MS3:PLAQUES: DU 3D au 2DMS3:PLAQUES: DU 3D au 2D
MÉCANIQUE DES STRUCTURESMÉCANIQUE DES STRUCTURES
Programme Mécanique II - Mécanique des Structures 2004-2005
MS1 (02/12): Les méthodes énergétiques: Des méthodes « éclair » pour calculer des poutres à liaisons multiples• TD 1(02/12):Pont-Stade de France
MS2(10/12) :Structures complexes: les éléments finis simplifient les calculs• TD2(10/12) :Arbre d’alternateur
MS3(16/12) :Plaques :du 3D au 2D• TD3(16/12) :Etage cryogénique d'Ariane V: Plaque de révolution en flexion
MS4(06/01) : le flambement :un mode de ruine des structures inattendu• TD4(06/01) :Flambement par dilatation des rails de chemin de fer
MS5 (13/01):Vibrations des structure: les modes propres concentrent l’info• TD5(13/01) :Réponse dynamique d’un poteau de basket
Etude dynamique d'un arbre d'alternateur
PLAQUES
••INTRODUCTION:MODELISATION COMME INTRODUCTION:MODELISATION COMME MILIEU 2DMILIEU 2D efforts intérieurs : introduction heuristique ••PLAQUES EPAISSES(REISSNERPLAQUES EPAISSES(REISSNER--MINDLIN)MINDLIN)• Définitions , hypothèses, fonctionnement en membrane et flexion• Cinématique,Déformations•Théorème des puissances virtuelles:
tenseur des efforts de membrane N,tenseur des flexions M
•Equations d ’équilibre en N,MConditions aux limites
•Lois de comportement
INTRODUCTION:MODELISATION D’UNE PLAQUE COMME MILIEU BIDIMENSIONNEL
• Plaque(= surface 2D) soumise à:– une densité surfacique de
forces: fs=fST+fSn
– Une densité surfacique de couples cs dans le plan S
ii11
ii33
ii22
SS
En un point En un point ξξ, S exerce sur St:, S exerce sur St:••Une force linUne force linééique ique TT((νν))••Un couple linUn couple linééique ique MM((νν))
νν
StStΓΓ M(M(νν))
T(T(νν))
ξξ
• Tenseur des efforts intérieurs• T(ν)=Nν ,N=N+ i3 ⊗ N,3• N,tenseur des "efforts de
membrane"(plan 1,2)• N,3vecteur des forces de
cisaillement
INTRODUCTION:MODELISATION D’UNE PLAQUE COMME MILIEU BIDIMENSIONNEL
ii33
ii11
ii22
SS
T(ν)
νν N(ν)(ν.N,3) i3
• Réciprocité des efforts intérieurs:• T(-ν)=-T(ν)(équilibre d’un rectangle sur la plaque)
INTRODUCTION:MODELISATION D’UNE PLAQUE COMME MILIEU BIDIMENSIONNEL
• Equations d’équilibre pour St:
ii11
ii33
ii22
SS
νν
StStΓΓ M°(M°(νν))
T(T(νν))
∫∫∫∂
ν+=ρttt S
tS
tSS
t dl)(dSdS Tfa
∫∫∫∂
°+∧++∧=ρ∧ttt S
tS
tsSS
t dl))()((dS)f(dS ?M?Txcxax
• Transformation des équations d’équilibre:équations locales
∫∫∫ −=∂ S
33xS
SS
ds)i(idivDivdl)( NN?NSn3n
StST
S
fdivN
Div
Div
+=ρ+=ρ
+=ρ
⋅a
fNa
fNa S
INTRODUCTION:MODELISATION D’UNE PLAQUE COMME MILIEU BIDIMENSIONNEL
∫∫∫∂
+=ρttt S
tS
tSS
t dl)(dSdS ?Tfa
T(ν)=Nν , N=N+ i3 ⊗ N,3
• Transformation des équations d’équilibre:équations locales
INTRODUCTION:MODELISATION D’UNE PLAQUE COMME MILIEU BIDIMENSIONNEL
221
2
111
uSfdxdR
uSfdxdN
&&
&&
ρ
ρ
=+
=+
Équivalence avec les poutres
Sn3n
StST
S
fdivN
Div
Div
+=ρ+=ρ
+=ρ
⋅a
fNa
fNa S
• Transformation des équations d’équilibre:équations locales Même démarche appliquée au moment dynamiqueMême démarche appliquée au moment dynamique
symétrique 3
MIcNMDiv sS Ψ&&=+− ⋅
INTRODUCTION:MODELISATION D’UNE PLAQUE COMME MILIEU BIDIMENSIONNEL
021
3 =+ Rdx
dMPoutres:Poutres:
• Transformation des équations d’équilibre:équations locales Même difficultés que pour un milieu 3D:
– Nécessité d’une loi de comportement pour trouver les déplacements
– N et M apparaissent intuitivement comme intégrales sur l’épaisseur des contraintes planeset de leur moment
• >Besoin d’une CINEMATIQUE des déplacementsde la plaque: du 3D au 2D
INTRODUCTION:MODELISATION D’UNE PLAQUE COMME MILIEU BIDIMENSIONNEL
Définition Définition et hypothèses de baseet hypothèses de base::•Une plaque est un solide V engendré par un segment[-h/2,h/2]orthogonal à une surface plane S et dont le centre parcourt S; Sconstitue la surface moyenne de la plaque.•L ’épaisseur h est petite devant les dimensions transversalesde la plaque •On utilisera un repère Ox1,Ox2,Ox3,de vecteurs directeurs i1,i2,i3,tels que:
•S est contenue dans le plan Ox1,Ox2•i3 est normal à la plaque
THEORIE DE REISSNERTHEORIE DE REISSNER--MINDLIN:PLAQUES EPAISSESMINDLIN:PLAQUES EPAISSES
ii11
ii33
ii22
SS
Définition et hypothèses de baseDéfinition et hypothèses de base::•H1:petits déplacements et petites déformations: les déplacements ui et leurs dérivées ui,j sont petits devant l ’unité;
•H2:un segment droit orthogonal à la surface moyenne reste indéformable dans la transformation,sans forcément rester orthogonal à S -analogie avec hypothèse de Timoshenko pour les poutres:on considèrera l ’influence du cisaillement transversecisaillement transverse
•H3:les contraintes normales suivant i3, σ33=i3.σ(i3),nulles sur les surfaces supérieures et inférieures de la plaque (surfaces libres), sont négligeables dans l ’épaisseur
THEORIE DE REISSNERTHEORIE DE REISSNER--MINDLIN:PLAQUES EPAISSESMINDLIN:PLAQUES EPAISSES
THEORIE DE REISSNERTHEORIE DE REISSNER--MINDLIN:PLAQUES EPAISSESMINDLIN:PLAQUES EPAISSES
FLEXION:forces/FLEXION:forces/depltdeplt⊥⊥planplan
MEMBRANE:forces/MEMBRANE:forces/depltdeplt.dans le plan.dans le plan
Deux effets de base:Deux effets de base:
THEORIE DE REISSNERTHEORIE DE REISSNER--MINDLIN:PLAQUES EPAISSESMINDLIN:PLAQUES EPAISSES
PLAQUES EPAISSES( REISSNERPLAQUES EPAISSES( REISSNER--MINDLIN)MINDLIN)
••Hypothèse cinématique sur les déplacements:Hypothèse cinématique sur les déplacements:
Le déplacement d ’un point P projeté au repos sur S en G est: u(P) = u(G ) +Ω(G)∧X⊥ ,,où X⊥ ,= GP=x3i3
Ω,vecteur rotation du segment S orthogonal à i3:Ω=i3∧Ψou:Ψ=Ω∧ i3
u(P) = u(G ) +x3 Ψ=v+wi 3+ x3 Ψles indices grecs sont relatifs au plan de la plaque(tradition!)
les indices latins (3) à l ’épaisseur
ii33
ii11vw
ΨΨ11
u(P) = u(G ) +x3 Ψ=v+wi 3+ x3 Ψ
ii33
ii11vw
Ψ=Ω∧ i3, Ω=i3∧ΨΨ1 rabat l'axe 3 sur l'axe 1:rotation Ω2Ψ2 rabat l'axe 3 sur l'axe 2:rotation -Ω1
PLAQUES EPAISSES( REISSNERPLAQUES EPAISSES( REISSNER--MINDLIN)MINDLIN)
••Hypothèse cinématique sur les déplacements:Hypothèse cinématique sur les déplacements:
u(P) = u(G ) +x3 Ψ=v+wi 3+ x3 Ψ
Déformations:Déformations:
les indices grecs sont relatifs au plan de la plaque(tradition!)les indices latins (3) à l ’épaisseur
b= b= Ψ+gradSw
cisaillementcisaillement
+=
02
2 x
t
3
b
bKd
e
Déf. de membrane, Déf. de membrane, dans le plandans le plan
d=1/2(gradSv+tgradSv)
Flexion: Flexion: varaiation varaiation de courburede courbure
Κ=1/2(gradS Ψ+tgradS Ψ)
PLAQUES EPAISSES( REISSNERPLAQUES EPAISSES( REISSNER--MINDLIN)MINDLIN)
4.2Hypothèse cinématique sur les déplacements:4.2Hypothèse cinématique sur les déplacements:
les indices grecs sont relatifs au plan de la plaque(tradition!)les indices latins (3) à l ’épaisseur
Déf. de Déf. de membranemembrane
d=1/2(gradSv+tgradSv)
Flexion:modifie la Flexion:modifie la courburecourbure
Κ=1/2(gradS Ψ+tgradS Ψ)
4. 3 Théorème des puissances virtuelles4. 3 Théorème des puissances virtuelles
••Motivation: lors dMotivation: lors d ’’une rune réésolution numsolution numéérique (rique (ééllééments ments finis, quasi obligatoire pour tout problfinis, quasi obligatoire pour tout problèème de plaque), on me de plaque), on satisfait EN MOYENNE satisfait EN MOYENNE éénergnergéétique les tique les ééquations quations dynamiques sur la plaque.dynamiques sur la plaque.
••Le thLe thééororèème des puissances virtuelles permet me des puissances virtuelles permet dd’’introduire introduire rigoureusementrigoureusement les tenseurs N efforts de membrane, M les tenseurs N efforts de membrane, M flexions, et b cisaillement,flexions, et b cisaillement,
••Il permet de (re)trouver les Il permet de (re)trouver les ééquations dquations d’é’équilibrequilibre
THEORIE DE REISSNERTHEORIE DE REISSNER--MINDLIN:PLAQUES EPAISSESMINDLIN:PLAQUES EPAISSES
Cinématique Cinématique virtuelle CAvirtuelle CA
Les composantes du tenseur de la déformation virtuelle se calculent formellement identiquement:ε=d+x3K, 2εα3=bα , ε33=0
Théorème des puissances virtuellesThéorème des puissances virtuelles
u(P) = u(G ) +x3 Ψ= v+wi 3+ x3 Ψ
THEORIE DE REISSNERTHEORIE DE REISSNER--MINDLIN:PLAQUES EPAISSESMINDLIN:PLAQUES EPAISSES
u(P) = u(G ) +x3 Ψ=v+wi 3+ x3 Ψ
[ ]dVb)x.((TrdV).(TrWV
33SVi ∫∫ αασ++−−=δ Kdses&
Or, Or, dd,,KK et et bb ne dne déépendent que pendent que de xde x11 et xet x22::
On peut sOn peut sééparer:parer:••IntIntéégration dans le plan gration dans le plan ••IntIntéégration suivant xgration suivant x33
Théorème des puissances virtuelles:Théorème des puissances virtuelles:puissance virtuelle des puissance virtuelle des efforts intérieursefforts intérieurs
THEORIE DE REISSNERTHEORIE DE REISSNER--MINDLIN:PLAQUES EPAISSESMINDLIN:PLAQUES EPAISSES
=
03,t
3,S
sss
s
Théorème des puissances virtuelles:puissance virtuelle des Théorème des puissances virtuelles:puissance virtuelle des efforts efforts intérieursintérieurs
dSb.dx.dxxTr.dxTrWS 3
2h
2h 33
2h
2h 33
2h
2hi ∫ ∫∫∫
σ+
+
−=δ α
−α
−−Ksds&
MembraneMembrane flexionflexion cisaillementcisaillementtransversetransverse
THEORIE DE REISSNERTHEORIE DE REISSNER--MINDLIN:PLAQUES EPAISSESMINDLIN:PLAQUES EPAISSES
dSbN).(Tr).(TrWS 3i ∫ αα++−=δ KMdN&
32h
2h dx∫−
= sN
Introduction de trois quantités: Introduction de trois quantités:
Tenseur des efforts de membrane:Tenseur des efforts de membrane:
Efforts intérieurs:les CONTRAINTES INTEGREESEfforts intérieurs:les CONTRAINTES INTEGREES
THEORIE DE REISSNERTHEORIE DE REISSNER--MINDLIN:PLAQUES EPAISSESMINDLIN:PLAQUES EPAISSES
ii11
ii22
ii33
NN1111
NN2121
NN1313
NN1212
NN2222
NN2323
Introduction de trois quantités: Introduction de trois quantités: Tenseur des Tenseur des flexions:flexions:
32h
2h 3 dxx∫−
= sM
les deux premières quantités sont nécessairement des tenseursles deux premières quantités sont nécessairement des tenseurs
THEORIE DE REISSNERTHEORIE DE REISSNER--MINDLIN:PLAQUES EPAISSESMINDLIN:PLAQUES EPAISSES
MM1111 et Met M2222 fléchissentfléchissent, M, M1212 M21 tordenttordent les facettes les facettes
ii11
ii22
ii33
MM1111
MM1212
MM2222MM2121
Efforts intérieurs:les CONTRAINTES INTEGREESEfforts intérieurs:les CONTRAINTES INTEGREES
Introduction de trois quantités: Introduction de trois quantités:
Vecteur des efforts de Vecteur des efforts de cisaillement:cisaillement:
32h
2h 33 dxN ∫−
αα σ=
les deux premières quantités sont nécessairement des tenseursles deux premières quantités sont nécessairement des tenseurs
THEORIE DE REISSNERTHEORIE DE REISSNER--MINDLIN:PLAQUES EPAISSESMINDLIN:PLAQUES EPAISSES
Efforts intérieurs:les CONTRAINTES INTEGREESEfforts intérieurs:les CONTRAINTES INTEGREES
Théorème des puissances virtuellesThéorème des puissances virtuelles
les contraintes intégrées N,M,Nles contraintes intégrées N,M,Nαα sont DUALES sont DUALES des termes des termes d,K,bd,K,b
dSbN)(Tr)(TrWS 3i ∫ αα++−=δ KMdN&
THEORIE DE REISSNERTHEORIE DE REISSNER--MINDLIN:PLAQUES EPAISSESMINDLIN:PLAQUES EPAISSES
+ω−+
ω=ω−
dsvd
Tdsd
M),v,s(Pl
CfCf:Poutre en flexion:Poutre en flexion
Théorème des puissances virtuellesThéorème des puissances virtuelles
dSbN)(Tr)(TrWS 3i ∫ αα++−=δ KMdN&
THEORIE DE REISSNERTHEORIE DE REISSNER--MINDLIN:PLAQUES EPAISSESMINDLIN:PLAQUES EPAISSES
Puissance virtuelle des efforts Puissance virtuelle des efforts surfaciquessurfaciques extérieurs extérieurs F=FF=Fααi i αα sur sur ΣΣll::
( )dsWes ∫Γ
•++•=δ ?CwQvQ 3&
DD ’où:’où: ∫−= 2
h
2h 3dxFQ Densité linéique dDensité linéique d ’efforts de membrane (Q’efforts de membrane (Q11,Q,Q22))
transversal(Qtransversal(Q33))
∫−= 2h
2h 33 dxx FC
Vecteur Vecteur bidimbidim. . lié à la densité lié à la densité linéique de couple Cl=ilinéique de couple Cl=i33∧∧C, ou C, ou C= C= ii33∧∧ClCl
THEORIE DE REISSNERTHEORIE DE REISSNER--MINDLIN:PLAQUES EPAISSESMINDLIN:PLAQUES EPAISSES
∫∫∂∂
++==δV
33V
es dS))G(xw.(dS),(W ?ivFuF&
Puissance virtuelle des efforts Puissance virtuelle des efforts volumiquesvolumiques extérieurs extérieurs f=ff=fααe e αα +f+f33ee33
DD ’où:’où: ∫−= 2
h
2h 3dxfp Densité Densité surfaciquesurfacique dd ’efforts de membrane (p’efforts de membrane (p11,p,p22))
normaux à S(pnormaux à S(p33))
∫− αα = 2h
2h 33 dxfxm Vecteur Vecteur bidimbidim. lié à la densité surfacique de couple . lié à la densité surfacique de couple
cscs=e=e33∧∧m, ou m= m, ou m= ee33∧∧cscs,g,géénnééralement nulralement nul
( )dSWS
ev ∫ •++•=δ ?mwpvp 3&
THEORIE DE REISSNERTHEORIE DE REISSNER--MINDLIN:PLAQUES EPAISSESMINDLIN:PLAQUES EPAISSES
Théorème des puissances virtuelles:Théorème des puissances virtuelles:écriture du théorèmeécriture du théorème
0WWWW accevesi =δ−δ+δ+δ &&&&
THEORIE DE REISSNERTHEORIE DE REISSNER--MINDLIN:PLAQUES EPAISSESMINDLIN:PLAQUES EPAISSES
dSbN)(Tr)(TrWS 3i ∫ αα++−=δ KMdN&
Intégration par parties….Intégration par parties….
Théorème des puissances virtuelles:Théorème des puissances virtuelles:écriture du théorèmeécriture du théorème
0WWWW accevesi =δ−δ+δ+δ &&&&
n ,
apdivIDiv
pDiv
3
n3
3S
TS
33
3
NQMniClMnC
NnQN
mNM
aN
⋅
⋅
⋅
=∧==
=ρ=+
Ψ=+−
ρ=+&&
Équations Équations dd ’équilibre’équilibre
Conditions Conditions à la à la
frontièrefrontière
Découplage Découplage membrane membrane --
flexionflexion
membranemembrane
effort tranchanteffort tranchant
THEORIE DE REISSNERTHEORIE DE REISSNER--MINDLIN:PLAQUES EPAISSESMINDLIN:PLAQUES EPAISSES
flexionflexion
nNMniCl Mn,C
NnQ
3
3
⋅=∧==
=
3Q
Analyse des forces sur le bord de la plaqueAnalyse des forces sur le bord de la plaque::
n:vecteur normal n:vecteur normal ext.ext. au bord au bord ΓΓ de S de S ττ:vecteur tangent :vecteur tangent àà ΓΓ(n, (n, ττ ,i3) direct,i3) direct
( ) ( )( ) ( ) αβαββαβ
αβαββαβ
τ−=∧=∧=
=∧=∧=
nMnMCl
nnMnM.Cl
t
3f
a33
a3
iin.Mnin.
iit .Mnit
THEORIE DE REISSNERTHEORIE DE REISSNER--MINDLIN:PLAQUES EPAISSESMINDLIN:PLAQUES EPAISSES
Distinguer flexion et torsion:Distinguer flexion et torsion:ii11
ii22
ii33
MM1111
MM1212
MM2222MM2121
ContraintesContraintes( )[ ]ijij22112ij )1()(1
Eευ−+δε+εν
υ−=σ
( )[ ]
( )[ ]
1212
1122222
2211211
1E
1E
1E
ευ+
=σ
υε+ευ−
=σ
υε+ευ−
==σ
Comportement de membrane(dans le plan S)Comportement de membrane(dans le plan S)
THEORIE DE REISSNERTHEORIE DE REISSNER--MINDLIN:PLAQUES EPAISSESMINDLIN:PLAQUES EPAISSES
LOI DE COMPORTEMENT:LOI DE COMPORTEMENT:σσ 3333=0 conduit à:=0 conduit à:
εεε
ν−ν
ν
ν−=
σσσ
12
22
11
2
12
22
11
1000101
1E
εεε
ν−ν
ν
ν−=
σσσ
12
22
11
2
12
22
11
1000101
1E
En intégrant sur lEn intégrant sur l ’épaisseur pour N, ’épaisseur pour N,
[ ] [ ],100
0101
1Eh
2 dN
ν−ν
ν
ν−=
THEORIE DE REISSNERTHEORIE DE REISSNER--MINDLIN:PLAQUES EPAISSESMINDLIN:PLAQUES EPAISSES
Loi de comportementLoi de comportement
Loi de comportementLoi de comportement
εεε
ν−ν
ν
ν−=
σσσ
12
22
11
2
12
22
11
1000101
1E
En intégrant sur lEn intégrant sur l ’épaisseur, ’épaisseur, après après prémultipliprémultipli. par x. par x33 ::
Remarquer Remarquer D=EhD=Eh33/12(1/12(1--νν22))[ ] ( ) [ ]KM
ν−ν
ν
ν−=
1000101
112Eh
2
3
THEORIE DE REISSNERTHEORIE DE REISSNER--MINDLIN:PLAQUES EPAISSESMINDLIN:PLAQUES EPAISSES
Loi de comportementLoi de comportement
( )ααα +Ψυ+
= ,3 w)1(2
EhN
THEORIE DE REISSNERTHEORIE DE REISSNER--MINDLIN:PLAQUES EPAISSESMINDLIN:PLAQUES EPAISSES
Comportement en cisaillement transverseComportement en cisaillement transverse
2,1,1
E33 =αε
υ+=σ αα
En résumé:En résumé:
On a décomposé le tenseur de la On a décomposé le tenseur de la déformation: edéformation: ess==dd+x+x 33 ΚΚ••un un tenseur 2D des déformations tenseur 2D des déformations de membranede membrane•d=1/2(grad2v+tgrad2v) ,
……••un un tenseur de tenseur de --variation devariation de--courburecourbure••…. …. κ=1/2(grad2 Ψ+tgrad2 Ψ) ,
••un un vecteur cisaillementvecteur cisaillement……••b= b= Ψ+grad2w
32h
2h dx ∫−
= sN
Introduction de trois quantités(duales): Introduction de trois quantités(duales):
Tenseur des efforts de membraneTenseur des efforts de membrane::
Tenseur des flexionsTenseur des flexions
32h
2h 3 dxx∫−
= sM
Vecteur des efforts de cisaillementVecteur des efforts de cisaillement::
32h
2h 33 dxN ∫−
αα σ=
THEORIE DE REISSNERTHEORIE DE REISSNER--MINDLIN:PLAQUES EPAISSESMINDLIN:PLAQUES EPAISSES
En résumé:En résumé:
Principe des Principe des puissances virtuellespuissances virtuelles
ouou
Equations dEquations d ’équilibre ’équilibre + condition à la + condition à la
frontièrefrontière
+loi de +loi de comportementcomportement
nN
MniClMnCNnQ
N
NM
aN
3
3
⋅
⋅
⋅
=∧==
=ρ=+
Ψ=+−
ρ=+
3
3s33
3s
Ts
Q
,
updiv
ImDiv
pDiv
&&
&&
[ ] [ ],100
0101
1Eh
2 dN
ν−ν
ν
ν−= [ ] ( ) [ ]?M
ν−ν
ν
ν−=
1000101
112Eh
2
3
THEORIE DE REISSNERTHEORIE DE REISSNER--MINDLIN:PLAQUES EPAISSESMINDLIN:PLAQUES EPAISSES
SYNTHESESYNTHESE
3s33
S
TS
updivN
IDiv
pDiv
&&
&&
ρ=+Ψ=+−
ρ=+
⋅
⋅ mNM
aN
3
[ ] [ ],100
0101
1Eh
2 dN
ν−ν
ν
ν−=
[ ] ( ) [ ]KM
ν−ν
ν
ν−=
1000101
112Eh
2
3
plaquesplaques
σσ(n)=(n)=ffss
DivDivxxσσ ++ffvv==ρρaa
Milieu 3DMilieu 3D poutrespoutres
0Rdx
dM
uSfdxdR
uSfdxdN
21
3
221
2
111
=+
ρ=+
ρ=+
&&
&&
21
22
33
1
1
dxudEIM
dxdu
ESN
=
=σσ==λλTrTr (e)I+2(e)I+2µµee
nN
MniClMnCNnQ
3
3
⋅=∧==
=
3Q
,(T,C) (T,C) (S+/S(S+/S--)) =+/=+/--(R,M)(R,M)
THEORIE DE REISSNERTHEORIE DE REISSNER--MINDLIN:PLAQUES EPAISSESMINDLIN:PLAQUES EPAISSES
PLAQUES MINCESPLAQUES MINCES (KIRCHOFF(KIRCHOFF--LOVE):LOVE):
Hypothèse cinématique sur les déplacements:Hypothèse cinématique sur les déplacements:
Le déplacement d ’un point P projeté au repos sur S en G est:
u(P) = u(G ) +x3 Ψ=v+wi 3+ x3 Ψ
b= b= Ψ+gradSw=0αβ
βααβ −=
∂∂∂
−= ,wxx
wK
2
Courbure de la plaque déforméeCourbure de la plaque déformée
LE SEGMENT RESTE ORTHOGONAL A LA LIGNE MOYENNE: Ψ=-gradw
Théorème des puissances virtuelles:Théorème des puissances virtuelles:écriture du théorème écriture du théorème
pour la flexionpour la flexion
( )
( )dS wpW
ds CwQW
dS W
0WWW
S3ev
FF3es
Si
eVeSi
∫
∫∫
+=δ
Ω+=δ
−=δ
=δ+δ+δ
Γ
&
&
&
&&&
KM
THEORIE DE KIRCHOFF-LOVE:PLAQUES MINCES
tngradintdn
wddswdw3tF −=∧−=Ω+Ω=Ω
Se réduit à la flexion Se réduit à la flexion du bord:du bord:ww y est y est prescrit prescrit ddww//dsds=0=0
Théorème des puissances virtuelles:Théorème des puissances virtuelles:écriture du théorème,double écriture du théorème,double intégration par partiesintégration par parties
THEORIE DE KIRCHOFF-LOVE:PLAQUES MINCES
( )
[ ] [ ] [ ]PwMds wQMddnwd
M-
dS wMW
n
S ,i
τΓ
τ
αβαβ
−
++
=δ
∫
∫& ( )
( ) dS wpW
ds CwQW
S3ev
FF3es
∫
∫++=δ
Ω+=δΓ
&
&
αβαβααβτ
βααβ
αβαβ
+τ=+=
==
=+
nM)nM(dsd
Qds
dMQ
nnMCM
0pM
,3
Fn
3,
Q3:effort tranchant effectifQ3:effort tranchant effectif
Discontinuité du Discontinuité du moment de torsion aux moment de torsion aux
coins:réaction coins:réaction ponctuelleponctuelle
THEORIE DE KIRCHOFF-LOVE:PLAQUES MINCES
Discontinuité du moment de torsion aux coins:réaction Discontinuité du moment de torsion aux coins:réaction ponctuelleponctuelle
THEORIE DE KIRCHOFF-LOVE:PLAQUES MINCES
alors:Kαβ= -w,αβ et bα=Ψα +w,α=0Lois de comportement:Lois de comportement:
[ ] ( ) [ ]KEh
M
−−
=ν
νν
ν100
0101
112 2
3
( )
∂∂∂
−
∂∂
−
∂∂
−
ν−ν
ν
ν−=
21
2
22
2
21
2
2
3
12
22
11
xxw
xw
xw
1000101
112Eh
MMM
DD( )[ ]KK)IM )1((tr112Eh
2
3
ν−+νν−
=
! Écriture ! Écriture matriciellematricielle
THEORIE DE KIRCHOFF-LOVE:PLAQUES MINCES
Équations dÉquations d ’équilibre:’équilibre:
333
3 0
upDivN
NMDivapNDiv
S
TS
&&ρ
ρ
=+=−
=+
⋅
⋅
membranemembrane
flexionflexion
[ ] wpDivDiv 3S &&ρ=+M( )[ ]KK)IM )1((tr112Eh
2
3
ν−+νν−
=
wpwD 3 &&ρ=−∆∆
THEORIE DE KIRCHOFF-LOVE:PLAQUES MINCES
Application :plaque rectangulaireApplication :plaque rectangulaire
byn
sina
xmsinp
bn
am
1D1
)y,x(w n,mn,m
2
2
2
2
24
ππ
+π
= ∑
pwD =∆∆
∫∑ ππ=
ππ= dxdy
ayn
sina
xmsin)y,x(pp,
ayn
sina
xmsinp)y,x(p n,m
n,mn,m
bn
sina
msin
abP4
p
P)y()x(p
n,mπηπζ
=
η−δζ−δ=Charge concentréeCharge concentrée
Lo n g e r o n
T r a v e r s e e x t r ê m e a v a n t
RCA
THEORIE DE KIRCHOFF-LOVE:PLAQUES MINCES
PLAQUES
En résumé:En résumé:
Principe des Principe des puissances virtuellespuissances virtuelles ouou
Equations dEquations d ’équilibre ’équilibre + conditions à la + conditions à la
frontièrefrontière
+loi de +loi de comportementcomportement
RESOLUTION PRESQUE TOUJOURS A PARTIR D’UNE RESOLUTION PRESQUE TOUJOURS A PARTIR D’UNE SOLUTION :fonction dSOLUTION :fonction d ’approximation ’approximation
ou éléments finisou éléments finis
coques
Inscriptions BE: du 6 au 13 janvierInscriptions BE: du 6 au 13 janvierPar binômePar binôme
BONNES FETESBONNES FETES