Les expressions algébriques

Les termes semblables

4 xUn nombre, accompagné d’une lettre, le multiplie.

Il faut lire 4 X x

Cette expression algébrique est appelée un terme.

Ce terme est composé de 2 facteurs :

4 . x

le facteur 4 le facteur x

Le nombre est appelé coefficient.

La lettre est appelée la partie littérale; elle peut porter le nom de variable ou d’inconnue.

Une expression algébrique qui ne contient aucune indication d’addition ou de soustraction est appelé un monôme.

x2 = x . x

x2

Le coefficient de ce terme est 1. 1

1 1

Ce terme est aussi un monôme.

Quelle distinction y a-t-il entre 3a et a3 ?

3a est le produit de 3 par a :

a3 est la troisième puissance de a :

Calcule mentalement les expressions 4b2 et 2b4, si b = 5.

a X a X a

4b2 = 4 X (5 X 5) = 100 2b3 = 2 X (5 X 5 X 5) = 250

Remarque : On doit toujours calculer l’exposant avant le coefficient.

L’exposant de ce terme signifie que la lettre s’est multipliée par elle-même, 2 fois.

3 X a

Polynômes

Un polynôme est une expression algébrique composée de plusieurs monômes réunis par les signes d’addition ou de soustraction.

7a4 + 6a2b – 4a5b3 + 10b4 est un polynôme.

Deux polynômes portent des noms particuliers :

Le binôme composé de 2 termes : 2x2 + 2y est un binôme.

Le trinôme composé de 3 termes : 2x2 + 2y + 5 est un trinôme.

Remarque : 5 est aussi un terme algébrique.

Il est égal à 5x0.

Une loi sur les exposants dit que tout nombre ou lettre affecté(e) de l’exposant 0 est égal(e) à 1.

5x0 = 5 X 1 = 5

Dans cette présentation, nous avons vu ce qu’étaient des expressions algébriques.

On peut effectuer des manipulations algébriques avec ces expressions, mais les quantités restent inconnues.

x2 + 5x + 6

x2 + 5x + 6 = 20

est une expression algébrique.

est une équation algébrique.

Lorsqu’on introduit le signe l’expression algébrique devient une équation algébrique.

= ,

Sachant à quoi l’équation est égale, on peut déterminer la ou les valeur(s) des inconnues.

Les expressions algébriques

Manipulations de base

Voyons maintenant les règles officielles.

Addition et soustraction de termes :

- additionner ou soustraire les coefficients des termes semblables;

- ne pas modifier la partie littérale.

Exemples : 3x2 + x2 =

Vérifions pour x = 2 : 3(2)2 + 22 = 4(2)2

12 + 4 = 16 Égalité vraie.

3x2 + x =

4x2

3x2 + x On ne peut pas additionner ces deux quantités, car elles représentent des quantités différentes.

Remarque : Se vérifier en donnant aux expressions des valeurs numériques est un bon moyen de savoir si l’opération a été effectuée correctement.

Un - en avant d’une parenthèse modifie les signes des termes si on enlève les parenthèses.

C’est additionner par l’opposé des termes.

3a2 + 5b + a2 - 2b =Ou plus simplement

4a2 + 3b

3a2 + 5b - (- a2 + 2b) = 3a2 + 5b + a2 - 2b = 4a2 + 3b

3a2 + 5b - (- a2 + 2b) =

3a2 + 5b + + a2 - 2b =

Multiplication de termes

- Multiplier les coefficients entre eux;

- multiplier les lettres semblables en additionnant leurs exposants;

- inclure les lettres différentes dans le terme final.

Exemples : 4x2 X 2x1 = 8x3

Cette expression est un monôme, car il n’y a pas de signe d’addition ou de soustraction.

On pourrait lire : 4 . x . x . 2 . x , donc 8x3.

4x2 X 2xy = 8x3y

7x X xy X 2y = 14x2y2

2x2 X y X 3x X 2y X 3z = 36x3y2z

Inclure les lettres différentes dans le terme final,

car 36x3y2z signifie 36 X x3 X y2 X z.

Monôme par polynôme

−4𝑏𝑑 (6𝑏8𝑛+𝑏𝑤3 )=−24𝑏9𝑑𝑛−4𝑏2𝑑𝑤3

Binôme par binôme

Ou

2 . 2 . 2 . x . x . x2 . x . x

Division de termes

- Diviser les coefficients entre eux;

- diviser les lettres semblables en soustrayant leurs exposants;

- inclure les lettres différentes dans le terme final.

Exemples :

En posant la division sous la forme d’une fraction, on pourrait simplifier les facteurs communs au numérateur et au dénominateur.

8x3

2x2

= = 4x

On peut aussi effectuer la division des coefficients : 8 ÷ 2 = 4

Soustraire les exposants de la variable : x3 ÷ x2 =x3-2 =

8x3 ÷ 2x2

1

1.

. 1

1.

. 1

1.

x

Réponse : 4x

Division par binôme

Division par binôme avec reste

(3 𝑥2+4 𝑥+8 )÷ (3 𝑥+1 )

Factorisation

• La factorisation permet de simplifier les expressions algébriques, les fractions et les opérations. Il existe 5 étapes pour factoriser une expression algébrique:

1) Mise en évidence simple2) Double mise en évidence3) Différences de carrés4) Trinôme carré parfait5) Trinôme produit\somme

Mise en évidence simple

• Conditions sont d’avoir un facteur en communEXEMPLE : 1)

2)

3) On est bloqué