Contexte Comparaison d’une variance a une reference Comparaison de deux variances
UE4Comparaisons de variances
Pr. Nicolas MEYER
———————Laboratoire de Biostatistique et Informatique Medicale
Fac. de Medecine de Strasbourg———————
Janvier 2011
Contexte Comparaison d’une variance a une reference Comparaison de deux variances
Divers
Les livres recommandes :
1 Biostatistique. Regis Beuscart, (Benichou, Roy et Quantin)Edition Omnisciences. 2009.
2 Mathematiques L1/L2 : Statistique et Probabilites en 30fiches. Daniel Fredon, Myriam Maumy-Bertrand, FredericBertrand. Editions Dunod, 2009.
Contexte Comparaison d’une variance a une reference Comparaison de deux variances
Plan
1 Contexte
2 Comparaison d’une variance a une reference
3 Comparaison de deux variancesTest en situation bilateraleTest en situation unilaterale
Contexte Comparaison d’une variance a une reference Comparaison de deux variances
Plan
1 Contexte
2 Comparaison d’une variance a une reference
3 Comparaison de deux variances
Contexte Comparaison d’une variance a une reference Comparaison de deux variances
Comparaison de variances : contexte
La variance (parametre de dispersion) caracterise une distributionau meme titre que la moyenne
• deux contextes differents :
comparaison de la variabilite d’une mesure dans deux groupes
evaluation de la precision d’une mesure (un groupe unique)
Quelques exemples :
savoir si le dosage d’une molecule par deux techniquesdifferentes presente la meme variabilite
savoir si la variabilite d’un dosage depend de la temperaturede dosage (dosage a deux tp diff.)
savoir si la variabilite d’un parametre presente la memedispersion dans deux populations differentes
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Comparaison de deux variances : contexte
Deux applications differentes :
(1) les tests de comparaison de moyennes ⇒ homoscedasticite
hypothese a tester par une comparaison de variances
si rejet de l’homoscedasticite, test t de Student non applicable
(2) comparaison de deux populations
Ex. effet du tabac sur le poids de naisssance
si effet (( simple )) : decalage des poids de naissance vers le bas
mais l’effet pourrait dependre en plus de caracteristiques dufoetus et/ou de la mere et donc introduire une sous- ou unesur-dispersion des valeurs fonction des moyennes de chaquegroupe → porteur d’information
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Plan
1 Contexte
2 Comparaison d’une variance a une reference
3 Comparaison de deux variances
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comparaison d’une variance a une reference
La situation est peu frequente.
H0 : σ2 = σ2R
H1 : σ2 6= σ2R
soit une V.A. X → N (µ ; σ)soit s2 la valeur observee dans un echantillon de taille nalors, sous H0 est vraie, F = s2
σ2R→ Fn−1
∞
d’ou le test : calcul de F = s2
σ2R→ Fn−1
∞ et comparaison a la
valeur seuil de la loi de Fisher (ou Fisher-Snedecor) avec n − 1et ∞ ddl.
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Rappel : la loi de Fisher est definie sur [0,∞[
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Test en situation bilaterale
Plan
1 Contexte
2 Comparaison d’une variance a une reference
3 Comparaison de deux variancesTest en situation bilateraleTest en situation unilaterale
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Test en situation bilaterale
Comparaison de deux variances
• On cherche a comparer la variabilite d’une mesure entre deuxgroupes
• Les hypotheses du test (en bilateral) sont :
H0 : σ2A = σ2
B
H1 : σ2A 6= σ2
B
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Test en situation bilaterale
Fluctuation d’echantillonnage sous H0
• Soit une V.A. X et deux populations A et B dont les variancessont σ2
A et σ2B
• Si X → N (µ,σ), alors :
YA = s2A
nA − 1σ2
A
→ χ2nA−1 et YB = s2
B
nB − 1σ2
B
→ χ2nB−1
Si les deux echantillons sont independants, alors, par definition dela loi de Fisher :
F =YA/(nA − 1)YB/(nB − 1)
suit une loi de Fisher a nA − 1 et nB − 1 ddl.
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Test en situation bilaterale
Fluctuation d’echantillonnage sous H0
Alors, en remplacant les valeurs de YA et YB , on a :
F =s2A
s2B
σ2B
σ2A
Donc, sous H0, le rapport
σ2B
σ2A
= 1
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Test en situation bilaterale
Fluctuation d’echantillonnage sous H0
• Si les deux echantillons sont independants, alors, le rapport
s2A
s2B∼ F nA−1
nB−1
• c-a-d. le rapport suit une loi de Fisher F a nA− 1 et nB − 1 d.d.l
• ou, par convention, on choisit A et B tels que s2A > s2
B
• Rappel : Loi de Fisher = Loi de Fisher-Snedecor
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Test en situation bilaterale
Comparaison de deux variances : le test
Le test de Fisher de comparaison de deux variances :
consiste a calculer F = s2A
s2B
a partir des valeurs observees des variances, dans chaquegroupe
comparaison de la valeur de F avec la table de repartition dela loi de Fisher a nA − 1 et nB − 1 ddl.
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Test en situation bilaterale
Comparaison de deux variances : le test bilateral
Les hypotheses sont :
H0 : σ2A = σ2
B
H1 : σ2A 6= σ2
B
On realise le calcul : F = s2A
s2B
on conclut H1 quand le rapport s’eloigne trop de 1, vers lehaut ou vers le bas
donc deux valeurs seuil Finf et Fsup a definir :
Pr(FnA−1nB−1 > Fsup) = α/2 et Pr(FnA−1
nB−1 < Finf ) = α/2lecture de la table
en pratique les seuils pour les rapports superieurs et inferieurssont l’inverse l’un de l’autre
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Test en situation bilaterale
Rappel : la loi de Fisher est definie sur [0,∞[
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Test en situation bilaterale
Table de Fisher-Snedecor
La table donne la limite superieure de F = s2A
s2B
, pour le risque 2,5%
(valeur ayant 2,5% chances sur 100 d’etre egalee ou depassee), enfonction des nombres de degres de liberte lA et lB ,
Tab.: Table de F (point 2,5%)
PPPPPlB
lA 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 647,79 799,48 864,15 899,6 921,83 937,11 948,20 956,64 963,2810 6,94 5,46 4,83 4,47 4,24 4,07 3,95 3,85 3,7811 6,72 5,26 4,63 4,28 4,04 3,88 3,76 3,66 3,59
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Test en situation bilaterale
Exemple
• On veut comparer les variances de deux groupes pour unevariable aleatoire X afin de realiser un test de Student.
• On dispose de deux echantillons de taille 10 et 12respectivement, avec des variances s2 = 10,2 et s2 = 3,1.
• On pose :
H0 : les deux variances ne different pas : σ2A = σ2
B
H1 : les deux variances different : σ2A 6= σ2
B
un risque α = 0,05
• On identifie A et B de maniere a ce que : s2A = 10,2 soit plus
grande que s2B = 3,1 et donc nA = 10 et nB = 12.
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Test en situation bilaterale
Exemple
On calcule :
F =10,23,1
= 3,29
On compare cette valeur a la valeur du F dans la table du F auseuil de 0,025 : FnA−1
nB−1 ; α/2 = F 911 ; 0,025 = 3,59
Tab.: Table de F (point 2,5%)
PPPPPlB
lA 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 647,79 799,48 864,15 899,6 921,83 937,11 948,20 956,64 963,2810 6,94 5,46 4,83 4,47 4,24 4,07 3,95 3,85 3,7811 6,72 5,26 4,63 4,28 4,04 3,88 3,76 3,66 3,59
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Test en situation bilaterale
Exemple
• On conclut que le rapport observe est plus petit que le rapportde reference : F < F 9
11 ; 0,025 et donc on ne rejette pas H0.
• On admet que les variances ne different pas et on peut doncrealiser le test de Student.
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Test en situation unilaterale
Plan
1 Contexte
2 Comparaison d’une variance a une reference
3 Comparaison de deux variancesTest en situation bilateraleTest en situation unilaterale
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Test en situation unilaterale
Comparaison de deux variances : le test unilateral
Les hypotheses sont :
H0 : σ2A = σ2
B
H1 : σ2A > σ2
B
On realise le calcul : Fobs = s2A
s2B
on conclut H1 quand le rapport s’eloigne trop de 1, vers lehaut
Rem. si Fobs est d’emblee inferieur a 1, le test est inutile
si Fobs > FnA−1nB−1 : rejet de H0
sinon, acceptation de H0
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Test en situation unilaterale
Rappel : la loi de Fisher est definie sur [0,∞[
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Test en situation unilaterale
Comparaison de deux variances : le test unilateral
On veut comparer la precision de deux appareils de dosage, lenouveau (B) devant etre plus precis que l’ancien (A).
dosage d’une solution de reference, de concentration connue
dosage realise 13 et 15 fois avec A et B resp.
H0 : σ2A = σ2
B
H1 : σ2A > σ2
B
on observe s2A = 6,3 et s2
B = 3,2Fobs = 6,3/3,2 = 1,97
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Test en situation unilaterale
Tab.: Table de F (point 5%)
PPPPPlB
lA 10 12 15 20 24 30 40 60 120 +∞
1 241,88 243,9 245,95 248,02 249,05 250,1 251,14 252,2 253,25 254,3113 2,67 2,60 2,53 2,46 2,42 2,38 2,34 2,30 2,25 2,2114 2,60 2,53 2,46 2,39 2,35 2,31 2,27 2,22 2,18 2,1315 2,54 2,48 2,40 2,33 2,29 2,25 2,20 2,16 2,11 2,07
la valeur seuil (5%) de la loi de Fisher FnA−1nB−1 = F 12
14 = 2,53Fobs < F 12
14 = 2,53, donc on ne rejette pas H0
on admet que le nouvel appareil n’est pas plus precis quel’ancien
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Test en situation unilaterale
Commentaires
1) Sur le test unilateral :
parfois on veut tester H1 : σ2A < σ2
B (au lieu de >)
les tables de la loi de Fisher donnent habituellement lesprobabilites de depasser FnA−1
nB−1
la solution : inverser le rapport et comparer a FnB−1nA−1
tester inferiorite de σ2A ⇔ tester superiorite σ2
B
2) Sur l’independance des mesures : les echantillons doivent etreindependants pour que le test soit valide. Or ici, mesure sur lememe objet.
population : population de mesure
unite statistique : la mesure et pas la solution de reference
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Test en situation unilaterale
synthese
un test de comparaison de variances peut etre :
unilateral
bilateral
test d’un parametre observe contre un parametre de reference
test de comparaison de deux parametres observes
basee sur la loi de Fisher-Snedecor