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GÉNIE DES MATÉRIAUX

Note finale: /25

NOM (en majuscules):_____________________________

PRÉNOM :_ _____________________________ C o r r i g é

Version révisée

01/10/02; 11:30

SIGNATURE :__ ____________________________

MATRICULE : _________________

SECTION :

COURS ING1035 MATÉRIAUX

Contrôle N° 1

du 27 septembre 2002

de 8h45 à 10h20

F O R M U L A I R E D E R É P O N S E S

NOTES : ♦ Aucune documentation permise.♦ Moyen de calcul : calculatrices autorisées seulement.♦ Les nombres en marge de droite indiquent le nombre de points

accordés à la question. Le total est de 25 points.♦ Pour les questions nécessitant des calculs, aucun point ne

sera accordé à la bonne réponse si le développement n’estpas écrit.

♦ Utilisez les espaces prévus ou la page opposée pour voscalculs

♦ Le questionnaire comprend 4 pages, incluant les annexes (simentionnés) et le formulaire général.

♦ Le formulaire de réponses comprend 5 pages.♦ Vérifiez le nombre de pages de votre questionnaire et de votre

formulaire de réponse.

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Cours ING1035 MATÉRIAUX Page 2 de 5Contrôle n°1 du 27 septembre 2002

C o r r i g é

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1. EXERCICE n° 1

1.a) Limite conventionnelle d’élasticité Re0,2 du matériau X

Justification : Après décharge complète, la déformation permanente résiduelle est égale :

εp = (200,4 – 200)/200 = 0,002 = 0,2 %

La force F à laquelle avait été soumise l’éprouvette correspond à R e0,2. Cette limite conventionnelle d’élasticitéest donc égale à :

( ) 223-

3

20

2,0e

m 20x10

N 10x2,113x4

d

F4

S

FR

π

=π

==

R e0,2 = 360 MPa (1

1.b) Module d’Young E du matériau X

Justification :Sous la force F, la déformation totale εt de l’éprouvette est égale à :

εt = 0,742/200 = 0,00371 = 0,371 %

La déformation plastiqueεp est égale à 0,2% puisque l’on est la limite conventionnelle d’élasticité.

La déformation élastiqueεél est égale à :

εél =εt –

εp = (0,371 – 0,2) % = 0,171 % = 1,71x10-3

Le module d’Young est égal à : E = R e0,2/εél = 360 MPa/(1,71x10-3)E = 210,5 GPa (1

1.c) Résistance théorique à la traction Rth du matériau X

Justification :

En l’absence de données plus précises concernant le matériau X, telles que son énergie de surface γS et la

dsiatance d’équilibre a0 entre ses atomes, on applique la règle empirique disant que la résistance théorique à la

tarction R th est approximativement égale au dixième du module d’Young E du matériau.

10Eth ≅R R th = 21 050 MPa (1

1.d) Energie élastique Wél emmagasinée dans l’éprouvette sous une contrainte de 200 MPa

Justification :

Par unité de volume de matériau, l’énergie élastique emmagasinée est égale à ½σεél = σ

2/2E.

Wél = 0,095 J/cm3

( )( )

32-34

9

262

él J/cm 9,50x10 J/m 10x50,9 10x5,2102

10x200

E2W ===

σ=

(1

1.e) Coefficient de Poissonν

du matériau X

Justification : Sous une contrainte σ de 200 MPa, la déformation radiale εr est égale à :

εr = (-5,88 µm)/(20 mm) = - 2,94x10-4

La déformation axiale εz est égale à : εz = σ

/E = (200 MPa)/(210,5 GPa) = 9,50x10-4

Par définition, le coefficient de Poisson ν est égal à –(εr/εz),

soit avec les valeurs trouvées, ν = 0,3095 ≅ 0,31 ν = 0,31 (1

Sous-total = 5 pts

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1.f) Classement des matériaux Cu, Al et X selon leur dilatabilité thermique

Matériau Cu Al X

E (GPa) 110 69 ?TV (°C) 2573 ? 2862

α

(10-6

°C-1

) 16,5 23,6 ?

Justification :

Plus le module d’Young E d’un matériau et plus sa température de vaporisation TV sont élevés, plus son

coefficient α de dilatation linéique est faible. Avec les données partielles ci-dessus et en considérant la valeur

du module d’Young trouvé à la question b) ci-dessus, on peut donc classer les trois matériaux selon l’ordre

décroissant de leur dilatabilité thermique

1.g) Classe de matériau à laquelle appartient le matériau X

Cochez la case appropriée et justifiez votre choix :

2. Exercice n° 2

2.a) Système cristallin, réseau de Bravais et compacité du polonium .

Justification :

Classement Ordre décroissant

Matériau Al Cu X

(1

Le coefficient de Poisson des céramiques est en général petit (entre 0, 15 et 0,25), celui des métaux est moyen

(entre 0,28 et 0,33) et celui des polymères est élevé (entre 0,33 et 0,47).

De plus, les indices données dans l’énoncé (matériau cristallin ductile) permettent de déduire que le matériau X

appartient à la clase des métaux .

Céramiques Métaux Polymères

X

Système cristallin : a = b = c et α β γ

= 90° système CUBIQUE .

Réseau de Bravais : Atomes uniquement situés aux sommets de la maille Réseau CUBIQUE SIMPLE

Compacité : les atomes se touchant le long des arêtes du cube, leur rayon R est égal à a/2.

Il y a 1 atome en propre (8 x 1/8 = 1) appartenant à la maille.

Volume des atomes en propre :3

33

at

2x3

a4

3

R 4V

π=

π= Volume de la maille : V

3m a=

Compacité %52,4 5236,02x3

4VVC

3mat ≈=π

==

Système cristallin CUBIQUE

Réseau de Bravais CUBIQUE SIMPLE

Compacité (en %) 52,4 %

(1

(3

Sous-total = 5 pts

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2.b) Nom du site et nombre de sites en propre dans la maille

Justification :

Le site est défini par les 8 atomes qui l’entourent. Ces atomes étant aux sommets d’un cube, le site est donc

CUBIQUE.

Il appartient en totalité à la maille et il n’y en a aucun autre du même type sur les faces ou les arêtes de la

maille. Il y a donc 1 site cubique en propre par maille.

Nom du site CUBIQUE

Nombre par maille 1(1

2.c) Rayon r du site en fonction du rayon R des atomes de polonium

Justification :

Le diamètre d = 2r de l’atome qui peut se loger dans le site cubique est égal à :

13R 2R 23R 2R 23ar 2d −=−=−==

Le rayon r du site est donc égal à : ( ) 0,732R 13R r =−=

r = 0,732 R (1 p

2.d) Réseau de Bravais si le site est occupé par un autre atome

Justification :

Puisque l’atome en insertion dans le site cubique aura un diamètre égal à 0,732 fois le diamètre des atome de

polonium, ce sera un atome d’un élément autre que le polonium. Le réseau de Bravais étant défini avec des

atomes de même nature (ceux de polonium), le réseau reste donc CUBIQUE SIMPLE

CUBIQUE SIMPLE (1 p

2.e) Indices de la direction tracée sur la figure du questionnaire.

Justification :

a

b

( ) 111

212 (1 p

2.f) Position des plans ( )111 et ( )011 dans la maille.

Le plan ( est parallèle à l’axe x (h = 0) et coupe

respectivement les axes y et z en +1 et +1 (k = 1; l = 1)

)011

Le plan ( 111 ) coupe respectivement les axes x, y et z

en +1 (h = 1), -1 (k = -1) et +1 (l = 1)

c(2 p

( )011

Sous-total = 6 pts

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2.g) Densité surfacique d’atomes de polonium dans le plan ( )111

2

2a

h

a

5,13 at/nm2

Justification :

La maille plane élémentaire du plan est représentée ci-contre.

Elle contient 1 atome en propre et sa surface est égale à :

2haS = avec

( ) ( )

222 2/2a2ah −=

Après simplification, on obtient : 3a 2=S

La densité surfacique est donc égale à 3a/ 21 (1

2.h) Masse volumique théorique ρ du polonium

Justification :

Masse des atomes en propre de la maille (1 seul) : M = APo/NA

Volume de la maille : V = a3

Masse volumique théorique :ρ

= M/V = APo/(a3.NA)

ρ = 9,20 g/cm3 (1

3. Exercice n° 3

3.a) Force provoquant le début de la plastification de la pièce.

Justification :

3.b) Force provoquant la rupture de la pièce.

Justification :

Matériau Force (kN)

A 8,70

B 0 ou ND

Le matériau B ayant un comportement fragile (A = 0 %), il ne subit jamais de

déformation plastique, la force est donc nulle ou indéterminée (ND) .

Le matériau A est ductile (A = 40 %). La déformation plastique apparaît à la racine des entailles quand la

contrainte locale σloc à cette racine atteint la limite d’élasticité R e0,2 du matériau. La contrainte nominale

appliquée σnom est alors égale à : σnom = σloc/K t = R e0,2/K t où K t est le facteur de concentration de

contraintes associé à l’entaille.

La force F appliquée à la pièce est donc égale à : F = Sσnom = [e(W – 2b)]

σnom = [e(W – 2b)]R e0,2/K t

Avec la géométrie donnée des entailles (b/r = 1 et r/h = r/(W – 2b) = 0,1) ,

on obtient un facteur K t = 2,3. On en déduit ainsi la force F.

Matériau Force (kN)

A 55

B 54,35

Le matériau B ayant un comportement fragile (A = 0 %), la pièce se rompt quand la

contrainte locale σloc à la racine des entailles atteint résistance à la traction R m du matériau.

La contrainte nominale appliquée σnom est alors égale à : σnom = σloc/K t = R m/K t où K t est le facteur de

concentration de contraintes associé à l’entaille.

La force F appliquée à la pièce est donc égale à : F = Sσ

nom = [e(W – 2b)] σ

nom = [e(W – 2b)]R m/K t

Avec la géométrie donnée des entailles (b/r = 1 et r/h = r/(W – 2b) = 0,1) ,

on obtient un facteur K t = 2,3. On en déduit ainsi la force F.

Le matériau A est très ductile (A = 40 %). Quand la déformation plastique

apparaît, elle entraîne une forte augmentation du rayon à fond d’entaille.

K t diminue fortement et tend vers 1 à l’approche de la rupture.

La force F requise pour la rupture est donc égale à :

F = Sσnom = [e(W – h)] σnom = [e(W – h)]R m

(3

(4

Sous-total = 9 ptsTotal : 25 pts

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