ELE2611 Classe 5 - Filtres analogiques linéaires III

Introduction

ELE2611 - Circuits Actifs

3 credits, heures/semaine: 4 - 0 - 5https://moodle.polymtl.ca/course/view.php?id=1756

Cours 5 - Filtres analogiques lineaires IIISynthese globale de filtres passifs et actifs

Instructeur: Jerome Le [email protected]

Version du 20 octobre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c©Le Ny, J. 1/38

https://moodle.polymtl.ca/course/view.php?id=1756

Introduction

Motivation pour ce cours

I Contrairement a la synthese en cascade, les methodes de synthese“globale” ou “directe” realisent une fonction de transfert entiere en uneetape.

I Diverses techniques de synthese globable existent, tant pour les filtresactifs que passifs (a la difference de l’approche en cascade, qui necessitedes cellules actives). En particulier, des methodes classiques permettent desynthetiser une fonction de transfert par un circuit passif en echelle.

I Pour l’ingenieur practicien, des prototypes passifs de filtres classiques(Butterworth, Tchebychev, etc.) approximant le passe-bas normalise sontrepertories dans des manuels et logiciels. On peut alors produire le filtredesire avec la denormalisation en frequence du circuit directement.

I Un point fort des circuits passifs en echelle est leur faible sensibilite auxvariations des composants. Ils ont aussi des avantages aux hautesfrequences, et pour le traitement des signaux de grande amplitude, mais ilsne sont pas vraiment implementables sous forme de circuits integres.

I Une des methodes de synthese globale de filtres actifs consiste simplementa remplacer les bobines problematiques dans un filtre passif par deselements actifs. Pour cela, on peut par exemple utiliser le gyrateur ducours 2 ou le convertisseur d’impedance generalise.


Introduction

Approches pour la conception de filtres

Choix du gabarit du

filtre

Normalisation en fréquence du gabarit (vers le passe-bas

normalisé)

Détermination d'une fonction de transfert satisfaisant le gabarit

normalisé

Dénormalisation en fréquence de

la fonction de transfert

Réalisation par un circuit de la fonction de

transfert dénormalisée

Filtre standards tabulés(Butterworth, Tchebyshev, etc.)Forme dévelopée et factorisée

Dénormalisation en impédance

Réalisation par un circuit de la fonction de

transfert normalisée

Tables de circuitsprototypes

disponibles (passifs, à simuler si besoin)

Dénormalisation en fréquence du circuit (transformation de

composants)

Plutôtsynthèse en cascade

d'un circuit actif

approche desynthèse globale

circuit final à vérifier et tester

ce cours


Introduction

Choix de type de filtre en fonction de la frequence

1Hz

10 102 103 104 105 106 107 108 109 1010 10111 MHz 1 GHz

Frequency, Hz

Discrete analog active RC filters

Switched-capacitor active RC filters

Integrated analog active filters

Passive filters

Distributed(waveguide) filters

[D’apres Schaumann et al., 2010]I Pour les filtres actifs, les limites dependent des composants actifs utilises

(AO et OTA : amplificateurs operationnels a transconductance)


Introduction

Outline

Realisations passives de fonctions de transfertPrototypes passifs de filtres passe-bas en echelle et denormalisationApercu de synthese de fonction de transfert par circuits passifs en echelle

Synthese globale de filtre actifsConvertisseur d’impedance generalise et simulation de circuits en echelleSynthese globale par modeles d’etat


Introduction

Realisations passives de fonctions de transfert

Prototypes passifs de filtres passe-bas en echelle et denormalisation

Outline




Introduction



Fonctions de transfert bilineaires

=+

Z1, Y1

Z2, Y2

C1

R1

R2C2Vi Vo

+

-

Vo(s)

Vi (s)=

Z2

Z1 + Z2=

Y1

Y1 + Y2

Yi = Gi + Ci s

⇒ Vo(s)

Vi (s)=

G1 + C1s

(G1 + G2) + (C1 + C2)s

I Zero a −1/R1C1 (a gauche du plan s necessairement).

I Pole a −(G1 + G2)/(C1 + C2) (stable necessairement).


Introduction



Circuits en echelle

Z1

Z2

Z3

Z4

+

-

VoutVin

+

-

branchesen parallèle

branchesen série

I Un certain nombre de techniques classiques existent pour synthetiser unefonction de transfert Vout(s)/Vin(s) a partir de circuits passifs en echelle.

I On augmente l’ordre du filtre en ajoutant des niveaux.I On cree des zeros de deux facons, qui coupent la transmission du signal :

I Zi =∞ dans une branche serie.I Zi = 0 dans une branche parallele.

=+

Rs

C1

L2

C3

L4

C5

L6

C7 Rl Vout

+

-

Vin

Ex: Filtrepasse-basd'ordre 7


Introduction



Sections productrices de zeros

=+Vin

Rs

C1

L2

C3

L4

C4

C5

L6 C7

L7

C8

Rl Vout

+

-

R9

C9

R6

A partir de l’expression de Zi (s) pour les sections elementaires suivantes, onvoit immediatement que

I Un condensateur en parallele ou une bobine en serie creent un zero al’infini

I Un condensateur en serie ou une bobine en parallele creent un zero a 0I Un circuit LC resonnant parallele en serie, ou serie en parallele creent une

paire de zeros imaginaires s = ±jω0, ou ω0 est la freqence de resonnance.I Un circuit RC ou RL parallele en serie, ou serie en parallele creent un zero

a s = a < 0.

[N.B. : l’impedance Z(s) d’un circuit RC a ses poles et zeros reels negatifs, etcelle d’un circuit LC a ses poles et zeros imaginaires purs].


Introduction



Circuits en LC echelle

=+

Z1

Z2

Z3

Z4

Rs

Rl

+

-

VoutVin

Circuit LC en échelle

I Sidney Darlington a publie en 1939 un ensemble de methodes quipermettent de realiser une large gamme de fonctions de transfert a partird’un quadripole LC (donc sans perte) en echelle, termine par une ou deuxresistances (on peut avoir Rs = 0 ou Rl =∞ sur le schema).

I Si Rs 6= 0 et Rl 6=∞, on obtient une plus faible sensibilite de la fonctionde transfert aux variations de composants, en comparaison avec les cas Rs

ou Rl absent.

I Ces methodes touchent a des notions fondamentales de theorie dessystemes. Nous en donnerons juste un petit apercu.


http://en.wikipedia.org/wiki/Sidney_Darlington

Introduction



Prototypes de filtres approximant le passe-bas normalise

I En pratique des tables (ou logiciels) donnent des prototypes de filtrespassifs approximant le passe-bas normalise (Butterworth, Tchebychev,etc.), comme pour les fonctions de transfert. Typiquement des circuits deDarlington (LC en echelle avec deux resistances).


Introduction



Prototypes de filtres approximant le passe-bas normalise (suite)

I N.B. : Les filtres de Butterworth et Tchebychev ont tous leurs zeros al’infini, mais les prototypes de filtres elliptiques ont des sections LCresonnantes produisant les zeros finis necessaires.


Introduction



Exemple de filtre elliptique

I Les sections LC des branches serie produisent les zeros finis dans la banded’arret (fz = 1/(2π

√LC)).

I Les sections C des branches paralleles produisent des zeros a l’infini(augmentation du degre relatif entre denominateur et numerateur).

I Ce filtre passe-bas a deja ete denormalise pour avoir fp = 1 MHz.


Introduction



Denormalisation de filtres prototypes

I A partir des circuits prototypes, approximant le passe-bas normalise pourlequel ωp = 1 rad/s, on peut effectuer

I Une denormalisation en frequence, sans repasser par la fonction detransfert.

I Une denormalisation en impedance (cf. cours 4), par exemple pour ajusterla resistance de charge Rl a la valeur desiree.

I La denormalisation en frequence s’effectue directement par substitution decomposants dans les branches du circuit en echelle :

I Remplacer les bobines Z(s) = Ls et les condensateurs Y (s) = Cs duprototype normalise par des composants Z(s) = Lf (s) et Y (s) = Cf (s), ous = f (s) est une des tranformations du cours 3

I Les resistances restent inchangees.

I Exemple : pour la transformation passe-bas → passe-bande s =s2+ω2

0Bs

unebobine d’impedance Ls est remplacee par un circuit d’impedance

Z(s) = LB

s +Lω2

0Bs

, i.e., une bobine d’inductance L/B en serie avec uncondensateur de capacite B/(ω2

0L).


Introduction



Recapitulatif sur la denormalisation de prototypes de filtres

I Denormalization en frequence (exercice : retrouver ce tableau)

L

C

Prototype passe-bas normalisé

s

Passe-bas

s = s/!p

L/!p

C/!p

Passe-haut

s = !p/s

1

L!p

1

C!p

Passe-bande

s =s2 + !2

0

Bs

C

B

B

!20C

Coupe-bande

s =Bs

s2 + !20

BL

!20

1

BL

1

BCBC

!20

B

!20L

L

B

I Denormalization en impedance par un facteur α :I Utile pour changer les composants passifs vers des valeurs plus commodes.I Multiplier toutes les resistances par α.I Multiplier toutes les inductances par α.I Diviser toutes les capacites par α (afin de multiplier 1

Cspar α).


Introduction



Exemple

I Concevoir un filtre passif passe-bande en echelle avec les specificationssuivantes

I Resistance de source et de charge : 50 Ω.I Augmentation d’attenuation aux hautes frequences : 60 dB/decadeI Frequence centrale de la bande passante : 230 kHzI Bande passante ”optimalement plate” avec une largeur de bande de 28 kHzI Attenuation maximale de 0.5 dB dans la bande passante


Introduction


Apercu de synthese de fonction de transfert par circuits passifs en echelle

Outline




Introduction



Synthese de circuits en echelle

I Comment les circuits prototypes en echelle donnes dans les tables oulogiciels sont-ils concus ?

I Il existe plusieurs techniques de synthese de fonctions de transfert par descircuits passifs en echelle, developpees jusque dans les annees 70-80.

I Variations suivant la topologie utilisee. Le plus souvent une ou deuxterminaisons avec resistance, et un quadripole LC au milieu.

Quadripôle LC1 2

Rs

Rl

+

-

Vi

+

-

Vo

I1 I2

Zin(s)

I La configuration de Darlington avec deux resistances entourant unquadripole LC resulte en une realisation de fonction de transfert peusensible aux variations des composants.

I Vous seriez amene a utiliser ces methodes (ou leur impementationlogicielle) si la topologie que vous recherchez n’est pas tabulee, parexemple si Rs 6= Rl .

I Nous allons survoler une de ces methodes, peut-etre la plus importante.


Introduction



Methode de synthese de Darlington : circuit LC entre deux resistances

Quadripôle LC1 2

Rs

Rl

+

-

Vi

+

-

Vo

I1 I2

Zin(s)

I Idee : ramener le probleme de realisation de H(s) = Vo (s)Vi (s)

a celui de la

realisation d’une impedance Zin(s) de circuit LC termine par Rl , pourlequel des methodes sont disponibles.

I Puissance moyenne (en R.P.S.) dissipee dans la charge : P0(jω) = |Vo (jω)|2Rl

I En R.P.S., la puissance moyenne fournie au port 1 est egale a Po , car lecircuit LC ne dissipe pas d’energie

P1(jω) = Re[Zin(jω)]|I1(jω)|2 = Re[Zin(jω)]| |Vi (jω)|2

|Rs + Zin(jω)|2

= Po(jω) =|Vo(jω)|2

Rl

⇒|H(jω)|2 =

∣∣∣∣Vo(jω)

Vi (jω)

∣∣∣∣2

=Re[Zin(jω)]Rl

|Rs + Zin(jω)|2 .


Introduction



Methode de synthese de Darlington (2)

I Puissance maximum transferable par la source : Pa(jω) = |Vi (jω)|24Rs

I Maximum atteint pout Zin(jω) = Rs (impedances adaptees, cf. ELE1600A)

I Definition du coefficient de transmission :

|τ(jω)|2 =P0(jω)

Pa(jω)=

4Rs

Rl

|Vo(jω)|2

|Vi (jω)|2 =4Rs

Rl|H(jω)|2 ≤ 1 (circuit passif)

I Coefficient de reflection : |ρ(jω)|2 = 1− |τ(jω)|2. Donc

|ρ(jω)|2 = 1− 4Rs

Rl

Re[Zin(jω)]Rl

|Rs + Zin|2= 1− 4Rs

Re[Zin(jω)]

|Rs + Zin|2

i.e., ρ(jω)ρ(−jω) =|Rs − Zin(jω)|2

|Rs + Zin(jω)|2 =Rs − Zin(jω)

Rs + Zin(jω)

Rs − Zin(−jω)

Rs + Zin(−jω)

⇒ ρ(s) = ±Rs − Zin(s)

Rs + Zin(s)

I ρ(s) est determine par la contrainte |ρ(jω)|2 = 1− 4Rs |H(jω)|2/Rl , puisune etape de factorisation spectrale produisant ρ(s) (hors programme)


Introduction



Methode de synthese de Darlington (3)

I Finalement on doit realiser l’impedance suivante avec le circuit LC + Rs :

Zin(s) = Rs1− ρ(s)

1 + ρ(s)ou Zin(s) = Rs

1 + ρ(s)

1− ρ(s).

avec ρ(s) une fonction determinee a partir des H(s), Rs et Rl specifes.I Reste a realiser un de ces Zin(s) par un quadripole LC termine par Rl .I Nous n’etudierons pas cette question formellement, mais illustrons les

possibilites par un exemple.I Supposons que la fonction de transfert a realiser est H(s) = 1/D(s), ou

D(s) est un polynomes dont les racines sont a gauche du plan complexe(ex : Butterworth, Tchebychev, . . . ).

I Tous les zeros de H(s) sont a l’infini, et la fonction de transfert peut etrerealisee par un circuit de Cauer (premiere forme)

+

-

Vi

+

-

Vo ou+

-

Vi

+

-

VoRlC1

L2 L1

C2 Rl

Rs Rs


Introduction



Methode de synthese de Darlington (4) : realisation de Cauer

I La methode de Cauer pour synthetiser le circuit precedent repose surl’expression de Zin(s) en fraction continue

Zin(s) = k1s +1

k2s +1

k3s + · · ·

ou Zin(s) =1

k1s +1

k2s +1

k3s + · · ·

, ki > 0

I Par exemple pour le premier cas Zin(s) = k1s + 1Y2(s)

, Y2(s) = k2s + 1Z3(s)

,. . . , a l’interpretation

k1 H

Y2

k1 H

k2 F

Z3


Introduction



Methode de synthese de Darlington (5) : Exemple

I Realiser H(s) = Ks3+2s2+2s+1

= KD(s)

, filtre de Butterworth d’ordre 3, a l’aided’un circuit LC de Darlington, avec Rl = Rs = 1Ω.

I On a necessairement K = 1/2 : gain statique qui se lit immediatement surle circuit de Darlington.

I D’autre part

|ρ(jω)|2 = 1− 4Rs

Rl|H(jω)|2 = 1− 1

1 + ω6=

ω6

1 + ω6

=(−s2)3|s2=−ω2

D(s)D(−s)|s=jω=

s3(−s)3|s=jω

D(s)D(−s)|s=jω

implique ρ(s) = s3

D(s).

I Apres calcul, une des deux solutions pour Zin(s) est

Zin(s) =2s2 + 2s + 1

2s3 + 2s2 + 2s + 1


Introduction



Methode de synthese de Darlington (5) : Exemple (suite)

I Comme lims→∞ Zin(s) = 0, on cherche la deuxieme forme de fractioncontinue

Zin(s) =1

k1s +1

k2s +1

k3s + · · ·

, ki > 0

I Calculs par divisions successives (inverser la fraction restante chaque fois) :

Yin(s) =2s3 + 2s2 + 2s + 1

2s2 + 2s + 1= s +

s + 1

2s2 + 2s + 1,

2s2 + 2s + 1

s + 1= 2s +

1

s + 1

⇒Zin(s) =1

s +1

2s +1

s + 1

⇒ C1 = 1F , L2 = 2H,C3 = 1F ,Yl = 1S

I N.B. : Ici on obtient Yl = 1 = 1/Rl , compatible avec notre specification.En general, pour Rl 6= Rs , il se peut qu’une des deux solutions pour Zin(s)ne fonctionne pas.


Introduction

Synthese globale de filtre actifs

Outline




Introduction


Techniques de synthese globale de filtre actifs

Parmi les techniques de synthese directe de filtres actifs, nous allons couvrir lesdeux suivantes :

I Simulation de circuits passifs en echelle

I On part des circuits synthetises dans la section precedente, puis on cherchea supprimer les bobines a l’aide de composants actifs

I Surtout utile pour les filtres a frequences moderees, ou les bobines seraientgrosses et les composants actifs se comportent bien

I Synthese globale par filtre a variable d’etat

I Generalise le filtre d’ordre 2 a variable d’etat rencontre au cours 4

I Avantage : methode completement generale pour synthetiser n’importequ’elle fonction de transfert, et applicable sans difficultes. Grande libertedans le reglage des parametres.

I Desavantage : nombre de composants necessaires relativement grand(jusqu’a n + 2 AO pour un filtre d’ordre n)


Introduction


Convertisseur d’impedance generalise et simulation de circuits en echelle

Outline




Introduction



Convertisseur d’impedance generalise

+-

+-

Z1

Z2

Z3

Z4

Z5

A

Z

A

Z =Z1Z3Z5

Z2Z4

1

2

3

4

Bobine miseà la terre

Applications

Résistance négativedépendant de la

fréquence (FDNR)

VA = V2 = V4 =: V , I =V − V1

Z1

V1 − V

Z2+

V3 − V

Z3= 0,

V3 − V

Z4+−V

Z5= 0

⇒ Z =V

I=

Z1Z3Z5

Z2Z4

2 cas importants :

I Tous les Zi resistances, sauf Z2 (ou Z4)condensateur → bobine simulee

Z =R1R3R5

R4(1/jωC2)= jωL, L =

R1R3R5C2

R4

I Tous les Zi resistances, sauf Z1 et Z5

condensateurs → FDNR

Z =(1/jωC1)R3(1/jωC5)

R2R4= − 1

ω2D,

avec D =R2R4C1C5

R3


Introduction



Bobines flottantes et FDNR

I Le CIG permet donc de simuler, entre autres, des bobine Z(s) = Ls et desFDNR Z(s) = 1

Ds2 , dans les deux cas avec un des terminaux mis a la terre.

I Les bobines dont aucun terminal n’est mis a la terre peuvent aussi etresimulees par des circuits RC actifs, mais ces derniers sont plus complexeset moins performants.

I En presence de telles bobines flottantes, et si les condensateurs sont mis ala terre, on peut contourner le probleme grace a la transformationsuivante :

I Diviser toutes les impedances par jω (ou par s) ne change pas une fonctionde transfert qui est un rapport de tensions ou de courant (sans unite).

I Par cette division : les resistances deviennent des capacitances, les bobinesde resistances, et les condensateurs des FDNRs

R → R

jω=

1

jωR−1, L→ jωL

jω= L ,

1

jωC→ 1/jωC

jω= − 1

ω2C


Introduction



Suppression d’une bobine flottante a l’aide d’un FDNR : illustration

R → R

jω=

1

jωR−1, L→ jωL

jω= L ,

1

jωC→ 1/jωC

jω= − 1

ω2C

=+ C

LR

=+ C

LR-1+

-

ViVi Vo

+

-

Vo

I Les deux circuits ci-dessus ont la meme fonction de transfert Vo (s)Vi (s)

I Dans certains cas, cette transformation ne suffit pas (ex : passe-bande), etil faudra vous reporter a la litterature sur la simulation de circuits enechelle.


Introduction



Exemple

I Le circuit suivant est un prototype passe-bas normalise (i.e., avec ωp = 1)de filtre elliptique d’ordre 5.

=+

+

-

1 Ω

1 Ω 1.02789 H

L1L2

C2

L3L4

C4

L5R

R VoVi0.15134 H

1.21517 F

0.44083 H

1.63179 H 0.81549 H

0.93525 F

I Denormaliser ce circuit pour obtenir un passe-haut avec ωp = 2π× 300 Hzet R = 100 kΩ.

I Donner une implementation active de ce circuit n’utilisant pas de bobine.


Introduction


Synthese globale par modeles d’etat

Outline




Introduction



Variables d’etat

I Probleme : synthetiser une fonction de transfert (sans zero pour l’instant)

H(s) =Y (s)

U(s)=

1

sn + an−1sn−1 + . . .+ a0

I D’apres MTH1115, cette fonction de transfert correspond a l’EDO lineaire

y (n) + an−1y (n−1) + . . .+ a1y + a0y = u

qui se transforme en systeme d’EDO suivant (prendrex0 = y , x1 = y , . . . , xn−1 = y (n−1))

x0 = x1

x1 = x2

...

xn−1 = −an−1xn−1 − . . .− a1x1 − a0x0 + u

I x0, x1, . . . , xn−1 sont n variables d’etat du systeme


Introduction



Realisation en schema bloc

I Le systeme precedent

x0 = x1, x1 = x2, . . . xn−2 = xn−1

xn−1 = −an−1xn−1 − . . .− a1x1 − a0x0 + u

se realise immediatement a l’aide de n integrateurs et une combinaisonlineaire supplementaire

1

s

1

s

1

s

x0 = y1

s

x1 = x0x2xn2xn1+u xn1

a0an1 a1

- --

I Pour une implementation, on realise plus facilement des integrateursinverseurs Vo = − 1

RCsVi , ce qui nous oblige a une petite variation


Introduction



Realisation par circuit actif (cas n impair)

1

RCs 1

RCs 1

RCs 1

RCs

Vo

V1

= sRCVo

V2

V3

V4

Vi-+

-+Va

(0 V )

Ri

Ra

Ra R1

R2

R3

R4

C4

R0

Va = −(

Ra

R1V1 +

Ra

R3V3

)Somme a l’AO d’entree :

Vi

Ri+

Va

Ra+ sC4V4 +

V4

R4+

V2

R2+

Vo

R0= 0

Vi

Ri+

(1

R0+

RC

R1s +

(RC)2

R2s2 +

(RC)3

R3s3 +

(RC)4

R4s4 + (RC)4C4s5

)Vo = 0

I On peut donc ajuster tous les coefficients de la fonction de transfert


Introduction



Filtres a variable d’etat : forme generale

I Dans le cas general (avec numerateur pas necessairement constant)

H(s) =Y (s)

U(s)=

cn−1sn−1 + . . . c1s + c0

sn + an−1sn−1 + . . .+ a0

On realise X0 comme avant X0(s)U(s)

= 1sn+an−1sn−1+...+a0

, puis

Y (s) = cn−1sn−1X0 + . . . c0X0 = cn−1Xn−1 + . . .+ c0X0

1

s

1

s

1

s

1

s

x1 = x0x2xn2xn1+u xn1

a0an1 a1

- --

c0

x0

c1cn1

y

++

+

I Un AO supplementaire pour la combinaison lineaire en sortieI Forme canonique commandable d’une fonction de transfert


Introduction



Exemple

I Concevoir un filtre de Tchebychev a l’aide d’un circuit a variable d’etat,avec les specifications suivantes

I Bande passante 1000 rad/sI Amax = 0.1 dBI Amin = 40 dB pour ω ≥ 6000 rad/s


Introduction



Conclusion

I Nous avons presente dans cette serie de cours quelques demarchesclassiques pour la conception de circuits analogiques (actifs ou passifs)realisant des fonctions de filtrage de base : depuis le choix d’un gabarit,jusqu’a l’utilisation de methodes de synthese.

I Recapitulatif sur les choix technologiques :I L’utilisation des AO est possible pour des frequences pas trop elevees. Nous

verrons au prochain cours la raison de cette limite, qui est la chute du gainen boucle ouverte quand la frequence augmente.

I Les methodes couvertes ici sont assez generales mais ont certaines limites,en particulier pour la fabrication de circuits integres monolithiques (parexemple en raison de la trop grande precision requise pour les produits RC).D’autres techniques (filtres gm-C , a capacites commutees, . . . ) sontutilisees dans ce cas (application par exemple aux systemes decommunication). Il y a encore de la recherche dans ce domaine.

I A tres hautes frequences (ou pour un faible bruit), on doit utiliser desbobines, mais elles peuvent alors etre de petite taille et posent donc moinsde problemes.

I Les choix de conception pratiques sont aussi generalement dictes par desconsiderations de cout, de complexite, et surtout de robustesse auxvariations des parametres des composants. Le prochain cours nous donneraun apercu des aspects non ideaux des composants utilises jusqu’ici.


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