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Projet Personnel en LaboratoireModélisation d’avalanches
Lionel FIABANE
Laboratoire de Modelisation en Mecanique,
UMR CNRS 7607, Boıte 162,
Universite Paris 6, 75252 Paris France
– p.1
Plan de la présentation
Introduction
Équations de conservationPrésentation des équations de conservationgénéralesPrésentation des équations de conservation dans lecas d’un milieu granulaireCas de l’avalanche simple, puis de l’avalanchetournante
Simulation numériqueSchéma numériqueSimulation d’avalanches simples, puis d’avalanchestournantes
Conclusion
– p.2
Plan de la présentation
Introduction
Équations de conservationPrésentation des équations de conservationgénéralesPrésentation des équations de conservation dans lecas d’un milieu granulaireCas de l’avalanche simple, puis de l’avalanchetournante
Simulation numériqueSchéma numériqueSimulation d’avalanches simples, puis d’avalanchestournantes
Conclusion
– p.2
Plan de la présentation
Introduction
Équations de conservationPrésentation des équations de conservationgénéralesPrésentation des équations de conservation dans lecas d’un milieu granulaireCas de l’avalanche simple, puis de l’avalanchetournante
Simulation numériqueSchéma numériqueSimulation d’avalanches simples, puis d’avalanchestournantes
Conclusion
– p.2
Plan de la présentation
Introduction
Équations de conservationPrésentation des équations de conservationgénéralesPrésentation des équations de conservation dans lecas d’un milieu granulaireCas de l’avalanche simple, puis de l’avalanchetournante
Simulation numériqueSchéma numériqueSimulation d’avalanches simples, puis d’avalanchestournantes
Conclusion
– p.2
Introduction
Des équations générales ...
... appliquées au milieu granulaire ...nature particulière du milieumécanique des milieux continus sur un milieu discret
... moyennées selon le principe de Saint-Venant.intégrations transversescouches roulantes ou fixeséquations "shallow-water"
Modélisation de la vitesse et du coefficient de friction.
– p.3
Introduction
Des équations générales ...
... appliquées au milieu granulaire ...nature particulière du milieumécanique des milieux continus sur un milieu discret
... moyennées selon le principe de Saint-Venant.intégrations transversescouches roulantes ou fixeséquations "shallow-water"
Modélisation de la vitesse et du coefficient de friction.
– p.3
Introduction
Des équations générales ...
... appliquées au milieu granulaire ...nature particulière du milieumécanique des milieux continus sur un milieu discret
... moyennées selon le principe de Saint-Venant.intégrations transversescouches roulantes ou fixeséquations "shallow-water"
Modélisation de la vitesse et du coefficient de friction.
– p.3
Introduction
Des équations générales ...
... appliquées au milieu granulaire ...nature particulière du milieumécanique des milieux continus sur un milieu discret
... moyennées selon le principe de Saint-Venant.intégrations transversescouches roulantes ou fixeséquations "shallow-water"
Modélisation de la vitesse et du coefficient de friction.
– p.3
Équations générales
On considère le volume V(t) constituant une tranche d’épaisseur dx et delongueur L en y.Sa frontière S(t) est constituée dans le plan (x,z) d’ un ensemble de troissurfaces fixes (x,x+dx et z=0) et d’une surface mobile (h(x,t)).
x x+dx
y
z
x
L
h(x,t)PSfrag replacements
� ���� �����
� � ����
� � � ���
– p.4
Équations générales
On travaille en 2D.
On fait l’approximation que les champs
� ��� �����
auxquels ons’intéresse ne dépendent pas de y et leur variation s’exprime alors :
�� � � �
� ��� � ��� � � � �� � ��� �
� � ��� � � � � � � ��� ���
�� � �
� ��� � �� ��� � � � �� � � ��! ��"$#
– p.4
Équations générales
En utilisant les formes locales de conservation de la masseet de la quantité de mouvement on peut établir leséquations globales suivantes :
��
��
� ��� ��
� ��
�� ��� ��� � �� � �
��� �
�
��
��
� ��� ��� ��
� ��
�� � � �� � � � � ��� � � ��� ���
��
��
� �� ��� ��
� ��
�� � �� �� � � � � ��� � � �
��
� ��� � �� � ���
� � � � � � �� � �
– p.4
Équations appliquées au milieu granulaire
Écoulements sur des couches minces
Apparition d’une zone immobile et d’une coucheroulante
U
h(x,t)
z
Z(x,t)
R(x,t)
x
(a)
PSfrag replacements
� ����
���� � �� � � � � ���
� �
Z(x,t) x
z
h(x,t)
PSfrag replacements
� ���� ���
�� �� ����
� �� ��
�
– p.5
Équations appliquées au milieu granulaire
Après travail sur les conditions limites propres aux milieux granulaires eten notant
� ��� � ��� � � on obtient les équations :
��
��
� ��� ��
� ��
�� � ��� � � � � ���
��
��
� � ��� ��
� ��
�� � � � � � � � ��� � � � � � � � � � � � ��
� � ���
��
��
� � ��� ��
� ��
�� � � � � � � � ��� � � �
��
� ��� � � � ��
� ��� �� � ��� � ���
– p.5
Équations appliquées au milieu granulaire
Soit encore en utilisant une condition de Mohr-Coulomb :
��
��
� � ��� ��
� ��
�� � � � � � � � ��� � � � � � � ��
� � ��� � �
���� � � � �
� � � � � �
où
� ��
� �
�� � � � � � � ��� �
�� �
��
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
� �
��
� ��� � � � � �� � � � � � � ��� � �� � � � � � � � ��� � � � ���
– p.5
L’avalanche simple
On a dans le cas de l’avalanche simple :
� � � �� ���� � � �� �� ��� � � ��
et ��� � �� � ���
ce qui simplifie les équations en :
��������������
�������������
��
��
� ��� ��
� ��
�� � ��� � � ��
� ��
��
��
� � ��� ��
� ��
�� � � � � � � � ��� � �
�� � � � �
� � � � � �
où
� � �
��
� ��� �
�� �
��
� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � ��� �
��
��
� � � � � � � ���
� �
termes d’ordre supérieur
On définit
et on obtient le système
– p.6
L’avalanche simple
On définit
� � � �� �
��
���
� � � �� �
��� ���
� � � ��
���
� �� � � � � � ���
et on obtient le système
– p.6
L’avalanche simple
On définit
� � � �� �
��
���
� � � �� �
��� ���
� � � ��
���
� �� � � � � � ���
et on obtient le système
��������
�������� �
� �� �
� � � �� �
�
� �� �
� �� � � �
��� � � � �
� � � � � � �
– p.6
L’avalanche simple
En prenant une vitesse linéaire de gradient
�
constant � � � �
,
� � � � � � �� et
� � � � � � � �� , on obtient le système :
��������
���������
� � �� �
� � � �
� �� � � � � � � �� � � �
� � � � �
� � � �� �
� � �
� � �
où � est un facteur de dissipation.
– p.7
L’avalanche tournante
En gardant les mêmes notations et en prenant cette fois
� � � �� ���� � � �� �� ��� � � �� � � ��� � � � � �� � ���� � � �� � �� et
��� � �� � � ��� � � � � � � �� � �� � � ��� � � � � � � � �
, on obtient le nouveausystème :
��������
�������� �
� � �� �
� � � �� �
� � � � � � � � �
� �� � �
� �� � � �
� � � � �
� � � �� �
� � �
� � �
où � est un facteur de dissipation.
– p.8
Le coefficient de friction
Il ne reste plus qu’à modéliser le coefficient de friction � #Pour
� � � � � on a � � � � � .
Pour
� � � � � on propose deux modèles différents :
� � � � � �� �
� � � � � � � � �� �
– p.9
Schéma numérique
Le schéma numérique que nous avons utilisé pour résoudrenumériquement les équations obtenues est d’utiliser un schéma explicitepur du type :
� � � �
� � � � � �� �� �� � � � � ���� �
� � � �
� �� �� � � � � � �� � � ���� �
� � �
#
Le facteur �joue ici le rôle de stabilisateur du schéma.La difficulté principale réside dans l’expression des conditions limites ;ainsi après plusieurs essais la meilleure solution s’avère être :
� � � �
� � � � ��� �
� � � �
� � �� �
� �� �
� � � � �� � � �
� � �
�
avec
� � ! � � �#– p.10
Avalanche sur fond rugueux
Avalanche sur fond rugueux
On voit apparaître trois actes, comme décrit par le modèle de Boutreux,
Raphael et deGennes.
– p.11
Avalanche sur fond rugueux
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0 1 2 3 4 5
(a)
’modif99.OUT’ i 0:600:1 u 1:2
Evolution de R – p.12
Avalanche sur fond rugueux
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 1 2 3 4 5
Evolution de h – p.12
Avalanche sur fond rugueux
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 1 2 3 4 5
Z(x,t)
Z(x,t)
Evolution de Z – p.12
Avalanche sur fond rugueux
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0 1 2 3 4 5
ACTE I de R – p.12
Avalanche sur fond rugueux
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0 1 2 3 4 5
ACTE II de R – p.12
Avalanche sur fond rugueux
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0 1 2 3 4 5
ACTE III de R – p.12
Avalanche sur fond rugueux
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 1 2 3 4 5
ACTE I de h – p.12
Avalanche sur fond rugueux
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 1 2 3 4 5
ACTE II de h – p.12
Avalanche sur fond rugueux
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 1 2 3 4 5
ACTE III de h – p.12
Avalanche sur fond rugueux
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 1 2 3 4 5
Z(x,t)
ACTE I de Z – p.12
Avalanche sur fond rugueux
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 1 2 3 4 5
ACTE II de Z – p.12
Avalanche sur fond rugueux
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 1 2 3 4 5
Z(x,t)
ACTE III de Z – p.12
Avalanche en sortie libre
Avalanche alimentée en sortie libreAvancée d’un choc puis apparition d’un mode stationnaire.
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
y
x
Avancee du chocTransition entre le choc et R constant
R tend vers une constante : regime stationnaire
– p.13
Avalanche contre un mur
Avalanche contre un murLa quantité de grains roulant R(x,t) prend, après une première avalancheune forme en
� � � �.
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
y
x
Premiere avalanchePetite variation de R autour de sqrt(3-x)
– p.14
Avalanche dans un tambour tournant
Avalanche tournanteApparition d’un mode stationnaire.
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
h et Z initiauxh intermediaire
h finalZ intermediaire
Z finalR initial
R intermediaireR final
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
– p.15
Influence du modèle du coefficient de friction
Si le modèle de � ne comporte pas de terme de friction, des instabilitésapparaissent, ainsi que la formation d’un tas près du mur.
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
– p.16
Conclusion
Les simulations correspondent bien et aux expériences, et auxthéories.
Il aurait été intéressant d’utiliser des modèles plus complexes, maiscela pose des problèmes au niveau des conditions limites.
Il est tout à fait possible de se servir de cette base pour expérimenterde nouvelles fermetures de vitesse ou des nouveaux modèles decoefficient de friction.
– p.17
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