Quelques propriétés fondamentales des entiers

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ℕ désigne l’ensemble des entiers naturels, ℤ désigne l’ensemble des entiers relatifs,

ℕ ℤ ℝ.

∗ Toute partie non vide de ℕ admet un plus petit élément.(Axiome)

1 Parties majorées, minorées, de ℤ (Propriétés admises) Soit s un entier relatif.

∗ Soit E une partie non vide de ℤ telle que e s pour tout e de E : On dit que l’ensemble E est

majoré par l’entier s. Dans ce cas, E admet alors un plus grand élément.

∗ Soit E une partie non vide de ℤ telle que s e pour tout e de E : On dit que l’ensemble E

est minoré par l’entier s. Dans ce cas, E admet alors un plus petit élément.

∗ Le plus petit entier strictement supérieur à s est s+1, le plus grand entier strictement

inférieur à s est s–1.

2 Encadrement d’un nombre réel par 2 entiers.

① On a la propriété admise suivante :

Pour tout réel x, il existe un entier relatif s et un entier relatif S tel que s< x< S.

② Problème fondamental

Soit x un réel quelconque. Soit I l’ensemble des entiers relatifs i tels que i x.

1) Montrer que I est non vide et est majoré par un entier relatif S.

2) Prouver que I admet un plus grand élément e et que e x<e+1.

3) On suppose que n est aussi un relatif vérifiant nx<n+1. Comparer n à e.

(Résoudre l’exercice en utilisant les théorèmes et propriétés vus plus haut).

Résolution :

1) On sait qu’il existe 2 entiers s et S tels que s<x<S.

∗ On a s x d’où s se trouve dans I ; I est forcément un ensemble d’entiers non vide.

∗ Pour tout i de I, i x or x< S d’où i S . C’est la preuve que l’ensemble non vide d’entiers

relatifs I est majoré par l’entier relatif S.

2) D’après les propriétés vues dans la question précédente, I admet un plus grand élément e.

eI donne e x ; l’entier e+1, qui est strictement plus grand que e, ne peut pas se trouver dans

I : L’inégalité e+1 x n’est pas vérifiée et forcément x< e+1.

Ainsi nous avons la double inégalité e x< e+1.

3) n est un entier relatif tel que n x< n+1 ; on va comparer n et e.

Supposons que n soit distinct de e :

n x entraîne que n se trouve dans I qui a pour plus grand élément e d’où n e

Forcément n<e puisque n≠ e. Or n+1 est le plus petit entier supérieur strictement à n,

d’où n+1 e. Comme e x, on arrive à n+1 x, ce qui est en contradiction avec

l’hypothèse x< n+1.

C’est absurde.

On a ainsi forcément e=n.

Conclusion : e est bien l’unique entier relatif qui vérifie e x< e+1.

③ Théorème et définition de la partie entière

D’après l’exercice précédent, le théorème donné dans l’énoncé suivant a été justifié:

Pour tout réel x, il existe un seul entier relatif e tel que e x <e+1 ; cet entier e s’appelle la

partie réelle de x et on note e=E(x).