Projet Personnel en Laboratoire Modélisation d’avalancheslagree/TEXTES/RAPPORTS/PPL/soutenancefia… · Présentation des équations de conservation dans le cas d’un milieu granulaire

Projet Personnel en LaboratoireModélisation d’avalanches

Lionel FIABANE

Laboratoire de Modelisation en Mecanique,

UMR CNRS 7607, Boıte 162,

Universite Paris 6, 75252 Paris France

– p.1

Plan de la présentation

Introduction

Équations de conservationPrésentation des équations de conservationgénéralesPrésentation des équations de conservation dans lecas d’un milieu granulaireCas de l’avalanche simple, puis de l’avalanchetournante

Simulation numériqueSchéma numériqueSimulation d’avalanches simples, puis d’avalanchestournantes

Conclusion

– p.2


Introduction



Conclusion

– p.2


Introduction



Conclusion

– p.2


Introduction



Conclusion

– p.2

Introduction

Des équations générales ...

... appliquées au milieu granulaire ...nature particulière du milieumécanique des milieux continus sur un milieu discret

... moyennées selon le principe de Saint-Venant.intégrations transversescouches roulantes ou fixeséquations "shallow-water"

Modélisation de la vitesse et du coefficient de friction.

– p.3

Introduction





– p.3

Introduction





– p.3

Introduction





– p.3

Équations générales

On considère le volume V(t) constituant une tranche d’épaisseur dx et delongueur L en y.Sa frontière S(t) est constituée dans le plan (x,z) d’ un ensemble de troissurfaces fixes (x,x+dx et z=0) et d’une surface mobile (h(x,t)).

x x+dx

y

z

x

L

h(x,t)PSfrag replacements

� ��

� � ��

� � � ��

– p.4


On travaille en 2D.

On fait l’approximation que les champs

� ��

auxquels ons’intéresse ne dépendent pas de y et leur variation s’exprime alors :

��

� ��

� � ��

��

� �� ! ��"$#

– p.4


En utilisant les formes locales de conservation de la masseet de la quantité de mouvement on peut établir leséquations globales suivantes :

��

��

� ��

� ��

��

��

�

��

��

� ��

� ��

��

��

��

� ��

� ��

��

��

� ��

� � � � � � ��

– p.4

Équations appliquées au milieu granulaire

Écoulements sur des couches minces

Apparition d’une zone immobile et d’une coucheroulante

U

h(x,t)

z

Z(x,t)

R(x,t)

x

(a)

PSfrag replacements

� ��

��

� �

Z(x,t) x

z

h(x,t)

PSfrag replacements

� ��

��

� ��

�

– p.5


Après travail sur les conditions limites propres aux milieux granulaires eten notant

� �� on obtient les équations :

��

��

� ��

� ��

��

��

��

� � ��

� ��

��

� � ��

��

��

� � ��

� ��

��

��

� ��

� ��

– p.5


Soit encore en utilisant une condition de Mohr-Coulomb :

��

��

� � ��

� ��

��

� � ��

��

� � � � � �

où

� ��

� �

��

��

��

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

� �

��

� ��

– p.5

L’avalanche simple

On a dans le cas de l’avalanche simple :

� � � ��

et ��

ce qui simplifie les équations en :

��

��

��

��

� ��

� ��

��

� ��

��

��

� � ��

� ��

��

��

� � � � � �

où

� � �

��

� ��

��

��

� � � � � � � � � � � ��

��

��

� � � � � � � ��

� �

termes d’ordre supérieur

On définit

et on obtient le système

– p.6


On définit

� � � ��

��

��

� � � ��

��

� � � ��

��

� ��


– p.6


On définit

� � � ��

��

��

� � � ��

��

� � � ��

��

� ��


��

��

� ��

� � � ��

�

� ��

� ��

��

� � � � � � �

– p.6


En prenant une vitesse linéaire de gradient

�

constant � � � �

,

� � � � � � �� et

� � � � � � � �� , on obtient le système :

��

��

� � ��

� � � �

� ��

� � � � �

� � � ��

� � �

� � �

où � est un facteur de dissipation.

– p.7

L’avalanche tournante

En gardant les mêmes notations et en prenant cette fois

� � � �� et

��

, on obtient le nouveausystème :

��

��

� � ��

� � � ��

� � � � � � � � �

� ��

� ��

� � � � �

� � � ��

� � �

� � �

où � est un facteur de dissipation.

– p.8

Le coefficient de friction

Il ne reste plus qu’à modéliser le coefficient de friction � #Pour

� � � � � on a � � � � � .

Pour

� � � � � on propose deux modèles différents :

� � � � � ��

� � � � � � � � ��

– p.9

Schéma numérique

Le schéma numérique que nous avons utilisé pour résoudrenumériquement les équations obtenues est d’utiliser un schéma explicitepur du type :

� � � �

� � � � � ��

� � � �

� ��

� � �

#

Le facteur �joue ici le rôle de stabilisateur du schéma.La difficulté principale réside dans l’expression des conditions limites ;ainsi après plusieurs essais la meilleure solution s’avère être :

� � � �

� � � � ��

� � � �

� � ��

� ��

� � � � ��

� � �

�

avec

� � ! � � �#– p.10

Avalanche sur fond rugueux


On voit apparaître trois actes, comme décrit par le modèle de Boutreux,

Raphael et deGennes.

– p.11


0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0 1 2 3 4 5

(a)

’modif99.OUT’ i 0:600:1 u 1:2

Evolution de R – p.12


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3 4 5

Evolution de h – p.12


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3 4 5

Z(x,t)

Z(x,t)

Evolution de Z – p.12


0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0 1 2 3 4 5

ACTE I de R – p.12


0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0 1 2 3 4 5

ACTE II de R – p.12


0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0 1 2 3 4 5

ACTE III de R – p.12


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3 4 5

ACTE I de h – p.12


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3 4 5

ACTE II de h – p.12


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3 4 5

ACTE III de h – p.12


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3 4 5

Z(x,t)

ACTE I de Z – p.12


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3 4 5

ACTE II de Z – p.12


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3 4 5

Z(x,t)

ACTE III de Z – p.12

Avalanche en sortie libre

Avalanche alimentée en sortie libreAvancée d’un choc puis apparition d’un mode stationnaire.

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

y

x

Avancee du chocTransition entre le choc et R constant

R tend vers une constante : regime stationnaire

– p.13

Avalanche contre un mur

Avalanche contre un murLa quantité de grains roulant R(x,t) prend, après une première avalancheune forme en

� � � �.

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

y

x

Premiere avalanchePetite variation de R autour de sqrt(3-x)

– p.14

Avalanche dans un tambour tournant

Avalanche tournanteApparition d’un mode stationnaire.

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

h et Z initiauxh intermediaire

h finalZ intermediaire

Z finalR initial

R intermediaireR final

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

– p.15

Influence du modèle du coefficient de friction

Si le modèle de � ne comporte pas de terme de friction, des instabilitésapparaissent, ainsi que la formation d’un tas près du mur.

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

– p.16

Conclusion

Les simulations correspondent bien et aux expériences, et auxthéories.

Il aurait été intéressant d’utiliser des modèles plus complexes, maiscela pose des problèmes au niveau des conditions limites.

Il est tout à fait possible de se servir de cette base pour expérimenterde nouvelles fermetures de vitesse ou des nouveaux modèles decoefficient de friction.

– p.17

Documents

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