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2IE / LICENCE DINGENIERIE - Classe L1 / ANNEE 2009 - 2010TRAVAUX
DIRIGES DALGEBRE 1
Exercice N1
Donner la valeur de verite et la negation des propositions
suivantes :
1. x R : y R x+ y > 02. x R y R : x+ y > 03. x R y R x+ y
> 0
Exercice N2
Soit f une application definie de R dans R. Donner la negation
de :
1. f est croissante et positive
2. x R : y R, x < y = f(x) > f(y)
Exercice N3
Soit f : R R une application. Traduire les enonces suivants a`
laide de quantificateurs etconnecteurs logiques :
1. f ne sannule jamais
2. f nest pas la fonction nulle
3. f ne prend jamais les memes valeurs en deux points
distincts
4. f est strictement decroissante
Exercice N4
Donner la negation des enonces suivants :
1. Tout triangle rectangle posse`de un angle droit.
2. > 0 n0 N : n n0 = |un l| <
Exercice N5
Soit E un ensemble.
1. Montrer que : A, B P(E) (A B = B A) = (A = B)2. La relation
definie sur E par : A, B P(E) (ARB) (A B = )
est-elle reflexive ? symetrique ? transitive ?
Exercice N6
Etudier linjectivite et la sirjectivite des 2 applications f et
g telles que :
f :N Nx 7 2x ;
g :N Nn 7 n 1
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Exercice N7
Demontrer par recurrence les formules suivantes, valables pour n
N :
1. 1 2 + 2 3 + + n(n+ 1) = n2(n+ 1)(n+ 2)
2.nj=1
(2j 1) = n2
Exercice N8
n etant un entier natirel non nul fixe, donner le nombre de
:
1. couples (x, y) dentiers naturels solutions de lequation : x+
y = n
2. triplets (x, y, z) dentiers naturels solutions de lequation :
x+ y + z = n
Exercice N9
1. Soit E = {1, 1, i,i}. E muni de la multiplication des
complexes est-il un groupe ?2. Soit A(+, .) un anneau dont lunite
est note 1 et 0 designe lelement neutre de laddition. On
rappelle que pour tout element a de A, 1 a = 1 + (a) . Soit n N
et soit x A tel quexn = 0 (x est nilpotent). Montrer que 1 x est
inversible.
3. Donner quatre exemples de morphismes de groupes.
Exercice N10
Soit x R et n N . Calculer sous une forme simple, les sommes
suivantes :
S1 =n
k=0
cos (kx) ; S2 =n
k=0
sin (kx) ; S3 =n
k=1
Ckn ; S4 =n
k=1
k Ckn
Exercice N11
1. Calculer pgcd(330, 308) ; pgcd(30, 39) et ppcm(30, 39).
2. Calculer pgcd(141, 255) et en deduire les entiers relatifs u
et v tels que : 141 u+ 255 v = 3
Exercice N12
Soit [0, 2pi[ . Determiner en fonction de , le module et
largument de chacun des nombrescomplexes : 1 + cos + i sin et 1 +
cos + i sin .
Exercice N13
1. Donner la forme trigonometrique et les racines carrees de Z1
= 3 3i et de Z2 = i .2. Resoudre dans C lequation : z4 (3 4i)z2 3(1
+ i) = 0
Exercice N14
Determiner lensemble des nombres complexes z tels que :
z 3z 5 = 22
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Exercice N15
On conside`re lequation (E) : z3 + (3 + 2i)z2 + (7 9i)z + 12i =
01. Determiner une solution z0 de (E) qui est imaginaire pure.
2. Determiner les 2 autres solution de (E) notee z1 et z2 , sous
forme algebrique puis sous forme
trigonometrique. Calculer z1 z2 etz1z2.
Exercice N16
Resoudre dans C lequation : z3 = 42 (1 i) .
Exercice N17
Sachant que le reste de la division euclidienne dun polynome P
par Xa est 1 et celui de la divisioneuclidienne de P par X b est 1,
avec a 6= b, quel est le reste de la division euclidienne de P
par(X a)(X b) ?
Exercice N18
Soit n N. Trouver, en fonction de n, le reste de la division
euclidienne de Xn par chacun des 3polynomes suivants : X2 6X 16 ;
X2 4X + 4 .
Exercice N19
Soit P (X) = (X + 1)7 X7 1 .1. Determiner le degre du polynome P
et son coefficient dominant.
2. Donner deux racines evidentes de P et determiner leurs ordres
de multiplicite respectifs.
3. Montrer que j (racine cubique de 1) est racine double de P .
En deduire que j est racinedouble de P .
4. Factoriser P dans C[X] puis dans R[X] .
Exercice N20
Determiner le PGCD des deux polynomes A et B suivants :
A = X3 X2 X 2 ; B = X5 2X4 +X2 X 2
Exercice N21
Decomposer en elements simples : F1 =1 +X
X(X2 +X + 1)dans C[X] et dans R[X] ;
F2 =1
X3(X2 1) ; F3 =2x2 + 2X + 12
X2 + 2X 3 et F4 =X
(X 1)2(X2 + 1) dans R[X]
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