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Solution d'une quation diffrentielle du second ordre du type y"+ wy =0

La solution gnrale de l'quation diffrentielle est :

y(x) = A cos (wx)+B sin(wx)

A et B sont des nombresExemple : Rsoudre l'quation diffrentielle y'' + 9y = 0

Nous avons w = 9 donc w = (et aussi -)

La solution gnrale de l'quation diffrentielle est :

y(x) = A cos (3x)+B sin(3x)

A et B sont des nombres

Voici quelques solutions pour diffrentes valeurs de A et de B

Il y a une infinit de solutions l'quation diffrentielle du second ordre

Pour connatre les valeurs de A et de B, il faut connaitre deux indications supplmentaires : deux conditions initiales , la valeur y(0) et de y'(0).

La solution avec conditions initiale de l'quation diffrentielle est :

y(x) =cos (3x) +2 sin(3x)

y(x) = 2 cos (3x)+3 sin(3x) avec A =2 et B = 3

y(x) = cos (3x) avec A =1 et B = 0

y(x) = 4 cos (3x)- sin(3x)avec A =4 et B = -1Exemple : Rsoudre l'quation diffrentielle y'' + 9y = 0 avec y(0)= 1 et y'(0)= 6 La solution gnrale de l'quation diffrentielle est :

y(x) =A cos (3x)+B sin(3x)

A et B sont des nombres que nous pouvons dterminer.

Nous calculons dans un premier temps y'(x)

y'(x) = -3A sin (3x) + 3B cos(3x)

Nous avons donc

y(0) =A cos (30)+B sin(30) =A cos (0)+B sin(0) =A1+B0 = A = 1

y'(0) = -3A sin (30) +3B cos(30) = -3A sin (0)+ 3B cos(0) =-3A0+3B1 =3B = 6

Nous aboutissons : A =1 et B = 6/3 = 2