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  • 2IE / LICENCE DINGENIERIE - Classe L1 / ANNEE 2009 - 2010TRAVAUX DIRIGES DALGEBRE 1

    Exercice N1

    Donner la valeur de verite et la negation des propositions suivantes :

    1. x R : y R x+ y > 02. x R y R : x+ y > 03. x R y R x+ y > 0

    Exercice N2

    Soit f une application definie de R dans R. Donner la negation de :

    1. f est croissante et positive

    2. x R : y R, x < y = f(x) > f(y)

    Exercice N3

    Soit f : R R une application. Traduire les enonces suivants a` laide de quantificateurs etconnecteurs logiques :

    1. f ne sannule jamais

    2. f nest pas la fonction nulle

    3. f ne prend jamais les memes valeurs en deux points distincts

    4. f est strictement decroissante

    Exercice N4

    Donner la negation des enonces suivants :

    1. Tout triangle rectangle posse`de un angle droit.

    2. > 0 n0 N : n n0 = |un l| <

    Exercice N5

    Soit E un ensemble.

    1. Montrer que : A, B P(E) (A B = B A) = (A = B)2. La relation definie sur E par : A, B P(E) (ARB) (A B = )

    est-elle reflexive ? symetrique ? transitive ?

    Exercice N6

    Etudier linjectivite et la sirjectivite des 2 applications f et g telles que :

    f :N Nx 7 2x ;

    g :N Nn 7 n 1

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  • Exercice N7

    Demontrer par recurrence les formules suivantes, valables pour n N :

    1. 1 2 + 2 3 + + n(n+ 1) = n2(n+ 1)(n+ 2)

    2.nj=1

    (2j 1) = n2

    Exercice N8

    n etant un entier natirel non nul fixe, donner le nombre de :

    1. couples (x, y) dentiers naturels solutions de lequation : x+ y = n

    2. triplets (x, y, z) dentiers naturels solutions de lequation : x+ y + z = n

    Exercice N9

    1. Soit E = {1, 1, i,i}. E muni de la multiplication des complexes est-il un groupe ?2. Soit A(+, .) un anneau dont lunite est note 1 et 0 designe lelement neutre de laddition. On

    rappelle que pour tout element a de A, 1 a = 1 + (a) . Soit n N et soit x A tel quexn = 0 (x est nilpotent). Montrer que 1 x est inversible.

    3. Donner quatre exemples de morphismes de groupes.

    Exercice N10

    Soit x R et n N . Calculer sous une forme simple, les sommes suivantes :

    S1 =n

    k=0

    cos (kx) ; S2 =n

    k=0

    sin (kx) ; S3 =n

    k=1

    Ckn ; S4 =n

    k=1

    k Ckn

    Exercice N11

    1. Calculer pgcd(330, 308) ; pgcd(30, 39) et ppcm(30, 39).

    2. Calculer pgcd(141, 255) et en deduire les entiers relatifs u et v tels que : 141 u+ 255 v = 3

    Exercice N12

    Soit [0, 2pi[ . Determiner en fonction de , le module et largument de chacun des nombrescomplexes : 1 + cos + i sin et 1 + cos + i sin .

    Exercice N13

    1. Donner la forme trigonometrique et les racines carrees de Z1 = 3 3i et de Z2 = i .2. Resoudre dans C lequation : z4 (3 4i)z2 3(1 + i) = 0

    Exercice N14

    Determiner lensemble des nombres complexes z tels que :

    z 3z 5 = 22

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  • Exercice N15

    On conside`re lequation (E) : z3 + (3 + 2i)z2 + (7 9i)z + 12i = 01. Determiner une solution z0 de (E) qui est imaginaire pure.

    2. Determiner les 2 autres solution de (E) notee z1 et z2 , sous forme algebrique puis sous forme

    trigonometrique. Calculer z1 z2 etz1z2.

    Exercice N16

    Resoudre dans C lequation : z3 = 42 (1 i) .

    Exercice N17

    Sachant que le reste de la division euclidienne dun polynome P par Xa est 1 et celui de la divisioneuclidienne de P par X b est 1, avec a 6= b, quel est le reste de la division euclidienne de P par(X a)(X b) ?

    Exercice N18

    Soit n N. Trouver, en fonction de n, le reste de la division euclidienne de Xn par chacun des 3polynomes suivants : X2 6X 16 ; X2 4X + 4 .

    Exercice N19

    Soit P (X) = (X + 1)7 X7 1 .1. Determiner le degre du polynome P et son coefficient dominant.

    2. Donner deux racines evidentes de P et determiner leurs ordres de multiplicite respectifs.

    3. Montrer que j (racine cubique de 1) est racine double de P . En deduire que j est racinedouble de P .

    4. Factoriser P dans C[X] puis dans R[X] .

    Exercice N20

    Determiner le PGCD des deux polynomes A et B suivants :

    A = X3 X2 X 2 ; B = X5 2X4 +X2 X 2

    Exercice N21

    Decomposer en elements simples : F1 =1 +X

    X(X2 +X + 1)dans C[X] et dans R[X] ;

    F2 =1

    X3(X2 1) ; F3 =2x2 + 2X + 12

    X2 + 2X 3 et F4 =X

    (X 1)2(X2 + 1) dans R[X]

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