EXERCICE 62.

(A) ln(x+1) = ln(x-1) + ln(x+5) ,est de domaine D sur lequel l'équation est définie ;

(A) s'écrit également ln (x+1) = ln(x-1)(x+5) ,sur D ;

composons par la fonction exp ,à gauche et à droite de l'équation , expln (x+1) =exp ln(x-1)(x+5),

d'où , (x+1) = (x-1)(x+5) ; x+1 = x² +4x -5 ; ce qui s'écrit encore , x² + 3x -6 = 0 ,équation du second degré ;

Delta = 3² - 4 .1 .(-6) = 9 -24 = -15 <0 , l'équation n'a donc pas de solution et (A) est vraie .

(B) Si ln(2x-1) - ln (1+x) =< ln 3 alors 2x-1 =< ln3 ; Si ln(2x-1) - ln (1+x) =< ln 3 alors ln(2x-1)/(1+x) =< ln3 ;

je passe à l'exponentielle , (2x-1)/(1+x) =< 3 ; (2x-1)=< 3(1+x) ;soit 3x+4 =>0 ,ou x>-4/3 ce qui n 'implique pas 2x-1 =< ln3 ;

qui s'écrit x=< (ln3+1)/2 . (B)est donc fausse .

(C) Si x>1/2 ,alors ln(2x-1) - ln (1+x) =< ln 3 ; on constate , ln(2x-1) - ln (1+x) =< ln 3 donne (2x-1)/(1+x) =< 3 ;

pourtant (2x-1)=<3(1+x) est négatif pour certaines valeurs de x ,comme x=-2 alors 3(1+x)=-3<0<2x-1 ;(C)est donc fausse .

(D) Si

je résous ,x² - x +2>0 ou en calculant Delta=(-1)² -4.1.2 =-7 <0 ,ainsi tout x vérifie ce qui doit l'être dans (D) si x appartient au domaine,

qui est D={x, x>1/3}

;par conséquent (D) est vraie .

(E) Si x>2 alors ln racine(3x-1)< ln(x+1) ,je m'aide de la question précédente où en fait l'implication d'après la démonstration

est vraie dans les deux sens , il faut donc que x>1/3 ce qui est vraie si x>2 ;donc (E) est vraie ,mais pas la réciproque .