Montage préparé par :

André Ross

Professeur de mathématiques

Cégep de Lévis-Lauzon

Systèmes d’équationset équations chimiques

Dans cette présentation, nous verrons comment construire et utiliser un système d’équations homogène et sa représentation matricielle pour équilibrer une équation chimique.

Introduction

Équilibrer ou balancer une équation chimique signifie déterminer les plus petits nombres de molécules des composés pour lesquels le nombre d’atomes de chaque élément du membre de gauche de l’équation est égal au nombre d’atomes du membre de droite.

Pour balancer une équation chimique

Procédure

1. Représenter par une variable le nombre de molécules de chaque composé de l’équation chimique.

2. Pour chaque élément, écrire l’équation de telle sorte que le nombre d’atomes de cet élément soit le même dans le membre de gauche et dans le membre de droite de l’équation chimique.

3. Représenter le système d’équations linéaires homogène par une matrice et résoudre.

4. Assigner aux variables libres la plus petite valeur entière pour laquelle chaque variable liée prendra une valeur entière et écrire l’équation balancée.

Exemple

Dans cette équation, il y a quatre composés. Représentons par x, y, z et u le nombre de molécules de ces composés. On cherche les valeurs de ces variables pour lesquelles l’équation sera équilibrée.

xNO2 + yH2O zHNO3 + uNO

Il faut donc que le nombre d’atomes de chacun des éléments soit le même dans le membre de gauche et dans le membre de droite de l’équation chimique.

Étape 1 : les variables

? NO2 + ? H2O ? HNO3 + ? NO

Équilibrer l’équation chimique suivante :

Exemple

Les conditions d’équilibre pour chaque élément sont :

Étape 2 : les équations

pour l’azote : x = z + u

pour l’oxygène : 2x + y = 3z + u

pour l’hydrogène : 2y = z

On doit donc résoudre le système d’équations linéaires homogène :

x – z – u = 0

2x + y – 3z – u = 0

2y – z = 0

xNO2 + yH2O zHNO3 + uNOÉquilibrer l’équation chimique suivante :

xNO2 + yH2O zHNO3 + uNO

La matrice augmentée est :

Étape 3 : résoudre

En appliquant la méthode de Gauss, on obtient :

Exemple

Le système a une infinité de solutions :{(x; y; z; u) | x = 3s; y = s; z = 2s; u = s}

120

012

–1–3–1

–1–10

000

Équilibrer l’équation chimique suivante :

120

012

–1–3–1

–1–10

000

≈100

012

–1–1–1

–110

000

L1

L2 – 2L1

L3

L1

L2

L3 – 2L2

≈100

010

–1–1

1

–11

–2

000

L1+ L3

L2 + L3

L3

≈100

010

001

–31

–2

000

Étape 4 : assignation des valeurs et interprétation

Exemple

Le système a une infinité de solutions :{(x; y; z; u) | x = 3s; y = s; z = 2s; u = s}

Pour que les variables aient la plus petite valeur entière possible, il faut poser s = 1, ce qui donne (3; 1; 2; 1). L’équation équilibrée est donc :

3NO2 + H2O 2HNO3 + NO

xNO2 + yH2O zHNO3 + uNOÉquilibrer l’équation chimique suivante :

Exercice

Le système a une infinité de solutions :

{(x; y; z; u) | x = s/8; y = 13s/12; z = 7s/24; u = s}

xFe7S8 + yO2 zFe3 O4 + uSO2

Cliquer pour la solution

Pour Fe : 7x = 3zPour S : 8x = uPour O : 2y = 4z + 2u

La plus petite solution entière est obtenue pour s = 24, ce qui donne :3Fe7S8 + 13O2 7Fe3 O4 + 24SO2

Équilibrer l’équation chimique suivante :

?Fe7S8 + ?O2 ?Fe3 O4 + ?SO2

780

002

–30

–4

0–1–1

000

≈56

00

012

0

00

24

–7–13–7

000

Exercices

Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 11.4, p. 364 et 367.

Lecture

Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 11.3, p. 333 à 334.