Montage préparé par :
André Ross
Professeur de mathématiques
Cégep de Lévis-Lauzon
Systèmes d’équationset équations chimiques
Dans cette présentation, nous verrons comment construire et utiliser un système d’équations homogène et sa représentation matricielle pour équilibrer une équation chimique.
Introduction
Équilibrer ou balancer une équation chimique signifie déterminer les plus petits nombres de molécules des composés pour lesquels le nombre d’atomes de chaque élément du membre de gauche de l’équation est égal au nombre d’atomes du membre de droite.
Pour balancer une équation chimique
Procédure
1. Représenter par une variable le nombre de molécules de chaque composé de l’équation chimique.
2. Pour chaque élément, écrire l’équation de telle sorte que le nombre d’atomes de cet élément soit le même dans le membre de gauche et dans le membre de droite de l’équation chimique.
3. Représenter le système d’équations linéaires homogène par une matrice et résoudre.
4. Assigner aux variables libres la plus petite valeur entière pour laquelle chaque variable liée prendra une valeur entière et écrire l’équation balancée.
Exemple
Dans cette équation, il y a quatre composés. Représentons par x, y, z et u le nombre de molécules de ces composés. On cherche les valeurs de ces variables pour lesquelles l’équation sera équilibrée.
xNO2 + yH2O zHNO3 + uNO
Il faut donc que le nombre d’atomes de chacun des éléments soit le même dans le membre de gauche et dans le membre de droite de l’équation chimique.
Étape 1 : les variables
? NO2 + ? H2O ? HNO3 + ? NO
Équilibrer l’équation chimique suivante :
Exemple
Les conditions d’équilibre pour chaque élément sont :
Étape 2 : les équations
pour l’azote : x = z + u
pour l’oxygène : 2x + y = 3z + u
pour l’hydrogène : 2y = z
On doit donc résoudre le système d’équations linéaires homogène :
x – z – u = 0
2x + y – 3z – u = 0
2y – z = 0
xNO2 + yH2O zHNO3 + uNOÉquilibrer l’équation chimique suivante :
xNO2 + yH2O zHNO3 + uNO
La matrice augmentée est :
Étape 3 : résoudre
En appliquant la méthode de Gauss, on obtient :
Exemple
Le système a une infinité de solutions :{(x; y; z; u) | x = 3s; y = s; z = 2s; u = s}
120
012
–1–3–1
–1–10
000
Équilibrer l’équation chimique suivante :
120
012
–1–3–1
–1–10
000
≈100
012
–1–1–1
–110
000
L1
L2 – 2L1
L3
L1
L2
L3 – 2L2
≈100
010
–1–1
1
–11
–2
000
L1+ L3
L2 + L3
L3
≈100
010
001
–31
–2
000
Étape 4 : assignation des valeurs et interprétation
Exemple
Le système a une infinité de solutions :{(x; y; z; u) | x = 3s; y = s; z = 2s; u = s}
Pour que les variables aient la plus petite valeur entière possible, il faut poser s = 1, ce qui donne (3; 1; 2; 1). L’équation équilibrée est donc :
3NO2 + H2O 2HNO3 + NO
xNO2 + yH2O zHNO3 + uNOÉquilibrer l’équation chimique suivante :
Exercice
Le système a une infinité de solutions :
{(x; y; z; u) | x = s/8; y = 13s/12; z = 7s/24; u = s}
xFe7S8 + yO2 zFe3 O4 + uSO2
Cliquer pour la solution
Pour Fe : 7x = 3zPour S : 8x = uPour O : 2y = 4z + 2u
La plus petite solution entière est obtenue pour s = 24, ce qui donne :3Fe7S8 + 13O2 7Fe3 O4 + 24SO2
Équilibrer l’équation chimique suivante :
?Fe7S8 + ?O2 ?Fe3 O4 + ?SO2
780
002
–30
–4
0–1–1
000
≈56
00
012
0
00
24
–7–13–7
000
Exercices
Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 11.4, p. 364 et 367.
Lecture
Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 11.3, p. 333 à 334.