Les lignes de transmission
RÉMI SIESKIND – [email protected]
Table des matières
1 Les lignes : utilité et mode de propagation 1
1.1 Intérêt et technologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Le mode TEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 L’ARQP et les hautes fréquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Modèles de lignes 2
2.1 Modèle à constante réparties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Modèle de la ligne parfaite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3 Impédance caractéristique et adaptation 4
3.1 Impédance et coefficient de réflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.2 Adaptation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.3 Abaque de Smith . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1 Les lignes : utilité et mode de propagation
1.1 Intérêt et technologies
En transmission de l’information par micro-ondes, il existe deux types de propagation : la radio-propagation,dans l’air, à longue portée, et la propagation guidée, dans les lignes de transmission qu’on trouve engénéral entre une antenne et un analyseur. Une ligne de transmission est composée de deux conduc-teurs séparés par un diélectrique dans lequel se propage l’on de électromagnétique (
�!E ,
�!H ). Il existe
trois grands types de ligne : La ligne coaxiale, la ligne bifilaire et la ligne microruban (fig. 1).
1.2 Le mode TEM
On appelle onde Transverse ElectroMagnétique une onde électromagnétique telle que�!E et
�!H soient
orthogonaux au vecteur d’onde�!k . On se limitera à l’étude de ce mode dans nos lignes car il permet
de définir une dualité simple entre�!E et une tensionV entre les deux conducteurs et entre
�!H et une
intensité dans chaque (fig. 4).
FIGURE 4 – Exemple dans une ligne micro-ruban
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Leçon lignes de transmission
FIGURE 1 – Ligne micro-rubanFIGURE 2 – Ligne coaxiale
FIGURE 3 – Ligne bifilaire
1.3 L’ARQP et les hautes fréquences
L’Approximation des Régimes Quasi-Permanents revient à considérer comme négligeable les temps depropagation des ondes électromagnétiques devant la période du signal ou à considérer les dimensionsdu circuit très petites devant la longueur d’onde. A cette condition, un fil peut-être considéré commeéquipotentiel, mais dans le cas des micro-ondes, f ' 1 GHz et � ⇠ 30 cm. L’ARQP est donc mise endéfaut dans nos lignes. En fonction de la charge à l’entrée et à la sortie, ces ondes vont être réfléchies ettransmises en bout de ligne, on essaye généralement de limiter les réflexions qui constituent une pertede puissance de signal.
2 Modèles de lignes
2.1 Modèle à constante réparties
i(z, t)R1dz L1dz i(z + dz, t)
G1dz C1dzv(z, t) v(z + dz, t)
R1 = Résistance série linéique en ⌦.m�1
L1 = Self inductance linéique en H.m�1
G1 = Conductance linéique de l’isolant en ⌦�1.m�1
C1 = Capacité linéique en F.m�1
On suppose l’ARQP valable entre z et z + dz.
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Leçon lignes de transmission
Loi des mailles :
v(z, t) = R1dz.i(z, t) + L1dz@i(z, t)
@t+ v(z + dz, t)
Loi des noeuds :
i(z, t) = G1dz.v(z + dz, t) + C1dz@v(z + dz, t)
@t+ i(z + dz, t)
Au premier ordre : 8><
>:
�@v
@z= R1i+ L1
@i
@t
� @i
@z= G1v + C1
@v
@t
En dérivant par rapport à z :8><
>:
@2v
@z2= L1C1
@2v
@t2+ (R1C1 + L1G1)
@v
@t+R1G1v
@2i
@z2= L1C1
@2i
@t2+ (R1C1 + L1G1)
@i
@t+R1G1i
Ces équations sont appelées équations des télégraphistes. Comme elles sont identiques en v et en i, onne va résoudre que pour v. On cherche v de la forme v(z, t) = V (z)ej!t (solution ondulatoire). On a
alors :@2V
@z2= �L1C1!2V + j!(R1C1 + L1G1)V +R1G1V = (R1 + jL1!)(G1 + jC1!)V
On écrit :@2V
@z2= �2V et on pose � = ↵+ j�.
D’où V = Vi
e�↵ze�j�z + Vr
e↵zej�z et v(z, t) = Vi
e�↵zej(!t��z) + Vr
e↵zej(!t+�z). On a donc la sommed’une onde de tension incidente (vers les z croissants) et une onde de tension réfléchie (vers les zdécroissants) et v
p
= !
�
est appelée vitesse de phase ( ⇠ 2.108m.s�1).
2.2 Modèle de la ligne parfaite
On considère ici un conducteur parfait (R1 = 0) et un isolant parfait (G1 = 0)
i(z, t)L1dz i(z + dz, t)
C1dzv(z, t) v(z + dz, t)
A nouveau, l’ARQP est valable entre z et z + dzLoi des mailles :
v(z, t) = L1dz@i(z, t)
@t+ v(z + dz, t)
Loi des noeuds :
i(z, t) = C1dz@v(z + dz, t)
@t+ i(z + dz, t)
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Leçon lignes de transmission
Au premier ordre : 8><
>:
�@v
@z= L1
@i
@t
� @i
@z= C1
@v
@t
En dérivant par rapport à z : 8><
>:
@2v
@z2= L1C1
@2v
@t2@2i
@z2= L1C1
@2i
@t2
A nouveau, on cherche v de la forme v(z, t) = V (z)ej!t (solution ondulatoire).On obtient v(z, t) = V
i
ej!(t� zc ) + V
r
ej!(t+ zc ) avec c = 1p
L1C1.
On perd le terme atténuateur en e�↵z.
3 Impédance caractéristique et adaptation
3.1 Impédance et coefficient de réflexion
On définit Zc
=Vi
Ii= R1+jL1!
�
d’où Zc
=q
R1+jL1!
G1+jC1!
Souvent Zc
= 50⌦ en micro-ondes 600⌦ en téléphonie et 75⌦ en vidéo.
Dans le cas du modèle sans pertes, on a Zc
= Rc
=q
L1C1
Exemple : câble coaxial RG-58U (diélectrique en po-lyéthylène)
⇢cond
1, 7.10�8⌦.m�1
2a 0, 406mm2b 1, 418mme 0, 25mm✏r
2, 25µr
1⇢isol
3.1013⌦.m�1
C1 = 2⇡✏0✏rln( b
a )100pF.m�1
L1 = 12⇡µ0µr
ln( ba
) 0, 25µH.m�1
c 2.108m.s�1
Rc
50⌦
On définit �L
=Vr,L
Vi,Lle coefficient de réflexion et �
L,d
= �L
e�2↵de�2j�d le coefficient ramené en d.
ZL
=VL
IL
=Vr,L
+ Vi,L
Ir,L
+ Ii,L
=Vi,L
Ii,L
1 + �L
1� �L
On pose z =ZL
ZC.
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Leçon lignes de transmission
FIGURE 5 – Schéma d’une ligne chargée
Si ZL
(ici, Rload
) = Zc
alors �L
= 0, on n’a pas de réflexion (régime d’onde progressive).
FIGURE 6 – Transmission d’une impulsion vers une charge de 50⌦
Si ZL
= 1 alors �L
= 1, on a réflexion.
FIGURE 7 – Transmission d’une impulsion vers une charge infinie
Si ZL
= 0 alors �L
= �1, on a réflexion inversée.
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Leçon lignes de transmission
FIGURE 8 – Transmission d’une impulsion vers une charge nulle
3.2 Adaptation
On s’intéresse à la puissance absorbée par un dipôle en bout de ligne. Pabs
= Pinc
� Pref
= Pinc
(1 �|�
L
|2) et maximiser la puissance revient à avoir �L
= 0, z = 1 ou ZL
= ZC
.Si on a une onde réfléchie, il existe un système d’onde stationnaires. On le caractérise par le TOS ouSWR =
1+|�L|1�|�L| � 1, jusqu’à 1,2, on considère la charge bien adaptée.
NB : �L,d
= ��L
si d = �
4 , ce qui signifie qu’on peut changer un charge inductive en une chargecapacitive pour une certaine longueur d’onde en rajoutant une certaine longueur de ligne. De plus si lacharge vaut R1 à un bout, l’onde voit R2 à l’autre bout tel que R1R2 = Z
C
2. La ligne quart d’onde estun adaptateur d’impédance.
3.3 Abaque de Smith
(� = p+ jq
z = r + jx
� = z�1z+1 donc p+ jq = r�1+jx
r+1+jx
D’où p(r + 1)� qx+ j((r + 1)q + px) = r � 1 + jx
(p(r + 1)� qx = r � 1
(r + 1)q + px = x
(p(r + 1)� q2 r+1
1�p
= r � 1
x = q r+11�p
D’où p(r + 1)(1� p)� q2(r + 1) = r � 1 et (p� r
1+r
)2 + q2 = ( 11+r
)2 qui est l’équation d’un cercle pourr constant. De même si on élimine r au lieu de x, (p� 1)2 + (q � 1
x
)2 = ( 1x
)2. Ce qui explique l’abaquede Smith : à partir de z, on retrouve �.
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Leçon lignes de transmission
FIGURE 9 – Abaque de Smith
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