Cinema Ti Que Des Mecanismes

PCSI

MÉCANIQUE :

A. MODÉLISATIONCINÉMATIQUEDES LIAISONS

1. CONTACT ENTRE SOLIDES

1.1. Géométrie générale des contacts entre deux solidesDeux solides S1 et S2 sont en contact lorsqu’une surface géométrique élémentaire liée à S1 s’appuie sur unesurface géométrique élémentaire liée à S2 .

Les surfaces de contact géométriques élémentaires sont le plan, le cylindre de révolution et la sphère(fig. 1). Elles sont supposéesindéformables.

Les contacts sont dits ponctuels(cas sphère/plan, fig. 1-a) oulinéaires (cas sphère/cylindre,fig. 1-b et cas cylindre/plan, fig.1-c) lorsque l'aire de la surface decontact tend vers zéro.

Les contacts sont dits surfa-ciques dans les autres cas : sphè-re (fig. 1-d), cylindre (fig. 1-e),plan (fig. 1-f).

1.2. Degrés de mobilité

On appelle degré de mobilité, ou degré de liberté, l’un des 6 paramètres indépendants variables aucours du déplacement du solide S2 par rapport au solide S1, notés X, Y, Z, θx , θy , θz (fig. 2).

Mouvements relatifs

Les degrés de mobilité subsistants dans un contact entre deux solidesS1 et S2 correspondent aux mouvements relatifs indépendantsautorisés au sein de ce contact. Ainsi, aux paramètres X, Y, Z sont asso-ciés des mouvements relatifs de translation alors qu’aux paramètresθx, θy, θz sont associés des mouvements relatifs de rotation. Dans labase R, six mouvements peuvent donc être mis en évidence (fig. 2) :

– 3 rotations Rx, Ry et Rz autour d’axes parallèles respectivement à

;

– 3 translations Tx, Ty et Tz dans les directions respectives .

1.3. Cinématique du contact ponctuel entre deux solides

1.3.1. Roulement, pivotement, glissementSoient les solides 1 et 2 encontact ponctuel en M (fig. 3) eten mouvement l’un par rapportà l’autre.

Soit ∏ le plan tangent en M auxdeux solides et la normaleau plan ∏ en M.

Le torseur cinématique entre 2et 1 a pour expression en M :

[1]

V2/ 1 =Ω2/1

VM,2/1 M

n2/1

Ox, Oy et Oz

Ox, Oy et Oz

1

Mécanique : A – Modélisation cinématique des liaisons

z→

y→

x→

O

θx

θy

θz

X

Y

Z S2

S1

Fig 2 : Degrés de liberté

S1

S2

Fig 1-a

S1S2

Fig 1-f

S1S2

Fig 1-e

S1S2

Fig 1-d

S1

S2

Fig 1-c

S1

S2

Fig 1-b

Fig 1 : Formes et associations des surfaces de contact entre solides

M

1

2

n2/1→

Ω2/1

→

Π

t2/1→

Ωp,2/1

→

Ωn,2/1

→ VM,2/1

→

Fig 3 : Contact entre deux solides

Le vecteur est appelé vecteur vitesse de glissement de 2 par rapport à 1.

Dans un repère local , étant dans le plan ∏, le vecteur rotation peut s’écrire :

[2]

où Ωp, 2/1 est la vitesse de pivotement

et Ωr, 2/1 est la vitesse de roulement.

1.3.2. Condition cinématique de maintien du contact

Il faut pour cela que la vitesse soit constamment contenue dans le plan ∏, ce qui se traduit par une

projection nulle sur la normale , soit : [3]

1.3.3. Condition de roulement sans glissement

Cette condition se traduit par : [4]

La vitesse de glissement est nulle mais il peut y avoir « roulement » des deux solides l’un sur l’autre. Dans cecas, M appartient à l’axe central du torseur cinématique du mouvement de S2 par rapport à S1. Comme iln’y a pas de glissement, l’axe central est aussi l’axe instantané de rotation (noté AIR) de S2 par rapport à S1,

est porté par cet axe dans le plan ∏.

Le lieu des positions successives de l’AIR sur chacun des solides définit les « surfaces axoïdes ».

2. LIAISONS ENTRE SOLIDES

2.1. DéfinitionOn appelle liaison la relation qui existe entre deux solides en contact entre eux suivant au moins une surfa-ce commune.

CONSÉQUENCE – La forme de cette surface est à l’origine des particularités de la liaison du point de vuegéométrique et cinématique.

CONSTATATION – La suppression d’un ou plusieurs degrés de mobilité entre deux solides S1 et S2 crée uneliaison.

2.2. Liaison élémentaireUne liaison liaison élémentaire entre deux solides S1 et S2 est une liaison obtenue à partir du contact dela surface géométrique élémentaire sphérique liée à S1 sur une surface géométrique élémentaire sphérique,cylindrique de révolution ou plane liée à S2.

On obtient ainsi (voir les cases blanches du tableau figure 4) :

• la liaison rotule (case 4-a) ;

• la liaison sphère-cylindre (case 4-b) ;

• la liaison sphère-plan (case 4-c).

2.3. Liaison composéeUne liaison composée entre deux solides S1 et S2 est une liaison obtenue :

• soit à partir du contact de la surface géométrique élémentaire cylindrique de révolution liée à S1 sur unesurface géométrique élémentaire cylindrique de révolution ou plane liée à S2 ;

Ω2/1

VM,2/1 = 0

VM,2/1 . n2/1 = 0 n2/1

VM,2/1

Ω2/1 =Ωp, 2/1 n2/1 +Ωr, 2/1 t2/1

t2/1 M, n2/1, t2/1

VM,2/1


2

• soit par association cohérentede liaisons élémentaires (voirles associations de liaisons élé-mentaires en parallèle, §3.2)

On obtient ainsi (voir les casesgris foncé du tableau figure 4) :

– la liaison pivot glissant (case4-e) ;

– la liaison linéaire rectiligne(case 4-f) ;

– la liaison appui plan (case 4-i).

2.4. Liaison réelleDans le cas des mécanismes réels,les surfaces de contact entre lespièces ne sont pas toujours par-faites. Les liaisons ainsi réaliséessont dites « réelles ».

Les liaisons réelles entre les pièces d’un mécanisme font apparaître certaines imperfections :

– défauts micro et macro-géométriques (rugosité et forme) ;

– présence de jeux (nécessaires au fonctionnement) qui interdisent une coïncidence parfaite des surfaceset localisent les contacts ;

– déformations dues aux efforts, frottement qui entraîne de l’usure et des pertes d’énergies.

2.5. Liaisons normalisées entre solides

2.5.1. Caractéristiques géométriques : liaison parfaite

Les liaisons réelles sont difficiles à maîtriser. On est donc amené à définir des liaisons parfaites.

Le modèle de la liaison parfaite repose sur les hypothèses suivantes :

– le contact s’établit théoriquement suivant un point, une ligne ou une surface de définition géométriquesimple (point, ligne rectiligne, ligne annulaire, plan, cylindre, sphère, surface de révolution, surface héli-coïdale). Le maintien de ce contact est toujours assuré ;

– les surfaces de chacun des solides sont géométriquement parfaites ;

– la liaison est sans jeu.

2.5.2. Repères d’expression privilégiés

Soient deux solides 1 et 2. Le repère local convenablement choisi en fonction de l’orientationde l’axe et du centre de la liaison est un repère privilégié. En effet, pour chaque liaison particulière, on peutmettre facilement en évidence dans ce repère les paramètres variables de la liaison ainsi que le torseur ciné-matique de 2 par rapport à 1 au centre de la liaison (voir le tableau de la page 4).

2.5.3. Tableau des liaisons normalisées entre deux solides (norme NF E 04-15)

Le tableau de la page 4 récapitule le nom, les représentations plane et spatiale, les paramètres variables etle torseur cinématique pour chacune des liaisons normalisées.

Relativement à la structure géométrique et cinématique d’un mécanisme, l’association des représentationsnormalisées des différentes liaisons constitue un schéma cinématique (voir §3.5).

R A, u, v, w

3


Fig 4 : Liaisons issues de l’association de surfaces géométriques élémentaires

Sphère

S1S2

Cylindre

Plan

Cylindre PlanSphère

S1

S2

S1

S2

S1S2

S1S2

S1

S2

S2

S1

S1

S2

S2

S1

S1S2

Liaison

sphère-cylindre

Liaison

sphère-cylindre

Liaison

rotule

4-a 4-b

4-d Liaison

pivot glissant

Liaison

sphère-plan

Liaison

sphère-plan

Liaison

linéaire rectiligne

Liaison

linéaire rectiligne

Liaison

appui plan

4-c

4-g 4-h

4-e 4-f

4-i


4

Aucun

Nom dela liaison Torseur cinématique spatialReprésentation planeReprésentation

spatialeParamètresvariables

Liaisonglissière

Liaison rotule,ou liaisonsphérique

Liaisonhélicoïdale

Liaisonpivot glissant

Liaisonrotuleà doigt

Liaisonappui plan

Liaisonsphère-cylindre

Liaisonlinéaire

rectiligne

Liaisonsphère-plan

Liaisonpivot

Liaisonencastrement

Rotation(Ru)

Translationaucune

Rotation(Ru, Rv)

Translation(Tu, Tw)

Rotation(Ru, Rv, Rw)

Translation(Tv, Tw)


Translation(Tu)

Rotation(Rv)

Translation(Tu, Tw)


Translationaucune

Rotation(Rv, Rw)

Translationaucune

Rotation(Ru)

Translation(Tu)

Rotation(Ru)

Translation(Tu) liées

Rotationaucune

Translation(Tu)

A

uv

w

A

uv

w

Au

v

w

A

u

v

w

Au

v

w

A

u

v

w

A uw

vvA

u

w

A u

v

w

A u

v

w

A u

v

w

A

u

v

w

A u

v

w A

v

wu

A

v

wuA

u

v

w

A

uv

w

A

uv

w

A

uv

w

A

u

v

w

A

uv

w

A

uv

w

A

u

v

wAu

v

w

A

uv

w

Au

v

w

u

v

Aw

Au

v

wA

u

v

w

V2/ 1 =0

0A

V2/ 1 =p u

0A

V2/ 1 =

p u + q v + r w

0A

V2/ 1 =q vu u + w w

A

V2/ 1 =p u + q v + r wu u

A

V2/ 1 =p u + q vu u + w w

A

V2/ 1 =p u + q v + r wv v + w w

A

V2/ 1 =

q v + r w

0A

V2/ 1 =p uu u

A

V2/ 1 =

p uu u

A

avec u = λ p et λ = pas2 π

V2/ 1 =

0

u uA

3. MÉCANISMES

3.1. Structure d’une chaîne de solides : graphe des liaisons

Chaînes ouvertes, fermées, complexes

Dans un mécanisme, les pièces (solides) sont assemblées entre elles par des liaisons et constituent deschaînes de solides. Suivant le nombre de pièces, de liaisons et suivant les assemblages réalisés, on obtient :

– des chaînes continues ouvertes (fig. 5-a) lorsque n pièces sont reliées entre elles par n–1 liaisons ;

– des chaînes continues fermées (fig. 5-b) lorsque n pièces sont reliées entre elles par n liaisons ;

– des chaînes complexes (fig. 5-c) lorsque n pièces sont reliées entre elles par a liaisons (a > n).

Graphe des liaisons, ou graphe de structure

C’est une représentation d’un mécanisme fondée sur la description des pièces (ou groupes de pièces cinéma-tiquement liées) et de leur liaison.

Le graphe de structure est représenté par (voir la figure 6) :

– des « sommets » dont les cercles contiennent les repères des pièces : il y a nP sommets ;

– des « arcs » qui concrétisent les liaisons entre les pièces : il y a nL liaisons.

La pièce fixe (bâti) est souvent matérialisée par un support hachuré.

La figure 6 représente le graphe des liaisons caractéristique d’une chaîne continue fermée à 1 cycle.

5


2

1

5

43

L1/2

L2/3

L3/4

L4/5

L1/5

Sommet = pièceArc = liaison

C ycle

Fig 6 : Graphe des liaisons

2

1

3

L1/2

L2/3

2

1

5

43

L1/2

L2/3

L3/4

L4/5

L1/5

L2/5

L2/4

C1

C2

C3

Fig 7 : Autres graphes des liaisons caractéristiques

Fig 7-a Fig 7-b

12

3

4

Fig 5-a : Chaîne continue ouverten pièces

n – 1 liaisons

12

3

45

76

Fig 5-c : Chaîne complexen pièces

a liaisons (a > n)

12

3

45

6

Fig 5-b : Chaîne continue ferméen piècesn liaisons

Fig 5 : Différentes structures de chaînes de solides

On appelle cycle, un chemin fermé du graphe ne passant pas deux fois par le même sommet. Parmi lescycles qui peuvent être mis en évidence dans un graphe, un certain nombre sont indépendants. Leurnombre µ appelé aussi nombre cyclomatique peut être calculé par la relation :

[5]

La figure 7-a montre un graphe de chaîne ouverte et la figure 7-b montre un graphe de chaîne ferméecomplexe à plusieurs cycles indépendants (ici 3).

La mise en évidence des cycles indépendants est particulièrement intéressante pour étudier le comporte-ment géométrique et cinématique d’un mécanisme.

3.2. Associations de liaisons en série et en parallèleLe graphe des liaisons permet de voir facilement les associations deliaisons qui peuvent s’effectuer :

• soit selon une chaîne continue ouverte entre plusieurs solides, tousles solides étant reliés deux à deux par une seule liaison (nP = nL +1)(cas de la figure 7-a). Il s’agit alors d’une association de liaisonsen série ;

• soit entre deux solides par l’intermédiaire de plusieurs liaisons (nP =2 et nL >1) (cas de la figure 8). Il s’agit alors d’une association deliaisons en parallèle.

Associations de liaisons élémentaires en parallèle

L’association cohérente des 3 liaisons élémentaires vues au §2.2 montées en parallèle permet de reconsti-tuer toutes les liaisons composées du §2.3 et du tableau de la page 4.

Le tableau figure 9 ci-dessous donne trois exemples de ces associations.

µ = nL – nP + 1


6

2

1

L1/2L'1/2

Fig 8 : Liaisons en parallèle

Fig 9 : Exemples d’associations de liaisons élémentaires en parallèle

Liaison linéaire rectiligne

Liaison composée équivalenteAssociation de liaisons élémentaires

A

uv

wA

uv

w

A

uv

w

A

uv

wA

uv

w

w

v

A u

Deux« sphère-plan »

Deux« sphère-cylindre »

Liaisonpivot glissant

Liaison pivot

Une « rotule »et une

« sphère-cylindre »coaxiales

3.3. Liaisons cinématiquement équivalentes

Une liaison entre les deux solides 1 et 2 est équivalente à l’ensemble des liaisons situées entre ces deuxsolides si elle autorise les mêmes mouvements relatifs entre eux.

Cette équivalence peut être mise en évidence à partir de la composition des mouvements.

EXEMPLE – La figure 10 donne le détail de la liaison entre une tige 4 et un bâti 1 par l’intermédiaire d’unerotule 2 ; 3 constituée par une sphère 3 et une bague 2 (collée dans le bâti 1).

Le graphe des liaisons (fig. 10) montre que les liaisons L2/1, L3/2 et L4/3 sont associées en série.

On se propose de trouver la liaison L4/1 cinématiquement équivalente à cette association.

Les repères R1, R3 et R4 sont des repères locaux respectivement liés aux pièces 1, 3 et 4. La figure 11 montreleur position relative.

L’analyse de la forme des surfaces de liaison entre les différentes pièces prises deux à deux, permet :

– de déduire leurs degrés de liberté relatifs ;

– d’écrire le torseur cinématique correspondant et donc d’identifier la liaison associée.

Le tableau figure 12 ci-dessous regroupe les différents résultats :

La composition des mouvements permet d’écrire :+

En réduisant les torseurs en O et en projetant dans R3, on obtient :

V4/ 1 = V4/ 3 + V3/ 2 + V2/ 1

7


Liaison Degrés de libertéForme des surfaces

de contactTorseur

Identificationde la liaison

L2/1Aucun à cause

du collage

Fig 12 : Identification des différentes liaisons

Cylindre d’axe + appui plan

perpendiculaire à u1

u1

Sphère de centre 0

Cylindre d’axe u3

3 rotations autourdu point O

Encastrement

Rotule

Pivot glissant

Une translationle long de

+ une rotationautour de u3

u3

L3/2

L4/3

V2/ 1 =

Ω2/1 = 0

VO,2/1 = 0O

V3/ 2 =

Ω3/2 = p32 u1 + q32 v1 + r32 w1

VO,3/2 = 0R1, O

V4/ 3 =

Ω4/3 = p43 u3

VM,4/3 = u43 u3 R3, M

R3

R3

R4

v1→

u1→

O

w1 = w3⎯→ ⎯→

α

αv3→

u3→

w3⎯→

v3→

M

u3 = u4→ →

β

βw4⎯→

v4→

R1

Fig 11 : Repérage des positions relatives des solideset matrices de passage

P1,3 =

cosα – sinα 0sinα cosα 0

0 0 1

P3,4 =

1 0 00 cos β – sin β0 sin β cos β

2 3v1→

u1→

O

1 4

u3→

v3→

⎯→w1 = w3⎯→

Collé

M

α2

1

3

L2/1

L3/2

4 L4/3

Fig 10 : Liaison d’une tige dans un bâti

CONCLUSION – La liaison L4/1 est cinématiquement équivalente à une liaison linéaire annulaire d’axe .

3.4. Analyse cinématique : relations entre les vitesses issues de la fermeture dechaîne cinématique

On appelle chaîne cinématique la succession de liaisons réalisant soit une chaîne continue ouverte, soit unechaîne continue fermée.

Dans le cas d’une chaîne continue fermée (chaîne à transformation de mouvement), la chaîne cinématiquepermet de mettre en évidence les paramètres nécessaires à l’écriture de la relation entrée/sortie.

On appelle fermeture de chaîne cinématique l’écriture de la loi de composition des mouvements sous laforme :

[6]

Cette relation torsorielle se traduit par l’écriture de deux équations vectorielles qui, projetées dans un repè-re, vont donner 6 équations scalaires.

1er cas : le mécanisme ne comporte aucun cycle

La loi de composition des mouvements permet de calculer le torseur cinématique de tout solide de la chaînepar rapport à n’importe quel solide de référence, ce qui donne lieu à l’écriture de simples relations faisantintervenir les « vitesses ».

De tels mécanismes sont appelés « mécanismes articulés ».

2e cas : le mécanisme comporte au moins un cycle

La loi de composition des mouvements doit être appliquée à la fermeture de chaque chaîne cinématique, cequi donne lieu à l’écriture d’un système d’équations linéaires en « vitesses ».

De tels mécanismes sont appelés « mécanismes à transformation de mouvement ».

3.5. Schéma cinématiqueC’est une représentation géométrique simplifiée des pièces (ou groupes de pièces cinématiquement liées) etde leur liaison. Le schéma met en évidence la cinématique du mécanisme.

VRi–1/ RiΣi = 1

n

+ VRn/ R0= 0

u3

V4/ 1 =

p43 u3

u43 u3 R3, O

+p32 u1 + q32 v1 + r32 w1

0R1, O

Mais Ω3/2 R3= P3,1 Ω3/2 R1

avec P3,1 = P1,3–1 =

cosα sinα 0– sinα cosα 0

0 0 1

Ω3/2 R3=

cosα sinα 0– sinα cosα 0

0 0 1

p32

q32

r32

=p32 cosα + q32 sinα– p32 sinα + q32 cosαr32

V4/ 1 =p43 + p32 cosα + q32 sinα u3 + q32 cosα – p32 sinα v3 + r32 w3

u43 u3R3, O


8

L’élaboration d’un schéma cinématique demande le respect des règles suivantes :

– toutes les pièces cinématiquement liées sont représentées sous un même trait (l’utilisation de couleurs estvivement conseillée) sans respecter ni les formes ni les dimensions. Toutefois, si le schéma est utilisé pourrésoudre graphiquement un problème, l’échelle devra être respectée ;

– les liaisons sont représentées suivant la norme NF E 04-15 (voir tableau page 4) ;

– les propriétés géométriques sont respectées (parallélismes, perpendicularités, positions relatives, etc.)

– les principaux paramètres de position sont repérés.

L’utilisation, chaque fois que cela est possible, de liaisons cinématiquement équivalentes, permet deconstruire des schémas cinématiques minimums.

La figure 17 donne un exemple de schéma cinématique spatial et la figure 18 donne un exemple deschéma cinématique plan.

3.6. EXEMPLE – Mécanisme de commande de robinet à papillon

Description

La figure 13 donne une mise en situation de ce mécanisme inséré dansune canalisation ; la figure 14 en donne le dessin simplifié suivant unevue de dessus.

L’axe de commande [2], qui porte un volant de manœuvre (mouve-ment de rotation d’entrée), entraîne la vis [3] en rotation par l’inter-médiaire d’un croisillon. Cette rotation provoque une translation del’écrou [4] le long de l’axe de la vis [3]. La liaison de l’écrou [4] avec lelevier [5] permet de faire pivoter ce dernier autour de l’axe et doncd’entraîner le papillon (mouvement de rotation de sortie).

z1

9


Mécanisme decommande

Corps de robinet

Papillon

Sens d'observationde la vue de dessus

Fig 13 : Mise en situation du mécanismede commande de robinet à papillon

3 5 4 21

x1→

y1→

z1→

Volant demanœuvre

Point B

O

A

Fig 14 : Dessin simplifié (échelle 1:2) du mécanisme de commande de robinet à papillon selon une vue de dessus

Graphe des liaisons

Le graphe des liaisons donné figure 15 permet de constater que lemécanisme est constitué d’une chaîne continue fermée à 1 cycle : ils’agit donc d’un mécanisme à transformation de mouvement. Eneffet, la rotation du volant de manœuvre (axe [2]) est transformée enune rotation du levier [5], donc du papillon.

Identification des liaisons

L’analyse des formes des surfaces de contact entre les principauxsolides qui constituent le mécanisme pris deux à deux permet d’identi-fier les liaisons (tableau figure 16).

Schéma cinématique spatial

La figure 17 donne le schéma cinématique spatial compte tenu de l’identification précédente des liaisons etde la structure spatiale du mécanisme.

Schéma cinématique plan

La figure 18 donne le schéma cinématique plan compte tenu de l’identification précédente des liaisons etde la projection plane selon une vue de dessus.

Écriture de la relation entrée/sortie

Si on note θ l’angle de rotation du volant de manœuvre et α l’angle de rotation du papillon, pour trouver larelation entrée/sortie du mécanisme, c’est-à-dire pour trouver la relation α = f(θ), il faut passer par l’écriturede la fermeture de chaîne cinématique. Cette écriture est relativement complexe ici et l’objectif n’est pas dela développer, d’autant plus que la projection plane du mécanisme permet de résoudre le problème plusfacilement en passant par l’écriture de la fermeture de chaîne géométrique.


10

Liaison Degrés de libertéForme des surfaces

de contactTorseur

Identificationde la liaison

L1/2Rotation autour

de l’axe x1

Fig 16 : Identification des différentes liaisons

Cylindres d’axe recevant un roulement

à billes rigide

x1

Cylindres d’axesperpendiculaires

concourants au point B(croisillon)

Surfaces hélicoïdalesd’axe x3

Cylindre d’axe z1

Cylindre d’axe z1

2 rotations autourdu point B

Pivot (B, )x1

Rotule à doigt(B, )x1

Hélicoïdale(A, )x3

Pivot d’axe z1

Pivot d’axe z1

Une translationle long de

+ une rotationautour de x3

x3

Rotation autourde l’axe z1

Rotation autourde l’axe z1

L2/3

L3/4

L4/5

L1/5

V1/ 2 =

Ω1/2 = p12 x1

VB,1/2 = 0R1, B

V2/ 3 =

Ω2/3 = q23 y1 + r23 z1

VB,2/3 = 0R1, B

V3/ 4 =

Ω3/4 = p34 x3

VA,3/4 = u34 x3 R3, A

avec u34 = λ p34

et λ = pas2 π

V4/ 5 =

Ω4/5 = r45 z1

VA,4/5 = 0R1, A

V1/ 5 =

Ω1/5 = r15 z1

VO,1/5 = 0R1, O

2

1

5

43

L1/2

L2/3

L3/4

L4/5

L1/5

Fig 15 : Graphe des liaisons du mécanismede commande de robinet à papillon

11


Levier 5

Écrou 4

Vis 3

Axe de commande 2

Carter 1

Liaisonavec le

papillon

L1/2 = Liaison pivot


L3/4 = Liaison hélicoïdale

L2/3 = Liaison rotule à doigt


x1→

y1→

z1→

O

A

A'

B

O'

x1→

y1→

z1→

x3→

y3→

z3→

Fig 17 : Schéma cinématique spatial sans les paramètres de position (perspective isométrique)

OA = R y5

AA' = 0

A'B = λ x3

λ

a

R

O

AB

α

x1→

y1→

y5→

x5→

y3→

x3→

β

1

5

3

42 1

b

Fig 18 : Schéma cinématique plan du mécanisme de commande de robinet à papillon selon une vue de dessus

4. CAS PARTICULIER DE LA MODÉLISATION PLANE

4.1. Intérêt de la modélisation planeGénéralement, la résolution analytique spatiale d’un problème de cinématique conduit à l’écriture de 6équations scalaires. Mais dans le cas des problèmes plans (ou ramenés dans le plan), seules 3 équations sca-laires sont nécessaires. Il est donc préférable de traiter dès le départ le problème dans le plan. L’écrituredes torseurs s’en trouve simplifiée ainsi que la résolution.

4.2. Modélisation plane des liaisons normalisées

Dans l’écriture du torseur cinématique plan d’une liaison, seules subsistent, par rapport au torseur cinéma-tique spatial :

– la composante du vecteur rotation qui est perpendiculaire au plan ;

– les deux composantes du vecteur vitesse qui sont contenues dans le plan.

Le tableau de la page suivante propose, pour chaque liaison normalisée, le rappel de la représentation spa-tiale, la modélisation plane suivant une ou deux vues, le torseur associé et éventuellement la liaison équiva-lente (à titre indicatif).

REMARQUE – Dans le tableau, afin de mieux voir quelles sont les composantes du torseur cinématique spa-tial qui ont disparu, celles-ci ont été colorées en grisé.

4.3. Conditions permettant de ramener un problème spatialà un problème plan

Conditions liées à la structure du mécanisme

– Le mécanisme admet un plan de symétrie.

– Le mécanisme n’est animé que de mouvements plans parallèles.

– Le mécanisme ne comprend que des liaisons dont les composantes des vitesses sont comprises dans le plan(ou dans des plans parallèles) et des rotations d’axes perpendiculaires au plan.

– Il n’existe aucune translation de direction perpendiculaire au plan dans lequel on se ramène.

ATTENTION – Ces conditions sont nécessaires mais pas toujours suffisantes.

Hypothèse simplificatrice permettant de ramener un problème spatial à un problème plan dans lecas de la présence d’une liaison hélicoïdale

Si le mécanisme possède une liaison hélicoïdale dont l’axe est contenu dans le plan considéré, la rotation dela vis n’est donc pas visible et on ne prend en compte que la translation de l’écrou (assimilation à une liai-son glissière, voir le tableau page précédente).

ATTENTION

Ne pas confondre un mécanisme plan avec un mécanisme représenté en projection plane.


12

13


A

uv

w

Nom dela liaison

Représentationspatiale Modélisation(s) plane(s ) Torseur cinéma-

tique associéLiaison

équivalente

Liaisonglissière

Liaisonrotule,

ou liaisonsphérique

Liaisonrotuleà doigt

Liaisonhélicoï-

dale

Liaisonpivot

glissant

Liaisonappui plan

Liaisonsphère-cylindre

Liaisonlinéaire

rectiligne

Liaisonsphère-

plan

Liaisonpivot

A

uv

w

A

uv

w

A

u

v

w

A u

v

w

Au

v

w

A uw

v

Au

v

w

u

v

Aw

u

v

A w

Au

v

w

Au

v

w

Au

v

w

Au

v

w

Au

v

w

A

v

wu

A

u

v

w

vA

u

w

A

u

v

w

Au

v

w

Au

vw

Au

v

w

A u

v

w

A

uv

w

A

uv

w

A

uv

w

A

uv

w

A

uv

w

A

uv

w

Au

v

w Au

v

w

Au

v

w

Au

v

w

A u

v

w

A u

v

w

A u

v

w

A

u

v

w

V2/ 1 =p u + q v + r wv v + w w

A

V2/1 =r wv v

A

V2/ 1 =q vu u + w w

A

V2/ 1 =

0

u uA

V2/ 1 =

0

u uA

V2/ 1 =

0

u uA

V2/ 1 =

p u + q v + r w

0A

V2/ 1 =p u + q v + r wu u

A

V2/ 1 =p uu u

A

V2/ 1 =p u + q vu u + w w

A

V2/1 =p u + q v + r wu u

A

V2/ 1 =p uu u

A

V2/ 1 =p uu u

A

V2/1 =

0

u uA

V2/1 =

0

u uA

V2/1 =p uw w

A

V2/1 =r wu u

A

V2/ 1 =p u

0A

V2/1 =p u + q vu u + w w

A

V2/ 1 =

p u + q v + r w

0A

V2/1 =

0

u uA

V2/ 1 =p u

0A

V2/ 1 =0

0A

V2/ 1 =0

0A

V2/ 1 =p u

0A

V2/ 1 =p u

0A

V2/1 =r w

0A

4.4. EXEMPLE – Variateur GUSA

Description (fig. 19)

L’arbre-manivelle d’entrée [1] communique son mouvement à la bielle [2] qui coulisse dans le tube-balan-cier [3]. Celui-ci est guidé dans la rotule [4] de centre C.

L’arbre de sortie [8] est entraîné par la biellette [7] au moyen d’une roue libre (entraînement dans un seulsens de rotation). La variation de vitesse à la sortie est obtenue par le déplacement du centre C de la noix[5] qui s’effectue grâce au volant [12] monté sur une vis en liaison hélicoïdale avec [5].

En fait, le variateur GUSA est constitué de 3 mécanismes similaires à celui de la figure 19 : les centres A desmanivelles sont décalés de 120° les uns par rapport aux autres, ce qui permet d’obtenir une vitesse plus uni-forme à la sortie.

Schéma cinématique plan et graphe des liaisonsLe dessin de la figure 19 n’est pas suffisant pour comprendre toute la chaîne cinématique d’un de ces méca-nismes de transformation du mouvement et du mécanisme de réglage, aussi la figure 20 complète cettedéfinition par le schéma cinématique plan et le graphe des liaisons.


14

Fig 19 : Dessin d’ensemble du variateur GUSA

2

0

5

43

L1/2

L2/3

L3/4

L4/5

L0/12

12

8

1

L0/1

L0/8

L3/8

L0/5L5/12

A

O

B

x0→

y0→

C O'

D

E

F

0 1 5432

8

12

0

Fig 20 : Schéma plan de l’un des mécanismes de transformation de mouvement du variateur GUSA et graphe des liaisons

REMARQUES

– Lors de la phase d’entraînement de l’arbre [8] par la biellette [7], les deux solides sont liés par la rouelibre, c’est pour cela qu’ils ne constituent qu’un seul solide (noté [8] dans le schéma et le graphe des liai-sons.

– Le mécanisme comporte 3 cycles indépendants.

– Le cycle 0 ; 5 ; 12 ; 0 constitue la chaîne cinématique de réglage de la variation de vitesse.

Modélisation plane du mécanisme

– Le mécanisme ne comprend que des liaisons dont les composantes des vitesses sont comprises dans le plan(ou dans des plans parallèles) et des rotations d’axes perpendiculaires au plan.

– Il n’existe aucune translation de direction perpendiculaire au plan dans lequel on se ramène.

– La présence de la liaison hélicoïdale peut être contournée en supprimant le cycle 0 ; 5 ; 12 ; 0 correspon-dant. On étudiera dans ce cas le mécanisme dans une position de réglage figée telle que OC = λ.

Dans ces conditions, l’étude de la cinématique du mécanisme se fera suivant une modélisation plane.

Schéma cinématique du modèle plan et paramétrage

• • • •

• • •

Écriture de la relation entrée/sortie

Le mouvement d’entrée étant la rotation de l’arbre-manivelle [1] dont la position est repérée par l’angle θ,et le mouvement de sortie étant le mouvement de rotation alternative de l’arbre [8] dont la position estrepérée par l’angle α, pour trouver la relation entrée/sortie du mécanisme, c’est-à-dire pour trouver la rela-tion α = f(θ), il faut passer par l’écriture de la fermeture de chaîne cinématique. Ici encore, cette écriturepeut être avantageusement remplacée par l’écriture de la fermeture de chaîne géométrique.

x0, x8 =α x0, x2 = – β x0, x1 = θ

OC= λ x0 OO' = d x0 O'B = r x8 OA = R x1

O, x0, y0

15


A

O

B

x0→

y0→

x1→

C O'

0 1 0432

8

x2→

x8→

θ

β

α

λ

d

2

0

4

3

L1/2

L2/3L3/4

8

1

L0/1

L0/8

L3/8

L0/4

Fig 20 : Schéma plan de l’un des mécanismes de transformation de mouvement du variateur GUSA et graphe des liaisons

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