Cliquez pour diter le format du texte-titre

Prsentation des quations diffrentielles

Une quation diffrentielle de la fonction y (x) est une quation dans la quelle est prsente:

- la fonction y

- la fonction drive y

- la fonction drive seconde y

Dans une quation diffrentielle du premier ordre, sont prsentes uniquement la fonction y et la fonction drive y

Dans une quation diffrentielle du second ordre, sont prsentes la fonction y , la fonction drive y et la fonction drive seconde y

Exemples:

y + 3 y = 0 quation diffrentielle du premier ordre

y -5 y = 0 quation diffrentielle du premier ordre

y + y + y = 0quation diffrentielle du second ordre

y - 9 y = 0 quation diffrentielle du second ordreRsolution dquation diffrentielle du premier ordre du type y'+ ay = 0

Une quation diffrentielle du premier ordre peut se mettre sous la forme :

y' + a y = 0

La solution gnrale est :y = k e-ax

k est un nombre quelconqueExemple 1:

Rsoudre l'quation diffrentielle y' + 5y =0

Comme a = 5 ,la solution gnrale de cette quation est:

y(x) = k e-5x k tant un nombre

Voici la reprsentation graphique de solutions correspondant diffrentes valeurs de kExemple 2:

Rsoudre l'quation diffrentielle y' -2 y = 0

Comme a = -2 ,la solution gnrale de cette quation est:

y(x) = k e2x k tant un nombre

Voici la reprsentation graphique de solutions correspondant diffrentes valeurs de kSolution particulire d'une quation diffrentielle du premier ordre vrifiant des conditions initiales donnes.

Il y a une infinit de solutions l'quation diffrentielle du premier ordre y' + a y = 0 puisqu'il il y a une infinit de valeurs de k telle y = k e-ax

Pour connatre la valeur de k, il faut connaitre une indication supplmentaire : une condition initiale :Il faut connaitre la valeur y(0) ou de y'(0).Exemple 1: Rsoudre l'quation diffrentielle y' + 5y =0 avec y(0) = 2

Comme a = 5 donc la solution gnrale de cette quation est y(x) = k e-5x

k est un nombre que nous pouvons dterminer.

y(0) = k e-5 0 = k e0 = k 1 = k =2

La solution avec condition initiale de l'quation est : y(x) = 2 e-5x

Exemple 2: Rsoudre l'quation diffrentielle y' -2 y = 0 avec y'(0) = 3

Comme a = -2 donc la solution gnrale de cette quation est y(x) = k e2x

k est un nombre que nous pouvons dterminer.

y'(0) =2 y(0) = 2k e20 = 2k e0 = 2k 1 = 3 d'o k = 1,5

La solution particulire de l'quation est : y(x) = 1,5 e2x