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APPLICATIONS:
Cas de systèmes à 1 degré de liberté
Nkesri. VOM
APPLICATIONS: Règles
• 1) Détermination de l’énergie potentielle:
• - de gravitation
• - élastique
• 2) Détermination de l’énergie cinétique
• 3) Assemblage d’un ensemble de ressorts
• - en parallèle : k=i ki
• - en série: 1/k= i(1/ki)
• 4) Conditions d’équilibre: stable, instable
• 5) Conditions d’oscillation
• 6) Equations du mouvement et solutions
Nkesri. VOM
Détermination de l’énergie potentielle: Cas où Ep dérive d’une force F A/ de gravitation: F = mg
B/ d’un ressort élastique: F=-kx
rdFE p
.
Nkesri. VOM
C) Conditions d’équilibre:
pEF
Conditions d’équilibre :
00
p
pEF
x
E
instable équilibre stable ;équilibre
0
²
²0
²
²
x
E
x
E pp
Nkesri. VOM
A/ Energie potentielle de gravitation (pesanteur)
Ep dérive d’une force de gravitation agissant sur m
A11) Exemples: signe et expression de Ep:
(a) (b)
(c) (d)
Dans les 4 cas, l’origine de Ep(m) est en xo .
Donner le signe de Ep quand la masse m est déplacée en x.
(Ep =0) – xo
0-
0 -
(Ep =0) - xo
x-
x-
x-
x-
(Ep =0) – xo
0 -
0 -
(Ep =0) - xo
gmF
Nkesri. VOM
A12) Cas d’un pendule de longueur L:
0 i) Ep=0 à y=0: quel est le signe de Ep(m) pour θ ≠ 0?
ii) Ep=0 à y =L: ″ ″ ″ ″ ″ ″
L θ
y
A13) Energie potentielle d’une masse accrochée à un ressort:
k m Ep=0
xo Ep(m)? k
x xo-
x Ep(m)?
Dans les 2 cas la masse m est en équilibre en xo
Nkesri. VOM
B) Energie potentielle de déformation élastique
d’un ressort de cte d’élasticité k:
B11)
A comprimé en A’; B allongé en B’
xB – xA = lo ; xB’ – xA’ = l ; Δl = l –lo x
Si la déformation coté A est XA et celle coté B est XB
x= l –lo = |XA|+|XB|
kxF
B A
A’ B’
x
teconsllkE ondéformatiop tan)²(2
1,
Nkesri. VOM
Applications (suite) • Ex.1: masse ponctuelle+ ressort
K
lo K
m
leq
∆leq =leq -lo l(t)= leq+ x(t)
=lo +Δleq +x(t)
K
lo
leq
x(t)
m
Résolution: i) par la mécanique de Newton: mx"+kx=0 avec kleq =mg
ii) par application de l’équation de Lagrange: (q1=x):
Ec =½mx’²; Ep = Epm+ Epk ; Epm= -mgx +cte ;
Ep= -mgx+½K(x+ Δleq)²+ cte : La condition d’équilibre: Ep/x|x=0 =0
donne KΔleq = mg
La solution x(t) est sinusoïdale
0 kxxm
te
eqeqpk ClxKdxlxKE )²(2
1)(
Nkesri. VOM
Applications (suite)
2) Masse ponctuelle + ressort sur un plan incliné d’angle
Ec=½mx’² , Ep=Epm+Epk
k Epk=½k(x+ ∆l)²
x Le poids mg est décomposé en 2
α composantes, l’une // au plan
mg mg//=mgsinα, l’autre perpendiculaire
Epm=-ʃx+∆l mgsinα dx= -mg(x+∆l)sinα +Cte
Ep= ½k(x+ ∆l)² -mg(x+∆l)sinα +Cte
Condition d’équilibre:k(x+∆l)|x=0+mgsinα=0 ou
k∆l+mgsinα=0 Ep= ½k²x +Cte
l’équation du mouvement est inchangée par rapport au
cas (1) précédent.
Nkesri. VOM
Ex.3:Le pendule - simple (a) - le métronome (b)
(a)
m θ
l1
m1
m2
l2
O L
θ
1)Exprimer l’énergie potentielle du système. Conditions d’équilibre
2) Exprimer l’énergie cinétique du système
3) Equation de Lagrange et équation différentielle du mouvement
Nkesri. VOM
4) Masse +tige (sans poids)+ressort
K
O A B
X
m
q
1)Exprimer l’énergie potentielle du système. Déduire les
conditions d’équilibre
2) Exprimer l’énergie cinétique du système
3) Equation de Lagrange et équation différentielle du mouvement
Nkesri. VOM
4bis) Masse +tige (sans poids)+ressorts
k1
L
θ
m
k2
1)Exprimer l’énergie potentielle du système.Conditions
d’équilibre?
2) Exprimer l’énergie cinétique du système
3) Equation de Lagrange et équation différentielle du mouvement
Nkesri. VOM
5) Ressorts + tige pesante (horizontale)
2K 2K
O A B
x q
1)Exprimer l’énergie potentielle du système. Conditions d’équilibre
Condition d’oscillation
2) Exprimer l’énergie cinétique du système
3) Equation de Lagrange et équation différentielle du mouvement
Nkesri. VOM
5bis) Ressorts + tige pesante (verticale)
1)Exprimer l’énergie potentielle du système. Conditions d’équilibre
Condition d’oscillation
2) Exprimer l’énergie cinétique du système
3) Equation de Lagrange et équation différentielle du mouvement
O
q
Nkesri. VOM
5bis) Tige pesante (verticale) + ressort
K θ
M
L
1)Exprimer l’énergie potentielle du système. Conditions d’équilibre
2) Exprimer l’énergie cinétique du système
3) Equation de Lagrange et équation différentielle du mouvement
Nkesri. VOM
6) Cylindre (M,R) +ressort k
Axe de rotation fixe (+masse m)
G
m
K
M,R
L’axe de rotation passe par G et est fixe:
1)Exprimer l’énergie potentielle du ressort
2) Exprimer l’énergie cinétique du système
3) Equation de Lagrange et équation
différentielle du mouvement
Nkesri. VOM
6) Cylindre (M,R) +ressort k
Axe de rotation fixe (+masse m)
L’axe de rotation passe par G et est fixe:
1)Exprimer l’énergie potentielle du ressort
2) Exprimer l’énergie cinétique du système
3) Equation de Lagrange et équation différentielle du
mouvement
G
m
q K
M,R G
m
Nkesri. VOM
6) Cylindre (M,R) +ressort k
Axe de rotation mobile
G G M,R K
Le cylindre peut rouler sans glisser (2 cas a,b)
1)Exprimer l’énergie potentielle du ressort
2) Exprimer l’énergie cinétique du système
3) Equation de Lagrange et équation différentielle du mouvement
(a) (b)
Nkesri. VOM
7) Cylindre +masse + ressort:
- Axe de rotation mobile: le cylindre peut rouler
sans glisser (exemples (a), (b))
θ K
M,R
K
M,R
θ
(a) (b)
1)Exprimer l’énergie potentielle du système. Conditions d’équilibre
2) Exprimer l’énergie cinétique du système
3) Equation de Lagrange et équation différentielle du mouvement
Nkesri. VOM
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