THEORIE DES MECANISMES
CI4 : PERFORMANCES DES CHAINES DE TRANSMISSIONCI4 : PERFORMANCES DES CHAINES DE TRANSMISSION
THEORIE DES MECANISMES COURS
Edition 1 - 26/11/2017
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CHAÎNE D’INFORMATION
ACQUERIR TRAITER COMMUNIQUER
CHAÎNE D’ENERGIE
ALIMENTER DISTRIBUER CONVERTIR TRANSMETTRE
ACTION
PROBLEMATIQUE
« Il existe plusieurs solutions pour réaliser une liaison
mécanique. De même, il existe plusieurs moyens de réaliser une loi entrée-sortie
Le choix d’une liaison va avoir des conséquences sur la rigidité du mécanisme, sa difficulté de réalisation et sa
robustesse face à une dégradation des liaisons »
C - RESOURDREC - RESOURDREC - RESOURDRE
C2 : Procéder à la mise en œuvre d'une démarche de résolution analytique Déterminer le degré de mobilité et d’hyperstatisme
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Problématique Edition 1 - 26/11/2017
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SommaireA. _________________________________________Rappels sur les liaisons équivalentes! 4
A.1.Problématique 4
A.2.Liaisons en parallèle 4
A.3.Liaisons en série 5
A.4.Exemples 5
B. _____________________________________________________________Hyperstatisme! 6
B.1.Introduction 6B.1.1. DéfinitionB.1.2. Exemple
B.2.Détermination du degré d’hyperstatisme 7B.2.1. Inconnues cinématiquesB.2.2. Nombre cyclomatiqueB.2.3. Nombre d’équations cinématiquesB.2.4. Mobilités dans le mécanismeB.2.5. Calcul du degré d'hyperstatisme
C. ____________________________________________________Exemples d’application! 13
C.1.Exemple 1 : système bielle-manivelle 13C.1.1. Graphe des liaisonsC.1.2. Analyse du système 1C.1.3. Analyse du système 2C.1.4. Analyse du système 1
C.2.Exemple 2 : pompe à pistons radiaux 15
C.3.Exemple 3 : butée réglable 16C.3.1. Graphe des liaisonsC.3.2. Schéma cinématiqueC.3.3. Etude de l’hyperstatisme
D. ________________________________________________________Notes personnelles! 19
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Sommare Edition 1 - 26/11/2017
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A. Rappels sur les liaisons équivalentes
A.1. Problématique
De nombreuses liaisons mécaniques sont, technologiquement, réalisées par association en série ou en parallèle de liaisons élémentaires.
L’étude cinématique se simplifiera en déterminant si une liaison équivalente peut être extraite de ces associations.
La théorie des mécanismes que nous allons ensuite aborder dans ce cours, s'intéressera quant aux conséquences de telles associations sur le mécanisme, ainsi qu’au choix des liaisons retenues.
A.2. Liaisons en parallèle
Des liaisons sont en parallèle si elles relient les mêmes classes d’équivalence :
0 1L1/0'
L1/0''
L1/0
Ces situations existent lorsque :
• il est nécessaire de répartir les efforts entre plusieurs liaisons
• la place disponible n’est pas suffisante pour grouper l’ensemble des surfaces de contact nécessaires
• la technologie impose le choix de certaines solutions
L’ensemble se comporte comme une seule liaison, avec ses degrés de liberté spécifiques. Ces degrés de liberté sont alors imposés à chacune des liaisons élémentaires, qui se comportent alors de façon identique.
Ceci impose deux conséquences :
1. Une liaison équivalente a toujours moins de degrés de liberté que chacune des liaisons en parallèle
2. Chaque torseur cinématique associé aux liaisons élémentaires est identique :
CLeq{ }A = CL1/0{ }A = CL1/0'{ }
A= C
L1/0''{ }
A
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A.3. Liaisons en série
Pour les mêmes raisons que pour les liaisons en parallèle, on peut être amené à réaliser une liaison par association en série de liaisons élémentaires.
Toutefois, à la différence des liaisons en parallèle, ce choix conserve l’ensemble des degrés de liberté de chacune des liaisons élémentaires.
La détermination du torseur cinématique équivalent s’obtient alors en sommant au même point de réduction chacun des torseurs élémentaires :
CLeq{ }A = CL3/2{ }A + CL2/1{ }A + CL1/0{ }A
A.4. Exemples
On trouvera des exemples de détermination de telles liaisons équivalentes dans le cours sur les liaisons mécaniques.
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Rappels sur les liaisons équivalentes Edition 1 - 26/11/2017
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B. Hyperstatisme
B.1. Introduction
B.1.1. Définition
Un mécanisme sera dit hyperstatique si des degrés de liberté ont été supprimés plusieurs fois.
Cette surabondance de suppression de degrés de libertés a plusieurs conséquences :
• du point de vue de la résolution analytique, trop d’inconnues existent par rapport au nombre d’équations, rendant ainsi impossible la détermination des inconnues par les méthodes classiques
• du point de vue des contraintes d’assemblage, le mécanisme sera plus délicat à réaliser car supprimer plusieurs fois un degré de liberté va imposer des contraintes géométriques entre les pièces (parallélisme, distance, coaxialité, ...)
• du point de vue de la rigidité du mécanisme, cette surabondance va rendre le système rigide, ce qui est une qualité souvent recherchée (les machine-outils sont par exemple très hyperstatiques, car on recherche le moins de déformation possible de la structure)
• du point de vue de la fiabilité du mécanisme, un système hyperstatique sera plus tolérant aux dégradations des liaisons, car une autre liaison continuera à supprimer les degrés de liberté nécessaires au fonctionnement du mécanisme
Par opposition au mécanisme hyperstatique, un mécanismes dans lequel on ne supprime que le nombre strictement nécessaire au fonctionnement du système sera dit isostatique.
B.1.2. Exemple
Pour réaliser une liaison pivot, qui supprime 5 degrés de liberté, on peut choisir d’associer en parallèle une liaison rotule et une liaisons linéaire annulaire :
Cette liaison est isostatique. Chacune des liaisons contribue à la suppression du nombre juste nécessaire de degrés de libertés :
*la rotule supprime 3 translations
*la linéaire annulaire supprime 2 rotations
Le positionnement de l’ensemble se fait de manière «naturelle», sans contrainte de montage, quelles que soient les positions des centres de liaison 1 et B
La liaison est isostatique
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On peut également choisir de réaliser cette liaison pivot par association en parallèle d’une liaison pivot glissant et d’une rotule :
La liaison pivot glissant supprime 2 translations (TX et TZ) et 2 rotations (RX et RY)
La liaison rotule supprime la translation TY nécessaire pour réaliser la liaison pivot, mais supprime également 2 translations TX et TY de façon redondante avec la liaison pivot
Cette liaison est alors hyperstatique de degré 2
Cet hyperstatisme va générer 2 contraintes de montage, liées aux degrés de libertés redondants : il s’agit du positionnement en X et Y du centre B de la rotule par rapport à l’axe du pivot glissant.
B.2. Détermination du degré d’hyperstatisme
Déterminer le degrés d’hyperstatisme d’un mécanisme (ou son isostatisme) nécessite d’introduire un certain nombre de paramètres caractéristiques du mécanisme
B.2.1. Inconnues cinématiques
B.2.1.1. Définition
Chacune des liaisons présentes dans le mécanisme est associée à un torseur cinématique dans lequel les composantes non nulles, inconnues, sont les degrés de liberté de la liaison.
Le nombre de degré de liberté dans une liaison est appelé nombre d’inconnues cinématiques de la liaison
On notera nci le nombre d’inconnues cinématiques de la liaison i.
Le nombre total d'inconnues cinématiques vaut alors
Nc = ncii=1
l
∑ où l désigne le nombre de liaisons dans le mécanisme
Déterminer le nombre d’inconnues cinématiques revient à compter le nombre total de composantes dans les torseurs cinématiques des liaisons.
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B.2.1.2. Exemple : système bielle-manivelle
Le mécanisme comporte :
*2 liaisons pivot L1 et L2 : nc1 = nc2 =1
*2 liaisons pivot glissant L3 et L4 : nc3 = nc4 = 2
Le nombre total d’inconnues cinématiques vaut alors
Nc =1+1+2+2 = 6
L3
L2
L1
L4
1
0
3
2
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B.2.2. Nombre cyclomatique
B.2.2.1. Rappels sur les chaînes de solide
On distingue les chaînes de solide ouvertes, fermées ou complexes
Notons n le nombre de classes d‘équivalence du mécanisme et l son nombre de liaisons
Si l = n−1 : la chaîne de solides est dite ouverte, et il n’y a a pas de «cycle»
0 1L10
2L21
Si l = n : la chaîne de solides est dite fermée, et il y a 1 cycle
1
L21L32
L030 L10
23
Si l > n : la chaîne de solides est dite complexe, et il y a plus d’1 cycle
01
L10
23L21
L32
L03
4
L41
L24
B.2.2.2. Nombre cyclomatique
On appelle nombre cyclomatique ν (ou µ ) le nombre de chaînes de solides fermées indépendantes dans le mécanisme
ν = l − p+1
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B.2.2.3. Exemple : système bielle-manivelle
10
23
Il y a l = 4 liaisons, p = 4 pièces. Donc ν = 4 − 4+1=1
B.2.3. Nombre d’équations cinématiques
Il est possible d’écrire une relation de fermeture cinématique pour chaque chaîne fermée. Or une fermeture cinématique génère 6 équations (3 équations pour les vecteurs rotation, 3 équations pour les vecteurs vitesse).
Sachant qu’il y a ν chaînes fermées, le nombre total d’équations cinématiques Ec est donc égal à
Ec = 6ν = 6 l − p+1( )
B.2.4. Mobilités dans le mécanisme
B.2.4.1. Définition
Les mobilités dans un mécanisme sont les mouvements possibles entre deux classes d’équivalence. Certains mouvement contribuent à la loi entrée/sortie pour laquelle a été conçu le système, d’autres ne sont pas exploités.
Il existe donc deux types de mobilités :
- les mobilités utiles mu , qui sont les mouvements indépendants contribuant à la loi entrée/sortie du mécanisme
- les mobilités internes mi , qui sont des mouvements autres que les mobilités utiles pouvant subsister même si les mobilités utiles sont bloquées.
Le degré de mobilité m d’un mécanisme est la somme des mobilités utiles et internes :
m = mu +mi
L3
L2
L1
L4
1
0
3
2
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Dans le schéma d’une pompe à piston radiaux ci-contre, il existe une mobilité utile : la rotation de l’arbre (2) qui entraîne la translation alternative du piston (3).
Mais il existe également une mobilité interne : la rotation sur lui-même du piston (3)
Dans ce mécanisme, m = mu +mi =1+1= 2
B.2.4.2. Conséquence sur les équations cinématiques
Lorsqu’une mobilité est présente, elle correspond à un mouvement possible dans le mécanisme qui va s’ajouter aux mouvements possibles des liaisons individuelles.
Le nombre total d’équations de mouvements est alors égal à Ec +m
B.2.4.3. Exemple : système bielle-manivelle
La seule mobilité utile est la rotation de l’arbre (1) qui entraîne la translation du piston (3) : mu =1
Il n’y a pas de mobilités internes : mi = 0
Le degré de mobilité du mécanisme est donc égal à
m = mu +mi =1
B.2.5. Calcul du degré d'hyperstatisme
B.2.5.1. Définition
Le degré d’hyperstatisme h correspond au nombre d’équations de fermetures cinématiques surabondantes par rapport au nombre d’inconnues cinématiques :
h = Ec +m−Nc
L3
L2
L1
L4
1
0
3
2
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Si h > 0 : le mécanisme est hyperstatique
Si h = 0 : le mécanisme est isostatique
Si h < 0 : le mécanisme est hypostatique (correspond à un mécanisme mal conçu dans lequel il existe plus de mobilités que nécessaire. Ce système n’est pas fonctionnel)
B.2.5.2. Conséquences de l’hyperstatisme
Lorsqu’un mécanisme est hyperstatique, cela va nécessairement engendrer des contraintes de montage, liées à la nature des degrés d’hyperstatisme. Ces contraintes peuvent être satisfaites de plusieurs façons différentes :
• Contraintes géométriques lors de la fabrication des pièces• Présence de jeu dans les liaisons• Pièces flexibles autorisant la déformation• Re conception du mécanisme afin de modifier les liaisons afin de rendre ce mécanisme isostatique.
B.2.5.3. Exemple : système bielle-manivelle
Nc = 6 , m =1, Ec = 6ν = 6 ➢ h = Ec +m−Nc =1
Le mécanisme est hyperstatique de degré 1.
La contrainte géométrique associée est le parallélisme dans le plan lié à (2) entre les axes des pivots L2 et L3
Pour rendre le système isostatique, il faudrait par exemple remplacer la liaison pivot L3 par une liaison rotule.L3
L2
L1
L4
1
0
3
2
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C. Exemples d’application
C.1. Exemple 1 : système bielle-manivelle
Pour chacun des systèmes bielle-manivelle proposés ci-dessous, déterminer leur degré d’hyperstatisme et les éventuelles contraintes géométriques associées
1
2
3
0
Système 1 Système 2 Système 3
C.1.1. Graphe des liaisons
Nombre cyclomatique :
Nombre d’équations cinématiques :
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C.1.2. Analyse du système 1
Inconnues cinématiques :
Mobilités :
Degré d’hyperstatisme :
Contraintes géométriques :
C.1.3. Analyse du système 2
Inconnues cinématiques :
Mobilités :
Degré d’hyperstatisme :
Contraintes géométriques :
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C.1.4. Analyse du système 3
Inconnues cinématiques :
Mobilités :
Degré d’hyperstatisme :
Contraintes géométriques :
C.2. Exemple 2 : pompe à pistons radiaux
Graphe des liaisons :
Nombre cyclomatique :
Inconnues cinématiques :
Mobilités :
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Degré d’hyperstatisme :
Contraintes géométriques :
C.3. Exemple 3 : butée réglable
On s’intéresse à une butée réglable, dont le but est de positionner précisément un pion (2) par action sur le bouton moleté (5)
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C.3.1. Graphe des liaisons
Identifier les classes d’équivalence et tracer le graphe des liaisons, en identifiant ces liaisons.
En déduire le nombre cyclomatique
C.3.2. Schéma cinématique
Tracer le schéma cinématique de ce mécanisme
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C.3.3. Etude de l’hyperstatisme
Nombre d’équations cinématiques Ec :
Nombre de mobilités m :
Nombre d’inconnues cinématiques Nc :
Calcul du degré d’hyperstatisme h :
Contraintes géométriques :
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D. Notes personnelles
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