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Contexte Comparaison d’une variance a une reference Comparaison de deux variances

UE4Comparaisons de variances

Pr. Nicolas MEYER

———————Laboratoire de Biostatistique et Informatique Medicale

Fac. de Medecine de Strasbourg———————

Janvier 2011


Divers

Les livres recommandes :

1 Biostatistique. Regis Beuscart, (Benichou, Roy et Quantin)Edition Omnisciences. 2009.

2 Mathematiques L1/L2 : Statistique et Probabilites en 30fiches. Daniel Fredon, Myriam Maumy-Bertrand, FredericBertrand. Editions Dunod, 2009.


Plan

1 Contexte

2 Comparaison d’une variance a une reference

3 Comparaison de deux variancesTest en situation bilateraleTest en situation unilaterale


Plan

1 Contexte


3 Comparaison de deux variances


Comparaison de variances : contexte

La variance (parametre de dispersion) caracterise une distributionau meme titre que la moyenne

• deux contextes differents :

comparaison de la variabilite d’une mesure dans deux groupes

evaluation de la precision d’une mesure (un groupe unique)

Quelques exemples :

savoir si le dosage d’une molecule par deux techniquesdifferentes presente la meme variabilite

savoir si la variabilite d’un dosage depend de la temperaturede dosage (dosage a deux tp diff.)

savoir si la variabilite d’un parametre presente la memedispersion dans deux populations differentes


Comparaison de deux variances : contexte

Deux applications differentes :

(1) les tests de comparaison de moyennes ⇒ homoscedasticite

hypothese a tester par une comparaison de variances

si rejet de l’homoscedasticite, test t de Student non applicable

(2) comparaison de deux populations

Ex. effet du tabac sur le poids de naisssance

si effet (( simple )) : decalage des poids de naissance vers le bas

mais l’effet pourrait dependre en plus de caracteristiques dufoetus et/ou de la mere et donc introduire une sous- ou unesur-dispersion des valeurs fonction des moyennes de chaquegroupe → porteur d’information


Plan

1 Contexte


3 Comparaison de deux variances


comparaison d’une variance a une reference

La situation est peu frequente.

H0 : σ2 = σ2R

H1 : σ2 6= σ2R

soit une V.A. X → N (µ ; σ)soit s2 la valeur observee dans un echantillon de taille nalors, sous H0 est vraie, F = s2

σ2R→ Fn−1

∞

d’ou le test : calcul de F = s2

σ2R→ Fn−1

∞ et comparaison a la

valeur seuil de la loi de Fisher (ou Fisher-Snedecor) avec n − 1et ∞ ddl.


Rappel : la loi de Fisher est definie sur [0,∞[


Test en situation bilaterale

Plan

1 Contexte





Comparaison de deux variances

• On cherche a comparer la variabilite d’une mesure entre deuxgroupes

• Les hypotheses du test (en bilateral) sont :

H0 : σ2A = σ2

B

H1 : σ2A 6= σ2

B



Fluctuation d’echantillonnage sous H0

• Soit une V.A. X et deux populations A et B dont les variancessont σ2

A et σ2B

• Si X → N (µ,σ), alors :

YA = s2A

nA − 1σ2

A

→ χ2nA−1 et YB = s2

B

nB − 1σ2

B

→ χ2nB−1

Si les deux echantillons sont independants, alors, par definition dela loi de Fisher :

F =YA/(nA − 1)YB/(nB − 1)

suit une loi de Fisher a nA − 1 et nB − 1 ddl.




Alors, en remplacant les valeurs de YA et YB , on a :

F =s2A

s2B

σ2B

σ2A

Donc, sous H0, le rapport

σ2B

σ2A

= 1




• Si les deux echantillons sont independants, alors, le rapport

s2A

s2B∼ F nA−1

nB−1

• c-a-d. le rapport suit une loi de Fisher F a nA− 1 et nB − 1 d.d.l

• ou, par convention, on choisit A et B tels que s2A > s2

B

• Rappel : Loi de Fisher = Loi de Fisher-Snedecor



Comparaison de deux variances : le test

Le test de Fisher de comparaison de deux variances :

consiste a calculer F = s2A

s2B

a partir des valeurs observees des variances, dans chaquegroupe

comparaison de la valeur de F avec la table de repartition dela loi de Fisher a nA − 1 et nB − 1 ddl.



Comparaison de deux variances : le test bilateral

Les hypotheses sont :

H0 : σ2A = σ2

B

H1 : σ2A 6= σ2

B

On realise le calcul : F = s2A

s2B

on conclut H1 quand le rapport s’eloigne trop de 1, vers lehaut ou vers le bas

donc deux valeurs seuil Finf et Fsup a definir :

Pr(FnA−1nB−1 > Fsup) = α/2 et Pr(FnA−1

nB−1 < Finf ) = α/2lecture de la table

en pratique les seuils pour les rapports superieurs et inferieurssont l’inverse l’un de l’autre






Table de Fisher-Snedecor

La table donne la limite superieure de F = s2A

s2B

, pour le risque 2,5%

(valeur ayant 2,5% chances sur 100 d’etre egalee ou depassee), enfonction des nombres de degres de liberte lA et lB ,

Tab.: Table de F (point 2,5%)

PPPPPlB

lA 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 647,79 799,48 864,15 899,6 921,83 937,11 948,20 956,64 963,2810 6,94 5,46 4,83 4,47 4,24 4,07 3,95 3,85 3,7811 6,72 5,26 4,63 4,28 4,04 3,88 3,76 3,66 3,59



Exemple

• On veut comparer les variances de deux groupes pour unevariable aleatoire X afin de realiser un test de Student.

• On dispose de deux echantillons de taille 10 et 12respectivement, avec des variances s2 = 10,2 et s2 = 3,1.

• On pose :

H0 : les deux variances ne different pas : σ2A = σ2

B

H1 : les deux variances different : σ2A 6= σ2

B

un risque α = 0,05

• On identifie A et B de maniere a ce que : s2A = 10,2 soit plus

grande que s2B = 3,1 et donc nA = 10 et nB = 12.



Exemple

On calcule :

F =10,23,1

= 3,29

On compare cette valeur a la valeur du F dans la table du F auseuil de 0,025 : FnA−1

nB−1 ; α/2 = F 911 ; 0,025 = 3,59

Tab.: Table de F (point 2,5%)

PPPPPlB

lA 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 647,79 799,48 864,15 899,6 921,83 937,11 948,20 956,64 963,2810 6,94 5,46 4,83 4,47 4,24 4,07 3,95 3,85 3,7811 6,72 5,26 4,63 4,28 4,04 3,88 3,76 3,66 3,59



Exemple

• On conclut que le rapport observe est plus petit que le rapportde reference : F < F 9

11 ; 0,025 et donc on ne rejette pas H0.

• On admet que les variances ne different pas et on peut doncrealiser le test de Student.


Test en situation unilaterale

Plan

1 Contexte





Comparaison de deux variances : le test unilateral

Les hypotheses sont :

H0 : σ2A = σ2

B

H1 : σ2A > σ2

B

On realise le calcul : Fobs = s2A

s2B

on conclut H1 quand le rapport s’eloigne trop de 1, vers lehaut

Rem. si Fobs est d’emblee inferieur a 1, le test est inutile

si Fobs > FnA−1nB−1 : rejet de H0

sinon, acceptation de H0






Comparaison de deux variances : le test unilateral

On veut comparer la precision de deux appareils de dosage, lenouveau (B) devant etre plus precis que l’ancien (A).

dosage d’une solution de reference, de concentration connue

dosage realise 13 et 15 fois avec A et B resp.

H0 : σ2A = σ2

B

H1 : σ2A > σ2

B

on observe s2A = 6,3 et s2

B = 3,2Fobs = 6,3/3,2 = 1,97



Tab.: Table de F (point 5%)

PPPPPlB

lA 10 12 15 20 24 30 40 60 120 +∞

1 241,88 243,9 245,95 248,02 249,05 250,1 251,14 252,2 253,25 254,3113 2,67 2,60 2,53 2,46 2,42 2,38 2,34 2,30 2,25 2,2114 2,60 2,53 2,46 2,39 2,35 2,31 2,27 2,22 2,18 2,1315 2,54 2,48 2,40 2,33 2,29 2,25 2,20 2,16 2,11 2,07

la valeur seuil (5%) de la loi de Fisher FnA−1nB−1 = F 12

14 = 2,53Fobs < F 12

14 = 2,53, donc on ne rejette pas H0

on admet que le nouvel appareil n’est pas plus precis quel’ancien



Commentaires

1) Sur le test unilateral :

parfois on veut tester H1 : σ2A < σ2

B (au lieu de >)

les tables de la loi de Fisher donnent habituellement lesprobabilites de depasser FnA−1

nB−1

la solution : inverser le rapport et comparer a FnB−1nA−1

tester inferiorite de σ2A ⇔ tester superiorite σ2

B

2) Sur l’independance des mesures : les echantillons doivent etreindependants pour que le test soit valide. Or ici, mesure sur lememe objet.

population : population de mesure

unite statistique : la mesure et pas la solution de reference



synthese

un test de comparaison de variances peut etre :

unilateral

bilateral

test d’un parametre observe contre un parametre de reference

test de comparaison de deux parametres observes

basee sur la loi de Fisher-Snedecor

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