Chapitre 2Transfert de chaleur par

Conduction

Qu'est-ce que le transfert de chaleur?Transport d'énergie d’un milieu à un autre dû à un gradient de température.

Que se passe t-il lors du transfert conductif ?Physiquement, la chaleur est transmise par l'activitémoléculaire (vibration, circulation d'électrons, collisions)

1. Objectifs du ChapitreConnaître et appliquer la loi de Fourier;Connaître et appliquer l'équation de conduction

thermiqueSavoir faire un bilan énergétique sur un élément de

volume infinitésimal ou une surface; Connaître les propriétés relatives à la conduction

thermique; Connaître les conditions nécessaires pour résoudre un

problème à l'aide de l'équation de conduction thermique et de la loi de Fourier.

2. Loi de FourrierLe flux de chaleur est une quantité vectorielle

La direction du flux de chaleur sera toujours normale à une surface isotherme

Le signe négatif provient de la pente du gradient

Cas du milieu Isotrope

3. Propriétés Thermiques en conduction

3.1 Conductivité thermique

l'habileté d'un matériau à transporter (transférer) de la chaleur par un processus de diffusion appelé conduction thermique dépend de la structure atomique, de la composition etde l'état d'un matériau

3.2 Diffusivité thermique

rapport entre l'habileté d'un matériau à transporter l'énergie sur son habileté à l'emmagasiner

une forte diffusivité thermique indique un matériau prompt à s'adapter à un changement de conditions thermiques

4. Equation de la ChaleurÉquation de la conduction est un cas particulier de

l'équation générale de la loi de conservation de l'énergieSans convection, ni radiation dans le matériauPourquoi étudier cette équation?Pour connaître le champ (distribution) de T dans un

matériau soumis à des conditions imposées sur ses frontières

Lorsque le champ de T est connu, on peut calculer les flux (taux de transfert ) pertinents.

4.1 DérivationPhénomène local donc à partir d'un volume de contrôle

infinitésimal

Taux de transfert d’énergie thermique aux surfaces

Expansion en série de Taylor du taux de transfert qui à x+dx, y+dy et z+dz:

Taux de transfert net aux surfaces

Taux de génération d'énergie thermique

Taux d'accumulation d'énergie thermique

En insérant les termes différentiels de flux de surfaces , de génération et d'accumulation d'énergie dans l'équation de conservation , l'équation différentielle de la chaleur devient:

En effectuant une démarche similaire sur un élément de volume cylindrique, l'équation différentielle de conduction devient:

En coordonnées sphérique on écrit l’équation de la chaleur

4.3 Quelques simplifications en géométrie cartésienne:

Conductivité thermique λ constante : L’équation de la chaleur devient

Régime permanent

λ constante , Régime permanent, sans source transfert unidirectionnel

Conditions initiales et conditions aux limites

Pour déterminer la distribution de T dans un milieu, il faut spécifier des conditions aux limites physiques (frontières du domaine de calcul) du matériau.

De plus, lorsque le régime est instationnaire (transitoire), lorsque T dépend de t, il faut spécifier une condition initiale dans le temps pour résoudre.

Condition aux limites de Dirichlet, T imposée

Condition aux limites de Neumann, flux imposéFlux imposé, résistance électrique, réaction contrôlée

Condition aux limites de Neumann, flux nul imposéSurface isolée, adiabatique

Condition aux limites de convection, h et Tf imposés

5.Conduction en régime permanent (Transfert unidirectionnel)

5.1 Mur simple On se placera dans le cas où le transfert est unidirectionnel

et où il n’y a pas de génération ni de stockage d’énergie.On considère un mur d’épaisseur e, de conductivité

thermique , et de grande surface transversale S dont les λfaces extrêmes sont à des températures T1 et T2

La distribution de la température dans le mur peut être déterminée en résolvant l'équation de la chaleur dans ces conditions :

2

20

d Tdx

La solution de cette équation donne : T(x)=C1x+C2

Nous déterminons C1 et C2 à partir des conditions aux limites : T(0)= T1 et T(L)= T2

donc on obtient:

2 11

T TC

L

T1=C2 et T2= C1L+C2

Le profil de la température s'écrit alors:

2 11( )

T TT x x T

L

Le profil de température est linéaire et la densité de flux de chaleur traversant le mur s'obtient par la loi de Fourrier :

1 2T TdTq

dx L

Et le flux de chaleur 1 2T TdTQ S S

dx L

apparaît comme la résistance thermique d’un mur plan d’épaisseur e, de conductivité thermique et de surface latérale λS, on a donc le schéma équivalent suivant :

Nous remarquons qu'il est constant en régime permanent; on peut écrire:

1 2T TQ

LS

Cette relation est analogue à la loi d’Ohm en électricité

2 1V VI

R

Qui définit l’intensité du courant comme le rapport de la différence de potentiel électrique sur la résistance électrique. La température apparaît ainsi comme un potentiel thermique et le terme L

S

LR S

Q

5.2 Mur multicouches

C’est le cas des murs réels constitués de plusieurs couches de matériaux différents et où on ne connaît que les températures Tf1 et Tf2 des fluides en contact avec les deux faces du mur de surface latérale S :

En régime permanent, le flux de chaleur se conserve lors de la traversée du mur et s’écrit :

2 3 3 41 21 1 1 2 4 2( ) ( )f A B C f

A B C

T T T TT TQ h S T T S S S h S T T

L L L

1 2

1 2

1 1f f

CA B

A B C

T TQ

LL Lh S S S S h S

La résistance de convection Rconv=1/hS donc le schéma en résistance devient dans ce cas:

Q

1 2 3 4 51 2

1 1 CA B

A B C

LL LR R R R Rh S S S S h S

Nous avons considéré que les contacts entre les couches de différentes natures étaient parfaits et qu’il n’existait pas de discontinuité de température aux interfaces. En réalité, compte tenu de la rugosité des surfaces, une microcouche d’air existe entre les creux des surfaces en regard et créé une résistance thermique R (l’air est un isolant) appelée résistance thermique de contact. La formule précédente s’écrit :

1 2

1 2

1 1f f

CA BAB BC

A B C

T TQ

LL LR Rh S S S S h S

Remarques :

• Une résistance thermique ne peut être définie qu’entre deux surfaces isothermes.

• Cette résistance thermique de contact est négligée si le mur comporte une paroi isolante ou si les parois sont jointes par soudure.

5.3 Mur composite

T1

S

λAλB

λC

λD

SB

SCT2

LA LB LD

C’est le cas le plus couramment rencontré dans la réalité où les parois ne sont pas isotropes.

Les résistance R2 et R3 sont en parallèle, dans ce cas :

1 2

eq

T TQ

R

3 21 4

3 2eq

R RR R R

R R

Le schéma en résistance.

3 C

C C

LR S

2 B

B B

LR S

4 D

D

LR S1 A

A

LR S

T2T1

On considère un cylindre creux de conductivité thermique λ, de rayon intérieur r1, de rayon extérieur r2, de longueur L, les températures des faces internes et externes étant respectivement T1 et T2. On suppose que le gradient longitudinal de température est négligeable devant le gradient radial.

5.4 Cylindre creux long (tube)

régime permanent en absence des sources de chaleur, l'équation de la chaleur s'écrit : 1

( ) 0 ( ) 0d dT d dT

r rr dr dr dr dr

En faisant une première intégration on obtient : 1CdTdr r

et en procédant à une deuxième intégration on aboutit à la distribution de la température dans le cylindre : T(r)=C1ln(r) + C2.On détermine les valeurs des constantes à partir des conditions aux limites : T(r1)=T1, et T(r2)=T2. T1=C1ln(r1) + C2 et T2=C1ln(r2) + C2 T1 T─ 2= C1.ln(r1/ r2)

1 21

1 2ln( / )T T

Cr r

1 22 1 1

1 2

ln( )ln( / )

T TC T r

r r

Et finalement 1 21 1

1 2

( ) ln( / )ln( / )

T TT r r r T

r r

Le flux de Chaleur : 2dT

Q rLdr

1 2

2 1

2 ( )ln( / )

L T TQ

r r

1 2

cyl

T TQ

R

2 1ln( / )2cyl

r rR

L

Cette relation peut être écrite aussi sous la forme

avec

la résistance thermique du cylindre donc on obtient le schéma électrique suivant :

2 1ln( / )2cyl

r rR

L

5.5 Cylindre creux multicouchesC’est le cas pratique d’un tube recouvert d’une ou plusieurs couches de matériaux différents .

Q

Q

Ce qui peut être représenté par le schéma en résistance suivant:

6. La conduction en régime permanent avec sources de chaleur

Il s'agit de génération thermique volumétrique causée par la conversion d'une autre forme d'énergie en chaleur à l'intérieur du système étudié :• Fil chauffant; Dissipation thermique d’un appareil;• Réaction chimique ou biologique;• Matière radioactive

Équation de diffusion générale pour une génération constante de chaleur, q' 2

2 0d T

qdx

(Cas du mur plan)

(Cas du Cylindre)1

( ) 0d dT

r qr dr dr

En effectuant une analyse par séparation des variables et intégration double sur la variable indépendante (r), une expression générale est obtenue.

(Cas du mur plan)

(Cas du Cylindre)

21 2( )

2q

T x x C x C

21 2( ) ln( )

4q

T r r C r C

Et on doit appliquer les conditions aux frontières appropriées :On peut spécifier les températures de surfaces; On peut prescrire un coefficient de convection; ou imposer un flux de chaleur.

A 2-kW resistance heater wire whose thermal conductivity is k = 15 W/m · °C has a diameter of D = 4 mm and a length of L =0.5 m, and is used to boil water (Fig.). If the outer surface temperature of the resistance wire is Ts =105°C, determine the temperature at the center of the wire.

EXAMPLE Centerline Temperature of a Resistance Heater

7. Conduction unidirectionnelle en régime variable (Milieu à température uniforme)

Causes de la transition• changement de température à une frontière (trempe)• changement de flux à une frontière

Durée de la transition• Le mot transition indique un transit d'un état permanent vers un autre• Si les conditions aux frontières sont maintenues suffisamment longtemps ou si le système réagit très rapidement, un autre état permanent peut être atteint• Si les conditions sont à nouveau modifiées avant l'atteinte de l'état permanent, le système cherchera un nouvel équilibre qui satisfait les nouvelles conditions

On va étudier le transfert de chaleur vers un milieu à température uniforme, ce qui est a priori contradictoire car il est nécessaire qu’il y ait un gradient thermique pour qu’il se produise un transfert de chaleur. Cette approximation du milieu à température uniforme peut néanmoins être justifiée dans certains cas que l’on va préciser.

Caractéristiques de la méthode du milieu uniforme•Méthode relativement simple mais limitée•Hypothèse que tout le solide est à température uniforme•Équivalent d'une conduction thermique infinie et de flux nul dans le solide•Valide lorsque la résistance thermique convective, Rcv , est beaucoup plus grande que la résistance thermique de conduction, RCd

Cas de la trempe Immersion d'un solide à Ti dans un fluide plus froid à T∞

on peut écrire le bilan thermique de cette bille entre deux instants t et t + dt :

s stQ Q donc on peut écrire

0( )dT

hS T T cVdt

0 0 0( ) ( )i

T t

T

hS dT dT hSdt dt

cV T T T T cV

0

0i

T T hSLn t

T T cV

Donc on obtient 0

0

hSt

cV

i

T Te

T T

on appelle hScV

constante du temps

0

0

t

i

T Te

T T

donc on peut écrire

Il est toujours intéressant en physique de présenter les résultats sous forme adimensionnelle, deux nombres adimensionnels sont particulièrement important en régime variable :

Le nombre de Biot:

résistance thermique interne1résistance thermique externe

CL SBi

hS

CL : Longueur caractéristique du corps Lc=V/S donc Bi=hLc/λ

Le calcul précédent est justifié si Bi<0.1.Le nombre de Fourier : Fo=at/(LC)2 ou temps adimensionnel.

Dans ce cas on peut écrire l'équation de l'évolution temporelle :

0

0

Bi Fo

i

T Te

T T

Le Chapitre est terminé