-THÈSE- - cyberdoc.univ-lemans.frcyberdoc.univ-lemans.fr/theses/2008/2008LEMA1006.pdf · 3.1.2 NVH dans la chaîne cinématique de transmission et dans la transmission elle même

-THÈSE-

Pour l’obtention du grade de Docteur de l’Université du Maine

Faculté des Sciences et Techniques

Spécialité : Génie Mécanique

Présentée par

Sébastien SERVETO

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Modélisation mécanique des joints de

transmission automobile. Mesure et calcul des excitations vibratoires générées

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Directeur de thèse : Pr Jean-Pierre MARIOT

Soutenue le 31 janvier 2008

-JURY-

Rapporteurs : O. Bonneau Professeur, Laboratoire de Mécanique des Solides, Université de Poitiers

J. Perret-Liaudet MCF HDR, Laboratoire de Tribologie et Dynamique des Systèmes, Ecole Centrale de Lyon

Examinateurs : M. Diaby Ingénieur B.E. Modélisation NVH, NTN Transmissions Europe

M. Herry Directeur adjoint du Dep. R&D, NTN Transmissions Europe

J.-C. Pascal Professeur, Laboratoire d’Acoustique de l’Université du Maine, Université du Maine

J.-M. Virely MCF, Laboratoire de Mécanique et de Technologie, ENS Cachan

J.-P. Mariot Professeur, Laboratoire des Activités Physiques et Sportives, Université du Maine

Table des matières Avant propos : cadre de l’étude ................................................................................6 Remerciements ..............................................................................................................7 Notations .........................................................................................................................8 Introduction générale ............................................................................................9

Chapitre I -Bibliographie-

Présentation, historique et état de l’art 1 Présentation rapide des transmissions .............................................................13

1.1 Les transmissions automobiles..............................................................................13 1.2 La transmission transversale .................................................................................13 1.3 Les deux grandes familles de joints de transmissions automobiles ......................14 1.4 Le joint tripode coulissant.....................................................................................15 1.5 Le joint fixe à 6 billes ...........................................................................................16

2 Bref historique des transmissions automobiles...............................................16

2.1 Historique général .................................................................................................16 2.2 NTN et les transmissions automobiles..................................................................18

2.2.1 Historique général .................................................................................................18 2.2.2 Motivations industrielles et économiques ...................................................................18 2.2.3 Historique du développement des joints de transmissions chez NTN ...............................19 2.2.4 NTN Transmissions Europe ....................................................................................21

3 Etat de l’art, bibliographie générale .....................................................................23

3.1 Les NVH (Noise and Vibration Harshness)..........................................................23 3.1.1 Généralités ........................................................................................................23 3.1.2 NVH dans la chaîne cinématique de transmission et dans la transmission elle même ........23

3.2 Modélisation des transmissions ............................................................................25 3.2.1 Généralités ........................................................................................................25 3.2.2 Etudes et modélisations des joints tripodes...............................................................25 3.2.3 Etudes et modélisations des joints à billes ................................................................28

3.3 Les contacts en modélisation mécanique ..............................................................29 3.3.1 Généralités ........................................................................................................29 3.3.2 Le modèle de Hertz .............................................................................................30

Page - 1/142 -

Chapitre II -Méthodes-

Moyens de mesure et moyen de calcul 1 Présentation des moyens de mesure ........................................................... 35

1.1 Les mesures sur banc industriel ............................................................................35 1.1.1 Présentation générale et mécanique du banc ........................................................................... 35 1.1.2 Présentation de la chaîne de mesure du banc .......................................................................... 36

1.2 Les mesures sur véhicule ......................................................................................37

2 Les moyens de calcul .................................................................................... 38

2.1 Généralités sur les logiciels de simulation dynamique et leur utilisation............38

3 Les outils développés pour le calcul............................................................ 39

3.1 Présentation générale ............................................................................................39 3.2 Fonctionnement général des sous-programmes ....................................................40

3.2.1 Généralités sur les sous-programmes (programmation et implantation) ................................. 40 3.2.2 Nos sous-programmes de contact ............................................................................................ 40

3.3 Fonctions de la librairie ADAMS utilisées et syntaxes associées ........................41 3.3.1 Généralités............................................................................................................................... 41 3.3.2 La fonction Impact pour calculer les efforts de contact .......................................................... 42 3.3.3 Sysary pour faire l’acquisition des grandeurs cinématiques du modèle .................................. 43

3.4 Sous-programmes de contact sphère/plan.............................................................44 3.4.1 Définition des repères de référence ......................................................................................... 44 3.4.2 Algorithme de calcul du sous-programme............................................................................... 45

3.5 Sous-programmes de contact sphère dans demi cylindre .....................................47 3.5.1 Définition des repères de référence ......................................................................................... 47 3.5.2 Algorithme de calcul du sous-programme............................................................................... 48

3.6 Sous-programmes de contact sphère dans sphère .................................................49 3.6.1 Définition des repères de référence ......................................................................................... 49 3.6.2 Algorithme de calcul du sous-programme............................................................................... 50

3.7 Sous-programmes de contact sphère dans demi tore intérieur à profil d’arc gothique ............................................................................................................................... 52

3.7.1 Définition des repères de référence ......................................................................................... 52 3.7.2 Algorithme de calcul du sous-programme............................................................................... 53

3.8 Sous-programmes de contact sphère dans demi tore extérieur à profil d’arc gothique ...............................................................................................................................55

3.8.1 Définition des repères de référence ......................................................................................... 55 3.8.2 Algorithme de calcul du sous-programme............................................................................... 56

Page - 2/142 -

Chapitre III -Le joint tripode coulissant-

Modélisation et mesure 1 Mesure du martèlement au sein du véhicule ............................................... 59

1.1 Présentation du phénomène de martèlement (Shudder)........................................59 1.2 Objectif et protocole de mesure ............................................................................59

1.2.1 Objectif.................................................................................................................................... 59 1.2.1 Protocole.................................................................................................................................. 61

1.3 Analyse des résultats et discussion .......................................................................61

2 Mesure sur banc des efforts axiaux générés par les joints tripodes coulissants...................................................................................................... 63

2.1 Présentation de la mesure......................................................................................63

3 Modélisation des joints tripodes coulissants .............................................. 66

3.1 Rappel sur la cinématique du joint tripode ...........................................................66 3.2 Les modèles de calcul de l’effort axial .................................................................69

3.2.1 Les modèles existants .............................................................................................................. 69 3.2.2 Construction du modèle analytique ......................................................................................... 71 3.2.3 Construction du modèle numérique sous ADAMS ................................................................. 75

3.3 Comparaison modèles mesures concernant l’effort axial généré..........................78 3.3.1 Recalage des modèles.............................................................................................................. 78 3.3.2 Discussion, influence des différents paramètres sur l’effort axial généré ............................... 79

3.4 Etude complémentaire de l’influence des frottements du roulement à aiguilles sur l’effort axial en R3..........................................................................................................80

4 L’effort axial dépend du sens de transmission de la puissance................ 81

4.1 Présentation de cette non réversibilité ..................................................................81 4.2 Etude en cours de cette non réversibilité ..............................................................82

4.2.1 Présentation du modèle utilisé................................................................................................. 82 4.2.2 Comparatif modèle mesures .................................................................................................... 83 4.2.3 Comportement dynamique différent en fonction du sens de transmission de la puissance..... 83

5 Autres utilisations possibles du modèle...................................................... 86

5.1 Etude des efforts externes .....................................................................................86 5.2 Etude du rendement ..............................................................................................87

6 Conclusion...................................................................................................... 89

Page - 3/142 -

Chapitre IV -Le joint à billes (6 billes)-

Géométrie, modélisation et mesure 1 Présentation générale.................................................................................... 92

1.1 Les composants principaux et leurs géométries....................................................92 1.2 Principe de fonctionnement ..................................................................................93

1.2.1 Principe des joints d’accouplement à plan bissecteur.............................................................. 93 1.2.2 Le joint à billes : un joint d’accouplement à plan bissecteur................................................... 93 1.2.3 Le joint à billes : un système hyperstatique............................................................................. 94 1.2.4 Quelques éléments de géométrie et de cinématique dans le plan bissecteur ........................... 95

1.3 Etude géométrique et détermination des positions des points de contact .............96 1.3.1 Une approche géométrique analytique .................................................................................... 96 1.3.2 Une approche géométrique par optimisation........................................................................... 100

2 Modélisation du joint à billes ........................................................................ 102

2.1 Construction du modèle ........................................................................................102 2.1.1 Définition des liaisons inter composants ................................................................................. 102 2.1.2 Dimension du modèle.............................................................................................................. 103 2.1.3 Définition des jeux introduis dans le modèle .......................................................................... 104 2.1.4 Définition des paramètres aux contacts ................................................................................... 105

2.2 Sens de la transmission de puissance....................................................................106

3 Analyses des efforts internes ....................................................................... 107

3.1 Comparaison avec un calcul statique ....................................................................107 3.2 Notation nécessaire à l’étude ................................................................................108 3.3 Etudes de l’influence de différents paramètres sur les efforts internes ................108

3.3.1 Influence de l’angle de brisure δ ............................................................................................. 108 3.3.2 Influence des jeux.................................................................................................................... 111 3.3.3 Influence des frottements ........................................................................................................ 113

4 Calcul du rendement...................................................................................... 114

4.1 Présentation de l’étude ..........................................................................................114 4.1.1 Présentation générale............................................................................................................... 114 4.1.2 Conditions d’analyse et paramètres de référence entrés dans le modèle ................................. 115

4.2 Influences des paramètres du modèle sur le rendement........................................115 4.2.1 Influence de l’angle de brisure δ ............................................................................................. 115 4.2.2 Influence des frottements ........................................................................................................ 116 4.2.3 Influence des jeux.................................................................................................................... 116

5 Le moment complémentaire.......................................................................... 118

5.1 Présentation...........................................................................................................118 5.2 Résultats de notre modèle .....................................................................................119 5.3 Mesures de la composante MzR6 .........................................................................123

6 Conclusion...................................................................................................... 125

Page - 4/142 -

Conclusion et perspectives ...................................................................... 126 Bibliographie ...................................................................................................... 128

ANNEXES Annexe a : Simulation des défauts, l’exemple d’une bille manquante ......... 136 Annexe b : Positionnement de la cage ............................................................ 140

Page - 5/142 -

Modélisation mécanique des joints de transmission automobile. Mesure et calcul des excitations vibratoires générées

Avant Propos : cadre de l’étude

Les travaux de thèse présentés dans ce mémoire sont le fruit d’une collaboration industrielle menée entre l’université de Maine, plus particulièrement le laboratoire des activités physiques et sportives (LAPS), et l’entreprise NTN Transmissions Europe. Cette collaboration fut menée dans le cadre d’une Convention Industrielle de Formation par la REcherche (CIFRE). Les interactions entre les différents protagonistes de cette convention sont représentées sur la figure 1. Quelques mots sur les conventions CIFRE :

Les conventions CIFRE sont régies par l’association nationale de la recherche technique (l’ANRT) qui travaille en étroite collaboration avec le ministère délégué à l’enseignement supérieur et à la recherche.

Les conventions CIFRE associent autour d'un projet de recherche, qui conduira à

une soutenance de thèse de doctorat, trois partenaires : une entreprise, un jeune diplômé, un laboratoire.

Depuis 25 ans, les CIFRE ont réuni 6000 entreprises, 4 000 laboratoires et 15 000

doctorants autour de projets de recherche et d'innovation. En 2006, 1200 conventions ont été signées et ce nombre est en perpétuelle augmentation depuis 1981, date de la création des CIFRE. Pour plus d’informations sur l’ANRT et les conventions CIFRE : http://www.anrt.asso.fr

DOCTORANT S. SERVETO

Réalisation d’une thèse :Modélisation des

transmissions

Encadrement scientifique

Contrat de collaboration

Contrat de travail (CDD de 3 ans)

Subvention annuelle versée pendant 3 ans

à l’entreprise

Figure 1 Relations entre les différents signataires de la convention CIFRE

Page - 6/142 -


Remerciements

Cette étude, réalisée dans le cadre d’une Convention Industrielle de Formation par la Recherche (CIFRE), s’est déroulée entre le service R&D de l’entreprise NTN Transmissions Europe et le LAPS (Laboratoire des activités physiques et sportives) de l’Université du Maine. Durant mes travaux de thèse j’ai donc côtoyé des collègues universitaires et industriels qui m’ont, chacun à leur façon, aidé durant cette thèse. Je tiens ici à les en remercier sincèrement.

Tout d’abord je tiens à exprimer mon entière gratitude au Professeur Jean-Pierre MARIOT qui, en sa qualité de directeur de thèse, m’a soutenu et encadré tout au long de ce travail. Ses conseils et son expérience, que ce soit sur le plan scientifique ou humain, m’ont beaucoup apporté durant mes travaux.

Je tiens également à remercier tous les membres du LAPS qui, malgré leurs spécialités scientifiques éloignées de la mienne, m’ont permis d’acquérir, au travers d’échanges, une culture dans le domaine des sciences appliquées aux sports et plus généralement au corps humain. Je tiens tout particulièrement à remercier Samuel DESLANDES, collègue doctorant et voisin de laboratoire, pour s’être intéressé avec moi aux mouvements des billes dans leurs pistes et pour m’avoir à son tour, fait partager son intérêt pour la biomécanique appliquée au cou des pilotes. Je tiens également à le remercier pour son soutien et les moments que nous avons partagés autour d’un café.

Je tiens bien évidemment à exprimer ma gratitude envers l’entreprise NTN Transmissions Europe, commanditaire de cette étude, et plus particulièrement envers messieurs Stéphane LHUILLIER (Responsable alors du service Essais) et M’Paly DIABY pour avoir été les instigateurs de ce projet. Je tiens également à les remercier personnellement pour leur accueil au sein du service essais et plus généralement au sein du département R&D de l’entreprise. Je tiens à remercier monsieur Michel HERRY directeur adjoint du département R&D pour s’être intéressé à mes travaux ainsi que pour m’avoir laissé la liberté nécessaire à la réalisation de cette étude.

Mes remerciements vont également et particulièrement à l’équipe NVH constituée de messieurs M’Paly DIABY, Philippe MERCIER et Jean-Pascal BERGER, pour avoir partagé avec moi leurs connaissances dans le domaine des vibrations liées aux transmissions ainsi que pour leur aide précieuse et indispensable dans la partie expérimentale présentée dans cette thèse.

D’une manière générale, je tiens à exprimer ma gratitude envers toutes les personnes de l’entreprise NTN Transmissions Europe ayant participé que ce soit directement ou indirectement à ce projet et sans qui cette étude n’aurait pu s’effectuer.

Je suis également sensible à l’honneur que me font messieurs Olivier BONNEAU, Professeur des l’Universités à Poitiers, et Joël PERRET-LIAUDET, Maître de Conférence à l’Ecole Centrale de Lyon en acceptant de juger mon travail en qualité de rapporteurs et membres du jury.

Je remercie ici également tous les autres membres constitutifs du jury, pour avoir accepté de juger ce travail.

Mes derniers remerciements iront tout naturellement à ma famille, mes amis et amie, pour m’avoir soutenu et encouragé tout au long de cette étude. Merci Céline pour ta relecture

Merci à tous …

Page - 7/142 -


Notations NVH : Noise and Vibration Harshness, terme anglais employé dans le domaine automobile

pour déterminer les nuisances sonores et vibratoires RX : par convention désigne une fréquence équivalant à X fois la fréquence de rotation de

la roue FX : par convention désigne une fréquence équivalant à X fois la fréquence de rotation de

l’axe du moteur Formalisme général utilisé dans cette thèse b0 Base 0 R0 Repère associé à la base b0

0 0 0, ,i j k Vecteurs unitaires définissant la base b0

etA B Points A et B

( )0AB Vecteurs définis par les points A et B exprimés dans la base b0

AB Norme du vecteur AB 0

2A Matrice d’orientation de la base b2 par rapport à la base b0. Cette matrice désigne aussi la transformation géométrique réduite à une rotation.

0i

1i

1j 0j

0k 1k

1k

1j

2j

2k

1i 2i

θ

θ

α

α

( )01

cos sin 0, sin cos

0 0rot z

θ θθ θ θ

−⎡ ⎤⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

A 01

( )12

1 0 0, 0 cos sin

0 sin cosrot x α α α

α α

⎡ ⎤⎢ ⎥= = −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

A

En choisissant ce formalisme, nous pouvons écrire le passage de la base b2 à la base b0 par,

00 2b b= A 2

)

avec

( ) (02 , ,rot z rot xθ α=A

Page - 8/142 -


Introduction générale

Ce travail traite de l’étude mécanique des joints de transmission automobile. Une transmission automobile comprend 2 joints : un joint fixe côté roue, en général de type joint à billes, permettant le braquage des roues et un joint coulissant côté moteur permettant le débattement de suspension. De tels joints (différents des joints de Cardan) se comportent de par leur fonctionnement interne comme des excitateurs de vibrations nuisibles.

L’étude des joints de transmissions automobiles a commencé au laboratoire en 1995

dans le cadre de la thèse de Jean-Yves K’nevez en collaboration industrielle à l’époque avec Renault S.A. Si la problématique est toujours la même, à savoir minimiser les vibrations générées par le fonctionnement des joints (NVH), les outils utilisés ont quant à eux évolué. En effet, à l’époque la modélisation était assuré sous SDS (Simulation Dynamique des Solides) et les essais étaient effectués sur un banc qui ne mesurait que les vibrations. Dans le présent travail, outre un meilleur niveau de connaissance et de compréhension, l’outil de modélisation choisi est le logiciel de simulation ADAMS et les essais sont effectués sur un banc dédié à la mesure des efforts générés. Ces outils sont mieux adaptés au calcul et à la mesure de ces efforts générés par les joints de transmission.

La modélisation proposée ici à l’aide de solides rigides voire semi rigides avec

l’utilisation d’un modèle de contact de Hertz, prend en compte la transmission des actions mécaniques par des liaisons de type contact. Cette modélisation permet ainsi de simuler finement les effets des jeux et des frottements de Coulomb. Des modèles analytiques basés sur une géométrie simplifiée d’abord puis numériques plus complets basés sur la géométrie réelle ont été parallèlement construit.

Les mesures des excitations vibratoires générées par les joints ont été effectuées au sein du département R&D de l’entreprise NTN Transmissions Europe, située à Allonnes à la périphérie du Mans. Ces mesures sur banc ont été complétées par des mesures sur un véhicule instrumenté.

Le bon accord entre modèles et essais a permis d’étudier les paramètres influençant les

niveaux d’excitation : géométrie des joints, angle de brisure, frottements internes, niveau et sens d’introduction du couple.

Le premier chapitre est consacré à l’étude bibliographique la plus complète possible

des joints de transmissions. Les enjeux économiques et industriels ainsi qu’un aperçu du marché mondial complètent cette étude.

Le second chapitre décrit les moyens de calcul et les moyens d’essais utilisés dans

cette étude. En particulier, y sont exposés les algorithmes des sous-programmes de traitement du contact en fonction des différentes géométries : Sphère/Plan, Sphère/Cylindre, Sphère/Sphère et Sphère/Demi tore à profil d’arc gothique (intérieur et extérieur).

Le troisième chapitre est consacré à l’étude du joint tripode coulissant. Pour ce joint,

nous montrons que les efforts axiaux cycliques d’ordre 3 (3 fois par tour de roue) sont générés par les mouvements des galets dans les rampes de la tulipe et que cet effort est à l’origine du martèlement ressenti au sein de l’habitacle. Nous montrons ici que c’est l’inclinaison des

Page - 9/142 -


galets dans les rampes, inclinaison dont la prise en compte n’est possible qu’en considérant la cinématique au point de contact, qui pilote l’amplitude de l’effort axial généré. De plus, nous montrons, qu’en fonction du sens d’introduction du couple (charge moteur ou frein moteur), cette amplitude du troisième ordre de l’effort axial, dépend linéairement ou non de l’angle de brisure.

Le quatrième chapitre quant à lui est consacré à l’étude du joint à billes et plus

précisément du joint à 6 billes. Pour le joint fixe à billes, la principale nuisance est le moment complémentaire généré lors de la transmission du couple. Il est montré ici que la composante cyclique d’ordre 6 générée par les joints à billes et pouvant être une source d’un phénomène de battement avec le pilonnage F2 moteur est très faible. Nous proposons également dans ce chapitre une étude des paramètres influents sur le rendement et sur les efforts internes du joint.

Une conclusion générale reprendra pour finir les principaux points de notre étude et

nous terminerons en énonçant les perspectives, à court et moyen terme, ouvertes par ce travail de thèse.

Les annexes a et b regroupent deux études complémentaires relatives au modèle du

joint à billes.

Page - 10/142 -

Chapitre I Bibliographie Présentation, historique et état de l’art Résumé :

Dans ce chapitre nous effectuons dans un premier temps une présentation succincte et rapide des transmissions automobiles afin de mettre en place quelques éléments techniques ainsi que la désignation des pièces qui sera utilisée tout au long de ce mémoire. Nous donnerons, un bref aperçu de l’historique des transmissions, d’une manière globale puis du point de vue de l’entreprise NTN que nous présenterons en quelques lignes. Nous esquisserons les enjeux économiques et industriels que représente le marché des transmissions au niveau mondial et local, enjeux qui justifient les motivations industrielles pour ce travail.

Enfin, cette partie bibliographique s’achèvera avec une présentation de l’état de l’art dans le domaine de la modélisation des transmissions automobiles ainsi que par une présentation de la modélisation des contacts entre solides élastiques. Modélisation des contacts que nous intègrerons dans les modèles que nous développerons dans la suite de ce mémoire.

Page - 11/142 -

Sommaire du chapitre I 1 Présentation rapide des transmissions ........................................................13

1.1 Les transmissions automobiles.............................................................................. 13 1.2 La transmission transversale ................................................................................. 13 1.3 Les deux grandes familles de joints de transmissions automobiles ...................... 14 1.4 Le joint tripode coulissant..................................................................................... 15 1.5 Le joint fixe à 6 billes ........................................................................................... 16

2 Bref historique des transmissions automobiles ..........................................16

2.1 Historique général ................................................................................................. 16 2.2 NTN et les transmissions automobiles.................................................................. 18

2.2.1 Historique général .................................................................................................................... 18 2.2.2 Motivations industrielles et économiques................................................................................. 18 2.2.3 Historique du développement des joints de transmissions chez NTN ...................................... 19 2.2.4 NTN Transmissions Europe ..................................................................................................... 21

3. Etat de l’art, bibliographie générale...............................................................23

3.1 Les NVH (Noise and Vibration Harshness).......................................................... 23 3.1.1 Généralités................................................................................................................................ 23 3.1.2 NVH dans la chaîne cinématique de transmission et dans la transmission elle même ............. 23

3.2 Modélisation des transmissions ............................................................................ 25 3.2.1 Généralités................................................................................................................................ 25 3.2.2 Etudes et modélisations des joints tripodes .............................................................................. 25 3.2.3 Etudes et modélisations des joints à billes................................................................................ 28

3.3 Les contacts en modélisation mécanique .............................................................. 29 3.3.1 Généralités................................................................................................................................ 29 3.3.2 Le modèle de Hertz .................................................................................................................. 30

Page - 12/142 -

Chapitre I : Bibliographie - Présentation, historique et état de l’art

1 Présentation rapide des transmissions

1.1 Les transmissions automobiles

Plusieurs types de transmissions peuvent équiper les véhicules suivant qu’ils soient à propulsion, traction ou même 4 roues motrices. La figure 1.1 illustre les différentes transmissions que l’on peut retrouver sur un véhicule.

Dans ce travail nous nous sommes concentrés sur la modélisation des transmissions transversales. Les technologies de joint homocinétique employées pour les transmissions longitudinales étant de plus en plus similaires à celles des joints de transmissions transversales, les résultats de nos modélisations pourrons tout à fait être transposés aux transmissions longitudinales. Pour la suite de ce mémoire, le terme « transmissions automobiles » désignera donc les « transmissions transversales ».

2 transmissions transversales arrière

1 transmission longitudinale

2 transmissions transversales avant

Figure 1.1 Ensemble des transmissions pouvant équiper un véhicule

1.2 La transmission transversale

Une transmission transversale est constituée de deux joints dits homocinétiques reliés entre eux par un arbre de liaison et transmet la puissance mécanique depuis la sortie de la boîte de vitesses jusqu’à la roue (voir figure 1.2). Dans le cas général les axes entre lesquels la puissance doit être transmise ne sont pas alignés. Leurs positions relatives varient en fonction des mouvements de la caisse (roulis, tangage et pompage) et du braquage des roues. Aujourd’hui une transmission classique est composée d’un joint coulissant côté boîte de vitesses qui permet les débattements des suspensions et d’un joint fixe côté roue qui permet le braquage de celle-ci.

Page - 13/142 -


Joint fixe

Joint coulissant

Elément de liaison

Position de la boîte de

vitesses

Système de suspension

(ici Mac Pherson)

Figure 1.2 Représentation d’une transmission automobile dans son environnement

1.3 Les deux grandes familles de joints de transmissions automobiles

Comme indiqué précédemment on peut distinguer deux grandes familles de joint employées dans les transmissions automobiles. Nous avons d’un côté les joints fixes qui assurent le braquage des roues et d’un autre côté les joints coulissants qui permettent le débattement des suspensions. Ces deux familles de joints assurent donc deux fonctions bien distinctes et peuvent être assimilées aux liaisons cinématiques parfaites simplifiées que sont les liaisons de type rotule à doigt pour les joints fixes et les liaisons de type linéaire annulaire à doigt pour les joints coulissants comme illustré sur la figure 1.3.

Boîte de vitesses

δ

δ

Roue

Axe de rotation de la roue

Axe de rotation de sortie de bv

Sol

Liaison linéaire annulaire à doigt

Liaison rotule à doigt

Figure 1.3 Représentation symbolique d’une transmission automobile dans son

environnement, sous angle de brisure δ

Page - 14/142 -


Ces deux familles de joints de transmissions automobiles peuvent être subdivisées en plusieurs sous-familles. En effet les technologies de joints homocinétiques sont diverses et variées. On retrouve notamment les joints de type Cardan, tracta, Weiss, Rzeppa (ou à billes), tripode et autres. Dans son ouvrage [1], Esnault propose et présente une liste exhaustive de ces différentes technologies de joints d’accouplement. Ici, dans cette étude nous nous sommes focalisés sur les deux technologies de joints les plus employées aujourd’hui dans les transmissions automobiles. Il s’agit du joint fixe à billes côté roue et du joint tripode coulissant côté boîte (voir figure 1.4).

Joint tripode coulissant côté boîte

Joint fixe à 6 billes côté roue

Figure 1.4 Transmission équipée des deus technologies de joints étudié

1.4 Le joint tripode coulissant

Le joint tripode coulissant est un joint pseudo homocinétique basé sur une symétrie ternaire. Il est, comme présenté figure 1.5, constitué d’une tulipe ayant trois rampes rectilignes espacées de 120° et d’un tripode formé de trois tourillons également espacés de 120°. Trois galets assurent la jonction et la transmission de la puissance mécanique entre le tripode et la tulipe. Ces trois galets sont guidés en liaisons pivots glissants sur les tourillons par trois roulements à aiguilles. Le tout est lubrifié par de la graisse qui est retenue dans le joint par un soufflet.

Axe de sortie de boîte de

vitesses

Arbre de liaison

Soufflet

Rampe

Tripode Galet

Tulipe

Aiguilles

Tourillon

Figure 1.5 Le joint tripode coulissant

Page - 15/142 -


1.5 Le joint fixe à 6 billes

Le joint fixe à billes est un joint homocinétique basé sur le principe des joints à plan bissecteur. Il est, comme présenté sur la figure 1.6 constitué : d’un bol ayant 6 pistes circulaires espacées de 60°; d’une noix ayant également 6 pistes circulaires espacées de 60°; de 6 billes venant se loger dans les pistes noix et pistes bol afin de transmettre la puissance ; d’une cage assurant le rotulage entre la noix et le bol et maintenant les billes dans un même plan. Le tout est lubrifié par graisse qui est retenue dans le joint par un soufflet.

Axe de rotation de la roue

Arbre de liaison

Soufflet

Bol

CageNoix

Bille

Figure 1.6 Le joint à 6 billes

2 Bref historique des transmissions automobiles

2.1 Historique général

L’histoire des joints d’accouplement homocinétique et plus particulièrement des transmissions automobiles est étroitement liée au développement des véhicules modernes à traction avant. C’est d’ailleurs Citroën en 1934 avec la Traction qui commercialise la première voiture à traction avant produite en série.

Avant cette révolution dans le domaine de l’automobile, les voitures étaient des propulsions. Le fait de ne pas avoir de braquage sur les roues motrices autorisait alors l’emploi de la technologie de transmission de puissance par chaînes puis par cardans. En fait, avant l’apparition des joints homocinétiques modernes et leur industrialisation, le joint à croisillon, plus connu sous les noms de Cardan ou Hooke suivant l’inventeur auquel on attribue la paternité (voir tableau 1), était le plus répandu. Les transmissions étaient donc constituées le plus souvent de deux joints de Cardan reliés entre eux par un dispositif télescopique à cannelures internes et externes coulissantes les unes dans les autres. Du fait des avantages proposés par ce système : simplicité ; haute capacité en puissance transmise ; fiabilité ; endurance ; rendement excellent, ce type de transmission devenu classique, trouve toujours une multitude d’applications. Cependant, l’application dans le domaine des transmissions automobiles est limitée par deux handicaps importants. En effet, le joint de Cardan présente une hétérocinétie non négligeable et le système de cannelures glissantes génère un effort important sous couple de résistance au coulissement.

Avec l’arrivée des voitures à traction les roues motrices (couple) deviennent directrices (angle important) et il faut donc développer des solutions fiables pour une transmission homocinétique de la puissance. Dans un premier temps, c’est le double joint

Page - 16/142 -


de Cardan qui sera développé et largement utilisé. Puis, avec l’amélioration des techniques de production, de la fiabilité, du confort des automobiles, améliorations réalisées dans le cadre d’une sévère compétition internationale, les technologies des joints utilisés pour les véhicules à traction se sont perfectionnées pour arriver aux technologies qui sont aujourd’hui les plus répandues telles que les joints tripodes et les joints à billes.

Un historique plus complet des transmissions et des joints d’accouplement homocinétiques est présenté par K’nevez dans sa thèse [2] et par Seherr-Thoss dans son ouvrage [3]. La chronologie des principales évolutions techniques présentées dans le Tableau 1.1 en est d’ailleurs fortement inspirée.

1352-54 Joint d’accouplement dans le mécanisme de l’horloge de la cathédrale de Strasbourg

1550 Suspension à cardan de Geronimo Cardano 1663 Joint universel de Robert Hooke 1683 Double joint de Hooke

1824 Analyse du mouvement du joint de Hooke et calcul des forces sur la croix par Jean Victor Poncelet avec l’aide de la trigonométrie sphérique et des calculs différentiels

1841 Analyse de la cinématique du joint de Hooke par Robert Willis 1894 Calcul des contraintes sur les croix par Carl Bach 1904 Production en série de joint Hooke par Carence Winfred Spicer 1908 Premier joint à billes par William A. Whitney. Coulissement et articulation séparés 1918 Condition de transmission de mouvement homocinétique par Maurice d’Ocagne 1921 Joint Bipode de John B. Flick 1923 Joint fixe à billes de Carl William Weiss

1926 Invention du joint Tracta par les ingénieurs français Pierre Fenaille et Jean Grégoire

1927 Joint à 6 billes allant jusqu’à 45° d’angle par Alfred Rzeppa

1928 Premier joint hooke avec roulements à aiguille sur la croix par Clarence Winfred Spicer

1933 Joint à billes avec décalage des pistes par Bernard K. Stuber 1934 Double joint de cardan avec roulements à aiguilles et anneau central par Citroën 1935 Tripode joint par J. W. Kittredge 1937 Tripode joint par Edmund B. Anderson 1938 Joint à billes coulissant basé sur le principe des offsets par Robert Suczek 1946 Joint fixe avec pistes elliptiques par William Cull 1949 Joint pour 2CV de Marcel Villard 1949 Joint fixe de Robert Bouchard 1951 Transmission avec joints de hooke séparés et partie milieu par Borg-Warner 1953 Joint pour grande angularité (45°) par Kurt Schroeter 1959 AC fixed joint par William Cull, produit par Hardy-Spicer 1960 Joint fixe Löbro avec piste semi-circulaire par Erich Aucktor et Walter Willimek 1960 Tripode coulissant par Michel Orain 1961 Joint coulissant à 4 billes avec pistes croisées par Henri Faure 1961 Joint coulissant DANA par Phil. J. Mazziotti 1962 Joint coulissant VL avec pistes croisées, 6 billes et cage sphérique par Erich Aucktor1963 Tripode fixe par Michel Orain 1965 Joint coulissant DO par Gaston Devos 1965 Joint coulissant DO avec pistes parallèles et cage à offset par Birfield 1970 Joint tripode coulissant GI par Glaenzer Spicer 1970 Joint fixe UF par Heinr Welschof et Erich Aucktor 1985 Joint Triplan coulissant par Michel Orain 1989 Joint AAR par Löbro en production de serie

Tableau 1.1 Quelques dates dans l’histoire des transmissions

Page - 17/142 -


2.2 NTN et les transmissions automobiles

2.2.1 Historique général C’est en 1923 que NTN fut fondée. Le nom NTN aujourd’hui pour New Technology

Network reprenait à l’origine les initiales des co-fondateurs, N pour Noboru Niwa (le premier investisseur), T pour Tomoe Trading Co. (la société chargée de la distribution dirigée par M. Niwa) et N pour Jiro Nishizono (Ingénieur fondateur). En 1963, NTN conclut avec Hardy Spicer Ltd. U.K. un contrat de licence technologique portant sur des joints de transmission de type Birfield.

Les joints de transmission figurent aujourd'hui parmi les produits phares de NTN qui a acquis une grande connaissance technique dans ce domaine et est devenu le deuxième constructeur mondial derrière GKN.

2.2.2 Motivations industrielles et économiques Depuis 1963, après un départ difficile, NTN cumule aujourd’hui une production de

prés de 4×108 joints homocinétiques. Le chiffre d’affaire annuel dû à la vente des joints homocinétiques représentait en 2006 plus de 830 millions d’euros (voir figure 1.7).

A la vue des enjeux économiques énormes que représentent la production et la vente des transmissions automobiles il est facilement compréhensible que les différents fournisseurs de transmissions mènent une bataille technique afin de proposer les meilleurs produits et de répondre au mieux aux besoins des constructeurs automobiles.

2004 2005 2006

Japon U.S.A Europe Asie et autres

285.8

184.4

156.5

26

289.6 297.2

210.4

167.9

37.4

59.6

179.4

295.9

652.7

705.3

832.1 Vente des joints homocinétiques(million d’euros)

0 1970 1980 1990 2000 2010

1963 Démarrage de l’activité joint de transmission pour NTN

1989 Mise en place d’un site de production aux USA

1998 Mise en place d’un site de production en France

2002 Mise en place d’un site de production en Chine

2005 Mise en place d’un site de production en Inde

2006Mise en place d’un site de production en Allemagne

2

1

3

4

5

1988

1996

2003

2007

Joints homocinétiques produits par NTN

(100 million)

Figure 1.7 Evolution de la production et de la vente des joints homocinétiques pour le

groupe NTN (NTN annual report 2006)

Page - 18/142 -


2.2.3 Historique du développement des joints de transmissions chez NTN

Pour gagner des parts de marché dans le domaine des joints de transmission NTN s’est adapté et a développé de nouvelles technologies de joints homocinétiques afin de mieux répondre aux attentes des constructeurs automobiles. Le tableau 1.2 présente d’ailleurs une chronologie des développements des nouvelles technologies de joints chez NTN. Cette chronologie s’appuie sur les travaux de Hayashi [4] et Ikeda [5]. Les deux principaux aspects techniques sur lesquels se base la course au développement, sont d’une part l’amélioration du comportement vibratoire et acoustique des transmissions et d’autre part l’aspect écologie et économie d’énergie. En effet, les constructeurs cherchent à améliorer le confort acoustique et vibratoire de leurs véhicules. Ces derniers cherchent également à optimiser la consommation de carburant en diminuant les masses pour tous les composants et également les contraintes de rendement pour les organes assurant la création et le transport de la puissance mécanique.

C’est d’ailleurs dans cet objectif croisé de réduction de masse et d’amélioration du rendement que la gamme compacte à 8 billes (série E) a été développée. Dans leurs articles sur le développement des différents joints de la gamme compacte Nagatani [6], Sone [7], Wakita [8], Hozumi [9] et Sugiyama [10] montrent au travers de mesures et calculs, les avantage de cette gamme de joints homocinétiques qui combine efficacité accrue et masse réduite.

Afin également de réduire au maximum les masses et donc la consommation des véhicules, des transmissions de nouvelles générations sont conçues avec moyeu et roulement intégrés. Ainsi, sans système de fixation Fukushima [11] montre un gain possible de près de 800g par transmission.

C’est dans un souci d’améliorer le comportement vibratoire des joints coulissants à billes que Nagatani [12] et Fukumura [13] ont optimisé les efforts de coulissement qui sont à l’origine d’un phénomène vibratoire au sein du véhicule. En effet, sous charge moteur le joint à billes coulissant de par son caractère réfractaire au coulissement, transmet les vibrations du groupe motopropulseur à la caisse du véhicule. Une optimisation de la géométrie noix/cage et bille/cage annule ce phénomène.

C’est également pour une préoccupation vibratoire et acoustique que les joints anti-martèlement furent développés. Effectivement, les joints tripodes coulissants génèrent durant leur fonctionnement des efforts axiaux cycliques 3 fois par tour de roue. Ces efforts axiaux sont à l’origine d’une vibration transversale au sein du véhicule appelée martèlement (ou shudder pour le terme anglophone). Cette vibration basse fréquence très connue des spécialistes NVH (Noise and Vibration Harshness) se manifeste lors des phases de fortes accélérations. Pouvant être ressenti par les conducteurs et passagers les causes de cette vibration font l’objet de nombreuses études. Nous nous y intéresserons d’ailleurs de plus près dans la suite de notre étude. Fukumura [14] et Terada [15] ont développé des joints anti-martèlement en introduisant du rotulage entre les galets et les tourillons. De ce fait les galets roulent dans les rampes et l’effort axial généré le long de la tulipe se trouve grandement diminué. Nagatani [16] propose quant à lui un joint anti-martèlement hybride entre le joint tripode et le joint triplan qui offre de très bons résultats. Malheureusement, ces technologies efficaces entraînent un surcoût non négligeable qui les rendent dédiées aux véhicules haut de gamme. Le joint tripode coulissant classique a encore de beaux jours devant lui.

Page - 19/142 -


Aujourd’hui, grâce à toutes les évolutions techniques proposées, NTN est devenu le second constructeur mondial de joints homocinétiques pour transmissions. La figure 1.8, représente la répartition mondiale des parts de marché dans cette activité.

NTN

24%

GKN36%

DELPHI14%

Production interne

constructeur 19%

Autres fournisseurs

7%

Figure 1.8 Répartition mondiale des parts de marché dans le domaine des joints

homocinétiques 1963 Lancement de la production de joint homocinétique pour NTN avec le joint

fixe à 6 billes BJ 1965 Lancement du joint à 6 billes coulissant DOJ 1983 Lancement du joint tripode coulissant TJ

1984 Développement du joint coulissant à 6 billes DOJ-RPC. Diminution de l’effort résistant au coulissement

1985 Lancement du joint à 6 billes coulissant à pistes coisées LJ

1986 Développement du joint coulissant à 6 billes DOJ-RPCF. Diminution de l’effort résistant au coulissement

1987 Lancement du joint tripode coulissant AC-TJ qui génère moins d’effort axial que le joint TJ grâce à une optimisation des formes des rampes

1988 Lancement du joint fixe à 6 billes UJ travaillant sous haute angularité grâce au tracé des pistes en U

1989 Lancement de la première génération de joint tripode coulissant anti-martèlement FTJ. L’effort axial est diminué grâce au rotulage des galets

1997 Développement du joint coulissant à 6 billes DOJ-RPE. Diminution de l’effort résistant au coulissement

1997 Lancement de la deuxième génération de joint tripode coulissant anti-martèlement SFJ. L’effort axial est diminué grâce au rotulage des galets

1997 Développement d’une nouvelle génération de joints coulissant anti-martèlement inspiré du concept du joint triplan

1998 Lancement du joint compact à 8 billes EBJ. Plus léger et plus efficace que le joint BJ

2002 Lancement de la dernière génération de joint tripode coulissant anti-martèlement PTJ. L’effort axial est diminué grâce au rotulage des galets

2002 Lancement du joint coulissant compact à 8 billes EDJ. Plus léger et plus efficace que le joint BJ

2002 Lancement du joint tripode compact coulissant ETJ. Plus léger que le TJ

2002 Lancement du joint fixe à 8 billes EUJ travaillant sous haute angularité grâce au tracé des pistes en U. Plus léger et plus efficace que le joint UJ

2005 Développement du joint tripode coulissant compact anti- martèlement EPTJ. L’effort axial est diminué grâce au rotulage des galets

Tableau 1.2 Chronologie des développements des nouvelles technologies de joints

homocinétiques pour transmissions transversales chez NTN

Page - 20/142 -


Toutes ces considérations de comportements NVH de masse et de rendement sont également prises en compte pour les transmissions longitudinales. En effet, Sakaguchi [17], Kobayashi [18] et Nagatani [19] se sont intéressés au développement de joints homocinétiques pour transmissions longitudinales. Une gamme ECO s’appuyant sur la gamme compacte à 8 billes a d’ailleurs été développée par ce dernier.

La gamme actuelle des joints homocinétiques proposée par NTN est présentée dans le tableau 1.3. Dans ce travail nous nous sommes principalement intéressés à la modélisation des joints fixes à 6 billes ainsi qu’ aux joints tripodes coulissants

Récemment un joint à billes à été développé par Yamazaki [20] afin de remplacer l’ancien système à doubles cardans qui équipe les systèmes de direction des véhicules.

Joints fixe côté roue

BJ (6 billes) Joint à billes classique Angle de brisure maximum : 46°

EBJ (8 billes) Joint à billes compact Angle de brisure maximum : 47°

UJ (6 billes) Joint à bille forte angularité Angle de brisure maximum : 50°

EUJ (8 billes) Joint à billes compact forte angularité Angle de brisure maximum : 50°

Joint coulissant côté boîte

TJ Joint tripode coulissant classique Angle de brisure maximum : 23°

ETJ Joint tripode coulissant compact Angle de brisure maximum : 23°

DOJ (6 billes) Joint à billes double offset Angle de brisure maximum : 30°

EDJ (8 bille) Joint double offset compact Angle de brisure maximum : 25°

PTJ Joint anti-martèlement à galets rotulés Angle de brisure maximum : 26°

LJ (6 billes) Joint billes coulissant à pistes croisées Angle de brisure maximum : 23°

Tableau 1.3 Gamme actuelle des joints homocinétiques NTN pour transmissions transversales (catalogue No.5601-III/CE)

2.2.4 NTN Transmissions Europe C’est en Sarthe à Allonnes que l’entreprise NTN a choisi de s’implanter pour

atteindre le marché français et européen. En 1998 l’entreprise Renault décide de se séparer de son activité joint de transmission et signe un accord avec l’entreprise NTN. La société NTN Transmissions Europe (NTN TE) est créée au tout début de l’année 1999.

D’une production dédiée au groupe Renault à ces débuts, l’entreprise NTN TE a diversifié sa production en s’adaptant à d’autres constructeurs. Aujourd’hui NTN TE compte pas moins de 12 constructeurs dans sa liste de clients dont les 3 principaux sont Renault (70 %), Toyota (8%) et Suzuki (8%). Avec une production annuelle de près de 5

Page - 21/142 -


millions de transmissions complètes et un chiffre d’affaire de 200 M€ l’entreprise NTN T.E. se doit de proposer un niveau de communication technique à la hauteur des attentes de ses clients.

Le pôle recherche et développement des nouveaux produits et donc la connaissance technique et scientifique associée est centralisé au Japon au centre R&D d’Iwata (voir figure 1.9).

L’entreprise NTN TE, équipée d’un centre d’essais, se doit de répondre aux demandes de ses clients avec un haut niveau technique et scientifique avec une réactivité exemplaire, notamment dans le domaine du comportement NVH des transmissions. C’est d’ailleurs dans cet objectif que mon travail de thèse s’inscrit. Une modélisation fine des joints homocinétiques et des transmissions complètes et le passage obligatoire pour comprendre les phénomènes vibratoires engendrés par les transmissions. De plus, cette modélisation permettra une bonne approche des paramètres influant sur le rendement des transmissions.

Figure 1.9 Répartition au niveau mondial des compétences R&D des principaux sites de

NTN.

Page - 22/142 -


3. Etat de l’art, bibliographie générale

3.1 Les NVH (Noise and Vibration Harshness)

3.1.1 Généralités Depuis son origine, le domaine de l’automobile s’est intéressé au confort du

conducteur et des passagers. Le niveau de ce confort n’a d’ailleurs cessé d’augmenter depuis.

Aujourd’hui, les connaissances et les moyens techniques nous permettent de nous intéresser aux phénomènes vibratoires et acoustiques que l’on rencontre au sein du véhicule et de les traiter lors des phases de développement. En effet, les moteurs qui étaient et restent quand même les sources principales des nuisances sonores et vibratoires se sont beaucoup améliorés dans ce domaine. De ce fait, des excitations moteurs diminuées et fortement filtrées, de nouveaux bruits et nouvelles vibrations peu perceptibles auparavant font leurs apparitions au niveau de l’habitacle. Les nouvelles sources à traiter sont multiples et variées. Nous retrouvons bien sûr le moteur, qui reste une source prépondérante, mais également les bruits de roulement des pneus, les bruits de freinage, les bruits des différents systèmes tels que la ventilation, la climatisation, les essuie-glaces. Nous retrouvons également les bruits aérodynamiques et ceux générés par la chaîne cinématique de transmission de puissance dont les transmissions font partie. Cette liste non exhaustive des sources montre bien la somme et la complexité des phénomènes à traiter. Toutes ces nuisances nommées NVH pour Noise and Vibration Harshness ont donné lieu à l’apparition d’un domaine de recherche et développement dédié. Dans la suite nous nous intéresserons uniquement aux NVH liés à la chaîne cinématique de la transmission de puissance et plus particulièrement aux transmissions automobiles. La chaîne de transmission est constituée de l’axe moteur avec vilebrequin, de l’embrayage, de la boîte de vitesses, du différentiel et bien entendu des transmissions automobiles.

3.1.2 NVH dans la chaîne cinématique de transmission et dans la transmission elle même

Dans leurs travaux respectifs, Biermann [21] et Foellinger [22] décrivent la

complexité des phénomène NVH liés à la chaîne cinématique de transmission. Biermann met notamment en évidence le conflit présent dans la conception pour les ingénieurs. En effet, il faut faire cohabiter les exigences de gain en masse pour diminuer la consommation avec les objectifs de confort acoustique des véhicules. Foellinger quant à lui propose une définition pour les différents types de vibrations et sons provenant de la chaîne cinématique complète. Il met également en évidence la complexité des phénomènes qui sont fortement non linéaires, transitoires, voire intermittents et difficilement reproductibles. En fait cette complexité vient du fait que nous sommes confrontés à un ensemble de systèmes multi corps interagissant les uns sur les autres et les paramètres influant sur l’ensemble sont extrêmement nombreux.

Le constructeur Ford propose dans un bulletin technique [23] un mode opératoire qui permet, en fonction des symptômes (vibratoires et acoustiques) et des conditions dans lesquelles ils apparaissent, de déterminer l’origine des vibrations.

Page - 23/142 -


Dans leurs ouvrages [24] et [25] Ligier et Baron traitent des acyclismes et vibrations générés par les moteurs à combustion et la chaîne de transmission de puissance. Dans son article [26], Farshidianfar propose une méthode d’optimisation avec l’utilisation d’un modèle dynamique simplifié et d’un algorithme génétique pour minimiser les vibrations générées par la chaîne cinématique de transmission. La figure 1.10 est une représentation symbolique des différents NVH générés par la chaîne de transmission. Contrairement aux autres types de NVH il n’existe pas de traduction littérale pour le « Clonk » car comme l’indique Menday qui traite de ce phénomène dans son article [27], il s’agit en fait ici d’un nom basé sur une onomatopée.

Judder (Ebranlement)

Shudder (Martèlement)

Shuffle(Battement)

Squeal(Grincement)

Clonk

Boom(Bourdonnement BF)

Rattle (Cliquetis)

Whoop (Grognement)

Figure 1.10 Représentation symbolique des NVH engendrés par la chaîne cinématique de

transmission de puissance. Les transmissions automobiles, derniers systèmes de transmission de puissance avant

les roues, participent également à la génération des NVH. L’un des pionniers dans ce domaine est Baron qui en 1992, dans ses travaux sur les

NVH appliqués aux joints homocinétiques [28] met en évidence l’impact des transmissions sur les vibrations internes du véhicule. Il détermine notamment les rôles multiples des transmissions et les répertorie en trois familles. i) le rôle direct, quand la transmission joue le rôle d’excitateur, c’est le cas du martèlement où l’excitation est l’effort axial cyclique généré par le joint tripode coulissant ; ii) le rôle indirect , quand l’excitation provient d’un autre organe, la transmission joue ici le rôle de voie de passage et le cas échéant d’amplificateur modal quand la fréquence correspond à un mode propre d’un constituant de la transmission (l’élément de liaison) ; iii) le rôle couplé direct et indirect, l’excitation vient d’une part de la transmission et d’autre part d’un autre organe comme par exemple la boîte de vitesses ou le moteur : c’est le cas du battement F2/R6 présenté plus en détail par Baron dans une étude [29] sur ce couplage entre le pilonnage moteur en F2 (par convention F2 signifie deux fois la fréquence de rotation de l’arbre moteur pour un moteur 4 cylindres 4 temps) et le moment complémentaire en R6 (par convention R6 signifie 6 fois la fréquence de rotation de la roue) du joint roue. Beaucoup plus récemment, Hayama [30] appuiera les travaux de Baron en réalisant une étude dans laquelle, il met bien en évidence le rôle direct de la transmission. En effet, à partir d’un modèle complet de véhicule et de mesures, il met en évidence le lien entre des efforts axiaux générés par les joints coulissants situés de part et d’autre de la boîte de vitesses et les vibrations transversales que l’on retrouve au sein du véhicule.

Les rôles indirects des transmissions quant à eux, ont été notamment modélisés par Diaby qui dans sa thèse de doctorat [31] a consacré une partie de ces travaux à la modélisation des transmissions. A l’aide d’analyses modales expérimentales de

Page - 24/142 -


transmissions complètes effectuées sur véhicule et sur banc, il a notamment recalé des modèles éléments finis grâce à l’identification des conditions aux limites. D’autres comme Coutinho [32] ont également travaillé sur ce sujet et montré l’influence de différents paramètres. Le couple appliqué, la position du tripode dans la tulipe et les dimensions géométriques de l’élément de liaison sont les paramètres dont les influences sur les fréquences de vibration ont été étudiées.

Dans la suite de notre étude nous nous intéresserons principalement au rôle direct que jouent les transmissions puisque nous chercherons à mettre en évidence les vibrations générées par celles-ci. Nous modéliserons donc les joints de transmissions en solides rigides et même semi rigides puisque comme nous le verrons plus tard, nous introduirons les déformations locales aux contacts.

3.2 Modélisation des transmissions

3.2.1 Généralités Comme indiqué précédemment la modélisation multi corps des joints de

transmissions est un passage obligé pour bien comprendre les phénomènes à l’origine des vibrations générées.

L’intérêt scientifique pour la modélisation des joints homocinétiques ne date pas d’hier puisqu’en 1824, Poncelet s’intéressait déjà, avec l’aide de la trigonométrie sphérique, à l’analyse du mouvement du joint de Hooke et calculait les efforts internes agissant sur la croix. Depuis cette date, l’intérêt pour les analyses statiques, cinématiques et dynamiques des joints homocinétiques n’est pas retombé. En effet, la modélisation des joints homocinétiques et plus particulièrement des joints de transmissions automobiles fait l’objet de publications scientifiques, ouvrages techniques, et thèses de doctorat.

Les travaux de Orain, qui a soutenu sa thèse de docteur ingénieur [33] en 1976 furent longtemps une référence dans le domaine. En effet, dans sa thèse qui est le reflet d’une longue activité de recherche appliquée au sein de la société Glaenzer Spicer, Orain présente les principes mécaniques appliqués aux joint homocinétiques. Les analyses cinématiques ainsi que les calculs d’efforts internes sont appliqués aux technologies les plus anciennes telles que les joints cardan ou à pignon coniques mais aussi aux technologies actuelles telles que les joints tripodes et les joints à billes. Même si du fait des moyens de calculs actuels, ces travaux semblent aujourd’hui un peu dépassés, cette thèse reste une référence qui présente très bien les problématiques de la transmission de puissance mécanique sous angle, ainsi que l’évolution des technologies employées.

Guimbretiere reprendra d’ailleurs certains éléments des travaux d’Orain dans [34] et [35] où il effectue un survol intéressant des différentes technologies actuelles et plus anciennes des joints homocinétiques utilisés dans les transmissions automobiles.

3.2.2 Etudes et modélisations des joints tripodes Comme préalablement indiqué, les joints à technologie tripode sont très largement

répandus dans le domaine de l’automobile. La faiblesse de cette technologie de joint, mis à part son très léger défaut d’homocinétie, réside dans le fait que durant son fonctionnement, un effort axial cyclique 3 fois par tour de roue est généré le long de l’axe de la tulipe. Comme nous le verrons par la suite, se sont les déplacements des galets dans les rampes qui, en raison des frottements, génèrent cet effort.

Page - 25/142 -


L’un des premiers articles sur cette technologie est dû à Mabie [36] qui déjà en 1948 s’intéressait à cette technologie. Plus tard, Durum [37] en 1975 sera l’un des premiers à mettre en évidence le défaut d’homocinétisme du joint tripode à partir d’une étude géométrique. Cette hétérocinétie sera également démontrée par Akbil et Lee qui dans leurs articles communs respectifs [38] et [39] effectuent une analyse cinématique pour chaque composant. Ces analyses mettent bien en évidence que lorsque l’axe de sortie ne garde pas une direction constante, ce qui est le cas dans la grande majorité des utilisations, le joint tripode n’est pas un joint parfaitement homocinétique. Pandrea, en 1988 [40] avec l’aide du calcul numérique, quantifie ces variations de vitesses et pose l’ensemble des éléments de géométrie et de cinématique pour passer aux études dynamiques.

A partir de ce moment, les modélisations des joints tripodes et plus particulièrement celles des joints coulissants se sont appuyées sur la théorie des mécanismes avec l’utilisation de liaisons mécaniques usuelles (pivot, glissière, rotule, …). Cette méthode aboutit à la modélisation cinématique présentée figure 1.11

Rotule

δ

Galet

Elément de liaison + Tripode

5

Tulipe 12

Galet 3

Galet 4

0

0

Pivot Linéaire

annulaire

Linéaire annulaire

Linéaire annulaire

Pivot glissant

Pivot glissant Pivot

glissant

4

3 5

0

1

2

Pivot dl=1

Rotule dl=3

Pivot glissant dl=2

Pivot glissant dl=2

Pivot glissant dl=2

Linéaire annulaire

dl=4

Linéaire annulaire

dl=4

Linéaire annulaire

dl=4

m

Figure 1.11 Schéma cinématique et graphe des liaisons du joint tripode coulissant

En effectuant une étude des mobilités de ce système et en calculant le degré

d’hyperstaticité h nous montrons que ce système est modélisable de cette manière. Le calcul d’hyperstaticité s’effectue de la manière suivante :

6h Ncγ= − + (1.1)

avec

1

1L

L PN

ii

u i

N N

Nc dl

m m m

γ

=

= − +

=

= +

∑ (1.2)

où γ est le nombre de cycles (ou boucles) du système, NL le nombre de liaisons mécaniques parfaites du système, NP le nombre de pièces du système (bâti compris), Nc le nombre

Page - 26/142 -


d’inconnues cinématiques, dli le nombre de degrés de liberté dans la liaison i, m le nombre de mobilités du système avec mu et mi les mobilités utiles et internes du système.

Dans notre cas, m = 4 avec mu = 1 (la rotation à transmettre) et mi = 3 (les trois rotations libres des trois galets autour de leur tourillon respectif). Le nombre d’inconnues cinématiques Nc = 22 et les nombres de cycles γ = (8-6+1) = 3. Ici nous retrouvons donc bien un degré d’hyperstaticité h = 6x3-22+4 =0 et sommes donc bien en présence d’un système isostatique. Cela signifie donc que d’un point de vue cinématique cette modélisation est correcte.

C’est d’ailleurs en s’appuyant sur la théorie des mécanismes que K’nevez [2] et Wu [41] ont construit leurs modèles dans leurs thèses respectives. K’nevez a travaillé sur l’étude cinématique et dynamique des transmissions à joints tripodes et s’est intéressé aux joints tripodes coulissants et fixes. Cette dernière technologie de joint tripode fixe n’est plus beaucoup employée par les constructeurs automobiles. Cette technologie de joint générait notamment un moment complémentaire en R6 (6 fois par tour de roue) qui, couplé au pilonnage moteur, était responsable d’un phénomène de battement acoustique au sein de l’habitacle. Wu quant à lui étudie différentes technologies de joints tripodes coulissants. Il effectue d’ailleurs un comparatif au niveau des efforts axiaux générés et des rendements entre les différents joints dits anti-martèlement. Watanabe, dans son étude [42] étudiera également les efforts axiaux générés par les joints à galets rotulés. A l’aide de mesures réalisées avec une tulipe instrumentée il présente l’effort axial généré par un galet dans sa rampe et valide son modèle de calcul.

En 1998 Urbinati et Pennestri [43] analysent, à l’aide d’un modèle dynamique du joint tripode basé sur les mêmes liaisons que celles présentées figure 1.11, l’influence des inerties sur les efforts relevés au niveau de la liaison rotule. Cette étude montre que cette influence est faible. Plus tard, Santonocito et Pennestri [44] utiliseront un modèle paramétré pour étudier l’influence de la géométrie du tripode sur la cinématique et les efforts au contact. Le paramétrage leur permet de faire évoluer les positions angulaires des tourillons suivant deux directions. Giraud-Moreau [45] reprendra d’ailleurs un paramétrage identique dans ses travaux d’optimisation de la géométrie des joints tripodes.

Mariot et K’nevez [46] proposeront une nouvelle approche de toute la cinématique du joint tripode basée sur la propriété du positionnement à 120° des trois tourillons. Ils montrent également dans leur étude, l’influence du déphasage entre le tripode fixe et le tripode coulissant sur la cinématique de l’élément de liaison. Plus tard dans [47] et [48] les mêmes auteurs ont présenté une méthode simplifiée satisfaisante pour analyser la cinématique interne des joints. Puis dans [49] ils mettent en évidence que le défaut d’homocinétie influence peu le niveau de martèlement qui est essentiellement dû aux frottements. Frottements qu’ils introduiront d’ailleurs dans leurs études [50] et [51] ce qui validera effectivement l’influence de ces derniers sur le martèlement.

Du fait de cette forte influence des frottements sur les efforts axiaux générés par les joints tripodes coulissants, des études furent menées pour améliorer les caractéristiques des graisses employées. Kernizan [52] a d’ailleurs développé un banc permettant de tester les performances des graisses utilisées dans la lubrification des joints homocinétiques. Fish [53] et [54] quant à lui a montré les effets de différents additifs et notamment ceux du molybdène sur le coefficient de frottement. Il développe d’ailleurs dans ses études des graisses à faible coefficient de frottement dédié à la lubrification des joints de transmission. D’autres comme Lee et Polycarpou s’intéressent également aux frottements et leurs effets sur l’effort axial généré dans les joints tripodes coulissants. Ils ont, dans [55] et [56], développé un appareillage permettant de mesurer les efforts axiaux sur l’axe de la tulipe ainsi que la contribution axiale de chaque galet. Cette dernière mesure est rendue possible

Page - 27/142 -


grâce à l’instrumentation d’un tourillon avec un capteur d’effort triaxial. Leur approche, purement tribologique, les amène à considérer un coefficient de frottement variable en fonction de l’angularité du galet dans sa rampe.

Nous avons montré dans [57] et [58] qu’il ne s’agit pas d’un coefficient de frottement variant en fonction de l’angularité du galet. En effet, comme nous le verrons dans le chapitre 3 ce n’est pas le coefficient de frottement qui varie en fonction de la cinématique au contact. C’est ce changement de cinématique qui fait varier les effets des frottements en fonction de la position angulaire du galet dans sa rampe. Nos études, basées sur des modèles recalés sur des mesures réalisées sur banc industriel, mettent bien en évidence ce phénomène. Le banc de mesure industriel que nous avons utilisé pour cette étude et que nous présenterons plus en détail par la suite, est basé sur le même principe que celui utilisé par Biermann dans son étude [59].

3.2.3 Etudes et modélisations des joints à billes Comme le joint tripode coulissant, le joint à billes est très répandu dans le domaine

des transmissions automobiles. Son étude et sa modélisation ont donné lieu à de nombreux articles.

Dès 1992 Kimata s’est intéressé à la modélisation des joints à billes. Il propose d’ailleurs dans [60] une modélisation basée sur la statique qui permet de calculer les efforts internes et d’observer les effets des jeux inter composants.

Nagatani, [61] continuera de développer ce modèle basé sur la statique et modélisera une transmission complète équipée d’un joint fixe à billes côté roue, d’un joint coulissant à billes côté boîte et d’un élément de liaison. Ce modèle lui permet d’estimer les interactions mutuelles des deux joints à travers l’élément de liaison.

Watanabe et Ichikawa [62], [63], quant à eux, se sont intéressés au léger défaut d’homocinétisme des joints à billes fixes et coulissants. Défaut qu’ils observent grâce à des mesures réalisées sur banc. Ils développeront des modèles cinématiques basés sur la géométrie complexe des constituants du joint.

Watanabe, proposera plus tard [64], [65], une étude complète de la cinématique des joints fixes à billes de type Rzeppa. Il analysera entre autres les influences des jeux sur la cinématique des joints.

Grâce au développement des logiciels de simulation dynamique tels que ADAMS, Hayama [66], [67], et [68] a créé des modèles dynamiques des joints à billes lui permettant de calculer les efforts de contact entre les différents composants du joint.

Song [69] en fera de même et a étudié notamment l’influence d’un défaut de fabrication tel que des erreurs de positionnements angulaires des pistes sur les pressions de contact entre billes et pistes. Il reprendra notamment le modèle de contact de Hertz.

Plus récemment, Kimata et Nagatani [70], [71], ont développé des modèles dynamiques complets de joint à billes. Ils valideront d’ailleurs leurs résultats de calcul des efforts internes à l’aide d’un joint à billes instrumenté. Leur instrumentation leur permet notamment de mesurer les efforts transmis entre billes et pistes. Leurs études mettent également en évidence que les effets d’inertie sont négligeables devant les actions mécaniques permettant la transmission du couple.

De plus en plus, le rendement des transmissions automobiles est pris en considération par les constructeurs qui cherchent à minimiser les consommations en carburant des véhicules. Les rendements des joints à billes sont en général supérieurs à 99%. Il apparaît donc difficile de mesurer avec la précision nécessaire directement les pertes de puissance mécanique.

Page - 28/142 -


Biermann [72] propose une méthode thermique pour mesurer les pertes de puissance. En effet les pertes de puissance dues aux frottements se traduisent par un échauffement du joint. Il mettra d’ailleurs au point un appareillage capable de mesurer avec précision la température des joints durant leur fonctionnement et en déduira les rendements en fonction des graisses utilisées, de l’angle de brisure et de la vitesse de rotation.

Kimata [73] quant à lui, montre le lien qui existe entre les pertes de puissance et le moment complémentaire généré par les joints à billes. Il mettra également au point un dispositif permettant de mesurer avec précision le moment complémentaire et en déduira le rendement du joint testé.

Le moment complémentaire ou second moment est le moment généré lors d’une transmission de couple sous angle afin d’équilibrer la somme des moments. Ce moment qui appartient au plan du joint pour un joint homocinétique parfait est présenté par Matschinsky dans son ouvrage [74]. Nous présenterons ce moment complémentaire plus en détail dans le chapitre 4 consacré au joint à billes.

3.3 Les contacts en modélisation mécanique

3.3.1 Généralités L’étude et la modélisation des contacts est un domaine de recherche de la mécanique

très vaste. Dans leurs études bibliographiques, Barber [75] Gilardi [76] et Faik [77] nous exposent d’ailleurs les enjeux et domaines d’applications de ce champ de recherche. Nous n’entreprenons ici qu’une légère présentation, indispensable, puisque comme nous le verrons par la suite, nous utiliserons dans notre modélisation la transmission d’effort inter composants par contact. Il est donc nécessaire de mettre au clair quelques éléments qui seront utilisés ultérieurement, notamment dans les définitions des sous-programmes qui calculeront les actions mécaniques aux contacts.

Il faut, dans un premier temps, différencier deux grands domaines dans l’étude des contacts ainsi que les deux grandes familles de modélisations. En effet il y a d’un côté la mécanique des contacts par collision ou impact et d’un autre côté la mécanique des contacts dits « continus » ou « permanents ».

La mécanique des impacts s’intéresse aux phénomènes extrêmement brefs qui apparaissent lors d’une collision entre deux solides, l’ouvrage de Stronge [78] y est consacré.

Dans notre cas, nous nous intéresserons aux contacts continus. En effet, dans notre modélisation, nous sommes en présence de solides en contact qui roulent et glissent les uns sur les autres. Ces contacts s’apparentent donc plus à des contacts permanents qu’à des collisions.

Dans le domaine de la modélisation des contacts, on retrouve deux grandes familles de méthode. Il y a d’un côté les méthodes par restitution et d’un autre côté les méthodes de pénalité ou indentation.

Les méthodes par restitution sont plus adaptées à la modélisation des collisions puisqu’elles lient les énergies cinétiques des solides d’avant le contact à celles d’après par un coefficient e compris entre 1 (contact purement élastique, conservatif) et 0 (contact purement plastique, dissipatif) rendant compte de la dissipation d’énergie durant l’impact.

Dans notre cas nous modéliserons le contact par une méthode de pénalité qui calcule l’effort normal au contact en fonction de la valeur d’interpénétration relative des solides. Ces méthodes considèrent donc les déformations locales aux points de contact. Nous

Page - 29/142 -


utiliserons la modélisation du contact par la fonction Impact du logiciel de modélisation ADAMS. Dans notre cas de contact acier/acier, le terme le plus important est la raideur K de contact. Elle sera d’ailleurs comme présenté dans la suite, identifiée à l’aide de la théorie des contacts élastiques de Hertz.

( )ImpactnF K Dδ δ δ= + (1.3)

Le terme dissipatif D(δ), en plus de rendre compte des dissipations au contact qui

seront faibles (contact acier/acier), permettra de stabiliser le calcul des efforts et évitera à notre modèle, d’entrer en oscillation.

3.3.2 Le modèle de Hertz Le problème de contact normal des solides élastiques isotropes non conforme a été

résolu par Hertz en 1882. Les relations établies par Hertz, unanimement reconnues comme constituant la base du développement ultérieur de la mécanique des contacts permettent d’exprimer l’aire de contact, le déplacement relatif et les pressions de contact de deux solides élastiques en fonction de la charge appliquée. Pour trouver la solution au problème de contact, Hertz à utilisé une approche semi inverse présentée en détails dans l’ouvrage de référence de Johnson [79].

L’effort normal de contact suivant la théorie de Hertz est donné par :

3/ 23

2'9Hertz e

RF k Eπ δψε

= (1.4)

Avec ke le paramètre elliptique, E’ le module d’élasticité équivalent δ la déformation

au contact, ε l’intégrale elliptique du premier type, ψ l’intégrale elliptique du second type et R le rayon équivalent.

11 1

x y

RR R

−⎛ ⎞

= +⎜⎜⎝ ⎠

⎟⎟ (1.5)

1

1 1x

ax bx

Rr r

−⎛ ⎞

= +⎜ ⎟⎝ ⎠

et 1

1 1y

ay by

Rr r

−⎛ ⎞

= +⎜⎜⎝ ⎠

⎟⎟ (1.6)

avec rax , ray et rbx , rby les rayons de courbures principales dans les directions x et y des solides en contact a et b. La figure 1.12 reprend ces notations.

22'

1 1a b

a b

E

E E

2ν ν=

− −+

(1.7)

avec Ea, Eb et υa, υb les modules d’élasticité et coefficients de Poisson des matériaux en contact.

Page - 30/142 -


1/ 2

2220

11 (1 )sine

dk

π

φ φε ⎡ ⎤− −⎢

⎣ ⎦= ∫ ⎥ (1.8)

1/ 2

2220

11 (1 )sine

dk

π

φ φψ−

⎡ ⎤− −⎢

⎣ ⎦= ∫ ⎥ (1.9)

x

x

y

y

rax ray

rbyrbx

Solide a

Solide b

F

F Figure 1.12 Géométrie des solides élastiques en contact

Suivant la théorie de Hertz classique, les trois grandeurs que sont ke, le paramètre

d’ellipticité, ε, l'intégrale elliptique du premier type, et ψ, l'intégrale elliptique du second type, sont déduites de la solution d’une équation transcendantale les reliant à la géométrie des corps en contact.

La littérature propose une multitude de méthodes pour la résolution de ce problème. Brewe [80], Hamrock [81], et Greenwood [82] ont présenté des méthodes simplifiées comparées par Greenwood lui même dans [83] qui permettent de calculer les déformations au contact avec une erreur inférieure à 2%.

La méthode retenue pour notre étude est celle de Hamrock qui propose une solution approchée dépendant directement d’un paramètre géométrique αr avec une grande étendue d’application en terme de niveau de conformité ou non du contact. Le tableau 1.4 présente les expressions analytiques proposées pour le calcul des différents paramètres au contact. Cette méthode présente également l’avantage de ne pas avoir recours à des abaques de valeurs pré calculées.

A partir de là, en connaissant les matériaux et la géométrie des pièces en contact, il est possible de ramener notre modèle de calcul eq.(1.3), à un modèle élastique hertzien eq.(1.4) en identifiant les paramètres de la manière suivante.

3

2'9e

RK k Eπψε

= et (1.10) 3 / 2n =

Page - 31/142 -


2XD

2YD

x

y Ellipse de contact

2XD

2YD

x

y Ellipse de contact

1 100rα≤ ≤ 0.01 1rα≤ ≤

2 /e rk πα=

ln2 a rqπψ α= + ln

2 a rqπψ α= −

1 a

r

qα

ε = + 1 a rq αε = + ⋅

12aq π

= −

1/3262'

eY

k FRDEε

π⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

1/3

62'

eY

k FRDEε

π⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

1/362

'Xe

FRDk Eε

π⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

1/3

2

62'X

e

FRDk Eε

π⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Tableau 1.4 Expression analytique des paramètres de contact proposés par Hamrock.

Page - 32/142 -

Chapitre II Méthodes Moyens de mesure et moyens de calcul Résumé :

Dans ce chapitre nous effectuons un tour de champ des moyens d’essai et de calcul utilisés durant ces travaux de thèse de doctorat. Nous présenterons dans un premier temps les équipements disponibles au service essais de l’entreprise NTN Transmissions Europe que nous avons utilisés pour nos mesures. Nous retrouverons deux types de mesure, les mesures sur véhicule pour mettre en évidence les vibrations au sein de l’habitacle et les mesures sur banc industriel pour mesurer les efforts générés par les transmissions. Ce sont d’ailleurs ces efforts qui sont à l’origine des vibrations observées sur véhicule. Nous présenterons ensuite les moyens de calculs utilisés pour la modélisation mécanique des joints de transmission. Après une rapide présentation du fonctionnement général des solveurs utilisés pour la simulation des systèmes multi corps et plus particulièrement le solveur ADAMS qui est le solveur commercial retenu pour cette étude, nous présenterons plus en détails les outils sous-programmes que nous avons développés. En effet afin de modéliser finement les effets des frottements et des jeux de fonctionnement, nous avons pris en compte la transmission d’effort inter composants par contact. Cette modélisation n’étant pas directement réalisable à l’aide des outils disponibles préprogrammés dans le solveur ADAMS, nous avons programmé en FORTRAN ces nouveaux outils permettant de calculer le torseur des actions mécaniques de contact. Ces sous programmes une fois intégrés dans le solveur nous permettrons de modéliser les contacts inter composants dans les joints de transmissions.

Page - 33/142-

Sommaire du chapitre II 1 Présentation des moyens de mesure ........................................................... 35

1.1 Les mesures sur banc industriel ............................................................................ 35 1.1.1 Présentation générale et mécanique du banc ............................................................................ 35 1.1.2 Présentation de la chaîne de mesure du banc............................................................................36

1.2 Les mesures sur véhicule ...................................................................................... 37 2 Les moyens de calcul .................................................................................... 38

2.1 Généralités sur les logiciels de simulation dynamique et leur utilisation ............. 38

3 Les outils développés pour le calcul............................................................ 39

3.1 Présentation générale ............................................................................................ 39 3.2 Fonctionnement général des sous-programmes .................................................... 40

3.2.1 Généralités sur les sous-programmes (programmation et implantation) .................................. 40 3.2.2 Nos sous-programmes de contact ............................................................................................. 40

3.3 Fonctions de la librairie ADAMS utilisées et syntaxes associées ........................ 41 3.3.1 Généralités................................................................................................................................ 41 3.3.2 La fonction Impact pour calculer les efforts de contact............................................................ 42 3.3.3 Sysary pour faire l’acquisition des grandeurs cinématiques du modèle ................................... 43

3.4 Sous-programmes de contact sphère/plan............................................................. 44 3.4.1 Définition des repères de référence .......................................................................................... 44 3.4.2 Algorithme de calcul du sous-programme................................................................................ 45

3.5 Sous-programmes de contact sphère dans demi cylindre ..................................... 47 3.5.1 Définition des repères de référence .......................................................................................... 47 3.5.2 Algorithme de calcul du sous-programme................................................................................ 48

3.6 Sous-programmes de contact sphère dans sphère ................................................. 49 3.6.1 Définition des repères de référence .......................................................................................... 49 3.6.2 Algorithme de calcul du sous-programme................................................................................ 50

3.7 Sous-programmes de contact sphère dans demi tore intérieur à profil d’arc gothique................................................................................................................. 52

3.7.1 Définition des repères de référence .......................................................................................... 52 3.7.2 Algorithme de calcul du sous-programme................................................................................ 53

3.8 Sous-programmes de contact sphère dans demi tore extérieur à profil d’arc gothique................................................................................................................. 55

3.8.1 Définition des repères de référence .......................................................................................... 55 3.8.2 Algorithme de calcul du sous-programme................................................................................ 56

Page - 34/142-

Chapitre II : Méthodes - Moyens de mesure et moyens de calcul

1 Présentation des moyens de mesure

1.1 Les mesures sur banc industriel

1.1.1 Présentation générale et mécanique du banc Afin de valider nos futurs résultats de modèles, nous aurons besoin de les confronter

à des mesures. Comme nous l’avons déjà évoqué dans le chapitre précédent, les transmissions automobiles peuvent être vues comme un générateur de vibrations. En effet, durant la transmission de la puissance mécanique, de par son fonctionnement, la transmission génère des efforts cycliques. Ces efforts sont la source de vibrations qui se transmettent via la structure du véhicule jusqu’aux occupants. Les mesures sur véhicule seront d’ailleurs présentées, pour ce qui est du matériel utilisé, dans la partie suivante.

Afin de mesurer les efforts générés par les transmissions, le service essais de l’entreprise NTN Transmissions Europe est équipé d’un banc dédié à cet effet. Comme l’illustre la figure 2.1 ce banc est constitué de deux moteurs à courant continu de 164kW. Afin de reproduire les conditions de couple et vitesse du fonctionnement sur véhicule, un moteur sera piloté en couple (moteur frein) et l’autre en vitesse (moteur entraînant). Pour assurer l’asservissement des moteurs la ligne d’arbre du banc est équipée d’un couple mètre et d’un tachymètre. Le système de pilotage des moteurs est réversible ce qui permet de choisir le moteur qui pilote le couple et celui qui pilote la vitesse. De ce fait nous pourrons reproduire sur ce banc les conditions de charge et de frein moteur que ce soit en marche avant ou marche arrière. Les conditions de mesure extrêmes autorisées par le pilotage des moteurs sont pour la vitesse de 2000 tr/min et pour le couple de 500 Nm.

Les conditions d’angularité sous lesquelles travaillent les joints sont réglées à l’aide de deux systèmes permettant les déplacements de manière indépendante des deux blocs moteurs. Le bloc moteur situé côté boîte de vitesses peut translater (Tx et Ty) à l’aide de deux jeux de glissières rectilignes et positionner angulairement le joint coulissant entre 0° et 20°. Cette étendue de positionnement est bien supérieure aux conditions angulaires de travail que l’on retrouve sur véhicule puisque celles-ci se situent plutôt entre 2° et 10°. Le bloc moteur côté roue, peut quant à lui, à l’aide de glissières circulaires, pivoter (Rz) autour d’un axe passant par le centre du joint roue et mettre celui-ci en position angulaire de braquage entre -50° et 50°. Ces positions angulaires des joints boîte et roue sont assurées avec une précision de 0.1° et permettent donc de reproduire l’ensemble des conditions de fonctionnement que l’on retrouve sur les véhicules.

En plus des mesures d’efforts effectuées par le capteur à jauges 3 voies, le banc est équipé d’un capteur infra rouge de température. Ce capteur permet de contrôler l’élévation de la température des joints durant un essai. Cette élévation de la température est d’ailleurs minimisée et contrôlée grâce à l’adjonction au banc d’un système de refroidissement par air pulsé. Ce contrôle de la température est indispensable puisque celle-ci influence les caractéristiques de la lubrification interne des joints de transmissions, lubrification qui est, rappelons-le, assurée par la présence de graisse.

Finalement, afin de ne pas être perturbé durant les mesures, l’ensemble du système est monté sur un châssis rigide de 19t, découplé des vibrations du sol par 6 systèmes pneumatiques.

Page - 35/142 -


Moteur côté boîte Couple mètre

Châssis 19t

Tx Ty

Glissières pour translation en X

Rz

Glissières pour translation en Y

Glissières pour rotation autour de Z

Palier côté boîte

Moteur côté roue

Axe de rotation pour mise sous angle

6 systèmes gonflables de découplage vibratoire du sol

Palier côté roue

Capteur d’effort 3 voies Fx, Fy, Mz

Emplacement de la transmission à tester

Tachymètre sur axe moteur

ibanc

jbanc

kbanc

Transmission testée

Capteur de température IR

Moteur roue

Moteur boîte

Figure 2.1 Présentation du banc de mesure dédié à la mesure des efforts générés par

la transmission 1.1.2 Présentation de la chaîne de mesure du banc

Comme représenté sur la figure 2.2, le capteur d’effort à jauges permet de mesurer trois composantes du torseur des actions mécaniques transmises exprimé au centre O du joint roue. En effet, le calage de la cote l entre le centre de mesure A du capteur et le centre O du joint, nous permet en post traitement d’obtenir la composante Mz en O à l’aide du calcul de transport des moments.

( ) ( )O A= + ∧M M R AO

x

(2.1) ( ) ( )z zM O M A F= + l (2.2)

Le post-traitement et l’analyse fréquentielle des mesures sont effectués à l’aide d’un

analyseur Spectral Dynamics 4 voies. Afin de sélectionner les voies à analyser un sélectionneur de voies est intégré dans la chaîne de mesure (voir figure 2.3).

Les résultats de mesure seront présentés dans les chapitres suivants et serviront de références aux résultats de nos modèles.

Page - 36/142 -


banci bancjbanck

zM

yFxF

A

Voie Mz

Voie Fx

Voie Fy

Centre O du joint roue

l

Cale pour régler l

A

banckbancj

banci

Figure 2.2 Capteur d’efforts à jauges

Capteur à jauges 3 voies (Mz, Fx, Fy)

Couple mètre (My)

Tachymètre (ωy)

Conditionneur Sélectionneur de voies

Analyseur 4 voies Spectral

Dynamics

Figure 2.3 Chaîne de mesure associée au banc

1.2 Les mesures sur véhicule

Afin de mettre en évidence l’influence des transmissions sur les vibrations internes au véhicule, il est indispensable d’effectuer des mesures de NVH directement au sein du véhicule. Comme présenté dans le chapitre précédent, l’effet le plus direct des transmissions sur les vibrations internes du véhicule est le martèlement (shudder). Effectivement, cette vibration est provoquée par les efforts axiaux cycliques générés par les deux joints coulissants situés de part et d’autre de la boîte de vitesses.

Pour effectuer se genre d’études sur véhicule, le service essais de l’entreprise NTN Transmissions Europe est équipé d’une station portable LMS Test-Lab V8 et d’un frontal d’acquisition LMS 12 voies de type Scadas III S-C 305. La chaîne de mesure sur véhicule est présentée figure 2.4. Pour la partie post-traitement, elle sera assurée par le logiciel de traitement du signal DIAdem, développé par National Instruments.

Un tachymètre optique fixé à la caisse et visant l’élément de liaison nous permettra lors du post-traitement des mesures d’effectuer un suivi d’ordre et donc d’isoler les vibrations générées par les transmissions. En effet, les efforts générés par les joints tripodes coulissants sont cycliques à l’ordre 3, un suivi de cet ordre au niveau des vibrations mesurées au sein du véhicule permettra donc d’avoir une bonne approche des vibrations directement générées par les joints de transmission. Les vibrations générées seront relevées au niveau des glissières du siège conducteur, ainsi nous aurons, à la fonction de transfert du siège près, une idée des vibrations auxquelles est exposé le conducteur du véhicule. De plus, ces éléments sont directement liés au châssis du véhicule et sont donc des voies de passage principales des vibrations vers l’habitacle du véhicule.

Afin de connaître les conditions de couple sous lesquelles travaille la transmission durant les phases de mesures, nous l’ instrumentons en télémesure . Cette instrumentation de la transmission est présentée sur la figure 2.5.

Les protocoles de mesure ainsi que les mesures elles mêmes seront présentés en détail dans le chapitre suivant traitant du joint tripode coulissant.

Page - 37/142 -


Test Lab

Capteurs

Accéléromètres

+ Transmission

instrumentée en télémesure pour le

couple +

Tachymètre optique

FrontalD’acquisition

Station portable LMS

Figure 2.4 Chaîne de mesure utilisée pour les mesures sur véhicule

Pont de jauges

Amplificateur conditionneur

Antenne rotative

Générateur H.F. récepteur de signal

Tête d’induction

H.F. Pont de jauges

Amplificateur conditionneur

de signal

Générateur H.F.

Récepteur de signal

Boîte de vitesses

Antenne rotative

Tete d’induction

H.F.

Figure 2.5 Présentation de la transmission instrumentée en télémesure afin de

mesurer le couple transmis

2 Les moyens de calcul

2.1 Généralités sur les logiciels de simulation dynamique et leur utilisation

Les logiciels de simulation mécanique des systèmes multi corps sont nombreux. Ils sont constitués, comme la plupart des logiciels de calcul, de 3 blocs représentés figure 2.6. Le pré-processeur permet de générer le modèle et d’entrer entre autres, les conditions d’analyses. C’est dans le solveur que les calculs de résolution des systèmes d’équations différentielles et algébriques obtenus à partir du modèle (liaisons, caractéristiques des solides, …) sont effectués. Le troisième et dernier bloc, le post-processeur, permet quant à lui la mise en forme et le post-traitement des résultats.

PRE-PROCESSEUR

Entrée des données qui seront envoyer dans le solveur

Solides : géométries, inerties, données cinématiques Liaisons : types de liaison, localisations, mouvements Paramètres d’analyses : Types d’analyse, pas de temps, erreur Conditions initiales : Positions, Vitesses

SOLVEUR

Taches et calculs effectués

Assemblage des équations de contraintes, de la matrice jacobienne, des matrices masse et inertie … Identification et élimination des contraintes redondantes. Exécution du type d’analyse choisie (cinématique, dynamique, statique …)

POST-PROCESSEUR

Post-traitement des résultats

Sortie des résultats alphanumériques sous différents formats Traçage des courbes de résultats Exécution d’animations 3D tirées des résultats de calculs

Figure 2.6 Schéma de principe du fonctionnement des logiciels de simulations dynamiques

des systèmes multi corps

Page - 38/142 -


Pour des raisons d’applications industrielles, le parti pris a été l’utilisation d’un

logiciel de calcul commercial. Notre choix, suite à notre étude bibliographique, s’est porté sur le logiciel ADAMS distribué par la société MSC Software. En effet, ce logiciel qui est le plus répandu et utilisé dans le milieu automobile fonctionne avec un système de coordonnée généralisée. L’objectif étant de modéliser les transmissions d’efforts inter composants par des contacts, ce système de coordonnées est le plus adapté.

Comme l’indique Pennestri dans ces travaux sur l’enseignement et l’utilisation de modèle de simulation pour les systèmes multi corps [84], cette discipline nécessite des compétences dans divers domaines. La figure 2.7 présente les différents domaines de compétences à mettre en œuvre pour garantir une bonne modélisation et surtout une bonne compréhension des résultats de simulation. En effet, le risque majeur avec l’utilisation des logiciels de simulation commerciaux réside dans le fait qu’ils sont devenus simples d’utilisation et parfois même intégré au logiciel de CAO. Il faut toujours, que ce soit en phase de modélisation ou d’analyse des résultats, garder un esprit critique guidé par la connaissance technique du système, la connaissance de la théorie des systèmes multi corps et du fonctionnement interne du logiciel. Il est également très important de toujours confronter des résultats de simulations à des résultats de mesures voir même à des résultats de modèles simplifiés basés sur des méthodes traditionnelles d’analyses mécaniques. C’est en gardant cet objectif de représentativité de nos résultats que nous avons entrepris nos travaux de simulation.

Modélisation Analyse des résultats

Connaissance technique du système

Théorie des systèmes multi corps

Méthodes traditionnelles

d’analyse

Logiciel de simulation dynamique multi

corps

Outil Activité

Figure 2.7 Compétences pour la simulation dynamique

3 Les outils développés pour le calcul

3.1 Présentation générale

La modélisation des systèmes mécaniques multi corps passe en premier lieu par une étude du mécanisme et la définition des liaisons mécaniques inter composants appropriées. Comme nous le verrons dans le chapitre suivant sur la modélisation du joint tripode coulissant, il se peut que dans certains cas, la modélisation par liaisons dites usuelles (ex : pivot, glissière, linéaire annulaire …) ne soit pas suffisamment précise pour rendre compte de la complexité des phénomènes observés. En effet, il est préférable, dans les cas où l’on souhaite modéliser les effets du frottement et des jeux, de modéliser la transmission d’efforts inter composants par des contacts.

Page - 39/142 -


Le logiciel de modélisation ADAMS, qui a été retenu pour cette étude, propose dans sa base d’outils prédéfinie, une liaison par effort de type contact 3D. Cet outil, qui détermine les positions des points de contact et y applique le torseur des actions mécaniques de contact, nécessite la discrétisation des géométries (définies en format Parasolid) afin de détecter la position du contact. Cette méthode a l’avantage de pouvoir détecter les collisions et contacts entre des solides aux géométries complexes mais présente un inconvénient majeur. En effet, lorsque deux solides sont en contact permanent et en mouvement l’un par rapport à l’autre, le point de contact se déplace sur les surfaces de ces solides. Du fait que celles-ci soient facétisées, pour les besoins de localisation du contact, cela engendre des sauts numériques lors du passage du point de contact d’une facette à une autre. Effectivement, le contact étant modélisé par une raideur importante, le saut d’une facette à une autre génère des discontinuités au niveau des interpénétrations mutuelles des solides, ce qui se traduit par des sauts dans les efforts de contact. De plus, du fait de ces discontinuités, les calculs ont du mal à converger ce qui oblige le solveur à réduire fortement la taille des pas de calcul et augmente considérablement les temps de simulations.

Afin de palier cette faiblesse, nous avons entrepris la programmation de sous-programmes qui permettront, une fois intégrés dans le solveur, la prise en charge des transmissions d’effort par contacts sans avoir recours à la discrétisation des surfaces en contact. Pour ce faire, nous introduisons dans nos sous-programmes, des calculs d’effort spécifiques en fonction de la géométrie des pièces en contact.

3.2 Fonctionnement général des sous-programmes

3.2.1 Généralités sur les sous-programmes (programmation et implantation) La version du solveur que nous utilisons est la version FORTRAN du solveur

Adams 2005 r2. Ce solveur, comme la plupart des solveurs de modélisation multi corps est ouvert ce qui permet d’y intégrer de nouveaux sous-programmes et de créer nos propres outils de modélisation.

Pour intégrer des sous-programmes, il faut compiler ces derniers à l’aide d’un compilateur compatible avec la version de celui qui a servi à compiler le solveur. Une fois la compilation effectuée, il faut lier ce nouveau sous programme à l’ensemble solveur et librairie existante. Cette liaison doit permettre la communication avec le solveur et l’appel des autres sous-programmes déjà présents dans la librairie.

Cette liaison s’effectue en créant un fichier de type .dll (dynamic link library) lors de la compilation. Pour plus d’information sur les sous-programmes dans ADAMS, se référer aux guides d’utilisations [85, 86 et 87]. 3.2.2 Nos sous-programmes de contact

Les actions mécaniques de contact peuvent être modélisées à partir d’un torseur d’actions mécaniques complet. Il existe dans le logiciel ADAMS les efforts GForce (pour general force) qui permettent d’introduire les 6 composantes d’une action mécanique entre deux solides. Ce type d’effort peut être associé à un sous-programme qui permet le calcul des efforts de contact en fonction des géométries, positions et vitesses relatives des deux solides.

En fait nous pouvons considérer que les efforts GForce seront utilisés comme des passerelles entre nos sous programmes et le modèle. En effet ces efforts seront implantés

Page - 40/142 -


dans le modèle et seront pilotés à chaque pas de calcul par les résultats des sous-programmes.

Afin que le modèle et les sous-programmes puissent échanger des informations telles que les vecteurs positions, les torseurs cinématiques et les torseurs d’actions mécaniques, il est indispensable de définir des repères et bases de référence dans lesquels seront exprimées les différentes grandeurs échangées.

La figure 2.8 illustre le fonctionnement interne du solveur ADAMS avec l’intégration des sous-programmes calculant le torseur des actions mécaniques aux différents points de contact. En fait, à chaque pas de calcul, les sous-programmes et le modèle communiquent au travers des repères et bases de références définis dans les efforts GForce implantés dans le modèle. Les sous-programmes font l’acquisition des positions et vitesses relatives des solides en contact et renvoient les torseurs complets des actions mécaniques de contact.

Etat du modèle au pas de calcul p

Calculs internes des sous-

programmes

Etat du modèle au pas de calcul p+1

Positions et vitesses

Actions mécaniques

MODELE ADAMS

- Solides - Liaisons - Condition initiale - Paramètres d’analyses - …

SOLVEUR CUSTOMISE Sous programmes de contact - Sphère/Sphère

- Sphère/Plan - Sphère/Tore - …

Librairie ADAMS

Solveur ADAMS Version 2005 r2 RESULTAT (post-traitement )

- Courbes - Animations - …

Principe du calcul

Figure 2.8 Fonctionnement interne du solveur avec les sous-programmes implantés

3.3 Fonctions de la librairie ADAMS utilisées et syntaxes associées

3.3.1 Généralités En général, les sous-programmes que l’on intègre à un solveur existant ont besoin

durant l’exécution des calculs de communiquer avec la librairie prédéfinie du solveur. Afin de faire appelle aux autres sous-programmes déjà présents, les sous-programmes comportent des séquences d’appels.

Une séquence d’appel en langage FORTRAN se présente de la façon suivante :

CALL SPNAME (d1, d2, …,dn) (2.3)

Avec SPNAME le nom du sous-programme appelé et d1 à dn la liste des variables à fournir pour l’exécution du sous-programme appelé. Cette liste est constituée des variables de données nécessaires pour l’exécution des calculs du sous-programme ainsi que des variables nécessaires pour le renvoi des résultats. Les variables fournies di peuvent être de différents types tels que les entiers, les tableaux d’entiers ou autres, les chaînes de caractères, les réels, etc.

Page - 41/142 -


3.3.2 La fonction Impact pour calculer les efforts de contact Généralités sur le calcul :

Comme nous l’avons indiqué plus tôt dans le chapitre 1, la modélisation des efforts de contact est une discipline de la mécanique à part entière. Dans cette mise en place d’outils de modélisation prenant en compte le contact, nous utiliserons la fonction Impact de la librairie du solveur. Cette fonction permet de calculer l’effort normal au point de contact en fonction de la valeur de l’interpénétration et de la vitesse de celle-ci. Cette fonction sera utilisée dans tous nos sous-programmes et c’est pour cette raison que nous la présentons ici en détails. Les raideurs de contact seront identifiées avec la méthode simplifiée de Hamrock présentée dans la partie bibliographique. Cette méthode a été validée par plusieurs études comme donnant une bonne approximation des raideurs de contact en fonction des courbures et des caractéristiques mécaniques des matériaux en contact.

Dans nos sous-programmes, la fonction Impact est utilisée de la manière suivante, en prenant pour convention la direction y comme normale sortante au plan de contact.

( ) impactImpact max lim

impact

0, , , , , ,

SS S e

S

Si y R FF y y R K e D p

Si y R F Kp Dp

≥ =⎧ ⎫⎪ ⎪⎨ ⎬

< = +⎪ ⎪⎩ ⎭

(2.4)

Avec comme indiqué sur la figure 2.9 en arguments d’entrée : yS la hauteur où se

situe le centre S du solide, la vitesse suivant y de ce solide, R le rayon caractéristique du solide, K la raideur de contact, e l’exposant à l’interpénétration, D

Symax la valeur maxi de

l’amortissement au contact, plim la valeur d’interpénétration limite à partir de laquelle Dmax est atteint. Afin d’éviter les problèmes de discontinuité lors de la détection du contact, la valeur de l’amortissement au contact D est fonction de l’interpénétration p=R-yS. En effet, lors de la détection du contact, la vitesse n’est pas nulle, il faut donc que l’amortissement augmente progressivement pour éviter les discontinuités qui peuvent faire échouer la convergence des calculs du solveur. Dans la fonction Impact, la variation de l’amortissement en fonction de l’interpénétration des solides est assurée par une fonction cubique (voir figure 2.10).

sy R≥ sy R<

K D

p

FImpact

Non contact

y yS

S S

Contact

yS

0

FImpact = 0

R

Figure 2.9 Illustration de la fonction Impact du solveur ADAMS

Page - 42/142 -


Dmax

Coefficient D d’amortissement

Penetration plim 0

Figure 2.10 Dépendance du coefficient d’amortissement avec la valeur d’interpénétration Syntaxe d’appel :

La syntaxe d’appel de la fonction Impact est la suivante :

( max limCALL IMPACT , , , , , , , , ,_ S S ord drapy y R K e D p i erF ) (2.5)

On retrouve ici les variables de données nécessaires au calcul présentées dans la partie précédente . La variable imax lim, , , , , etS Sy y R K e D p ord définit comme présenté dans le tableau 2.1 l’ordre de dérivation des résultats retournés par la fonction Impact à travers son vecteur de résultat F. Dans nos sous-programme nous appelons le sous-programme Impact avec iord =0. La variable logique erdrap (drapeau erreur) quant à elle, est ici pour indiquer, le cas échéant, une erreur lors du processus d’appel du sous-programme. Cette variable nous permet de localiser les erreurs lors du déroulement d’une simulation.

iord F(1) F(2) F(3)

0 ( ),S SF y y 0 0

1 ( ),S S

S

F y yy

∂∂

( ),S S

S

F y yy

∂∂

0

2 ( )2

2

,S S

S

F y yy

∂∂

( )2 ,S S

S S

F y yy y

∂∂ ∂

0

Tableau 2.1 Vecteur résultat retourné par le sous-programme Impact en fonction de la variable iord

3.3.3 Sysary pour faire l’acquisition des grandeurs cinématiques du modèle Généralités :

Comme indiqué précédemment, nos sous-programmes devront faire l’acquisition des positions et vitesses relatives des solides en contact. Il existe dans la librairie ADAMS des sous programmes qui permettent d’accéder aux données d’état du modèle que ce soit en position, vitesse, accélération ou force. Ces sous-programmes d’accès aux données se nomment Sysary. C’est à partir de ces sous-programmes que nos propres sous-programmes feront l’acquisition des positions et vitesses relatives des solides en contact.

Page - 43/142 -


Syntaxe d’appel :

La syntaxe d’appel du sous-programme Sysary est la suivante :

(CALL SYSARY , , , , , _ nom sol rep etats drapf n n erep etats )r (2.6)

avec fnom le nom de la fonction qui sera appelée. Dans notre cas, nous ferons appel à la fonction disp pour l’acquisition des positions et à la fonction vel pour l’acquisition des vitesses. repsol est un tableau contenant les nrep paramètres nécessaires à l’exécution de la fonction choisie. Il contient dans notre cas, les identifiants des repères et bases de référence, nécessaires pour exprimer les positions et vitesses relatives des solides en contact. La variable résultat etats, contient quant à elle les netats résultats renvoyés par le sous-programme Sysary. Comme pour l’appel du sous-programme Impact une variable logique d’erreur erdrap est utilisée afin de signaler si une erreur est survenue lors de l’exécution de ce sous-programme.

Page - 44/142 -


Page - 45/142 -


Page - 46/142 -


Page - 47/142 -


Page - 48/142 -


Page - 49/142 -


Page - 50/142 -


Page - 51/142 -


Page - 52/142 -


Page - 53/142 -


Page - 54/142 -


Page - 55/142 -


Page - 56/142 -

Chapitre III Le joint tripode coulissant Modélisation et mesure Résumé :

Dans ce chapitre nous présentons nos travaux d’investigation sur le comportement dynamique du joint tripode coulissant situé près de la boîte de vitesses. Nous commencerons par présenter à l’aide de mesures sur véhicule la contribution de ce joint sur les NVH que l’on retrouve dans l’habitacle du véhicule. Nous poursuivrons en présentant une série de résultats de campagnes de mesures sur banc industriel pour mettre en évidence les efforts axiaux générés par les joints tripodes. Nous présenterons d’ailleurs leur dépendance en fonction de plusieurs paramètres, qu’ils soient internes (dimensions, lubrification) ou bien externes (angle de brisure, vitesses de rotation, couple transmis) aux joints. Nous poursuivrons en présentant la construction de nos modèles. Un modèle analytique simplifié et un modèle numérique plus complet sous ADAMS seront développés. Ces deux modèles une fois recalés sur les mesures en ajustant le coefficient de frottement nous permettront d’expliquer l’influence de chacun des paramètres (internes et externes) étudiés lors des mesures effectuées sur banc. Nous présenterons ensuite le phénomène de non réversibilité par rapport au sens de la transmission de puissance. Nous terminerons dans ce chapitre par un survol des possibilités d’études offertes par nos modèles numériques en présentant notamment le calcul du torseur complet des actions mécaniques du joint tripode au niveau de sa liaison avec le différentiel, calcul qui nous permettra d’en déduire le rendement du joint.

Page - 57/142 -

Sommaire du chapitre III 1 Mesure du martèlement au sein du véhicule ................................................59

1.1 Présentation du phénomène de martèlement (Shudder)........................................ 59 1.2 Objectif et protocole de mesure ............................................................................ 59

1.2.1 Objectif ..................................................................................................................................... 59 1.2.1 Protocole................................................................................................................................... 61

1.3 Analyse des résultats et discussion ....................................................................... 61 2 Mesure sur banc des efforts axiaux générés par les joints tripodes

coulissants.......................................................................................................63

2.1 Présentation de la mesure...................................................................................... 63

3 Modélisation des joints tripodes coulissants ...............................................66

3.1 Rappel sur la cinématique du joint tripode ........................................................... 66 3.2 Les modèles de calcul de l’effort axial ................................................................. 69

3.2.1 Les modèles existants ............................................................................................................... 69 3.2.2 Construction du modèle analytique .......................................................................................... 71 3.2.3 Construction du modèle numérique sous ADAMS .................................................................. 75

3.3 Comparaison modèles mesures concernant l’effort axial généré.......................... 78 3.3.1 Recalage des modèles............................................................................................................... 78 3.3.2 Discussion, influence des différents paramètres sur l’effort axial généré ................................ 79

3.4 Etude complémentaire de l’influence des frottements du roulement à aiguilles sur l’effort axial en R3 ................................................................................................ 80

4 L’effort axial dépend du sens de transmission de la puissance.................81

4.1 Présentation de cette non réversibilité .................................................................. 81 4.2 Etude en cours de cette non réversibilité .............................................................. 82

4.2.1 Présentation du modèle utilisé .................................................................................................. 82 4.2.2 Comparatif modèle mesures ....................................................................................................... 83 4.2.3 Comportement dynamique différent en fonction du sens de transmission de la puissance ......83

5 Autres utilisations possibles du modèle.......................................................86

5.1 Etude des efforts externes ..................................................................................... 86 5.2 Etude du rendement .............................................................................................. 87

6 Conclusion...................................................................................................... 89

Page - 58/142 -

Chapitre III : Le joint tripode coulissant - Modélisation et mesure

1 Mesure du martèlement au sein du véhicule 1.1 Présentation du phénomène de martèlement (Shudder)

Le martèlement correspond à une vibration transversale au véhicule engendrée par les deux joints tripodes coulissants situés de part et d’autre de la boîte de vitesses. En effet, comme indiqué précédemment et comme nous le verrons dans la suite de ce chapitre, le joint tripode coulissant génère durant son fonctionnement un effort axial cyclique, 3 fois par tour de roue (R3 par convention). Comme l’a présenté Baron [28], cet effort axial qui se retrouve entre la boîte de vitesses et le moyeu roue, se transmet via la structure du véhicule jusqu’au siège du conducteur. La figure 3.1 présente les phénomènes de génération des NVH et plus particulièrement les phénomènes à l’origine du martèlement.

ive SHUDDER

Fy R3

Fy R3

BV

jve

kve

Système

excitateurVoies de passages

Effort axial du joint tripode

Structure duVéhicule

Shudder Martèlement

NVH Noise and Vibration

Harshness

Objectif de la modélisation

g

d

Figure 3.1 Effort axial généré par les joints tripodes coulissants, origine du martèlement

1.2 Objectif et protocole de mesure

1.2.1 Objectif Le but de cet essai est de mesurer le martèlement pouvant être ressenti par le

conducteur du véhicule et de mettre en évidence l’influence sur ce phénomène du déphasage angulaire entre les deux joints tripodes situés de chaque côté de la boîte de vitesses. En effet chacun des deux joints tripodes coulissants peut être vu comme étant un excitateur sinusoïdal d’ordre 3.

( )sin 3g gFy F θ= (3.1)

( )sin 3d dFy F θ ϕ= − + (3.2)

Avec Fyg la composante axiale de l’effort généré par le joint tripode coulissant gauche et Fyd celle généré par le joint droit. Ces deux excitations sont de signes opposés du fait de l’installation symétrique des joints de part et d’autre de la boîte. Leurs amplitudes respectives Fg et Fd quant à elles sont identiques (Fg = Fd = F). En effet les joints gauche et droit sont identiques et durant notre essai ces deux joints travailleront sous les mêmes conditions d’angle de brisure, de couple et de vitesse. Ici, θ est l’angle de rotation de la transmission et φ représente le déphasage angulaire que l’on introduit entre les deux joints droit et gauche comme illustré sur la figure 3.2. Les deux excitations s’ajoutent ou se retranchent en fonction de l’angle de déphasage φ comme présenté sur la figure 3.3. Pour φ = 0° et 120° les deux excitations sont opposées et s’annulent. Pour φ = 60° les deux excitations s’ajoutent et l’excitation totale est le double de celle issue d’un seul joint.

Page - 59/142 -


φ

Joint gauche

Joint droit

Figure 3.2 Déphasage angulaire entre les joints situés à droite et à gauche de la boîte de

vitesses

0 90 180 270 360

ETJ 1ETJ 2

Σ

Déphasage φ = 0°

0 90 180 270 360

ETJ 1ETJ 2

Σ

0 90 180 270 360

ETJ 1ETJ 2

Σ

-F

0

F

Gauche Droite

Gauche Droite

Gauche Droite

Angle de déphasage φ (°) 0 20 40 120 100 80 60

0

F

2F

Effo

rt d

’exc

itatio

n à

l’ord

re 3

Effo

rt d

’exc

itatio

n Ef

fort

d’e

xcita

tion

Effo

rt d

’exc

itatio

n

Effo

rt d

’exc

itatio

n

Angle de rotation θ (°)



Effo

rt d

’exc

itatio

n Ef

fort

d’e

xcita

tion

-F

0

F

-F

0

F

0 90 180 270 360

Somme ETJ 1 + ETJ 2

Somme g+d


-F

0

F

2F

-2F

0 90 180 270 360

Somme ETJ 1 + ETJ 2

Somme g+d


-F

0

F

2F

-2F

0 90 180 270 360

Somme ETJ 1 + ETJ 2

Somme g+d


-F

0

F

2F

-2F

Déphasage φ = 30°

Déphasage φ = 60°

Figure 3.3 Influence du déphasage sur la somme des excitations issues des joints droit et

gauche

Page - 60/142 -


1.2.1 Protocole Instrumentation :

Vibrations : afin de mesurer les vibrations dans l’habitacle et plus précisément celles susceptibles de déranger le conducteur, nous avons placé un accéléromètre dans la direction y au niveau de la jonction entre le siège conducteur et le châssis, c’est-à-dire sur les glissières du siège conducteur.

Vitesse : pour connaître la vitesse de rotation des transmissions en temps réel et pouvoir effectuer un suivi d’ordre, un tachymètre optique a été placé sur l’arbre de la transmission droite.

Couple : afin de connaître le couple en temps réel vu par les transmissions, deux transmissions instrumentées en télémesure sont montées sur véhicule.

L’acquisition de ces mesures s’effectue à l’aide d’une station portable LMS Test-Lab et d’un frontal d’acquisition LMS 12 voies.

Ces moyens de mesure utilisés ainsi que l’instrumentation pour ces essais sont présentés plus en détail dans le chapitre précédent. Déroulement de l’essai :

Les mesures se dérouleront lors de phase d’accélération forte en 2nd rapport de boîte. Ce sont en effet dans ces conditions d’accélérations fortes à faible vitesse que les excitations responsables du martèlement sont les plus importantes. En effet, durant une accélération soutenue, le couple transmis est maximum et le véhicule se cabre augmentant l’angularité sous laquelle travaillent les joints (nous le verrons par la suite, l’amplitude de l’effort axial généré par les joints tripodes coulissants est proportionnelle au niveau de couple transmis et à l’angle de brisure).

Avant chaque mesure, nous positionnons angulairement les joints tripodes à l’aide d’un cric hydraulique et de marquages angulaires effectués préalablement sur les roues. Une fois le véhicule démarré et les premiers tours de roues effectués, nous enclenchons le second rapport, nous lançons l’acquisition puis nous enfonçons d’un coup sec l’accélérateur jusqu’à la butée. Ainsi nous garantissons une bonne répétabilité au niveau du couple transmis. L’accélération doit absolument s’effectuer en ligne droite afin de ne pas faire intervenir le différentiel et de ne pas modifier le déphasage angulaire des deux joints durant la mesure (voir figure 3.4).

Position de départ : roues

droites et déphasage réglé

Accélération constante en 2nd et acquisition des données

Retour en position de départ Demi-tour

Premiers tours de roues

Enclenchement de la 2nd + lancement acquisition

Freinage + fin d’acquisition

Figure 3.4 Déroulement de l’essai sur la piste

1.3 Analyse des résultats et discussion

L’analyse des résultats met en évidence une bonne répétabilité des conditions d’essais puisque pour l’ensemble des essais, le couple vu par les deux transmissions à partir de 200 tr/min est compris entre 350 Nm et 400 Nm.

Page - 61/142 -


Le comparatif des suivis d’ordre 3 met bien en évidence l’influence du déphasage entre les joints gauche et droit sur l’amplitude des vibrations générées par les transmissions. Effectivement, on retrouve bien (figure 3.5) le comportement théorique des excitations mis en évidence précédemment. Pour un déphasage nul entre les joints, droit et gauche le niveau de vibration relevé sur le siège du conducteur est le plus faible (<0.1 ms-2). Pour un déphasage de 60° nous retrouvons bien les niveaux maximums de vibrations avec une amplitude ici pouvant atteindre les 0.4 ms-2. Nous remarquons également que le pic principal des niveaux vibratoires se situe aux alentours des 270 tr/min ce qui correspond étant donné qu’il s’agit ici d’un suivi d’ordre 3, à une fréquence de 13.5 Hz. Nous pouvons donc admettre que la structure du véhicule, empruntée comme voie de passage par cette vibration, est sensible à cette fréquence.

0.40

0.30

0.20

0.10

0

0.05

0.15

0.25

0.35

0 100 200 300 400 500 600 700 Vitesse de rotation des transmissions (tour/min)

Suiv

i de

l’ord

re 3

des

vib

ratio

ns m

esur

ées

dans

la d

irect

ion

y au

niv

eau

des

glis

sièr

es d

u si

ège

cond

ucte

ur (m

s-2) φ = 60° φ = 45°

φ = 30° φ = 15°

φ = 0°

Figure 3.5 Influence de l’angle de déphasage sur le 3eme ordre des vibrations transverses

au véhicule mesurées au niveau des glissières du siège conducteur

Ces mesures montrent donc bien le rôle direct que jouent les transmissions sur les vibrations retrouvées dans l’habitacle. En effet, nous retrouvons bien un lien direct entre le niveau d’excitation en efforts cycliques généré par les deux joints tripodes coulissants et le niveau de vibration observé dans l’habitacle du véhicule. Il est donc indispensable d’étudier et de modéliser ces joints tripodes afin de comprendre les phénomènes à l’origine de ces efforts cycliques et de les minimiser à moindre coût.

Pour des raisons de confidentialité, le type et la marque du véhicule testé ne peuvent être donnés dans ce rapport. Il s’agit ici d’une berline compacte proposant un niveau de confort acoustique et vibratoire soigné. Les résultats de cette étude sont comparables à ceux présentés par Hayama [30] qui dans son étude, étudie également l’influence du déphasage angulaire des deux joints tripodes coulissants sur le martèlement relevé dans l’habitacle du véhicule.

Page - 62/142 -


2 Mesure sur banc des efforts axiaux générés par les joints tripodes coulissants 2.1 Présentation de la mesure

Nous ne re-présenterons pas ici en détail le banc de mesure utilisé. Cette présentation a été effectuée dans le chapitre précédent. Nous présenterons ici uniquement le principe de cette mesure, ainsi que le post-traitement effectué.

Pour les mesures que nous présentons dans cette partie, le moteur piloté en vitesse (moteur qui fournit la puissance) sera le moteur situé côté boîte de vitesses. Le moteur asservi en couple (moteur qui freine) sera celui situé côté roue. Piloté de cette façon, le banc simule une charge moteur c’est-à-dire que la puissance motrice part de la boîte de vitesse en direction des roues et non l’inverse qui correspondrait à une situation de frein moteur sur véhicule. La figure 3.6 illustre ce principe de fonctionnement du banc.

Les données issues de la mesure sont ensuite post-traitées. En effet, comme nous l’avons vu, c’est l’effort cyclique à l’ordre 3 qui est prépondérant et qui intéresse les constructeurs automobiles. Nous présentons figure 3.7 le post-traitement appliqué aux mesures effectués sur banc. En fait le signal temporel issu du capteur est transformé dans le domaine fréquentiel afin d’en extraire uniquement la composante correspondant à l’ordre 3. Nous regardons ensuite l’évolution de ce troisième ordre en fonction de différents paramètres.

θ

C

δ

Effort axial cyclique généré par le joint tripode coulissant

Mesure des efforts axiaux à l’aide d’un

capteur à jauges

Moteur électrique asservi en couple

Moteur électrique asservi en vitesse

Côté roue

Côté boîte

Figure 3.6 Schéma de principe de la mesure sur banc

Effort axial

mesuré sur le banc de mesures

FFT Extraction du

troisième ordre

3eme ordre de l’effort axial en fonction de

différents paramètres

f (Hz)

F (N)3eme ordre

Te mps ( s)

F ( N)

1 tour

Angle (°)

F 3eme

ordre (N)

F 3eme

ordre (N)

Vitesse (tours/min)

Couple (N.m)

F 3eme

ordre (N)

Rayon joint (mm)

F 3eme

ordre (N)

Figure 3.7 Post-traitement des mesures effectuées sur le banc

Page - 63/142 -


Les paramètres étudiés seront classés en deux familles, les paramètres externes et internes à la transmission. Les paramètres externes seront les paramètres que nous réglerons sur le banc tels que la vitesse de rotation, le couple transmis et l’angle de brisure. Les paramètres internes, correspondants aux constituants, seront les rayons des tulipes et les graisses utilisées.

Les résultats des mesures présentés figure 3.8 et 3.9 sont des moyennes issues de campagnes d’essais effectuées sur différents lots de transmissions tirées des chaînes de production. Le tableau 3.1 récapitule les données sur les conditions d’essais, les paramètres étudiés, les échantillons testés et les courbes résultats correspondantes.

Nous effectuons 3 mesures pour chaque transmission et condition d’essai. Nous observons une bonne répétabilité des mesures puisque la dispersion relative sur l’ordre 3 pour une même transmission n’excède pas 4%. Une deuxième dispersion est quant à elle liée aux incertitudes de production, car pour les mêmes conditions d’essais appliquées 3 ou 4 échantillons de chaque lot, nous observons un écart pouvant atteindre 8% sur l’ordre 3 de l’effort axial mesuré. Compte tenu de ces faibles dispersions de mesure et dans l’objectif de palier les dispersions de production, nous ne présentons que les valeurs moyennes sur nos résultats de mesure.

Paramètre étudié

Autres paramètres fixés

Echantillons testés Figure résultat

Angle Vitesse :150 tr/min

Couple : 300Nm Rayon : 23.2 mm Graisse : type e

Lot 1 de 3 transmissions Figure 3.8 A

Vitesse Angle : 2°,4°,…,16°

Couple : 300Nm Rayon : 23.2 mm Graisse : type e

Lot 1 de 3 transmissions Figure 3.8 B

Para

mèt

res e

xter

nes

Couple Angle : 2°,4°,…,16° Vitesse : 150 tr/min

Rayon : 23.2 mm Graisse : type e

Lot 1 de 3 transmissions Figure 3.8 C

Rayon tulipe

Angle : 2°,4°,…,16° Vitesse : 150 tr/min

Couple : 300 Nm Graisse : type c

Lots 2, 3, 4, 5, 6 de 4 transmissions

chacun Figure 3.9 A

Para

mèt

res

inte

rnes

Graisse Angle : 2°,4°,…,16° Vitesse : 150 tr/min

Couple : 300 Nm Rayon : 23.2 mm

Lots 7, 8, 9, 10, 11 de 4 transmissions

chacun Figure 3.9 B

Tableau 3.1 Récapitulatif des mesures effectuées

Nous ne détaillerons pas ici l’analyse des courbes obtenues, nous reviendrons sur celles ci et expliquerons ces comportements lors du comparatif modèles mesures effectué plus tard dans ce chapitre. Nous indiquons juste ici les tendances. Paramètres externes (figure 3.8) :

L’amplitude du troisième ordre de l’effort axial généré par le joint tripode coulissant croît linéairement en fonction de l’angle de brisure et du couple transmis. Pour des angles de brisure inférieurs à 10°, ce qui représente la grande majorité des cas sur véhicule, la vitesse de rotation n’a pas d’influence. A partir de 10° d’angle, la vitesse augmente le niveau du troisième ordre de l’effort axial.

Paramètres internes (figure 3.9) :

L’amplitude du troisième ordre de l’effort axial généré par le joint tripode coulissant est inversement proportionnelle au rayon de transmission du couple. Le choix de la graisse est important puisque le niveau d’effort généré peut doubler en fonction de la graisse utilisée.

Page - 64/142 -


0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100

16° 14°12° 10°8° 6°4° 2°

0

20

40

60

80

100

120

140

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

16° 14°12° 10°8° 6°4° 2°

A

B

C

Angle de brisure δ (°)

3eme o

rdre

de

l’effo

rt a

xial

(N)

3eme o

rdre

de

l’effo

rt a

xial

(N)

Vitesse de rotation (tr/min)

Couple transmis (Nm)

3eme o

rdre

de

l’effo

rt a

xial

(N)

Figure 3.8 Influence des paramètres externes (angle, vitesse, couple) sur le 3eme ordre de l’effort axial généré par les joints tripodes coulissants. L’angle de brisure de 2° à 16° est

également un paramètre des figures B et C.

Page - 65/142 -


020406080

100120140160180200220

17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

16° 14°12° 10°8° 6°4° 2°

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

grease agrease bgrease cgrease dgrease e

A

B

Rayon de la tulipe (mm)

3eme o

rdre

de

l’effo

rt a

xial

(N)


3eme o

rdre

de

l’effo

rt a

xial

(N) Graisse a

Graisse b Graisse c Graisse d Graisse e

Figure 3.9 Influence des paramètres internes (rayon de tulipe, graisse) sur le 3ème ordre de

l’effort axial généré par les joints tripodes coulissants.

3 Modélisation des joints tripodes coulissants 3.1 Rappel sur la cinématique du joint tripode

Avant de présenter la construction de nos modèles, il est indispensable d’effectuer quelques rappels sur la cinématique du joint tripode. Ces éléments sont tirés de la bibliographie présentée dans le premier chapitre et plus précisément de [50]. La figure 3.10 présente l’ensemble des paramètres géométriques utilisés dans ce rappel sur la cinématique.

En utilisant les angles d’Euler ψ, δ, et θ, la matrice d’orientation du tripode par

rapport à la tulipe est donnée par

( , ) ( , ) ( , )rot z rot x rot zψ δ=12A θ (3.3)

Page - 66/142 -


Du fait de l’orientation respective des tourillons à 120° dans le plan du tripode, il a été montré que ψ = -θ. Comme δ reste faible, 1A2 devient

2 22

2 22

2

1 sin sin 2 sin2 4

sin 2 1 cos cos4 2

sin cos 12

δ δθ θ δ θ

δ δθ θ δ θ

δδ θ δ θ

⎡ ⎤− − −⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢= − − −⎢⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

12A ⎥

⎥

L

(3.4)

Les équations de fermetures vectorielles pour les trois boucles ΩC1I, ΩC2I et ΩC3I

(figure 3.10) mènent aux relations de Akbil et Lee [38,39] entre l’angle d’entrée φ et l’angle de sortie θ :

sin 3 sin( )cos cos3 cos( ) sin

e de d

θ ϕ θδ θ ϕ θ

= − −= − − δ

(3.5)

L’offset e entre le centre du tripode et l’axe de rotation de la tulipe mesuré dans le

plan du tripode dépend de l’angle de brisure du joint δ

1 12 cosre

δ⎛= ⎜⎝ ⎠

⎞− ⎟ . (3.6)

y0

y2

z0

y1

z2 x0

I

Ω

L

z1

l1

r1

r

δ

Ο

d

ϕ

θ

C1

C2

C3

D

e

Figure 3.10 Paramètres géométriques du joint tripode coulissant

Page - 67/142 -


L’angle de brisure δ et le déphasage angulaire entrée/sortie φ-θ ont une variation

périodique en R3 (Figures 3.11) et admettent donc un développement en série de Fourier. En se limitant aux termes d’ordre 1 on obtient les approximations suivantes :

0

0

cos3sin 3

mδ δ δ ϕϕ θ θ ϕ

= −− =

(3.7)

Du fait que δ0 est négligeable devant δm nous pouvons écrire à partir de l’eq.(3.6)

1 1

2 cos m

reδ

⎛ ⎞= ⎜

⎝ ⎠− ⎟ (3.8)

Ainsi cela revient à considérer que le centre du tripode décrit un cercle de rayon e,

cercle à l’origine des variations angulaire δ0 et θ0 :

0

0

arctan

arctan

eLed

δ

θ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.9)

Ces variations (δ0 et θ0) en R3 sont faibles (voir tableau 3.2), elles seront donc

négligées pour la construction de notre modèle analytique de l’effort axial généré. Ceci revient à négliger le caractère pseudo-homocinétique du joint tripode coulissant et à l’assimiler à un joint parfaitement homocinétique.

C1

C2 C3

O

I

Ω

0° 360°

90°

180°

270°

0 60 120 180 240 300 360Angle de rotation φ (°)

0

-θ0

θ0

Dép

hasa

ge φ

-θ (°

)

0 60 120 180 240 300 360

Angle de rotation φ (°)

δm+δ0

Varia

tion

de l’

angl

e de

br

isur

e δ

(°)

δm-δ0

δm

Figure 3.11 Variation en R3 de l’angle de brisure δ et du déphasage angulaire φ-θ

δ0 (°) θ0 (°) δm = 5° 5.25×10-3 6.03×10-2

δm = 10° 2.12×10-2 1.22×10-1

δm = 15° 4.85×10-2 1.87×10-1

δm = 20° 8.83×10-2 2.58×10-1

Tableau 3.2 Quelques valeurs des variations périodiques en R3 pour une longueur de l’élément de liaison L=500mm et un rayon de tulipe r =24mm

Page - 68/142 -


Les galets dans les rampes de la tulipe ont un mouvement périodique en R1

sin cos , 1..3i i il z r iδ ϕ= + = (3.10)

où z est donné par :

cosz D L δ= − (3.11)

et

2( 1) , 1..33i i iπϕ ϕ= + − = (3.12)

Les galets sur les tourillons quant à eux ont une variation périodique en R2

(1 2cos(2 )), 1..3i ir r e iϕ= + + = (3.13)

3.2 Les modèles de calcul de l’effort axial

3.2.1 Les modèles existants Les modèles de transmission réalisés avec des liaisons mécaniques parfaites (Figure

3.12) doivent être affinés au niveau des liaisons galet/rampe. En effet la faiblesse principale de ces modèles réside dans le fait que les liaisons galets rampes sont assimilées à des liaisons linéaires annulaires. Ce type de liaison ne permet pas la mise en évidence de tous les phénomènes mécaniques.

Tulipe

Joint à billes

Elément de liaison

Tripode

δ

ϕ

θ

Galet

ωe

cs Partie du modèle à affiner

Rampe

Figure 3.12 Schéma cinématique du modèle de transmission utilisant des liaisons

mécaniques parfaites

Page - 69/142 -


En effet, il est préférable de prendre en compte la transmission d’efforts par contacts plutôt que par liaisons parfaites linéaires annulaires. Lors du fonctionnement du joint, le galet effectue un aller-retour dans la rampe par tour de roue (voir figure 3.13). Durant cet aller-retour l’orientation du galet dans la rampe évolue. Le galet roule et glisse plus ou moins sur la rampe en fonction de son orientation par rapport à celle-ci. Ce phénomène n’est pas pris en compte dans les modèles assimilant la liaison galet/rampe à une liaison linéaire annulaire. C’est d’ailleurs pour cette raison que les modèles basés sur ce type de liaison ne mettent pas en évidence l’influence de l’angle de brisure sur l’effort axial généré par les joints tripodes, influence observée dans les mesures présentées dans la partie précédente. Effectivement losque l’on introduit du frottement dans une liaison linéaire annulaire, l’effort de frottement renvoyé par ce type de modélisation sur l’axe est fonction de l’effort normal (effort transmis), du coefficient de frottement et le cas échéant de la vitesse si on introduit une composante de frottement visqueux. La figure 3.14 présente l’aspect de l’effort de frottement sec (de Coulomb) généré dans une liaison linéaire annulaire lors d’un aller-retour du galet. L’orientation changeante du galet n’est pas prise en compte et ce type de modélisation ne rend pas compte de l’accroissement de l’amplitude du troisième ordre de l’effort axial en fonction de l’angle de brisure du joint. Il faut donc affiner cette modélisation afin que l’inclinaison du galet dans la rampe soit prise en compte.

δ −δ

Roulement pur, pas de Glissement

Roulement + Glissement max

Roulement + Glissement max

Roulement + Glissement

Roulement + Glissement

Trajectoire rectiligne du centre C du galet

C C C

Aller Retour

Figure 3.13 Cinématique du galet dans la rampe sur un tour de roue

0 40 80 120 160 200 240 280 320 360

0


Effo

rt a

xial

gén

éré

par l

e ga

let 1

F1 (

N)

Figure 3.14 Effort de frottement sec généré dans une liaison linéaire annulaire lors d’un

tour de roue

Page - 70/142 -


3.2.2 Construction du modèle analytique Avant de construire un modèle numérique complet du joint tripode sous ADAMS il

est pertinent de créer un modèle analytique simplifié des efforts axiaux générés par le joint tripode coulissant.

Dans cette partie, nous considérerons que l’offset e est négligeable devant les dimensions géométriques du joint tripode. Cette approximation nous permet de considérer que le centre I du tripode reste sur l’axe de rotation de la tulipe ce qui simplifie l’expression de la cinématique du galet par rapport à la rampe. De plus, nous considérerons pour la construction de ce modèle, que la cinématique globale du joint est donnée par les modèles utilisant des liaisons linéaires annulaires et que les actions mécaniques de contact sont obtenues en utilisant un modèle de contact ponctuel sphère sur plan. De plus, considérant les niveaux élevés de couple transmis et donc les efforts élevés agissant sur les parties mécaniques du joint, les inerties des galets seront négligées. Nous construisons donc ici un modèle kinétostatique basé sur la cinématique issue du modèle précédemment présenté.

Nous traitons ici le cas du galet 1, les autres étant uniquement déphasés de 2π/3 suivant φ.

Le point C1 (centre du galet) a une trajectoire rectiligne le long de l’axe de la rampe :

1 1 1C l k=V (3.14)

Soit, en considérant l’équation (3.10) et pour une vitesse de rotation constante nous pouvons faire l’approximation suivante :

1 1 sin sinl r 1ϕ δ= − ϕ

⎬

⎬

(3.15)

Du fait des deux degrés de liberté du galet dans la rampe (roulement et pivotement), le torseur cinématique du galet par rapport à la rampe exprimé en C1 (centre du galet 1) s’écrit de la manière suivante. Ces mouvements du galet dans la rampe sont illustrés figure 3.15.

1

1 3 1 3

1 1 3 1 1 3sin cosgalet

rampe C

i jV

l j l kχ αχ χ

+⎧ ⎫= ⎨ +⎩ ⎭

(3.16)

où la base i3, j3, k3 est telle que les plans (j3, k3) et (j1, k1) restent confondus. L’offset

e étant négligé, j3 et j2 sont confondus. Soit P1 le point de contact entre le galet 1 et sa rampe associée, le torseur cinématique au point P1 est donné par

1

1 3 1 2

1 1 2 1 1 3sin ( cos )galet

rampe P

i jV

l j l r kχ α

χ χ α+⎧ ⎫

= ⎨ + −⎩ ⎭. (3.17)

Le torseur des actions mécaniques galet sur rampe au point de contact peut s’écrire

de la manière suivante :

Page - 71/142 -


1

1 1

1 1galet rampe P

A →

+⎧ ⎫= ⎨ +⎩ ⎭p r

N TM M ⎬ , (3.18)

où N1 est l’effort normal au contact T1 est la composante tangentielle de l’effort au

contact (voir figure 3.16), Mp1 et Mr1 sont respectivement les moments résistants au pivotement et au roulement, ces moments seront également négligés dans cette approche.

χ

χ

1 3,i i

1j2 3,j j

3k

C1 1k

α

1CV

GaletRampe

Figure 3.15 Mouvement du galet dans la rampe

1 3,i i1j

1k

χ

2 3,j j

χ

3k

1C

1P

1CV

1PV1N

1TRampe

Tourillon

Galet

Figure 3.16 Mouvement du galet dans la rampe

C2 C3

O

I

Ω

C1 1N

3N

2N

Figure 3.17 Couple uniformément transmis par les trois galets

Page - 72/142 -


Considérant que les variations des rayons ri sont négligeables, nous pouvons écrire que le couple est uniformément transmis par les trois galets. Par conséquent nous nous retrouvons dans le cas présenté figure 3.17 est nous pouvons écrire que

1 2 3 3oCN N N Nr

= = = = , (3.19)

avec CO la valeur du couple transmis. La composante T1 peut être décomposée en deux sous composantes dans le plan (j2, k2),

1 1 3 1ad glT k T j= +T 2 (3.20) où T1ad est l’effort d’adhérence et T1gl est l’effort de glissement.

Dans notre approche kinétostatique T1ad est équilibré par le moment résistant dans le roulement à aiguilles

1R

adg

MTr

= (3.21)

avec

R r r rM P rµ= (3.22) où µr, Pr, rr sont respectivement le coefficient de frottement de roulement, la charge radiale du roulement (dans notre cas, l’effort normal au contact) et le rayon du cercle inscrit passant par les centres des aiguilles.

Donc, nous pouvons écrire

1r

ad rg

rT Nr

µ= (3.23)

où rg est le rayon de la forme sphérique extérieure du galet.

Puisque 1r

g

rr

< , que µr= 0.003 (donnée par la littérature sur les roulements à aiguilles) et en

général µg>0.03 pour des contacts acier/acier,

1ad gT Nµ<< . (3.24)

Suivant la loi de Coulomb, l’équation (3.24) constitue la condition de non glissement du galet dans la direction k2 d’où à partir de (3.17)

1 1 1

1 11

cos 0

cosg

g

l r

lr

χ α

χα

− =

=, (3.25)

Page - 73/142 -


ce qui permet de calculer la vitesse du galet par rapport à la rampe exprimée au point de contact P1, vitesse qui correspond à la vitesse de glissement du galet sur la rampe.

( )1 1 1singaletrampe P l j2χ=V (3.26)

De plus, étant donné que T1ad est négligeable devant µgN nous pouvons écrire que

l’effort de frottement est uniquement du au glissement et donc

1 1glT j=T 2 , (3.27) avec, en prenant en compte le frottement de Coulomb dans le cas du glissement,

1glT N gµ= . (3.28)

L’effort axial généré par le galet 1 le long de la rampe s’obtient de la façon suivante,

( ) ( )( )1 1 1

1 1sin galetg rampe

k

N sign Vµ χ

= ⋅

=

F T

F 1P , (3.29)

ce qui montre bien une dépendance en fonction de l’angle de pivotement du galet dans la rampe, angle de pivotement que l’on calcule en effectuant le produit scalaire de j1et j2 à partir de l’eq.(3.10) et en considérant l’homocinétie du joint.

22

1cos 1 cos2

δ1χ ϕ

⎛= −⎜

⎝ ⎠

⎞⎟ (3.30)

La figure 3.18 illustre la variation de l’angle de pivotement du galet 1 entre –δ et +δ.

0 60 120 180 240 300 360

0

δ

-δ


Ang

le d

e pi

vote

men

t χ1 (

°)

Figure 3.18 Angle de pivotement du galet dans la rampe sur un tour de roue

L’effort axial total Q généré par les trois galets est calculé de la manière suivante :

3

1i

iQ

=

= ∑ F (3.31)

Page - 74/142 -


Les efforts axiaux générés par chaque galet et l’effort axial total sont présentés figure

3.19. On remarquera notamment la prise en compte ici, contrairement au résultat exposé figure 3.14, de l’angle de pivotement du galet dans la rampe.

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

0 40 80 120 160 200 240 280 320 360


Effo

rts

axia

ux F

i (N

)

-150

-100

-50

0

50

100

150

0 40 80 120 160 200 240 280 320 360


Effo

rt a

xial

tota

l Q (N

)

F1 F3 F2

Figure 3.19 Effort axiaux générés pour 300Nm de couple transmis, µg=0.05 et un angle de

brisure δ = 16°

3.2.3 Construction du modèle numérique sous ADAMS

Dans le modèle analytique précédemment présenté, la géométrie au contact a été volontairement simplifiée. En effet, le centre du galet était cinématiquement contraint suivant l’axe de la rampe. Ici ce n’est plus le cas puisque le galet sera guidé par les contacts. Nous n’avons plus ici un contact simple mais un contact double entre un galet de forme extérieure sphérique et une rampe rectiligne à profils d’arc gothique. Dans cette première modélisation, nous avons approximé ces contacts par des contacts entre une sphère et deux rampes à profil en V (figure 3.20), ainsi les angles de contact β sont respectés. De plus, dans notre calcul de raideur de contact en accord avec la théorie de Hertz, présentée dans le chapitre 1, nous introduisons les rayons de courbures principales au contact issus de la géométrie réelle au contact. Ainsi, la raideur introduite au contact est représentative de la raideur réelle. Les rayons des courbures principales prises pour notre modèle sont donnés dans le tableau 3.3

Les effets d’inertie, bien qu’ils soient négligeables, seront naturellement pris en compte dans le modèle ADAMS. Les dimensions géométriques utilisées dans notre modèle sont données figure 3.21.

β

β

C

rg

Galet de forme

sphérique

Rampe à profil d’arc

gothique

Centres des arcs formants l’arc

gothique

ra

ra

β

β

C

rg

Rampe en forme de V

Galet de forme

sphérique

Géométrie réelle aux contacts

Géométrie modélisée aux contacts

β=10°

Figure 3.20 Géométrie aux contacts entre galet et rampe

Page - 75/142 -


Rampe

Tulipe

Galet

Tripode

Tourillon

Aiguilles

12

16

30 20 20

16

23.2 12

Figure 3.21 Dimensions géométriques pour la construction du modèle (dimensions en mm)

Bati

Tripode

Aiguilles1

Aiguilles2

Aiguilles3

Galet 1

Galet 2

Galet 3

Tulipe

rotule

Pivot

Pivot Pivot Pivot

Glissière Glissière Glissière δ

Modèle complet assemblé

4 contacts possibles

sphère/plan


sphère/plan


sphère/plan

Figure 3.22 Liaisons inter composants introduites dans notre modèle

Rayons des galets Rayons des pistes rax = rg = 15 mm rbx = ra = -17 mm ray = rg = 15 mm rby = ∞

Tableau 3.3 Rayons des courbures principales pour le calcul de raideur

Page - 76/142 -


Dans notre modèle, le mouvement est imposé au niveau de la liaison pivot et le couple résistant est introduit suivant l’élément de liaison.

Dans ce modèle numérique complet, les frottements entre tourillons et galets sont pris en compte. Ces liaisons sont assurées par l’intermédiaire de roulements à aiguilles. Dans notre modèle nous avons découplé la liaison tourillon/galet en deux liaisons en introduisant une pièce intermédiaire jouant le rôle des aiguilles (voir figure 3.22). Ainsi nous pouvons découpler les frottements longitudinaux de glissement des galets sur les aiguilles et les frottements de rotation des aiguilles sur les tourillons. Le solide qui joue le rôle des aiguilles est un cylindre reprenant les dimensions extérieures du roulement à aiguilles.

Soit FG l’effort de frottement introduit dans la liaison glissière entre le galet et les aiguilles et CR le couple résistant introduit dans la liaison pivot entre aiguilles et tourillons dû aux frottements dans le roulement.

G fF Prµ= , (3.32) avec µf le coefficient de frottement du galet sur les aiguilles et Pr la charge radiale du roulement.

R r r rM P rµ= (3.33) où µr, Pr, rr sont respectivement le coefficient de frottement de roulement, la charge radiale du roulement et le rayon du cercle inscrit passant par les centres des aiguilles.

Comme nous le verrons dans la suite, dans ces conditions de calcul avec la puissance transmise de la boîte de vitesse vers les roues, µf et µr sont peu influents sur le niveau du troisième ordre de l’effort axial. Nous verrons plus tard que ce n’est plus le cas lors de la transmission inverse de la puissance. Il est à noter que nous n’observons pas les mêmes phénomènes que l’on soit en frein moteur ou en charge moteur.

En comparant les résultats issus des deux modèles, nous constatons que malgré les hypothèses simplificatrices du modèle analytique qui sont rappelons le, la négligence des effets d’inertie, la prise en compte d’un contact simple sphère/plan, la négligence des frottements entre galets et tourillons, nous trouvons ici des résultats en bon accord (voir figure 3.23).

-60

-40

-20

0

20

40

60

0 40 80 120 160 200 240 280 320 360


Effo

rts

axia

ux F

1 gén

érés

par

le g

alet

1

(N)

Modèle analytique

Modèle ADAMS

Figure 3.23 Comparaison entre les résultats du modèle analytique simplifié et les résultats

du modèle numérique complet dans les mêmes conditions de calcul

Page - 77/142 -


3.3 Comparaison modèles mesures concernant l’effort axial généré

3.3.1 Recalage des modèles Le recalage de nos modèles s’effectue à l’aide du coefficient de frottement µg entre

galet et rampe. En effet, n’étant pas équipés au service Essais de l’entreprise NTN TE d’un système de mesure permettant de mesurer avec précision le coefficient de frottement entre le galet et la rampe, nous sommes obligés de recaler les modèles à l’aide de ce coefficient. Comme nous le verrons dans la suite l’influence de µf est négligeable, nous le choisissons égal à 0.07 pour un frottement classique de type acier/acier lubrifié par graisse. Pour le coefficient µr nous nous calons à l’aide d’une valeur issue de la bibliographie sur les roulements à aiguilles. Milovanovic dans [89] nous indique que pour un roulement à aiguilles jointives, µr = 0.003.

Après recalage des deux modèles sur les mesures présentées dans la partie précédente, nous identifions un coefficient de frottement µg = 0.04 pour les graisses de type e. La figure 3.24 présente la comparaison entre mesures et modèles. Les deux modèles sont en accord avec les mesures réalisées sur banc. Nous mettons donc bien en évidence ici l’importance de la prise en compte de la modélisation par contact afin que l’inclinaison du galet dans la rampe soit prise en compte.

0

20

40

60

80

100

0 2 4 6 8 10 12 14 16

MesuresModèle ADAMSModèle analytique


3eme o

rdre

de

l’effo

rt a

xial

(N)

0

10

20

30

40

50

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100

MesuresModèle ADAMSModèle analytiquel

Vitesse de rotation (tours/min)

3eme o

rdre

de

l’effo

rt a

xial

(N)

Couple transmis : 300 Nm Vitesse : 150 tr/min

Couple transmis : 300 Nm Angle de brisure : 6°

A B

0

10

20

30

40

50

60

70

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

MesuresModèle ADAMSModèle analytiquel

3eme o

rdre

de

l’effo

rt a

xial

(N)

Couple transmis (Nm)

Vitesse : 150 tours/minAngle de brisure : 6°

C

Figure 3.24 Comparaison entre mesures et modèles après recalage du coefficient de

frottement µg = 0.04

D’une façon générale, les valeurs calculées de l’effort axial avec le modèle analytique sont inférieures à celle obtenues avec le modèle ADAMS. Cette différence

Page - 78/142 -


s’explique par la non prise en compte des frottements de roulement µr dans les liaisons aiguilles tourillons. Les comparaisons proposées figure 3.24 B, C et 3.25 sont effectuées pour un angle de brisure de 6°. En effet, cette valeur d’angle de brisure est significative des cas de fonctionnement sur véhicule. Pour la figure 3.25 la valeur identifiée du coefficient de frottement µg est de 0.045. En effet, les essais réalisés sur l’influence du rayon des tulipes se sont effectué sur des joints tripodes lubrifiés par de la graisse de type c. Ici, la comparaison est effectuée uniquement avec le modèle analytique car pour le modèle ADAMS il faut reconstruire l’ensemble du modèle avec la géométrie modifiée.

Les deux coefficients identifiés pour les graisses e et c correspondent à des valeurs mesurées que l’on retrouve dans les brevets déposés sur les lubrifiants des joints homocinétiques [90] et [91].

3eme o

rdre

de

l’effo

rt a

xial

(N)

Rayon de la tulipe (mm)

0

20

40

60

80

17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

MesuresModèle analytique

Couple transmis : 300 Nm Vitesse : 150 tr/min Angle de brisure : 6°

Figure 3.25 Comparaison entre mesures et modèles après recalage du coefficient de

frottement µg = 0.045

3.3.2 Discussion, influence des différents paramètres sur l’effort axial généré

Le fait d’avoir confronté l’approche par la mesure et celle par le calcul nous permet de comprendre et d’interpréter les résultats obtenus. En effet la mesure nous apporte la connaissance des paramètres influents et les modèles la compréhension.

Angle de brisure : Plus le joint tripode travaille sous angle de brisure important, plus les galets s’inclinent dans les rampes. Cette inclinaison augmentant, l’effort de frottement de glissement se retrouve de plus en plus dans la direction axial de la tulipe. C’est pour cette raison que l’effort axial généré par le joint tripode coulissant croit (linéairement) en fonction de l’angle de brisure.

Vitesse de rotation : Il n’y a pas d’influence de la vitesse de rotation pour les faibles angles de brisure. Ici nous avons modélisé le frottement par le modèle de Coulomb qui ne prend pas en compte la vitesse. Cette modélisation nous apparaît satisfaisante car pour les angles de brisure inférieurs à 10° (ce qui représente la quasi-totalité des angles d’installation sur véhicule) la vitesse ne semble pas avoir d’influence sur l’amplitude du troisième ordre de l’effort axial.

Couple transmis : Plus le couple transmis est important et plus l’effort normal au contact qui transmet ce couple est élevé (eq.(3.19)). L’effort tangentiel de frottement étant directement lié à l’effort normal au contact, il est naturel que l’amplitude de l’effort axial généré soit directement proportionnel au niveau du couple transmis.

Page - 79/142 -


Rayon de tulipe : Ici aussi ce paramètre agit directement au niveau de l’effort normal au contact qui transmet le couple. Puisque comme indiqué dans l’équation 3.19 l’effort normal au contact permettant de transmettre le couple est inversement proportionnel au rayon de la tulipe. Malheureusement, si l’augmentation du rayon de la tulipe est un bon moyen pour réduire l’amplitude de l’effort axial généré, cette méthode n’est pas compatible avec la contrainte de réduction des masses imposées par les constructeurs automobile.

Graisse utilisée : Le choix de la graisse à utiliser est extrêmement important puisque comme nous l’avons vu il est directement lié à la valeur du coefficient de frottement qui génère l’effort axial cyclique. En effet µg est fonction de la graisse utilisée.

Cette études des paramètres agissants sur l’amplitude des efforts axiaux générés nous

permet la mise en place de l’arbre des causes de ce phénomène d’effort axial cyclique 3 fois par tour de roue généré par les joints tripodes coulissants. Cet arbre des causes est donné figure 3.26.

Effort axial en R3

Couple transmis

Effort de contact entre galet et

rampe

Rayon tulipe

Coefficient de frottement sec entre

galet et rampe

Etats des surfaces

Cinématique au contact (roulement

et glissement)

Choix de la graisse

Angle de brisure

Liaison galet tourillon

Effets visqueux

Vitesse de rotation importante Fort angle de brisure

Couple résistant au roulement galet sur

tourillon

Frottement de roulement des aiguilles

Non traité

Figure 3.26 Arbre des causes de l’effort axial en R3 généré par les joints tripodes

coulissants

3.4 Etude complémentaire de l’influence des frottements du roulement à aiguilles sur l’effort axial en R3

Nous proposons ici une étude basée sur le modèle ADAMS afin de quantifier l’influence des deux coefficients de frottement µr et µf liés respectivement au couple résistant au roulement des aiguilles MR et à l’effort longitudinal s’opposant au glissement du galet sur les aiguilles FG. Ces deux effets du frottement dans le roulement à aiguilles sont illustrés figure 3.27.

Rampe

Tourillon

Galet

MR

FG

Figure 3.27 Effets des frottements dans le roulement à aiguilles

Page - 80/142 -


0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

0 3 6 9 12 15 18

0,003 0,006 0,009 0,012

0,015 0,018 0,0210

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

0 3 6 9 12 15 18

0.04 0.05 0.06 0.07

0.08 0.09 0.1


3eme o

rdre

de

l’effo

rt a

xial

(N)

3eme o

rdre

de

l’effo

rt a

xial

(N)


µr = 0.003

µf

µr

µf = 0.05

Figure 3.28 Influence des deux coefficients de frottement µr et µf du roulement à aiguilles

sur l’effort axial généré

Les résultats de cette étude présentés figure 3.28 montrent bien que le frottement longitudinal µf du galet sur les aiguilles n’a pas ou très peu d’influence sur le troisième ordre de l’effort axial. Par contre, le frottement de roulement des aiguilles sur le tourillon µr lui a une influence. En effet, si ce frottement est important, le couple résistant au roulement engendre un effort d’adhérence au point de contact qui n’est plus négligeable. C’est d’ailleurs pour cette raison que la liaison galet/tourillon est assurée par un roulement à aiguilles. De cette manière le coefficient µr est très faible (de l’ordre de 0.003).

4 L’effort axial dépend du sens de transmission de la puissance

Ici, nous ne présenterons pas en détail ce phénomène. L’étude étant en cours, nous présentons les premiers résultats issus de cette étude. En effet ce comportement non réversible de la génération d’efforts axiaux n’a été constaté que très récemment.

4.1 Présentation de cette non réversibilité

Lors d’essais sur une technologie de joints un peu différente de celle présentée précédemment (différences au niveau de la géométrie des contacts et des dimensions générales du joint), il a été observé une non réversibilité au niveau du troisième ordre de l’effort axial généré en fonction du sens de transmission de puissance. En effet, le sens de transmission de la puissance influence le comportement du joint. La figure 3.29 illustre les différents cas de transmission de puissance possibles. Deux familles de fonctionnement peuvent en être tirées, le fonctionnement tulipe menante (charge moteur) et le fonctionnement tripode menant (frein moteur). Le sens de rotation ne modifie pas le comportement de l’effort axial généré, c’est la combinaison vitesse de rotation et couple transmis qui est importante. La partie menante du joint est celle dont la vitesse de rotation et le couple sont de même signe.

Page - 81/142 -


Tulipe menante marche avant =

Charge moteur marche avant

Tripode menant marche avant =

Frein moteur marche avant

Tripode menant marche arrière =

Frein moteur marche arrière

Tulipe menante marche arrière=

Charge moteur marche arrière

δ δ

δ δ

ω+ ω+

ω- ω-

ω-ω-

ω+ ω+C- C+

C+

C-

C+

C- C+ C-

P+P- P+P-

P- P+ P+ P-

Figure 3.29 Différents cas de transmission de puissance par le joint tripode coulissant

4.2 Etude en cours de cette non réversibilité

4.2.1 Présentation du modèle utilisé Les dimensions et géométries du joint modélisé pour cette étude sont présentées

figure 3.30. Ici les rampes ont un profil cylindrique. Les contacts sont donc assurés par notre sous-programme de calcul d’actions mécaniques entre une sphère et un cylindre.

Rampe

Tulipe

Galet

Tripode

Tourillon

Aiguilles

9

19

35 23 23

19

20.8 9

Toutes ces dimensions sont données en mm

C

rg

Galet de forme

sphérique

Rampe à profil

cylindrique

Centres l’arc profil rampe

ra

Géométrie aux contacts

Bati

Tripode Aiguilles

Galet

Tulipe

rotule Pivot

Pivot Glissière2 contacts possibles

sphère/cylindre

Figure 3.30 Données pour construction du modèle

Rayons galet Rayons piste

rax = rg = 17.5 mm rbx = ra = -20 mm ray = rg = 17.5 mm rby = ∞

Tableau 3.4 Rayons des courbures principales pris pour le calcul de raideur

Page - 82/142 -


4.2.2 Comparatif modèle mesures Les calculs et mesures présentées figure 3.31 sont réalisées pour un couple transmis

de 300 Nm et une vitesse de rotation de 150 tr/min. Les coefficients de frottement introduits dans le modèle sont les suivants :

- Frottement longitudinal du galet sur les aiguilles µf = 0.07 - Frottement de roulement des aiguilles sur les tourillon µr = 0.003 - Frottement au contact entre le galet et la rampe µg = 0.05

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0 2 4 6 8 10 12 14 16

Tulipe menante (Modèle)

Tulipe menée (Modèle)

Tulipe menante (Mesures)

Tulipe menée (Mesures)


3eme o

rdre

de

l’effo

rt a

xial

(N)

Figure 3.31 Comparaison modèle essais

4.2.3 Comportement dynamique différent en fonction du sens de transmission de la puissance

Nous proposons ici d’expliquer ce changement de comportement en présentant certains éléments de la cinématique, fortement influencés par ce changement dans le sens de transmission de la puissance. Dans notre modèle, les efforts transmis des galets vers la tulipe, efforts à l’origine de l’effort axial généré, passent par les points de contact. Nous présentons donc ici les différentes trajectoires de ces points de contact en fonction du sens de transmission de puissance. Ces trajectoires des points de contact ainsi que les efforts transmis sont exprimées par rapport à un repère lié à la rampe de la tulipe. Ce repère est présenté figure 3.32, il est centré sur la position occupé par le galet pour un angle de brisure δ nul.

Axe de la tulipe

Axe de la rampe (piste) pistei

pistej

pistekO

Figure 3.32 Repère de référence pour l’expression des coordonnées des points de contact

Page - 83/142 -


Point de départ Premier demi tour du joint Deuxième demi tour du joint

Tulip

e m

enan

te

Trip

ode

men

ant

Figure 3.33a Calcul, issu du modèle ADAMS, des trajectoires du point de contact et des

efforts axiaux générés pour un angle de brisure δ=4°

Tulip

e m

enan

te

Trip

ode

men

ant


Figure 3.33b Calcul, issu du modèle ADAMS, des trajectoires du point de contact et des efforts axiaux générés pour un angle de brisure δ=8°

Page - 84/142 -


Tulip

e m

enan

te

Trip

ode

men

ant


Figure 3.33c Calcul, issu du modèle ADAMS, des trajectoires du point de contact et des


Tulip

e m

enan

te

Trip

ode

men

ant


Figure 3.33d Calcul, issu du modèle ADAMS, des trajectoires du point de contact et des


Page - 85/142 -


Comme le montrent les figures 3.33a à 3.33d, les trajectoires des points de contact

par lesquels la puissance mécanique est transmise varient en fonction du caractère menant ou mené de la tulipe ou par le tripode. Ceci, se traduit par une modification de l’effort axial généré.

Nous constatons que pour des faibles angles (figure 3.33a) cette modification n’est pas significative et n’a pas d’influence sur l’amplitude de l’effort axial total généré. En revanche, pour les valeurs d’angle comprises entre 8° et 12° (figure 3.3b et 3.33c), valeurs qui correspondent à l’effondrement de l’amplitude du troisième ordre de l’effort axial (figure 3.31), nous remarquons que les composantes axiales des efforts générés par chaque galet sont fortement influencées par ce changement du sens de transmission de la puissance. Pour les angles de brisure importants (figure 3.33d), on retrouve des comportements voisins dans les cas tulipe menante ou menée.

Cette étude pourrait aboutir à une solution technique peu coûteuse pour réduire les efforts axiaux générés par les joints tripodes coulissants et donc améliorer le comportement vibratoire de ce dernier.

5 Autres utilisations possibles du modèle Ces modèles permettent non seulement de calculer les efforts axiaux générés mais

aussi les efforts mécaniques externes et internes de la transmission. Nous présentons ici un survol des possibilités d’études offertes par ces modèles de joints tripodes coulissants.

5.1 Etude des efforts externes

Nous présentons ici le torseur complet des actions mécaniques exercées par la tulipe au centre de la liaison pivot. Le tableau 3.5 présente les conditions d’analyse du calcul. Le modèle utilisé est celui présenté figure 3.30 et 3.34.

Partie menante Tulipe Couple transmis 300Nm

Vitesse de rotation 150 tr/min Angle de brisure 10°

Frottement µf 0.07 Frottement µr 0.003 Frottement µg 0.05 Décalage L 60 mm

Tableau 3.5 Conditions d’analyse

δ ω+=cte

C-=cte

A pivoti

pivotj

pivotk

rotuleirotulek

rotulej

B

L

L : Décalage entre centre du joint et centre de la liaison pivot

Figure 3.34 Conditions du calcul

Page - 86/142 -


0 90 180 270 360

0

-75

-150

75

150

Angle φ de rotation de la tulipe (°)

Effo

rts

(N)

Fx : Fy : Fz :

0 90 180 270 360

0

-20

-30

-10

10


Mom

ents

au

cent

re d

e la

liai

son

pivo

t (N

m)

Mx : My : Mz :

0 90 180 270 360

300.5

299.5

299.0

300.0

301.0


Cou

ple

mot

eur a

ppliq

ué s

uiva

nt l’

axe

de la

tu

lipe

pour

per

met

tre

le m

ouve

men

t (N

m)

Mx :

Figure 3.35 Actions mécaniques mutuelles de la tulipe sur la boîte de vitesse au centre de

la liaison pivot

Comme nous le constatons sur les courbes résultats présentées figure 3.35 la composante Mx du moment au centre de la liaison pivot est nulle. En effet, la rotation autour de ipivot constitue le degré de liberté de cette liaison. Il est toutefois possible de récupérer cette grandeur à partir du mouvement de rotation imposé dans cette liaison. En effet pour garantir le mouvement imposé de 150 tr/min s’opposant au couple résistant imposé sur l’ensemble élément de liaison + tripode de 300Nm . Comme présenté sur la figure 3.35, ce couple varie durant la rotation du joint et est supérieur au couple résistant. Cette différence entre le couple moteur en entrée et le couple résistant en sortie est due au rendement du joint. En effet, du fait de l’introduction des frottements dans notre modèle nous constatons une perte de puissance mécanique.

5.2 Etude du rendement

Nous proposons ici de calculer le rendement du joint tripode coulissant basé sur le modèle dont les paramètres sont présentés dans le tableau 3.5. Ce calcul du rendement est intéressant car la perte de puissance est faible et il est donc compliqué de la mesurer avec la précision nécessaire comme le remarquent justement Biermann [72] et Kimata [73].

L’étude du rendement est schématisée sur la figure 3.36. Pour cette étude nous considérons la puissance mécanique moyenne transmise par tour de joint.

Page - 87/142 -


Comme,

ss

e e

PPP P

< (3.34)

avec eteP sP les puissances moyennes sur un tour en entrée et en sortie du joint.

Puisqu’il y a conservation de la vitesse moyenne, nous considérons uniquement les pertes de couple.

Ici, le rendement s’exprime donc de la manière suivante

s s s

e e e

C CC C

ωη

ω= = (3.35)

Ce , ωe Cs , ωs

Puissance mécanique en

entrée

Perte de puissance due aux frottements


sortie

Figure 3.36 Schéma de principe du rendement

Comme présenté figure 3.37 le rendement de ce type de joint est excellent. Il reste,

pour des angles de brisure inférieurs à 16°, supérieur à 99.5 %.

99

99.2

99.4

99.6

99.8

100

0 2 4 6 8 10 12 14 16


Ren

dem

ent η

du

join

t trip

ode

coul

issa

nt (%

)

Figure 3.37 Résultats de l’étude du rendement du joint tripode coulissant en fonction de

l’angle de brisure, tulipe menante

Page - 88/142 -


6 Conclusion

Nous avons présenté dans ce chapitre à l’aide de mesures sur véhicule le comportement excitateur vibratoire des joints tripodes coulissants sur les vibrations internes du véhicule. Une fois ce lien entre les efforts axiaux générés par le joint tripode coulissant et les vibrations internes démontré, nous avons entrepris une modélisation des joints tripodes coulissants afin de comprendre les phénomènes à l’origine des efforts axiaux générés. Ces modélisations en accord avec les mesures réalisées sur banc industriel nous ont permis d’établir un arbre des causes de ce phénomène. L’intégration de nos sous-programmes dans le solveur ADAMS nous a amené à des modèles numériques complets de joint tripode coulissant. Ces modèles, prenant en compte la transmission d’effort par contacts nous ouvre aujourd’hui des perspectives prometteuses puisque nous pouvons à présent simuler certains défauts dimensionnels et observer l’influence de ce défaut sur les efforts internes et externes générés durant le fonctionnement.

Page - 89/142 -

Chapitre IV Le joint à billes (6 billes) Géométrie, modélisation et mesure Résumé :

Dans ce chapitre nous présentons nos études réalisées sur le joint à billes et plus précisément sur le joint à 6 billes. Après une présentation des composants de ce type de joint ainsi que du principe de fonctionnement, nous mènerons une étude géométrique complète du joint à 6 billes. Ici, la géométrie des composants est extrêmement importante puisque c’est elle qui guide entièrement la cinématique du joint. En effet, dans le joint à billes toutes les liaisons inter composants sont assurées par des contacts. C’est d’ailleurs sur ce principe que sera construit le modèle numérique que nous utiliserons dans ce chapitre.

Nous présentons ici dans une première partie le fonctionnement interne du joint à l’aide d’une étude géométrique permettant de mieux appréhender la cinématique interne du joint. Nous présenterons ensuite la construction de notre modèle en mettant notamment en place les jeux et frottements nécessaires à notre étude et dont nous étudierons les influences sur les efforts internes du joint. Puis, nous quantifierons l’influence de chacun de ces paramètres (jeux et frottements) sur le rendement du joint. Enfin, nous terminerons par une présentation du moment complémentaire généré lors de la transmission, sous angle, d’un couple par le joint à billes. Nous montrerons notamment que ce moment n’est pas constant, mais que sa variation, principalement d’ordre 6, est faible au regard du couple transmis.

Page - 90/142 -

Sommaire du chapitre IV

1 Présentation générale.....................................................................................92

1.1 Les composants principaux et leurs géométries.................................................... 92 1.2 Principe de fonctionnement .................................................................................. 93

1.2.1 Principe des joints d’accouplement à plan bissecteur............................................................... 93 1.2.2 Le joint à billes : un joint d’accouplement à plan bissecteur .................................................... 93 1.2.3 Le joint à billes : un système hyperstatique.............................................................................. 94 1.2.4 Quelques éléments de géométrie et de cinématique dans le plan bissecteur ............................ 95

1.3 Etude géométrique et détermination des positions des points de contact ............. 96 1.3.1 Une approche géométrique analytique .....................................................................................96 1.3.2 Une approche géométrique par optimisation ..........................................................................100

2 Modélisation du joint à billes .......................................................................102

2.1 Construction du modèle ...................................................................................... 102 2.1.1 Définition des liaisons inter composants ................................................................................102 2.1.2 Dimension du modèle.............................................................................................................103 2.1.3 Définition des jeux introduits dans le modèle ........................................................................104 2.1.4 Définition des paramètres aux contacts ..................................................................................105

2.2 Sens de la transmission de puissance.................................................................. 106

3 Analyses des efforts internes ......................................................................107

3.1 Comparaison avec un calcul statique .................................................................. 107 3.2 Notation nécessaire à l’étude .............................................................................. 108 3.3 Etudes de l’influence de différents paramètres sur les efforts internes............... 108

3.3.1 Influence de l’angle de brisure δ.............................................................................................108 3.3.2 Influence des jeux...................................................................................................................111 3.3.3 Influence des frottements........................................................................................................113

4 Calcul du rendement.....................................................................................114

4.1 Présentation de l’étude ........................................................................................ 114 4.1.1 Présentation générale..............................................................................................................114 4.1.2 Conditions d’analyse et paramètres de référence entrés dans le modèle ................................115

4.2 Influences des paramètres du modèle sur le rendement...................................... 115 4.2.1 Influence de l’angle de brisure δ.............................................................................................115 4.2.2 Influence des frottements........................................................................................................116 4.2.3 Influence des jeux...................................................................................................................116

5 Le moment complémentaire.........................................................................118

5.1 Présentation......................................................................................................... 118 5.2 Résultats de notre modèle ................................................................................... 119 5.3 Mesures de la composante MzR6 ........................................................................ 123

6 Conclusion.....................................................................................................125

Page - 91/142 -

Chapitre IV : Joint à billes (6 billes) - Géométrie, modélisation et mesure

1 Présentation générale 1.1 Les composants principaux et leurs géométries

Bol

Billes

Cage

Noix

Rayon rT des trajectoires de

piste

δ/2

Trajectoire du centre piste

noix Centre B de bille

Point de contact entre la bille et la piste

extérieure Point de contact

entre bille et piste intérieure

Trajectoire du point de contact

sur le bol

Trajectoire du point de contact

sur la noix

Bol

Cage

Bille

Noix

Centre des trajectoires de pistes

bol O1

Centre des trajectoires de pistes

noix O2

Offset noix e Offset bol e

δ/2

Centre du joint O

Trajectoire du centre piste bol

Plan bissecteur

Bille 1

Bille 6

Bille 5

Bille 4

Bille 3

Bille 2

Noix

Cage

Bol

Figure 4.1 Présentation des éléments principaux du joint à billes

Comme l’illustre la figure 4.1 le joint à 6 billes est constitué d’un bol, d’une cage,

d’une noix et de 6 billes. La surface interne du bol est composée d’une sphère centrée sur O et de 6 pistes à trajectoires circulaires centrées sur O1. Ce centre O1 des trajectoires de pistes est décalé d’un offset e par rapport au centre de sphère O. La surface externe de la noix est également composée d’une surface sphérique centrée sur O et de 6 pistes à trajectoires circulaires centrées sur O2. Ce centre O2 des trajectoires de pistes est lui aussi

Page - 92/142 -


décalé d’un offset e par rapport au centre de sphère O. La cage, de par ses formes internes et externes sphériques et concentriques, assure le rotulage relatif en O du bol et de la noix. Les fenêtres de la cage permettent quant à elles le maintien des billes dans un même plan. Les billes, placées dans les pistes, assurent la transmission du couple entre la noix et le bol via des points de contacts. L’angle théorique α de contact des billes dans les pistes est en général de 45°.

Le plan dans lequel sont maintenus les centres des billes est nommé le plan bissecteur. Ce plan bissecteur est le plan de symétrie entre l’axe d’entrée et l’axe de sortie du joint.

1.2 Principe de fonctionnement

1.2.1 Principe des joints d’accouplement à plan bissecteur

Plan bissecteur P

O

B

C2

C1

δ Axe de rotation 1 Axe de rotation 2

ω(1/0) ω(2/0) θ1

θ2

Figure 4.2 Principe des joints homocinétiques à plan bissecteur [1]

Soit O un point du plan bissecteur P situé à l’intersection des axes 1 et 2 symétriques

par rapport à P. La courbe C1 liée à l’axe 1 admet pour symétrique par rapport à P la courbe C2 liée à l’axe 2. Si le point B, commun à C1 et C2 reste dans le plan bissecteur, alors toute rotation de l’axe 1 d’un angle θ1 entraîne une rotation de l’axe 2 d’un angle θ2 telle que θ1= θ2 (voir figure 4.2).

Si à tout moment le point B reste dans le plan bissecteur alors, ω(1/0)=ω(2/0). Nous sommes alors en présence d’un joint d’accouplement parfaitement homocinétique.

1.2.2 Le joint à billes : un joint d’accouplement à plan bissecteur Pour montrer que le centre de la bille reste dans le plan bissecteur, quelque soit la

valeur de δ, il suffit de démontrer que l’angle BOB’=δ/2. Cette démonstration géométrique est présenté figure 4.3. Pour cette démonstration,

l’axe du bol est fixé. Les points O2’ et B’ correspondent aux positions du centre des trajectoires des pistes de la noix et du centre de la bille B pour un angle de brisure nul. Lors de la mise sous angle, O2 évolue sur un cercle de rayon e (la valeur des décalages OO1 et OO2) et l’angle O2OO2’=δ. D’après le principe des angles au centre et sur le diamètre du cercle circonscrit, l’angle O2O1O2’=δ/2. Puisque OB⊥O1O2 (se sont les diagonales d’un losange) l’angle BOB’=δ/2. Nous venons donc de montrer que, du fait des trajectoires circulaires des pistes et des offsets e, le centre des billes se situe bien dans le plan bissecteur quelque soit l’angle de brisure δ.

Page - 93/142 -


B

B’

O

O’ O1

O2

δ

ε ε ε ε

δ/2 δ

δ/2

O2’

rT

δ/2 d h

rbis

Figure 4.3 Trajectoire du centre de la bille en fonction de l’angle de brisure δ

1.2.3 Le joint à billes : un système hyperstatique

De par son principe de fonctionnement (cf. plan bissecteur) le joint à billes est un système hyperstatique. En effet en créant des couples de courbes supplémentaires (voir figure 4.4) tels que C1’,C2’,C1’’,C2’’…, nous introduisons des liaisons surabondantes, compatibles d’un point de vue cinématique du fait de la symétrie. Dans le joint 6 billes on retrouve 5 couples de courbes surabondantes.

Les actions mécaniques aux point B, B’, B’’ … sont donc assurées grâce aux défauts géométriques (jeux internes) et aux déformations élastiques. Ce type de joint requiert donc une grande précision de réalisation pour permettre une bonne répartition des efforts de contacts nécessaires pour transmettre le couple.

O

B

B’

C1 C2

C1’ C2’

ω1 ω2

Plan bissecteur P Figure 4.4 Schéma des liaisons surabondantes du joint à billes [2]

Page - 94/142 -


1.2.4 Quelques éléments de géométrie et de cinématique dans le plan bissecteur

Quelques données de géométrie :

' sin2

d OO e δ= = (4.1)

1 2' ' cos2

h O O O O e δ= = = (4.2)

arcsinT

hr

ε⎛

= ⎜⎝ ⎠

⎞⎟

cos

(4.3)

' bis TO B r r ε= = (4.4)

B

O’

O

ϕ

ψ

rbis

l

d

Axe de la noix

δ/2

Plan bissecteur

Plan perpendiculaire à l’axe de la noix

O

B

θ

a’

b’ O

Projection dans le plan perpendiculaire à l’axe de la noix

Vue de coté Vue dans le plan bissecteur

a

b

Figure 4.5 Géométrie pour calcul de la cinématique du centre de la bille dans le plan

bissecteur

Le centre de la bille reste dans le plan bissecteur et décrit un cercle de rayon rbis autour du centre décalé O’. Soit ψ la position angulaire du centre de la bille par rapport au centre de rotulage O. A partir de la projection du centre de la bille dans le plan perpendiculaire à l’axe de la noix, nous pouvons déterminer la valeur de ψ en fonction de l’angle de rotation θ et de l’angle de brisure δ (voir figure 4.5).

tan ab

ψ = (4.5)

'tan'

ab

θ = (4.6)

' sina a l ψ= = (4.7) cosb l ψ= (4.8)

' cos /b b 2δ= (4.9) sin tantan

cos cos / 2 cos / 2l

lψ ψθ

ψ δ δ= = (4.10)

arctan cos tan2δψ θ⎛= ⎜

⎝ ⎠⎞⎟ (4.11)

Page - 95/142 -


Soit φ l’angle de position angulaire du centre de la bille par rapport au centre de rotation virtuel O’.

arcsin sinbis

dr

ϕ ψ⎛ ⎞

= + ⎜⎝ ⎠

ψ ⎟ (4.12)

Nous pouvons connaître la distance variable entre le centre de bille et le centre du

joint,

sinsin

bisrOB l ϕψ

= = (4.13)

1.3 Etude géométrique et détermination des positions des points de contact

1.3.1 Une approche géométrique analytique Durant le fonctionnement sous angle de brisure, les trajectoires des pistes bol et

pistes noix restent concourantes aux centres des billes mais ne restent pas coplanaires. En fait, durant la rotation elles prennent une inclinaison relative qui varie sur un tour entre +δ et –δ. La figure 4.6 illustre cette variation d’inclinaison entre les plans définis par les trajectoires des pistes. Suivant le degré d’inclinaison de ces plans, la bille se trouve en situation plus ou moins favorable pour transmettre la puissance entre la noix et le bol.

Les éléments de géométrie utilisés pour cette étude sont présentés figure 4.7 Soit 0Anpi la matrice d’orientation de la base bnpi liée à la piste de la noix. Soit Rnpi un

repère de cette base bnpi centré en O2. Le vecteur de base inpi est suivant l’axe de la noix et le plan (O2, inpi, jnpi) contient la trajectoire circulaire de la piste noix.

( ) (0npi , / 2 ,rot z rot x )δ θ= −A (4.14)

Soit 0Abpi la matrice d’orientation de la base bbpi liée à la piste du bol. Soit Rbpi un

repère de cette base bbpi centré en O1. Le vecteur de base ibpi est suivant l’axe du bol et le plan (O1, ibpi, jbpi) contient la trajectoire circulaire de la piste bol.

( ) (0bpi , / 2 ,rot z rot x )δ θ=A (4.15)

Soit 0A1 la matrice d’orientation de la base b1 liée au plan bissecteur et à la position

angulaire du centre B de la bille par rapport au centre O du joint. Soit R1 un repère de cette base, il est centré en O, son vecteur de base i1 est normal au plan bissecteur et j1 est suivant OB.

(01 ,rot x )ψ=A (4.16)

Page - 96/142 -


θ=0° θ =45° θ =90°

θ =135° θ =180° θ =225°

θ =270° θ =315° θ =360°

Bille Plan bissecteur

Plan de la piste bol

Axe bol

Axe noix

Trajectoire du centre de la

piste bol

Trajectoire du centre bille

Plan de la piste noix

Trajectoire du centre de la piste noix

δ/2

δ/2

Plan du joint θ

θ

β

-60

-40

-20

0

20

40

60

0 90 180 270 360Angle de rotation θ (°)

δ=0° δ=10° δ=20° δ=30° δ=40°

Ang

le β

d’in

clin

aiso

n de

s pis

te (°

)

Figure 4.6 Inclinaison relative β des pistes sur une rotation complète du joint

L’angle d’inclinaison relatif des pistes β projeté suivant OB s’obtient de la manière

suivante.

( ) ( )npi bpi 1 npi bpidet , , arccossign k k j k kβ ⎡ ⎤= ⎣ ⎦ ⋅

)

(4.17)

Du fait de l’inclinaison β variable durant le fonctionnement du joint, les points de

contacts par lesquels sont transmis la puissance ne restent pas dans un même plan.

Soit 0Anbis la matrice d’orientation de la base bnbis liée à la noix, au plan bissecteur et à la position angulaire de la bille autour du centre de rotation O’. Soit Rnbis un repère de cette base centré en O2, le vecteur de base inbis est suivant O2O’, le plan (O2, jnbis, knbis) est parallèle au plan bissecteur et le plan (O2, inbis, jnbis) contient le centre B de la bille.

(0nbis ,rot x ϕ=A (4.18)

Page - 97/142 -


Plan bissecteur

Plans des contacts du bol

et de la noix

Centre bille B

Repère des contacts noix

RncontRepère lié à la noix et au plan bissecteur Rnbis

Repère global R0

O’

ε

O2

ε

O’ O2

O

δ/2

Imposé par la géométrie O1B=O2B=rT O1O=O2O=e

Induit par l’angle de brisure O’O=d O’B=rbis

Repère de la piste noix Rnpi

Numérotation des points de contact

Piste bol

Piste noix

P1 P2

P4 P3 ncontk nconti

ncontj

npii

npij

npik

nbisj

nbisi

nbisk0 1,i i

0j

0k0j

0i0k

β η Centre des arcs de cercle

formants le profil en arc gothique

de la piste

Contacts sur la noix

ϕ ψ

θ

Axe noix

O1

θ

O δ/2

ε ε

α α

ncontj

ncontincontk

Axe bol

Plan bissecteur

Plans des contacts sur le bol

et sur la noix

Centre bille B

Repère des contacts bol

RbcontRepère lié bol

et au plan bissecteur Rbbis

Repère global R0

O’

ε

O2

ε

O’ O1

O

δ/2

Imposé par la géométrie O1B=O2B=rT O1O=O2O=e

Induit par l’angle de brisure O’O=d O’B=rbis

Repère de la piste bol Rbpi

bcontk

bcontibpii

bpij

bpik

bbisj

bbisibbisk

0 1,i i

0j

0k

β Centre des arcs de cercle

formants le profil en arc gothique

de la piste

Contacts sur le bol

ϕ ψ

θ

Axe noix

O1

θ

α α

bcontj

bcontibcontk

Axe bol

bcontj

O

δ/2

ε ε

η

Figure 4.7 Eléments de géométrie utiles pour l’analyse de la cinématique et le calcul des

positions des points de contact bille/noix et bille/bol

Page - 98/142 -


Soit 0Abbis la matrice d’orientation de la base bbbis liée au bol, au plan bissecteur et à

la position angulaire de la bille autour du centre de rotation O’. Soit Rbbis un repère de cette base centré en O1, le vecteur de base ibbis est suivant O’O1, le plan (O1, jbbis, kbbis) est parallèle au plan bissecteur et le plan (O1, ibbis, jbbis) contient le centre B de la bille.

(0bbis ,rot x )ϕ=A (4.19)

En fait, les bases bnbis et bbbis sont une seule et même base.

Afin de calculer les coordonnées des points de contact dans le repère global R0, il faut déterminer 0Ancont et 0Abcont les matrices d’orientations respectives des bases bncont et bbcont.

bncont est la base liée aux points de contact de la piste noix. Le vecteur de base jncont est suivant O2B et kncont est normal au plan contenant la trajectoire de piste. Le repère Rncont de cette base, centré en O2, contient donc, dans son plan (O2, jncont, kncont), les points de contact P1 et P2 de la bille sur sa piste de noix associée.

bbcont est la base liée aux points de contact de la piste bol. Le vecteur de base jbcont est suivant O1B et kbcont est normal au plan contenant la trajectoire de piste. Le repère Rbcont de cette base centré en O1 contient donc, dans son plan (O1, jbcont, kbcont), les points de contact P3 et P4 de la bille sur sa piste de bol associée.

La rotation du joint d’un angle θ entraîne une inclinaison de η du plan (O2, inpi, jnpi)

par rapport au plan (O2, inbis, jnbis). Cette inclinaison s’effectue autour de jncont qui définit l’axe commun aux deux plans car ce dernier est porté par O2B.

( ) ( )npi nbis ncont npi nbisdet , , arccossign k k j k kη ⎡ ⎤= ⎣ ⎦ ⋅ (4.20)

( ) ( ) ( )0

ncont , , ,rot x rot z rot yϕ ε= −A η− (4.21)

( ) ( ) ( )0bcont , ,rot x rot z rot y,ϕ ε=A η (4.22)

A présent nous pouvons déterminer les coordonnées des points de contact dans le

repère global R0.

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

0 0 ncont0ncont

0 0 ncont0ncont

= +

= +1 2 2 1

2 2 2 2

A

A

OP OO O P

OP OO O P (4.23)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

0 0 bcont0bcont

0 0 bcont0bcont

= +

= +3 1 1 3

4 1 1 4

A

A

OP OO O P

OP OO O P (4.24)

La géométrie nous donne les positions des centres des trajectoires des pistes O1 et O2

exprimés dans le repère global R0 , ainsi que les positions des quatre points de contacts P1, P2, P3 et P4 dans les repères locaux Rncont et Rbcont liés aux points de contact.

Page - 99/142 -


(0)

cos / 2sin / 2

0

ee

δδ

−⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

2OO (0)

cos / 2sin / 2

0

ee

δδ

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

1OO (4.25)

(ncont)

0cos

sinT b

b

r rr

αα

⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

2 1O P (ncont)

0cos

sinT b

b

r rr

αα

⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

2 2O P (4.26)

(bcont )

0cos

sinT b

b

r rr

αα

⎡ ⎤⎢ ⎥= +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

1 3O P (bcont )

0cos

sinT b

b

r rr

αα

⎡ ⎤⎢ ⎥= +⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

1 4O P (4.27)

La figure 4.8 représente, sur un tour complet du joint, les positions suivant i0 des

quatre points de contacts possibles. Nous remarquons que les points de contact opposés (P1, P3 et P2, P4) par lesquels est transmise la puissance ont une position identique par rapport au plan bissecteur.

2

1

0

-1

-2

-3 0 60 120 180 240 300 360

Angle de rotation θ (°)Pos

ition

s de

s po

ints

de

cont

act s

uiva

nt i 0

(m

m)

P1 & P3 : P2 & P4 :

δ = 40° δ = 30° δ = 20° δ = 10°

Figure 4.8 Variation des positions des points de contact par rapport au plan bissecteur

avec rT=27.76 mm, rb=8.3345 mm, e=3.915 mm et α=45°

1.3.2 Une approche géométrique par optimisation

Nous proposons ici une autre méthode permettant de calculer les positions des points de contact bille/noix et bille/bol. Cette méthode est également détaillée dans notre étude [92].

Dans cette approche, qui s’effectue en deux temps, nous commençons par déterminer l’ensemble des points de contact possibles, puis en connaissant la position du centre de la bille, nous minimisons la distance entre le centre de la bille et l’ensemble des points de contact possibles préalablement déterminé.

Page - 100/142 -


Ici nous traitons les points de contact P1 entre la bille et la noix. L’ensemble des points de contact possibles, comme montré sur la figure 4.9, est un cercle de rayon Rc situé à une hauteur Hc dans le repère Rnpi. Où

sinc bH r α= (4.28) et

cosc T bR r r α= − . (4.29)

P1 Cercle représentant

l’ensemble des points de contact possibles

O2 npii

npij

npik

B

Hc

Rc

Figure 4.9 Représentation de l’ensemble des points de contact possibles

Connaissant les positions du centre de bille B dans le repère global R0 (eq. 4.13)

(0)

0cossin

ll

ψψ

⎡ ⎤⎢= ⎢⎢ ⎥⎣ ⎦

OB ⎥⎥ (4.30)

Nous pouvons calculer les coordonnées de B dans le repère lié à la piste de la noix Rnpi.

( ) ( ) ( )npi npi 0npi0= + A2 2 2O B O O O B (4.31)

Maintenant que nous connaissons l’ensemble des points de contact possibles et la

position du centre de la bille dans le même repère, nous pouvons déterminer la position du point de contact, en minimisant la distance entre le cercle des contacts possibles et le centre de la bille. Pour ce faire, nous minimisons le lagrangien avec les contraintes (4.28) et (4.29) et donc l’introduction des deux multiplicateurs de Lagrange λ1 et λ2.

( ) ( ) (( )( ) ( )

2 2

2 2 21 2

B P B P B P )2

P c P P

L x x y y z z

z H x y Rλ λ

= − + − + −

+ + + + − c

(4.32)

où xB, yB, zB sont les coordonnées du centre de la bille B dans le repère Rnpi et xP, yP, zP sont les coordonnées du point de contact correspondant. La première partie du lagrangien

Page - 101/142 -


représente la distance à minimiser et la deuxième partie les 2 contraintes égalités pour que le point de contact appartienne au cercle définissant l’ensemble des points de contact possibles.

Avec cette approche par optimisation nous retrouvons les mêmes résultats qu’avec l’approche précédente, ce qui nous permet de valider ces deux méthodes.

2 Modélisation du joint à billes 2.1 Construction du modèle

2.1.1 Définition des liaisons inter composants Si la cinématique peut comme dans la partie précédente être décrite directement à

partir de considérations géométriques, il en est autrement pour ce qui est de la statique et de la dynamique du joint. En effet, le joint à billes est un système hyperstatique, il faut donc, pour le modéliser, introduire des déformations élastiques ainsi que des jeux de fonctionnement.

Afin de pouvoir introduire ces paramètres mécaniques ainsi que les effets du frottement, toutes les connections inter composants sont modélisées par des contacts. La figure 4.10 représente le graphique des liaisons pour une bille. Dans le modèle complet, on dénombre 24 contacts possibles de type sphère dans tore (entre les billes et les pistes), 24 contacts possibles de type sphère sur plan (entre les billes et les fenêtres de la cage) et deux contacts possibles de type sphère dans sphère (contacts cage bol et cage noix). Soit un total de 50 contacts possibles à gérer par le modèle. Ces 50 liaisons sont assurées par autant d’efforts de type Gforce pilotés par les sous-programmes adéquats présentés dans le chapitre 2.

Bâti

Noix Bol

Cage

Bille n°1

2 contacts sphère dans tore extérieur

2 contacts sphère dans tore intérieur

4 contacts sphère sur plan

1 contact sphère dans

sphère

1 contact sphère dans

sphère

Liaison rotule

Liaison pivot

δ

Centre joint O

Bol

Noix + élément de liaison

Bâti

Assemblé par les actions de contact

Figure 4.10 schéma des liaisons introduites dans le modèle du joint à billes

Page - 102/142 -


2.1.2 Dimensions du modèle Les dimensions nominales (sans jeux) du joint à billes modélisé sont répertoriées

dans le tableau 4.1.

Dimensions Géométries correspondantes Bol

Rayon de la sphère interne du bol rsb = 30.99 mm

Rayon des trajectoires des pistes du bol rTb = 27.76 mm

Offset e = 3.915 mm

Rayon des arcs du profil des pistes rp = 9 mm

Largeur du bol lb = 50 mm

Distance entre O1 et la face du bol fb = 12.89 mm

Diamètre théorique de bille Øbt = 16.669 mm

O O2

rsb

rTb

e

fblb

C3 C4

P4 P3

B rp rp

Profil piste bol

Øbt

Cage

Rayon de la sphère externe de la cage rsce = 30.99 mm

Rayon de la sphère intérne de la cage rsci = 26.86 mm

Largeur des fenêtres de la cage lfc = 16.669 mm

Longueur des fenêtres de la cage Lfc = 23.2 mm

Largeur de la cage lc = 30.2 mm

O

rsci rsce

lc

lfc

Lfc Vue de côté

lc/2

Noix Rayon de la sphère externe de la noix

rsn = 26.86 mm Rayon des trajectoires des pistes de la

noix rTb = 27.76 mm

Offset e = 3.915 mm

Rayon des arcs du profil des pistes rp = 9 mm

Largeur de la noix ln = 26.30 mm

Distance entre O2 et la face de la noix fn = 9.235 mm

Diamètre théorique de la bille Øbt = 16.669 mm

OO1

rTn rsn

e

ln

Profil piste noix

C2 C1

P1 P2

Brp rp

fn

Øbt

Bille

Diamètre de la bille Øb = 16.669 mm

Øb

Tableau 4.1 Dimensions du joint à billes modélisé

Page - 103/142 -


2.1.3 Définition des jeux introduits dans le modèle

Noix

∆sb ∆sn

rsb

O

Cage Bol

rsn

rsce rsci Noix

O

Bol rT

O1 O2

rTn rT

rTb

∆bc

∆bc

lfc Fenêtre de cage

Bille

rb B

rbt

Bille

Piste

∆bp

∆rt 2

∆rt 2

Figure 4.10 Représentation des jeux et interférence pouvant être introduits dans le modèle

Dans ce modèle, du fait que toutes les liaisons inter composants sont assurées par des contacts, nous pouvons introduire des jeux de fonctionnement. Les différents jeux pouvant être introduis sont présentés figure 4.11.

Les jeux sphériques de cage/noix ∆sn et cage/bol ∆sb correspondent aux différences

des rayons des sphères en contact.

sn sci sn

sb sb sc

r rr r

∆∆

= −= − e

(4.33)

avec rsci le rayon de la sphère interne de la cage, rsce le rayon de la sphère externe de cage, rsn le rayon de sphère noix et rsb le rayon de sphère bol.

Le jeu dans les rayons des trajectoires des pistes ∆rt correspond à la différence entre les rayons, sur le bol et sur la noix, des trajectoires des pistes.

rt Tb Tnr r∆ = − (4.34)

Le jeu entre bille et piste ∆bp correspond à la différence entre le rayon théorique de la bille, qui permet la construction du profil des pistes en arc gothique, et le rayon réel de la bille.

bp bt br r∆ = − (4.35) avec rbt le rayon théorique de la bille et rb le rayon réel de la bille.

L’interférence bille/cage est la différence entre le rayon de bille et la demi largeur de la fenêtre de cage.

Page - 104/142 -


2fc

bc b

lr∆ = − (4.36)

Cette interférence est négative, car dans la plupart des cas, les billes sont

précontraintes dans les fenêtres de la cage.

2.1.4 Définition des paramètres aux contacts Toutes les liaisons sont assurées par des contacts. Comme nous l’avons présenté dans

le chapitre 2, les raideurs aux contacts sont identifiées à l’aide de la théorie de Hertz. Pour calculer ces raideurs, nous devons connaître, au niveau du point de contact, les rayons des courbures principales deux solides en contact.

Contacts billes/fenêtres de cage : pour ce type de contact (sphère/plan) les rayons des courbures principales sont évidents et présentés dans le tableau 4.2. Soit µbc le coefficient de frottement associé à ces contacts.

Rayons des billes Rayons des fenêtres rax = rb rbx = ∞ ray = rb rby = ∞

Tableau 4.2 Rayons des courbures principales pour le calcul des raideurs de contact bille/fenêtre de cage

Contacts cage/bol et cage/noix : pour ce type de contact (sphère/sphère) les rayons

des courbures principales aux contacts sont également évidents et présentés tableau 4.3. Pour ces contacts, cage/bol ou cage/noix, il faut obligatoirement introduire un minimum de jeux. En effet, si les rayons de sphère interne et externe sont égaux, le contact devient conforme et la méthode de calcul employée n’est plus applicable. Soit µce et µci les coefficients de frottement associés respectivement aux contacts cage/bol et cage/noix.

Rayons sphère extérieure cage Rayons sphère bol Rayons sphère cage

intérieure Rayons sphère noix

rax = rsce rbx = -rb rax = -rsci rbx = rnray = rsce rby = -rb ray = -rsci rby = rn

Tableau 4.3 Rayons des courbures principales pour le calcul des raideurs de contact cage/bol et cage noix

Contacts billes/bol et billes/noix : La surface définie par le profil en arc gothique des pistes à trajectoire circulaire est un ensemble de deux parties de tore. En effet, l’arc gothique est bien définit par deux parties d’arc de cercle dont les centres sont décalés. Le traitement du contact nécessite de connaître les deux rayons des courbures principales des deux solides en contact (bille/bol ou bille/noix). Pour le contact bille/bol, le premier rayon de courbure est le rayon de l’arc constituant le profil de la piste ; le deuxième rayon est celui d’une sphère venant tangenter la surface torique extérieure. Pour le contact bille/noix, le premier rayon est identique (dans le cas où les profils des pistes bol et pistes noix sont identiques) et le deuxième est celui d’une sphère venant tangenter la surface torique intérieure. Ceci est illustré figure 4.11 et les valeurs des rayons de courbure sont données dans le tableau 4.4. Soit µbb et µbn les coefficients de frottement associés respectivement aux contacts bille/bol et bille/noix

Page - 105/142 -


Rayons des billes Rayons pistes noix Rayons pistes bol

rax = rb rbx = -rp rbx = -rpray = rb rby = rci = (rT/cosα)-rb rby = -rce = -((rT/cosα)+rb)

Tableau 4.4 Rayons des courbures principales pour le calcul des raideurs de contact bille/bol et bille/noix

Profil extérieur (bol)

Profil intérieur (noix)

rce

rci

α

rT

rT

α

rp

rb

rb

rp

Courbe d’intersection

entre tore et plan incliné à 45°

Courbe d’intersection

entre le tore et le plan incliné d’un

angle α

Centre des sphères

Tore

Plan incliné d’un angle α

Sphère tangente extérieure

Sphère tangente intérieure

Figure 4.11 Intersection entre un tore et un plan incliné d’un angle α

2.2 Sens de la transmission de puissance

Le comportement du joint fixe à billes est, comme celui du joint tripode coulissant, influencé par le sens de la transmission de puissance. Nous représentons figure 4.12 les différents cas de transmission de puissance pouvant être simulés dans notre modèle.

Noix menante marche avant =

Charge moteur marche avant

Bol menant marche avant =

Frein moteur marche avant

Bol menant marche arrière =

Frein moteur marche arrière

Noix menante marche arrière =

Charge moteur marche arrière

δ

ω+

ω+ C-

C+

P-

P+

δ

ω+

ω+C+

C-

P+

P-

δ

ω-

ω- C+

C-

P-

P+

δ

ω-

ω-C-

C+

P+

P-

Figure 4.12 Différents cas de transmission de puissance par le joint fixe à billes

Page - 106/142 -


3 Analyses des efforts internes 3.1 Comparaison avec un calcul statique

Avant l’utilisation du modèle, nous effectuons un comparatif avec un calcul statique des efforts appliqués sur la bille. En effet, du fait de la symétrie des conditions de contact apparaissant pour un angle de brisure nul, il nous est possible d’estimer par une analyse statique les efforts agissants sur la bille. La figure 4.13 présente les données utilisées dans le calcul statique. Pour ce calcul, nous posons

( )0nx

ny

nz

FFF

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

nF ( )0bx

by

bz

FFF

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

bF ( )0 00

cxF⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

cF (4.37)

La composante qui transmet le couple est Fnz. Pour un angle de brisure nul, dans le

cas d’une géométrie parfaite, le couple est uniformément transmis par les 6 billes. Nous pouvons donc calculer

6nzbis

CFr

= 6 tanny

bis

CFr α

= et tan6 tannx

bis

CFr

εα

= (4.38)

Du fait de la présence des offsets e ,une composante Fnx suivant l’axe i0 est générée.

La présence de la cage permet ici de retenir les billes qui seraient, sans elle, expulsées du joint.

En écrivant l’équilibre des efforts sur la bille, suivant i0, j0 et k0, nous pouvons en déduire

bx nxF F= et by nyF F= − bz nzF F= − 2cx nxF F= (4.39)

2 2b n bx by bzF F F F F= = + + 2

cx

(4.40)

cF F= (4.41)

En comparant les résultats obtenus par ce calcul et ceux obtenus avec notre modèle numérique complet, nous observons un écart de l’ordre de 4%. Cet écart peut être considéré comme acceptable du fait que dans notre approche statique, nous réduisons la bille en son centre B. Dans le calcul dynamique, réalisé à l’aide de notre modèle, le rayon de la bille est bien évidemment pris en compte.

Dans la suite de notre étude, nous prendrons comme référence la norme de l’effort de contact bille/piste calculée par l’équation (4.40). Nous nommerons F0° cet effort calculé pour un angle de brisure nul (δ=0°).

Page - 107/142 -


O O1 O2 Côté bol

Côté noix

ε

e e

rT

B

α

α

Vue de coté Vue de face côté noix dans le plan bissecteur

rT rbis

bFε

0i0j

0k0j

0k0i

C

cF

nF

cFbF

nF

Figure 4.13 Efforts agissants sur la bille pour un angle de brisure nul (δ=0°)

3.2 Notation nécessaire à l’étude

Le repérage utilisé dans cette étude est présenté figure 4.14. Les normes des efforts de contact associées seront notées Fi,j pour l’effort appliqué à la bille i au point de contact j. La position angulaire θ du bol est définie à partir de la position initiale également présentée figure 4.14.

Bille 1

Bille 6

Bille 5

Bille 4

Bille 3

Bille 2

Noix

Cage

Bol

P5

P6

P8

P7

Sens positif de rotation


P8 P7

P3 P4

P1 P2

Vue face bol Position initiale vue face bol Figure 4.14 Repérage des différents points de contact sur la bille

3.3 Etudes de l’influence de différents paramètres sur les efforts internes

3.3.1 Influence de l’angle de brisure δ Comme nous l’avons montré précédemment, sur la figure 4.6, lorsque le joint à billes

travaille sous angle de brisure non nul, les trajectoires des pistes du bol et celles des pistes de la noix ne restent pas dans un même plan. Les plans contenant les pistes bols et ceux contenant les pistes noix correspondantes s’inclinent, les uns par rapport aux autres, d’un angle β variant entre +δ et -δ. Cette inclinaison relative des plans contenant les trajectoires des pistes, fait que durant la rotation du joint, les billes placées à l’intersection des trajectoires des pistes, se retrouvent en position plus ou moins favorable pour transmettre la puissance. En fait, comme nous le montrons figure 4.15, l’angle de transmission des efforts

Page - 108/142 -


défini comme l’angle entre les points de contact par rapport au centre B de la bille (P1BP3 ou P2BP4), varie également durant la rotation. Cet angle peut être défini à partir des équations (4.23), (4.24), et (4.30) comme

[ ]( ) ( )3 1 2 1 3det , , arccossignγ = p p p -p p⋅ (4.42) avec pi le vecteur directeur normé du point de contact Pi défini comme

ii

iBP=

BPp . (4.43)

A partir des équations (4.23) et (4.24), nous pouvons également calculer les distances

entre les points de contact P1 et P3, points de contact chargés lors de la transmission de puissance en marche avant, noix menante. Les résultats du calcul de cette distance sont également présentés figure 4.15.

15.6

15.8

16

16.2

16.4

16.6

16.8

0 60 120 180 240 300 360

δ=0° δ=5° δ=10°δ=15° δ=20° δ=25°

δ=30° δ=35° δ=40°

2 rb

-20

-10

0

10

20

30

40

50

0 60 120 180 240 300 360

δ=0° δ=5° δ=10°

δ=15° δ=20° δ=25°

δ=30° δ=35° δ=40°

Ang

le d

e tra

nsm

issi

on d

es e

fforts

γ (°

)

Angle de rotation du joint θ (°)

Angle de rotation du joint θ (°)

Dis

tanc

e en

tre p

oint

s de

con

tact

P1P

3 (m

m)

Figure 4.15 Variation de l’angle γ de transmission des efforts ainsi que de la distance entre les points de contacts par lesquels transitent ces efforts durant un tour du joint

Plus la valeur de l’angle de transmission de puissance est faible et plus la bille est en

position favorable pour la transmission des efforts. Les positions où l’angle γ est nul sont les positions optimums, elles correspondent aux positions dans lesquelles, les points de contact par lesquels les efforts sont transmis se retrouvent dans le plan bissecteur et sont diamétralement opposés.

Page - 109/142 -


Dans cette étude de l’influence de l’angle de brisure sur les efforts de contact, nous choisissons d’utiliser un modèle de joint parfait, sans frottement ni jeux. Ces paramètres (jeux et frottements) seront à leur tour traités dans la suite de notre étude.

F1,1=F1,3

F1,2=F1,4

Rat

io d

es e

fforts

de

cont

act F

1,1/F

0°

0 90 180 270 360 0.0

1.0

2.0

3.0

Angle de rotation du bol θ (°) 0 90 180 270

0.0

Angle de rotation du bol θ (°)

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 90 180 270 Angle de rotation du bol θ (°)

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 90 180 270 360 Angle de rotation du bol θ (°)

Rat

io d

es e

fforts

de

cont

act F

1,2/F

0°

0.0

1.0

2.0

3.0 R

atio

des

effo

rts d

e co

ntac

t F1,

5/F0°

R

atio

des

effo

rts d

e co

ntac

t F1,

6/F0°

Côt

é ch

argé

C

ôté

non

char

gé

360

360

Contact bille/pistes Contact bille/cage

Figure 4.16 Charges appliquées aux différents points de contact de la bille en fonction de

l’angle de brisure δ

Les résultats donnés par notre modèle et présentés figure 4.16 sont issus de calculs dont les conditions d’analyse sont données tableau 4.5.

Couple transmis 100 Nm Vitesse de rotation 100 tr/min

F0° 862 N Transmission de puissance Marche avant noix menante

Tableau 4.5 Conditions d’analyse

Lors de la rotation du joint sous angle, la charge n’est plus uniformément répartie sur les 6 billes. Plus nous augmentons l’angle de brisure δ du joint et moins cette répartition est uniforme. Au delà de 15° de brisure, il apparaît une zone, autour de la position angulaire θ=270°, où les billes ne sont plus chargées et donc ne participent plus à la transmission de la puissance. Les positions angulaires où les billes sont le plus chargées varient en fonction de l’angle de brisure sous lequel travaille le joint. Pour un angle de brisure supérieur à 30°, la charge encaissée par la bille dépasse 2.5× la charge de référence F0° (charge calculée à partir du calcul statique). Ces positions de charge maximum correspondent à celles où l’angle de transmission des efforts γ, calculé précédemment, est nul. Cela confirme bien le

Page - 110/142 -


fait que la bille est dans une configuration optimum pour transmettre la puissance lorsque ses points de contact sont diamétralement opposés et dans le plan bissecteur. En effet, dans ces positions, la charge appliquée à la cage est faible, les efforts de contact sont ici dans le plan bissecteur et donc essentiellement consacrés à la transmission du couple.

Il est à remarquer que même sous angle de brisure, la cage est essentiellement sollicitée au niveau du point de contact P5. La cage retient la bille, elle serait sinon expulsée par les composantes des efforts billes pistes qui ne se trouvent pas uniquement dans le plan bissecteur. En fait, si nous revenons aux résultats présentés figure 4.8, les points de contact chargés, se trouvent la majeure partie du temps, du côté (par rapport au plan bissecteur) opposé au point de contact P5.

3.3.2 Influence des jeux Nous proposons ici l’étude de l’influence de certains jeux présentés précédemment.

Pour cette étude, nous reprenons les mêmes conditions d’analyse que celles utilisées précédemment (tableau 4.5). L’angle de brisure δ=10° est choisi pour cette étude et les frottements ne sont pas pris en compte. Influence des jeux sphériques ∆sn et ∆sb

Le tableau 4.6 présente les valeurs des jeux sphériques introduits dans notre modèle, tous les autres jeux internes sont choisis nuls.

Désignation Valeurs des jeux ∆sn=∆sb (mm) J0 0.000 J1 0.005 J2 0.010 J3 0.015 J4 0.020

Tableau 4.6 Jeux sphériques introduits dans le modèle (∆sn :jeu sphérique noix et ∆sb jeu sphérique bol)

Rat

io d

es e

fforts

de

cont

act s

ur le

s pi

stes

F/F

0°

0 90 270 360 0.0

1.0

2.0

3.0

Angle de rotation du bol θ (°) 0 90 180 270 36

0.0


0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Rat

io d

es e

fforts

de

cont

act F

1,5/F

0°

0


J0 J1 J2 J3 J4

J0 J1 J2 J3 J4

F1,1= F1,3 F1,2= F1,4

180

Figure 4.17 Influence des jeux sphériques sur les efforts internes du joint pour δ=10°

Nous constatons figure 4.17 que les jeux sphériques ont une forte influence sur les

efforts internes du joint. En effet, plus on augmente la valeur des jeux sphériques et moins le chargement des billes est uniforme durant la rotation du joint.

Page - 111/142 -


Influence des jeux dans les rayons des trajectoires ∆rt

Le tableau 4.7 présente les jeux introduits dans le modèle au niveau des rayons des trajectoires et tous les autres jeux internes sont choisis nuls.

Désignation Valeurs du jeu ∆rt (mm) J0 0.00 J1 0.01 J2 0.02 J3 0.03 J4 0.04

Tableau 4.7 Jeux introduits dans le modèle au niveau des rayons des trajectoires des pistes ∆rt

Rat

io d

es e

fforts

de

cont

act s

ur le

s pi

stes

F/F

0°

0 90 270 360 0.0

1.0

2.0

3.0


0.0


0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Rat

io d

es e

fforts

de

cont

act F

1,5/F

0°

360


J0 J1 J2 J3 J4

J0 J1 J2 J3 J4

F1,1= F1,3 F1,2= F1,4

180

Figure 4.18 Influence des jeux dans les rayons des trajectoires des pistes sur les efforts

internes du joint pour δ=10°

Ces jeux ont une influence moindre comparativement aux jeux sphériques précédemment présentés. Cependant, il est à remarquer que plus on augmente leurs valeurs et plus on diminue les efforts internes de contact. En fait, l’augmentation de ces jeux augmente le rayon de transmission du couple et donc diminue les efforts de contact.

Couplés aux jeux sphériques, ces jeux dans les rayons des trajectoires de piste amplifient les phénomènes de variation de charge. Influence des jeux billes/pistes ∆bp et des interférences billes/cage ∆bc

Pour cette étude tous les autres jeux internes sont choisis nuls.

Les jeux billes/pistes et les interférences billes/cage n’ont que très peu d’influence sur les efforts internes du joint. L’interférence bille/cage ajoute uniquement une charge due à la précontrainte de la bille dans sa cage au niveau des efforts de contact Fi,5 et Fi,6. Cette précontrainte qui rigidifie la liaison bille/cage ajoute une constante aux efforts de contact Fi,5 et Fi,6 mais n’influence pas les variations de ces derniers.

Page - 112/142 -


3.3.3 Influence des frottements Pour cette étude nous reprenons les mêmes conditions d’analyse que celles utilisées

précédemment (tableau 4.5) et les jeux internes introduits dans le modèle sont donnés dans le tableau 4.8. Les frottements que nous introduisons dans cette étude sont uniformes (µbb= µbn = µce = µci = µbc = µ) et présentés dans le tableau 4.9.

Jeux sphériques cage/noix ∆sn et cage/bol ∆sb : 0.05 mm

Jeux dans les rayons des trajectoires des pistes ∆rt : 0.03 mm Interférence billes/fenêtres de cage ∆bc : -0.01 mm

Le jeu entre billes et pistes ∆bp 0.00 mm Tableau 4.8 Jeux introduits dans le modèle au niveau des rayons de trajectoire

Désignation Valeurs du frottement

µ0 0.000 µ1 0.025 µ2 0.050 µ3 0.075 µ4 0.100

Tableau 4.9 Frottements introduits dans le modèle

Rat

io d

es e

fforts

de

cont

act s

ur le

s pi

stes

F/F

0°

0 90 270 360 0.0

1.0

2.0

3.0


0.0


0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Rat

io d

es e

fforts

de

cont

act (

F 1,5

- F 1

,6)/F

0°

360


µ0µ1µ2µ3µ4

F1,1= F1,3 F1,2= F1,4 µ0 µ1 µ2 µ3 µ4

180

Figure 4.19 Influence des frottements sur les efforts internes du joint pour δ=10°

Nous constatons que l’introduction des frottements provoquent un décalage de phase

dans les positions où les billes sont le plus chargées. Ce décalage est important et atteint une valeur de π/2 pour un frottement µ=0.1.

Tous ces comportements des efforts internes en fonction de l’angle, des jeux et des frottements, sont en accord avec ceux présentés par Hayama [66, 67, 68] et par Kimata [71], dans leurs études sur les efforts internes des joints à billes.

Nous présentons rapidement en annexe a les possibilités du modèle dans la simulation de défauts géométriques, et présentons plus particulièrement l’influence qu’a, sur les efforts internes, l’absence d’une bille.

Page - 113/142 -


4 Calcul du rendement 4.1 Présentation de l’étude

4.1.1 Présentation générale Nous proposons ici d’étudier l’influence de différents paramètres, tels que les jeux et

les frottements, sur le rendement du joint fixe à billes. Le modèle que nous avons développé nous permet en effet d’effectuer cette étude. Ce calcul du rendement est appréciable puisque les pertes de puissance dans le joint à billes (tout comme dans le joint tripode) sont très faibles et il est donc très compliqué de les mesurer avec la précision nécessaire. Biermann [72] et Kimata [73] proposent d’ailleurs deux méthodes pour estimer à partir de mesures, thermiques pour le premier, ou du moment complémentaire pour le second, les pertes de puissance engendrées par les frottements internes.

L’étude du rendement est schématisée sur la figure 4.20. Pour cette étude, comme pour celle proposée dans le chapitre 3 sur le rendement du joint tripode coulissant, nous considérons la puissance mécanique moyenne transmise par tour de joint.

Comme,

ss

e e

PPP P

< (4.44)

avec eteP sP les puissances moyennes sur un tour, en entrée et en sortie du joint.

Dans ce cas, puisqu’il y a conservation la vitesse moyenne, nous considérons uniquement les pertes de couple.

Ici, le rendement s’exprime donc ici de la manière suivante

s

e

CC

η = (4.45)

Ce , ωe Cs , ωs


entrée

Perte de puissance due aux frottements


sortie

Figure 4.20 Schéma de principe du rendement

Page - 114/142 -


4.1.2 Conditions d’analyse et valeurs de référence des paramètres entrés dans le modèle

Les conditions d’analyse utilisées pour cette étude sont présentées dans le tableau 4.10.

Couple transmis 300 Nm Vitesse de rotation 100 tr/min

Transmission de puissance Marche avant noix menante Tableau 4.10 Conditions d’analyse pour l’étude du rendement

Les valeurs de référence des paramètres introduits dans notre modèle pour cette

étude sont présentées dans le tableau 4.11, elles désignent l’état de référence de notre modèle pour cette étude sur les influences des différents paramètres.

Désignation du paramètre Valeurs de référence Angle de brisure δ 10°

Jeux sphériques cage/noix ∆sn et cage/bol ∆sb 0.03 mm Jeux dans les rayons des trajectoires des pistes ∆rt 0.03 mm

Interférences billes/fenêtres de cage ∆bc -0.03 mm Jeux entre billes et pistes ∆bp 0.00 mm

Frottements billes/bol µbb et billes/noix µbn 0.05 Frottements cage/bol µce et cage/noix µci 0.05

Frottements billes/cage µbc 0.05 Tableau 4.11 Conditions d’analyse pour l’étude du rendement

4.2 Influences des paramètres du modèle sur le rendement

4.2.1 Influence de l’angle de brisure δ Comme pour le joint tripode coulissant, le rendement est fortement influencé par

l’angle de brisure δ. Ce comportement, présenté figure 4.21, n’est pas étonnant, puisque plus le joint travaille sous angle, et plus les composants internes glissent les uns sur les autres, augmentant ainsi les pertes par frottement.


Ren

dem

ent η

du

join

t fix

e à

bille

s (%

)

0 2 4 6 8 10 12 14 98.5

99.5

99.0

100.0

Référence

Figure 4.21 Rendement calculé par notre modèle en fonction de l’angle de brisure

Page - 115/142 -


4.2.2 Influence des frottements Le frottement est la principale, voire l’unique cause des pertes de puissance dans

notre modèle. En effet, les dissipations dues aux amortissements introduits dans nos modèles de contact au niveau des déformations locales, sont négligeables. Il n’est donc pas étonnant de constater figure 4.22 que le rendement calculé par notre modèle a un comportement linéaire en fonction du coefficient global de frottement ( µbb = µbn = µce = µci = µbc = µ ). Si on observe indépendamment l’influence de chaque frottement, en les faisant varier un à un, on constate figure 4.23, que ce sont les frottements billes/bol µbb et billes/noix µbn qui sont les plus influent. Là encore, rien d’étonnant, puisque ce sont à ces contacts, que les efforts ainsi que les déplacements sont les plus importants.

Coefficient de frottement global

Ren

dem

ent η

du

join

t fix

e à

bille

s (%

)

0 0.025 0.050 0.075 0.10098.5

99.5

99.0

100.0

Référence

Figure 4.22 Rendement calculé par notre modèle en fonction du frottement global µ avec

µbb =µbn=µce=µci=µbc=µ

Coefficient de frottement

Ren

dem

ent η

du

join

t fix

e à

bille

s (%

)

0 0.025 0.050 0.07598.5

99.5

99.0

100.0

Référence

µbb & µbn

µce & µci

µbc

Figure 4.23 Rendement calculé par notre modèle en fonction de chaque frottement

µbb=µbn , µce=µci et µbc

4.2.3 Influence des jeux Contrairement aux frottements, les jeux internes n’agissent pas directement sur les

pertes de puissance. En fait, les jeux modifient les efforts et déplacements aux contacts influençant ainsi les actions des frottements.

Comme nous le constatons figure 4.24, les jeux au niveau des rayons de trajectoire des pistes n’ont que très peu d’impact sur le rendement qui se trouve être légèrement amélioré en fonction de l’accroissement de ces jeux.

Les résultats présentés figure 4.25 montrent une évolution inverse du rendement en fonction des jeux sphériques. En effet, le rendement est légèrement dégradé par une augmentation des jeux sphériques cage/bol et cage/noix.

Page - 116/142 -


Jeux dans les rayons des trajectoires des pistes (mm)

Ren

dem

ent η

du

join

t fix

e à

bille

s (%

) 0.01 0.02 0.04 0.06

98.5

99.5

99.0

100.0

0.03 0.05

Référence

Figure 4.24 Rendement calculé par notre modèle en fonction des jeux au niveau des

rayons des trajectoires des pistes ∆rt

Jeux sphériques cage/bol et cage/noix (mm)

Ren

dem

ent η

du

join

t fix

e à

bille

s (%

)

0.01 0.02 0.0598.5

99.5

99.0

100.0

0.03 0.04

Référence

Figure 4.25 Rendement calculé par notre modèle en fonction des jeux sphérique cage/bol

∆sb et cage/noix ∆sn

Interférence billes/cage (mm)

Ren

dem

ent η

du

join

t fix

e à

bille

s (%

)

-0.05 -0.03 0.0298.5

99.5

99.0

100.0

0.00 0.01 -0.01-0.04 -0.02

Référence

Figure 4.26 Rendement calculé par notre modèle en fonction des interférences ou jeux

billes/fenêtres de cage ∆bc

La précontrainte de la bille dans la fenêtre de cage, qui permet un bon maintien du centre de la bille dans le plan bissecteur a, quant à elle, une influence non négligeable sur le rendement du joint à billes. En effet, comme nous le constatons figure 4.26, plus la bille est comprimée dans sa fenêtre de cage et plus les efforts aux contacts billes/cage sont élevés. De plus, du fait de cette interférence les billes frottent des deux côtés de la cage, augmentant ainsi les pertes par frottement.

Page - 117/142 -


5 Le moment complémentaire 5.1 Présentation

la principale conséquence (indésirable) de la transmission de puissance entre deux axes inclinés est l’apparition d’un moment complémentaire.

Lors de la transmission d’un couple par un joint à billes, le moment total Mbtot généré par les billes sur le bol, est un moment orthogonal au plan bissecteur. En fait, dans cette présentation du moment complémentaire tirée de [74], Matschinsky fait l’hypothèse que les efforts des billes sur le bol, qui transmettent le couple, restent dans le plan bissecteur. Afin d’équilibrer ce moment total il faut appliquer au bol deux moments, un moment résistant au moment transmis Mbtrans sur l’axe du bol et un moment complémentaire Mbcomp orthogonal à cet axe (voir figure 4.27). La valeur de ce moment complémentaire est donc directement liée au couple transmis et à l’angle de brisure.

bcomp btrans tan2

M M δ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(4.46)

Cette expression du moment complémentaire est en accord avec celle donnée par

Orain dans sa thèse [33] pour un joint homocinétique quelconque. En effet, le calcul par la loi de conduite de Orain donne la même expression du moment complémentaire.

boli

bolj

bolk

Mbtot

Mbcomp

Mbtrans

Mbtot : Moment total appliqué sur le bol Mbcomp : Moment complémentaire appliqué sur

le bol Mbtrans : Moment transmis (sur bol) Mntrans : Moment transmis (sur noix)

Mntrans

δ/2 O

Rbol : Repère fixe centé sur O avec ibol suivant l’axe sortant du bol et kbol perpendiculaire au plan du joint

Figure 4.27 Illustration du moment complémentaire

Ce moment peut être considéré comme un moment de braquage de roue puisqu’il

tend à provoquer une rotation du bol autour de l’axe jbol. Afin de ne pas créer de déséquilibre au niveau de ces moments de braquage générés au niveau des roues droite et gauche, un arbre relais maintenu par un palier relais est ajouté afin de palier le décentrage de la boîte de vitesse. En effet, comme présenté figure 4.28, sur de nombreux véhicules à traction, la position de la boite de vitesses et du différentiel n’est pas centrée par rapport au véhicule. L’arbre relais permet donc d’équilibrer les angles de brisure à droite et à gauche, ce qui a pour conséquence d’équilibrer les moments de braquage générés qui donc s’annulent.

Page - 118/142 -


Pour des considérations de masse et de coût (palier relais = roulement à billes), la tendance industrielle actuelle va vers la suppression de l’arbre et du palier relais. Cette suppression génère un déséquilibre au niveau des angles de brisure sous lesquels travaillent les joints à billes situés à droite et à gauche du véhicule.

Sur les petits véhicules, légers, les couples transmis ne sont pas très importants et le déséquilibre angulaire faible se situe entre 1° et 2°. Dans ces conditions, les déséquilibres des moments de braquage sont faibles et ne sont donc pas gênants. Par contre, sur les véhicules plus volumineux et donc plus lourds, les couples transmis par chaque transmission lors d’une forte accélération en premier rapport de boîte peuvent dépasser les 1600 Nm. Dans ce cas, en effectuant une application numérique pour un cas défavorable où le déséquilibre angulaire est de 2° (δg=4° et δd=2°) et le couple transmis est de 1600 Nm, nous arrivons à un déséquilibre au niveau des moments de braquage de l’ordre de 30 Nm. Ce déséquilibre n’est plus négligeable et peut être responsable d’une tendance au braquage, des roues du véhicule, lors d’une forte accélération en premier rapport de boîte.

δ δδ

δ

δ : Angle d’installation sur véhicule Arbre relais

Palier relais

δd

δd δg

δg

δg : Angle d’installation gauche sur véhicule δd : Angle d’installation droit sur véhicule

Configuration avec arbre relais

Configuration sans arbre relais

Figure 4.28 Illustration du moment complémentaire

5.2 Résultats de notre modèle

Pour cette étude, nous introduisons à chaque contact des jeux de fonctionnement basés sur les moyennes des jeux réels dus aux tolérances dimensionnelles de production. Ces jeux ainsi que les conditions de vitesse et de couple sont répertoriés dans le tableau 4.12. Les frottements que nous introduirons dans cette étude seront uniformes, µbc=µce=µci=µbb=µbn=µ.

Dans notre modèle numérique, du fait de la prise en compte des géométries exactes aux contacts et de l’introduction des frottements, les efforts qui transmettent le couple ne se trouvent pas uniquement dans le plan bissecteur. De ce fait, le couple total généré n’est pas fixe dans le plan du joint et varie principalement en R6 dû à la transmission du couple par 6 billes.

Page - 119/142 -


Couple transmis : 300 Nm Vitesse rotation : 100 tr/min

Jeux sphériques cage/noix ∆sn et cage/bol ∆sb : 0.02 mm Jeux dans les rayons des trajectoires des pistes ∆rt : 0.01 mm

Interférence billes/fenêtres de cage ∆bc : -0.01 mm Le jeu entre billes et pistes ∆bp 0 mm

Tableau 4.12 Conditions d’analyse introduites dans notre modèle

Dans cette étude, nous utiliserons la notation suivante pour les projections du moment total dans le repère fixe lié à l’axe du bol (voir figure 4.27).

x btot bolM i= ⋅M (4.47)

y btot bolM j= ⋅M (4.48)

z btot bolM k= ⋅M (4.49)

La composante Mx représente le couple transmis par le joint à billes. Les composantes My et Mz représentent quant à elles le moment complémentaire. Ces trois composantes ont un comportement en R6

La figure 4.29 présente les rapports des valeurs moyennes (sur un tour du joint) des composantes My et Mz sur la valeur du moment transmis Mntrans (300Nm si menant par la noix et -300Nm si menant par le bol).

Nous constatons qu’avec l’introduction des frottements, le fait d’entraîner la rotation par le bol ou par la noix a une forte influence sur le comportement des valeurs moyennes des composantes My et Mz. Plus la valeur des frottements inclus dans le modèle est importante et plus la valeur du My calculée par notre modèle est éloignée de celle donnée par les calculs simplifiés de l’équation (4.46). Le signe de ce décalage est guidé par le fait que le couple d’entraînement est appliqué sur le bol ou bien sur la noix.

Les résultats de notre modèle sont en accord avec les valeurs mesurées et calculées par Kimata [71, 73].

Comme expliqué précédemment, du fait de la géométrie et des frottements, le moment total appliqué au bol Mbtot n’est pas constant et varie 6 fois par tour. La figure 4.30 qui contient les projections de Mbtot suivant les différents axes, présente ses variations dans les cas avec et sans frottements. Durant la rotation, l’amplitude du moment total varie ainsi que son orientation. Avec la prise en compte des frottements, le comportement de ce moment total est différent et les niveaux des variations sont plus importants.

L’ordre 6 qui est l’ordre prépondérant de ces variations fait l’objet d’un intérêt particulier de la part des constructeurs automobiles. En effet, il est, notamment pour la composante Mz comme le présente Baron [28, 29], une des causes d’un phénomène de battement avec le pilonnage moteur en F2 (pour un moteur 4 cylindres 4 temps). Il est donc important d’extraire la composante R6 (voir figure 4.31) des composantes My et Mz du moment complémentaire mesuré ou calculé.

La figure 4.32 présente les variations de ces amplitudes d’ordre 6 extraites des résultats de nos calculs en fonction de l’angle de brisure et du coefficient de frottement. Les angles choisis ici couvrent l’étendue des angles d’installation que l’on retrouve sur la majorité des véhicules.

Le comportement global que nous constatons est que les niveaux de R6 des composantes My et Mz augmentent avec le niveau de frottement. La composante My a tendance à augmenter avec l’angle de brisure alors que la composante Mz est plutôt

Page - 120/142 -


constante en fonction de l’angle. Nous constatons également que les composantes R6 sont majoritairement engendrées par les frottements puisque pour un coefficient de frottement nul celles-ci restent très faibles voir même négligeables pour la composante Mz.

µ=0 Inner or Outer drive µ=0,025 Outer driveµ=0,025 Inner drive µ=0,05 Outer drive µ=0,05 Inner drive µ=0,0075 Outer driveµ=0,075 Inner drive µ=0,1 Outer driveµ=0,1 Inner drive

tan(delta/2) µ=0 Inner or Outer driveµ=0,025 Inner drive µ=0,025 Outer driveµ=0,05 Inner drive µ=0,05 Outer driveµ=0,075 Inner drive µ=0,075 Outer driveµ=0,1 Inner drive µ=0,1 Outer drive

0 5 10 15 20 25 30 35

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

-0.01

-0.02

-0.03

-0.04

-0.05

Angle de brisure 40

δ (°)

Mz / M

ntra

ns

0 5 10 15 20 25 30 35 40-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Angle de brisure

δ (°)

My

/ Mnt

rans

Tan (δ/2) µ = 0.025 noix menante µ = 0.05 noix menante µ = 0.075 noix menante µ = 0.1 noix menante

µ = 0 noix ou bol menantµ = 0.025 bol menant µ = 0.05 bol menant µ = 0.075 bol menant µ = 0.1 bol menant

µ = 0 noix ou bol menant µ = 0.025 noix menante µ = 0.05 noix menante µ = 0.075 noix menante µ = 0.1 noix menante

µ = 0.025 bol menant µ = 0.05 bol menant µ = 0.075 bol menant µ = 0.1 bol menant

Figure 4.29 Rapport des valeurs moyennes des deux composantes du moment

complémentaire sur le couple transmis

Nous pouvons constater que le comportement de ces composantes qui a, rappelons le, un niveau très faible, est fortement non linéaire que se soit en fonction des frottements ou de l’angle de brisure. De plus, nous constatons que ces composantes sont influencées par le sens de transmission de la puissance. En fait, la cinématique interne du joint est modifiée en fonction de l’angle, des coefficients de frottement et du sens d’introduction du couple. Une étude présentée en annexe b montre, par exemple, que la cinématique de la cage, et plus particulièrement son calage par rapport aux billes, change en fonction de l’angle de brisure δ pour des conditions de couple, frottement et vitesse de rotation qui elles restent inchangées. Ce comportement interne changeant, modifie les chargements des billes ce qui peut expliquer les comportements fortement perturbés et non linéaires des composantes MyR6 et MzR6.

Page - 121/142 -


bolj

boli

bolk

a)

-300.015 -300.010 -300.005 -300.000 -299.995 -299.990 -299.985 Mx

(Nm)

My (Nm)

Mz (Nm)

Mz (Nm)

-300.015 -300.010 -300.005 -300.000 -299.995 -299.990 -299.985

15.60

15.70

15.65

-1.12

-1.14

-1.16

-1.18

-1.20

-1.22

-1.24

-1.26

15.75

15.80

15.85

15.60

15.70

15.65

15.75

15.80

15.85

-1.12-1.14 -1 .16 -1.18 -1.20 -1.22 -1.24 -1 .26

6X par tour

6Xpar tour

6X par tour

bolj

boli

bolk

b)

Mx (Nm)

My (Nm)

Mz (Nm)

Mz (Nm)

-299.03 -299.01 -298.99 -298.97 -298.95 -298.93 -298.91

-299.03 -299.01 -298.99 -298.97 -298.95 -298.93 -298.91

26.0

25.8

25.6

25.4

25.2

25.0

26.0

25.8

25.6

25.4

25.2

25.0

3.00

2.75

2.25

2.00

1.75

1.50

1.25

1.00

2.50

3.00 2.75 2.25 2.00 1.75 1.50 1.25 1.00 2.50

6X par tour

6X par tour

6Xpar tour

Figure 4.30 Projection du moment total appliqué au bol dans le repère fixe Rbol pour 6° d’angle de brisure, un couple transmis de 300 Nm, une vitesse de rotation de 100 tr/min,

noix menante a) pas de frottement, b) µ = 0.05

Moment (Nm)

Temps (s)

1er O

rdre

2eme O

rdre

3eme O

rdre

4eme O

rdre

5eme O

rdre

7eme O

rdre

8eme O

rdre

Moment(Nm)

Fréquence (Hz)

6eme O

rdre

Calcul ou

mesure

1 tour de roue

Figure 4.31 Extraction du 6eme ordre des composantes du moment complémentaire

Page - 122/142 -


µ=0 noix ou bol menant µ=0.025 noix menanteµ=0.025 bol menant µ=0.05 noix menanteµ=0.05 bol menant µ=0.075 noix menanteµ=0.075 bol menant µ=0.1 noix menantµ=0.1 bol menant

µ=0 noix ou bol µ=0.025 noix menanteµ=0.025 bol menant µ=0.05 noix menanteµ=0.05 bol menant µ=0.075 noix menanteµ=0.075 bol menant µ=0.1 noix menanteµ=0.1 bol menant

4 6 85 73 90.0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

2.4

2.8


6eme o

rdre

de

la c

ompo

sant

e M

y (N

m)

4 6 85 73 9 Angle de brisure δ (°)

0.0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

2.4

2.8

6eme o

rdre

de

la c

ompo

sant

e M

z (N

m)

Figure 4.32 6eme ordre des composantes du moment complémentaire

5.3 Mesures de la composante MzR6

La figure 4.33 présente la configuration du banc utilisée pour effectuer nos mesures de l’ordre 6 de la composante Mz du moment complémentaire. Ici, seul le joint côté roue travaille sous angle permettant ainsi d’isoler les excitations issues du joint à billes. La figure 4.34 présente les résultats de nos mesures effectuées sur un lot de 3 transmissions identiques. Les conditions d’essais utilisées sont identiques aux conditions d’analyse présentées tableau 4.12, c’est-à-dire un couple transmis de 300 Nm et une vitesse de rotation de 100 tr/min.

δ

Mesure de la composante Mz à l’aide

du capteur à jauges

Côté roue Côté boîte


ou couple


ou couple

Composante suivant z du moment complémentaire généré par le joint à billes

Figure 4.33 Configuration du banc pour la mesure de la composante Mz du moment

complémentaire

Page - 123/142 -


0

0.4

0.8

1.2

1.6

2

2.4

2.8

3 4 5 6 7 8 9

0

0.4

0.8

1.2

1.6

2

2.4

2.8

3 4 5 6 7 8 9


6eme o

rdre

de

la c

ompo

sant

e M

z (N

m)

6eme o

rdre

de

la c

ompo

sant

e M

z (N

m)


Noix menante 300 Nm

100 tr/min

Bol menant 300 Nm

100 tr/min

Figure 4.34 Résultats des mesures du 6eme ordre de la composante Mz

Comme nous pouvons le constater, la mesure confirme le comportement observé

avec notre modèle. En effet, le comportement de l’ordre 6 de la composante Mz du moment complémentaire est différent que l’on soit entraîné par la noix ou par le bol. Les niveaux observés sont également proches de ceux calculés par notre modèle puisque les valeurs relevées lors des mesures se situent entre 0.5 Nm et 1.7 Nm. Nous constatons que la barre d’erreur, qui ici représente l’étendue des mesures effectuées sur nos trois transmissions, est importante au regard des faibles niveaux mesurés. En effet, si nous considérons, par exemple, le niveau mesuré en noix menante pour 8° d’angle de brisure, nous constatons que l’étendue des mesures est supérieure au niveau mesuré. Cette étendue dans la dispersion de nos mesures est principalement due aux dispersions de productions (jeux internes, états des surfaces, …) mais pas seulement, puisque pour une même transmission, si on effectue un suivi dans le temps de l’ordre 6, on observe des variations de niveaux qui dans certains cas ne sont pas négligeables. Ce phénomène peut s’expliquer par le fait que durant la mesure, les conditions de lubrification ne sont pas parfaitement constantes. De plus, les niveaux faibles mesurés arrivent aux limites des capacités de notre chaîne de mesure.

Nous pouvons tout de même conclure, qu’au vu des résultats de calcul et des mesures effectuées sur banc, les niveaux de MzR6, identifiés comme étant une source d’un phénomène de battement, sont très faibles (de l’ordre de 1 Nm) avec l’utilisation du joint à billes. Contrairement à l’ancienne technologie de joint fixe, le joint tri-axes (tripode fixe), le joint à billes ne génère donc que très peu de moments complémentaires à l’ordre 6, d’où,

Page - 124/142 -


un bon comportement au niveau du phénomène de battement avec cette technologie de joint fixe.

Conclusion

Dans ce chapitre nous avons proposé une approche géométrique complète du fonctionnement du joint à billes puis nous avons développé un modèle numérique multi-corps avec le logiciel de modélisation ADAMS. Ce modèle, construit avec des liaisons de type contact, programmées et introduites dans le solveur prend en compte la géométrie exacte des pièces en contact. Cette prise en compte des transmissions d’effort par contacts permet l’introduction des jeux ainsi qu’une bonne prise en compte des effets du frottement.

Les résultats de ce modèle, au niveau des efforts internes générés, ont été comparés à des mesures et calculs déjà présentés dans la littérature, ce qui nous a permis de les valider.

A l’aide du modèle, nous avons ensuite pu étudier le rendement du joint à billes ainsi que le moment complémentaire généré par ce dernier. La composante MzR6 dont le niveau est très faible (de l’ordre de 1 Nm) a été comparée à des mesures réalisées sur banc qui confirment bien le fait que le joint à billes ne génère que très peu de cette composante.

Page - 125/142 -


Conclusion et perspectives

Dans ce travail de thèse, nous avons donc développé conjointement les modèles des deux familles de joint équipant les transmissions automobiles actuelles. Des modèles numériques sophistiqués, prenant notamment en charge la transmission d’effort par contact, ont été développés avec le logiciel de simulation ADAMS. La prise en compte des liaisons inter composants par contact a été rendue possible grâce à la programmation en FORTRAN de sous-programmes implantés dans le solveur du logiciel. Ces sous programmes, à partir des géométries des solides en contact, de leurs positions et cinématiques relatives, calculent le torseur des actions mécaniques à chaque contact.

Ces modèles dont les résultats ont été confrontés à des mesures réalisées sur banc ainsi qu’à d’autres études déjà menées, ont donné satisfaction.

Les études menées durant cette thèse, à l’aide de ces modèles, nous ont notamment permis d’affiner nos connaissances et compréhensions du fonctionnement interne des joints de transmission automobile, connaissances et compréhensions du fonctionnement indispensables pour optimiser ce dermier.

Pour le joint tripode coulissant :

Les mesures réalisées sur banc et celles sur véhicule nous ont permis d’effectuer le lien direct entre les efforts axiaux générés par les joints tripodes coulissants situés de part et d’autre de la boîte de vitesse et la vibration de martèlement que l’on retrouve au sein du véhicule.

Notre étude de la cinématique des galets dans leur rampe nous a permis de modéliser finement les effets du frottement au point de contact. Nous avons notamment démontré que la modélisation par des liaisons mécaniques usuelles n’est pas adaptée ici. En effet, la prise en compte du frottement dans ces liaisons est souvent trop simplifiée et ne rend notamment pas compte de l’inclinaison variable des galets dans les rampes durant la rotation du joint. Nos modèles analytiques et numériques recalés par identification du coefficient de frottement nous ont permis de connaître l’influence des paramètres internes et externes au joint tripode coulissant sur l’amplitude des efforts axiaux générés.

Les modèles numériques avec frottements développés à l’aide du logiciel ADAMS nous ont également permis de mettre en exergue le phénomène de non réversibilité en fonction du sens d’introduction de la puissance, phénomène observé également lors des mesures. L’étude de la cinématique interne du joint en fonction du sens de la transmission de la puissance nous montre bien un changement de comportement au niveau de la cinématique du point de contact. Cette étude en cours est importante puisque qu’elle pourrait aboutir à une solution technique permettant de diminuer l’amplitude des efforts axiaux généré par le joint tripode coulissant

Ces modèles validés du point de vue des efforts axiaux générés peuvent également être utilisés dans des études de rendement ou des efforts internes du joint. Des défauts géométriques pourront aussi être simulés.

Pour le joint à billes :

Nous avons proposé une étude poussée de la géométrie du joint à billes, étude indispensable puisque dans le joint à billes toutes les liaisons inter composants sont modélisées par des contacts. Cette étude nous a permis de mettre en évidence les déplacements des points de contacts sur la bille, déplacements qui expliquent le fait que les billes ne transmettent pas uniformément le couple. En effet nous avons notamment montré

Page - 126/142


que lorsque les points de contact par lesquels la bille transmet les efforts entre le bol et la noix sont diamétralement opposés, la bille est dans une situation favorable pour transmettre les efforts. Les calculs des efforts internes réalisés à l’aide du modèle numérique du joint à billes, modèle construit à l’aide de nos sous-programmes de contact, confirment bien ce comportement. En effet, les efforts transmis par chaque bille, dès lors que le joint travaille sous angle ne sont pas uniformes durant la rotation.

Ces modèles nous ont permis d’étudier l’influence des jeux et frottements sur ces efforts. Nous avons constaté que les jeux augmentent la non uniformité des efforts transmis alors que les frottements eux, introduisent un déphasage dans les positions où les billes transmettent le plus d’effort. Ce déphasage peut atteindre une valeur de π/2 pour un coefficient de frottement de 0.1.

Ces modèles, nous ont également permis d’étudier l’influence de ces jeux et frottements sur le rendement du joint et de mettre notamment en évidence que le frottement des billes dans les pistes et les interférences billes/fenêtres de cage sont les paramètres les plus influents.

Nous avons mené à l’aide de ces modèles une étude complète du moment complémentaire. Nous avons notamment montré que les frottements influencent ce moment que ce soit au niveau de sa valeur moyenne ou au niveau des variations en R6 qui restent faibles comme le montrent conjointement la mesure et le modèle. Perspectives à court et moyen termes :

Aujourd’hui nous avons développé un premier modèle de transmission complète qui permettra d’étudier les influences relatives des deux joints au travers de l’élément de liaison. Nous pourrons notamment calculer le rendement de la transmission complète.

Les sous programmes que nous avons développés pour cette étude peuvent également servir pour développer des modèles d’autres technologies de joint tels que les joints à billes coulissants, les joints tripodes anti-martèlement ou les joints à 8 billes. Ces outils ainsi développés pourront servir à guider et aider la compréhension des phénomènes observés lors des mesures sur banc.

Les mesures sur banc vont évoluer puisque durant mes travaux de thèse j’ai activement participé à la mise en place d’un nouveau banc de mesure dédié aux NVH. Ce banc présenté figure 1 est équipé d’un capteur 6 axes permettant de recueillir le torseur complet des actions mécaniques extérieures de la transmission exprimé au centre du joint roue. Egalement équipé d’une table vibrante, ce banc permettra de simuler les excitations vibratoires du groupe motopropulseur et d’étudier les vibrations transmises par la transmission.

Système de positionnement angulaireassuré par 3 vérins électriques

Capteur 6 axesMoteur

côté roue

Moteur côté boîte

Système de table vibrante

Régulateur de couple Système de frein à poudre

Emplacement de la transmission à tester Couple mètre

Figure 1 Nouveau banc en fin de mise au point

Page - 127/142


Bibliographie [1] Esnault, F. Construction mécanique Tome 3. Transmission de puissance par

liens flexibles, Dunod, 1996, Paris [2] K’nevez, J.-Y. Etude cinématique et dynamique d’une transmission automobile

à joints tripodes, Thèse de doctorat, 2000, Université du Maine [3] Seherr-Thoss, H.C., Schmelz, F. and Aucktor, E. Universal joints and

driveshafts, Analysis, Design, Applications. Springer 2nd edition, 2006 [4] Hayashi, K. The history and the future of NTN constant velocity universal

joints, NTN Technical Review No.66, 1997, 2/8 (Japanese) [5] Ikeda, T. Hystory of CVJ design for automobiles and recent technology, NTN

Technical Review No.70, 2002, 8/17 (Japanese) [6] Nagatani, H. and Imoto, M. Analysis of BJ efficiency and utilization on EBJ

development. NTN Technical review No.67, 1998, 32/37 (Japanese) [7] Sone, K. and Hozimu, K. High efficiency compact fixed constant velocity

universal joints (EBJ), NTN Technical Review No.66, 1997, 28/31 (Japanese) [8] Wakita, A. and Sone, K. High efficiency compact fixed constant velocity

universal joints (EBJ), SAE Technical Paper, 1999 121/125 [9] Hozumi, K., Sone, K., Ikeda, T. and Umekida, M. High efficiency compact

constant velocity joints (EBJ and EDJ series), NTN Technial Review No.67, 1998, 26/31 (Japanese)

[10] Sugiyama, T. and Asano Y. Compact and shudderless constant velocity joint

(EPTJ), NTN Technical Review No.73, 2005, 80/83 (Japanese) [11] Fukushima, S. and Ogura, H. Generation 4 hub joint, NTN Technical Review

No.70, 2002, 80/83 (Japanese) [12] Nagatani, H. and Imoto, M. Analysis of DOJ plunging resistance, NTN

Technical Review No.66, 1997, 9/15 (Japanese) [13] Fukumura, Y., Nagatani, H., Kohara, T. Kobayashi, M. and Bandou, H.

Development of the low plunging resistance DOJ-RPE, NTN Technical Review No.66, 1997, 16/20 (Japanese)

[14] Fukumura, Y. and Kadota, T. New shudderless plunging constant velocity

universal joints (SFJ), NTN Techncial Review No.66, 1997, 21/23 (Japanese)

Page - 128/142 -


[15] Terada, K., Sugiyama, T., Saito, T. and Goto T. Shudderless constant velocity

joints (PTJ), NTN Technical Review No.67, 1998, 24/29 (Japanese) [16] Nagatani, H., Kohara, T. and Bandou, H. Shudderless constant velocity

universal joints (BTJ’s), NTN Technical Review No.66, 1997, 24/27 (Japanese) [17] Sakaguchi, A., Ushioda, Y., Miyata, M. Kohara, T. and Hayama, Y. Constant

velocity joints for propeller shafts, NTN Technical Review No.66, 1997, 37/44 (Japanese)

[18] Kobayashi, T. and Fujio, T. Summary of E series, constant velocity joint for

propeller shaft, NTN Technical Review No.73, 2005, 88/91 (Japanese) [19] Nagatani, H., Hayama, Y. and Imoto, M. ECO series constant velocity joints

(EBJ & EDJ) for propeller shafts, NTN Techncial Review No.68, 2000, 39/43 (Japanese)

[20] Yamazaki, K. Constant velocity steering joint (CSJ), NTN Technical Review

No.73, 2005, 84/87 (Japanese) [21] Biermann, J.-W. NVH-behaviour of vehicle-drivetrains – a difficult but very

interesting challenge for acoustic engineers. International Conference on Multi-body Dynamics New Techniques and Applications, 10-11 December 1998, London, paper C553/046/98 (Professional Engineering Publishing, London)

[22] Foellinger, H. Advanced CAE simulation and prediction of drivetrain attributes,

International Conference on Multi-body Dynamics Monitoring and Simulation Techniques-III, University of Loughborough, 12-13 July 2004, paper Y004/042/2004 (Professional Engineering Publishing, London)

[23] Ford, Technical service bulletin, Bulletin No.99-11, June 14 1999 [24] Ligier, J.-L. et Baron, E. Acyclisme et vibration Applications aux moteurs

thermiques et aux transmissions, Tome 1 Notion de base, Technip, 2002 [25] Ligier, J.-L. et Baron, E. Acyclisme et vibration Applications aux moteurs

thermiques et aux transmissions, Tome 2 Analyses avancées et expérimentales, Technip, 2002

[26] Farshidianfar, A. and Ebrahimi, M. Optimization of vehicle driveline

vibration using genetic algorithm (GA), SAE Technical Paper, 2001, Paper No. 1511

[27] Menday, M.T., Rahnejat, H. and Ebrahimi, M. Clonk: an onomatopoeic

response in torsional impact of automotive drivelines, Proc Instn Mech Engrs, 1999, Vol. 213, Part D, 349/357

Page - 129/142 -


[28] Baron, E. NVH phenomena in constant-velocity joints – a 3-fold approach.

I.Mech. E. , 1992 C389/277 , 51-60 [29] Baron, E. Battement 2F/6R, Document Renault direction de la mécanique,

1995, DM/DDT/62310 [30] Hayama, Y., Nozaki, T., Nakakouji, M., Fujikawa, S.and Fukushima, K.

NVH Analysys Using Full Vehicle Multi Body Dynamic Model, NTN Technical Review No.73 , 2005

[31] Diaby, M’P. Caractérisation des matériaux viscoélastiques par analyse modale

expérimentale, Thèse de doctorat, 1998, Université du Maine [32] Coutinho, L.F. and Tamagna, A. Flexural vibration analysis of constant

velocity halfshafts, SAE Technical Paper, 1996, Paper no. 960725 [33] Orain, M. Theorie générale et experimentation des joints homocinétiques, Thèse

de doctorat, 1976, Université Pierre et Marie Curie –Paris VI- [34] Guimbretiere, P. Les joints de transmission (Glaenzer Spicer), Document de

formation de la Société des Ingénieurs de l’Automobile, session 1997-1998 [35] Guimbretiere, P. Joints homocinétiques, Techniques de l’ingénieur, B 5 815 [36] Mabie, H.H. Constant velocity joint, Machine design, 1948, 101/105 [37] Durum, M.M., Kinematic Properties of Tripode Joints, Journal of Engineering

for Industry, Trans. ASME., 1975, 708/713 [38] Akbil, E. and Lee, T.W. On the Motion Characteristics of Tripode Joints. Part

1, General Case, ASME Journal of Mechanisms, Transmissions and Automation in Design 106, 1984, 228-234

[39] Lee, T.W. and Akbil E. On the Motion Characteristics of Tripode Joints. Part 2,

Applications, ASME Journal of Mechanisms, Transmissions and Automation in Design 106, 1984, 235/241

[40] Pendrea, N. Kinematics of Tripode-Joint Transmissions, Rev. Roum. Sci.

Techn., Méc. Appl., 1988, 33, 531/537 [41] Wu, J. Etude des joints cinématiques coulissants, Thèse de doctorat, 1997,

Conservatoire National des Arts et Métiers de Paris [42] Watanabe, K., Kawakatsu, T. and Nakao, S. Kinematic and static analyses of

tripod constant velocity joints of the spherical end spider type, ASME Journal of mechanical design, 2005, Vol.127, 1137/1144

Page - 130/142 -


[43] Urbinati F., and Pennestrini E. Kinematic and Dynamic Analyses of the

Tripod Joint, Multibody System Dynamics, 1998, Vol.2, No.4, 355-367. [44] Santonocito, P. and Pennestri E. A parametric study of the dynamics of the

shudderless tripode joint, ASME 200 Design Engineerieng Technical Conferences, 2000, Baltimore, Maryland, USA

[45] Giraud-Moreau, L., Mariot, J.-P. et K’nevez, J.-Y. Algorithme évolutionnaire

appliqué à l’optimisation d’une transmission automobile à joint tripode, Congrès français de mécanique, 2001, Nancy

[46] Mariot, J.-P. and. K’nevez, J.-Y. Kinematics of Tripod Transmissions. A New

Approach, Multibody System Dynamics, 1999,Vol 3, 85-105 [47] K’nevez, J.-Y., Mariot, J.-P., Moreau, L. and Diaby, M. Kinematics of

transmissions consisting of an outboard ball joint and an inboard generalized tripod joint, Journal of Muli-body Dynamics, 2001, Vol.215, No.3, 119-132

[48] Mariot, J.-P. and K’nevez, J.-Y. Dynamics of an automotive transmission

consisting of a tripod joint and a ball joint. A symbolic approach. Journal of Muli-body Dynamics, 2002, Vol.216, No.3, 203/211

[49] Mariot, J.-P. , Barbedette, B. et K’nevez, J.-Y. Modélisation dynamique

formelle d’une transmission automobile à joints tripodes, 16eme Congrès français de mécanique, 2003, Nice

[50] Mariot J.-P., K’Nevez J.-Y., and Barbedette B. Tripod and ball joint

automotive transmission kinétostatic model including friction’. Multibody System Dynamics, 2004 , Vol.11, No.2, 127/145.

[51] Mariot J.-P., K’nevez, J.-Y. and Barbedette, B. Friction models of automotive

transmissions equipped with tripod joints, International Conference on Multi-body Dynamics Monitoring and Simulation Techniques-III, University of Loughborough, 12-13 July 2004, paper Y004/033/2004 (Professional Engineering Publishing, London)

[52] Kernizan, C., Jacobs, R. and Whitticar, D. Development of a constant velocity

joint (CVJ), test stand to assess the performance of a series of greases, NLGI Spokesman, 2002, Vol.66, No.4, 26/32

[53] Fish, G. and Cole, J. Tribology and lubrication requirements of constant

velocity joints, SAE Technical Paper, 1998 [54] Fish, G. and Jisheng E. The effect of friction modifier additives on CVJ grease

performance. NLGI Spokesman, 2002, Vol.66, No.7, 22/31

Page - 131/142 -


[55] Lee, C.-H. and Polycarpou, A.A. Development of an apparatus to investigate

friction characteristics of constant-velocity joint, Tribology Transactions, 2005, Vol.48, No.4, 505/514

[56] Lee, C.-H. and Polycarpou, A.A. Experimental investigation of tripod constant

velocity (CV) Joint friction, SAE International, 2006, 97/104 [57] Serveto, S., Mariot, J.-P. and Diaby, M. Modelling and measuring the axial

force generated by tripod joint of automotive drive-shaft. Multibody System Dynamics, 2007, DOI : 10.1007/s11044-007-9091-1

[58] Serveto, S., Mariot, J.-P. et Diaby, M. Joint tripode coulissant de transmission

automobile. Effort axial généré : essais et modèles, 18eme congrès français de mécanique, 2007, Grenoble

[59] Biermann, J.-W. NVH-behaviour of side shaft-systems. International

Conference on Multi-body Dynamics Monitoring and Simulation Techniques-III, University of Loughborough, 12-13 July 2004, paper Y004/030/2004 (Professional Engineering Publishing, London)

[60] Kimata, K. Analysis of ball-type constant-velocity joints based on statics,

Transaction of Japan Society of Mechanical Engineers, 1992, Vol.58, No.91, 263/270

[61] Nagatani, H. Static analysis of the CV-Joints, the interconnecting shaft, and the

support bearing system, Transaction of Japan Society of Mechanical Engineers, 2001, Vol.67, No.655 823/832 (Japanese)

[62] Watanabe, K., Ichikawa, K. and Asano, H. Kinematic analysis of the constant

velocity joint of the Rzeppa type, Transaction of Japan Society ok Mechanical Engineers, 1993, Vol.59, No.560, 1166/1174 (Japanese)

[63] Ichikawa, K. and Watanabe, K. Kinematic analysis of constant velocity joint

of double offset type, Transaction of Japan Society ok Mechanical Engineers, 1995, Vol.61, No.582, 475/483 (Japanese)

[64] Watanabe, K., Shiroishi, H. and Suzuki, A. Kinematic analyses of the Rzeppa

constant velocity joint with clearances (1st report, closed loop equations and two ball kinematic model) Transaction of Japan Society ok Mechanical Engineers, 1998, Vol.64, No.624, 3140/3148 (Japanese)

[65] Watanabe, K., Suzuki, A., Shiroishi, H. and Ichikawa,K. Kinematic analyses

of the Rzeppa constant velocity joint with clearances (2nd report, experiment and three ball kinematic model), Transaction of Japan Society ok Mechanical Engineers, 2001, Vol.67, No.658, 1956/1964 (Japanese)

Page - 132/142 -


[66] Hayama, Y. Dynamic analysis of forces generated on inner parts of a double

offset constant velocity universal joint (DOJ) : Non-friction analysis, SAE World congress, march 5-8 2001, Paper No. 2001-01-1161, 219/224

[67] Hayama, Y. Dynamic analysis of forces generated on internal components of a

double offset constant velocity universal joint (DOJ) by utilizing ADAMS software, NTN Technical review No.69, 2001, 97/1002 (Japanese)

[68] Hayama, Y. Dynamic analysis of forces generated on internal parts for ball type

constant velocity joint, NYN Technical review No.70, 2002, 36/43 (Japanese) [69] Song, J. Hertz stress variation of a rzeppa joint due to manufacturing

inaccuracy, International ADAMS User’s Conference, 2000 [70] Kimata, K., Nagatani, H. and Imoto, M. Analysis of ball-type constant-

velocity joints based on dynamic. Japan Society of Mechanical Engineers International Journal, 2004, Vol.47, No.2, C, 736/745

[71] Kimata, K., Nagatani, H., Imoto, M., and Kohara, T. Numerical Analyses and

experiments on the characteristics of ball-type constant-velocity joints. Japan Society of Mechanical Engineers International Journal, 2004, Vol.47, No.2, C, 746/754

[72] Biermann, J.-W. Measurement system for CV joint efficiency, SAE Technical

Paper, 2000, Vol.108, No.6, 1724/1730 [73] Kimata, K., Katoh, M. and Yoshida, K. Influence of torque loss to secondary

couple of constant-velocity joint. Transaction of Japan Society of Mechanical Engineers, 1992, Vol.58, No.551, C, 2178/2185 (Japanese)

[74] Matschinsky, W. Road vehicle suspensions, Professional Engineering

Publishing. 2000, ISBN 1 86058 202 8 [75] Barber, J.R. and Ciavarella, M. Contact mechanics, International journal of

solids and structures, 2000, Vol.37, 29/43 [76] Gilardi, G. and Sharf, I. Literature survey of contact dynamics modelling,

Mechanism and machine theory, 2002, Vol.37, 1213/1239 [77] Faik, S. and Witteman, H. Modeling of impact dynamics: a literature survey,

International ADAMS User Conference, 2000 [78] Stronge, W.J. Impact Mechanics, Cambridge University Press,2000,

Cambridge [79] Johnson, K.L. Contact Mechanics, Cambridge University Press, 1985,

Cambridge

Page - 133/142 -


[80] Brewe, D.E. and Hamrock, B.J. Simplified Solution for Elliptical-Contact

Deformation Between Two Elastic Solids, ASME Journal of lubrication technology, 1977, Vol.99, 485/487

[81] Hamrock, B.J. and Brewe, D. Simplified solution for stresses and

deformations. ASME Journal of Lubrication Technology, 1983, Vol.105, 171/177

[82] Greenwood, J.A. Formulas for Moderately Elliptical Hertzian Contacts, ASME

Journal of Tribology, 1985, Vol.107, 501/504 [83] Greenwood, J.A. Analysis of elliptical Hertzian contacts, Tribologiy

international, Vol.30, 1997, 235/237 [84] Pennestri, E. and Vita, L. Multibody dynamics in advanced education,

Computational methods in applied sciences, Vol.2, 2005, 345/370 [85] Running and configuring MSC.ADAMS 2005 r2 Online Help Printable Version.

http://www.mscsoftware.com/support/prod_support/ADAMS/documentation/2005r2/docs/running_configuring2005r2.pdf

[86] ADM 701, Training guide : Basic ADAMS full simulation. Release 2003

ADAM*V2003R1*Z*FSP*Z*SM-ADM701-TG [87] ADM 703, Training guide : Advanced ADAMS/solver ADAMS/Theory Release

2003 ADAM*V2003*Z*ADVSLVR*Z*SM-ADM703-TG [88] Sharf, I. and Zhang, Y. A contact force solution for non-colliding contact

dynamics simulation, Multibody System Dynamics, 2006, Vol.16, No.3, 263/290 [89] Milovanovic, D. Roulements à aiguilles, Techniques de l’ingénieur, B 5 380 [90] Hatakeyama, K. Grease composition for constant velocity joints. United states

patent, 1996, Patent Number: 5,589,444 [91] Yoshida, K. Tripod type constant velocity joint and grease for the joint. United

states patent application publication, 2002, Pub. No.:US 2002/0119894 A1 [92] Serveto, S., Mariot, J.-P. et Diaby, M. Localisation du point de contact bille

noix d’un joint à billes de transmission automobile, 17eme congrès français de mécanique, 2005, Troyes

Page - 134/142 -


Annexes

Page - 135/142 -

Annexe a – Simulation des défauts, l’exemple d’une bille manquante

Annexe a

Simulation des défauts, l’exemple d’une bille manquante

Présentation de l’étude

Cette étude fait suite à une interrogation industrielle sur les capacités du modèle à simuler des défauts de fabrication. Nous proposons ici une liste non exhaustive des défauts pouvant être simulés par notre modèle et nous présentons les résultats de simulations montrant l’influence d’une bille manquante sur les efforts internes. L’intérêt ici est de montrer que le modèle peut servir à simuler des modes de fonctionnement dégradés et d’estimer l’impact de la dégradation sur le fonctionnement du joint.

Nous avons ici choisi volontairement de simuler un cas extrême, l’absence d’une bille.

Liste des défauts possibles

Nous pouvons, comme montré dans le chapitre 4, simuler l’influence des jeux sur le fonctionnement interne du joint. Les premiers défauts pouvant être simulés sont bien sûr des jeux ou interférences de niveau anormalement importants. Nous pouvons également introduire des jeux et frottements non uniformes à chaque contact et rendre dissymétrique notre modèle en introduisant par exemple une bille plus petite dans une piste particulière.

En plus de ces niveaux de jeux dissociés hors tolérances, nous pouvons construire des modèles en y incluant des défauts géométriques issus de la fabrication.

Défauts liés aux pistes (bol ou noix)

Dissymétrie dans les positions angulaires des pistes. En effet comme illustré sur la figure 1, nous pouvons avec nos modèles simuler des défauts de positionnement angulaire des pistes du bol et de la noix (figure a.1).

Piste 1

Piste 2

Piste 3

Piste 4

Piste 5

Piste 6

60° ± ∆

Piste 1

Piste 2

Piste 3

Piste 4

Piste 5

Piste 6

60° ± ∆

Figure a.1 Modification des positions angulaires des pistes bol ou noix

Page - 136/142 -


Dissymétrie au niveau de la position des centres des trajectoires des pistes. En effet,

nous pouvons décaler les centres de une ou plusieurs pistes par rapport aux positions théoriques, O2 pour les pistes bol, O1 pour les pistes noix voir (figure a.2).

Offset e ± ∆

O O2

Offset e ± ∆

OO1

Figure a.2 Modification des positions des centres des trajectoires des pistes bol ou noix

Dissymétrie au niveau du profil des pistes. Il est possible dans le modèle de différencier les angles de contact et donc de modifier sur une ou plusieurs pistes le profil des pistes.

Défauts liés à la cage

Dissymétrie au niveau du positionnement des fenêtres de cage. En effet, dans le cas parfait, toute les fenêtres sont centrées par rapport à un même plan (plan bissecteur). Il est possible dans notre modèle d’introduire un ou plusieurs décalages des fenêtres de cage (voir figure 3.a).

O

lfc

lfc/2±∆ Figure a.3 Modification des positions des centres des fenêtres de cage par rapport au plan

central de la cage (plan bissecteur)

La liste des défauts que nous venons d’énumérer et qui peuvent bien sûr, être combinés, n’est pas exhaustive mais rend compte de l’étendue des possibilités offertes par le modèle en terme d’études possibles.

Page - 137/142 -


Simulation d’une bille manquante

Pour cette étude, nous reprenons le repérage des billes présenté figure a.4. Les conditions d’analyse ainsi que les paramètres de jeux et frottements internes utilisés dans cette étude sont répertoriés dans le tableau a.1. La bille supprimée est la bille n°1.

Angle de brisure δ 15° Jeux sphériques cage/noix ∆sn et cage/bol ∆sb 0.03 mm

Jeux dans les rayons des trajectoires des pistes ∆rt 0.03 mm Interférences billes/fenêtres de cage ∆bc -0.03 mm

Jeux entre billes et pistes ∆bp 0.00 mm Frottements billes/bol µbb et billes/noix µbn 0.05 Frottements cage/bol µce et cage/noix µci 0.05

Frottements billes/cage µbc 0.05 Tableau a.1 Conditions d’analyse pour cette ètude

Bille 1

Bille 6

Bille 5

Bille 4

Bille 3

Bille 2

Noix

Cage

Bol

Figure a.4 Repérage des billes utilisé dans notre étude

0 90 270 360 0.0

1.0

2.0

3.0


4.0

180 0 90 270 0.0

0.2

0.4

0.6


0.8

180 360

Bille 1 Bille 2 Bille 3Bille 4 Bille 5 Bille 6

Bille 1 Bille 2 Bille 3 Bille 4 Bille 5 Bille 6

Contact billes/pistes Contact billes/cage

Rat

io d

es e

fforts

de

cont

act s

ur le

s pi

stes

Fi, 1

/F0°

Rat

io d

es e

fforts

de

cont

act s

ur la

cag

e (F

i, 5- F

i, 6)/F

0°

Fi,1=Fi,3

Figure a.5 Efforts sur chaque bille pour un joint complet (6 billes)

Page - 138/142 -


R

atio

des

effo

rts d

e co

ntac

t sur

les

pist

es F

i, 1/F

0°

0 90 270 360 0.0

1.0

2.0

3.0


4.0

180 Rat

io d

es e

fforts

de

cont

act s

ur la

cag

e (F

i, 5- F

i, 6)/F

0°

0 90 270 0.0

0.2

0.4

0.6


0.8

180 360

Bille 2 Bille 3 Bille 4 Bille 5 Bille 6

Contact billes/pistes Contact billes/cage

Bille 2 Bille 3 Bille 4 Bille 5 Bille 6

Fi,1=Fi,3

Figure a.6 Effort sur chaque bille pour un joint incomplet (5 billes), la bille n°1 est

manquante

Nous constatons que l’absence d’une bille déséquilibre complètement le chargement des billes.

Comme présenté dans le tableau a.2, les valeurs maximums des ratios des efforts de contact, que ce soit bille/piste ou bille cage, sont modifiés. Nous constatons que la charge supplémentaire à transmettre due à l’absence de la bille n°1 n’est pas uniformément partagée entre les billes restantes. En effet, nous observons que ce sont les billes encadrant la position de la bille manquante (ici billes n° 2 et 6) qui absorbent la surcharge. En effet, ce sont sur ces deux billes que les efforts maximums augmentent (tableau a.2). Les efforts sur les autres billes sont quantitativement moins perturbés et les charges maximales appliquées n’augmentent pas, elles ont même plutôt tendance à diminuer. D’ailleurs, la bille diamétralement opposée à celle manquante (bille n°4), transmet moins d’effort lors du fonctionnement en mode dégradé avec la bille n°1 manquante.

Valeur maximum du ratio des efforts de contact sur les pistes F/F0° durant une

rotation complète du joint

Valeur maximum du ratio des efforts de contact sur la cage F/F0° durant une

rotation complète du joint

Joint complet

Joint incomplet Ecart Joint

complet Joint

incomplet Ecart

Bille n°1 2.75 - - 0.49 - - Bille n°2 2.75 2.9 + 5.5 % 0.49 0.61 + 24.5 % Bille n°3 2.75 2.75 0 % 0.49 0.49 0 % Bille n°4 2.75 2.55 - 7.3 % 0.49 0.48 - 2 % Bille n°5 2.75 2.75 0 % 0.49 0.48 - 2 % Bille n°6 2.75 3.25 + 18.2 % 0.49 0.55 + 12.2 %

Tableau a.2 Variation des charges maximales aux niveaux des points de contact des billes due à l’absence de la bille n°1

Conclusion

Nous venons ici de montrer les capacités du modèle à simuler un fonctionnement en mode dégradé. Cette utilisation du modèle, couplée à une étude d’endurance, permettra une approche théorique sur les influences, au niveau de la durée de vie des joints, de défauts particuliers pouvant être issus de la fabrication des joints.

Page - 139/142 -

Annexe b – Positionnement de la cage

Annexe b

Positionnement de la cage

Présentation de l’étude

Durant le fonctionnement du joint, la cage qui maintient les centres des billes dans le plan bissecteur peut venir en contact transversal sur les billes, soit en P7 si la cage est en avance de phase soit en P8 si la cage est en retard de phase (figure b.1). Nous avons constaté par le calcul que ce positionnement de la cage était influencé par les conditions de frottement, d’angle de brisure, ainsi que par le sens d’introduction du couple.

Afin de valider ce comportement de notre modèle, nous avons mené une investigation à ce sujet en montant sur le banc d’essai, une transmission équipée d’un joint à billes sans soufflet. De ce fait il nous est possible d’observer le calage angulaire de la cage durant le fonctionnement.


P7

P3 P4

P1 P2

Vue face bol

P8

Figure b.1 Repérage des différents points de contact sur la bille

Matériel et méthode

Le banc d’essai utilisé ici est le banc de mesure présenté chapitre 2. Le joint à billes utilisé pour cette étude est celui présenté dans le chapitre 4. Avant de monter la transmission sur le banc, nous avons effectué un marquage de la cage, présenté figure b.2, qui nous permet de visualiser le positionnement des fenêtres de la cage par rapport aux pistes du bol et donc de connaître le point de contact transversal chargé.

Page - 140/142 -


Marquage bol

Marquage cage

Figure b.2 Marquage du bol et de la cage pour l’observation du positionnement de la cage

dans le bol

Le protocole de mesure est le suivant : lancement en rotation du banc avec les conditions de couple et vitesse de rotation présentées dans le tableau 1. Nous laissons le banc tourner dans ces conditions durant 45s puis nous l’arrêtons. Une fois le banc arrêté, il ne reste plus qu’à observer le positionnement de la cage. La figure b.3 présente les deux cas possibles de positionnement de la cage qui sont l’avance de phase (contact en P7) et le retard de phase (contact en P8).

a) Avance de phase, contact en P7 b) Retard de phase, contact en P8

Figure b.3 Positionnement des fenêtres de la cage par rapport aux pistes du bol

Résultats

Les résultats issus de notre modèle et ceux issus de l’expérience su banc sont présentés dans le tableau b.1. Le coefficient de frottement de notre modèle est µ = 0.05.

Angle de brisure 2° 4° 6° 8° 10° 12° Expérience sur le banc

Noix menante P7 P7 P8 P8 P8 P8Bol menant P7 P7 P7 P7 P8 P8

Calculs Noix menante P7 P7 - P8 P8 P8Bol menant P7 P7 - - - P8

Tableau b.1 Résultats de l’expérience et des simulations sur le positionnement de la cage

Page - 141/142 -


Le comportement de la cage observé avec notre modèle est proche de celui observé durant l’expérience. Cependant, durant certaines simulations aucun point de contact transversal n’est atteint ; cela peut s’expliquer par le fait que pour des raisons de temps de calcul (environ 50s par tour de joint) nous ne pouvons pas simuler le nombre de tours nécessaires pour atteindre la position où la cage vient en contact sur les billes. Pour cette étude, nous simulons 10 rotations complètes du joint. Le passage pour la cage d’un positionnement en avance de phase à un positionnement en retard de phase est bien observé durant l’expérience et le calcul. De plus, nous pouvons constater que cette transition s’effectue à des positions angulaires comparables.

Conclusion

Cette étude du comportement de la cage en fonction de l’angle de brisure apporte un élément supplémentaire pour la validité de notre modèle. En effet, le comportement observé sur banc et celui observé sur nos simulations étant en accord, il s’agit donc bien ici d’un point validant pour nos calculs.

Page - 142/142 -

Documents

-THÈSE- - cyberdoc.univ-lemans.frcyberdoc.univ-lemans.fr/theses/2008/2008LEMA1006.pdf · 3.1.2 NVH dans la chaîne cinématique de transmission et dans la transmission elle même