THEORIE ANALYTIQUE DE LA PROPAGATION DE LA CHALEUR CHAPITRE PREMIER HYPOTHÈSES DE FOURIER. FLUX DE CHALEUR 1. La théorie de la chaleur de Fourier est undes pre mierse xemples

THEORIE ANALYTIQUE

DE LA

PROPAGATION DE LA CHALEUR

CHAPITRE PREMIER

HYPOTHÈ SES DE FOURIER . FLU X DE CHALEUR

1 . La théorie de la chaleur de Fourier est un des p remiers exemples de l ’appl ication de l ’analyse à l a phys iqueen partant d ’hypothèse s simples qui ne sont autre chose quedes faits expérimentaux général isé s , Fourier en déduit unesérie de conséquences dont l ’ensemble constitue une théoriecomplète et cohérente . Les résultats qu ’ il a obtenus sontcerte s intéressants par eux-mêmes , mais ce qui l ’est plusencore est la méthode qu ’ i l a employée pour y parveni r etqu i serv i ra toujours de modèle à tous ceux qui voudront cultiver une branche quelconque de la phys ique mathématique .J

’

ajoutera i que l e l ivre de Fourier une importance cap itale dans l ’histoi re des mathématiques et que l ’analyse pur elui doit peut-ê tre plus encore que l ’analys e appl iquée .

Rappelons d ’abord succinctement quel e st le problème quePROPAGATION DE LA CHALE UR .

2 HYPOTHÈSES DE FOURIERs ’ est proposé Fourier il a voulu étudier la propagation dela chaleur

,mais i l faut d istinguer .

La chaleur peut,en effet

,se propager de troi s mameres

par rayonnement , par conductib il i té et par convection .

2 . Ray onnement. Soient deux corp s placé s à unecertaine di stance l ’un de l ’autre , tout se passe comme si l eplus chaud cédait a l ’ autre de la chaleur . On admet qu ’uncorps qui se trouve dans un mil ieu transparent ou dansl

’

é ther émet des rad iations qui s e comportent comme lesradiations lumineuses ; plus sa temperature est élevée , plusi l émet de radiations .Supposons un corps sol ide en fermé dans une enceinte

E dont il est séparé par un milieu transparent ; le corps etl

’enceinte émettront des radiations . Soit V,, l a temp ératu redu corps C , V , la température de l ’enceinte E .

S iV0 V ,

il y équil ibre de température .

S iVo V.

l e corps e st plus fro id que l ’enceinte,i l émettra moins de

radiation s , le corps va s ’

é chauft‘

er et l ’enceinte va se refroidir .Le contrai re aurai t lieu s i l ’on avait

Vo >

"

V.

L equil ibre de température p ar rayonnement ne peut doncs

’établi r que par une série de compensations dont l ’étudese rait fort intéressante

,mais est é trangère à mon suj et .

CONDUCTIB IL ITÉ 3

3 . L o i de New ton . On admet que les échanges dechaleu r sont régis par la lo i de Newton :La quantité de chaleur perdue par l e corps est propor

tionnelle à V0 V , .

Cette lo i n ’es t qu’

approxima tive et ne peut être cous idé ré e comme exacte que s i V0 V ,

est petit .D e plus

,on peut admettre que la quanti té de chaleur

rayonnée soi t fonction seulement de la différence des tempé ratures : elle do it dépendre auss i des températures absoluesd es corps en présence .

P a r exemple , dans l e cas oùV0

0 V , 1

et dans le cas oùV0

500 V,

501

la quantité de chaleur rayonnée ne sera pas la même .

4 . C onduct ibi li t é .

l es dilïé rents points de ce corp s ne sont pas à la même temCons idéro ns un corps sol ide . S i

pé rature , ces températures tendent à s’

é galiser .

FIG . 1.

Soit par exemple une barre ABCD (fig .

Supposons que l ’on chauffe AB . D ans ce mode de pr0pagation ,

AB ne peut pas céder directement de la chaleur àCD . La partie CD ne pourra s

’

é chauffer qu ’aprè s que lapartie BC se sera é chaufi’

é e elle—même . D e sorte que l ’on

4 FLUX DE CHALEURpeut se représenter les molécul es . du sol ide comme émettantdes radiations qui sont rap idement absorbées par les molécules voi sines .

5 . Conv ection. Quand les différents po ints d ’un fluidesont a des températures d ifférentes , il se p roduit des mouvements inté rieurs qui mélangent les parties inégalementchaudes et égal isent rap idement les températures .Ce phénomène porte le nom de convection . De ce s troi smodes de propagation nous étudierons seulement le second

,

c’ est-à-dire la propaga tion par wonductibilité . C’est l ‘

a, en

effet , l ' objet e ssentiel de la théori e de Fourie r .

FLU X D E CHALE UR

6. Hypothèse fondamentale de Fourier . Soientdeux molécul es mo,

m, , d ’un corp s quelconque

,soient V0 V

leu rs températures respectives,et soi t p leu r distance .

Fourier admet que pendant le temps dt l a molécule m,,

cède à l a molécule m ,une quantité de chaleu r égale à

dQ ‘P(P) (Vo V4)

cp(p) étant une fonction de p,négligeable dès que p a une

valeu r sensible .

Cette derniè re hypothèse n ’est que la traduction du faitque nous avons énoncé plu s haut il n’

y a pas échange d irectde chaleu r entre deux partie s d ’un corps éloignées l ’une del ’autre .

L ’hypothèse de Fourier est restrict ive , car elle suppose quela quanti té de chaleur cédée par la molécule m

oà l a molé

CONSEQUE NCE S DE L’

HYPOTHÈSE D E FOURIER 5

cule m ,ne dépend que de la d ifférence des température s et

nullement de ces températures ell es-mêmes .

Fourier n ’aura it pas fait de restri ction s i , au l ieu de laformule

dQ (10) (V. V.)

il avait admis la suivante

dQ r (19. V.) V.) dl

En effet,la quan tité de chaleur cédée ne dépend év idemment

que de 19 , V,, et V , elle peut donc se représenter par

dQ (p, Vo, V , ) dt.

ce que l ’on peut écri re

l ç [p,V… V,, (V, dt

ou , en développant suivant le s puis sances croi s santes de(V,, V

, ) qui est très peti t , puisque les molécules sont trèsvoi sines

dQ <p. V… V.) V.) (V. V

.)

Le premier terme 99 (p, est év idemment nul et,en

négl igeant les puissances de V,,V,supérieu res à la pre

miè re,on a

dQ '

l’ (Pa V0 ) (V0 V4)

7 . Consé quences de l ’h ypo thèse de Fourier . Enadmettant l ’hypothèse de Fourier :

dQ ‘P(P) (Vo Vi ) dt

6 FLUX DE CHALEURon voi t que

,s i toutes les températures sont augmentées d ’une

même constante,l a quant i té de chaleur reste la même .

S i elle s sont multipl iées par une même constante , la quanti te de chaleur sera également multipl iée par cette constante .

8 . F lux de ch a leur . Nous avons dit que «3 (10) étai tnégl igeable dès que p dev i ent supérieur à une certainel imite . Soit 5 cette l imite .

Cons idérons un élément de surface dw très peti t en valeu rabsolue

,mais infiniment grand par rapport à 5 (fig .

Soient deux mo lécules m, s i

tuée s de part et d ’autre de l ’élémentdœ ; m,,

cède à m,une certaine quan

tité de chaleur ; considérons tousle s couples de molécules tels que

et faisons la somme desFIG 2 ° quantité s de chaleur correspon

dantes . Cette somme est , par défi nition , l e flux de cha leur

qui traverse l ’élément de» .

D ’après ce que nous avons dit plus haut , s i toutes lestempératures sont augmentées d ’une même constante , le fluxde chaleur reste le même ; s i elles sont multipl iées par unmême nombre

,le flux de chaleur est multipl ié par ce nombre .

9 . Cons idérons un corps possédant un plan de symétrie P ,

et supposons que la distribution des températures soi t également symétrique par rapport à ce plan P . Le flux de chaleurrelat if à un élément du) pris dan s ce plan est évidemment nul .I l en sera encore de même si , sans être lui-mème symetrique , le corps est tel que la di stribution des températuresle so it . Cela résulte de ce que les échanges de chaleur ne se

FLUX D E CHALEUR 7

ont qu ’entre des molécules trè s voi s ines . On peu t par consequent

,sans que le fl ux chan ge , supprimer les portions du

corps qui ne sont pas contigu ë s à l ’é lément dm, et réduirele corps à une petite sphère ayant pour centre cet élément .Cette Sphère étant symé trique par rapport au plan P ,

noussommes ramenés au cas précédent .Cons idérons maintenant un corps symétrique par rapport

à un point 0 ,et supposons auss i la d is tribution des tempe

ratures symétriques par rapport à ce point . Le flux de chaleur sera le même en valeur ab solue pour deux é léments de»et dm’ sym é triques par rapport au point 0 .

I l en sera encore de même pour la même raison queplus haut

,s i la d i stribution des températures seulemen t

e s t symé tr ique .

S i,enfin

,la d i stribution des températures est tell e que

deux points m et m ’ symétri ques par rapport au point 0aient des températures égales et de s ignes contrai res , lesflux relatifs à deux éléments symétriques seront égaux en

valeur absolue . 11 en sera encore de même s i l a somme destempératures de deux points symétriques , au l ieu d 'être nulle ,es t égale à une constante quelconque

10 . PROBLÈME . So it un co rps quelconque ; supposonsque la lo i des températu res so i t la su ivante

V az b

Soit un élément ( la) s itué dans un plan parallèle à Oz . Ladistribution des températures e st symétrique par rapport auplan de cet é lément donc le fl ux de chaleu r qui le traverseest nul . D e même

,l e flux de chaleu r à travers l a surface

8 FLUX DE CHALEURlatérale d ’un cyl indre parallèle à Oz est nul , puisque leséléments de cette surface latérale ont leur planparallè le à Oz .

Consi dérons maintenant deux éléments plans perpendicul a ires à Oz

, par exemple deux petits carré s égaux ; soien t ouet a ' leurs centres . Jo ignons m ’

; soit o , le mil i eu (fig .

Pro . 3 .

Soient z,, et z, les ordonnées des deux éléments , et Ccelledu point O

, ; on aZO+ z

l

La distribution des températures est tell e que la sommedes températures de deux points symétr iques par rapport àO,est constante . En effet , on a

Vo + vl

Donc les deux flux à travers les éléments du» et dœ ' sontéga ux ; par suite , le flux est constant à travers un élément desurface quelconque parallè le à xOy .

Considérons un élément du» quelconque , fini ou non, dansle plan des æy , ou dans unplan parallèle . Le flux de chaleur

FLUX DE CHALE UR 9

à travers cet élément e st p roportionnel à du) ; par sui te , onpeut l e représenter par

A do» dt

A,étant indépendant de z

,ne peut dépendre que de a et b.

I l ne dépend pas de pui squ ’on peut faire varier b sanschanger le flux . S i on multipl ie toutes les températures parune même constante , le flux est multipl ié par cette constante .Donc A est proportionnel à a .

Par su ite,le flux de chaleu r peut s ’ écri re

Ka dm dt

K es t une constante qu ’on appelle coefficient de conducti

bilité .

1 1 . Soit maintenant un élément de d ’orientation quelconque , faisant un angleavec le plan des æy . Considérons un planparallèle au plan des æy et infi niment vo isin de cet él ément

,et considérons le cy

l indre proj etant l ’élément dœ sur ce plan(fi9 ° 4) La proj ection de cet élément es t F‘G ° 4'

dœ'

du) 00 8 a .

Le volume du cyl indre et , par suite , son poid s P sont desinfiniment petits du tro is ième ordre (en regardant commedu p remier ordre les d imension s liné a ir es de La sommealgébrique des flux de chaleu r à travers la su rface totale ducyl indre doit être du tro is ième ordre . En effet

,le corp s rece

vant dans l ’unité de temps une quantité de chaleur égale à Q,

10 FLUX D E CHALEURl elé va tion de température se rai t

_Q_

CP

C étant la chaleur spéci fi que du corps .

S i Q étai t d ’un ordre infé rieur au tro i5 1eme,cette é l évation

de température serai t infi ni e . Q est donc du tro is ième ordreau moins et

,par suite

,négligeable en présence des infi niment

petits du deux i ème ordre .

É crivons donc que le flux de chaleur à travers la surfaceto tale e st nul .Le flux de chaleur à travers la surface laté rale est nul ; ilest d onc le même pour les deux é léments duo et dœ '

Le flux de chaleur pour la section d ro i te es tKa cos a dœ dt

et c ’est le même pour l ’é lément de) .12 . Supposons maintenant que nous ayons pour la loi destempératures

V

Un simple changement d’

axes de coordonnées nous raménera au cas précédent .Considérons le plan P dont 1equation est

aæ + by + cz oLes angles de la normale avec les axe s sont donnés parles formules

COS

CAS GÉNÉRAL i l

en posantR \/a 2 b2 c

’

D ’où l ’on ti reV

On obtient facilement le flux à travers un élément dw fa isant un angle ç. avec l e plan P . Prenons le plan P commeplan x '

Oy'

. On auraæ cos a + y cosp 1 00 9 7 .

Et on a pour V l ’express ionV Rz

'

d

Le flux cherché est donc

dQ KR 00 3 9 dm de

Cons idérons en particul ier des éléments parallèles aux

troi s p lans de coo rdonnées . Ils font avec le plan P des angle srespectivement égaux à a , (3, 7 . Par suite , le s flux de chaleu rà travers ces é léments seront re spectivement

KR cos œ d… dt — Ka dw dt

KR COS ?du) dt Kb dm dt

KR COS Yd t!) dt KC dm dt.

13 . Cas g é né ra l . Supposons maintenant que la distribution des températures soi t quelconque .

Soit V (a: , y ,z) la température en un point .

Soit dm un é lément de surface ; un point de ceté lément ; nous allons chercher le flux de chaleur à travers

12 FLUX DE CHAL EURl elément dœ . Ce flux de ch aleur ne dépend que de la température des po ints vo is ins—de l ’élément dm.

Soit (on, y ,un tel point . Poson s

y = y o+ "l

Z zo+ C

La température au point (a: , y ,2 ) aura pour express io n

& “l‘

Les quantités sont très petites . On peut donc négl ige rleurs carres , et l ’on a

dVV =Vo-r

Appliquons les résul tats établ is dans le paragraphe pré cédent . Les flux de chaleur à travers des éléments perpendicula ires aux axe s et pas sant par un point quelconque (a: , y ,

seront respectivement

K%ï fi) du) dt .

d..Kdy

de

Pour évaluer leflux de chaleu r à travers un élément d ’ orientation quelconque

,considérons un té traèdre infi niment peti t

OABC ayant ses troi s arêtes OA ,OB

, OC re spectivementparallèles aux axe s fig .

AUTRE DÉMONSTRA '

I‘

ION 13

On démontrerai t comme précédemment que la sommealgébrique des flux de chaleu r à t ravers le s quatre faces es tnulle aux infiniment petit sd u trois ième ordre près .

Soient a , (3, y le s cos inusd irecteurs de l a normale àl ' élément ABC

,dont la sur

face est dw. Les ai re s destro is autre s face s seron trespectivement F… . 5 .

dm,du) , 7 ( lw.

Appelons dQ le flux de chaleu r à travers l ’élément de) . Onaura °

dvdvdQ — d d l œ

æ +Bæ;dV

Y“

Æ

Pour préci ser l e s ign e du flux de chaleur,nous chois iron s

sur la normale à l ’é l ément dœ un sens pos itif, et nous donnerons au flux l e s igne ou le s igne su ivant que lemouvement de la chaleu r aura l ieu dans l e sens positif oudans le sens négatif. On voi t facilement avec c es conven

t ions que le flux de chaleur estdV

dQ K dw dt

dv etant l a der1vee su i vant l a normale,pri se dans un sens

convenable .

14 . A utre démonstration . L e raisonnement de Fourier que nous venons de fai re peut être remplacé par uncalcul plus court

14 FLUX DE CHALEURSoit un élément du) ; considérons deux points m,

. de

part et d ’autre de l ’élément dœ . Soient

les coo rdonnées de man,, S, u,, v) , 2

,celles de m

,

V , , les températures .

La quantité de chaleur cédée par m,,à m

,e st

(Vo V i ) dt°

Or , on a’

dv dv dV—0V,

VO (dæ0 dÿ,,7l

dzO

C

D e plus,on peut remplacer z

,,

dans les dérivées parti elle s par les coordonnées on, y ,

z du point G , centre degravité de do (fig .

Fra . 6. On a alors :

.lv av dV“ Vo — EÆ + VI

aËÇ ‘

ä;

e t la quantité de chaleu r cédée par m,,

‘a m,est , par suite

dV dV—v (r)

Le flux total a travers de est donc

dVdQ

AUTRE DÉMON STRATI ON 15

Posons

2

2 (a)

—E çmt

On aura

dt dœ K%+ K'

î—ï K

S i nous rejetions l ’hypothèse de Fourier , i l faudrai t dansles équations c i—dessu s remplacer q>(p) par (19 , V) .

Alors K , K ’

,K ’ seraient des fonctions de la température .

Supposons l ’élément dœ pe rpendiculaire à l ’axe 0 30 . S i lecorps est homogène

,K

,K

'

,K” seront les mêmes pour tout

é lément perpendiculai re à 0 00 . Ce seront des constantes nonseulement par rapport à l a température

,mais encore par rap

port à æ, y ,

S i,de plus , le corp s est i sotrope , l ’expression

du flux de chaleur ne doit pas change r,quand on change

y en y ,car tout plan es t alo rs un plan de symétri e pour

la const itution du corps . Donc K '

0 . D e même K" 0 .

E t,si l 'on change œ en a:

,le flux changera de signe , ce

qu ’on voit en effet sur la formule .

Le flux de chaleur à travers un élément clœ perpendiculai re à Oæ sera donc

Kd°—V d t dd) .

dx

En raison de l ’ isotr0pie du corp s , le flux de chaleu r à travers des éléments perpendiculai res à Oy et Oz sera res

16 FLUX .D E CHALE UR

pectivement

KËt dmdy

dvK “

à;d l de) .

la constante K étant l a même .Pour un élément duo quelconque on aura

dVdQ K

dndt

Le signe se détermine ai sément en prenant des ce

parallèle à la normale à l ’é lément .

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18 ÉQUATION DU M OUVEMENT DE LA CHALEURa 0 03 , est :

dv

flux de chaleur à travers estdvd V d

dy dz dt Käâ}

' + d-

œ

_ K i

dæ

somme de ces deux flux est donc

D e même,pour les deux autre s couples de faces

,on aura

ddx dy dzdt

ddæ dy dz dtæ

K

La quantité de chaleur qui entre dans ! l e paralé llipipèdeest par su ite

d dv dv d dvd.vdy dz . dt. K

dæ dy (7%

D ’autre part,cette quanti té de chaleur est égal e à

D .C . dx dy . dz dv

D étant la dens ité du corp s, C sa chaleur spécifi que .

En égalant ces deux express ion s,on a

dV d dV

S i nous adoptons l ’hypothèse de Fourier , K est une constanto.

TRANSFORMATION D E COORDONNÉES 19

S i nous ne l ’adoptons pas , K sera fonction de la température

,soi t :

On aura

etc .

L ’équation dev i ent doncdV d 2v

C °D °

dtK 2 +K E da: 2

Dans les appl icat ions,nous nous bornerons touj ours à

l equation de Fourier qu i a une forme l inéai re . Nous supposerons donc K’ o

,et K constant

,de sorte que l ’équation

seradv Kdt C .D

AV

Nous négligerons les vari ations de C et D,et nous pose“

runs :

KCD

A: .

L equation du mouvement de la chal eur est doncdV — M V

16. Transforma t ion de coordonné es . Nous allon svoir ce que dev ient cette équation dans un système de coordonnées quelconques .

20 ÉQUATION DU MOUVEMENT DE LA CHALEUR

et prenons E, Y,, Cpour coordonnées nouvelle s .Nous supposerons que noùs avons un système

thogonal , ce qu i est exprimé par les condition sdœ dæ dy dydEdn

+d î dn

+dfi dn

dz dz

dn d l du CIC

dz dz

dt; dE dt; dE dt; d£

Posons enou tre

d£ d£

ds2 dœ‘3 dy

z dza

ds2 a2 dE;

2 62 0"dl } .

Considérons le sol ide (fig . 8) l im ité pa r les 6 surfaces

E,, (ABCD ) E E,,

"lo 7 ) V).

K,, C C,, d£

TRAN SFORMATION DE COORDONNEES 21

Le sol ide ains i obtenu est ass imilable ' à un petit pa ra llél ipipède rectangle en rai son de l ’ortho gonalité du système .

Calculons l es arê te s . Cons idéronsBB

' par exemple .

L es points 8 et B' ont pour coor

données(C0 a

’

7lo d71) Co) (50 d£»"lo

Donc la longueur de l ' arête BB ' estFIG . 8.

ds a J‘

On voi t donc que les d imens ions du pa ra llé lipipède sont

adë bd?) c .

Le flux à travers ABCD est :

K d(o dz

et l ’ondu) bcdn dC

Donc le flux e st

bc dvK .

d î’

est

bc dV

a 612du d£d

22 ÉQUATION DU MOUVEMENT DE LA CHALEURLa somme algébrique de ces deux flux est :

d bcK .

Æ a dEdEdndCdt.

On obtient des expres s ions analogues pour les deux autrescouples de faces .En faisant la somme on obtient la quantité de chal eur quientre dans le parallé lipipède

K . dë dv, dC tbo dV

D ’autre part,cette quantité de chaleur estCD . a bc. dEd *

q dÇ dv.

En égalant ces deux express ions et posantKCD

on obtient l equation du mouvement dans le système decoordonnées considéré

(l )a bc d bc

+d ca dV

_d a d

k dt dE a dë d., b d., dc

17 . Coordonné es semi-po la ires. On aæ = pCOS w

y = ç sin œ

z z

Par suite6182 p

2 dd) 2

D ’où l ’on dédui ta =1

COORDONNÉES SEM I -P OLAIRE S 23

L equation générale dev i entpdV d dv

k d t d.Paz—

p d.. . d..

1 dv 1 dv d2V 1 d2V

k dt

18 . Coordonné es po la ire s .w r—cos ç s ineg, : r s in e s in ô

z r cos 6.

ds" dr 2 sin3 0 d <p3a = 1 b= r s in û

Substituons dans l equa tion ( i ) du 16

r” s in 9 dV

r”

cl 2V

k dt27° sin 0 d

d

vr+ s in 0

dr

1 d aV

s in 6 d?2 0 0 8 0

1 dV dV d ’V 1 cotg 6 dV 1 d 2V

k dt r dr dr 2 s in2 de ? r2 de de?

19 . Reprenons l equation de la chaleur dans le cas descoordonnées cartésiennes

dV

d tkAV

Considérons un corp s C à l mter1eur d ’une enceinte rem

24 ÉQUATION DU MOUVEMENT DE LA CHALEURplie d ’un fluide à la température Le corp s perd de la chaleur par sa surface de deux manières :1° Par rayonnement ; s i l ’on admet la lo i de Newton ilperdune quantité de chaleur proportionnelle à V2° Par convection ; on admet que la quantité de chaleu rperdue de cette manière est aussi proportionnelle à VDe telle sorte que la quantité de chaleur perdue par unélément du) de la surface est

Hétant une constante déterminée pour chaque élément du) .aw

a.

FIG . 9 .

Considérons sur la surface un é lément a b de surface du)(fig . Par chaque point de l ’élément menons la normale àla surface S vers l ’ intérieur du corps

,et portons sur cha

cune de ces normales une longueur constante infinimentpeti te .

On détermine ains i un élément a ’

b' égal et parallèle à ab.

Nous supposerons infi niment petit par rapport aux dimensions l inéai res de de» ; comme nous l ’avons déjà fait , é valuons de deux manières d ifférentes la quantité de chaleurgagnée par le petit cyclindre dans le temps dt.La quantité de chaleur gagnée par a b est

La quantité de chaleur qui entre par d '

b’ est

dVk dw dtdn .


26 ÉQUATION DU MOUVEMENT DE LA CHALEURpour tous les points intéri eurs au co rps et pour toutes lesvaleurs positives du temps

,sati sfasse à l ’équation

dV

d tkAV

telle que,pour tous les points de la surface du corps

,on ait

dvh —VO) dn0

et qui,pour t 0

,se réduise à une fonction donnée

<p(Œ.

la et V ,, sont des fonctions données des coordonnées dechaque point de la surface .

2 1 . P rob lème des tempé ra ture s sta tionna ire s .On admet quîà un certain moment la température ne varieplus , c ’est—à—dire que l ’ équil ibre calorifique est établ i .On se propose de chercher quelle est alo rs la di stributiondes températures .

Dans ces conditions on aura :dV

dt

V sera fonction seulement de aa, y ,z

, et l equation 'généraledu mouvement se rédui ra à

AV 0 .

La condition à la surface sera la même que précédemmentet l ’on aura

h <V

PROBLÈME DES TEMPERATURES STATIONNAI RE S 27

On peut supposer comme cas l imite h 0 .

On aura alors :dV

dn

Dans ce cas la surface du corp s est imperméable à l a chaleur .Un autre cas l imite es t celu i où h es t in fi ni ; on a alors àl a surface

V = V,,

C’est ce qui arrive à t rè s peu prè s

,par exemple , quand le

corps est plongé dans un l iquide .

S i V,, est constant , on peut supposerV,,

0

car le 0 des températures est arbi trai re .

2 2 . Nous allons démontrer que chacun de ces deux problèmes n’

admet qu ’une solution . Pour cela nous rappelleronsle théo rème de G reen .

Soit une surface fermée S l imitant u n volume T so i t du)l elément de surface , dr l ’élément de volume . S i U et V sontdeux fonctions quelconques continues

,ains i que leurs dé ri

vé es du premier ordre à l ’ intérieur du volume , on a

dUdV dUdV dU dvdœ

dæ dæ+ dy dy+ d.Ê dz

et dans le cas ouV U

t +

28 ÉQUATION DU M OUVEMENT DE LA CHALEURSupposons que le problème des températures variablesdeux solu ti ons V et V ’

.

On aura pour tous les po ints inté rieursdv dv

’

dtkAV ’

d t

et à la su rfacedV

’

dVh <V — V.)

et,enfi n

,pour t o

SoitV V

'

On voit que l ’on aura pour tous les points i ntér ieursdWdt

kAW

a la surfacedW

hWdn

et,pour t o

W o .

I l suffit de démontre r que W est nul c ’est—à—dire que,s i

dans le problème des tempéra tures variables les fonctions V,,

et q: sont nulles , l a fonction V el le—même est con stammentnulle .

Soit V la solution du problème dans ce cas . Considéron sla fonction J

étendue à tout le corps .

PROBLÈME DE S TEMPERATURE S STATIONNAIRE S 29

On aurao .

D iffé rentions par rapport à t

Or,comme l ’on a

on peut écriredJ

d tk

E t , en transformant par la fo rmule

(I] :_

il dwdt dn

Or , on a à la surfacedV

dnhV .

Substituons dans la formule précédente , elle devient

ËÎ kff l2 dœ — k

Comme h et k sont essentiel lement pos i tifs , ou a

ë ! 4 0 _

dt

E t comme on a pour t 0 , V o,d ’où

J = o .

30 ÉQUATION DU MOUVEMENT DE LA CHALEURon voit que l ’on a

,pour des valeurs positives du temps

J é . 0 .

Or nous avons déj à

Donc on a

D ’où,par Conséquent

V o .

Le résultat subs iste même dans le cas limite où,pour cer

tains éléments de la surface,la e st infini

,car pour ces points

on auraitV 0

et l ’ intégrale

hV2 dw

restera i t finie .

2 3 . Cons idérons maintenant le p roblème des températuresstationnai res , et supposons qu ’ i l compo rte deux solutions Vet V ’

On aura pour tout point i ntérieur

AV 0 , AV'

0

et à la surfacedv

h (V — Vol+

PROBLEME DES TEMPÉ RATURES STATIONNAIRE S 31

ce qui donne,en posant

W :

AW :

pour les points intérieurs , et

hW +

à la surface .

I l suffi t donc de montrer que , s i dans le problème destempératures stationnai res V

,,e st nulle

,la fonction V est

nulle .

Appliquons la formule de G reen à l a fonction V , en remarquant que l ’on a

AV = O ,

On a alors

ft2 d..

Le premier membre est négatif ou nul .Le second est positif ou nul . On doit donc avoir

V 0 .

S i h est infini , on voit , comme précédemment , que les ré sultats sub si stent .S i h est nul en tous les points de la surface

,l ’équation ci

dessus nous montre seulement que :dV dV dV

32 ÉQUATION DU M OUVEMENT DE LA CHAL EURD ’où

V const .Alors le problème n ’

est‘

pas entièrement déterminé . Pourtrouver la constante , i l faut se donner la quantité de chaleurenfermée dans le corp s dont la surface est imperméable .

Le cas où le est infini revient au problème de D i r ichlet .24. La solution du problème des températures variables

dans le cas le plus gé né ra l peut se ramener à deux problèmes plus s imples .

En effet,il s ’agit de trouver une fonction sati sfai sant aux

conditionsdV

dtkAV

h (V Î,X o à l a surface,

V cp(æ , y ,z) pour t o .

Cherchons d ’abord une fonction V , (œ , y ,z ) telle que

AV , 0

dvh (V 1 VO)

pour les points de la surface ; c ’est le problème des temperatures stat ionnaires , et la fonction V , est , comme on l ’a vu ,parfaitement déterminée .

Cherchons maintenant V 2 (t, sa , y ,z) telle que

dv .“2 a ).


34 ÉQUATION DU MOUVEMENT DE LA CHALEUR2 6 . Cas d

’un fi l . Considérons un fil de sect ion cons

tante et assez petite pour que la tempé rature soi t uniformedans cette section (fig .

Nous prendrons comme variable l ’arc de fi l compté àpartir d ’une certaine origine .

FR} . 10.

Considérons deux section s dro ites a b et a '

b' pri ses à des

distances s et s ds de l ’origine . Soit l ’a i re de la sectiondroite

,et a son périmètre .

Le volume de l ’élément sera ds et sa surface latérale a ds .

La quantité de chaleur qui entre par a b estdvKw dtds

celle qu i entre par a 'b’ estdv d 2vKw dl

d82dS

La chaleur gagnée par la surface latérale estH(V o ds dt.

S i l ’on suppose V,,

0 , cette quantité s e réduitHVc ds dt.

On aura,comme dans les exemples précédents

2Kw dtds HVo ds dt dtÆ C .D ,wds

ds dt

CAS D ’UN FIL 35

S i l ’on pose

1equation devientdv

d lkds2

S i l e corps est imperméable à la chaleur,on a a

l ’ équation se rédu it àdv

kd ‘v

dt ds2

Le cas où a n ’es t pas nul peut se ramener à celui—làposant

V

car on a alorsd 2V d2U

ds2 d3 2

dv dU

cü d t

et l equation dev ient

SOLIDE RECTANGULA IRE INDÉFIN I

2 7 Le premier problème traité par Fourier est celui destemperatures finales stationnaires dans un solide rectangul aire indé fini que l ’on suppose l imité par le s plans

Fl o . l l .

V ne dépendra que de w et de y ; cette fonction devra donc

SOLIDE RECTANGULAIRE INDÉFINI 37

sati sfai re à 1equationdav d"vdx 3 dy

2

et on devra avoir à la surface( IV

Nous supposerons h i nfini , c ’est—à-dire que la conductibi l itéextérieure est assez grande pour que la surface du corp ssoit en équil ibre de température avec le milieu ambiant .On aura donc à la surface

V V0

Supposons par exemple que l ’on ai t

pour au : V = o

pour + ëa V = 0

pour y = oo, V = o

et pour y 0,

V f (ac)

f (æ) étant une fonction donnée .

Fourier recherche d ’abord les cas où la so lution V se présente sous la forme

aura

38 SOL IDE RECTANGULAIRE INDÉ FIN IOn do i t donc avoi r

f”

(æl + f (æ) (y ) 0

ou b ien

et cette égal ité ne p eut avo ir l ieu que s i chacun desmembres est égal à une constante A .

Supposons d ’abord A o , et posons : A m2

Oncp

”m2

cp 0 .

La forme générale de cpest donc

g. a cosmy b sinmy

a et 6 étant de s constantes .Ma i s dans ces conditions

, V ne s’

annulera it pasyCette solution ne convient donc pas .I l faut donc poser : A m2

On a dans ce cas :772% o .

<p a emy

Pour que cette expressi on s ’

annule à l mfini,faut que a

soit nul . Donccp be

_ my.

On a d ’un autre côté

f

SOL IDE RECTANGULAIRE INDÉFIN1 39

D ’oùon s in (mao 6)

et cette fonction doit s ’

annuler pour a:On doi t donc avoi r

+ 6= kvr + 0 = k'

u

k et k '

étant des nombres entiers .Cec i montre que m do i t lui-même être entier .S i m est pair

,on prendra 6 0 .

S i m est impai r,on prendra 0

D ans le p remier cas f (æ) est de la forme

f (æ) a s in '2mæ

D ans le second cas on a la forme

[ (az) rx cos (2m 1) x

E t l 'on aura pour la fonction V dans ces deux cas1° V sin 2mx2° V Ae * ‘2m—'W cos (2m l ) 00

Ains i donc le p roblème est résolu quand f (œ) a l ’unedeux fo rmes

s in 2mæ cos (2m i ) a:

28. Suppos ons que f (æ) so i t une séri e de la forme

f (x ) a,cos æ cos 3æ a

,, cos 53;62sin 2æ+ b

,s in M? 6

6sin 650

à0 SOLIDE RECTANGULAIRE INDÉF IN IConsidérons la fonctionV a

,e

* y cos a: aae

' 3 cos 3x asc—sy cos 5570

b2e—2y sin 2x s in 4æ

Chacun des termes u de cette série satisfait à 1equationAu 0 .

D e plus, chacun des termes s’

annule pour ce i ä demême que pour y 00 .

On voit immédiatement que,si f (æ) possède un nombre

” fini de termes , i l en sera de même de V ,et l a fonction V est

la solution du problème .

D ans le cas oùle nombre des termes est i ll imité , on ne peutpas affirmer a pr ior i que le même rai sonnement est appl icable ; il faudra préalablement étudier la série V commenous le ferons dans les exemples su ivants2 9 . Quoi qu ’ i l en so it

,le p roblème de Fourier nous amène

à cons idérer le suivantTrouver une sé r ie tr ig onomé ir ique de la forme

a,cos æ a

3cos 390 a

s00 5 550

62sin 2œ b

,‘sin4æ

repré senta nt une fonction (cv) pour toutes les va leurs de a:

'

JT 7t

CO'

MP?°

2868 entre et2 2

Ce problème se ramène au suivant , traité é galement parFourier

“Trouver une sé r ie de la forme

ao

a, cosæ au

200 5 237

sinæ + 62sin 2æ

qui r epr é sente une fonction f (a: ) entre 7: et 7r.


42 SOL IDE RECTANGULA IRE INDÉFIN I30 . Supposons la fo’nction f (æ) développable en une sérietrigonométrique uni formément convergente .

f (œ) ao + a

,cos ào+n2

0 0 5 250 cos næ +bis inæ 6

2s in 2æ+ b,, s in næ

Calculons par exemple a …

Multipl ion s les deux membres par cos næ dæ et intégronsn à

On aura,d ’aprè s le s égal ités écrites p lus haut

TC

[f (œ) cos nx dx vra ,,—7

‘

t‘

O n voit de même que l ’on a

fÿ‘

(œ) sin næ docet

,enfin

+ 7:

f f (æ) da: 2na0

—1t

On a donc, en admettant la poss ibi l i té du développement

f (œ)_

Œrf f“) dz + 12 cos nœ£Ç (z) cos nz dz

1

7

—t E s1nnæj lffi(z) sm nz dz .

Cons idérons maintenant une fonction à rep résenter dansl ’ intervalle au moyen d ’une série de la forme :

az4 cos

œ d3cos 3æ

62sin 6

,s in 4x

SOLID E RE CTANGULAIRE INDÉFIN I 43

Nous auron s résolu ce p roblème , s i nous trouvons unefonction de cv définie entre 7: et “

E,

ni dans l ’ intervalleq

3 â se réduise à la p récédente,et tel le que la série

trigonométrique qu i lu i correspond soit de la forme c i-dessuS i

,dans cette sé rie

,on change au en 7r— æ ou en 7r—æ

,

la valeur de l a sér ie change de s igne,et d ' ail leurs toute série

j ou i ssant de cette pr0prié té a n écessairement la forme précé dente .

TC Tt

S i 93 est compr i s entre 0 et as i t 90 est compr i s entre5et 7r.

71'

S i a: est compr i s entre5

vi a: es t compr i s7:entre 7: et 5

Nous défini rons donc une fon ction cp(æ) de la façon su ivanteDans l ’ inte rvalle elle aura les valeurs de la fonct ion f (x ) .D ans 1 i ntervalle 7r

,on aura

w

et dans l ’ intervalleë

<æ ) f (7f xi

3 1 . Supposons , par exemple , que l ' on 1 dansl ’ interval leNous au rons alor sEntre — « et—ä. <p(œ)

44 SOL IDE RECTANGULAIRE INDÉFIN I7t ar

Entreë 2

cp(æ) 1

Entre et “tt cp(a: )

Pour cette hypothèse particul i è re , l a fonction 9 (a: ) est paire ,et on voit aisément que tous les termes en sinus dispara issent, et on aura pour m impair

.v c) osmæ dæ

2f cosmœ dæ 2{[cosmæ dxa

7:+

1na — a

m 4'

m

On a donc le développement71: COS 3œ

cos œ3

et la solution V sera dans ce cas donnée par la formule7r cos 3w

ecos 500

zV = cosœe

*

3e

3y + e- 5y

32 . Ayant obtenu cette série , sat isfait—elle à toutes lesconditions du problèmeSatisfait—elle à l ’équation AV oCherchons

,d ’ab o rd , s i elle admet des dérivées du second

ordre par rapport à w et y .

S i les séries formées avec les dérivées du second ordre deces termes sont un ifo rmément convergentes , on est certainque ces séries repré sentent les dériv ées du second ordre de

71:la ser i e4V .

SOLIDE RECTANGULAIR E INDÉFIN I 43

Diffé rentions deux foi s par rapport à x . On a la sériecos ace - y 3 cos 3x e *

5 cos 5æe- 5y

Les termes de cette sé rie sont plus petits en valeu r absolueque ceux de la série :

e—y 3e

—3y se—5y

qui es t uniformément convergente pour toute s les valeurspos itives de y , les seul e s que nous considérons . Les dérivée ssecondes ex i stent donc et peuvent ê tre obtenues en diffé rentiant notre sé rie terme à terme ; on en conclut ai sémentqu ’on a pour tous les points inté rieurs au s ol ide

AV = O .

Voyons maintenant s i V Sati sfait aux condition s à l a surface .

A—t-on

V 0

quandœ=+ä

’ y étant pos it if ?Cela a l ieu s i la série V est uniformément convergente .

Or,les termes de la série âV sont plu s peti ts e n valeur

ab solue que ceux de la séri ee—5J

e

qui est uniformément convergente , sauf pour y 0 .

De même, s i y croî t indéfiniment , V tend vers zéro .

Examinons ce qu i s e pas se pour y 0 . Nous obtenons

46 SOL1DE RECTANGULAI RE INDÉFIN I7talors pour11V l a ser i e

cos Bæ cos äxcosœ

3 5

7!Nous allons demontrer que la valeur de cette ser i e estet

,dans ces conditions , on sait que V aura pour l imite 1 .

3 3 . Considérons la somme

S cos a: 00 8 333

3 2m 1

où nous supposons m pair .On a :dSm

dxs1n 3æ sm (2m— 1) æ

Multipl ions par °2.i .

Comme l ’on a2i s inæ

I l v i ent° d

îm

_—l ) ix

œ

6" ix

e-

‘

â ix e—(2m -J ) ix

On a deux progress ion s géométrique s l imitée s dont le sraisons sont e

?“et e* 2 iæ

Donc on a

1

SOLIDE RECTANGULAIR E INDÉFIN I 47

On a doncCIS… sin ‘l wm

dæ 2 cos 33Nous al lons démontre r que la série obtenue en faisantcro î trem indéfiniment a une valeur constante , s i a: est compri s

7tentreQetQ

On a , en effet

S… (x , ) S… (900)

Intégrons par partiescos EZmæ l

‘

i cos°2mœ sm x

4m cos a: æ04m cos 2 crSm (œ! ) Sm iwol

7r

000et a:

,sont compr i s entre

ëe t donc cos a: ne s annule

pas dans l ’ intervalle . Par su i te , l e premier terme du secondmembre tend vers 0

,quand m cro î t indéfiniment .

I l en est de même de l ’ intégrale .

D onc,on a

lim S ,n (ae, ) l im S… (wo)

S (x l ) S (œo) °

L a fonction S (se) représente donc une constante . Pour ladéterminer fai sons a: 0 . On a

S (o)4

Donc,pour toute valeur de x compri se entre et on a

cos 3æ cos äæcosœ

_3 0

48 SOLIDE RECTANGULA IRE INDÉFIN I34 . On peut donner de cette identité une autre démonstration .

Ou

dz

1 z

11 —z

2 3

1

en supposant, par exemple , m impair .

En intégrant , on a

arc tgz

RHL

PosonsZ pe

…. 1 .

On a pour R… en intégrant le long de la dro ite oz982m

e (2m im

1 z2

On aP2m d?ABR

A étant l ’a ffixe du point 1,B celle du point 2 2

,AB repré

sente le module de la quantité 1 z (fig .

S l w < ïa 0 11 8 2 2w < âTC

4

et,pa r suite , on voit que : AB 1 .

S i 0) 71:

+ 20) et on a :

AB > ) s in 2œ )


50 SOLIDE RECTAN GULAIRE INDÉE INI

Dans l ’expres sion de arc tgz remplaçons x par e… et e—Wet ajoutons les deux développem ents

arc tg cim arc tg e

—i‘"

D onc on a

i t cos 3œ cos 5œkfr cos œ

2 3 5

K est un nombre entier , que l ’on détermine en fai sant 0 .

On voit que K 0 , donc :

co s SœCOS w

î4

3 5 . Revenons au cas général .Nous avons trouvé

V E a … co s mœ 2 b… sinmao

l es et étant à indices impai rs , et les 6 à indi ces pai rs .Nous poserons

z i e*

y + iæ

D ’ oùim e

my m ix

La partie imaginaire de z'"

m = 4r + l,

m= 4r + 3,

m 4+L ,

su ivant la valeur

cos mx

s in mac

e—"W cosmœ

e“

-V sin mao.

SOLIDE RECTANGULAIRE INDÉF IN I 51

Suivant ces différents cas,nous poserons

m = 4u+ 1 ,

m = 4u+% ) \m

m : 4p,Âm

Et nous considérerons la fonction

MZ) 2

On voit que V est la partie imaginaire deLes coefficients de <p(2 ) sont réels . Donc , s i : es t réel , on a

V 0

W2 est reel S I 00 j :

5Donc V est nul pour ces valeurs .

So i t zol ’ imaginaire conjuguée de

On a

Appliquons au cas particul i er que nous avons déjà étudié

1r cos 35194V cos ace—y

3e—3y

La fonction cp(z) cor respondante sera donnée par

—S

+ m

1 arc tg zz .

52 SOL IDE RECTANGULAIRE INDÉFIN I

arc tg izo

V arc tg izo arc tg izi zo

iz

1 izo

. iz

2e—y cosœarc t

o 1 — e—2y

arc tg

36 . Fourier cherche à évaluer le flux de chaleur à traversun plan quelconque parallèle au plan y o .

En appliquant la formule générale qui donne le flux ou a

dQ

Dans le cas particul ier que nous venons etudier

4K(cos ace “ y cos 3d e * 3y

s in 300sm æe

—y

3

S i l ’on veut avoir la dépense totale de la source de chal eur

,i l faut prendre le flux pour la base y 0 .

Mais on voi t que , dans ce cas , l a série est d ivergente . Donc

SOL IDE RECTANGULA IRE INDÉFIN I 53

l a dépense totale de la source es t infinie . Ceci ti ent à ce quela base est maintenue à la température 1, tand is que les facesl até rales sont maintenues à l a température zéro .

FIG . 14.

Entre les po ints A()et A

|infiniment voi sins , mais pri s l ’un

sur la base,l ’autre sur la face latérale

,la d ifférence de tem

pé rature est finie , et i l y a ce que Fourier appelle une ca tara cte de chaleur .

CHAPITRE I V

SÉRIE DE FOURIER . THÉORÈME DE D IRICHLET

37 . Dans les considérations p récédentes nous noussommes servi s de fonctions supposées développables en sériede Fourier .Nous allons indiquer maintenant des conditions très générales sous lesquelles ce développement sera possible .

Cond i tion de D ir ich le t . Nous d irons qu’une fonction f (æ) sati sfait à la condit ion de D irichle t, lo rsqu’ el lepeut être regardée comme la différence de deux fonctionsdont chacune re ste constamment finie

,et n ’est j amais cro i s

sante .

Chacune de ces deux fonct i ons peut toujours être supposée positive . Eu effet

,soient f4 et 13 ces deux fonctions ,

et soit a la plus petite valeur qu ’elles peuvent prendre .

On prendra alors

f (œ) f/ . (50 ) on) ff. (œ) otl

COND ITION DE D IR ICHLET 55

Nous al lons montrer qu ’une fonc tion,qui n ’a dans un

in tervalle donné qu ’un nombre fini de max ima et de minima,

satisfait à la cond ition de D i richlet . Supposons , pa r exemple ,que la fonction présente un max imum et un minimum .

FIG .

'

.l u .

Appelons B et C le maximum et le m inimum et so ien t bet c les valeurs de 00 correspondantes .

Soit oc une constante .

D ans l e premier intervalle (a ,6) nous prendrons

f , f2 a f.

Dans le deuxi ème interval le (b, 0 ) nous prendrons

f, « + f — B f 2= a — B .

Enfin , dans le tro i s ième intervalle (c, d )

f, « + C — B a + C — B — f .

On voit que les fonctions et f2 ainsi définies ne sontj amais cro issantes dans l ’ intervalle a

,d,et

,de plus

,on pourra

prendre et assez grand pour qu ’elles soient positives danscet intervalle .

56 SÉRIE DE FOUR IER . THÉORÈME DE D IRICH LETS i deux fonctions satisfont à la condition de D i richlet , i len est de même de leur somme ou leu r produit .Soi t f A —B

f'= C D .

— (B+ D i

et les fonctions (A C) et (B D ) ne sont j amai s croi ssantes .

De même , on a :

f. f = (AC BD ) (AD BC)

On voit encore que les deux fonction s

(AC BD ) , (AD BC)

ne sont j amais croi s santes .Une fonction satisfaisante à la condition de D ir i chlet

être di scontinue .

Soit

On ah > o

et f , (ou h) croî t quand h décro î t .Donc f, (en h) a une limite quand h tend vers zéro . D emême

, f , (a: h) a une certaine l imite qu and [2 tend verszéro .

La limite de (w h) est inférieure ou égale à f,celle de f' (a: h) est supérieure ou égale à f,


58 SÉR IE DE FOURIER . THÉORÈME DE DIRICHLETet on pose :

CU,‘

B,, b — œ, …

So ient M ; et m, le max imum et le minimum de {(sv) dansl ’ intervalleOn forme les deux sommes

+ Mnôn

3 771282

m ,-8,

On démontre que,lorsque les intervalles 8 tendent vers

zéro suivant une loi quelconque,S et s tendent vers des

l imites fixes L et l .Pour que la fonction so it intégrable il faut qu ’on ait

L

Supposons que,dans l ’ intervalle (a , f (en) ne soit j amais

cro issante .

On aura alorsM ; f (æ i—4)

m ; f (æi )Donc

2 [f (œi—4) f (æi )i 55

formation des interv alles est quelconque ,

b a

On a alo rs

COND ITION DE DIR ICHLET 59

Quandn croî t indéfiniment

l im (S s) 0 .

Donc,l a foncti on f (x ) j amai s cro i s sante est intégrable .

S i une fonction satisfait à l a co nd ition de D i richl et , elleest la d ifférence de deux fonction s inté grables ; donc elle estelle-même intégrable .

Le s fonctions s in mz , co s mz satisfont a la condit ion deD ir ichlet .S i donc f (x) satisfait à la cond it ion de D i richlet , i l en serade même des p rod uits

f (z) cos mz , f (x ) sinmz .

L’exi stence des intégrale s qui figurent dans la série est

donc démontrée .

39 . Considérons

am dz—ir

où l ’on a posé

cos x co s a cos mx cosmzsinx sin 7. sinmx s inmz

—x )+ +cosm (z x ) .

Posonsz — x = y .

60 SÉR IE DE FOUR IER . THÉ ORÈME DE DIR ICHLET

Multipl ions les deux membres par 2 S Î D%a on voit que l ’on a

s in y

Posons alors

00 )

x étant compri s entre 7: et partageons l ’ intervalled ’ intégration en deux parties

fÏ.—f_ Î. +f.Î °

T ran‘sformons la prem i ere intégrale en posant

E lle devient

’

t,x sm y

y

y

y

f’dy .

o 2 sin

Pour la seconde intégrale posons :

CONDITION DE D IRICHLE'

I‘ 61

elle dev ient“tt—x

On a donc pour S

äî fœ y ) giy _y

o ?. sin '

äy

0 Q s inä

Nous avons à chercher la l imite de Sm lorsque m croî tindéfiniment .40 . Pour cela , nous allon s , d ’abord , étudier l intégrale

s in e€P(y ) y g du

ç (y ) sati sfai sant à la cond ition de D i r ichlet .Cons idérons l ’ intégral e définie

Hsin uy9

Nous allons d ’abord démontrer que Il e st fini e .

Remarquons que le numérateu r s in uy changepour les valeurs su ivantes de y

717!

i’*s

l

ä‘>

‘s

l

â"

’s:

D ivi sons le . champ d ’ intégration en intervalles partiels et

62 SÉRIE DE FOUR IER . THÉORÈME DE DIR ICHLETposons :

Les quantités B sont év idemment toutes positives ; deplus

,elles vont en décro i ssant

,comme on le voit aisément

en considérant la courb e représentée par l ’équation

sin p.1/

D e plus,B ,, tend vers zéro quand n cro ît indéfiniment .

FIG . 16.

On vo it donc que H peut se représenter par une série

COND ITION DE D IRICHLE'

I‘

alternéeH=B

,— B

2 + B3— B

Â + B2k—l— s +

Nous al lons démontrer que les B et,par suite

, H sontpendants de p. .

Considérons , en effet

(n i —1)

Posons

L intégrale dev i entI )“

Elle est donc indépendante de u.

D e plus , s i on pose

Bt

B2

Ba

B,

B2

B2k _ .

H2k H H2k—f

Revenons à l’

inté grale J et supposons , d ’abo rd, ç (y ) cons

tamment décroi ssante et positive . La fonction à intégrerchange de signe pour les valeurs :

64 SÉR IE DE FOUR IE R . THÉORÈME DE DIRICHLET)t étant le nombre entier tel que :

M 11:

1

Posons,de même que précédemment

—Ak

On voit ai sément que les A sont positifs et décrois sants,

que l ’on a :J J2k—1

Considérons l ’une quelconque des quantités A , par exemple

9 (y ) reste compris entre


66 SÉRIE DE FOURIER . THÉORÈME DE D IR ICHLETce qu i peut s ’écrire

J H? (6) H2k _ 4 B2k‘P

On p eut prendre k assez grand pour que 8 21, so i t auss ipeti t que l ’on veut e t

,par conséquent

,pou r que l ’on ait

B2A-‘P

et,k étant ains i déterminé

,on pourra fondre u assez grand

pour que :

ND

!.S

J2k—t H2k—t

J Htp

On démontrera de même que

W ( 6) J 71

en remarquant que l ’on aHcp(e) —.l H2k _ 4 ( a) J2k .

L e raisonnement qui p récède montre que

F=œ

S i la fonction <p, sans être décroi s sante , sati sfait à la condition de D iri chlet

,i l en sera encore de même .

41 . Revenons à la fonction S…

7t—x

Sm _ _

EXEMPLE S D IVER S 67

Les fonctions (x yl

Q s in% Q s in ï2

restent finies et sati sfont à la condition de D i r i chlet .Appliquons les ré sultats précédentsLes valeurs l imites des fonctions précéde ntes quand y tend

vers zéro sont respectivement

On a doncMm s 1uuæ+ a+vu

S i la fonctionè st continuel im S ,n 2Hf (x )

H est une constante . Pour l a déterminer , faisons f (x ) 1

on a,en se reportant à l a séri e de Fourier

l0

fim S 5vu+ a+ ru 6]

et , s i la fonction est continue

l im S “E f (x ) .

42 . E x emples div ers .

avons cons idéré .Reprenons l ’exemple nou s

68 SERIE DE FOURIER . THÉORÈME DE DIRICHLETNous avons obtenu

COS æ

‘.T

2< £Û <

La valeur de cette sé rie est

1r < æ <

passe au voi s inage

”

E4

7r

et si _

2+e

on a f (x ) - 2

Donc , d ’après ce que l ’on a vu précédemment , la valeur de .o A o ola seri e pour x

ëdoi t etre zero

,ce que 1on veri fi e imme

diatement .

Cherchons comme autre exemple le développement de lafonction x . C

’est une fonction impaire,donc le dé ve10ppe

EXEMPLES D IVER S 69

ment ne contiendra que des sinus et l 'on aura

« a ,, s innz dz .

i )a —f

donc le développement

x

s inxsiu 2x

2 2

1r x 7t .

Quand x augmente de 2 ir,la série ne change évidemment

pas de valeu r ; on a donc , en appelant y cette série , pour

7: x

x

2

3 7: 50 57r,

y2

2vi etc .

Nous al l ons étudier une séri e analogue à l a précédente

cos a: cos 2x cos Bx

1

pour cela nous allons considérer d’abord la série ima

70 SERIE DE FOUR IER . THÉORÈME DE DIRICHLETgina ire

°

1 2 3

Cette série représente , comme on le sait , l a fonctionL (1 e

“)

pour toutes les valeurs de x qui ne sont pas des multiplesimpai rs de T: .La partie réelle de cette fonction est

On a donc,pour toutes les valeurs de x qu i ne sont p as

des multip les impairs de 7:x cos x cos 2x cos 3x

L 2oos2 1 2 3

o o œDans la seri e qui donne le developpement de -

2-7 changeons

x en — x ; on aura :ar —x s iu x siu2 x s iu 3x2

le développement étant valable entre 0 et 21r.

La ser i e L 2cosâdev1ent

,par le meme changement

x cos x cos 2xL 2s1n

1 2

cette formule étant valable entre 0 et 27r. La convergencene peut pas être uniforme au vois inage de x 21m, car

THÉORÈME D ’

ABEL 71

chaque terme est une fonction continue , et la série ép rouveen ces points une discontinui té mais on peut se demandersi la conve rgence est un iforme pour les valeurs autres queces valeurs s ingul ières . Pour traiter cette question

,rappe

lons un théorème d’

Abel .

43 . Th é orème d’Abel . On considère une série

que l 'on suppo se convergente ou simplement oscillante .

S i l a sé rie est convergentel im (o… … 0

,

quel que so it p,qu and n cro î t indéfiniment ; on peut donc

prendre n assez grand pour que°'

n +p°'

n

p,, étant une quantité a 'uss i petite que l ’on voudra .

D ans le cas d ’une série osci llante,on peut écrire la même

inégal ité ; mais ça,, ne représente plus une quanti té infiniment petite ma is c

’

est une qua nti té finie .

Considérons une suite de nombres positifs décroi ssants ettendant vers zéro

“2 ,

j e di s que la sérieœ,u,

«i i,u2

est convergente .Pour le démontrer

,nous al lons chercher une limite

rienre du reste .

7? SÉR IE DE FOURIER . THÉ ORÈME DE DIR ICHLETOn aSu +p _ s + un +p

un+p

l e second membre peut s ’écri reo£n + 4

—q

o u bien encore“n )—l'“ °

”

u + i

Œn +po'

u -f-p

f°'

fl “IH -3 )

°'

u +p—4 °'

u °°N +p—4

°'

n ) °lu +p

Toutes les différences des a entre parenthèses sont pos it ives .S i on remarque que

quel que so it 10 , on voit que la quanti té précédente est inférieure en valeur ab solue à

P"f(1 n + i (Œn + 2 °‘n +pl

donc| Sn +p Sn Pn“n + 4

S i n croî t infiniment,

S ,, tend vers 0 , donc las érie est convergente .

44 . Application s du th é orème d’A bel . Supposons

d ’abord que l ’on aitenlx


74 SÉRIE DE FOUR IER . THÉORÈME DE DIR ICHLETqui sont re spectivement les partie s réelles et imaginaire sde la série :

S i on prend deux quantités 000et a:

,compri ses entre

et que l ’on fasse va rier æ de maniè re que l ‘on ait

on pourra trouver une quantité M indépendante de a:

que l ’on ait toujours entre ces l imites

On voit donc que la convergence sera uniforme entre 900

a:‘le reste est donc inférieur à

MŒn + 4o

En supposant ou,, on obtient les séries que nous avonsdéjà étudiées

45 . En faisant

APPLICATION S DU THÉORÈME D’

ABE L OC

on obtiendra de même les sériess innœ

s, 2 n

S ’

Ecos næ

2n2

s innæss 3

n—J 71,

00 8 725085 /_ J

S ,, et S ,; sont uniformémen t convergentes . En effet,le s termes

sont respectivement inférieurs à ceux de la série1 l l

.1 2 2“l'

qui es t absolument convergente et dont les termes ne dépendent p as de w.

Donc S2et S ; repré senten t des fonctions continues e t pé

riodiques .

I l en sera év idemment de même des séries 83 , S $, etc .

Cherchons la dérivée de S,

. On a

2cos næ

I

da: 71S '

mais,pour que ce ci so i t légitime

,i l faut que la série obtenue

par la différentiation soi t un ifo rmément convergente ; c ’estce qui a l i eu pour la séri e comme on l ‘a vu , sauf pourles valeurs s ingulières a: 2k1r.

On aura,sans restriction

dS 3dx

2 ,

76 SÉR I E DE FOURIE R . THÉORÈME DE DIRICHLET(FSma i s la d é ri v é e secondeÎ le—vf est d i sconti nue pour a: 2K7r.

Con sidérons maintenant une série de la forme

2 P ,, cos na:

dans laquell e P ,. repré sente un polynôme en

P" +np+

l + î2p+ q

En conservant les notat ions c i—dessus , l a val eursera :

(1) S }‘psp

Prenons maintenant la sér ie

dans laquelle a ,, est supposé développable su ivant les puissances de

nP nPH T

Posonsl a “+

B —ï

‘

.

de tel l e so rte que l ’on auraafl=P… + Ra

APPLICATIONS D U THÉORÈME D ’

ABEL 77

et la série sera

2 P,, cos næ 2 R, , cos næ

La première de ces deux séries,en vertu de l egal ité (i ) , e st

continue,ainsi que les dérivées jusqu ’à l ’ordre (p 2) inclu

s ivement ; la dérivée d ’ordre (p l ) est d i scontinue pou r3) fil m. On a :

R ,,

k étant un nombre fixe . La série

cos nœ

est unifo rmément convergente , ains i que les s éries auxquelle sconduis ent les q 2 premiè res diñ‘

é rentiations .

I l en sera donc de même de la série :

2 R ,, cosmo

de sorte que les dérivée s de cette série sont continues jusqu

’

à l ’ordre (qD onc la série

2 a ,, cos nœ

a ses dérivées continues j usqu ’à l ’ordre (1) 2) inclus ivement

,et s e comporte comm e les séries °

et

76 SÉRIE DE FOURIER . THÉORÈME DE DIRICHLETd 2Sma i s la dé r1vee seconde -

d

—æfest d i scontinue pour x 2K7r.

Considérons maintenant une série de la forme

8 E P ,, cos næ

dans laquelle P ,, repré sente un polynôme en

P" … +np+q

En conservant les no tations ci-des sus , la valeur de la sériesera :

(1) S Xpsp

Prenons maintenant la série

2 a ,, co…

dans laquelle a ,, est supposé développable suivant les puis1

sauces den

Posons

R"

de telle sorte que l’on auraan =Pn + Rn

APPLICAT IONS DU THÉORÈME D ’

AB EL 77

et la série sera

2 P,, cos næ+E R ,, cos næ

La première de ces deux sé ries , en vertu de l egalité (i ) , e stcontinue

,ainsi que les dérivées jusqu ’à l ’ordre (p 2) inclu

s ivement ; l a dérivée d ’ordre (p l ) est d i scontinue pou rau fil m. On a :

R: :

k étant un nombre fixe La sé rie

cos na:

est uniformément convergente , ains i que les s éries auxquellesconduisent les q 2 premi è res différentiation s .Il en sera donc de même de la série :

2 R ,, cos na:

de sorte que les dérivées de cette sér ie sont continues jusqu’à l ’ordre (qDonc la série

2 cos næ

a ses dérivées continues jusqu a l ’ordre (1) 2) inclus ivement

, et se comporte comme le s séries :

et

78 SÉRIE DE FOUR IER . THÉORÈME DE DIR ICHLETSupposons maintenant

cos

étant développable suivant les puissances de

On pourra cons idérer la série donnée comme sommedes deux su ivantes

E—

cos n ( :D — cp)

La prem i ere ne peut avo i r de d iscontinuité que pour

a:‘2k7r

et la seconde pour 00 2k7r cp.

Mais cela n ’aura l ieu que s i le dévelop pement contient1un terme enn

D e même,si l ’on a

a ,, A,, cos n <ç sin mp A,; cos nç' s in no’

il ne pourra y avoir de discontinuité que s i l ’on a

œ :=2kn i çp œ= 2kw i cp'

46. Supposons maintenant que l ’on ait

a ne

t étant un nombre pos itif, et et,, étant tel que


80 SÉRIE DE FOURIER . THÉORÈME DE DIRICHLETSupposons en particul ier :

(t)

et supposons que l ’on ai tA A , A

A… A , , A étant des fonctions de t dé veloppabl essuivant les puissances cro issantes de t.Pour que le terme général tende vers zéro

,il faut que l ’on

A,,

0 .

Nous supposerons d ’abord,que l ’on a auss i

A,

‘—O .

On aura

%W—EË P

Supposons cette série convergente pour1

tn

7 '

Alors la quantitépJQ)œq

vers donc on peut trouver nombre

B; M

M

q_q

APPL ICATIONS DU THÉORÈM E D ABEL 81

D onc,s i la série

EËE M

convergente,la série

2 2 2 % … m m

sera ab so lument convergente .

Sommons la première de ces séries .E ffectuons d ’abord la sommation par rapport

EE M àc’est—à- dire

Sommons par rapport a p,on a

M

Cette série est convergente , car elle est comparable à l asérie

1

PROPAGATION D E LA CHALEUR .

82 SÉRIE DE FOURIER . THÉORÈME DE DIRICHLETl

A1n5 1 donc , S I (p,, (t) ne cont i ent pas de terme en la ser i e

2 p,, (t) cos nx

est une fonction holomorphe de t.l

Supposons que cp,, (t) conti enne un terme en on posera

ao

et la série deviendracos nxA

, E n E cos nx .

On voit que la série est encore une fonction holomorphede t, pui squ ’ i l en est a ins i de A

,et de E cos nx

,et que

,

COS 7250d ’autre part,l e coefficient 2 n

est indépendant de t.

CHAPITRE V

PROBLEME DE L°

ARMILLE

47 . On appelle a rmi lle un fi l d e trè s faibl e section , formant un circuit fermé . On se donne la d istribution in itialede la température dans l ’armille , et l ’on demande quelle seracette d istribution quand on aura lai ssé l ’a rmille se refro idirl ib rement pendant un temps quelconque .

L ’équation du mouvement de la chaleur dans un fi l estcomme on l ’a vu

dV d2V

dt“V k

dx“

a et k étant des constantes , et x représ entant la longueur dufi l comptée suivant son axe a parti r d ’une certaine origine .

On a vu qu ’en posantV

l equation se réduit à

84 PRO BLÈME DE L’

ARMILLE

Cho i s is sons l ’uni té de longueur de man i ere que la longueur de l ’ armillé so it 27r

,et l ’unité de temps de manière

que k 1 .

On aura alorsdU d“U

(2) dt dx 2

U doit être '

une fonction périodique de x et de périodeL

’équation différentielle doi t être satisfaite pour les valeurspositives de t ; et pour t 0 on doit avo i r

U f (ae)

f (x ) étant une fonction donnée .

L’équation différentiel le (2 ) admet comme intégrales par

ticulières

cos nx e

s in nx e* "2 t

En effet , on a pour ces deux casdu

2—n udt

d 2u

I l résulte de la que2

U E a ,, cos nx 2 b,, sm nx e

sera auss i une i ntégrale de l equationLa fonction f (x ) , qui a pour période peut se developper par la série de F ourier . Soit

(x ) 2 (a ,, cos nx b,, sin nx ) .

PRO BLÈME DE L’

AR… LL E 85

Considé rons alors

U E a ,, 00 8 2 b,. sin nx e—"Q'

En posanta n cos nx b,, s in nx ;

U 2 un e

48 . Nous allons vérifier que U sati sfait a ux condi tions de

on a

l enoncé .

La série qui représente [ (x ) est , par hypothèse , convergente . Donc :

a ,, cos nx b,, s in nx k,

k étant une constante,et cec i a l ieu quel que so i t x ; en

particul ier,en faisant successivement x 0 et x en

voit quea u k bn k .

Nous al lons démontrer que,pour t> o

,U est une fonction

holomorphe de x et de t.

Nous avons vu que les séries

cc,, cos nx ,

a ,, sin nx .

représentent des fonctions holomorphes de x , s i on acc,, fi e

—n t,

t étant un nômbre positif .

86 PROBLÈME DE L’

ARM ILLE

O r , la série U se compose de deux autres sati sfaisantdemment à cette condition

,car on a2

a n 8t ke n t

,

bn e-n2 t ke

—nt’

pu isque l ’on aa ,, k 6 h .

Donc la séri e U est une fonction holomorphe de x .

Changeons t en t h , en aura

U E

Supposons t o,et prenons h assez petit pour que

t la 0 .

U est alors développable suivant les pu is sances croi ssantes de h . En effet , on a

2 p

e

—m… , E(_ M L

9

Nous avons ains i U mis sous la forme d ’une série à doubleentrée que l ’on do i t d ’

a bord sommer par rapport à p,et ensuite

par rapport à n .

Je me propose de montrer que U est une fonction holomorphe de h

,et pour cela de développer U su ivant les pui s

sances de h . Cela rev ient a changer l ’ordre des termes de la



ARMILLE

que l ’on ait

On voit alors que le terme général de la série précédenteest plus peti t en valeur absolue que

n?ke

—n î to

qui est le terme général d ’une série convergente dont leterme général ne dépend ni de x ni de t.

dU d2UDoncd te tdx 2

sont b i en rep resentees par la seri e

2n2ufle

—‘Il

On en conclut ai sément que l a fonction U sati sfait àlequation différentiel le .

Reste à savoi r s i U se réduit à f (x ) pour t o,c ’est—à

dire si,quand tend vers zéro

,U tend vers f (x ) . Cec i n ’ est

pas év ident,pui sque nous ne savons pas s i U est holo

morphe pour t o .

Appliquons le théorème d’

Abel à la séri e / ‘ (x ) , en prenantou,,

i

a ,, cos nx s in nx .

Le reste de la série ainsi formée,qui est précisément la

série U , sera tel que :

l'

R ere

comme on suppose t è 0 :

E n Pn

Or , la série E u,, étant convergente prendre n

PR OBLÈME DE L’

ARMILLE 89

assez grande pour que p,, qui , d ’ailleurs,ne dépend pas de

so i t aussi peti t qu ’on veut . Donc l a série U es t uniformé

ment convergente par rapport à la somme de cette sé rieest donc une fonct ion continue de t . Or , pour t 0

,elle se

ré duit àf (x ) . D onc , quand t tend vers zéro , U tend vers (x ) .50 . En général , pour t : o , la sé rie ne sera fonction ho lomorphe ni de x ni de t . En effet , pour t : 0

,on peut se donner

arbitrai rement la fonction f (x ) par conséquent , elle peutê tre discontinue

,et U ne sera pas alors une fonction hole

morphe de x .

Pour voir que U n ’est pas . en général , fonction ho lomorphede choisi ssons f (x ) de façon que l ’on ait

f (x ) 0 pour 0 x 7r

(x ) ayant des valeurs quelconques quand x est comprisentre n et 0 .

Pour t 0 on ne pourra plus avoir une tel l e di stribution,

c ’est—à-di re qu ’ i l ne pourra pas arriver que U so i t constamment nul dans un intervalle fini

,car on a démontré que

U était alo rs une fonction holomo rphe de x,et on sait qu ’une

fonction holomorphe ne peu t ê tre nulle dans un intervallefini

,s i peti t qu ’ i l soit

,sans être identiquement nulle .

L’équation différentielle :

dU d”U

dt dx2

nous donne , par différentiation s success ivesd2U d 3U

dt2 dx 2 d t

d3U d fU

dt dx 2 dx ‘

PROBLÈME DE L’

ARMILLE

D’

où l’

on tire

et d ’une façon générale

d”U d2PU

d l” dac”…

Remplaçons dans ces equations t par 0 et x par une

valeur comprise entre 0 et W. Les dérivées par rapport àx seront nulles

,pui sque f (x.) reste constamment nulle dans

cet intervalle il en résultera que les dérivées par rapport àzsont aussi nulles .

S i donc U était une fonction holomorphe de t pour t 0

elle serait développable au vois inage de t o,et on aurait

dU et… t‘2

U = Uo+ a

“

. d

Tous les coefficients étant nuls,U serait identiquement

nul,même pour des valeurs pos itives de t

,et nous avons vu

que cec i est imposs ible .

Donc,U n ’ est pas

,en général

,fonction holomorphe de

t pour t o .

5 1 . On aurait pu se poser le problème de la façon suivanteQuelle devait être la température à un instant t… pour que ,

au temps t,

to,la di stribution des températures soit faite

suivant une lo i donnée .

Mais un tel p roblème n a pas,en général , de solution .

En effet,prenons t

‘o,en a 0 . La solution , s i elle

EXPRESSION D E U PAR UNE INTÉ GRALE DÉFIN I E 9 1

ekista it, sera it donnée par la sé ri e

U Zune

ui n ’ est as conver g ente en e'

ne“ra l dans ce cas .

0

52 . E xpre s sio n de U pa r une i n t ég r a l e dé fin i e .Nous avons trouvé

a u

Remplaçons dans l a fonction U ces coefficients par leursvaleurs on aura

en posant

(3 )

On reconnaî t i c i la fonction de Jacobi,dont les p ro

pr ié té s sont connues .

5 8 . Nous allons transformer la fonction U en nous servant des propriétés de la fonction Les fonct ion s 8 peuventse mettre sous une infinité de fo rmes di ffé rentes . On passede l ' une à l ’autre en passant d ’un système de périodes à unautre équ ival ent .


ARM ILLE

Par exemple , en permutant les périodes , on obtient desformules de transformation dont nous allons faire usage .

Adoptons les notations d’

Ha lphen .

Soient u l a variable indépendante,20» et ?.œ ’ le s périodes .

On po se

Q einr

Z2 n

q” 2

cos î nm)

Pour passer de cette fonction à l a fonction entredans la formule i l suffi t de poser

x — z = ‘2w

Halphen démontre l ’ identité suivante

3_ (u

'

t )

Po sons maintenant

On a alors

( 1) Fonclions elliptiques , tome 1. page 264.

EXPRESSION DE U PAR UNE INTÉGRALE DÉFIN I E 9 3

Pour reven ir à l a fonction G),en a

Donc

Comme on at= i7rr

,œ — z = 2n0

OH &

A — n)2

On a donc(4)

On voit donc que la fonction qui figure dans U peut semettre sous la fo rme de deux séries d ifférente s (3) etLa première converge rap idement quand t est très grand ,et la seconde quand t est très petit .54 . Nous al lons vér ifier directement que la fonction U ,

exprimée au moyen de la fonction pri se sous la formesati sfait aux cond itions du problème .

Pour voir que U satisfait à l ’équation di fférentielle i lsuffi t de voi r que chacun des termes de sati sfait à cetteéquation .


ARM ILL E

On vo i t facilement qu ’ i l suffi t de vérifier que la fonction

- i932

sati sfait à l equationEn effet , on a :

du 1

dt 2

t

—É';

332

2 ze

_ 1 3 3 4

t 26

At+ t 5

et l ’on a , par su itedU d 2U

dt dx 2

Pour démontrer ce fait rigoureusement i l faudrait établ i rque la convergence des séries est uniforme et faire un raisonnement analogue à celu i que nous avons fait pour la première fo rme de la fonction U .

Remarquons ensuite que et par suite U,sont des fonc

tions périodiques de x et de périodeReste à voi r main tenant s i

,pour t 0

,U tend vers f (x ) .

On a

Lo rsque t tend vers o,les exponentielles contenues dans 8


PROBLEME DE L’

ARMILLE

5 5 . Nous avons fait cho ix d ’un système d ’unité s partienl i eres . Nous pouvons maintenant rétablir l ’homogénéité .

Soit la longueur del ’a rmille . Nous remplacerons partout

x par

2 par

t par

Dans les formules obtenues de cette façon,nous ferons

croître indéfiniment ; et , comme nous le démontrerons , nousobtiendrons ains i la solution pour le cas d ’un fil indé fini .

CHAPITRE VI

FIL INDÉFIN I . INTEGRALE DE FOURIER

56 Nous avons obtenu pour l e p roblème de l 'armille lasoluti on

où l ’on a

1 + 2 2 6 — z)

ou b ien2nTt )2

En faisant le changement d ’unités dont nous avons parlé,

on obtient

PROPAGATIOX DE LA CHALEUR .

98 F IL INDÉFIN Ie t l ’on a dans ce cas

ou b ien

Posons maintenant

On a alors

®8q 89 E 8qe*

ee s gou bien

®8qkt 2

S i on suppose que l cro i s se indéfiniment,Bq tendre vers

zéro,et

,comme on doit donner à q toutes les valeurs mul

tiples de 8q , on voi t qu ’

à la l imite la somme qui figure dansla première des express ion s de ®8q devient une intégrale , etl’

on a , dans ces condition s


100 F IL INDÉF IN I . INTEGRALE DE FOUR IERPosons donc , dans la dern i ere égal ité

aq i?

a et (3 étant des quantités réelle s .

On auraoo

f e—a 9q

2e—2 a qfii ep

?Ot dg

- cc

les parties réelles

f Î cos 2 18q ef32et dq \/7r .

oo

f e—“Q’l

2 cos ?.a dqoo

Posons

OD 8'

00

cos q (x “et" "

OO

C . Q . F. D .

58 . S o lution de Four ier . Cette solution reposeune transformation de la sé rie de Fourier .On a vu qu ’étant donnée une fonction f (x ) définie entre71: et W par la série

f (x ) 1E£ffi (z) cos n (x z) dz

on peut, parun changement d ’uni tés

,l a représenter entre

l et Z.

SOLUTION D E FOUR IER 101

On trouve ainsi

1f (x ) -

2 E f (z) COS Z ) dz

ou bienx b,, s in

avec

a "

Posons , comme nous

8q

0 61.

59

On aura

f <æ) tç (q>cos qæ sin qæi

et l ’on a pour ç (q) et (g) les expressions

COS Zq

(9 )

N

avons dej a fait

102 FIL INDÉF IN IOn conçoit donc que , s i croî t , on aura à la l imite la repré

sentation de la fonction f (x ) entre co et 00, sous la

forme

f (00) fofi COS qæ «I» (9 ) s in qæ] dq.avec

(q)COS qz

(q) z)

Nous allons voi r dans quelles conditions on peut êtreassu ré de la poss ibi l ité d ’une telle représentation .

59 . Inté gra le de Fourier . Supposons qu ’une fonction f (x ) sat isfasse à l a cond ition de D ir i chlet , c ’e st—à—d ir eque l ’on ait

f (æ)

f, et f2 étant deux fonctions constamment finie s ne cro is santj amais de plus

,nous supposerons que

,quand x tend vers

i oo f' et tendent vers une même l imite finie et determinée , de telle sorte que

l im (x ) 0 .

Considérons les intégrale s (p(q) et (q) , nous al lons montrer qu ’elles sont finies et déterminées .

Prenons,par exemple

oo

f (z) s in qz dz .


104 FIL INDEFIN IS i nous revenons au cas général où f (x ) sati sfait à la con

dition de D i richlet,on a

1“(w) f. (a?) 73 (SC)

lim f, lim cp.

D ’oùf = (f.— r) (fg

(f l cp) et (f 2 cp) sont des fonctions pos itives décrois santeset tendant vers zéro .

Le s résultats précédents sont appl icables à ces deux fonction s

,et par suite à la fonction f (x ) qui est leur différence .

Lesmêmes cons idérations s ’

appliquera ient a l ’ intégrale

(z) sin qz dz—ao

et aussi à l mté grale+cc

ff (z) cos qz dz.

60. Considérons d ’une façon générale

cos q (x z) dz

et supposons d ’abord f (z) pos itive , décroissante et tendantvers zéro ; quand x croî t indéfiniment , cos q (x —z) s

’

annule

pdur des valeurs de z en progress ion arithmétique

h , h f ,9 q

Supposons que nous remplacion s l ’ intégrale considérée

INTEGRALE DE FOUR IER 105“

f:f (3 ) COS q (æ z) dz

cherchons une l imite de l ’erreur commise .

La valeur de cette erreur est

f Ÿ (z ) cos q (ao—z ) dz .

Supposons71 h

On a

f —f

Nous avons une série alternée . D onc,l a valeur ab solue du

premier terme est une l imite supérieure de la valeur absoluede la série ; et l a valeur ab solue de la différence des deuxpremiers termes en est une l imite inférieure .

Supposons,pour fixer les idée s

,l e premier te rme pos iti f ;

en a alors

fh

Retranchons partoutf i l vienth

2_7t

< f.

Re tranchon s du premier membre l a quantite

106 F IL INDEFIN Iest pos itive , en aura

h +00

f .

< f. < f.q

Cons idérons maintenant 1 Intégrale

fl f (z) oos q iz

r o o o 7‘

L‘

Le champ d’

mtegrat10n est i nfer i eur a et la fonct i on sousle s ignef est inférieure à f (Z) . On a donc

h +

f (z) cos q (z — x dz < äf (Z)

D e même,on a

fi

q

f (z) cos g (z— x ) dzh +

On a donc

cos q (x—z) dz af (Z) .

Supposons maintenant que f (z) satisfasse à la condition deD i ri chlet et tende vers zéro quand z croît indéfiniment .En désignant par cpla l imite commune de f, et f, , ou prendra comme précédemment :

f = (f i


108 FIL INDÉFIN I

=fÛ°

E(q) d

C’est cette égalité qu ’ i l s ’agi t maintenant de démontrer .

ou b ien

Les intégrales cp(q) et «t(q) sont b ien déterminées , commeon l ’a vu ; par suite , l a fonction F(q) l ’est également .En réalité

,nous voulons démontrer que f (x ) est la l imite

de l ’ intégrale doublel

fidqf_

H£

dz

â;—ZÈ

ee s g (x z)

lorsque d ’abord Zet ensu ite cro issent indéfiniment .Considérons cette intégrale double . On peut y intervertirl ’ordre des intégrations , puisque les l imites sont finies cequi nous donnera

1

(1)_dz

o

i—ldg

(2)) S in B(x z)

œ

Admettons pour le moment que l ’ intégrale

—oo

estl a limite de l ’ intégrale

quand Zcroî t indéfiniment .

INTEGRALE DE F0 URHfi { 109

E n portant dans l ’ intégral e ( i ) l a valeur de

dg

t irée de l equation et fai sant ensu ite croî tre ! indé finiment

,on voi t que l ’ intégrale double primitive se réduit a

et dans cette intégrale nous devons faire croître indé fini

ment .On voit que nous retombons sur l ’ intégrale de D i richle t .D ivi son s le champ d ’ intégration en deux

+ 17:1 r œ

f J+—cc

—œ l'

D ans la prem i ere intégrale faisons

e t dans la seconde@+fi

L ’ intégrale devient

+ f W— v ä ü y

3/

110 F IL INDEFIN IOr

,on sai t que , s i a e st une quantité positive finie ou

infimesin

_By

y

a pour l imite,quand cro ît indéfi niment

ëÇPfê )

En appl iquant ce résultat ‘a l ’ intégrale précédente on a

E t,dans le cas où f (x ) est continue

cos q (x z) dz f (x ) .

62 . Toutefoi s , i l reste à montrer que l ’ intégrale

fÊq fidz0 —œ

est égale à la l im ite de

£)Ëqflqdz

quand il croî t indéfiniment , ce que nous avons provisoirementa dmis .Cec i ne présenterai t pas de difficulté

,s i la l imite inférieure

,

a u l ieu d ’être zéro , était une quantité pos itive


112 FIL INDÉFIN IOn a donc

q f Hdz= l im (

— l im dzffidq=£dîf ndq.

Nous sommes donc amenés à considérer l ’ intégrale+œ

dz f'ldg

et , pour démontrer la formule de Four i er , i l suffit d é tabl i rque cette intégrale tend vers f (x ) , quand et tend vers 0 et fä

vers l ’ infini .En effectuant la première intégration on obtient

Nous avons déjà trouvé l a valeur de la prem1ere intégrale,

et tout r evi ent à démontrer que la seconde tend vers zéro enmême temps que ou.

En suivant la même marche que précédemment,on trans

forme la seconde intégrale en la suivante

l‘

E—“D y l°

i f (œ sin ayy

satisfait à la condition de D irichlet . On peut donc écrireœ . .

<r. (F) ,

INTEGRALE DE F0 UR I ER 113

:o,et cg é tant deux fonctions pos itives décroi ssantes

dant vers zéro .

Montrons,par exemple , que :

Ç?|

tend vers zéro avec a .

On a,en effet

et en posantay u

,

l a derni ere intégrale dev i ent

Quand et tend vers zéro,i l en est de même de <p, . Donc

l ’ intégrale :sin « yy

tend vers zéro . Le rai sonnement serait le mêmeautres intégrales analogues que l ’on a à envisager .Par conséquent

,l ’ intégra l e

a (æ — z z

tend vers zéro , en même temps que a .

PROPAGAÏ ION DE LA CHALE UR .

114 F IL INDEFIN I63 . Application. Soit une fonction f (x ) telle que

f (x ) e—x s i x o

f (x ) e” s i x 0

f (x) est alors une fonction paire .

Donc

La parti e réelle est

S i x < o

2e cos gz dz_

W

est la parti e réelle de

f£î7t q

2


116 PROPRIETES DE L’

INTEGRALE DE FOURIERté grale

F (x ) f (F) 6”d

pri se le long d ’une courbe quelconque de longueur finiedans le plan de la variable q .

Nous allons démontrer que F (x ) est une fonction holemorphe de x .

Soit L l a longueur du chemin d ’ intégration,et so it 9 le

rayon d ’un cercle ayant pour centre l ’o rigine et comprenantla courbe à son intérieur .Nous supposons ç (q) quelconque , mais finie , c ’est-à—direque l ’on a

On a

On en déduit

en posant(j,

de

On vo it immédiatement que

A

Donc les termes de la série F(x ) ont des modules inférieurs aux termes de la séri e qu i représente le dé ve10ppement de

MLePæ ,

PROPR IETES DE L’

INTEGRALE DE FOUR IER 117

Donc la fonction F (x ) est holomo rphe dans tout le plan .

65 . Considérons , en second l ieu , l ’ intégrale

F. (as) f.i (q) dq

dans laquelle nous supposerons x o .

Je dis que cette fonction F, (x ) s era holomorphe dans

une région comprenant la partie pos itive de l ’axe des quantité s réelles .

Remplaçons x par x h .

On a

F, (x 2

en posant

(q)

il s ’agit de démontre r que la sé rie EA,,h” est convergente

si h est assez petit .Comme on a supposé x pos i tif, on peut trouver unnombre positif y tel que

0 y x .

Or , on aqn

yn

n !

d ’où l ’on déduit, tous les termes de cette série étan t pos itifs

g eqy

n

_

! y”

118 PROPRIETES DE L’

INTEGRAL E DE FOURIEROn a donc :

A Me*

9x

ou bienM 1

An

y”

iæ y )

On voit donc que les coeffi cients des pui ssances de h dansl e développement de F (x h) ont des modules inférieursaux termes de la s érie

2M 1

w y y ”

Donc la série F , (x h) est convergente s i l ’on ak y

66 . Nous allon s appl iquer les résultats précédents àl ’étude de l ’intégral e

f r (Q) dqo

en supposant x positif et en supposant auss i que <p(q) s ’annule lorsque q cro î t indéfiniment , c ’est-à—dire que l ’on a ,l orsque q est suffisamment grand :

A A

La fonction go(g) pourra avoi r a distance finie un certainnombre de singulari tés . Soi t L un contour passant par l ’origine , situé tout entier dans le premier quadrant et entouranttous les points s inguliers situés dan s ce quadrant .


120 PROPR IETES DE L’

INTEGRALE DE FOURIERO il aura :

e Bx id(3 2f 0: (25) e—i3x d?

et,d ’après ce que l ’on a vu plus haut

,cette intégrale est

une fonction holomorphe de x .

f est égale à la somme des rés idus (à un facteur près )L

correspondant aux pôle s contenus dans le contour L .

D onc/Lest une fonction holomorphe de x .

Il résulte de cette analyse que :

L=fË de

e st une fonction holomorphe de x,quand x est positif.

La partie réelle et la partie i maginaire de cette fonctionsont donc des fonction s ho lomorphes ; ces deux fonctionssont ”

f e ( (I ) 00 5 9 00 de0

00

(F) 8111 qwdQ

Quand on change x en — x,ce s fonctions conservent les

mêmes valeurs ab solues .Ce sont donc encore des fonctions holomorphes de x .

C’est donc seulement pour x 0 qu ’el les ce ssent d ’être

holomorphes .

67 . On peut donner de ce fait une autre démonstrationqu i a l ’avantage d ’être appl icable à la série de Fourier .

PROPRIETES DE L’

INTEGRAL E DE FOURI ER 121

C onsidérons la série

2 em x

où l ’on aA A.

? M — î + î + m

7'

t'

pour des valeurs suffi samment grandes de n . On sait quecette série rep résente une fonction holomorphe de x

, sau fpour

( C°2k7t .

Il ex i ste des quantités a et M tel les queA,,

Ma p

puisque ç. (x ) est convergente ; et , dans ces condit ion s ,sera convergente pour

n a .

En supposant q ent ier tel que

q > a

on pourra écrire

ËË P (O) 4 —u —ç (q l ) eW

—‘fix

+ ewww +

Les q premiers termes du développement sont t oujoursdes fonctions hol omorphes de x ; i l suffi t donc d ’ établ i r lethéorème pour

CD {n) ei n .r

_M


INTEGRALE DE FOURIEROn a :

0

et en diffé rentiant (p 1) fois par rapport à n

f î—nz

zp—1 dz

ip iL!

0

np

(z) dz0

en posant(g ) E

ABÊÎ i(2°

et on a évidemment1

(z) M(ÊP

Î 1) !Ma

Cherchons maint enant :co

2 (n)

Cette quantité est égale àœ

f li” (z) dz [3 9 ( efQ+l ) f—z+ iæ)

0

ou b iene‘l f—Z +Î æ)

(z) de“W

°

68. Pour montrer d irectement que cette fonction e st holo


12 1 PR OPR IETES DE L’

INTEGRALE DE FOUR IERDonc

modules

qui est évidemment convergente s i00

[Mdz0

a une valeur finie .

69 . Appliquons ces résul tats à la fonction00

E W )9

que nous avons mise sou s la forme

e‘i f—Z+ÏJJ )

Nous avons à examiner le terme

e q (—s + ix )

Changeons x en x h, en a

8 ei q (x—h

‘

PROPR IETES DE L’

INTEGRAI.E DE FOURIER 123

S i x est d ifférent de 2kn , on peut p rendre le assez petitpour que le dénominateur ne s ’

annule pas .

Donceiq (x + lz)

l — e*

ei (x + h ) P“

Le maximum du module de la fonction à intégrer est donc ,

si h p:

Ma e“

Tout revient à montrer que:x:

f M.æ <a —<n=dz0

a une valeur finie ; cela ré sulte de ce quea q .

70 . Revenons à l ’ intégrale de Fourier et cons idérons

f i?l cos qx de0

où l ’on suppose que , pour q suffisamment grand , ç (q) estdéveloppable su ivant les pui ssances de

A,

A .

2

e (q)(1 q

,

D ’après ce qu’on v ient de vo i r,l ’ intégrale sera une fonc

tion continue de x,sauf pour x 0 .

Que se pas ser a—t-il pour x 0 ? Nous allons démontrerque s i

l ’ intégrale est une fonction cont inue , même pour x o .


INTEGRALE DE FOURIERPour cela

,nous allon s faire voir que l ’on peut prendre

une quantité h as sez petite pour que

f cp( ) [cos q (x + h) — cos gx ] dg < a

On peut décomposer l ’ intégrale en deux autres

f£+liLa prem1ere intégrale est une fonction holomorphetout le plan .

L ’élément de la seconde intégrale est inférieur à

q“dg

Donc on a

et nous pourrons p rendre p as sez grand pour que l ’on ait

2k<

e

p 2

Cela fait , on pourra prendre h assez petit pour que lao r 6

prem i è re 1ntegra le sort auss1 mfer1eure aSupposons maintenant que la séri e contienne un terme1

Q



INTEGRALE DE FOURIER7 1 . Nous avons vu que f (x ) peut se représenter par l Intégrale de Fourier

f (Œ) =f 0f1(F) 00 8 903 (61) s in ex ] de

dans laquel le

Or,on a

,en remplaçant cos qx par des exponentielle s

, ,cc

1oo

,ce

—i ( a .

j (ÿ (Q)cos qæ dq êfÛ‘P(Q) 6

"CM 8 M M

En changeant dans la seconde intégrale x en x , ell edev i ent

0

l on voit alors que

.] 0cp(q) cos qx dq

On verra de même que

] O°

t (q) s in ges de

S i donc on pos é

1 ,oo .

(q) q

f (q) da.

PROPR IETES DE L’

INTEGRALE DE FOUR IER 129

OH auraf (x ) f_

Î iq) dq

avec

[ces qz i s in qz] dz

D e cette manière , la récip rocité des fonctions f et 6 apparait nettement .

P Rfl P Â G À T ÏÛ \‘

D P l . l‘ H AI P ITR

CHAPITRE VII I

ÉQUAT IONS L INÉA I RE S ANALOGUES A CELLES

D E LA CHA L E U R

72 . La méthode que nous avons employée pour intégrerequation

dU d2U

d t dx 2

peut être étendue à d’

autres _ é quations l inéaires , tellesl ’équation des cordes vibrantes

d2U d2U

d l’

dx 2

et l equation des télégraphistesd*V d

_

v d2V

dt=’ d t dx 2

que l ’on peut transformer en posantV U é "


132 EQUATIONS ANALO GUE S A CE LLE S'

DE LA CHALEUR

d 2U

dæ29 de

U sati sfera à 1 equation proposée , s i l ’on a

dt

c ’ est-à—d irez oc. e

en étant une certaine fonction de q .

On obtient alorsU foie dq .

Il faut que, pour t o

,U s e rédui se a la valeur ini tiale

donnée . On peut supposer cette valeur ini tiale mise sou sforme d’

inté gra le de Fourier

em dg .

Donc U sati sfera à toutes les conditions du problème sil ’on a

U j i0 (q) e“ ? dg .

74 . Equation des co rde s v ibrant es .

d 2U d2U

dt'

3 dx"

Cherchons,comme précédemment à sati sfaire à l equation

par une fonction de la fo rme

U fj » 0 e"” de

EQUATION DES CORDES V IBRANTES 133

On aura

d"U

—00

(12

? el (læ dg .

La fonction U satisfera à l ’équation d ifféren tiel le s i l ’on ad ’?

â î2 9 3“

L’ intégrale de cette équation peut se mettre sous deux

fo rmes d ifférentescos (j t _

6 s in qtqui donne

ooU (a. c os qt s in qt) e“7x—cc

ou b ien

qui nous donne+ 30 00

Uac oo

D e cette man i ere,on voit que l ’ intégrale est de la forme

U — t) .

I l s ’agit maintenant de déterminer U par les conditionsin itiales .Prenons la prem i è re forme trouvée pour U . Supposons

dUque les valeurs Ini t ial es de U,

pour t o,soœnt deve

134 EQUATION S ANALOGUES A CELLES DE LA CHALEURloppé es en intégrales de Fourie r :

Uo

En faisant t 0 dans les expressions de U et de et enidentifiant avec les valeurs précédentes

,on trouve

"Q

LÇD

CD

La solution du problème est donc

0 (q) cos qt -Ô sin gt e

‘qœ dq.

75 . Equation des té l é graph istes . Nous avons vuque cette équation

d”v dv_

d2v

dt +2dt

__

d

ramener par le changement

V U é

à la formed"U d2U

dt2 dx 2U

Comme précédemment , nous nous donnons conditions


136 EQUATIONS ANALOGUES A CELLES CHALEUR

Pour que ceci se réduise il faut

8 \/q2 1 0

4 .

Ainsi donc

0 t 2

u - L

T19

1q

est la solution du problème .

En remplaçant les cosinus et sinu s par des exponentielles,

0 11 3 1

+00

—l ) pei (qx—t 2

œ

- 1

_ L _

Dans l ’expression de la fonction U figurent fonctions

cos t \/q2 1

sin t Jäî Ï

On peut se demander s i ce sont des fonction s uniformesde q . Cela a l ieu , en effet , car ell es ne changent pas si onchange le signe du radical .

76 . D i scussion . Nous allons nous donner comme premi er exemple les conditions ini tiales suivantes

DI SCUSSION 137

f (a: ) et f, (90) seront nulles pour93 6 ou 50 a

en supposantb < a .

Dans l mtervalle de b a a,nous supposerons que f (œ) et

(a: ) sont égales , par exemple , à des polynômes entiers en as .

On a dans ces conditions

Cherchons l ’ intégralea

s e ( 22 .

b

Considérons pour celaa

f e—‘qz dz

b

D iffé rentions fois par rapport a (1 .

On obti ent :

1)ps e- wz dz e

—ia e—fobP

1

5et P, étant des polynômes enà

Par conséquent , equi est une somme de termes semblables

138 ÉQUATION S ANALOGUES A CELLES DE LA CHALEURà celui que nous venons de considérer , aura la même forme ;et i l en sera de même pour e, .

77 . En se reportant à l a définition des fonctions a et ?trouvées plus haut

,on auraa d e“” a

”e—i‘?b

a'

,on”

, s'

,étant développables suivant les puissances

On peut toujours écrire

6"“557 7 (q , t)

e—W5'Î ' (q ,

On a , d ’ailleurs(Q, t) (q ! t) ‘

D ’autre part

et pour q suffi samment grand , l e second membre est déve10ppable suivant les puissances de -

1il en sera donc de

même de 'i’ (q , t) et de (q ,t) .

L ’ intégrale U peut se décomposer en quatre autres de lafaçon su ivante

U j a'

\Pel fl (Œ—a + tl dq

—b+ t) dq

+f pr'i“4 ei (I (x—d _ l ) dq

l

+f p”

'

iü

Chacune de ces intégrales est du type de cel les que nousavons examinées à '

la fin du chapitre précédent .


140 ÉQUATION S ANALOGUES A CELLE S DE LA CHALEUR2

dfl’

sont nulles pour t o ; et on prouvera de même que lesD onc

,d ’après ce que l ’on vient de voir

,l e s dérivées

d 3U

dt3

dérivées d ’ordre supérieur s ’

annulent également pour t 0 .

Par conséquent,la fonction U

,qui est holomorphe et qui

s’

annule avec toutes ses dérivées pour t 0,est identique

ment nul le .

On vo i t ainsi que les quatre discontinuités se propagentavec une vitesse constante .

On peut remarquer que l es choses se passent tout autrement que dans le cas de la p ropagation de la chaleur . On avu , en effet , que dans ce cas la ‘

fonction U est holomorphe en03 pour toute s les valeurs posi tives de t

,et qu ’elle cesse d e

l ’être pour t o .

78 . Nous avons vu que la so lution de l equation des cordesv ibrantes peut se mettre sous la forme

U =F <æ+ t) F.<æ — t)

dU

cu— F @+n— E @ _ o

D ’où

Donnons -nous les conditions initiales de la façon suivantePour

m > a œ < b t= O

0 n aura *

U=O ,

conditions,nous

æ > a + t

DISCUSSION 141

OIl &

U oEn effet , on a pour

t o etF (ac) F

.

F'

(æ) F: (au)

En diffé rentiant l a prem1ere équation , obtientF

’

(œ) F; (æ) 0

On a doncF

'

(æ)

et,par suite

F (œ) C our ccF, (œ) C

P

verra même que l ’on a

l“(æ ) C, our 90 6

M ac) C.

On en conclut que

Supposons

142 ÉQUATION S ANALOGUES A CELLE S CHALEURe t cons i dérons une valeur de 00 telle que

a

Dans ces conditions,on aura

U = C — C ,

Ainsi,dès que l ’on a

cesse d etre constante dans deux inte rvalles

de (b t) (a t)

de (b t) à (a t)

79 . Revenons au problème des té légraphi stes , en faisantune hypothèse particul iè re .

Nous supposons qu ’à l ’ instant init ial on a , pour toutes lesvaleurs de a:

d’

où

e t

s auf pour

e t qu ’en outre

f (æ>= o

—e < æ < s

a pour ces valeurs


144 ÉQUATIONS ANALOGUES A CELLE S DE LA CHALEUREMA étant une demi-circonférence de rayon très grand etayant pour centre l ’origine (fig .

FIG . 18.

Le contouren question ne comprend à son intérieurpoint s ingul ier ; donc l ’ intégrale totale est nulle .

L ’ intégrale peu t s ’écri re

eÏQ (Œ+ Ü

) dt

1i q g

avec(q , t)

D ’aprè s l ’hypothèse faite sur (03 t) , on voit que l ’ integrale 1 prise le l ong de la demi—circonférence tend verszéro , quand le rayon croî t indéfiniment . Donc l ’ i ntégralepri se le long de ABCDE est nulle .

80 . Supposons maintenantau 0

Nous considérons encore le chemin ABCDE ,et nous y

adjoignons la demi-ci rconférence EM ’A (fig .

L’ intégrale le long de cette demi—ci rconférence sera nulle

0DISCUSS ION 140

comme précédemment,mais l ’ intégrale le long du contour

to tal se ra égale à l ’ intégrale pri se le long du contourOABCDEO

FIG . 19 .

ei (-7x + tW?—' i - rfl

Posons alors(1 sin :p.

DE

146 ÉQUATIONS ANALOGUES A CELLES DE LA CHALEURL ’ intégrale I deviendra

1sm cosI _

ëf ezx <p+ t cpc ’

0

c ar on voit ai sément que , lorsque q suit le contour désigné ,varie de 0 à fin: .

Développons l ’exponentielle en série

Or , on a

t co s ? + z‘

æ sin ç

On a donc

eix sinç + t cos çp2

lit+æ ) el ç !t æ l

2P p!

L intégrale considérée se réduit , par su ite , a :

(î n) !2 (n i)“l

iz

08 1‘0 11 a

florsque

L ’ intégrale cherchée ak ; £ o

donc pour valeur

£l2

n2

)n

2 2%


148 ÉQUATION S ANALOGUE S A CELLES DE LADonc nous avons , pour les d ifférentes valeursvaleurs su ivante s de US i :

0 11 8.

U z o

U 7r .Ï0

t2 )

D ’après la définit ion de JO,on voit que J (, (iæ) , où l ’on

suppose æ réel , cro î t avec la valeur absolue de 50 .

Le max imum deJo

52 )

a donc l ieu pour ac 0 , c ’est—à-dire au mil ieu de l a partieébranlée . Pour une valeur donnée de x , J0 va en augmentantavec t .

On s ’en étonnerait s i l ’on ne se rappelait que le potent ieln ’est pas égal à U , mais à

V U6"

Or,quand t est très grand , la valeur asymptotique de

Jo (it) est

Aet

W

A étant une certaine constante numérique .

D onc la valeur asymptotique de V est

Ae t —Œ2—Z“rm

DISCUS S ION 149

ou bienA\/Z

82 . Ains i le po tentiel diminue , U c ro i s se,

ld im i nue commeSupposons maintenant

f 0

pour toutes les valeu rs de a: .

D ’où :0

f t 0

a: a ou a: 6.

f, (ac) ayant des valeurs données dans l ’ interval le de b a a .

On a dans ce cas

ä 1 1 \/q2 — 1

\/q2 — 1

sin t \/q2 — l

s/ q2 — iei q (m—z)

On sait qu ’on peut interv erti r l ’ordre des intégrations .Posons alors

9 (æ—Z )M ïd

\/q’ i

q

150 EQUATION S ANALOGUES A CELLES DE LA CHALEURet l ’on aura alors

f i (Z) K dr .

27t

D ’ après l ’on a vu tout à l ’heure,

Z)2 t2

on aK 0

(w 32) t2

on aK ..J

, N(æ z)2 a )

Ains i K est nul àmoins que l ’on n ’ait

J: t z x t .

Dans l ’ intégrale U , on pourra donc prendre comme l imiteSupérieure la plus petite des deux quantités

a et , (à+ t)

et comme l imite inférieure,la plus grande des quanti tés

et (00 t) .

Supposon sa b2

c ’est-à—dire15 t a

Il y aura cinq cas à considérer


ÉQUATION S ANALOGUE S A CELLES DE LA CHALEURd

On peut doncprendre 00 tel que6 t a: a t.

D ans ce cas les l imites d ’ i ntégration sont

(a: t) et (m t)e t l ’on a

x + l

U f ’

2

(Z2JOdz .

Les autres cas se discutent comme pour

t >a

;b

83 . Cons idérons maintenant le cas inverse du précédent .Supposons

f i_

0

pour toutes les valeurs de w,d ’où

64

0 .

E tf = 0

lorsque l ’on a00 a 50 6.

On aura dans ce cas+ 00

(1) U [6. cos t \/q2 16”7æ dg .

La solution dans le cas précédent était

s in t \/q2 1

\/q’ — 1

(2) U dg .

D ISCUSSION 153

La solution du problème qu i nous occupe se déduit decelle-ci

,en diffé rentiant l a formule (2 ) par rapport a t et en

rempla çant et 6,par [“et 6.

E t o n aura,suivant le s différents cas , en supposant comme

p récédemmenta b

9

00 a

U o ;

b x a t

f d_ j_o f2

(æ

dtdz

en remarquant que

a

S i nous supposionsa b

on auraitb+ z< a

t < æ < b+ t

2 d tdz ;

— t < œ < a — t

f îfJ / œ t_

ä dzdz +

œ < b - t

U z o .

154 ÉQUATIONS ANALOGUES A CELLES DE LA CHALEUROn pourra i t donc prendre

b+ t < æ < a — t

et , dans ce cas , les l imites d ’ intégration pour U seraient(œ t) et l ).

En remarquant que ces deux l imite s sont fonctions de t0 11 8 :

+ t

Uät0 dz +

Î (œq

et , lorsque t tend vers zéro , on voit que l ’on aU f (æ) .

Dans le cas plus général où et ont des valeurs quelconques dans l ’ intervalle (b, a ) , mai s sont nulles au dehorsde cet intervalle

,on obtient l a solution géné rale en ajouta nt

l e s deux solu tions par ti cul ières obtenues dans ce qui précèd e .

84. Repré senta tion g raph ique . On peut représen te rgraphiquement les résultats des discuss ions qui précèdent .

FIG . 21.

Nous représentons l’état ini ti al de la perturbation en portant les x en abcisses et les U en ordonnées , ce qui nousdonne la figure 21 .


EQ UATION S ANALOGUES A CELLES DE LA CHALEUROn peut remarquer que , s i a b est t rès petit

,c ’est—à

d ire s i la perturbation est de courte durée , l e champ d ’ integration du t erme rés iduel est pet i t et , par suite , ce terme estnégligeable .

(Cf. L es Osci lla tiom é lectr iques . Paris Georges Carré ,1894,

pages 179 et suiv .

CHAPITRE IX

M É T H O D E D E L A P LA C EFIL ou SOLIDE INDÉFIN I

85 . Revenons à l equation du mouvement d e la cha leu rdans un fil

dU d2U

Remarquons que

We

est une solution pa rticul i è re de l eq uationS i donc on pose

ÎË_)e

Q

\/ tdE

cpé tant une fonction arb i tra i re , V sati sfera à l equa tion

158 MÉTHODE DE LAPLACEIl faut que , pour t 0 , on ait

V =flM

Posons

On a‘

V

et pour t o,ceci se réduit à

V fif i; (a: )

donc que l ’on ait :

Donc la solution du problème e st

e°‘ dot

_(æ—êt2

e dE

S i re ste finie pour très grand,l ’ intégrale est fi nie .

peut même deveni r infinie sans que l ’ intégrale cess ed ’être fi nie .


160 MÉTHODE DE LAPLACEEn remarquant que la fonction à intégrer est une fonctionpaire de q , on peut écrire

V e cos q (œ E) d£

et s i l ’on pose

cos q (æ d

on aj e

‘

q"F (q) dq0

On aura auss icp(g) cos q 00 (9 ) sin 900

en posant

q. (g) cos qË,

f ’” s in qî fl

87 . Nombre des fonction s a rb i tra ires . I l a unpo int sur lequel Four ier rev i ent à plusieurs rep rises i ls ’agit du nombre de fonctions arbitraires que comporte lasolution du problème .

Fourier se donne la fonction V (33 ) pour t 0 ,et l a solu

tion ne comporte qu’une seule fonction arb itraire .

I l n ’en serai t plus de même si on se donnait pour a:

l a fonction V (t) ; i l faudrait alors se donner , par exemple , endoutre , la valeur de à eu fonct i on de t pour w 0 .

NOMBRE DES FONCTIONS AR B ITRAIRES 161

Cela résulte de la théorie générale des équations d ifferentielles , car l ’équation e st de la forme

dv d‘-’ V

dt 51322

On peut , d ’ailleu rs , s ’en rendre compte de la manière su ivante .

Soit :

E A ww

On aura

2 (m

dî V

dx 2 2 1) (n 2 ) Arn (n +2 ) t’"æ”

D ’où en identifiant

(m + ÜN… uw—W+ ÜW

Formons l e tableau des coefficientsAù»0 Al") A2 »0

Ao lAl » !A 'Z« 1

A0 .2A

l f )A2 »?

On voit donc que la relation de récurrence permet decalculer les coefficients de la (m colonne , connai ssantceux de la ou b ien ceux de la (n l igne , connaissant ceux de la

P ROPAGATION DE LA CHALEUR .

1692 MÉTHODE DE LAPLACEOn voit donc que , pour déterminer la fonction , i l faudra sedonner ou b ien les coefficients de la p remière colonne

,ou

b ien ceux des deux premières l ignes,c ’est-à-dire

,dans le

p remier cas , V (œ) pour t O , et , dans le second cas , V et(A, en fonction de t pour a: o .

dx

On a donc , suivant le cas , une ou deux fonctions arb itrai res .88. Considérons t, œ ,

V comme les coordonnées rectangul ai res d ’un point .La fonction V sera représentée par une surface .

S i l ’on se donne la valeur de V en fonction de aa pour t 0

ou en fonction de t pour m 0,cela rev ient a faire passer

la surface par une courbe donnée : dans le p remier cas,on a

une surface bien définie,et dans le second cas on obtient une

infinité de surfaces ; dans ce dern ier cas , toutes les surfacesobtenues coupent l e plan t 0 su ivant certa ines courbesc'

c”c

'

Ces courbes ne sont pas quelconques , car l ’une d ’ entreel le s suffit pour défini r l a surface qui la contient .Voyons quelle est la propriété commune à ces courbes .Supposons que pour w 0 on ait

V cp(t) 0

W)

L equation d ifférentiell e ne change pas s i on changeV en V et as en x . Les équations aux l imites nechangent pas non plus ; donc V est une fonction impaire de 50 .

On devra donc avoir

f (x ) f ( x ) o


164 MÉTHODE DE LAPLACE

dVkAV

ou,en chois i ssant convenablement les unités

dV

dtAV

Il faut que , pour t 0 , on ait

V f (03 , y ,z ) .

Pour résoudre le problème,nous poserons

U ,1e

W

È, étant une constante arbitraire .

Nous avons démontré que l ’on a dans ces condit ionsdU ,

d2U,dt dæ°

Nous poserons de même

sorte

EXTENSION DE L A SOLUTION DE LAPLACE 1623

Soit maintenantU U ,U 2U 3

on aurad’

i U.H.d2U

dx 2’U2U 3

il2

_

U_æU

dy'

dŸU

dz23 U

,UQ.

U3U4

avec

8UW

Posons al ors

étant une fonction arbitraire,et l ’ i ntégral e étant étendue

à l ’espace tout entier.

166 MÉTHODE DE LAPLACECette fonction V sati sfait évidemment à l equation diffé

rentielle , car

dî dn d!

AV cpAU dî dnd ë .

Comment doit-on chois i r (9 pour que V se réduise apour t O ?

Posons

On aura

_

1_ e

—(a‘3

3

Faisons t 0 dans cette expression . I l faudra que l ’on ait

f (w, z) 8fff? (x . y .z) e dor. dp. d, .


CHAPITRE X

REFRO ID I SSEMENT DE LA SPHÈRE

9 0 . Nous allons maintenant aborder un autre problème ,celu i du mouvement de la chaleur dans une sphère .

Nous supposerons qu ’

à l ’ori gine des temps la distributione st tel le que la temperature so i t fonction seulement de ladi stance au centre ; par rai son de symétrie , i l en sera demême a un instant quelconque .

Passons en coordonnées polai resa: r sin 6 cosy r sin 0 S in cpz r COS 0.

Nous avons établ i , au début du cours , 1equation du mouvement de la chaleur dans ce système de coordonnéesdv d ’V 2 dv

_

1_

d ’V cotg 6 dV 1 d"v

dt dr 2 r dr de2 de s in“) dcp2Dans le cas qu i nous occupe , cette équation se simplifi e et

REFRO ID I SSEMENT DE LA SPHÈRE 169

devient1 dv d2V 2 dv

li: d l dr 2 r dr

Nous prendrons comme unité de longueur le rayonsphère , et nous chois i rons l ’unité de temps , de manière

k 1 .

L equation différentielle devient dans ces condition s

dv d 2V dv

dt dr 2 dr

L equation à la surfacedv

dn

dev ient ic idV

dr

h étant un coefficient positif qui dépend du pouvoi r émissiide la Sphère .

Pour achever de déterminer l e p roblème,i l faut se donner

,

pour t o,la valeur de la fonction V

V

9 1 . Pour s impl ifier 1equation d ifférentiel le , posons

U

SPHÈR E170 REFR O ID IS SEMENT DE L A

ON 1 dU Udr r dr

d'

3v 1 dzU 2 dU QU

dr 2 037 3 r2 dr

L equation devient alorsdU d 2U

dt 617“

Nous remarquons que c ’est l ’équation à laquell e on é ta i tarrivé dans le cas du fi l mais les équations aux l imites nesont plus les mêmes .

La condition à l a surfacedv+ hV 0

7“

devient '

i dU U7 617“ r

2 +hU

r = 1

(1 h ) U .

De plus , pour t 0 ,on doit avoirU

Remarquons que U doit s ’

annuler pour r 0 car on aU =V?”

et V reste finie .


172 REFR O IDI S SEMENT DE LA SPHÈRE

7‘ 1 .

Cette conditi on devient ic i

{A. cos u (1 h ) sin g ,

ou,en posant

1

1 — h

tg y… =A u .

A

9 3 . S i {J. sati sfait à cette équation transcendante U seraune intégrale particul iè re .

Nous sommes donc amenés à discuter cette équation transcendante .

Il est év i dent que ses racines sont deux à deux égales etde signes contrai res ; i l suffit donc de cons idérer les racinespos itives .Constru ison s les deux courbes

y = tg s

I l e st,d ’abord év ident que la droite

3/ = AP

coupe chacune des branches de courbe en un point aumoins (fig .

Che rchons s i elle peut couper une des branches en plusd

’

un point .Lai ssons

,d ’abord de côté l a branche qui passe par l ’ori

gine ; i l faut voir s i le rapport t-g peut passer plusieurs fois

par la même val eur quand varie de 1) gà 1)

81 cela a l ieu , la dérivée s ’

annulera au moin s une fo i s dansl ’ intervalle .

FIG .

La dérivée logarithmique de ce rapport est

cos p. s in p. 1

s in {J . COS p. u.

Pour que cette dérivée s ’

annule il faudrait que l ’onsin 211 2pt .

ce qui ne peut avo ir l ieu dans l ’ intervalle considéré .

Donc il y a une racine , et une seul e , entre

(‘2k 1) et 1}

’

2

’

174 REFRO IDISSEMENT DE LA SPHÈRE

9 4 . Reste à examiner l mterva lle de o àLa racine p. o est évidente .

I l faut su1vre les va r1a t10 ns du rappo rtt‘dans cet Inter

val le .

On a pour pt oR g … ,[J.

et pour p. le rapport est infini .l®

1

â

Or , i l ne peut y avoi r n i maximum ni min imum dansterva lle ; donc le rapport va sans cesse en croi ssant .S i donc on a

a une racin e dans

i l n’

y en a pas .

9 5 . Nous allons chercher s i l equation transcendante qu enous étudions possède des racines imaginaires .Nous distinguerons les racines complexes et les racinespurement imaginai res .Nous allons démontrer

,d ’abord

,qu ’ i l n’

y a pas de racine scomplexes

,et pour cela nous emploierons une formule qui

no u s sera utile dans la suite du cours .

Considérons deux solutions U.et U

2

U.e—fî

2‘ sin par1

U2 e*

1;"s in pr

2


176 REFR O IDISSEMENT DE LA SPHÈREconséquent , leur p rodui t e st posi tif. En outre

2 4P P‘ i l“4 2

quantité différente de zéro,pui sque la racine supposée

complexe . Or , l ’ intégrale1

U ,U2 dr ,

dont 1elément est dan s ce “cas,pos itif, ne peut être nul l e .

Donc l ’équation ne peut pas avoi r de racines de la form ea pi .

9 6 . Peut-elle avoi r des racines imaginaires pures de laforme (Si .

S i cela a l ieu,elle admet aussi l a racine et , dans ces

cond1t1ons ,_ä jf est reell e

,car son 1mag1na1re conyuguee

est égale .

Or ‘

1 e—f3 ef$

tg 2$e

' fï 83

Il faut voir comment varie le rapport quand croî tde o à oo .

Pour 0,on a

Pour çä= æ , on a

I l ne peut y avoi r dans l ’ inte rvalle un max imum ou un

REFRO ID I SSEMENT DE LA SPHÈRE 177

minimum que s i l ' on a dans l ’ intervalleSID 2113 2 i3,

ou b iene ' 213 e

—2 f3

ou,en développant les exponentielle s :

ce qu i n ’est pas poss ible , tous les termes étant positi fs .

Donc le rapport décro î t constamment et va de 1 à 0 .

Pour qu ’ i l y ai t des racines purement imaginai res , i l faudrait que l ’on eû t

0 A 1.

Or,A ne peut pas avoi r une telle valeur

,puisque l ’on a

1 h

e t que h est positif.D e cette di scussion il résulte donc que l ’équa tio n tran s

cendante

tg :J Alf

n ’a j amais que des racines réelles .

9 7 . Si l ’on négl ige la solution

11. 0

on voit que chaque solution de l ’équationt8

‘

.UL As .

donne une intégrale particuhere du p roblème .

PROPAGAT ION DE LA CHALEUR .

178 REFRO IDI SSEMENT DE LA SPHÈRES i donc on a réuss i à développer (1 ) en une série de la

formerf (r )=A, A

2s in ;; r +A,, s in pi

Il

é tant le s racines positive s de l ’équation .

La solution du problème sera2U A

,e

*

5‘L

s1n

ptr Ane

—E‘

,

L t

Pour démontrer rigoureusement que U est b ien la solut ion

,il faudrait faire une d i scuss ion analogue à celle qui a

é té faite au sujet du problème de l ’armille , ce qui setout à fai t de la même manière .

Ainsi le problème est ramené à celu i—ciD évelopper la fonction rf (r ) en une série p rocédant su i

vant les foncti onss inw,

s inW’

4 2

9 8. S i on suppose l e développement possible , on pourraen trouver les coefficients par une méthode analogue à celleque l ’on a employée pour la série de Fourie r .

On a démontré l’ identité1

f U ,U2 dr o0

qui pour t 0 dev ient

s in p.vc sin ur dr o,

4 2

sous la condition


CHAPITRE X I

MÉTHODE DE CAUCHYVALEURS ASYMPTOT IQUES DES FONCT ION S

9 9 . Nous allons exposer la mé thode de Cauchy pour ledéveloppement d ’une fonction arb itra ire en série de formedé te rminée .

Ce tte mé thode est fondée sur la théorie des rés idus .

Nous commencerons par rappeler les principes é lémentaires de la théorie des fonc tions .

Une fonction entière G (z) est une fonction qui est développable su ivant les pui ssances cro i ssan tes de z de tel lesorte que la série so it convergente pour tou tes les valeursréelles ou imaginaires de z . Tel les sont

,par exemple , l es fono

tions 6 5 , P P (z,P représen tant un poly

nôme .

En parti cul ie r , cos z et s in z sont de ce tte dern i ere forme .

Ces fonctions n ’

ont aucune espèce de points s ingul iers .

Nous avons démontré que,s i (ou) est une fonction quel

VALEURS ASYMPTOTIQUES D E S FONCT ION Sconque

,mai s finie , l ’intégrale :

[f (x ) dæ

L

L étan t un chemin de longueur finie,est une fonct i on ho

lomorphe de z dans toute l ’ étendue du plan , c ’est donc unefonction entiè re .

Cons idérons maintenant le quotient de deux fonction sentières

R (z) É"LGI

Ce sera une fonct ion mé romorphe de 2 ; elle admet dessingularités qui sont des pôles .

Le théorème des rés idus de Cauchy est le suivant :S i on cons idère un contour fermé quelconque G ,

on a

f R (z) dz = ain 2 A

C.

2 A é ta nt la somme des ré s idus rela tifs auæ pô les contenusà l

’

inté r ieur du contour C .

Considérons une série de cercles concentriques de rayonscro i s sants : C , , Ç 2 , C et prenons l ’ intégrale :

f R (z) dz

le long de ces d ifférents cercles .

Suppo sons que l ’on ait démontré d ’une manière quelconque que

,lorsque le rayon des cercles va en cro is sant sui

vant une certaine lo i,l ’ intégrale tende vers une l imite fi nie

et déterminée .

182 MÉTHODE DE GAUCHYSoit 2i 1r)t cette l imite .

On sait , d ’autre part , que

+ A )C11

An étant les résidus des pôle s contenus à l’inté rieurdu cercle CLorsque le rayon du cercle croî t indéfiniment , on obtient

à la l imi te

S i R est une fonction de z et de ac,R (z ,

les quantités ).et A

, ,A2 ,sont des fonctions de sa, et la fonction Ase trouve

développée en une séri e procédant suivant les fonctions A .

La question se ramène donc a trouver la l imite verslaquelle tend

fR (z) dz

quand le rayon du cercle d ’ intégration cro î t indéfi niment .100 . Nous sommes donc amenés à étudier les valeursasymptotiques d ’une fonction entière ou mé romorphe , quandle module de la variable cro î t indéfiniment .Nous allons prendre

,tout d ’abord , quelques exemples

simples .Considérons la fonction ent i ere

Qu’

entend-ou par valeur asymptotique de (z) ? C ’est unefonction <p(z) tel le que, lo rsque le module de z cro î t indé fi


184 METHODE DE GAUCHYdent

,on reconnaît que S I

75<

20)

l a valeur asymptotique est 1 , et s i :

ä<

cette valeur asymptotique est 1 .

On a,comme précédemment , des azimuts singul iers pour

le s valeurs de m’ qui sont des multiples de 2 .

S i on cons idère les fonction s— 1 9

4

la valeur asymptotique est 1 , que la parti e réelle de z so itposit ive ou négative mais i l y a encore des azimuts singuliers pour les mêmes valeurs de que précédemment .101 . Considérons maintenant un exemple un peu plus

général .Soit

f (z) A4

A2

on,, étant des nombres réel s rangés par ordre croi s

S i est compri s entre 0 et n, y tendra vers oo et , comme

l ’on a :e—“Y

VALEUR S ASYMPTOTIQUES DE S FONCTION S 185

On voit que,s i a est posi tif

,cette expression tendra vers

zéro .

Cela posé , nous allon s démontrer que l a valeur a symptotique de f (z) est dans ces cond itions

A4ei a'z

En effet,on a

_fEI_ _

_ _ Êiz Aa

A,ezaiz A

,

e + A,

e

l l s ’agit de montrer que chacun des termes du secondmembre tend vers zéro

,et cec i résulte immédiatement de ce

que nous venons de dire p lus haut .S i , au contraire , on avait

71: w 0

tendrait vers co,et l ’on démontrerait que la valeur asymp

totique estAne

i anz

Pour w 0 et (O n on a des azimuts s inguliers .

S i l ’on prend le secteu r compri s entre les deux azimutswoet tu

,chois i s de manière qu ’ i l s ne comprennent aucun azi

mut singul ier,s i l ’on a par exemple

non seulement l ’expression

Alei alz

tend vers zéro mai s encore elle tend uniformément vers cettel imite .

186 MÉTHODE DE CAUCHYEn effet

,on a

f (2 )Alel a l z

e

y 9 s in

Or , on a l ’une des deux inégal i tés

y 9 s inou bien

y > pS ifl w, .

Donc on peut prendre 9 assez grandrence

soit en valeur ab solue inférieure à une quantité e,et cela

quel que soit ( 0 .

102 . Prenons maintenant le cas plus général où - l ’onaurait

f (2 ) A W A.eM AW

or, ,

(12 , et,, é tant des quantités quelconques réelles ou ima

gina ires .

Nous représenterons ces quantités par des points dans unpl an .

Soitfil: z

'

Y/r

et SoitZ w iy =p(cos i sin œ) .


188 METHODE DE GAUCHYCons idérons alors le p olygone convexe dont tous les sommets appartiennent à l ’ensemble des points 0t'

,et tel qu ’aucun

de ces po ints ne soi t s itué à l ’ extérieu r de ce polygone .

Considérons un sommet quelconque,a,

’ par exemple , etmenons par or,’ extérieurement au polygone les perpendiculaires aux deux côtés qu1 y aboutis sent soient ou}S et « (T .

Menons par l ’o rigine des parallèle s OS ' et OT ’ à ces deuxdemi—droites .

S i l a di rection oz dans laquelle z s ’é lo igne indéfinimentest compris e entre OS ' et OT ’

,on voit que c ’est le point

q‘

ui fourni ra le terme de module max imum,et l a valeur

asymptotique de seraA,e°‘1

On pourra ainsi d ivi ser le plan en autant de secteu rs qu ’ i l

VALEUR S A SYMPTOTIQUES D E S FONCTION S 189

y a de sommets au polygone , et pour chacun de ces secteursi l y aura une valeur asymptotique déterminée .

Quand z s ’élo igne indéfi niment sur une des demi—d ro i te s OS '

,

OT'

,i l n’

y a pas de valeur asymptotique déte rminé e : cesont des azimuts singuliers .

103 . Nous al lons maintenant nous proposer de trouver lavaleur asymptotique de l ’express ion

(5 ) P —z=

P, ,P, ,

P, , étant des polynômes entiers en z de degrésm

, ,m, ,

m…

Pour cela , cons idérons , d ’abord , un polynôme entier en z

P As ’”

E BZ",

n m .

La valeur asymptotique de P est

et , de plus , le rappor tP

Azl ïi

tend unifo rmément vers l ’uni té quand z augmente indé fin iment .On a

,en effet

P B 1

E'” E A z

ut—n

Le module de la somme est inféri eu r à la somme des

190 MÉTHODE DE CAUCHYmodules

,donc

1 B 1 m -n

Az’” 2 A

Le second membre est un polynôme entier ennulant pour î 0 .

On peut donc p rendre le module de z assezque

P1

Az’”

Cons idérons , second l ieu,l ’express ion

zPei“Z

0. étant une quantité positive .

Nous allons mon trer que cette fonction tend vers zéro , que]que soit p,

lo rsque z cro ît indéfi niment,sa partie imaginai re

é tant posit ive .

On a toujours.8 ir 96

”

et l ’on suppose

010 étant d ifférent de zéro , mais auss i petit que l ’on vent .

Le module de est

ppe—aY P

pe—a 9 smœ

Or , on aps1n œ ps1nw0

Donc le module est infé rieur 51

Pi le

Slumo


192 MÉTHODE DE CAUCHY

Donc le second terme tend uni formément vers zéro,ainsi

que tous les suivants .

Donc le rapport

A,z

”fi

tend uniformément vers l ’unité .On a donc l ’égal ité asymptotique

f (g ) A_'zm1 e

i a,z

D ans le cas où z croî t indéfiniment,sa partie imaginaire

restant négative,on aurait de même

f (Z) AnZm"ei a ”

Dans un cas,comme dans l ’autre , l ’exposant ou qui donne

la valeur asymptot ique sera appelé eœposa nt ca ra cté r is

tique .

Supposons que l ’on cons idère deux fonctions f, (2 ) et (z)

de la forme de celles que nous venons d ’étudier quelle serala valeur asymptotique de leur somme ?S i l a partie imaginaire 7 est pos itive , l a valeur‘ asympto

tique correspond à l a plus petite valeur de l ’exposant caracté ristique or. dans les deux foncti ons .

Le contrai re a l ieu s i y est négatif.Nous employons le signe pour indiquer une é ga lité a symptotique.

CHAPITRE X II

V A L E UR S A SYM P T O T I Q U E SDES INTEGRALES DÉF IN I E S

105 . Cons idérons maintenant

ç (z ) =j î (œ) da:

Nous supposons que f (œ) es tune fonction quelconque , maisfini e

,et sati sfaisant à la condition de D i richlet ; en outre , et

et b sont deux quanti tés réelles , et l ’on a

a 6

(z) sera , comme on l ’a vu , une fonction entière ; nous voulons chercher la valeur asymptotique de cette fonction .

S i,d ’abord

, f (x ) est égale à une constante A , on pourraeffectuer l ’ intégration , et on aura

Ao (s )

iZ°

PBOPAGATION DE L CHALEUR .

194 VALEURS A SYMPTOTIQUESS i la parti e imaginaire y de z est posi tive , l a val eur asymp

totique sera

contrai re , y sera

D ans le cas général,so it

f (a e) étant la limite de (aa) lorsque œ tend vers et parvaleurs supérieures à a .

Supposons d ’abord y o .

Je dis que la valeur asymptotique de q. (z) seraf (a + æ) i a ;

ç (Z) Œ —T

En effet , nous pouvons poser

(œ ) tendra vers zéro lorsque . sa tend vers et .

On peut choisi r un nombre posi tif tel que , lo rsquel ’on a

on ait, enmême temps

f4 (æ) l l‘

l* tendant vers zéro en même temps que et .De plus , comme la fonction est fini e

,on aura pour les

iz

est négatif,elle


196 VALEUR S ASYMPTOTIQUE SL

’erreur relative est donc

>I

Z. È Â « E —

yoc

Y+

Y

e

et,comme on a

'

Y S lll w

cette erreur peut s ecri re :M

A sium+ A s in œ8 Y“

S i tu est un angle tel quew0 < œ < n

l ’expres sion rai-des su s sera inférieure à

A sinexpression indépendante de w .

Je di s qu ’elle tend vers zéro en effet , prendred ’abord onassez petit pour que l on ait

P

et ensu ite ça assez grand pour que

-Pd sm ( 0 0Me

2

La valeur asymptotique de cp(z) est donc

ç (z) œ _ C

DE S INTÉGRALES DÉFIN IE S 197

S i l ’on avait en 7 0,on aurait en de la même maniè re

106 . On peut étendre ces résu ltats à une intégra le de mêmeforme

ff (x ) c'“dx,

l ’ intégral e étant p ri se le long d ’

un chemin L de longueurfinie à la condition que , en tous les points du chemin , on ait

eizx

eiza

a étant l ’origine du chemin L .

On démontrera que la valeu r asymptotique est encore dansce cas

f (a )zz

en supposant> O .

Pour cela,on décompo sera le chemin d ’ intégration en deux

autres,comme précédemment , en prenant un po in t (a

infiniment voi s in du point a , et en continuant les raisonnements de la même manière .

1 07 . Revenons à l a fonctionIl

(Z) 6“dæ

où a et b sont réel s,et supposons que dans le vo i s inage de

æ = a

198 VALEURS ASYMPTOTIQUESla fonction f (x ) soi t développable suivant les puissancesde (x — a )

f (æ) A (æ (ac — a it

le développement pouvant contenir des puissances négativesou fractionna ires .

On sait que l ’on a

dx I‘

(n+ l )0

ch angeant x en zx00

f x”e

*

dxo

Posonsx

C ette formule deviendra111 oo

e duP i l

0z

î l “i"

f unez‘

uz duP (n i l i l !

0 zn + l

remplaçant maintenant u par (x

f°°

(x a )"e'” dx

Or,on a

La seconde intégrale sera négl igeable devant la premiè re


3200 VALEUR S ASYMPTOTIQUES DE S INTÉGR . DÉFIN IE Sté gra le , au lieu d ’être pri se sur un chemin réel , était prises u ivant un chemin imaginai re de longueur finie , pourvu quel ’on ait tout le long du chemin

eizx

eiza

108. Application à la foncti on J ,, d e B e sse ] . Lafonction J peut être exprimée par une intégrale définie

Je f”)002

Nous allons , d ’abord , chercher la valeur asymptotique de Jlorsque la ‘

partie imag ina i re de z est pos itive .

On a icia 1

Cherchonsmaintenant la valeu r de A . On a

fire ) ( i

— æ)

Développons (1 x ) suivant les puissances croi ssantes

(1—x )â

et l ’on aura , comme on le voit , en faisant x 1 danscette équation

APPLICATION A LA FONCTION J ,, DE BESSEL 201

On a d ’ailleurs

[O

D—b

L ’application de la formule générale trouvée plu s haut,

donne donc ic iiTt

J A )0

\/z

remarquant que

P

8

J,,m

Pour avoi r. l a valeu r asymptotique , lorsque 7 est négati f“,i l suffit de remarquer que

,J,,étant une fonction réel le , le

changement de z' en 2'

et de x en x n’

a ltère pas la valeurd e l ’ intégrale ; ce changement permet de ramener au cas précèdent le ca s où 7 est négatif, et l ’ on voit imméd iatementque l ’on a

109 . S i z est réel , il n’

y a plus de valeur asymptotiquep roprement dite ; mai s nous allon s arriver dans ce cas“ à unrésultat nouveau et trè s important .Au l ieu d ’ intégrer suivant l ’ axe réel de 1 a 1

, nousintégrerons suivant une demi- ci rconférence , ayant pourcentre l ’origine

,et de rayon égal à 1 , cette demi-circonfé

rence étant située au-dessus de l ’axe réel .

202 VALEURS ASYMPTOTIQUES DE S INTÉGR . DÉFIN IESPrenons sur cette demi-c irconférence un po int quelconque aet d ivi sons l ’ intégrale en deux parties

Jo

FIG . 28.

Tout le long de cette demi- ci rconférence a , .en supposant que z croi sse par valeurs posit ives

ei zx 1

car,en posant

0 11 a

et z(3 est alo rs une quantité po s itive .

On voit donc que,dans l ’ intégrale H

,l a valeu r a sympto

tique sera fournie par la l imite 1, e t dans H2 par la

l imite 1.


204 VALEURS ASYMPTOTIQUES DE S INTÉGR . DÉFIN I ESEn effet , on a

\Æ(HI Ki )

Le premier facteur tend ver s zéro .

On a de mêmel im \/z (Il , 0 .

On a doncl im \/z (J ,, K) o

et c ’est ce qu Il faut entendre ici,l orsque l ’on dit que K est

la valeur asymptotique .de

Le même rai sonnement s’

appliquera it au cas où z croî tpar valeurs négatives .

Il suffi rai t d ’ intégrer le long d ’une demi- ci rconférences ituée au- dessous de l ’axe réel .1 10 . L im ite supé ri eure de la fonction go . Nous avon sétudié

,au point de vue des valeurs asymptotiques , la fonc

tion

Nous allons maintenant nous p réoccuper de chercher unelimite supérieure de cette fonction . f (x ) est par hypothèseune fonction fi nie ; on peut donc trouver un nombre M telque

Posons comme p récédemmentZ = B+ ü

et cons idérons,d ’abord

,l e cas où 7 es t positi f.

LIMITE SUPÉR IEURE DE LA—FONCTION c 2023

Comme on aei ; x

on aura‘?l M6

“Yx dx

oo

j ivre—vw da°

Et commeeiza

on peut é cri re(Z) M

Y

Nous d istinguerons deux cas , suivant que la quantité po s it ive y est supérieu re ou inférieure à la valeur absolue de (3.

Suppo son s d ’abordY f3

97Ïc ’e st—a—dure que l a rgument de z est compr i s entre et

î

On voit alors facilement que , dans ces conditions , on a

7

Donc on a(2 ) M

Considérons maintenant le cas où

Y < l f3

ne pouvons pas appl iquer ic i l e même raisonnement .

(z) =Lf‘

lx ) e—Yx e"f3x dx .

206 VALEUR S ASYMPTOTIQUE S DE S INTEGR . DÉFIN IE SNous allons étudier l ’ in tégrale :

fc

f (x ) sin (3x dx ,

0

f (90) étant une fonction pos itive et décro i ssante , et 0 étantune quantité pos itive quelconque .

S i nous partageons l ’ intervalle d 1nté gra tion en intervallespartiels par les valeurs

o n verra , comme pour l mté grale de D iri chlet que l ’on aune série alternée ; par su ite , la valeu r de c ette séri e es ti nférieure au premier termeOn a donc

considère

i nire n cm 10 1era le meme ra i sonnement , ma i s , a f n d’

obte

des interval les partiel s égaux entre eux ,on devra prendre

f 75.2 ?

l ’ intégrale

et l ’on supposera que f (x ) est égale à f (o ) pour les valeursnégative s de x .

7rf (0 )J: J. li

l inté gra le

fc

f (x ) cos ,Bx dx

o


208 VALEURS ASYMPTOTIQUES DE S INTEGR. DÉFIN IE S112 . Appliquons ces résultats à la fonction cpdéfinie plushaut . Comme la fonction f (x ) , qui figure dans <p, sati sfait à lacondition de D iri chlet , on a

f, et étant décro i ssante s .

D ’oùb

q; £f ,e*

Yæ ei l3æ

’

dx —Lf , e*

Yæ ei?” dx .

En appl iquant les résultats établ is c i—dessus , on voit qu ’ i len résulte

[Il (a ) f2 (a )]

Or,comme l ’on a

O < Y < IM

on en conclutIZ I

Donc on a

V (2 ) [f. (a ) f2

En résumé , s i l ’on désigne par H l a plus grandequantités

M ,/2

[f. (a ) f. (a )]

LIMITE SUPÉ RIEURE DE LA FONCTION 209

on aura,pour toutes le s valeu rs pos i tives de

i al °

40

On verrai t de même que, pou r l e s valeurs négatives

O I1 & :

l ®'

l <

En e ffet , et [i, é tan t décro is santes , on a ura

I“. ( l) ) f. (a )

PROPAGA'

I‘

ION DE I. CHALEU R

CHAPITRE X I I I

APPL ICAT ION DE LA MÉTHODE DE GAUCHY

113 . Ces résultats prél iminai re s étant établ is nous allonsles appl iquer au développement d ’une fonction f (x ) , en su ivant la méthode de Cauchy que nou s avons déjà indiquée .

PosonsJ f ren dy

J.—fæf (y ) dy

x étant une quantité compri se entre a et 6.

D ’ aprè s ce que nous venons de démontrer , on aura , s i ye st pos itif

N

|

Œ

N

\

Œ,

et , s i 7 est négati f


212 APPL ICATION DE LA METHODE DE CAUCHYNous supposerons que ‘le s valeurs asymptotiques de tt

et ni} , sont de la fo rme qui a été considérée dans les deux chapitres précédents .Soient alors et et et

,les exposants caractérist iques de q.

e t pour pos itif,e t soient et (à, ces exposants pour

négatif.Nous Supposerons pou r fixer les idées

P °‘i Pi °

Les exposants caracté ri stiques des fonctions «t,J et 4»J ,s eront

,su ivant le cas

S i 7 0

‘l' i J ° a

‘l’J i °

S i 7 0

‘lü J ° P! 95

'l’J I ° P b°

Nous supposerons main tenant que l ’on aa. x ou

,a

l3 5 Pi x .

D ans ces conditions,la fonction

’f’ i J ‘f'J4

aura pour valeur asymptotique

APPL ICATION DE LA MÉTHODE DE CAUCHY 213

W

7 0 .

Quant a l a fonction (z, , elle a pour valeur asymptotique 4; ou suivant que y est positif ou négatif.114 . Nous pouvons maintenant trouver la valeu r a sympto

tique de R .

On aura,s i y o

R (z)

R (z) œ J ,Or

,on a dans ce cas

Lorsque l ’on a 7 0,on a de même

R (z) —J

I

R (z)

E n résumé,en voit que , quel que soi t

v aleur asymptotique de R (z) est

Z

211 APPLICATION DE LA MÉTHODE DE CAUCHY1 1 5 . Cons idérons alors une série d iscrète de circonfé

renees C, ,C, ,

ayant pour centre l ’origine et derayons cro i ssants .Nous allon s démontrer que

,s i l ’on peut choi si r l es circon

fé rences de façon que sur chacune d ’elles zR (z ) reste finie ,l ’ intégrale

j ;R (z) dz

2 ir: f (x )

aura pour l imite

quand le rayon cro îtra indéfiniment .En effet

,on pourra alors trouver une quantité

sur les cercles cons idérés on aitzR (z) H.

Posonsz

L ’ intégrale devientT

.

t

R (z) dœ

D écomposons—l a en quatre parties correspondant aux

quatre quadrants,et considérons , par exemple , celle qui est

relative au premier , c ’ est-à-d ire'AÏ

2

2 zR (z) dœ

Décomposons cette intégrale elle-même en deux parties

. … o


2 16 APPL ICATION DE L A M ÉTHODE D E CAUCHYreprésente l ’un quelconque d ’entre eux , on aura

“l' ! ( l‘) 0

Pour calculer le résidu co rrespondant à ce pô le,remar

quons que l ’on peut mettre R sous la forme

H J.),‘

e—i s x J ,

‘

e—i zx

"l" ‘i°‘i

Le second ter ine étant une fonction enti ere , le résidu de Rs era égal au résidu du premier terme

,c ’est-à- dire à la quan

tite

'!f f (P‘l

On aura donc

La fonction [ (x ) se trouve ains i développée dans une sérieprocédant su ivant les exponentiel les e—'Pæ ; mais , pour quel e développement soi t valable

,i l faut que toutes les iné gal i

tés écrite s plus haut se trouvent vérifiées , et en second lieuqu ’on puisse trouver des cercles sur lesquels zR(z) reste fin ie .

117 . A pplica tion .—Nous allons donner un exemple

part icul ier . Nous prendrons

APPLICATION DE LA MÉTHODE DE CAUCHY 2 17

et, pour cela , nous poseronsl) e

—l zll

Qei : b

’

P et Q étant des polynômes entiers du meme degré en z .

Pour que les inégal ités en question soient vérifiée s,i l faut ,

et il suffi t que6 x 0.

On ae2 : : bJ

ize

2Q

S i on suppose que la partie imaginaire y de z est positive ,e n voi t sous cette fo rme que le numérateur est l imité .

En effet,on a dans ce cas

f ( bi

ZZ

En substituant ces valeurs dans l ’ expression de zR(z) , etremarquant que l ’on a

conclut que l e asymptotique

(w) .

D ’autre part,nous avons vu , aux 111 et 112 , que l ’on

b— x > o .

numérateur a pour valeur

PQ

218 APPL ICATION DE LA MÉTHODE DE CAUCHYpeut trouver une limi te supérieure du rapport d ’une fonction entière à sa valeur asymptotique .

S i l a quantité était négative,on aurait mis l ’expression

zR(z) \

sous la forme

ize—iZæ

e—2zzb

et l ’on arrive au même ré sultat en remarquant que

6 x 0 .

Ains i donc, zR (z) ne peut devenir infini que pour les zéros

du dénominateur . É tudions donc‘ ce qu i se pas se dans levois inage de ces zéros .Pour des valeurs suf fisamment grandes de z

,l a fraction

%diffè re peu d ’

une constante . D onc les zéros du dé nominateur seront sensiblement di sposés sur une parallèle à ex etéquidistants le s uns des autres .

Soit un cercle K ayant pou r centre l ’origine ; nous pouvons prendre le rayon de ce cercle K assez grand pour qu’

à

l ’extérieur de ce cercle on ait

QP—C < a

“

C étant l a l imite constante v ers laquelle tend lequand z cro î t indéfiniment .Les zéro s du dénominateur d ifféreront trè s

nombresz.


32 20 APPLICATION DE L A MÉTHODE DE CAUCHY1 18 . On pourra , en particul ier , retrouver par cette

Ehode l e développement en série de Fourier .Pour cela

,nous prendrons

'f’ i

Le s valeurs de (J. seront données par l equation0

sin 0 .

Ce seront donc le s nombre s entiers positifs et négatifs ceq ui donne b ien la sé rie de Fourier , en remplaçant les expomentielles par les fonctions trigonométriques .

1 19 . Appl ica tion au re fro id issement d e la sphère .

Nous avons vu que l e problème du refro i d i ssement de las phère se trouvait ramené au suivantD évelopper la fonction x f (x ) définie de 0 à 1 et s ’

annulant

pour x 0 suivant le s fonction ssm ux ,

sin pix ,

2 n

p,, ;1 , étant les racine s positives de l ’équationi l

t ranscendan tets

C ette équation peut s ’ écri reAu cos y.

«o n bienc

* i lL Aie (e…

APPLICATION AU REFROID ISSEMENT D E L A SPHÈRE 92 hNous po serons

(z) (Aiz 1) e“

(3 ) (Aiz 1) e"

Le s quantité s pt seront racines de l ’équation

(1) (zi 0

D ’apres ce que nou s venons de voir une foncl ion quelconque définie entre 1 et 1 sera développable su ivant les .

exponenti elle s e‘ttr,et par suite suivant les fonctions

cos p.œ et sin

Pour appl iquer ce résultat au p rob lème qui nous occm1pe ,

nous dé finirous une fonctio n F(æ) de la manière suivanteOn aura pour l e s valeurs de 00 comprises entre 0 et 1

F (cv) æf <æ )

et,pour a: compri s entre 1 et O '

F(æ) sera donc une fonction impaire .

Nous allons montrer que,dans ces conditions , l a formule

générale (1) nous donnera pour F (œ) un développement necontenant que les fonctions

Considérons dans ce développement deux termes correspondant à des valeurs de p. égales et de s i gnes contrai res

222 APPL ICATION DE LA MÉTHODE DE CAUCHYCes deux termes sont

(off. e.

i F (y ) e—‘Wy—x l dy

'l'

( r 44 - 4

Nous allon s montrer que,dans le cas qui nous occupe le s

coefficients des deux intégrales sont égaux .

En effet,on voit immédiatement que l ’on a

‘i' “i“!

et,par suite

,en tenant compte de l ’ équation

t*) “l’ « t’ 0 9

on aMr) = t ( sa)

et,de même

r)

D’

autre part,on voi t ai sément que

«w Aie—r z

°

+

(v) Aie… a .

D’

où, en additionnant

Wu) LH( :L) 25 [A COS (r)]

E t,par su ite '

'lu'

(r) «l'

r) =lu' v

Les deux coefficients sont donc égaux,et leu r valeur com

mune s ’obtient facilement en tenant compte de l ’équationtg p. At) …


CHAPITRE X IV

REFRO ID I SSEMENT D ’

UN CORPS SOLIDEQUELCONQUE

120 . Fonctions h armoni ques. Ca s dupara ll é l ipipèd e .

Nous allon s aborder maintenan t l e problème général derefro idi s sement d ’un corp s quelconque ; mais , i ci , nous perdrons en rigueur ce que nou s gagnerons engénéral ité .

Le problème se ramène à la détermination d ’une fonctionVtell e que l ’on ait à l ’ intérieur du sol ide

dV

dt

à la su rfacedV

dnhV O

et qui,pour 0 , se réduira à :

f (ww)

Nous cons idérerons toujours h comme une constante pos itive .

FONCTION S H .\ RMONIQUE S’

4

La solution de cette ques tion es t intimement l ié e à cel le duproblème suivantTrouver une fonction U (x , y , telle que l ’

on a it à l ’ iméri eur du co rps

AU kU 0

et à la surfacedU+ hU = o

h étant la même constante que dans le problème p récédent ,et k une nouve lle consta n te arbi tra i re .

Nous allons démontre r l ’ exi s tence de fonctions sa ti s fais antà ces conditions

,et que l ’on peut d ésigner sous le nom de

fonctions harmoniques .

12 1 . Supposons , d ’ abo rd , qu l l ex i s te deux fonctions U etU

' sati sfaisan t aux conditions p récédentes,mai s correspon

dant a des val eurs d i fféren tes I.: et k ’ de la cons tante la.

Appl iquons le théo rème de G reen a ces deux fonctions

UdU

,

U'

du) fff (UnU'

U'

AU ) d“:

dn dn

les intégrales étant é tendues à l a su r face e t au volume ducorps

,et les dé rivées é tant pri ses suivant la normale exté

rieure .

En tenant compte des relations auxquelles sa ti s font U et

U ’

, la formu le c i-des sus donne

fff (k

[E' sont supposés diffé rents , on

ff UU'

dr = 0 .

P ROPAGAT ION DE LA CH \ LEUH .

226 REFRO ID ISSEMENT D ’UN CORP S SOL IDE QUELCONQUECeci nou s montre que les constantes k sont nécessairement réelles .En effet , s i pouvait être imaginai re , soit U la fonctioncorrespondante , l a fonction U’ imaginaire conjuguée de Ucorrespondra à l a valeur k' conjuguée de k .

Or,l ’égal ité

est ic i imposs ible,pu isque UU ’ est une qu ant ité essentiel le

ment posi tive .

J e dis,de plus

,que le ne peut pas ê tre n égatif. Pour le voi r

appl iquons le théorème de Green sous la forme suivante

U dm UAU dr 2

En remplaçant et AU par leurs valeu rs,cette équation

dev i ent

hf2 dw kff M c—l

D ’où l ’on tire la valeur de k

Î lf2 d to+

une fonction U ,on la valeu r

par la formule


228 REFRO ID I SSEM ENT D ’

UN CORP S SOLIDE QUELCONQUEA , ne pouvant s ’

annuler,a un certain min imum . Soit U ,

la

fonction qu i co rrespond à ce minimum . Pui sque , parmitoutes les fonctions Uqui sati sfont ‘a l ’équation

B 1

l a fonction U,est celle qui rend A minimum

,i l faut que

,

nelle ne so it la variation BU de U ourvu u’

elle sa tiSq q4 P q

fasse à l ’équationOB 0

l a variation BA correspondante soi t nulle . Donc l ’équation8A 0

do it être une conséquen ce deBB 0 .

On a1 dU d

ëSA h.f 8U d…

dæ dæ (SU )

Or,on a

,par le théorème de G reen

sU 9‘—J d… —

fffw nU dr + 8U ddn

D ’où

OU ÏIU du)

U3U dt .

ff 8U .AU d

FONCTION S HARMON I QUES 229

BA ne contient plus maintenant que la varia tio n SU .

D ’

après les p rincipes du ca l cul des variations,

s i pourU U

,l ’équation

OA 0

est une conséquence deOB 0

on a nécessairement

à la surface, et

AU40

à l ’ intérieur,k,étant une certa ine constante

,qui

,

nous allons le montrer,es t égale à la va leur de A

pondant à U,

.

En effet,reprenons la valeu r de A

Appl iquons théorème

D ’où i l vient pour A

Œr

dn+ hU d…

dU42

dy+ \ dz

de G reen a l ’ intégrale triple

— ff ,AU

,a

230 REFRO ID I SSEMENT D ’UN CORP S SOLIDE QUELCONQUEou bien

La constante k,e st donc égale au minimum de A .

12 3 . Considérons maintenant une fonction F sati sfaisantaux conditions suivantes

F2 dr = 1

C FU ,dr = 0

Parmi toutes les fonctions F sati s fai sant à ces condition s ,en ex i ste une qui rend min imum l ’express ion

A= hff F2 dœ

U 2 cette fonction . même que pré cédemment , ’

que l ’équation8A = O

so it une conséquence des deux équationsOB = O

BC 0 .

On devra donc avoi r identiquemen t

BA z.» BB sc

k,et l é tant des constantes , c ’est—à-d ire aura


2 32 REFRO ID I S SEME NT D ’

UN CORP S SOLIDE QUELCONQUEDonc U

2sati sfait à l ’ intérieur à la condition

AU2

k2U2 0 .

On verra comme précédemment que k , est la valeur deA correspondan t à l a fonctionD ’ aprè s tout ce qu i p récède , on vo it immédia tement que

l’

on a

124 . On définira de même la fo nction U 3 qui assuj etti e aux condi ti ons

B ff ädr = 1

C … i U ,U,d

Cette fonction U 3 sati sfera aux deux équationsd_

U_.

dnhU

AU , h3U3

l a p rem i ere équation ayant l ieu à l a surface et la seconde al ’ intérieur . On poursu ivra de ce tte mani ère

,et on dé finira

en général la fonction harmonique Uptel le que

UI,

U,,dt o .

PARALLÉL IPIPÈDE RECTANGLE 233

U,,sati sfera a ux deux équations

dU,,

duhU

”

AU! )

kpU/ )

La démonstra tio n que nous venons de donner de l ’ exi stence des fonctions U n ’

es t pa s abso lumen t rigou reuse .

E lle est suj ette aux mêmes objections que la démonstra tionpar laquelle R iemann a é tabl i le principe de D i richlet . J ’ai

,

depuis la clô ture de ce cours,donné une démons tra tion

plus satisfaisan te dans un mémo i re intitulé S ur les É gua

tiong de la Phys ique M a théma tique , et inséré au tome VIIIdes Rend icon l i del Cz

‘

rco lo M a lema te‘

co d i P a lermo .

12 5 . P ar a l lé lipipède r e c t a ng l e . Nous allons determiner les fonctions U dans le ca s pa rti cul ier du pa ra llé l ipipède rectangle .

Soient :

le s s ix plans qui l imi tent le so li de .

J e dis que l ’on peut trouve r des fonction s U de l a formeU sm EH ) E*2)

On a dans ces conditionsd

‘-'U

dæ2

dzU

dy'z

234 REFRO ID ISSEMENT D ’UN CORP S SOLIDE QUELCON QU EDonc

AU R R)

I l s ’agit de déterminer X, ,

façon àsatisfaire aux équat ions à la surface

dn+hU=0

Pour 00 a ,on aura

_

d_

U_

dU.

d

_

n

_

dæ

—° U . COtg ( / t,a

Il faut donc que l ’on ait

(1) )‘l t’ a) + h = 0

Pour ce a,ondU

da:UI , cotg ( À

,a

D ’où la seconde cond itionÀ,Coig (À, a 72 0

La comparaison des deux équations (1) et (2 ) montre quep, est un multiple de n

2; il suffi t de lu i donner les valeurs

0 etDans le premier cas

,l a fonctionsinO.æ

se réduit à sin À,æ ,et la constante satisfait à l equation

(3 ) O .


236 REFRO ID I S SEMENT D ’UN CORPS SOLIDE QUELCONQUELa fonction impaire pou rra se développer suivant les

fonctions s in À,æ

,et cela d ’une seule manière

,comme on l ’a

vu a propo s du refroid i ssement de l a sphère l ‘équation (3)e st, en effet., l a même que celle que l ’on rencontre dansl ’étude du refro id i ssement de la sphère .

On verrai t , par un p rocédé analogue , que la fonction pairepeut se développer su ivant les fonction s c os )t ,’œ et d ’unes eule manière en e ffet

,l ’équation (4) e st d ’une forme

analogue à celle de l ’ équation (3) et rentre dan s la catégorieé tudiée aux 119 e t su ivants .

Appl iquons cec i a la fonction V (œ , y ,z) , en la cons idérant

d’abord comme fonction de ne . On pourra la développer , et

c ela d ’une seu le man ière,en une série procédant su ivant les

foncüons

sin et cosMœ

Les coefficients de ce développement seront des fonctionsde y et z défi nies dans le champ

— b à + O + c>

O n considérera chacun de ces co efficients comme fonctionde y ,

et on les développera suivant les fonctions:s in e t cos ) . 2’y

O n aura Comme coefficients des fonctions de z définies dec a c

,que l ’on développera su ivant les fonctions

On vo i t que , dans le ca s particul ier du pa rallé lipipèderectangle

,nous obtenons un développement bien défini de la

fonction arbitrai re suivan t le s fonction s harmoniques U .

P .\ RALL ÉLIPIPÈ DE RE CTAX 6 L E 23 .

12 7 . Je d is ma intenant que le développement a ins i obtenuest unique . C

’es t la une proprié té qu i n ’ es t pas spécial eau cas particul ie r du pa ra llé lipipède ,

ma i s qu i est CD (‘

O I’

C

vra ie dans le cas général .Une fonction ne peut pa s être développée de plus ieursmanière s en ser i e de fonctions harmoniques .

En effet,i l suffit de rappel e r que nous avons démontré a u

S 121 que l ’ intégrale t ripl e

é tendue a tou t le co rps sol ide , es t nul le s i U ,, n ’

es tpa s ide itique à U

,.

Cons idérons alors le développement

V a,U ,

1 ., U x,,U

Multipl ions les deux membres par

et intégrons dans tout le vo lume .

D ’après ce qui précède , on a

U ,, d“: U

Cette équation détermine complètement les coe ffic ients 1

ce qu i montre que le développemen t est unique .

C . Q . F . D

128. Revenons maintenan t au cas du pa ra llé lipipède

rectangle,et supposons que V soit une fonct ion harmonique

238 REFR O ID I S SEMENT D ’

UN CORP S SOL IDE QUELCONQUEsati sfaisant aux condition s

dV

dn+ hV _ o

a la surface etAV + kV = 0

à l ’ intérieur,le étant une certaine constante .

Je di s que cette fonction V doit être identique à l ’une desfonctions

U, ,U , ,

définies au 125 .

D ’après le théorème du n° 126. V , comme d ’ai lleurs unefonction quelconque , peut être développée en une s érie de laforme :

a,U , ct

2U 2

de sorte que l ’on aV °‘

4UI

°‘2U2

Je di s que V doit ê tre identique a l ’un des termes ou,—U ,

de ce développement , l es autres termes étant nu ls .En effet

,s ’ i l n ’en étai t pas ains i nous aurions deux dé ve

.loppements d ifférents d ’une même fonction en série de fonctions harmoniques

,car V

, pa r hypothèse , de même queet, ,U, ,

512 ,U2 sont des fonctions harmoniques .


240 PROPRIETES DES FONCTIONS HARMONIQUE SAppl iquons le théorème de G reen aux fonctions U et U"

U‘

fä U fff (U… — U’

AU ) d

ce qu i donne

(h h’

)f U'

cl (k UU’

d+.

S i h'

es t trè s vois in de h ,U

' est très vo i s in de U , et on auraà la lim ite

dkce qm montre que ä]} est tou jours pos…f.S i donc

,parmi les foncti ons U

,on en considère une de

rang bien déterminé,l a valeur co rrespondante de k es t une

fonction croi s sante de h .

13 0 . L im i te s s upé ri eure s d es quanti t é s le.

avons vu que k,est le minimum du rappor t

B

quand U va r ie de tou tes les manières poss ibles . Il en résul teque , s i on prend pour U une fonction quelconque , on aura

dUU 2 du)

â .î

U3 d t

L IMITE S SUPERIEURES DES QUANTITE S k 241

Fai sons par exempleU 1

On aurahS

w

8 représentant la surface du corps , et W son volume .

13 1 . Nous allons maintenant chercher d ’autres l imitespour le s quan tité s

PosonsŒ|F4

12F

F, ,F, ,

F ,, étant des fonc tions quelconques données àl ’ intérieu r du volume ; œ, , a ,, des coe fficients arb itrai res .

Posons auss i

A hff F2 d… E

B fff F2 dr

A et B seront des formes quadratiques par rappo rt auxquantités ou ; elle s seront , d ’ailleurs

,dé finies et po s itives .

Formons alors l ’express ionA X B

)t étant une nouvel le indéterminée . S i j ’ écri s que le discrim inant de cette forme quadratique es t nul

, j’

obtiendra i une é quat ion algébrique en de degré 72 , qui admettra n rac ines

X' , o u .

l‘ltOPAG .\ TION DE LA CHALE UR .

242 PR OPRIETES D E S FONCTION S HARMON IQUESD ’après l a théorie des formes quadratiques , on voit que ,

comme A et B sont de s forme s pos i t ives , l ’équation en ases racines réelles et pos it ive s .

Nous a llOns montrer que,en supposant les racines

X, ,

rangées par ordre de grandeu r cro is sante , on a

En effet,on sait qu ’ i l e st toujours poss ible d ’ effectuer

une substi tution telle que A et B prennent le s formes su ivantes

-+wä

étant des combinai sons l inéai res homogènes

dans ces condition s

Pi + Pä+ - P

Les fonctions F,F2

… F ,, étant données , s i les coefficien tsva rient

'

de toutes les manières possibles , le rapport Bsera compris entre etOr

,le minimum absolu de ce rapport est k 11 en résulte

que l ’on a k,

x, .

En second l ieu ,remarquons que

,

—le nombre des 0. étant II ,on peut introduire entre ces quantités (n — 1) relations


PROPR IETES DES FONCTION S HARMON IQUE S

dœ par dre . COS :p

cp étant l ’angle que fait avec 0 00 la normale à l elément du».

On aura donc

des dy dz + hf ï dœ cos œ !

Nous décomposons le volume en cyl ind res parallèles à ox

FIG . -29 .

e t de section infiniment peti te . Cette sec tion d ’ailleursdæ dy ( lb) COS :p

On aura donc

—4«lac la (U

LIM ITES SUPER IEURES DES QUANTITÉS 245

x'

e t ce sont les absci s ses des points Où l e cyl indre infiniment petit coupe la surface du co rpsU ,

’ et sont le s valeurs de U, ,correspondant à ces deux

points .

L es intégrales doubles sont é tendues à l a partie du plandes yz l imitée par l e contour apparent du corps .

A chaque poin t de cette a ire correspond u ne certainevaleu r du rapport

Ut?)

MN

(133

e t l ’on voi t queMn dz

Ndy ( ÎZ

a une valeu r comprise entre les val eurs extrêmes du rapMportN

Par su ite,si on peut trouver un minimum pour le rap

po i t ce sera a for tzor i un minimum pour k , .NCherchons donc à déterminer la fonction U

,telle que l ’

on

ait :\ I =fU

2 dæ = l

et qui rende minimum l ’ exp ression

de: Iz(U W ) .

246 PROPRIETES DE S FONCTION S HARMON IQUE SComme on l ’a déjà vu ,

i l faudra écri re que

OM 0

est une conséquence deON= O .

h [U’

8U’

U”

8U ]

SU dæ

on voit que equation

da.“ OU OU dæ 0 .

Cette équation doit être une conséquence1

ë8N 2 0 .

On do it donc avoirSM

var i ati on de so i t nulle,faut que l ’on a i tN

BM M

W_

N> °


248 PR OPRIETES DE S FONCTION S HARM ON IQUE SOn trouvera i t également

(Rendiconti del Circolo M a tema tico di P a lermo , t . V I I I . )Cette formule

,démontrée pour h O

,sera vraie

,a for

tior i, pour h 0 , puisque les quantités k croi ssent en même

temps que h .

134 . Nous allons montrer que,quelle que“ soi t [la valeur

de h , l e s quantités k croi ssent indéfiniment avec l ’ indice n .

PosonsF a

,U , oc2U2

et considérons la forme quadratique

F2 dw

peut s ’écri re

hF dt.) FAF dr .

E t comme on a i cidF

dnhF 0

il vientFAF dr ,

dr + hf f

transformant par la formule de Green

— fff

L IMITES SUPERIEURE S DES QUANTITÉS 249

c’est- à-dirc

[a ,U , dt

En tenant compte des relations auxquelles sati sfont l esfonctions U , cec i dev i ent

A k,a% k

2a ä k,,afi.

On a de même

On en conclut que , quelles que soient les quantités a ,on a

toujoursA

Nous allons maintenant chercher une limite inférieure durapport Flacons-nous d ’abord dans le cas de h O .

D iv i sons le sol ide donné en (n 1) sol ide s parti el s ; nousconsidérerons chacun d ’eux comme un sol ide de même conductibilité que l e sol id e total , et dont la surface est impermé able à la chaleur .On aura pour chacun de ces sol ides

k'

“

0,

250 PROPRIETES DE S FONCTION S HARMON IQUESet , par suite , l a fonction U ,

correspondante sera une constante .

D és ignons,d ’

une manière générale,par k

g,l e s

valeurs particul iè res des expressions U, ,relatives au

so l ide partiel de rang i et par A, , B , ,le s intégrales A et

B étendues seulement a ce sol i de partiel .Les quantité s et étant au nombre de n , on peut les as su

j ettir à (n 1) relations l inéaires quelconques .

J’

obtiendra i (n 1) relati ons de cette sorte en écrivantque i ntegrale

F dr

est nulle lorsqu’On l etend à chacun des (n 1) sol ide spartiels .La fonction F ains i déterminée satisfera à l ’équation

FU, ,d‘

C 0

l ’ intégrale étant étendue au so l ide partiel de rang i . Cela

résul te de ce que U , , es t une constante .

Or,on sait que , quandF est assuj etti e à satisfaire à cette

Acond i ti on,le m i n imum de est alors k

, ,

S i donc on appelle k ;_ la plus petite des quantités onaura

A

Ë> k

En comparan t avec l ’ inégal ité obtenue plus haut , ontrouve

k 2


20 2 PR OPR IETES DES FONCTION S HARMON I QUE SAin s i donc le problème est ramené à développer une fonction donnée V0 (ac, y ,

2 ) su ivant les fon ctions U .

S i le développement ex i ste,ou en pourra facilement trou

ver le s coefficients . En effet,soi t

+A U

Multipl io 'ns par U ,,dr ,e t intégrons . On aura

(1) A _ _ fff VoU,dr

Mais la po ssib il i té du développement n’est pas établi e

d une manière r igoureuse . Pour qu ’

e l le le fû t, i l faudrai tpouvoir démontrer que

,s i l ’onpose

V A,U ,

6‘ f

1t —l A Un e—k ,,z B

le s coeffic ients A étant défin i s par l ’équation R tendvers zéro lo rsque n croî t indéfinimen t. Or, ce point n ’est pasdémontré . Nous démon trerons seulement que

que l ’on peut appeler la moyenne du c arré de l ’erreur commise , tend vers zéro .

1 36 . Comme V ,a i ns i que chacun des 72 premiers termes

dusecond membre de l ’équation satis fait a ux équations

dt

— A\

( (V

( 57:] tV O

PROBLÈME D U REFRO ID IS S EMENT D’

UN CORPS 233

ou en conclut , d ’aprè s ce tte éga l i té que Il y sati sfaitégalement. On a donc

à l mté rieur e thR o

à la surface .

Je vais démontrer que l ’on a

RU ; ( Ï : O

pour toutes les va l eu rs de i in fé ri eu res ou éga l es à n .

I*Ïn e ffet , multipl ions l e s deux memb res de l ' égalitéU , dr , e t intégrons , il v i ent

J —+ f ff

en remplaçant A, par sa va l eur

J = Jf fw

D ’ autre pa rt , puisque l ’o n a°

( lt

on en co nclut

d .ll

d !L , cl . A \ .LJ, cl …

2 0 4 P ROPR IÉTÉS DES FONCTIONS HARMON IQUESCette dern ière express ion , t ransformée par la formule de

G reen , donne

VAU , d

L ’ intégral e doubl e e st nulle d ’après les propriété s desfonction s V etU , i l reste donc

VAU ; dr

0 11‘

On arrive ainsi à une équation di fférentielle entre J etd

’

où on ti re

J Jo

e VOU, dr .

Reportons ces valeur s dan s l ’égalité elle dev i ent

RU , d‘

r 0,

ce qu Il fallait démontrer .

137 . Cela posé , cons idérons l ’ intégrale

R2 dr .

fff

kif f f VU ,- d r


256 PROPRIÉTÉ S DES FONCTION S HARMON IQUESD ’où enfi n

R2 d : vgd..

Or,on peut prendre n assez grand pour que soit

auss i grand que l’on veut . Donc

tend vers zéro .

1 38. G é né ra li sa tion de la mé thode de C auchy .

La possib il ité du développement,su ivant les fonctions U

d ’une fonct ion arbitraire VOd é fi nie à l ’ intérieur d ’un solide ,

n ’est pas démontrée .

Nous allons donner un aperçu d ’une méthode que l ’onpourrait e ssayer d ’employer pour établ ir ce po int .Admettons

,d ’abord

,la poss ib ili té de ce développement

,et

so i tVO

A,U | + A U

Cherchons une fonc tion S tel le uneconstante

AS ES

à l ’ intérieu r et

Î tS 0

q8

GÉNÉRAL ISATION DE LA M ÉTHODE DE CAUCHY 237

AS EB.k.U…

On devra donc avo ir

—k ) U 2

D ’où l ’on dédui t

e t , par su iteA Un

S E E kn

S i l ’ on cons idère S comme fonction de E, et que l ’on donneà des valeurs réelle s ou imaginai res

,S sera une fonction

mé romorphe de et l ’on aura

rs E

Par suite,l o rsque {cro it indéfiniment

l im (ES ) E A, U , v,

.

Donc *

V—9°

5

139 . Nous al lons maintenant renverser l ’ordre des cous idérations qu i précèdent ; nous chercherons à démontre rqu ‘i l exis te des fonctions S sat is faisant a ux cond itions

AS + ES =VO

PROPAL‘

-ATION DF. C II \ LE L'

R .

258 PROPRIÉTÉ S DE S FONCTION S HARMON IQUE Sà l ’ intérieur , et

dS0

dnhS

a la surface .Remarquons , d ’abord , que , s i n ’est pas égal à l ’une desquantités k… i l ne pourra y avoir qu ’une solution .

En effet , s ’ i l y avait deux solution s S et S T , on auraitAT ET 0

dT

dnhT O

et i l faudrait pour cela que € fû t égal à l ’une des quantités k .

S i l’

on a‘

E= k

j e d is qu ’ en gené ra l i l n’

y a pas de solution . En effet,

appl iquons le théorème de Green aux deux fonctions S et U…

On a °

sd

ä“Zî f f f (SAU. U AS ) et..

En remplaçant par leurs valeu rs les fonctions038 et

dn

on obtient l a condition

U ,,VO dr

qui n ’est év idemment pas rempl ie en géné ral . S i elle setrouve rempl ie

,i l y aura une infinité de solutions , car on


260 PROPRIÉTÉS DES FONCTION S HARMON1QUE SPour cela servons-nous de la relation obtenue déjà plu shaut par le théorème de G reen

f f f (SAIh — U As) dr = o

qui dev i ent , en remplaçant AU ,, et AS par leurs valeurs

j’

f S (£

c ’est-à- di re :

ou,lorsque tend vers k ,,

« , j’

f 3 d.=f f , V , dr

ou enfin_

_ff nvodr .

Ceci posé,on formera l ’ intégrale

1

2 i7wr8d €

pri se le long d ’un cercle de rayon infiniment grand , ell esera égale à V… pui sque la valeur asymptotique de S estV—E9; d ’autre part , cette Integrale est egale a la somme de s

rés idus de la fonction S ; on en déduit le développemen t deV0 su ivant les fonc tions U . Tou t cela n ’est qu ’un aperç uabsolument dépourvu de rigueur . Ic i encore je renverrai aumémoire c i té du C ircolo M a tema tico .

COMPARAI SON AVEC LA MÉTHODE DE CAUCHY 261

141 . Compar a i son av ec l a m é th od e d e C au c hy .

I l y a une grande analogie entre cette méthode et la méthode de Cauchy pou r le développement des fonctions su ivant des exponentiel les dont le s exposants satis font a unecertaine équation transcendante (chapitreComparons , par exemple , l es deux méthodes dans le casparticul ier du refroidi ssement de la sphère , lorsque la température initiale ne dépend que deLes fonctions U sont , dans ce cas , de la forme

Ësati sfaisant à l equation

tg y. A

On voit que l ’on a dans ce cas ”

:

Î ñn

Pa r suite , s i l ’on a

on aura

Voyons maintenant ce {que dev ient i c i la fonction R quenous avons employée dans la méthode de Cauchy .

On connaî t l es pôles p. de la fonction R , et le rés idu correspondant à un pôle pt e st pré ci sément le terme en e

ÎW‘

262 PR OPR IÉTÉ S DE S FONCTION S HARMON I QUES

du développement de f (r) su ivant les fonctionscomme l ’on a

1f (7

“) E ; B,, S l I

‘

l tL'

EB"

e* ‘u

en en conclut

ma 2

R (z) 2

On a par su ite

R<— z)—E

On a donc

2Bu S ID l—‘vz

S (22)

7’

32 _

Mn2

On voit donc que les deux fonctions R et S se ramènentl ’une à l ’autre .


264 REFRO ID I SSEMENT D E L A SPHÈRES i H

,,est un polynôme sphérique , le nombre des coef ficients

a rbitrai res sera donc

On voit donc qu ’

il existera (272 1) po lynômes sphériquesde degré n l inéai rement indépendants .

144 . Fonct ion s sph é r ique s . Passons ma intenant auxcoordonnées po laires en posant

50 7° s in 6 ce s <pr sin 0 S i ll (p

2 r ces 6.

On aura(1) II 7

°"X

X,,étant une certaine fonction de 6 et q; que nous appelle

rons fonction sphérique .

On a l ’ identitédII,,

.n

(2) drm X

S i,dans les équations (1) et on fait

1

e lle s dev i ennentII X

dn"nX

du

d ll e tant la der1vee su ivant la normale exter i eure .Considérons maintenant deux polynômes sphériques

SÉRIE DE LAP I.ACE 265

d ’ ordres différents II .. et H… ,et appl iquons - l eur la formule

de G reen :

d

(£îm

)’

clo) .À IIm H AH”) d

second membre e st nul,et le premier se rédui t à

(m n ) f j

Il en résulte que

0

145 . S é r ie de L ap l ace . D e même que nous avonsdémontré la possib il ité du développement d ’ une fonctionarb itra ire d ’une variabl e en série de Fourier

,nous allons

démontrer qu ’

une fonction arbitraire des deux angles 6 et apeut être représentée pa r une sérieprocé dantsuivant les fonet ions Sphériques .Avant de donner une démonstration rigoureuse , nousallons exposer la méthode par laquelle Laplace a été conduità ce résultat .Cons idérons une sphère de ravon 1 , et supposon s qu '

à sasurface so i t répandue

,suivant une lo i quelconque , unematière

atti rante ; soit V sa densité superficiel le .

Considérons un point M non s itué su r la surface . Soientx , y , 1 ses coo rdonnées rectangulai res ; r , q., 6, ses coordonnées polaires .

Soi t M (æ '

, y'

,z

’

) un point quelconque de la surface ; ses

266 REFR O I DI SSEMENT DE LA SPHÈREcoordonnées polaires sont

S i 7 représente l ’angle MOM '

(fig . on auragonomé trie sphérique

cosY cos 6 cos 6' s in e s in 6’ ces ( <p

FIG . 30.

et , s i ? représente la di stance MM '

, on aura

92(00 (y — y

'

)2

(2

— 2r 00 5 7+ 73

.

Nous al lons chercher l e potent iel U de la couche attractiveau point M .

En appelant de) l ’élément de su rface , dont le centre est enM'

, on aura


2 68 R EFRO IDI SSEMENT DE LA SPHÈREle di s que H,, est u n polvnôme sphérique . En effet , on a

A1

P

Donc

Comme le premier membre est une suite de polynômes ded egrés différents

,on do i t avo i r séparément

AIT,

AII,

an,,

Pour passe r de ce développement en ce, y ,

z au développem ent précédent

,i l su ffi ra de trans former en coordonnée s

polaires . On voi t queIl

C e qu i montre que P est une fonction sphérique de t) et cp.

O n verrai t de même qu ’en posant

X _ f f VP d…

X ,, sera également une fonction sphérique de 6 et de cp, et l ’on

U =E r"X

146. S i ma in tenant on suppose que l e point M soi t

a ura

e xtérieur à la sphère , on aura un résultat tout à fait analogue1 1

e n deve10ppant su1vant l e s pu i ssances cro i s sante s deP

c e qui donnera1

P00 8 7

SÉR IE DE 269

U

S i on cons idè re la composante de l ’attraction su ivant lerayon vecteur , on a pour le point inté rieu r

dU(4)

dr E nr

et,pour le point extérieu r

(5 ) 2 (n 1)

Soient , d ’autre part, p. et p. ’ deux po int s s i tués , l e p remier

à l ’ intérieur , l e second à l ’exté rieur de la sur face atti rante .

dUSo i ent a. et on les valeurs de en ces deux pomts .

On sait que , s i le s deux points se rapprochent indé finiment,on a à la l imi te

on oz.’ 47: V ,

V étant la valeur de la densi té au poin t de la surface qui estl a posi tion l imite de p. etFaisons donc tendre r vers l ’unité ; l ’ équation nousdonne à la l imite

EnX ,, E (n 1) X ,,

”l n 1V E 47:

C' est ainsi que Laplace été conduit a c ette série

270 REFRO ID ISSEMENT DE LA SPHÈRE147 . D émons tra tion de D irich le t . La demonstrationque nous venons de donner n ’est év idemment pas rigoureuse ; D i ri chlet a , le premier , donné une démonstrationsatisfaisante . C

’est,d ’ailleurs

,cette démonstration que nous

allons rep roduire,mais en y introduisant d ’assez profondes

modifications . Avant de l ’aborder nous devons d ’abordrésoudre le problème suivant :

FIG . 31 .

T rouver une fonction W de r,6 et cpqui se rédui se à V à

la surface de la sphère , et qui à l ’ intérieur de la sphère sati sfasse à l ’équation AW 0 . C

’est le problème de D i ri chlet .Considérons sur un rayon OP (fig . 31) deux points M et

M ’ à des distances du cen tre 7° et r '

, telle s que l ’on ait :7

°

ï" 1

Soient V,la valeur de la fonction donnée en P

,U

,le poten

tiel en M ; U'

,l e potentiel en M'

,qui résulteraient d ’une ma

tière de densi té , V répartie sur la surface .

S i on considère l es composantes de l ’attraction dirigéessuivant le rayon vecteur , on a :


272 REFRO IDISSEMENT DE LA SPHÈREPar conséquent

l im W V

W e st donc la soluti on du problème D i richletsphère .

148 . On a posé

et comme on a

on en conclut

(cos r) .

D ’autre part,on a

,a 1 Intérieu r :

U

et , par su ite °

n X ,,r"

Donc

2272

/j;

Ce développement es t valable à l ’ intéri eur de la sphère

DÉMONSTRATION DE D IR ICHLET 273

s ’ i l était valable sur la surface , en aurai t

2 1

En

f i

C’e st ce qu ’ i l s ’agit de démontrer .

149 . Nous allons cons idérer U e tW comme des fonction sde en regardant pour un instant 6 et comme des constantes et en donnan t à r des valeurs réelles ou imaginairesLorsque 1° est réel e t inférieur à 1 , nous venons de voi rque ces fonction s sont développables en séries procédan tsu ivant les pui s sances croi s santes de r l e rayon de convergence est donc au moins égal à 1 .

Nous allons cherche r s i les développements sont encorevalables lorsque le module de r est égal à 1 .

Nous sommes donc conduits à nous poser l a question su ivante :É tant donnée une fonction W holomorphe a l ’ intérieu rd ’un cercle de rayon 1 et développable , par conséquen t, suivant les puis sances croi ssantes de r pou r 1

° 1,quelle

est la condition pour que le développemen t so it encore valable sur la ci rcon férence de rayon 1 el le—même , c ’ est—à—direpour

«t étant réelSoit donc

(1) w

J’

observe d ’abord que ,s i sur la ci rcon férence

PROPAG .—\ T ION DE L .\ CHALE UR .

2 74 REFR O ID ISSEMENT DE LA SPHÈREd éveloppable pa r la sé rie de Fouri er , sous la forme

W 2 B ,, E C,,

les deux développements do ivent être identiques,c ’est-à

d i re que l ’on doit avo i rB ,, A 0 .

On a en effet

W d7’ 7.n—1

Les intégrales

d?“7Àn—1

‘27r

d oivent être pri ses le long de la circonférence de rayon 1e lles sont donc égales par le théorème de Cauchy a l a sommedes résidu s des fonctions

w W 70 71 —1

relatifs aux. pô le s s i tués à l ’ in térieur du cercle de ravon 1 .

La première n ’a qu ’

un pôle,r 0 , avec le ré sidu A ,, l a

seconde n ’

en a aucun .

Les égal ités (3) sont donc démontrées .

150 . Nous sOmmes ainsi condui ts à nous poser la ques


276 REFRO IDI SSEMENT DE LA SPHEREque soit e

,J,,tend vers EW et J vers 0 quand n croî t

indéfinimentNous suppo serons que l ’on prend toujours e a

, ,e,,étan t

une quantité fixe plus peti te que en aura alorsentre les l imites de l ’ intégrale J

,

ND

M

M étant un nombre fixe , d ’où+ 5

(1) W l dL.

D ’ après les hypothèses faite s , le sec-end membre dega lité d ’ailleurs indépendant de n , tend vers 0 avec a .

Vo ici donc comment on pourra condui re la démons tration .

J e veux démontrer qu ’on peut prendre n assez grand pourque

J (L

quel que peti t que so it 71°Pour cela j e p rendra i d ’abord a assez peti t pour que

etant dé sormai s prendra i n assez

FW ("m)

J

ce qui entraînera l ’ inégalité

DÉMON STRATION DE DIRICHLET 277

15 1 . Il ne me reste donc plus qu a étud ie r le s s ingulari

té s que peut pré senter la fonc ti on W , définie au 147,pour

1°

e'°

ie.

Le s conditi ons auxquelles doit sati s faire l a fonction Vn ’ont pa s été défin ies pa r D i richlet avec la même précis ionque pour la séri e de Fourier nous supposerons dans ce quisui t que l ’on puisse div i ser l a surface de l a sphère en régions R

, ,séparée s les unes des autres par des

courbes formées d ’un nombre fi ni d ’

a res analytiques ; danschacune de ces régions la fonction V sera finie

,c ontinue

,et

possédera des dérivées du premier o rdre par rapport a 0 et cp;mai s ell e pourra éprouver des variations brusques quand onpassera d ’une région à l ’autre .

Soit M un point inté rieur à l a sphère,a l a di stance r du

centre .

Prolongeons OM jusqu’au poin t de rencontre P avec lasphère .

Nous p rendrons,comme courbes de coordonnées su r la

s phère , des petits cercle s de pôle P et des grands cerclespassant par le point P et son antipode .

Un pomt M ’ de la Sphère sera défin i par l ’angle POM ’

Y

et par l ’angle a du grand cercle PM' avec un grand cerclefixe pri s pour o rigine et passant par P .

Dans ces condi tions,l ’élément de surface de l a sphère

serade) sin y dy dd. .

Reprenons la fonction U don t nous nous sommes déjà servi s précédemment

278 REFR O ID ISSEMENT D E LA SPHÈREil faudra intégrer rapport a 0. de 0 a rapport ay de à E .

Posons alors2 71:

F (y) V doz.0On aura

F (I ) sin 7 dyP

1 52 . La fonction F (y) est une intégrale prise le longd ’un petit cercle de pô le P ; ce petit cercle pourra ou b ie n setrouver tout entier à l ’ intérieur d ’une seule région

,comme

FIG . 32 .

dans la figure 32 ,ou bien être composé de plusieurs arcs

s itué s dans des régions différente s .

D ans ce dernier cas,nous décomposerons l ’ intégrale F (y)

en intégrales partielles relatives à ces différents ar cs .

Soit , par exemple

l ’ intégrale relative à aura

F. =f’

v d.°‘i

l ’ axe oc,a2 (fig .

F 2 F.


280 REFRO IDI S SEMENT DE LA SPHEREL ’ intégrale est touj ours finie

,car j ’ai supposé qu a l ’inté

ri eu r d ’une même r égion V avait des dérivées du premierordre finies .F

’

(Y ne peut donc deveni r infinie que s i l ’une desdon,quantités -

â—'

a—Ï

2 dev i ent elle-même infinie,ce qui arrive s i

Y

le petit cercle devient tangent au contour qui l imite la région .

D ’ailleurs , en ces points , F'

(y) dev i ent , si l e contact estdu premier ordre

,infini de l ’ordre de :

\/Y— Yo

en appelant y,, la valeur de 7 qui rend F'

(y) i nfi nie .

S i le contact du pe ti t cercle avec le contourde la régionest d ’ordre n ,

F ’

(y) est infin ie de l ’ordre de—n

(Y

En résumé,la fonction F (y) est fin ie et a une dérivée

fi nie,sauf pour certaines valeurs singul ières en nombre fini

que appel lera iYo» Yi v

Ayant une dérivée elle sati sfera aux conditions de D i ri chlet .154. É tudions maintenant la fonction U cons idérée comme

fonction de r e"W. E lle est définie par une intégrale :

la quantité sous le signefdevientdnfinie pour p 0 , c ’est

DÉMON STRATION DE DIR ICHLE T 281

à—dire pourY i “

S i -L K 7r (K entier) , ell e devient infinie d ’ordre â s iKa

,elle ne dev i ent pas infinie

,car le numérateur s inY

s’

annule pour y t «L

Dans un cas comme dans l ’autre l ’ intégrale reste finie .

U est don c une fonction qui est toujours finie . Nous allonsvo ir maintenant que , sauf en certain s points singuliers , ellea une dérivée finie et satisfait , par conséquent , aux condit ions de D i ri chlet .

dUCons i d é rons ma i ntenant _

dÎ’

Soient les val eurs s ingul i è res de Y) c ’est—‘

a—direcelles qu i rendent infinie F ’

Nous mettrons ce s valeurs singul i è re s en év idence en déc omposant l ’ in tégral e U en une so mme d’

inté gra les partielle sadmettant ces valeurs s ingul ières pour l im ites , et telles que

(9 )

dUOn en conclut que217sera la somme des d é riv é es de

toutes ces intégrales . Or,l ’ int égrale (9 ) peut se transfo rmer

en remarquant quesig n “lep r

Y

r dy

282 REFRO ID ISSEMENT DE LA SPHEREComme l ’on a

et , par suite

P étant un polynôme sera unesomme d ’express ions

,

73

? Yo”2P

1 5 5 . La prem1ere partie ne peut deveni r mfinie que s ia 9

9 S annule pour y ou pour y y , , est-a—d 1re S I

O U'

et , dans ce cas , on aura un infin i d ’ordre2

Quant à l ’ intégrale , elle restera finie en généra l .En effet

,la quantité sous le s ignef ne peut deveni r iri

finie que dans deux cas1° Quand F ’

(y) devient infi nie , c ’e st—à—dire pour you pour y y ,

2 ° Quand s ’anua le,c

’est—à—d ire pour 7S i 47 n ’est pas égal à i : ou ces deux c irconstances

ne se p rodui ront pas a l a foi s ; l ’ élément correspondant àO o 1 nou sera Infini d ’ordre ou d ’ordre —a s i( 0 ’ 7 Y"

2 72+1

d Pdr ï

‘2

p

entier en en

telles que


284 REFR O IDI SSEMENT DE LA SPHEREserai t en défaut ; on verrai t que l ’ intégrale admet un infinil ogarithmique .

En resume,

drpeut deven i r 1nfime

,ma i s d ’ordre touj ours

1 et même . I l en résulte que les intégrales

dU

d,.d )?

f W | dL

sont finies .

157 . On peut se demander maintenant s i pour les valeursdU

non singul i ères de (L, l e s foncti ons Î lÏ et , par consequent,Wsati sfont aux conditions de D ir ichlet .Il faut , d ’abord

,préci ser ce que j ’entends par la quand i l

s ’agit d ’une fonction imaginaire j e veux dire que l a parti eréelle et la partie imaginaire y satis font séparément .Cela posé , cons idérons l ’ i ntégrale :

I

E’ P

dr

S i e s t compri s entre y,, et y, , j e l a partagerai en deux ,

et j e considérerai l ’une des deux intégrales

f.. f.”

par exemple la prem i ere .

F ’

(y) é tantfinie , sauf aux l imites , sa partie réelle et sa par

DEM ONSTRATI ON DE DIR ICHLET 283

tie imaginaire pourront,l

’

une et l ’ autre,étre. regardées

comme la diffé rence de deux fonctions pos i tives de y .

D ’autre part , l a parti e réell e et l a pa rtie imaginai re del)

71 2

9

qui sont des fonction s de y et de pourront ê tre l ’une et

l ’autre regardée s comme la d ifférence de deux fonctionsnégatives e t décro i s santes , pa r rapport à -L , et qui sont finiessau f pour Y 'i* â S i 7 ,

L est un infiniment peti t du1prem i er ordre

,elles sont Intimes d ordre

2’

Il en résulte que J sera une somme d’

inté gra les de la

f ABd,,

OùA est une fonction de 7 positive , et B une fonction de y et

forme suivante

de L négative et décro is sante , une somme de pare ille s integra les , d is—je ,

affectées de l ’un des facteurs

1. 1 2° ou

L ’ intégrale j sera une fonction décro i ssante de '

L, que lal imi te supérieure so i t fixe ou qu ’elle so it égale à -L .

L ’ intégrale J sera une somme de fonctions sati s faisant auxcond it ions de D i richlet .

E l le y satisfera donc elle—même , et i l en se ra de mêmepar conséquent d e et de W .

Q . F. D .

1 58 . En ré sumé , la fonction W est finie et sati s fa i t aux

286 REFRO IDI S SEM ENT DE LA SPHÈREc onditions de D i richlet , sauf en un nombre fini de po intss ingul iers ; de plus , l ’ intégrale

d tp

Nous avons vu au 541 que ces cond itions suffisent pour quee st finie .

cette fonction so it développable en série de Fourier , laquelles érie , d ’après le 5 149 , ne contient que des puis sances posit ives deCe développement e s t valable pour toute s les valeurs

r é elles de L ; en y faisant 0 on trouve,comme nous

l ’av ons dit au 146,l e développement de Laplace dont la

légitimi té est ains i établ i e .


288 REFR O ID ISSEMENT DE LA SPHÈRE ET DU CYL IND REOn sait que le prob lème est ramené à la recherche de

fonction s U , tel les que l ’on ait à l ’ intérieur

Av+Mæ=o

et pour r 1

dU(2 ) dr

hU O .

Supposons que U soi t développée en une série de laforme

U E L(r ) . X

le s X représentant des fonctions sphériques fondamen

tales .

Posons” WW

On auraU _ E fln n

le s H représentant des polynômes sphériques fondamentaux .

161 . Nous allons chercher les condi tions “ auxquellesdo ivent sati sfaire le s fonctions cp.

On a °

d"cp d °

e (HI

2 _ H+ 2de:

FONCTION S HARMON IQUES 289

Donc on peut écri redzU d

'

2 dœæ

d 2fl

da: 2 de: 2H

7° d7°

œdæ dæ2

et en remarquant que,comme H est un polynôme homogène

d ’ordre n,en a

il vient9 d

_ P2 d

nH+ çAII

OrAII 0

et,d ’autre part

d ’

? 2 deA” d7‘2 7° dr

c_lîç 2 (n 1)AU 2 n —

7_

Donc 1equation (1) dev i entd ’ç+ 2

n + 1 da>

E Hdr

”

7+ k ’P

Par suite,i l faud ra que chacune des fonctions satisfasse

à l ’équation d ifférentielle :d% n 1 d

(3)

Voyons maintenant ce que devient la cond ition a la limite

(9 )c

g) ÏIU O .

PROPAGÀTION DE CHALEUR .

290 REFR O ID I SSEMENT DE LA SPHÈRE ET D U CYL INDB E

On a :U 2 T

”X

0… do

dr E Zi}nom"

Donc l equation (2) donne :

de

d r(h n ) en 0

pour r l .

162 . I l faut que , pour 7°

0 ,l a fonction 11 reste

fi nie . La théorie des équations l inéai res nous apprend qu ’uneéquation du second ordre admet touj ours une et

,en général

,

d eux intégrales particul ières développables,su ivant l es puis

s ances croi s santes (positives ou négatives , enti è res ou nonentières) de r .

So it donc

p(7°

) Ar ? A,7”P+ l

En substituant dans l ’équation dilÏé rentielle,on a , en iden

tifiant a zéro le p remier terme

P(P

C’est ce que l ’on appelle l equa tion dé term inante , parce

qu ’elle détermine l ’exposant P du terme de degré le moin sélevé .

Les racines sont


292 RE FR O ID I S SEMENT DE LA SPHÈRE ET DU CYLINDREconvenables de k

k“152 9

nous formerons ainsi des fonction scp.H,

<p2H,

que nous appellerons fonction s U fondamentales . Toutes l e sautres fonction s U seront des combinaisons l inéai res decelles- là .

164 . I l reste maintenant à résoudre la question su ivanteÉ tant donnée une fonction arbitrai re V de r , 0 et cp, peut—onl a développer suivant les foncti on s U relatives à la sphère ?Nous commencerons par développer V en série

,procédant

suivant les polynômes sphériques fondamentaux ,soit

v 2

Considé rons l ’un quelconque des termes de ce développement

0 (r ) . l l

Il est un polynôme fondamental .Envisageons

,parmi le s fonction s U relatives à la sphère

celles qui contiennent en facteu r le polynôme ll .

Soient7211 ,

ces fonction s .

Tout revien t a dé m3ntrer que 0 (r) est d é velopp ab le sui

vant les fonctions165 . Remarquons , d ’abo rd

,que les fonctions ça, ,

FONCTION S HARMON IQUES 293

restent fini es pour 7° 0 . On peu t se demander s ’ i l en est demême pour 6Nous allon s faire voir qu ’ i l en est b ien ains i

,dans le ca s

OùV est une fonction analy tique au vois inage de l ’ori gine .En effet, on pourra considére r alors V comme représentéepar une séri e p rocédant su ivan t des polynômes homogènesd ’ord re s successifs

S oit P un de ces polynômes .Je d is qu ’on peut le mettre sou s la forme

P II 7‘2H,1 _ 2

H)” H7t —2 7 Hu

é tant des polynômes sphériques d ’ordres77, (n (77

En effet , l e nombre des coefficients arb itrai res

2

Chaque polynôme sphérique d ’ordre p est une fonctionlinéai re et homogène de 1 polynômes déterminé s ;donc l e nombre de coeffi cients arb itrai res contenus dansle second membre est

(2n+

Ce nombre est égal au précédent ; donc l e développementd e Pn es t po ssible .

“294 REFROID ISSEM ENT D E LA SPHÈRE E T DU CYLINDREEn portant ce s expres s i on s de P ,, dans V , cette fonctionse trouvera mise sou s la forme

V

le s 6 restant fi nis pour 7° O .

166 .Refro idi ssem ent du cy lindre . Nous reviendronssur l a question au chap itre suivant ; mais , d ’abord

,nous

allons nous occuper du refroid is sement du cyl indre , quiconduit à des équations de même forme que pour la sphère .

Considérons le cy l indre de rayon 1 et l imi té par les deuxplan s

z = a , z

Nous nous servi rons des coordonnées semi—polaires 7°

et z .

Cherchons s ’

il exi ste des fonctions U de la formeU ZW

Z étant fonction de z seulement , et W fonction de 7° et w .

L ’équation(1) AU hU 0

se transforme faci lement en remarquant que l ’on aAU ZAW WAZ

ZAW WAZ kZW o

AW AZ

W' “

Z +k


296 REFROIDI S SEMENT DE LA SPHÈRE ET DU CYLINDREy. étant racine de l ’équation transcendante

tg‘

H“ AV°

ou bienZ cos p.Z

y. étant racine decotg {La Bp.

A et B étant certaines constantes .168 . Cherchon s maintenant s ’

il ex i ste des fonction s Wde la forme

W cos nœ

ouW cp(r ) . sinnœ .

Remarquons que cos 77m et s in 7700 sont des polynômesSphériques d ’ordre n

,car ce sont le s parties réelle et ima

gina ire de la fonction analytique (a: iy )

On peut donc écri reW cp. H

D ’où l ’on conclut , par un calcul qu i a fait pré cédemment

2 d

Comme l ’on a ici

on en conclut

REFRO ID I SSEMENT DU CYLINDRE 29 7

et,par suite,l equation (3) nous donne

572 » °2n + l dœ

2173 r

Voyons maintenant ce que nous donne l equation àsurface

dWd7°

h\/V 0

pour 7° 1 .

Prenons , par exemple , pour fixer les idéesW cp7

°"cos nœ

On auraaw de—

r”eos 7707 7777 eos 770)

(17° dr

ce qu i donne

(7) -f—hM> 0

pour 7° 1 .

On verrai t comme précédemment que 30 doit rester finiepour 7° o .

169 . Ains i,dans le cas du cyl indre , i l y a une infinité de

fonctions U qui sont des produits de trois facteursZ

COS 77m ou s in 77m

7

Il s ’agit de savoir s i l ’on a b ien ains i toutes le s fonction sU nécessaires pour la solution du problème .

298 REFRO ID ISSEMENT DE LA SPHÈRE E T DU CYLINDREPour le démon trer

,i l faut chercher à développer une fonc

tion quelconque en sé rie procédant suivant ces fonctions U .

Cons idérons donc une fonction arb itrai reV rw,

r,2 )

Regardons,d ’abord

,r et z comme constants ; Vpoui ra se

développer pa r la série de Fourier

V E A ,, cosmm E B ,, sinm»

Les A,,et les B ,, sont des fonct ion s de r et z .

Regardons r comme constant , et faisons varier z deà a .

On sait (of. 126) que , dans ces conditions , une fonctionquelconque de z peut être développée en sé rie su ivant lesfon ctions Z .

On aura doncA

B

les et et les {3 étant fonctions de r seulement .On pourra po ser

et,

x

si l’

on peut développer et {3 suivant les fonctions cpco rrespondant à la valeur n ,

on aura effectué la décompositionde V suivant les fonction s U .


300 SPHÈRE ET CYLINDREon est ramené à l etude de 1equation différentielle (1)

61 392 2n+ l d œ

dæ2+

qui ‘ ne renferme qu ’un seul paramètre 72,qu i doit être

entier dans le cas du cyl indre et égal à la moit i é d ’un entierimpai r dans le cas de la sphère .

171 . É tude de l ’é qua tion d iff é ren tie lle . Cherchons d ’abord s

’

il ex i ste des sé rie s procédant su ivantl es pu i ssances crois santes de a: sati sfai sant à cette équation .

On voit aisément que ces sé ries devront être de la forme

et l ’on trouve facilement la lo i de récurrence des quantités A

0

D ’où l ’on tireAg 1

AB“ 22 1) + u + i>

S i pest la plus petite valeu r de Bdan s le développement ,on devra avoir

AP

_

,AP

0 .

ce qu i ne peut avoi r l ieu que pour les valeurs

ÉTUDE DE L’

ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE 301

Prenons d ’abord la solution qui correspond à

P 0 .

On pourra prend re dans ce cas

On aura ains i la fonction :

Ag :

I ) B

C’est une fonction holomorphe dans tout l e plan ; ce sera

la fonction 39 proprement d ite .

172 .

‘

L equation,é tant du second ordre

,admet une autre

intégrale indépendante de celle—là . C’est celle qui correspond

en général au cas de

On peut la mettre sous la forme

l ))

i_

E r (

À é tant un entie r p renant toute s l es valeurs pos i tives ; maisce tte sé rie n ’a de sens que dans le cas où n n ’est pas entie rLa fonction uL est , comme on l e vo it , le p roduit de

w par une fonc tion entiè re . Lorsque n es t entier , laforme donnée ci—dessus pour dev i ent il lu soi re . Nous allonschercher que ll e est alors la forme de l ’ intégrale v

,b.

Considérons doux intégrales quelconques cpet ‘

i' d e l e

3092 SPHÈRE E T CYL INDREquation elles satisfont à une rel ation d ifférentielle dupremier ordre ; on a

2n + 1+ ‘P= 0

272 ’.l

Multipl ions la prem1ere équation par la seconde paraj outons ; i l v i ent

?.n 1

<i i—j : O .

D ’où l ’on déduit

t'

a r’

+ Ca‘

Nous supposerons que l ’on chois it 4. de telle sorte que Csoi t égal à l ’unité .

On aura donc :

(2)

Remarquons que la solution générale de cette équationsera :

k étant une constante arb itrai re .

D ivi sons par (pa les deux membre s . On a,en intégrant

q. _

doc9

2u ' i-

f. â î T

q. é tant une fonc tion entière qu i ne s’

annule pas pour a: o .


304 SPHÈRE ET CYLINDREU étant une foncti o n de 2 à déterminer ainsi que le chemind ’ intégration .

On aura :cp'

f ize'“U dz

<p z2ei s dZ ‘

l ’équation différentiel le donne donc

f eizæU [au (I (2n 1) i s ] dz

Nous allons chois ir U de telle sorte que l ’on aitd

[ac (1 2n 1) zz]

V étant une certaine fonction de 2 . On aura0!

dze

*

(v + zæV ) .

En identifi ant,on a

U (1 22) iv ,

U. (2n+ 1) iz V'

.

1 z2

et en intégrantV "

(1 — 32)

7…

A étant constante arbit raire , et par suite

U =Au— æ)

ÉTUDE DE L E QUATION D IEEERENTIE LL E

on a donc

o Af e‘“( l 2

2)

2 dz .

Pour que ce so it une solution de l equa tion di fférentielle ,i l suffi t de prendre le chemin d ’ intégration de telle so rte quel ’expression V s

’

annule aux l imites .

Or , V s’

annule pour 1 et 1 . On pourra donc p rendre

Af e‘“(1 z

?)

2 dz .

Comme cette intégrale e st une fonction ent i ere,elle com

cide avec l a fonction cp, que nous avon s déj à défi nie plushaut (au facteu r A près ) . Pour que ces deux intégrales so ientidentiques , i l faut prendre

A1

F n+ Ç

s ’agit maintenant d ’avo i r la seconde intégrale .

Remarquons s’

annulepourz

lorsque lapa rtie imaginaire de oues t posi tive , et pourlo rsque l a parti e imaginaire de 93 est négative .

On prendra donc dans le premi e r ca s

l{ B e

i ; r U dz

et , dans le second cas :1

d; C U dz

Nous appellerons la p remi ere intégrale , et 'L l a seconde .

PROPAGA'

I‘

ION DE L .( CHALEU R

306 SPHÈRE ET CYL INDRE1 76 . V a leurs a sympto ti que s . Nous allons chercherles valeurs asymptotiques des fonctions :p,Occupons-nous d ’abord de la fonction cp.

C’ est une foncti on de l a forme

f (z) dz

f (z) étant développable en série au vois inage des point sa et 6.

Nous avons étudié des fonctions de cette forme dans lathéorie des valeurs asymptotiques , et nous avons vu qu ’ensupposant

,par exemple

,la pa rtie imagina ire de 00 positive , s i

l’

on a

la valeur asymptotique de l ’ intégrale sera

AP (X 1) e

Appl iquons cette formule au cas présen t ; on a

e t,par suite


308 SPHÈRE ET CYLINDREr ons alors d ’après ce que l ’on a vu dans la théorie desvaleurs asymptotiques , la valeur asymptotique de cette fonction sera de la forme

kæP e’”

D ’où l ’on déduit ai sément que l ’on aura‘i’ s z‘i’a

Comme l ’on a d ’ailleurs

M V —won en déduit

%ç W,Q5W3

Nous supposons d ’ai lleurs que la constante Bdans ait été chois ie de telle sorte que l ’on ait

1

EM—r% œm …

On aura donc

“fs …

On verrait de même que , lorsque lapartie imaginaire de ceest négative , on a :

i \/7r+2 1

2

178. P o s s ibi l i té du d é v e loppemen t . Soit maintenant une fonction arb itrai re V (r ) dé fi nie entre 0 et 1, i l

ÉTUDE DE L EQUATION D IFI«‘ERENTIE LL E 309

s ’agit de la développer en une série p rocédant su ivant lesfonctions apqui satisfont à l ’ équation différentielle

1) de

dr 2—îæ

dr ”2

? O '

L ’ intégrale qui conv ient au problème est la fonct ion<p (W) que nous avon s dé fin ie précédemmen tD ’ aprè s la condition à l a l imi te pour r 1

, p. devra êtreune rac ine de l ’équati on transcendante

il’ H“? ( l‘) 03

en posantn h .

Dans le cas du cyl indre n est entier , et dans le cas de la1

Sphère n est de la forme 777. m étant ent i er .

179 . Pour effectuer le développement , nous allons , su ivantla méthode général e

,chercher une fonction S satisfaisant à

l ’ équation différentiel le2n + 1 d

_

S_Î , a

S+ rs

Eétant une certaine constante qui peut recevoir des valeursréelles ou imaginaires .

S devra sati sfaire , en outre , à la c ondition à l a l imite

dS(4) dr

HS 0

pour 7‘ 1 .

Pour intégrer 1equation , employons la méthode de la varia

3 10 SPHÈRE ET CYLINDREtion des constantes . L

’ intégral e de l ’équati on sans secondmembre est :

(T5) W(T5) .

Considérons maintenant « et_B comme des fonctions de r ;

e lle s devront sati sfai re aux conditions

d

'

? fi'

+ 0

I I I V+ f f

—Î

'

D ’où l ’on déduit , en tenant compte de l equation (2 )OL,

E‘

! nrî n + 1

.8,

V <P 5

2n7» 2n + 1

On a donc

[dc

en posantdB c (rfi) dr

dC d (rfi)

180 . Il reste à dé termmer les l imites d ’ intégration de façonque S reste finie pour 7' o

,et que la condition (4) so it veri

fi ée .

La fonction 4. (rfi) devenant in fi nie pour r e,i l faudra

qî1e Intégrale

s’

annule pour r o .

La l imite inférieure est don c nécessai rement zéro .


3 12 SPHÈRE ET CYLINDRE182 . I l faut ma i ntenant voir que S est une fonction mé romorphe de E. Flacons—nous d ’abord dans le cas où n n

’es tpas entier . Je viens de dire que l ’ on peut , sans changer S e tsans cesser de sati sfaire à chois i r d ’une infinité de m anieres la fonction Mais

,d ’aprè s ce qu e nous avons vu

nous pouvons chois ir+de telle sorte que la fonction

soit une fonction entière deOn en déduit ai sément que les deux premiers termes de Ssont des fonctions entière s . Quant au tro i s ième terme , ildevient infi ni pour les valeurs dé fi qu i sont racines de 6,c ’est—à—dire pour les quanti tés p. ; i l est cependant une fonction mé romorphe de 2, car le facteur à exposant fractionnaire entre au numérateur et au dénominateur , et d i spara î t .D ans le cas où n est entier

,ou a

log G

G étant une fonction entière par rapport àS i l ’on transporte cette va leur de dans l ’ express ion de S ,

on voit que les seules s ingularités prov i ennent des termesqui contiennent log E.

Calculons l e coefficient de log ’ç' dans S . Ce coefficient est

1

Cf’ (TE)f V ÇP152 1; 7.2n+ 1 dî

‘

<rë>f V+ dr0

(f é ) E2n

,. 2n+ i dr

et on voit qu ’ i l e st nul .

ÉTUDE D E L E QUATION D IFFERENTIELLE 313

Donc la fonction S n ’a pa s d ’autres s ingularité s que despôles .

183 . Cherchons maintenant la valeur asymptotique de S ,

quand croî t indé finiment dans un azimut déterminé,en

lais sant de côté le s arguments 0 etS i l ’on suppose la parti e imagina ire de positive

,on choi

s ira pour parmi toutes les fonction s qui sati sfont a l ’ é quation l ’ expression que nous avon s dés ignée par et onaura d ’aprè s ce qu ’on a vu

+1»

En substituant le s valeurs asymptotiques dans les troistermes de S

,on voit que l es exposants caracté ristiques sont

respectivement : 0,O,1 r .

Par su ite,on pourra négliger le tro is i eme terme devant les

deux premiers .

Calculon s alors la valeu r a symptotique du premie r terme ;elle est

e

f[æ2 ‘

7

11 2N

1

3

Cette expression se réduit àV

On verrai t de même que la valeur asymptot ique du

314 SPHÈRE ET CYL INDREsecond terme est

Il en résulte que l ’on a

Lorsque la partie imaginaire dé fi est négative , en employant la fonction au lieu de on trouve pour S lamême valeur asympto tique .

184 . Prenons maintenant l ’ in tégrale

f SEdi

l e long de cercles chois is de telle sorte qu ’ i ls ne passent pa raucun des po ints p. .

On aura à la l imite

f SÏd£ Qir:V .

En égalant cette express ion au p rodui t de Qin: par lasomme des rés idus , on obtient le dé ve10ppement

9

2 +L+(Telÿ%f ÔW (r s) d°°

V se trouve ains i dé ve10ppé suivant les fonctionsLa possibi l ité du développ ement é tait le seul po in t qu ’

i lnous restâ t établ ir pour achever la solution de la questionqui nous occupe .

Les deux problèmes du refro id issement de la sphère e t ducyl indre peuvent donc être regardés comme entièrementrésolus .


316

CHAPITRE X IV.

TABLE DES MATIÈRES

Refroidissement d’

un corps solide quelconque .

Propri é té s des fonctions ha rmoniques .Solution du problème général du

refroidissemen tProblème généra l du refroidissement dela sphère . Fonctions sphériques .

Sé rie de Laplace .

Refroidissement de la sphère et du

cylindre . Fonctions harmoniques .

Sphère et cylindre . Possibilité dudéveloppement

Tours . Imprimerie DE SLIS FRERES .

Documents

THEORIE ANALYTIQUE DE LA PROPAGATION DE LA CHALEUR CHAPITRE PREMIER HYPOTHÈSES DE FOURIER. FLUX DE CHALEUR 1. La théorie de la chaleur de Fourier est undes pre mierse xemples