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1/15 Fiche d’exercices 8 : Nombres complexes Mathématiques terminale S obligatoire - Année scolaire 2017/2018

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Fiche d’exercices 8 : Nombres complexes

Ecriture algébrique

Exercice 1 1. Donner l’écriture algébrique des nombres complexes ci-dessous :

2. On considère les deux nombres complexes 1z et 2z définis par :

iz 11 et iz 252

Déterminer l’écriture algébrique des nombres suivants : a. 21 zz b. 21 zz c. 21 2zz

d. 21 zz e. 2

3. Soit x un nombre réel. On considère le nombre complexe z défini par l’égalité : xiixz 12

a. Déterminer l’écriture algébrique du nombre complexe z. b. Pour quelle(s) valeur(s) de x, z est un nombre réel ? c. Pour quelle(s) valeur(s) de x, z est un nombre imaginaire pur ?

Exercice 2

Ecrire sous forme algébrique : i

Exercice 3

Déterminer le conjugué du nombre complexe suivant et l’écrire sous forme algébrique :

Résolution d’équations

Exercice 4 Résoudre dans ℂ les équations suivantes : a. 03 izz b. iizz 2 c. 012 ziz

d. iiz

e. 1z3iz2 f. iz4z3i2iz25z3

g. i43iz

g. izizz3 h. i31z

Exercice 5

Exercice 6

Résoudre les équations du second degré suivantes :

1. 05z6z2 2 2. 01zz2 3. 09z5z2

4. 0432 zz 5. 0102 zz 6. 0142 zz

Exercice 7 On considère sur ℂ l’équation suivante :

(E) 02824 23 zzz 1. Déterminer deux réels a et b tels que l’équation (E) s’écrive :

(E) 0.2 2 bzazz 2. Résoudre l’équation (E)

Exercice 8 Soit f la fonction définie sur ℂ par :

izizizzf 831432 23

1. Vérifier que pour tout nombre complexe z, 4322 2 zzizzf

2. Résoudre dans ℂ l’équation 0zf

Exercice 9

1. Dans ℂ on considère le polynôme 2562 zz ; déterminer ses racines. 2. Donner l’écriture algébrique du nombre complexe a et b définis par :

221 ia ; 221 ib 3. En déduire les solutions de l’équation :

0256 24 zz

Exercice 10

Exercice 11

Exercice 12

Exercice 13

Pour tout nombre complexe z différent de 1, on définit 1

On pose iyxz et iYXZ avec x, y, X et Y réels 1. Exprimer X et Y en fonction de x et y. 2. Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que Z soit réel. 3. Déterminer l’ensemble C des points M d’affixe z tels que Z soit imaginaire pur.

Exercice 14

Pour tout nombre complexe z différent de i, on définit iz

On pose iyxz et iYXZ avec x, y, X et Y réels 1. Exprimer X et Y en fonction de x et y. 2. Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que Z soit réel. 3. Déterminer l’ensemble C des points M d’affixe z tels que Z soit imaginaire pur.

Forme trigonométrique et exponentielle

Exercice 15

Calculer le module de chacun des nombres complexes donnés : 1. i31z1 2. i43z 2

3. i71z3 4. i35z 4

Exercice 16 Déterminer un argument de chacun des nombres complexes donnés :

1. i1z1 5. 2i6iz5

2. iz 2 6.i2

3. 2i6z3

4. i1i22z4 Exercice 17

On considère le nombre complexe : 1313 iz 1. Ecrire z² sous forme algébrique. 2. Déterminer le module et un argument de z². En déduire le module et un argument

3. Déduire de ce qui précède les valeurs exactes de : 12

4. Résoudre dans ℝ l’équation : 2xsin13xcos13

et placer les points images des solutions sur le cercle trigonométrique.

Exercice 18

Soit : 2

; i1Z2 ;

1. Mettre Z3 sous forme algébrique. 2. Déterminer le module et l’argument de Z1 et de Z2.

3. Ecrire Z3 sous forme trigonométrique. En déduire : 12

Exercice 19

Exercice 20

Exercice 21 Dans l’ensemble ℂ des nombres complexes, i désigne le nombre de module 1 et d’argument /2.

1. Montrer que i8i1 6

2. On considère l’équation (E) : i8z2 . a. Déduire de 1) une solution de l’équation (E).

b. L’équation (E) possède une autre solution ; écrire cette solution sous forme algébrique.

3. Déduire également de 1) une solution de l’équation (E’) : i8z3 . Exercice 22

Géométrie et nombres complexes Exercice 23

Exercice 24

Exercice 25

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct v,u,O .

On désigne par A, B, C et G les points du plan d’affixes respectives 1zA ,

3i2zB , 3i2zC et 3zG .

a. Réaliser une figure et placer les points A, B, C et G. b. Calculer les distances AB, BC et AC. En déduire la nature du triangle ABC. c. Calculer un argument du nombre complexe :

En déduire la nature du triangle GAC. Exercice 26

Exercice 27

Exercice 28

Déterminer les lieux de points décrits par le point M(z), où z est un nombre complexe :

1. izz 2 2. 4

iz 3. IRzz 122

4. iIRzz 122

Exercice 29

Exercice 30

Exercice 31

Exercice 32

Exercice 33

Exercice 34

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal v,u,O (unité graphique : 2cm),

on considère les points A et B d’affixes respectives 1zA et i3zB .

Soit la fonction f privé du point A dans P qui, à tout point M d’affixe z, associe le point M’ d’affixe z’ telle que :

i3ziz '

1. Soit C le point d’affixe i2zC .

Montrer qu’il existe un seul point D tel que f(D)=C. 2. Déterminer la nature du triangle ABC. 3. A l’aide de l’égalité (1), montrer que, pour tout M distinct de A et de B :

BMOM ' et MB,MA

2OM,u '

4. En déduire et construire les ensembles de points suivants : a. L’ensemble (E) des points M tels que l’image M’ soit située sur un cercle () de

centre O, de rayon 1. b. L’ensemble (F) des points M tels que l’affixe de M’ soit réelle.

Exercice 35

Soient A et B les points d’affixes respectives i1zA et i2zB .

A tout complexe z différent de A on associe le complexe z’ tel que :

i2zz '

a. Soit (E) l’ensemble des points M d’affixe z tels que z’ soit imaginaire pur. Montrer que B (E). Déterminer et construire l’ensemble (E).

b. Soit (F) l’ensemble des points M d’affixe z tel que 1z ' . Déterminer et

construire (F).

Problèmes de synthèse

Exercice 36

Exercice 37

Exercice 38

Exercice 39

Exercice 40

Exercice 41

Exercice 42

Exercice 43

Exercice 44

Exercice 45

Annales du baccalauréat Exercice 46 Antilles-Guyane - 22 juin 2015

Exercice 47 Métropole La réunion - 22 juin 2015

Exercice 48 Asie - 16 juin 2015

Exercice 49 Polynésie - 12 juin 2015

Exercice 50 Polynésie - 12 juin 2015

Exercice 51 Amérique du Nord - 2 juin 2015

Exercice 52 Nouvelle-Calédonie - 5 mars 2015

Exercice 53 Nouvelle-Calédonie - 17 novembre 2014

Exercice 54 Antilles-Guyane - 11 septembre 2014

Exercice 55 Métropole - 19 Juin 2014

Exercice 56 Centres étrangers - 12 Juin 2014

Exercice 57 Liban - 27 Mai 2014

Exercice 58 Pondichéry - 8 Avril 2014

Exercice 59 Polynésie – 5 Septembre 2017

Exercice 60 Métropole – 12 Septembre 2017

Exercice 61 Amérique du Sud– 21 Novembre 2017

Exercice 62 Nouvelle Calédonie– 28 Novembre 2017

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In: Revue française de sociologie. 1971, 12-3. pp. 295-334. · PDF fileodlvvhqw dshufhyrlu ¢ od irlv fh txl shxw hw fh txl qh shxw sdv ¬wuh dshu©x ¢ sduwlu gh fkdfxq ghv srlqwv

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