UE 4Applications des équations différentielles
Dr. M-A Dronne
PACES, Pôle Est, Lyon
20 septembre 2011
1
Objectifs
1Ecrire une équation différentielle selon le contexte
2Reconnaître les caractéristiques d’une équation différentielle
3Connaître les solutions de 2 types d’équations différentielles
4Comprendre l’utilisation des équations différentielles dans 2applications (épidémiologie, pharmacocinétique)
2
Plan
Plan du coursI Rappels de notations et définitions
I ExemplesI BactériologieI PharmacologieI Physique
I Caractéristiques des équations différentielles
I Solutions de 2 types d’équations différentielles
I ApplicationsI EpidémiologieI Pharmacocinétique
3
Rappels sur les notations des dérivéesSoit y une fonction de la variable t (on note y(t))
Dérivée première (= d’ordre 1) de y par rapport à t
y ′(t) =dy(t)
dt
Dérivée seconde (= d’ordre 2) de y par rapport à t
y ′′(t) = y (2)(t) =d2y(t)
dt2
Dérivée n ième (= d’ordre n) de y par rapport à t
y (n)(t) =dny(t)
dtn
4
Rappels sur les notations des dérivées
Remarque 1Ne pas confondre la notation puissance et la notation de l’ordrede dérivation :
I y (2) = y ′′ ⇒ dérivée d’ordre 2 de yI y2 = y × y ⇒ y élevé à la puissance 2
Remarque 2En physique, utilisation de la notation y et y pour les dérivéespar rapport au temps.
I y = y ′ ⇒ dérivée première de y par rapport au tempsI y = y ′′ ⇒ dérivée seconde de y par rapport au temps
5
Rappels sur les calculs de dérivées
Formules usuelles de dérivationcf. fiches sur spiral
I Dérivées de fonctionsI Dérivées de fonctions composées
6
Equations différentielles (ED)Généralités
Définition d’une EDUne équation différentielle (ordinaire) est une équation dontl’inconnue y est une fonction et qui fait intervenir au moins unedérivée de y :
y ′ et/ou y ′′ et/ou ... et/ou y (n)
ExemplesSoit y une fonction de t
5y (3) = 7 cos t → ED2y ′′ + (2t)y ′ + 5 = 6t2 → ED
4y2 + 3t = 7 → pas ED
7
Equations différentielles (ED)Généralités
ObjectifI L’objectif est de résoudre l’ED afin de déterminer
l’expression de y en fonction de t . On dit aussi que l’on"intègre" l’ED.
⇒ Solution : y(t)
I L’expression y(t) est la solution générale de l’ED.
Solution généraleI Si l’ED est d’ordre 1, sa solution générale comporte 1
constante arbitraire. Cette expression définit donc unefamille de solutions.
I Si l’ED est d’ordre n, sa solution générale comporte nconstantes arbitraires.
8
Equations différentiellesGénéralités
Condition(s) initiale(s)Pour pouvoir calculer la (ou les) constante(s) arbitraire(s) ettrouver ainsi la solution recherchée, il faut connaître une (ouplusieurs) conditions initiales (CI).
I Si l’ED est d’ordre 1, il faut connaître 1 CI.Il s’agit par exemple de la valeur de y quand t = 0.
y(0) = y0
I Si l’ED est d’ordre n, il faut connaître n CI.
9
Système d’équations différentiellesGénéralités
Définition d’un système d’EDUn système d’ED (ou système différentiel) comporte plusieursED liées entre elles (= qui dépendent les unes des autres).
ExempleSoit y1 et y2 deux fonctions de t .{
y ′1 = 2y1 + 5y2y ′2 = 4y1 + 2y2
(1)
Il s’agit d’un système d’ED. Chaque ED dépend de y1 et de y2.
10
Système d’équations différentiellesGénéralités
ObjectifL’objectif est de résoudre le système afin de déterminer lesexpressions des fonctions y1, y2,..., yn en fonction de t .
⇒ Solution : y1(t), y2(t), ..., yn(t)
Conditions initialesPour trouver la solution recherchée, il faut avoir des conditionsinitiales (CI).S’il y a n ED d’ordre 1 dans le système, il faut n CI.Il s’agit par exemple des valeurs des fonctions y1, y2,...ynquand t = 0.
y1(0) = y10 , y2(0) = y20 , ..., yn(0) = yn0
11
Exemple 1Bactériologie
Enoncé du problèmeI Soit une population de bactéries qui se développent dans
un milieu favorable (listeria dans du fromage au lait cru).I On veut connaître le nombre de bactéries au cours du
temps afin de déterminer une date limite de consommation(= temps au delà duquel le nombre de bactéries devientdangereux pour la santé).
Schéma du problème
T = 0B(0) = B0
T = t1B(t1)
T = t2B(t2)
12
Exemple 1Bactériologie
Hypothèse simple"Production" de bactéries proportionnelle au nombre debactéries présentes à chaque instant.
Formulation par une EDSoit B le nombre de bactéries (fonction du temps t) :
dBdt
= k .B
avec B(0) = B0
k : coefficient de proportionnalité (réel)
13
Exemple 1Bactériologie
Solution de l’EDSolution⇒ B(t) = B0.ekt
Graphique
Temps
Nom
bre
de b
acte
ries
Bmax
Tmax
Evolution de B(t)
⇒ Modèlemono-exponentiel
Tmax : date limite deconsommation (temps
auquel B > Bmax )
14
Exemple 2Pharmacologie
Enoncé du problèmeI Soit un complexe qui se forme lorsqu’un ligand se fixe sur
un récepteur et qui devient alors actif pour transmettre un"signal" à l’intérieur de la cellule lui permettant de produireune protéine particulière.
I On veut connaître la concentration en complexe au coursdu temps afin d’en déduire la concentration en protéinesproduite par la cellule.
Schéma du problème
Ligands
Récepteurs
Complexes
Protéine
15
Exemple 2Pharmacologie
Hypothèses simplesI Réaction irréversible : L + R → CI Pas de production ni de dégradation de L, R ou CI "Production" de C proportionnelle aux concentrations de L
et R présents dans le milieu.
Formulation par un système d’ED3 espèces : L (ligand), R (récepteur) et C (complexe) :
d [C]
dt= k .[L][R] (avec [C](0) = 0)
d [L]dt
= −k .[L][R] (avec [L](0) = L0)
d [R]
dt= −k .[L][R] (avec [R](0) = R0)
(2)
k : vitesse de réaction (k ∈ R) 16
Exemple 2Pharmacologie
Solution du systèmeSolution⇒ [C](t), [L](t) et [R](t)
Graphique
Temps
Con
cent
ratio
nEvolution de L(t), de R(t) et de C(t)
Ligands
Recepteurs
Complexes
Etape suivante : détermination de la production de protéine([P](t)) à chaque instant à partir de [C](t)
17
Exemple 3Physique (mécanique (cf. cours TS))
Enoncé du problèmeI Soit un solide de masse m soumis à un ressort de
constante de raideur k .I On veut connaître l’évolution de sa position au cours du
temps.
Schéma du problème
R
P
F
0 x
P : poids du mobileR : force de réactionF : force de rappel
18
Exemple 3Physique (mécanique (cf. cours TS))
Hypothèse simpleAbsence de frottement
Formulation par une EDI Fonction : x (position du mobile sur (Ox))I Equation du mouvement du solide selon l’axe (Ox) :
md2xdt2 + kx = 0⇐⇒ mx + kx = 0
Conditions initialesI ED d’ordre 2⇒ 2 CII Exemple :
x(0) = x0 et x(0) =dx(0)
dt= v0
19
Exemple 3Physique (mécanique (cf. cours TS))
Solution de l’EDSolution⇒ x(t) : fonction trigonométrique (cos)
Graphique
t
posi
tion
x0
Evolution de x(t)
⇒ Régime périodique
20
Synthèse des 3 exemples
ED trouvées
I Bactériologie =⇒ dBdt
= k .B
I Pharmacologie
d [C]
dt= k .[L][R]
d [L]dt
= −k .[L][R]
d [R]
dt= −k .[L][R]
I Physique =⇒ mx + kx = 0
⇒ Caractéristiques (et solutions) des ED très différentes
21
Caractéristiques des ED
Caractéristiques à savoir reconnaîtreI OrdreI Linéarité / non linéaritéI Coefficients constants / non constantsI Avec / sans second membre
22
Caractéristiques des EDOrdre
DéfinitionL’ordre de l’ED est l’ordre de la plus haute dérivée.
Exemples
2y ′ + (2t)y2 + 5 = 6t2 → ED du 1er ordre4y (2) + 3y ′ + (cos t)y = 7 → ED du 2nd ordre
23
Caractéristiques des EDLinéarité
DéfinitionUne ED linéaire ne contient pas de termes non linéaires en y
Exemples de termes non linéaires (en y )I y2, yn,
√y , 1/y , ln(y), cos(y), sin(y), ...
I y ′2, y ′n,√
y ′, 1/y ′, ln(y ′), cos(y ′), sin(y ′), ...I yy ′, y/y ′
Exemples
4y ′′ + 3y ′ + (cos t)y = 7t3 → ED linéaire4y ′′ + 3y ′ + (y + t)y = 7 → ED non linéaire
4y ′′ + 3yy ′ + 7y = 7 → ED non linéaire
24
Caractéristiques des EDCoefficients
DéfinitionI Les coefficients sont les termes situés devant y , y ′, y ′′,...I Ils sont dits non constants s’ils dépendent de t .
Exemples
4y ′′ + 3y ′ + 7y = cos t → Coefficients constants4y ′′ + (3t)y ′ + 7y = 8 → Coefficients non constants
25
Caractéristiques des EDSecond membre
DéfinitionI Le 2nd membre regroupe l’ensemble des termes de l’ED
qui ne comportent ni y ni y ′ ni y ′′...I Il peut être constant ou fonction de t .I Il se met classiquement à droite du signe égal.
Exemples
4y ′′ + 3y ′ = cos t → 2nd membre : d(t) = cos t4y ′′ + 3y ′ + sin t + 6 = 0 → 2nd membre : d(t) = − sin t − 64y ′′ + 3y ′ + (sin t)y = 0 → 2nd membre : d(t) = 0
⇒ équation sans 2nd membre
26
Caractéristiques des systèmes d’ED
Caractéristiques à savoir reconnaîtreI OrdreI Linéarité / non linéaritéI Coefficients constants / non constantsI Avec / sans second membre
27
Caractéristiques des systèmes d’EDOrdre
DéfinitionL’ordre d’un système est l’ordre de l’ED qui a la plus hautedérivée.
ExempleSoit y1 et y2 deux fonctions de t .{
y ′1 = 2y1 + 3y2
y ′′2 = y ′2 + 4y1(3)
⇒ Système d’ordre 2
28
Caractéristiques des systèmes d’EDLinéarité
DéfinitionUn système est dit linéaire si toutes ses ED sont linéaires (=pas de terme non linéaire en chacune des fonctions et pas determe "mixte").
ExempleSoit y1 et y2 deux fonctions de t .{
y ′1 = 2y1 + 3y2 + 7t2
y ′2 = y1 + 4y1 × y2(4)
⇒ Système non linéaire (terme mixte y1 × y2)
29
Caractéristiques des systèmes d’EDCoefficients
DéfinitionUn système est dit "à coefficients constants" si toutes les EDsont à coefficients constants.
ExempleSoit y1 et y2 deux fonctions de t .{
2y ′1 = 2y1 + 3y2 + sin t
y ′2 = y1 + 4y2 + 5√
t(5)
⇒ Système à coefficients constants
30
Caractéristiques des systèmes d’EDSecond membre
DéfinitionUn système est dit "avec second membre" si au moins une desED du système comporte un second membre.
ExempleSoit y1 et y2 deux fonctions de t .{
y ′1 = 3ty1 + 2y2 + sin t
y ′2 = y1 + 4y2(6)
⇒ Système avec second membre
31
Caractéristiques des ED des exemplesBactériologie (fonction B)
dBdt
= k .B ⇐⇒ B′ − kB = 0 (k ∈ R)
⇒ ED linéaire, du 1er ordre, à coefficients constants et sans 2nd
membre.
Pharmacologie (fonctions [C], [L] et [R])
d [C]
dt= k .[L][R]
d [L]dt
= −k .[L][R]
d [R]
dt= −k .[L][R]
⇒ Système d’ED non linéaire, du 1er ordre, à coefficientsconstants et sans second membre.
32
Caractéristiques des ED des exemples
Physique (fonction x)
mx + kx = 0⇐⇒ mx ′′ + kx = 0 (m et k ∈ R)
⇒ ED linéaire, du 2nd ordre, à coefficients constants et sans 2nd
membre.
33
Solutions des EDGénéralités
DéfinitionI Soit y une fonction de t et soit une ED de y.I Résoudre cette ED revient à trouver l’expression de y en
fonction de t .I Cette expression y(t) est la solution générale de l’ED.
RemarquesI Si l’ED est d’ordre 1, la solution générale comporte une
constante arbitraire⇒ il faut 1 CI
I Si l’ED est d’ordre n, la solution générale comporte nconstantes arbitraires⇒ il faut n CI
34
Solutions de certaines ED
Cas à connaîtreSoit y une fonction de t
I Cas n˚1 :y ′ = g(t)× y
I Cas n˚2 (cas particulier) :
y ′ = a× y (a ∈ R) (cf. cours TS)
35
Solutions de certaines EDCas n˚1
Présentation de l’ED
y ′ = g(t)× y ⇐⇒ y ′ − g(t)× y = 0
g(t) : fonction de t
⇒ ED linéaire, du 1er ordre, à coefficients non constants etsans second membre.
SolutionSolution générale de cette ED :
y(t) = K .eG(t) (K ∈ R)
G(t) : primitive de g(t)
36
Solutions de certaines EDcas n˚1
RemarquesI Solution à connaître mais démonstration (sur Spiral) pas
au programme PACES
I Rappels des calculs de primitives (cf. fiche sur Spiral)Exemple : primitive de 1/y ⇒ ln |y |
I Rappels des propriétés des exp et des ln (cf. fiche surSpiral)Exemple : e(a+b) = ea × eb
37
Solutions de certaines EDCas n˚2
Présentation de l’ED (cf. cours TS)
y ′ = a× y ⇐⇒ y ′ − ay = 0 (a ∈ R)
⇒ ED linéaire, du 1er ordre à coefficients constants et sanssecond membre.
SolutionSolution générale de cette ED :
y(t) = λ.eat (λ ∈ R)
38
Solutions de certaines EDCas n˚2
DémonstrationI Cas particulier du cas précédent pour g(t) = aI Primitive de g(t) :
G(t) = at + b (b ∈ R)
I Solution :y(t) = K .eG(t) = K .e(at+b)
I Avec les propriétés de l’exponentielle :
y(t) = K × eat × eb = (Keb)× eat
I (Keb) : constante que l’on peut appeler λI Solution générale de l’ED :
y(t) = λ.eat (λ ∈ R)39
Solutions de certaines EDCas n˚2
Utilisation de la CII Solution générale de l’ED :
y(t) = λ.eat (λ ∈ R)
I Utilisation de la CI pour trouver la valeur de λ :{y(0) = y0
y(0) = λe0 = λ⇒ λ = y0
I Solution recherchée :
y(t) = y0eat
Exemple de bactériologie
Solution recherchée : B(t) = B0ekt
40
Applications
Applications présentéesI Epidémiologie
I Modèle SI (susceptibles - infectés)I Modèle SIR (susceptibles - infectés - retirés)
I Pharmacocinétique (PK : pharmacokinetics)
41
Application en épidémiologieModèle SI
Enoncé du problèmeSoit une maladie contagieuse (rougeole) qui touche unepopulation de n individus. On considère 2 groupes :
I "Susceptibles" (non malades mais pouvant attraper lamaladie)
I "Infectés" (malades et contagieux).On veut connaître le nombre de malades à chaque instant.
Schéma du problème
S(susceptibles)
I(infectés)
k
42
Application en épidémiologieModèle SI
Hypothèse simpleOn suppose que l’augmentation du nombre de malades estproportionnelle au nombre de susceptibles et de malades(contact nécessaire).
Système d’ED2 groupes : S (susceptibles) et I (infectés) :
dSdt
= −k .S.I (avec S(0) = S0)
dIdt
= k .S.I (avec I(0) = I0)(7)
k : taux de contamination
Hypothèse : S(t) + I(t) = n
43
Application en épidémiologieModèle SI
Solution du systèmeSolution⇒ I(t) et S(t)
Graphique
0 10 20 30 40 50 600
100
200
300
400
500
Temps (jours)
Nom
bre
d in
divi
dus
Evolution de S(t) et de I(t)
S
I
I0 = 1, S0 = 500k = 0.001
⇒ Toute la populationdevient infectée
44
Application en épidémiologieModèle SIR
Enoncé du problèmeSoit une maladie contagieuse (rougeole) qui touche unepopulation de n individus. On considère 3 groupes :
I "Susceptibles" (non malades mais pouvant attraper lamaladie)
I "Infectés" (malades et contagieux)I "Retirés" (morts ou mis en quarantaine ou immunisés = ne
pouvant plus ni attraper la maladie ni la transmettre).
On veut connaître le nombre de malades à chaque instant et lenombre de personnes à vacciner pour éviter une épidémie.
45
Application en épidémiologieModèle SIR
Schéma du problème
S(susceptibles)
I(infectés)
k
R(retirés)
r
Historique1ers modèles SIR par Kermack et McKendrick en 1927 à partirde données épidémiologiques de la peste de Bombay(1905-1906)
46
Application en épidémiologieModèle SIR
Système d’ED3 groupes : S (susceptibles), I (infectés) et R (retirés) :
dSdt
= −k .S.I (avec S(0) = S0)
dIdt
= k .S.I − r .I (avec I(0) = I0)
dRdt
= r .I (avec R(0) = 0)
(8)
k : taux de contaminationr : taux de retrait
⇒ Système non linéaire, du 1er ordre à coefficients constantssans second membre
Hypothèse : S(t) + I(t) + R(t) = n47
Application en épidémiologieModèle SIR
Solution du systèmeSolution⇒ I(t), S(t) et R(t)
Graphique (avec un 1er jeu de CI)
0 10 20 30 40 50 600
100
200
300
400
500
Temps (jours)
Nom
bre
d in
divi
dus
Evolution de S(t), de I(t) et de R(t)
S
I
R
I0 = 1, S0 = 500, R0 = 0k = 0.001, r = 0.1
⇒ Pic épidémique au21ème jour
48
Application en épidémiologieModèle SIR
Solution du systèmeSolution⇒ I(t), S(t) et R(t)
Graphique (avec un 2ème jeu de CI)
0 10 20 30 40 50 600
20
40
60
80
100
Temps (jours)
Nom
bre
d in
divi
dus
Evolution de S(t), de I(t) et de R(t)
S
I
R
I0 = 1, S0 = 95, R0 = 0k = 0.001, r = 0.1
⇒ Absence d’épidémie
49
Application en épidémiologieModèle SIR
Etape suivanteDétermination d’un "taux" de vaccination v pour diminuer lenombre de susceptibles :
S(susceptibles)
I(infectés)
k
R(retirés)
rv
dSdt
= −k .S.I − v .S
dIdt
= k .S.I − r .I
dRdt
= r .I + v .S
50
Application en épidémiologieModèle SIR
Solution du systèmeSolution⇒ I(t), S(t) et R(t)
Graphique
0 10 20 30 40 50 600
100
200
300
400
500
Temps (jours)
Nom
bre
d in
divi
dus
Evolution de S(t), de I(t) et de R(t)
S
I
R
I0 = 1, S0 = 500, R0 = 0k = 0.001, r = 0.1, v = 0.1
⇒ Absence d’épidémie
51
Application en pharmacocinétiqueIntroduction
DéfinitionEtude du devenir d’un principe actif (PA) dans l’organisme
Objectif
Etude de l’évolu-tion temporelle de laconcentration en PAdans le compartimentd’intérêt : C(t)
Temps
Concentration
Plage des concentrations utiles
Effets indésirables
Inefficacité
Marge thérapeutique
= Indexthérapeutique
52
Application en pharmacocinétiqueIntroduction
ProblèmeOn administre à un patient un analgésique et on souhaiteétudier la façon dont évolue la concentration plasmatique (C)de ce médicament au cours du temps et selon différentsschémas d’administration :
I Par voie intraveineuse (IV), en bolus (= de façoninstantanée)
I Par voie orale (= per os = PO), en 1 prise
53
Application en pharmacocinétiqueModèle mono-compartimental, IV bolus
Partie II On administre tout d’abord au patient une dose (D) de cet
analgésique par voie IV, en bolus.I On considère un modèle mono-compartimental dans
lequel le PA est éliminé du compartiment central avec uneconstante d’élimination ke.
Schéma du problème
D
ke
C(compartiment central)
54
Application en pharmacocinétiqueModèle mono-compartimental, IV bolus
Formulation par une EDI CI : concentration dans le compartiment central
immédiatement maximale :
C(0) = C0 =DV
V : volume de distributionI ED : diminution de PA dans le compartiment central
fonction de l’élimination :
dCdt
= −ke.C ⇐⇒ C′ + keC = 0
Type d’EDED linéaire du 1er ordre à coefficients constants et sans 2nd
membre55
Application en pharmacocinétiqueModèle mono-compartimental, IV bolus
Solution de l’EDSolution⇒ C(t) = C0e−ket
Graphique
Temps
Con
cent
ratio
n
C0
C0/2
T1/2
Evolution de C(t) en IV bolus
⇒ Modèlemono-exponentiel
décroissant
T1/2 : demi-vie du PA(= temps pour lequel
C = C0/2)
56
Application en pharmacocinétiqueModèle "mono-compartimental", PO, 1 prise
Partie III On administre ensuite à ce patient une dose (D)
d’analgésique par voie orale en 1 prise.I On considère un modèle dans lequel le PA est absorbé
dans le compartiment central avec une constanted’absorption ka et en est éliminé avec une constanted’élimination ke.
Schéma du problèmeD
ka
ke
C(compartiment
central)
Ca(compartiment d’absorption)
57
Application en pharmacocinétiqueModèle "mono-compartimental", PO, 1 prise
RemarqueCe modèle est dit mono-compartimental car le compartimentd’absorption n’est pas compté comme un compartiment (=compartiment "virtuel")
Système d’EDdCa
dt= −kaCa (avec Ca(0) = D
V )
dCdt
= kaCa − keC (avec C(0) = 0)(9)
⇒ Système linéaire du 1er ordre à coefficients constants sanssecond membre
58
Application en pharmacocinétiqueModèle "mono-compartimental", PO, 1 prise
Solution du systèmeSolution⇒ Ca(t) et C(t)
Graphique
0 5 10 150
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
Temps
Con
cent
ratio
n
Cmax
Tmax
Evolution de C(t) en VO 1 prise
⇒ Modèle bi-exponentiel
Tmax : temps auquelC = Cmax
59
Comparaison de profils pharmacocinétiquesAdministrations à dose unique
intraveineuse
intramusculairesous-cutanée
orale
Concentrationplasmatique
Temps
60
Pharmacocinétique / pharmacodynamieModèles et applications
I Pharmacocinétique (PK)⇒ C(t) en fonction de D(t)
I Pharmacodynamie (PD)⇒ E(t) en fonction de C(t)
I PK/PD
Dose
C(t) E(t)
Concentrationplasmatique
D(t)
Effet
ModèlePK
ModèlePD
I PK/PD de population⇒ nécessaire pour les dossiers d’AMM (Autorisation deMise sur le Marché) des médicaments
61