1 – OBJET DE LA CINÉMATIQUE

La cinématique est la partie de la mécanique qui étudie :les mouvements sans tenir compte des forces qui les ont provoqués.

On étudiera donc :

Les vitesses

Les trajectoires

Les espaces parcourus

Les accélérations

01 LE SOLIDE DE RÉFÉRENCELe mouvement d’un solide est défini par rapport à un autre solide pris comme référence.Ce dernier est donc appelé :

SOLIDE DE RÉFÉRENCE

Notation : le mouvement du cycliste 1 par rapport au sol 0 sera noté :

LES REFERENCES

0

1

Mvt 1/0 Mvt 1/0

LE REPÈRE DE TEMPSEn mécanique classique, le temps est considéré comme absolu et uniforme :

t = 0 t

avant après

L’unité de temps est la seconde

y

xz

LE SYSTEME DE RÉFÉRENCE

Il se compose de 2 éléments 

LES REFERENCES

MOUVEMENT ABSOLU OU RELATIFLe mouvement est dit « ABSOLU » s’il est décrit par rapport à un système de référence absolu, c’est-à-dire un référentiel au repos absolu(pour nous : la terre).

Le mouvement est dit « RELATIF » s’il est décrit par rapport à un système de référence relatif, c’est-à-dire un référentiel en mouvement.

Référentiel relatif

Référentiel relatif

Référentiel absolu

LES TRAJECTOIRESDÉFINITION :courbe définie par les positions successives d’un point appartenant à un solide en mouvement.

TA1/2TA1/2NOTATION : la trajectoire du point A appartenant au solide 1

par rapport au solide 2 sera notée 

TA2/0

TB2/0

TC1/2

TB1/2 TC1/0

segment AA’

segment BB’

cercle centre B rayon BC point B cycloïde CC’

Autres exemples de trajectoires :

Parabole

Ellipse

MOUVEMENT DES SOLIDES

Mouvement de translation Si la trajectoire de chaque point est une droite, on parle de

Translation rectiligne

Si la trajectoire de chaque point est un cercle mais que le solide ne change pas d’orientation pendant le mouvement,

on parle de :

Translation circulaire

MOUVEMENT DES SOLIDES

Mouvement de rotation

Lorsque la trajectoire de chaque point est un cercle et que le solide change d’orientation pendant le mouvement.

MOUVEMENT DES SOLIDES

MOUVEMENT DES SOLIDES

tracez les trajectoires

TA4/0, TB2/0, TC1/0

Solides Mouvement Caractéristiques

1 / 0

2 / 0

4 / 0

3 / 0

complétez le

tableau .

Translation rectiligne Axe du piston

Rotation

Translation circulaire

Centre D

Centre ERotation

MOUVEMENT DES SOLIDES

Mouvement plan

Lorsque la trajectoire est une courbe quelconque mais dans le plan :

MOUVEMENT DES SOLIDES

Exemple :

Le mouvement du piston rouge est :

Le mouvement de la biellette bleue est :

Le mouvement de la bielle verte est :

Translation rectiligne

Rotation

Mouvement plan

1 2 3 4 5

0

APPLICATION : BRIDE HYDRAULIQUEAPPLICATION : BRIDE HYDRAULIQUE

Définissez les mouvements entre solides :

Mouvement Caractéristiques

1/0

2/0

3/0

4/0

5/0

4/5

Rotation Centre B Mouvement plan

Centre A Rotation

Translation rectiligne Axe du vérin

Mouvement plan Centre E Rotation

Définissez les trajectoires et tracez-les

TG1/0

TC1/0

TD3/0

TF4/5

TH5/0

Cercle centre B rayon BG

Cercle centre B rayon BC

Cercle centre A rayon AD

Axe du vérin

Cercle centre E rayon EH

MOUVEMENT RECTILIGNE MOUVEMENT RECTILIGNE UNIFORMEUNIFORME

1- DÉFINITION  La trajectoire est une droiteLa vitesse est constanteL’accélération est nulle

2- LOIS DU MOUVEMENTAccélération en m.s-2

a(t) = 0

Vitesse en m.s-1

v(t) = v0

vo: vitesse initiale vo

e(t) = v0 x t

e / t = tan = vla pente de la droite est

proportionnelle à la vitessev peut être <0

e

t

Espace parcouru en m

Si un espace e0 a déjà été parcouru au temps

t=0 :

e0

e0 si v<0 :

e=0 quand v0t=e0

e(t) = e0 (v0 x t)

APPLICATION diagramme e(t) simplifié du déplacement d’un véhicule :

Temps mis Espace

parcouruVmoy en km.h-1 Vmoy en m.s-1

A

B

C

D

E

TOTAL

le diagramme v(t) :

10 12 72 20

5 0 0 0

5 8 96 26.7

5 0 0 0

15 20 80 22.2

40 40 60 16.7

MOUVEMENT RECTILIGNE UNIFORMEMENT VARIE

1- DÉFINITION 

La trajectoire est une droiteLa vitesse est variable

L’accélération est constante

2- LOIS DU MOUVEMENT

a(t) = a0a0

a peut être < 0

v(t) = v0 (a0 x t)

v(t) = a0 x t

v0

v0

a < 0

e(t) = e0 + (v0xt) + (½a0 x t2)

si a < 0

e(t) =½ a0 x t2

APPLICATION : CHARIOT DE DÉCOUPE PLASMAAPPLICATION : CHARIOT DE DÉCOUPE PLASMA

Le chariot de cette machine atteint la vitesse de 10cm.s-1 en 2 secondes (phase 1).

Il évolue ensuite à vitesse constante pendant 8 secondes (phase 2), puis s’arrête sur 12,5cm (phase 3).

Les accélérations et décélérations sont constantes.

Déterminez les équations de mouvement pour les 3 phases, puis tracez les courbes correspondantes

a = v / t = 10 / 2 5

5t

2.5 t²

10

0

10

10t + 10

90

a = v²/2e = 100/25

2.5 102.5

-4

-4t+V0

-2t²+10t + 90

t = -v0 / a = 10 / 4

MOUVEMENT CIRCULAIRE MOUVEMENT CIRCULAIRE UNIFORMEUNIFORME

1- DÉFINITION 

La trajectoire est un cercle La vitesse est constante L’accélération est nulle

2- LOIS DU MOUVEMENTGrandeur Définition Unité

Accélération angulaire Rad.s-2

Vitesse angulaire

Angle parcouru

Rad.s-1

rad

= 0 (t) = 0 (t) = 0 x t

MOUVEMENT CIRCULAIRE MOUVEMENT CIRCULAIRE UNIFORMEUNIFORME

3- VITESSE DU POINT

Pendant la rotation, le point B passe de B0 à B1.

Il parcourt la distance eB.

Sa vitesse linéaire (en m.s-1 ) est :

L’espace qu’il parcourt (en m) est :

vB =

eB =

R est la distance du point à l’axe de rotation

4- Fréquence de rotation

La fréquence est l’expression d’un nombre d’évènements par unité de temps. Exemple : la rotation d’une broche de perceuse exprimée en tours par minute.

Relation entre vitesse angulaire / vitesse linéaire / fréquence de rotation :

= v =

0 x R

0 x R x t

N /30 N R /30

£VB

APPLICATIONAPPLICATION

Plateaux 52 dents (ø210) et 39 dents (ø160)Pignons 13/14/15/16/17/18/19/20/21/22Fréquence de pédalage : 1 tour par secondeRoues ø700Manivelles longueur 175

Développement maxiDéveloppement

miniUnité

Zplateau

Zpignon

Rapport Zplateau/Zpignon

Npédalier t.mn-1

ωpédalier rad.s-1

Nroue arrière t.mn-1

ωroue arrière rad.s-1

vcycliste m.s-1

vcycliste Km.h-1

vchaîne m.s-1

vpédale m.s-1

5252 3939

1313 2222

44 1.771.77

6060 6060

6060/30= 6.28/30= 6.28 6060/30= 6.28/30= 6.28

60x4= 24060x4= 240 60x1.77= 106.260x1.77= 106.2

240240/30= 25.13/30= 25.13 106.2106.2/30= 11.12/30= 11.12

25.13x0.35= 8.7925.13x0.35= 8.79 11.12x0.35= 3.8911.12x0.35= 3.89

8.79x3600/10008.79x3600/1000= 31.66= 31.66 3.89x3600/10003.89x3600/1000= 14= 14

6.28x0.105= 0.656.28x0.105= 0.65 6.28x0.08= 0.56.28x0.08= 0.5

6.28x0.175= 1.16.28x0.175= 1.1 6.28x0.175= 1.16.28x0.175= 1.1

Le cycliste roule à vitesse constante pendant 30 minutes

Distance parcourue km

Nb de tours de roue

Nb de tours pédalier

Développement maxi Développement mini

31.66/2= 15.83 14/2= 7

15830/0.7= 7198 7000/0.7= 3183

7198/4= 1800 3183/1.77= 1800

VECTEURS VITESSE et ACCÉLÉRATION TRANSLATION RECTILIGNE

La vitesse instantanée d’un point peut être modélisée par un vecteur :

Caractéristiques de ce vecteur :- point d’application :- direction :- sens :- module 

L’accélération du point peut aussi être modélisée par un vecteur 

Remarque : tous les points du solide en translation ont des vecteurs accélération identiques.

Remarque : tous les points du solide en translation ont des vecteurs vitesse identiques.

VG1/0

celle de la translation celui du mouvement

v

VG1/0

aG1/0

aG1/0

Caractéristiques de ce vecteur :- point d’application :- direction : - sens :- module 

G celle de la translation

du mouvt si a>0, sinon sens inverse a

G

VECTEURS VITESSE et ACCÉLÉRATION

ROTATION

0

1La vitesse instantanée d’un point peut être modélisée par un vecteur :

Caractéristiques de ce vecteur :- point d’application :- direction :- sens :- module 

Remarque : les vitesses sont proportionnelles à la distance point / centre de rotation.

Les accélérations : il en existe deux : une normale aN et une tangentielle aT.aT n’existe pas si la rotation est uniforme.

Elle peut être modélisée par un vecteur :

Caractéristiques de ce vecteur :- point d’application :- direction :- sens :- module 

VA1/0

A tangente en A à la trajectoire de la rotation v = x R

aTA1/0

A tangente en A à la trajectoire

de la rotation si a>0 sinon inverse a

VA1/0

MOUVEMENT MOUVEMENT PLANPLAN

ÉQUIPROJECTIVITÉ

Soient deux points A et B appartenant à un même solide S,

Les projections orthogonales sur AB des vecteurs vitesses

VA€S/R VB€S/R sont égales :

AH = BK

A

B

VA€S/R

VB€S/R

H

K

Pour pouvoir appliquer cette propriété, il faut connaître :intégralement une des 2 vitessesle support de la seconde

MOUVEMENT MOUVEMENT PLANPLAN

EXEMPLE : système vilebrequin(1)-bielle(2)-piston(3)

Connaissant la vitesse en rotation du vilebrequin, déterminer graphiquement la vitesse linéaire du piston.

1/0 = 100 rad.s-1

OA=30mm

VVA1/0A1/0 = = ωω.R = 100 .R = 100 × 0.03 = 3 m/s× 0.03 = 3 m/s

VA1/0VA1/0

La bielle 2 et le piston 3 sont articulés au pt B donc :

VB3/0VB3/0 VB2/0VB2/0==

Le piston 3 est en Mvt de translation rectiligne, donc la trajectoire du pt B est la droite OB

La droite OB est le support de

VB3/0VB3/0 VB2/0VB2/0etet

HHKK

VB2/0VB2/0

mesurer Bb : mm VB3/0 = m.s-12525 2.52.5

MOUVEMENT MOUVEMENT PLANPLAN

DOUBLE EQUIPROJECTIVITÉSi l’on connaît intégralement les vitesses de 2 points d’un solide, on peut déterminer la vitesse de tout autre point en appliquant 2 fois l’équiprojectivité 

A

B

C

VA

VC

VB

A1C1

B2

C2

La méthode est impossible de cette façon si les 3 points sont alignés.Il faut alors utiliser la méthode du CIR

MOUVEMENT MOUVEMENT PLANPLAN

Centre instantané de rotation : CIR

Dans tout solide en mouvement plan, il existe un seul point ayant une vitesse nulle à un instant donné. On l’appelle Centre Instantané de Rotation.

AB

C

VA

VB

VC

VA

BCA

O

O

Le pt O est le CIR

La vitesse est proportionnelle au rayon

OA >OC >OB donc :

VC VBVA > >

VC

VB

MOUVEMENT MOUVEMENT PLANPLAN

B

A

EXEMPLE 1:

AV

V V AA= 4 m/s= 4 m/s

CIR

BV

Vc

V V BB= 3,6 m/s = 3,6 m/s

V V CC= 5,1 m/s = 5,1 m/s

C

EXEMPLE 2:

MOUVEMENT MOUVEMENT PLANPLAN

On reprend le système de la page 12 Déterminez la vitesse du point milieu de la bielle 2.

Données :

1/0 = 100 rad.s-1

OA=30mmÉchelle 10mm1m.s-1

VVA1/0A1/0

VVB2/0B2/0

CIRCIR

VVA2/0A2/0

VVC2/0C2/0

C

VVA1/0A1/0 = = ωω.R = 100 .R = 100 × 0.03 = 3 m/s× 0.03 = 3 m/s

VVC2/0C2/0 = = 2.5 m/s 2.5 m/s

COMPOSITION DES VITESSESCOMPOSITION DES VITESSESLe mouvement de la charge par rapport au sol est le composé de 2 autres mouvements : charge par rapport au portiqueportique par rapport au sol

Mvt2/0 = Mvt2/1 + Mvt1/0Mvt2/0 = Mvt2/1 + Mvt1/0

0

1 2 Mvt2/1Mvt2/1

Mvt1/0Mvt1/0Mvt2/0Mvt2/0

COMPOSITION DES VITESSESCOMPOSITION DES VITESSESrelation de composition des vitesses pour un point A de la charge :

VA2/0 = VA2/1A2/1 + VA1/0A1/0

0

1 2

VVA2/1A2/1 VVA1/0A1/0

VVA2/0A2/0

VVA2/1A2/1

VVA1/0A1/0

VVA2/0A2/0

COMPOSITION DES VITESSESCOMPOSITION DES VITESSES

Exemple : Exemple : -le portique se déplace vers la droite à 0,5 m.s-1- la charge descend à 0,2 m.s-1

Mesurez sa norme :_______mm et calculez la valeur de la vitesse :__________ m.s-1

Tracez les vecteurs-vitesses du point A2/1 puis A1/0 Tracez le vecteur-vitesse du point A2/0

0

1 2

VVA2/1A2/1VVA2/0A2/0

VVA1/0A1/0

5454 0.540.54

Par le calcul :Par le calcul : mm85532050 22 .)(

VVA2/0 = 0.54 m.sA2/0 = 0.54 m.s-1-1

Mvt3/0 : _______________ donc le vecteur vitesse de B3/0 est en B à BC

rotationrotationMvt1/0 : _______________ donc le vecteur vitesse de B1/0 est en B à AB

rotationrotation

VB2/1 = 2 cm.sVB2/1 = 2 cm.s-1-1

VB3/0 = VB3/2B3/2 + VB2/1B2/1 + VB1/0B1/0

B étant le centre de la rotation 3/2

VB3/2 = 0 VB3/2 = 0

Mvt2/1 : le mouvement est une translationtranslation 0

3

2

1Échelle 1 :100

VVB2/1B2/1

VB3/0 = mm cm.s-1

VB1/0 = mm cm.s-1

VB3/0 = VB2/1B2/1 + VB1/0B1/0

VVB1/0B1/0

VVB3/0B3/0

6666 6.66.6

7.27.27272

Calcul de 3/0

= V/R = 72 / 7200 = 0.01rad/s= V/R = 72 / 7200 = 0.01rad/s