 100$

Nom

bre

d’ob

serv

atio

ns


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Valeur a risque

Mesures de RM

VaR lineaire

Portefeuille

Decomposition

VaR historique

Non sous-additivite de VaR : exemple

I Pour une distribution elliptique des rendements, la VaRest sous-additive.

I Cependant, pour le risque de credit, ce n’est pas toujourle fait.

I Exemple : trois obligations A, B et C avec le notionnel100$, PD = 0.5%, PCD = 100%. Les defauts sontindependants.

I Pour chacune des obligations VaR99% = ?

I Pour chacune des obligations VaR99% = 0$

I Pour le portefeuille des obligations VaR99% = ?


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Alexander Surkov

Valeur a risque

Mesures de RM

VaR lineaire

Portefeuille

Decomposition

VaR historique


I Pour une distribution elliptique des rendements, la VaRest sous-additive.

I Cependant, pour le risque de credit, ce n’est pas toujourle fait.

I Exemple : trois obligations A, B et C avec le notionnel100$, PD = 0.5%, PCD = 100%. Les defauts sontindependants.

I Pour chacune des obligations VaR99% = ?

I Pour chacune des obligations VaR99% = 0$

I Pour le portefeuille des obligations VaR99% = ?


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Valeur a risque

Mesures de RM

VaR lineaire

Portefeuille

Decomposition

VaR historique


Etat Probabilite Perte

Pas de defaut 0.9850749 0$1 defaut 0.0148504 100$2 defauts 0.0000746 200$3 defauts 0.0000001 300$

VaR99% = 100$


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Valeur a risque

Mesures de RM

VaR lineaire

Portefeuille

Decomposition

VaR historique

VaR conditionnelle

CVaR1−α = E (L |L > VaR1−α ) = − 1

α

−VaR1−α∫−∞

x fR(x) dx

I CVaR (Conditional VaR), ETL (Expected Tail Loss),ES (Expected Shortfall)

I La VaR conditionnelle est sous-additive.

I Par exemple, l’indice TSX, V0 = 100$, 1 jour :

VaR99% = 3.49$, CVaR99% = 5.22$


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VaR lineaire

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Decomposition

VaR historique

Table de matiere



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Valeur a risque

Mesures de RM

VaR lineaire

Portefeuille

Decomposition

VaR historique

VaR normale lineaire

I L’hypothese : les rendements du portefeuille sontindependants et identiquement distribues selon la loinormale :

Rπ ∼ N(µπ, σ

2π

),

Rπ − µπσπ

∼ N (0, 1)

I La VaR normale lineaire

VaR1−α = −σπΦ−1(α)− µπΦ−1(0.05) = −1.64, Φ−1(0.01) = −2.33,

Φ−1(0.0003) = −3.43

I Pour l’indice TSX, V0 = 100$, 1 jour

VaR99% = −1.18$ · (−2.33)− 0.02$ = 2.73$

VaR = - nanstd(dV) * norminv(0.01) - nanmean(dV)


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Valeur a risque

Mesures de RM

VaR lineaire

Portefeuille

Decomposition

VaR historique

Loi t de Student

−4 −2 0 2 40

0.1

0.2

0.3

0.4

ν=1ν=2ν=5ν=100


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Valeur a risque

Mesures de RM

VaR lineaire

Portefeuille

Decomposition

VaR historique

L’indice TSX : ajustement de la loi normale

−10 −5 0 5 100

50

100

150

200

250

300

350

∆V , $, V0 = 100$

Nom

bre

d’ob

serv

atio

ns


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Alexander Surkov

Valeur a risque

Mesures de RM

VaR lineaire

Portefeuille

Decomposition

VaR historique

L’indice TSX : ajustement de la loi t de Student

−10 −5 0 5 100

50

100

150

200

250

300

350

∆V , $, V0 = 100$

Nom

bre

d’ob

serv

atio

ns


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Valeur a risque

Mesures de RM

VaR lineaire

Portefeuille

Decomposition

VaR historique

VaR lineaire : la loi t de Student

I Si X ∼ tν :

EX = 0, VX =ν

ν − 2, ν > 2

I L’hypothese : les rendements standardises duportefeuille sont independants et identiquementdistribues selon la loi t de Student

Rπ − µπσπ

√ν

ν − 2∼ tν

I La VaR lineaire si les rendements suivent la loi t deStudent

VaR1−α = −σπ

√ν − 2

νt−1ν (α)− µπ


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Mesures de RM

VaR lineaire

Portefeuille

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VaR historique

Exemple : VaR lineaire de l’indice TSX

>> pd = fitdist(dV_TSX,’t’)

pd =

tlocationscale distribution

mu = 0.0815829

sigma = 0.664137

nu = 2.59919

>> VaR = - pd.sigma * tinv(0.01, pd.nu) - pd.mu

VaR =

3.3393


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Mesures de RM

VaR lineaire

Portefeuille

Decomposition

VaR historique

Table de matiere



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Valeur a risque

Mesures de RM

VaR lineaire

Portefeuille

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VaR historique

Approximation lineaire pour les instrumentfinancieres (1)

I Generalement, la construction de previsions pour lavariance du portefeuille n’est pas evidente.

I Habituellement, l’historique des rendements pour leportefeuille actuel n’est pas observable.

I Cependant, l’historique peut etre disponible pour lesfacteurs de risque qui determinent les prix desinstruments financieres detenus :

I les prix d’actions et/ou les indices de marche,I les taux d’interet et les spreads,I les taux d’echange,I les volatilites implicites d’options. . .


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Valeur a risque

Mesures de RM

VaR lineaire

Portefeuille

Decomposition

VaR historique

Approximation lineaire pour les instrumentfinancieres (2)

I L’approximation lineaireI Les variances et covariances des facteurs de risque,I Les sensibilites des prix des instruments financieres

detenus aux facteurs de risque ( mappages ),I La prevision pour la variance de rendement du

portefeuille,I La VaR lineaire.

I Le nombre de facteurs de risque est limite : meme sil’historique etait disponible, la matrice de covariancepour des milliers actifs detenus serait enorme.

I L’attribution de VaR aux facteurs de risque est utilepour la gestion de risque (hedging, stress testing).


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Mesures de RM

VaR lineaire

Portefeuille

Decomposition

VaR historique

Positions → facteurs de risque

I N actifs exposes a m facteurs de risque

Ra︸︷︷︸N×1

= Ω︸︷︷︸N×m

· R f︸︷︷︸m×1

I La matrice de covariance de rendements des actifs

Σa︸︷︷︸N×N

≡ E (Ra − ERa)︸︷︷︸N×1

(Ra − ERa)T︸︷︷︸1×N

= E

Ω(R f − ER f

) [Ω(R f − ER f

)]T= Ω︸︷︷︸

N×m

·E(R f − ER f

)(R f − ER f

)T︸︷︷︸

m×m

· ΩT︸︷︷︸m×N

= Ω︸︷︷︸N×m

· Σf︸︷︷︸m×m

· ΩT︸︷︷︸m×N


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Valeur a risque

Mesures de RM

VaR lineaire

Portefeuille

Decomposition

VaR historique

Variance de rendement du portefeuille

Rπ ≡ ωT︸︷︷︸1×N

· Ra︸︷︷︸N×1

, σ2π = ωT︸︷︷︸

1×N

· Σa︸︷︷︸N×N

· ω︸︷︷︸N×1

σ2π = ωT︸︷︷︸

1×N

· Ω︸︷︷︸N×m

· Σf︸︷︷︸m×m

· ΩT︸︷︷︸m×N

· ω︸︷︷︸N×1

=(ωTΩ

)︸︷︷︸1×m

· Σf︸︷︷︸m×m

·(ωTΩ

)T︸︷︷︸m×1


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Valeur a risque

Mesures de RM

VaR lineaire

Portefeuille

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VaR historique

Exemple : un portefeuille

I 50 actions de la Banque Royale du Canada,75.85$ · 50 ≈ 3783$

I 50 obligationsUS TREAS BD STRIPPED PRIN PMT15-Feb-2020,92.20 · 50 · 1.2659$ ≈ 5836$

I 300 USD, 300 · 1.2659$ ≈ 380$

I V π0 = 9998$


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Mesures de RM

VaR lineaire

Portefeuille

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VaR historique

Mappages : actions

I Supposons que l’historique pour RBC n’est pasdisponible, mais on sait que βRBC = 0.9 par rapport al’indice TSX :

∆V RBC ≈ 0.9 · V RBC0 · RTSX

I La sensibilite a la variation de 1 pdb du rendement deTSX

Ω1,1 =0.9 · 3783

10000≈ 0.34$


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Mesures de RM

VaR lineaire

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VaR historique

Mappages : obligations

I Obligations gouvernementales des Etats-Unis,T = 5.2 ans

∆V TB ≈ −V TB · T1 + y

∆y +V TB

ExUSD/CAD∆ExUSD/CAD

I La sensibilite a la variation de 1 pdb du taux d’interet5 ans

Ω2,2 = − 5836 · 5.2(1 + 0.0157) · 10000

≈ −2.99$

I La sensibilite a la variation de 1 pdb du taux de change

Ω2,3 =5836

1.2659 · 10000≈ 0.46$


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Mesures de RM

VaR lineaire

Portefeuille

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VaR historique

Mappages : devises

I USD

∆V USD =V USD

ExUSD/CAD∆ExUSD/CAD

I La sensibilite a la variation de 1 pdb du taux de change

Ω2,3 =300

10000= 0.03$


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Valeur a risque

Mesures de RM

VaR lineaire

Portefeuille

Decomposition

VaR historique

Exemple : VaR

Ω =

0.34 0 00 −2.99 0.460 0 0.03

Σf =

1.4 0.024 −0.310.024 0.0037 −0.0067−0.31 −0.0067 0.64

· 104

σπ = 47$, VaR99% = 109$

Omega = [beta*V_RBC/10000 0 0; ...

0 -T*V_TB/(1+y)/10000 V_TB/USDCAD/10000; ...

0 0 V_USD/USDCAD/10000];

Sigma_f = nancov([R_TSX d_y d_Ex], 1);

sigma = sqrt(sum(sum(Omega*Sigma_f*(Omega’))));

VaR = -norminv(0.01)*sigma;


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Valeur a risque

Mesures de RM

VaR lineaire

Portefeuille

Decomposition

VaR historique

Table de matiere



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Valeur a risque

Mesures de RM

VaR lineaire

Portefeuille

Decomposition

VaR historique

VaR par facteur de risque

I La VaR par facteur de risque est calculee en mettantnul au lieu de toutes autres sensibilites.

I Exemple :

VaRTSX99% = 94$, VaRt5a

99% = 43$, VaRUSD99% = 91$

Omega = [beta*V_RBC/10000 0 0; 0 0 0; 0 0 0];

%Omega = [0 0 0; 0 -T*V_TB/(1+y)/10000 0; 0 0 0];

%Omega = [0 0 0; 0 0 V_TB/USDCAD/10000; ...

% 0 0 V_USD/USDCAD/10000];

sigma = sqrt(sum(sum(Omega*Sigma_f*(Omega’))));

VaR_f = -norminv(0.01)*sigma;


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VaR lineaire

Portefeuille

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VaR historique

VaR marginale (1)

I La VaR marginale pour la position i

MVaR(i) =∂VaR

∂V (i)V (i), VaRπ ≈

N∑i=1

∂VaR

∂V (i)V (i)

I Exemple :

MVaRRBC99% = 43$, MVaRTB

99% = 62$, MVaRUSD99% = 3$

I La VaR marginale peut etre negative.

I La VaR incrementale (IVaR) est la variation de la VaRsuite a un certain changement dans la position.


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VaR lineaire

Portefeuille

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VaR historique

VaR marginale (2)

dOmega = [beta*1/10000 0 0; 0 0 0; 0 0 0];

%dOmega = [0 0 0; 0 -T*1/(1+y)/10000 ...

% 1/USDCAD/10000; 0 0 0];

%dOmega = [0 0 0; 0 0 0; 0 0 1/USDCAD/10000];

dsigma_sq = sum(sum(2*dOmega*Sigma_f*(Omega’)));

dVaR = -norminv(0.01)*dsigma_sq/sigma/2;

VaR_m = dVaR*V_RBC;

%VaR_m = dVaR*V_TB;

%VaR_m = dVaR*V_USD;


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Mesures de RM

VaR lineaire

Portefeuille

Decomposition

VaR historique

Table de matiere



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Mesures de RM

VaR lineaire

Portefeuille

Decomposition

VaR historique

Approche historique a l’estimation de VaR

I La VaR historique est un quantile de la distributionempirique des pertes actualisees.

I La serie de rendements historiques pour le portefeuilleest construite en utilisant

I les positions du portefeuille actuel et les rendementshistoriques des actifs detenus, si disponibles,

I les mappages permettant une reevaluationcomplete et l’historique des facteurs de risque.

I Le modele n’est donc pas lineaire.

I Aucun matrice de covariance n’est estimee.


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Mesures de RM

VaR lineaire

Portefeuille

Decomposition

VaR historique

Exemple : VaR historique pour l’indice TSX

>> alpha = 0.01;

>> VaR = - quantile( rts, alpha )

VaR =

3.4496


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Mesures de RM

VaR lineaire

Portefeuille

Decomposition

VaR historique

Exemple : VaR historique pour l’indice TSX

−10 −5 0 5 100

50

100

150

200

250

300

350

∆V , $, V0 = 100$

Nom

bre

d’ob

serv

atio

ns


finance de marche

Alexander Surkov

Valeur a risque

Mesures de RM

VaR lineaire

Portefeuille

Decomposition

VaR historique

Exemple : un portefeuille

I 50 actions de la Banque Royale du Canada,75.85$ · 50 ≈ 3783$

I 50 obligationsUS TREAS BD STRIPPED PRIN PMT15-Feb-2020,92.20 · 50 · 1.2659$ ≈ 5836$

I 300 USD, 300 · 1.2659$ ≈ 380$

I V π0 = 9998$

I Il faut appliquer les chocs historiques (relatifs ouabsolus) aux valeurs actuels des facteurs de risque


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Mesures de RM

VaR lineaire

Portefeuille

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VaR historique

Exemple : VaR historique pour un portefeuille

>> vrbc = rbc * 50;

>> vtb = 50*100 * usdcad ./(1 + y5y / 100 ).^T;

>> vusd = 300 * usdcad;

>> prtf = vrbc + vtb + vusd;

>> dV = prtf - V0;

>> VaR = - quantile( dV, 0.01 )

VaR =

154.5170


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Mesures de RM

VaR lineaire

Portefeuille

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VaR historique

Precision de la VaR historique

I Precision de l’estimation de quantile peut etre calculeeen utilisant la methode bootstrap.

I Pour 10 ans d’observation quotidiennes de l’indice TSX

>> VaR =@(x)-quantile(x, alpha);

>> CI = bootci(2000, VaR, rts, ’alpha’, 0.05)

CI =

3.1989

4.0353


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Valeur a risque

Mesures de RM

VaR lineaire

Portefeuille

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VaR historique

L’intervalle de confiance pour la VaR historique

2.5 3 3.5 4 4.5 50

50

100

150

200

250

300

VaR, $, V0 = 100$

Nom

bre

d’ob

serv

atio

ns


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Mesures de RM

VaR lineaire

Portefeuille

Decomposition

VaR historique

Difficultes

I La queue de distribution doit contenir assezd’observations pour atteindre la precision requise.

I L’historique de plusieurs annees de donneesquotidiennes est donc utilise.

I Des changements structurels peuvent poser desproblemes.

I La regle de racine carree du temps ne fonctionne pas.

I Sous l’hypothese d’une distribution stable

VaR1−α,T = T 1/ξVaR1−α,1

I Les exposants d’echelle sont differents pour differentsclasses d’actifs et facteurs de risque.

I Une certaine approche est donc necessaire pourrecalculer la VaR a un autre horizon.


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Alexander Surkov

Valeur a risque

Mesures de RM

VaR lineaire

Portefeuille

Decomposition

VaR historique

Exemple : S&P 500, 1950–2015

100

101

102

10−3

10−2

10−1

100

T, jours

−Quantile

α

α = 0.001, ξ = 2.20α = 0.010, ξ = 1.76α = 0.050, ξ = 2.09α = 0.100, ξ = 2.31


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Valeur a risque

Mesures de RM

VaR lineaire

Portefeuille

Decomposition

VaR historique

Exemple : 3M TB yield, 1960–2015

100

101

102

10−2

10−1

100

101

T, jours

−Quantile

α

α = 0.001, ξ = 1.57α = 0.010, ξ = 1.58α = 0.050, ξ = 1.60α = 0.100, ξ = 1.44


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Valeur a risque

Mesures de RM

VaR lineaire

Portefeuille

Decomposition

VaR historique

Exemple : VIX, 1990–2015

100

101

102

10−2

10−1

100

T, jours

−Quantile

α

α = 0.001, ξ = 3.63α = 0.010, ξ = 3.02α = 0.050, ξ = 2.85α = 0.100, ξ = 2.79


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Valeur a risque

Mesures de RM

VaR lineaire

Portefeuille

Decomposition

VaR historique

L’effet de l’exposant d’echelle

La difference entre T 1/ξ et T 1/2 par rapport a T 1/2 :

Tξ

1.5 1.8 2.1 2.4 2.7 3.0

2, j 12% 4% −2% −6% −9% −11%10 47 14 −5 −17 −26 −3260 98 26 −9 −29 −41 −49252 151 36 −12 −37 −51 −60


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Valeur a risque

Mesures de RM

VaR lineaire

Portefeuille

Decomposition

VaR historique

L’exposant d’echelle en Matlab

T = 1:100;

for i = 1:length(T)

P1 = P( 1:T(i):end ); % P contient les prix

r = log( P1( 2:end ) ./ P1( 1:(end-1) );

q(i, :) = - quantile( r, alpha );

end

for i = 1:length(alpha)

lm = fitlm( log( q(:,i) ), log(T) );

xi(i) = lm.Coefficients.Estimate(2);

end


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Alexander Surkov

Valeur a risque

Mesures de RM

VaR lineaire

Portefeuille

Decomposition

VaR historique

Modeles avec ponderation

I La precision de la VaR historique est determinee par lenombre d’observations dans la queue ⇒ l’historique estlong.

I Dans la methode simple, des observations anciennesfont la meme contribution que celles plus recentes.

I Dans le modele lineaire, la matrice de covariances peutetre estimee en utilisant l’approche EWMA.

I Methodes de ponderation pour la VaR historique :I ponderation exponentielle des probabilites,I ajustement des volatilites.


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Valeur a risque

Mesures de RM

VaR lineaire

Portefeuille

Decomposition

VaR historique

Ponderation exponentielle des probabilites

I Assigner les probabilites aux rendements observes :

pt−1 = 1− λ, pt−2 = (1− λ) · λ, pt−3 = (1− λ) · λ2, . . .

I Trier les rendements dans l’ordre croissant

I Calculer la probabilite cumulative jusqu’a l’atteint de α

I −VaR1−α est entre les dernier et avant-dernierrendements inclus (multiplier par la valeur duportefeuille si en termes monetaires).

I Exemple : VaR99% 1 jour pour l’indice TSX en utilisant10 ans d’observations (V0 = 100$)

VaRλ=0.9999% = 2.42$, VaRλ=0.995

99% = 2.28$


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Valeur a risque

Mesures de RM

VaR lineaire

Portefeuille

Decomposition

VaR historique

VaR99% 1 jour pour l’indice TSX

−10 −5 0 5 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

∆V , $, V0 = 100$

Pro

b. c

umul

.

1/Nλ = 0.99λ = 0.995


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Valeur a risque

Mesures de RM

VaR lineaire

Portefeuille

Decomposition

VaR historique

La ponderation des probabilites en Matlab

N = length( rts );

prb = ( 1 - lambda ) * lambda .^ ( (N-1):(-1):0 );

[rts, ind] = sort( rts );

prb = cumsum( prb( ind ) );

[~, idx] = max( prb>alpha );

p2 = prb( idx );

p1 = prb( idx - 1 );

VaR = -( rts(idx) * ( alpha - p1 ) + ...

rts(idx-1) * ( p2 - alpha ) ) / ( p2-p1 );


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Mesures de RM

VaR lineaire

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Decomposition

VaR historique

Ajustement des volatilites

I L’idee est de ponderer les rendements historiques pourque leur volatilite soit egale a la volatilite actuelle.

I Obtenir les series de volatilites en utilisant le modele deGARCH (EWMA est aussi parfois utilise)

I Ajuster les rendements :

rt =σTσt

rt

I Estimer la VaR

I Exemple : VaR99% 1 jour pour l’indice TSX en utilisant10 ans d’observations est egale a 2.04$ (V0 = 100$).


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Valeur a risque

Mesures de RM

VaR lineaire

Portefeuille

Decomposition

VaR historique

L’ajustement des volatilites en Matlab

Mdl = arima( ’ARLags’, [1 2], ...

’Variance’, garch(1,1) );

eMdl = estimate(Mdl, rts);

[res, V] = infer(eMdl, rts);

autocorr(res.^2);

parcorr(res.^2);

rts_n = rts ./ sqrt(V) * sqrt( V(end) );

VaR = -quantile( rts_n, alpha );


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Mesures de RM

VaR lineaire

Portefeuille

Decomposition

VaR historique

L’effet ARCH pour les rendements TSX

0 10 20

0

0.5

1ACF

0 10 20

0

0.5

1PACF

0 10 20

0

0.5

1

0 10 20

0

0.5

1


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Valeur a risque

Mesures de RM

VaR lineaire

Portefeuille

Decomposition

VaR historique

L’ajustement des volatilites en Matlab

Mdl = arima( ’ARLags’, [1 2], ...

’Variance’, garch(1,1) );

eMdl = estimate(Mdl, rts);

[res, V] = infer(eMdl, rts);

autocorr(res.^2);

parcorr(res.^2);

rts_n = rts ./ sqrt(V) * sqrt( V(end) );

VaR = -quantile( rts_n, alpha );


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Mesures de RM

VaR lineaire

Portefeuille

Decomposition

VaR historique

Exemple : rendements TSX ajustes

05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16−10

0

10

05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16−5

0

5

Date

Economy & Finance

FIM702: lecture 4