chapII_cours5

7/23/2019 chapII_cours5

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IV Etude d’une suite arithmético-géométrique

Définition : Une suite (un) est dite arithmético-géométrique s'il existe deux nombres a 

et b tels que pour tout entier n, on a : 1n nu au b

  . 

+1

=  × +  

Pour étudier ces suites on utilise une suite auxiliaire géométrique.

Exemple :

Un investisseur dépose 5000 € sur un compte rémunéré à 3% par an. Chaque année

suivante, il dépose 300€ de plus. On note (un) la somme épargnée à l'année n.

On a alors : 1  1, 03 300

n nu u

   et 0

  5000u    

La suite (un) est arithmético-géométrique.

1) À l'aide du tableur, calculer la somme totale épargnée à la 10ème année.

2) Prouver que la suite (v n

) définie pour tout entiern

 par 10000n n

v u

 est géométrique etdonner sa raison et son premier terme.3) Exprimer v n en fonction de n.4) En déduire un en fonction de n. Retrouver alors le résultat de la question 1 par calcul.5) Etudier les variations de (un).6) Calculer la limite de (un).

1) Avec le tableur, on obtient :

La somme totale épargnée à la 10ème année est égale à environ 10158,75 €. 

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2) on a 10000n n

v u  donc

1 1   10000

1, 03 300 10000

1, 03 10300

1, 03 10000

1,03

n n

n

n

n

n

v u

u

u

u

v

Donc (v n) est une suite géométrique de raison 1,03 et de premier terme

0 0  10000 5000 10000 15000v u .

3) Pour tout n, 15000 1, 03n

nv   .car  est géométrique donc = 0 × ()  

4) Pour tout n, 15000 1,03 10000n

nu   .car =  + 10000   =   − 10000 

On a alors : 10

10  15000 1,03 10000 10158,75u    

5) Pour tout n,

1

1

1

15000 1,03 10000 15000 1,03 10000

15000 1, 03 1, 03

15000 1, 03 1, 03 1

450 1, 03 0

n n

n n

n n

n

n

u u 

Donc la suite (un) est strictement croissante.

6) Comme 1,03 > 1, lim 1, 03n

n

 donc lim 15000 1, 03n

n

Et donc lim 15000 1,03 10000n

n

, soit :  limn

n

u

.

car 1  1, 03 300

n nu u

factorise par 1,03

car10000

n nv u

= 15000 × 1,03+1 − 10000 − 15000 × 1,03 + 10000

 1,03+1 = 1,03 × 1,03

 15000× 1,03 − 1 = 15000 × 0,03 = 450