1.1 L’électromagnétisme - Chenelière Éducation · la soie avec l’extrémité de la tige afin d’accroître le nombre de points de contact. Ainsi, on accroît la quantité

2 Chapitre 1 La charge électrique

Figure 1.1 L’adhérence électrostatique est un phénomène électrique qui se produit par temps sec. La faible chargequi circule à l’intérieur des bouts de papier et du peigne de plastique les fait s’agglutiner comme elle faitadhérer les vêtements à la peau.

1.1 L’électromagnétismeLes philosophes grecs de l’Antiquité savaient qu’un morceau d’ambre frotté exerce uneattraction sur de petites brindilles de paille. Cette observation, qui remonte loin dans letemps, marquait un premier pas en direction de l’ère de l’électronique actuelle.(D’ailleurs, le mot « électron » vient du grec êlektron, qui signifie « ambre ».) Les Grecsont également observé qu’une certaine pierre maintenant appelée la « magnétite », qu’ontrouve à l’état naturel, exerce une attraction sur les particules de fer.

À partir de ces modestes bases, les sciences de l’électricité et du magnétisme sesont développées chacune de leur côté durant des siècles, et ce jusqu’en 1820. À cemoment-là, Hans Christian Oersted a découvert un lien entre ces deux disciplines. Il a remarqué qu’un courant électrique circulant à l’intérieur d’un fil peut faire dévierl’aiguille d’une boussole. Il faut noter qu’Oersted a fait cette découverte alors qu’il préparait une démonstration à l’intention de ses étudiants de physique.

La nouvelle science de l’électromagnétisme (qui allie les phénomènes électriques etmagnétiques) a été le fruit des travaux de chercheurs de plusieurs pays. L’un des plustalentueux a été Michael Faraday. Expérimentateur de grand talent, il savait se faire unereprésentation visuelle des phénomènes physiques, pour lesquels il manifestait aussi uneforte intuition. Comme preuve de ce don particulier, précisons qu’aucun de ses carnetsde notes ne contient une seule équation. Au milieu du XIXe siècle, James Clerk Maxwella transposé les principes de Faraday sous forme mathématique et y a ajouté plusieursidées personnelles. Ainsi, il a réussi à asseoir solidement les fondements théoriques del’électromagnétisme.

Le tableau 11.1 (p. 261) présente les lois élémentaires de l’électromagnétisme,appelées les « équations de Maxwell ». Ce sujet sera abordé peu à peu au fil deschapitres ultérieurs. Toutefois, vous devriez y jeter un coup d’œil afin de comprendrel’objectif visé.

1.2 La charge électriqueSi vous marchez sur une moquette par temps sec, vous pouvez déclencher une étincelleen approchant vos doigts d’une poignée en métal. Des publicités télévisées offrent desproduits contre l’adhérence électrostatique des vêtements (voir la figure 1.1). À plus grandeéchelle, la foudre tient du même principe. Chacun de ces phénomènes donne un faibleaperçu de l’immense charge électrique présente dans les objets qui nous entourent,même dans notre corps. La charge électrique est une caractéristique intrinsèque desparticules fondamentales qui constituent ces objets, peu importe où ces particules setrouvent.

L’immense charge présente dans les objets environnants est en général impercep-tible. En effet, ces objets contiennent une quantité égale de deux types de charges : lacharge positive et la charge négative. Grâce à cette égalité ou à cet équilibre entre lescharges, on dit qu’un objet est électriquement neutre, c’est-à-dire qu’il ne contientaucune charge résultante. S’il existe un déséquilibre entre ces deux types de charges,l’objet contient alors une charge nette. Lorsqu’on dit qu’un objet est chargé, cela signifiequ’un déséquilibre (ou une charge nette) existe entre les deux types de charges. Cedéséquilibre est toujours très minime si on le compare avec la totalité des charges positiveet négative présentes dans l’objet.

Les objets chargés exercent des forces réciproques entre eux. Pour le démontrer, oncharge une tige de verre en frottant un carré de soie avec l’une de ses extrémités. Auxpoints de contact entre la tige de verre et la soie, de faibles quantités de charge passentde l’une à l’autre pour rompre quelque peu la neutralité électrique de chacune. (On frottela soie avec l’extrémité de la tige afin d’accroître le nombre de points de contact. Ainsi,on accroît la quantité de la charge, quoique infime, ainsi transférée.)

Supposons qu’on suspend à un fil la tige chargée afin de l’isoler électriquement de sonenvironnement pour que sa charge reste inchangée. Si on approche une autre tige de verrechargée (voir la figure 1.2 a), les tiges se repoussent l’une l’autre. Cela signifie que surchaque tige s’exerce une force dans une direction opposée de sa voisine. Toutefois, si onfrotte avec de la fourrure une tige de plastique et qu’on l’approche de la tige de verre sus-pendue au fil (voir la figure 1.2 b), les deux tiges seront attirées l’une par l’autre. Celasignifie que sur chacune de ces tiges s’exerce une force dans la direction de sa voisine.

Physique 2 © Les Éditions de la Chenelière inc.

Figure 1.3 Une bille porteuse dans un photocopieur Xerox. La bille est couverte de particules d’encre qui y adhèrent sous l’effet d’une force d’attraction électrostatique. Le diamètrede cette bille est d’environ 0,3 mm.

1.3 Les conducteurs et les isolants 3

Figure 1.2 a) Deux tiges dotées d’une même charge se repoussent. b) Deux tiges dotées d’une chargeopposée s’attirent. Les signes indiquent une charge nette positive et les signes une charge nette négative.

On peut comprendre ces deux démonstrations en fonction des charges positive et négative. Lorsqu’on frotte une tige de verre avec de la soie, le verre perd une partie de sa charge négative et se retrouve avec un léger déséquilibre positif (représenté par les signes positifs à la figure 1.2 a). Lorsqu’on frotte une tige de plastique avec de lafourrure, le plastique se retrouve avec un léger surplus de sa charge négative (représentépar les signes négatifs à la figure 1.2 b). Ces deux démonstrations illustrent la règle ci-après.

Des charges électriques identiques se repoussent, alors que des charges électriques opposéess’attirent.

À la section 1.4, cette règle sera présentée sous forme quantitative. La loi de Coulombdécrivant la force électrostatique (ou force électrique) entre deux charges sera étudiée.On emploie le terme électrostatique pour préciser que les charges sont stationnaires ouqu’elles se déplacent très lentement.

C’est Benjamin Franklin qui a choisi de façon arbitraire les signes et les appellations« négatif » et « positif » pour désigner les types de charge électrique. Il aurait aussi bienpu les substituer l’un à l’autre ou employer d’autres contraires afin de distinguer lesdeux types de charges. (Franklin était un homme de science de réputation internationale.On a même prétendu que ses réussites sur le plan diplomatique auprès du gouvernementfrançais pendant la guerre d’indépendance des États-Unis étaient attribuables à la répu-tation dont il jouissait à titre de scientifique.)

L’attraction et la répulsion qui s’exercent entre des corps chargés trouvent plusieursapplications industrielles, par exemple dans la peinture au pistolet et le poudrage élec-trostatique, le ramassage de la cendre légère à l’intérieur des cheminées, l’impression aujet d’encre sans impact et la photocopie. La figure 1.3 montre une bille porteuse commeon en trouve dans les photocopieurs de marque Xerox. Cette bille est couverte de poudre(ou particules) d’encre (toner) qui adhère à la bille sous l’effet de la force électrosta-tique. La poudre d’encre est de l’encre sèche, colorée, réduite en fines particules, con-tenant une résine sensible à la chaleur, et qui se fixe par chauffage sur le support d’im-pression utilisé dans les photocopieurs et les imprimantes. Les particules d’encreaccumulées sur la bille, porteuses d’une charge négative, sont attirées vers un tambourrotatif sur lequel s’est formée une image, de charge positive, du document qu’on veutphotocopier. Une feuille de papier chargée attire ensuite la poudre d’encre, après quoicette dernière y adhère sous l’effet de la chaleur pour faire la copie en question.

1.3 Les conducteurs et les isolantsDans certains types de matériaux, par exemple le métal, l’eau du robinet et le corpshumain, une partie de la charge négative se déplace librement. Ces matériaux sontappelés des conducteurs. À l’intérieur d’autres matériaux, notamment le verre, l’eaupure et le plastique, la charge se déplace plus difficilement. On parle alors de non-conducteurs ou d’isolants.

Si vous frottez une tige de cuivre à l’aide d’un tricot de laine en tenant la tige d’une main, vous ne pourrez pas la charger car la tige et vous-même êtes conducteurs.Le frottement provoquera un léger déséquilibre de la charge présente dans la tige, maisl’excédent passera aussitôt de la tige au sol (qui se trouve en contact avec la surface terrestre) par votre intermédiaire, et la charge de la tige sera vite neutralisée.

Ainsi, lorsqu’on établit une trajectoire de conducteurs entre un objet et la surfaceterrestre, on procède à une mise à la terre de cet objet. Lorsqu’on neutralise ce même objet(en supprimant tout déséquilibre de la charge négative ou positive), on le décharge.Plutôt que de tenir une tige de cuivre dans votre main, si vous la saisissez à l’aide d’unepoignée isolante, vous éliminez la trajectoire de la mise à la terre et vous pouvez chargerla tige en la frottant, mais vous devez éviter de la toucher avec votre main.

Les conducteurs et les isolants doivent leurs propriétés à la structure et à la natureélectrique de certains constituants de l’atome. Les atomes sont formés de protonschargés positivement, d’électrons négatifs et de neutrons électriquement neutres. Les protons et les neutrons sont étroitement rassemblés à l’intérieur du noyau central.


Verre

Verre

a)

Verre

Plastique

b)

+++++++++++++++++

++++++++++

+++

++++++++++

+++

––––––––––––––––F F

F

F

14 Chapitre 1 La charge électrique

www La solution se trouve sur le site Web, à l’adresse ci-dessous :

www.dlcmcgrawhill.ca/physique

SECTION 1.4 La loi de Coulomb

1E. Quelle doit être la distance entre une charge ponctuelle q1 26,0 C et une charge ponctuelle q2 47,0 C pour que la grandeur de la force électrostatique entre elles soit de 5,70 N ?

2E. Une charge ponctuelle de 3,00 106 C se trouve à 12,0 cmd’une autre charge ponctuelle de 1,50 106 C. Calculez lagrandeur de la force exercée sur chacune des charges.

3E. Deux particules de même charge, maintenues à une distance de3,2 103 m, sont libérées. On observe que l’accélération initiale de la première particule est de 7,0 m/s2 et que celle de la deuxième estde 9,0 m/s2. Si la masse de la première particule est de 6,3 107 kg,quelles sont a) la masse de la deuxième particule et b) la grandeur de la charge de chaque particule ?

4E. Deux sphères isolées, conductrices et identiques (1 et 2) sont porteuses d’une même charge. De plus, la distance les séparant estgrande si on la compare à leurs diamètres (voir la figure 1.16 a). La force électrostatique que la première sphère exerce sur la deuxièmeest de F . Supposons qu’une troisième sphère identique (3), neutre audépart et pourvue d’un manche isolant, touche d’abord la sphère 1(voir la figure 1.16 b), puis la sphère 2 (voir la figure 1.16 c) pour ensuite être retirée (voir la figure 1.16 d). En fonction de lagrandeur F, quelle est la grandeur de la force électrostatique F′qui s’exerce à présent sur la sphère 2 ?

Figure 1.16 Exercice 4

5P. À la figure 1.17, quelles sontles composantes a) horizontale etb) verticale de la force électrosta-tique résultante qui s’exerce sur la particule chargée dans le coininférieur gauche du carré si q 1,0 107 C et a 5,0 cm ?

6P. Les charges ponctuelles q1

et q2 se trouvent sur l’axe des xrespectivement aux points x aet x a. a) Quel doit être le rapport entre q1 et q2 pour que la forceélectrostatique résultante sur la charge ponctuelle Q placée à x a/2 soit nulle ? b) Refaites l’exercice précédent, cette fois avecune charge ponctuelle Q placée à x 3a/2.

www

www

7P. Deux sphères conductrices identiques et fixes s’attirent avec une force électrostatique de 0,108 N lorsqu’une distance de 50,0 cmsépare leurs centres. Les sphères sont ensuite reliées par un fil conducteur. Lorsqu’on retire le fil, les sphères se repoussent avec une force électrostatique de 0,036 0 N. Quelles étaient les chargesinitiales des deux sphères ?

8P. À la figure 1.18, trois particuleschargées sont alignées et séparéespar des distances d. Les charges q1 et q2 sont fixes. La charge q3

peut se déplacer, mais elle est en équilibre (elle ne subit aucune forceélectrostatique). Trouvez la valeur de q1 en fonction de q2.

9P. Deux particules libres (c’est-à-dire libres de se déplacer), porteusesde charges q et 4q, sont éloignées d’une distance L. On place unetroisième charge de sorte que le système soit en équilibre. a) Trouvez laposition, la grandeur et le signe de la troisième charge. b) Montrezque l’équilibre est instable.

10P. Deux particules fixes, porteuses des charges q1 1,0 C et q2 3,0 C, se trouvent à 10 cm l’une de l’autre. À quelle distance de chacune doit-on poser une troisième charge pour qu’aucune forceélectrostatique résultante ne soit exercée sur cette dernière ?

11P. a) Quelle devrait être la charge identique que la Lune et la Terredevraient avoir afin de compenser leur attraction gravitationnelle ?Doit-on connaître la distance entre ces planètes afin de répondre à cette question ? Expliquez votre réponse. b) Combien de kilo-grammes d’hydrogène faudrait-il employer pour fournir la chargepositive calculée précédemment ?

12P. Les charges et les coordonnées de deux particules chargéesmaintenues en place sur le plan xy sont les suivantes : q1 3,0 C,x1 3,5 cm, y1 0,50 cm, et q2 4,0C, x2 2,0 cm, y2 1,5 cm.a) Calculez la grandeur et la direction de la force électrostatiqueexercée sur q2. b) À quel endroit pourriez-vous situer une troisièmecharge q3 4,0 C afin que la force électrostatique résultanteexercée sur q2 soit nulle ?

13P. Une charge Q est divisée en deux parties q et Q q qui sontensuite éloignées d’une certaine distance. Quelle doit être la valeur de q par rapport à Q afin que la force de répulsion électrostatiqueentre les deux charges soit maximale ?

14P. Une particule porteuse d’une charge Q est fixée à deux des coinsopposés d’un carré, et une particule de charge q est fixée aux deux autrescoins. a) Si la force électrostatique résultante exercée sur chacune desparticules Q est nulle, quelle est la valeur de Q par rapport à q ? b) Lecas échéant, quelle est la valeur de q pour que la force électrostatiqueexercée sur chaque particule soit nulle ? Expliquez votre réponse.

15P. À la figure 1.19, deux billesconductrices ayant une mêmemasse m et une même charge qsont suspendues à des fils non conducteurs d’une longueur L.Utilisez l’hypothèse des petitsangles, tan sin .

www

www


EXERCICES ET PROBLÈMES

a)

1 2

b)

1 2

3

c)

1 2

d)

1 2

3

F

F'

F

F'

+q –q

–2q+2q

a

a

a a

Figure 1.17 Problème 5

q1

dq3q2

d


θ θ

L L

q qx


22 Chapitre 2 Les champs électriques

Figure 2.8 a) Un dipôle électrique. Les vecteurs champ électrique E()

et E() au point P sur l’axe du dipôlerésultent des deux charges du dipôle.Le point P se trouve à une distance r() et r() de chacune des charges qui constituent le dipôle. b) Le momentdipolaire p pointe de la charge négativevers la charge positive.

2.5 Le champ électrique d’un dipôle électriqueLa figure 2.8 montre deux particules de charges q et q, séparées par une distance d.Ainsi qu’on l’a précisé pour la figure 2.5, cette configuration est celle d’un dipôle électrique.On veut déterminer le champ électrique que le dipôle de la figure 2.8 a) produit au point P, soit à une distance z à partir du point médian du dipôle et sur l’axe passant par les particules ou l’axe dipolaire.

En raison de la symétrie, le champ électrique E au point P (également les champsE() et E() découlant des charges distinctes qui forment le dipôle) doit être le long del’axe dipolaire, qu’on nomme ici l’axe des z. En se basant sur le principe de superpositionpour les champs électriques, on détermine que la grandeur E du champ électrique au point P est la suivante :

E = E(+) − E(−)

= 1

4πε0

q

r2(+)

− 1

4πε0

q

r2(−)

= q

4πε0(z − 12 d)2

− q

4πε0(z + 12 d)2

. (2.5)

Après quelques manipulations algébriques, on peut reformuler cette équation ainsi :

E = q

4πε0z2

[(1 − d

2z

)−2

−(

1 + d

2z

)−2]. (2.6)

En général, on s’intéresse à l’effet électrique d’un dipôle à de grandes distances encomparaison avec les dimensions de ce dernier, c’est-à-dire des distances telles que z d.Avec de telles distances, on obtient d/2z 1 à partir de l’équation 2.6. On peut doncdévelopper les deux quantités exprimées entre les crochets à l’aide du développementdu binôme (voir l’annexe D) afin d’obtenir[(

1 + 2d

2z(1!)+ . . .

)−

(1 − 2d

2z(1!)+ . . .

)].

Par conséquent, E = q

4πε0z2

[(1 + d

z+ . . .

)−

(1 − d

z+ . . .

)]. (2.7)

Les termes non écrits des deux développements de l’équation 2.7 correspondent à despuissances supérieures de d/z. Étant donné que d/z 1, l’apport de ces termes est de moins en moins important et, pour déterminer la valeur approximative de E à degrandes distances, on peut les ignorer. Par la suite, on peut reformuler approximativementl’équation 2.7 comme suit :

E = q

4πε0z2

2d

z= 1

2πε0

qd

z3. (2.8)

Le produit qd, qui implique les deux propriétés intrinsèques q et d du dipôle, est le module p d’une quantité vectorielle appelée le moment dipolaire électrique pdu dipôle. (L’unité de p est le coulomb-mètre). Par conséquent, on peut récrire l’équa-tion 2.8 ainsi :

E = 1

2πε0

p

z3(le champ dipolaire). (2.9)

On considère que p s’oriente de l’extrémité négative du dipôle vers l’extrémité positive(voir la figure 2.8 b). On peut employer p afin de préciser l’orientation d’un dipôle.

L’équation 2.9 démontre qu’on ne peut déterminer les valeurs de q et de d séparémenten mesurant le champ électrique d’un dipôle à des points éloignés, mais seulement leurproduit. Le champ à des points éloignés serait inchangé si, par exemple, q était doubléeet d était simultanément réduite de moitié. Par conséquent, le moment dipolaire est unepropriété fondamentale d’un dipôle.

Bien que l’équation 2.9 ne soit valable que pour les points éloignés le long de l’axedipolaire, il s’avère que E est proportionnelle à 1/r3 pour tous les points éloignés, peuimporte leur direction par rapport à l’axe dipolaire.


z

r(–)

r(+)

E(+)

d

z

–q

+q

P

a) b)

+ +

––

p

E(–)

Centre du dipôle

Exercices et problèmes 37

SECTION 2.7 Le champ électrique d’un disque chargé

25E. La face supérieure d’un disque ayant un rayon de 2,5 cm a unedensité de charge surfacique de 5,3 C/m2. Quelle est la grandeur du champ électrique produit par le disque à un point de son axe centralà une distance z 12 cm du disque ?

26P. À quelle distance le long de l’axe central d’un disque de plastique de charge uniforme et de rayon R la grandeur du champ électriqueégale-t-elle la moitié de la grandeur du champ au centre de la surfacedu disque ?

SECTION 2.8 Une charge ponctuelle à l’intérieur d’un champ électrique

27E. Un champ électrique accélère un électron dans la direction est à 1,8 109 m/s2. Déterminez la grandeur et la direction du champélectrique.

28E. Un électron initialement au repos est placé à l’intérieur d’unchamp électrique uniforme dont la grandeur est de 2,00 104 N/C.Calculez l’accélération de l’électron (ignorez les effets gravitationnels).

29E. Une particule alpha (le noyau d’un atome d’hélium) a une massede 6,64 1027 kg et une charge de 2e. Déterminez la grandeur et la direction du champ électrique qui équilibrera la force de gravitéagissant sur cette particule.

30E. Calculez la grandeur de la force produite par un dipôle électriquede moment dipolaire de 3,6 1029 C • m sur un électron se trouvantà 25 nm du centre du dipôle, le long de l’axe dipolaire. Supposezqu’il s’agit d’une grande distance par rapport à la séparation de lacharge dans le dipôle.

31E. Une décharge électrique peut se former dans l’air humide lorsquele champ électrique atteint 3 106 N/C (les molécules s’ionisent). Dansce champ, déterminez la grandeur de la force électrostatique qui s’exercea) sur un électron et b) sur un ion auquel il manque un électron.

32E. Un système nuageux chargé établit un champ électrique dansl’air à proximité de la surface de la Terre. Une force électrostatiquese dirigeant vers le sol de 3,0 106 N agit sur une particule chargée de 2,0 109 C lorsqu’elle entre dans ce champ. a) Quelle est la grandeur du champ électrique ? b) Déterminez la grandeur et ladirection de la force électrostatique qui s’exercerait sur un protonplacé dans ce champ. c) Calculez la force de gravité qui s’exerce sur le proton. d) Dans ce cas, quel est le rapport entre la grandeur dela force électrostatique et la grandeur de l’attraction gravitationnelle ?

33E. Un champ électrique E , dont la grandeur moyenne est d’environ150 N/C, se trouve dans l’atmosphère à proximité de la surface terrestreet est orienté vers la Terre. On souhaite faire flotter dans ce champune sphère de soufre pesant 4,4 N en la chargeant. a) Quelle chargepermettra d’y parvenir (précisez le signe et la grandeur) ? b) Précisezpourquoi une telle expérience est peu réaliste.

34E. On peut produire des faisceaux de protons à haute vitesse à l’in-térieur d’une espèce de pistolet dans lequel un champ électriqueprovoque l’accélération des protons. a) Quelle serait l’accélérationd’un proton si le champ électrique du pistolet était de 2,00 104 N/C ?b) Quelle vitesse le proton atteindrait-il si le champ produisait uneaccélération sur une distance de 1,00 cm ?

35E. Un électron se déplaçant à la vitesse de 5,00 108 cm/s pénètredans un champ électrique d’une grandeur de 1,00 103 N/C. Il se déplace le long des lignes de champ dans la direction qui ralentitson mouvement. a) Quelle distance l’électron parcourra-t-il à l’intérieurdu champ avant de s’immobiliser momentanément ? b) Combien detemps se sera écoulé avant cet arrêt ? c) Si la zone où règne le champélectrique ne fait que 8 mm de long (une distance trop courte pour quel’électron s’immobilise à l’intérieur de celle-ci), quelle fraction de l’énergie cinétique initiale de l’électron sera perdue dans cette zone?

www

36E. Dans le cadre de l’expérience de Millikan, on suspend unegoutte d’huile d’un rayon de 1,64 m et d’une densité de 0,851 g/cm3

à l’intérieur d’une chambre C (voir la figure 2.14) à l’aide d’un champélectrique orienté vers le bas de 1,92 105 N/C. Déterminez la chargede cette goutte en fonction de e.

37P. Au cours d’une de ses expériences, Millikan a observé que lesmesures de charge suivantes apparaissaient, entre autres, à différentsmoments sur une même goutte :

6,563 1019 C 13,13 1019 C 19,71 1019 C

8,204 1019 C 16,48 1019 C 22,89 1019 C

11,50 1019 C 18,08 1019 C 26,13 1019 C

À partir de ces données, quelle peut être la valeur de la charge élémentaire e?

38P. Un champ électrique uniforme est créé entre deux plaques de charges opposées. On libère un électron initialement au repos à la surface de la plaque négative et il atteint la surface de la plaquepositive, 2 cm plus loin, en l’espace de 1,5 108 s. a) Quelle est la vitesse de l’électron au moment où il touche la deuxième plaque ?b) Quelle est la grandeur du champ électrique E ?

39P. À un instant donné, les composantes de la vitesse d’un électron sedéplaçant entre deux plaques parallèles chargées sont vx 1,5 105 m/set vy 3 103 m/s. On suppose que le champ électrique entre les plaques est E (120 N/C)j. a) Quelle est l’accélération de l’électron ? b) Quelle sera la vitesse de l’électron après que sacoordonnée x aura changé de 2,0 cm ?

40P. Deux grandes plaques parallèlesde cuivre à 5,0 cm l’une de l’autreont un champ électrique uniformeentre elles (voir la figure 2.39). On libère un électron de la plaquenégative au moment où un protonest libéré de la plaque positive.Négligez la force que les particulesexercent l’une sur l’autre et déter-minez la distance qui les sépare de la plaque positive au moment oùelles se croisent. (La grandeur du champ électrique n’est pas utilepour résoudre ce problème. Cela vous étonne-t-il ?)

41P. On dépose un bloc de 10 g porteur d’une charge de 8,00 105 Cà l’intérieur d’un champ électrique E (3,00 103)i 600j où Eest exprimé en newtons par coulomb. a) Déterminez la grandeur et ladirection de la force qui s’exerce sur le bloc. b) Si le bloc est initialementau repos à l’origine à t 0, quelles seront ses coordonnées à t 3,00 s?

42P. À la figure 2.40, un champélectrique uniforme E orienté vers le haut d’une grandeur de 2,00 103 N/C a été établi entredeux plaques horizontales en chargeant la plaque inférieure positivement et la plaque supérieurenégativement. Les plaques ont unelongueur L 10,0 cm, et elles setrouvent à une distance d 2,0 cm. Un électron est envoyé entre les plaques depuis l’extrémité gauche de la plaque inférieure. La vitesse initiale v0 de l’électron forme un angle 45° avec la plaque inférieure, et sa grandeur est de 6,00 106 m/s. a) L’électrontouchera-t-il une des plaques ? b) Le cas échéant, déterminez laquelle.Trouvez ensuite à quelle distance horizontale de l’extrémité gauchel’électron frappera.

www

www


Plaque positive

Plaque négativep

e

E


L

θ

d

v0

E


3.4 Le théorème de Gauss 43

Un champ électrique variable E 3,0xi 4,0j traverse le cube deGauss (voir la figure 3.5). (E est exprimé en newtons par coulomb etx en mètres.) Déterminez le flux électrique qui traverse la face droite,la face gauche et la face supérieure.

SOLUTION : Le concept clé veut qu’on détermine le flux qui traverse la surface en intégrant le produit scalaire E • d A sur chacune des faces.

La face droite : Un vecteur surface A est toujours perpendiculaireà sa surface et s’oriente toujours en pointant vers l’extérieur d’unesurface de Gauss. Par conséquent, le vecteur d A de la face droite du cube doit s’orienter dans le sens des x positifs. Sous forme devecteur unitaire, on peut écrire

d A dAi.À partir de l’équation 3.4, on détermine le flux qui traverse la facedroite ainsi :

d =∫

E · d A =∫

(3,0xi + 4,0j) · (dAi)

=∫

[(3,0x)(dA)i · i + (4,0)(dA)j · i]

=∫

(3,0x dA + 0) = 3,0

∫x dA.

On peut maintenant faire l’intégration sur la face droite. Toutefois, on constate que x a la même valeur partout sur cette face, à savoir x 3,0 m. Cela signifie que x peut être remplacé par cette constante.Dans ce cas,

d = 3,0

∫(3,0) dA = 9,0

∫dA.

L’intégrale correspond simplement à la surface A 4,0 m2 de la facedroite. Ainsi, on obtient

d = (9,0 N/C)(4,0 m2) = 36 N · m2/C. (réponse)

La face gauche : Afin de déterminer le flux qui traverse la facegauche, on procède comme on l’a fait pour la face droite. Toutefois,deux facteurs sont différents : 1) le vecteur surface infinitésimal d A s’oriente vers les x négatifs et, par conséquent, d A dAi; 2) le terme x paraît encore à l’intégration, et sa valeur est constantesur la face gauche. Cependant, sur cette même face, x 1,0 m. En raison de ces deux changements, le flux g qui traverse la facegauche est donc

g 12 N • m2/C. (réponse)

La face supérieure : Le vecteur surface infinitésimal d A pointevers les y positifs et, par conséquent, d A dAj . Le flux s qui traverse la face supérieure est donc

s =∫

(3,0xi + 4,0j) · (dAj)

=∫

[(3,0x)(dA)i · j + (4,0)(dA)j · j]

=∫

(0 + 4,0 dA) = 4,0

∫dA

= 16 N · m2/C . (réponse)


Exemple 3.2 y

x

z

Surface de Gauss

x = 1,0 m x = 3,0 m

Figure 3.5 Exemple 3.2 Un cube de Gauss, dont une arête est poséesur l’axe des x, se trouve à l’intérieur d’un champ électrique variable.

3.4 Le théorème de GaussLe théorème de Gauss établit le rapport entre le flux net d’un champ électrique à travers une surface fermée (une surface de Gauss) et la charge nette qint qui se trouve à l’intérieur de cette surface. Il se formule ainsi :

= qint

ε0(le théorème de Gauss). (3.6)

Si on lui substitue l’équation 3.4 (qui définit le flux électrique traversant une surface),le théorème de Gauss peut se formuler comme suit :

∮E · d A = qint

ε0(le théorème de Gauss). (3.7)

Les équations 3.6 et 3.7 ne sont valables que si la charge nette se trouve dans le vide ou(en bonne approximation) dans l’air. À la section 5.8, nous modifierons le théorème deGauss pour tenir compte de situations où un matériau tel que le mica, l’huile ou le verreest présent.

Dans les équations 3.6 et 3.7, la charge nette qint est la somme algébrique de toutesles charges positives, négatives ou nulles qui se trouvent à l’intérieur de la surface deGauss. On tient compte du signe plutôt que de simplement préciser la grandeur de la


Le champ électrique à la surface du photorécepteur doit demeurerinchangé. Déterminez la charge du nouveau tambour photorécepteur.

17E. Une ligne de charge infinie produit un champ de 4,5 104 N/Cà une distance de 2,0 m. Déterminez la densité linéique de la charge.

18P. La figure 3.28 présente une section d’un long tube de métal à paroi mince de rayon R qui porte à sa surface une charge par unitéde longueur y. Dérivez les équations qui expriment E en fonction dela distance r de l’axe du tube dansles deux situations suivantes : a) r R et b) r R. Représentezgraphiquement vos résultats enfonction des valeurs de r allant de r 0 jusqu’à r 5,0 cm, en sup-posant que 2,0 108 C/m etR 3,0 cm. (Indice : Utilisez dessurfaces de Gauss cylindriquesayant le même axe que le tube demétal.)

19P. Une très longue tige cylindri-que et conductrice d’une longueur L,porteuse d’une charge nette q,est entourée d’un cylindre conduc-teur creux coaxial à la longue tige(également d’une longueur L) dontla charge nette est de 2q (voir lafigure 3.29). Employez le théorèmede Gauss afin de déterminer a) le champ électrique en des pointsextérieurs au cylindre creux, b) ladistribution de la charge sur lecylindre creux et c) le champ élec-trique dans la région entre lecylindre creux et la tige.

20P. Un long fil rectiligne porte une densité linéique de charge néga-tive dont la grandeur est de 3,6 nC/m. Le fil doit être placé coaxia-lement à l’intérieur d’un cylindre non conducteur mince dont lerayon extérieur mesure 1,5 cm. Ce cylindre doit porter une chargepositive sur sa surface extérieure, de densité surfacique uniforme σ,de façon que le champ électrique à l’extérieur du cylindre soit nul.Calculez la valeur appropriée de σ.

21P. Deux longs cylindres coaxiaux et chargés ont des rayons de 3,0 cm et de 6,0 cm. La charge par unité de longueur du cylindreintérieur est de 5,0 106 C/m, et celle du cylindre extérieur est de 7,0 106 C/m. Déterminez le champ électrique poura) r 4,0 cm et b) r 8,0 cm, où r est la distance radiale depuisl’axe central commun.

22P. Un long cylindre plein et non conducteur, dont le rayon est de 4,0 cm, a une densité volumique de charge variable qui est une fonction de la distance radiale r depuis l’axe du cylindre. La densité s’exprime par la fonction ρ Ar2, où A 2,5 µC/m5.Quelle est la grandeur du champ électrique à une distance radiale a) de 3,0 cm et b) de 5,0 cm de l’axe du cylindre ?

23P. La figure 3.30 montre un compteur de Geiger-Müller, un détecteurde particules ionisantes (qui provoquent l’ionisation des atomes). Il estconstitué d’un fil central mince porteur d’une charge positive qu’en-toure un cylindre métallique, circulaire et concentrique porteur d’unecharge négative de même grandeur que l’autre charge. Par conséquent,un puissant champ électrique radial est établi à l’intérieur du cylindre.Ce dernier contient un gaz inerte à basse pression. Lorsqu’une particuleionisante entre dans le détecteur par la paroi du cylindre, elle ionisequelques-uns des atomes de gaz. Cette réaction produit des électrons

www

libres (e) qui sont attirés vers le filpositif. Toutefois, le champ élec-trique est d’une telle grandeur que,pendant le temps qui s’écouleavant leurs collisions avec d’autresatomes de gaz, les électrons libresreçoivent suffisamment d’énergiepour ioniser ces atomes à leur tour.Davantage d’électrons libres sontainsi produits, et le procédé serépète jusqu’à ce que les électronsatteignent le fil. L’avalanche d’élec-trons qui s’ensuit se transmet au fil.Un signal est alors émis, qui sert àenregistrer le passage de la par-ticule ionisante originale. Sup-posez que le rayon du fil central estde 25 m, le rayon du cylindre de 1,4 cm et la longueur du tube de16 cm. Si le champ électrique sur la paroi intérieure du cylindre estde 2,9 104 N/C, quelle est la charge positive nette du fil central ?

24P. On répartit une charge ayant une densité linéique uniforme de 2 nC/m le long d’une fine tige longue et non conductrice. La tigeest entourée par un long cylindre coaxial creux et conducteur (le rayon intérieur est de 5,0 cm et le rayon extérieur de 10 cm). La charge nette sur le conducteur est nulle. a) Quelle est la grandeurdu champ électrique à 15 cm de l’axe du cylindre? Quelle est la densitésurfacique de charge b) de la surface intérieure ? c) de la surfaceextérieure du conducteur ?

25P. Une charge est distribuée de façon uniforme à l’intérieur duvolume d’un cylindre infiniment long de rayon R. a) Démontrez que,à une distance r de l’axe du cylindre (alors que r R),

E = ρr

2ε0,

où est la densité volumique de charge. b) Déterminez la valeur de E lorsque r R.

SECTION 3.8 L’application du théorème de Gauss à des symétries planaires

26E. La figure 3.31 présente les coupes transversales de deux grandesfeuilles parallèles et non conductrices portant une même densité sur-facique de charge . Déterminez E aux points qui se trouvent a) au-dessus des feuilles, b) entre les feuilles et c) au-dessous des feuilles.


27E. Une plaque de métal carrée de 8,0 cm de côté et dont l’épaisseurest négligeable porte une charge nette de 6,0 106 C. a) Déterminez la grandeur E du champ électrique à proximité ducentre de la plaque (soit à 0,5 mm de distance), en supposant que lacharge est distribuée uniformément sur les deux faces de la plaque. b) Déterminez la valeur de E à une distance de 30 m (longue par rap-port à la taille de la plaque), en supposant que la plaque est unecharge ponctuelle.

28E. Une grande surface plane et non conductrice a une densité de charge uniforme . On a fait un petit trou circulaire de rayon Rau milieu de la surface (voir la figure 3.32). Sans tenir compte des

www


R

++

++

++

++

++

++

++

+

++

++ +

+ ++

+


+q

–2q


+ +

+ +

+ +

+ +

+ +

+ +

SignalParticule

Cylindre chargé

e

Fil chargé

–––––––––––––––

–––––––

–––––––


+++++++++++

+++++++++++


42P. On peut considérer qu’un atome d’hydrogène est constitué d’unproton central de charge positive e et d’un électron dont la chargenégative e est répartie autour du proton avec une densité volumiquede charge ρ Ae(2r/a0). Ici, A est une constante, a0 0,53 1010 mreprésente le rayon de Bohr et r désigne la distance à partir du centrede l’atome. a) En considérant que l’atome d’hydrogène est élec-triquement neutre, déterminez la valeur de A. b) Ensuite, déterminezle champ électrique que l’atome produit en un point situé sur le rayonde Bohr.

43P. La figure 3.34 montre une sphère de rayon a, porteuse d’unecharge q distribuée uniformément dans son volume, qui est concentrique avec une sphère creuse et conductrice dont le rayonintérieur est b et le rayon extérieur c. La charge nette de cette sphèrecreuse est q. Trouvez les expressions du champ électrique en fonc-tion du rayon r a) pour r a, b) pour a r b, c) pour b r cet d) pour r c. e) Quelles sont les charges sur les surfaces intérieureet extérieure de la sphère creuse ?


44P. La figure 3.35 a) présente une sphère creuse ayant une densitévolumique de charge uniforme . Tracez le graphique de E en fonctionde r dans le domaine 0 r 30 cm, où E est le champ électrique de la sphère creuse. Supposez que ρ 1,0 106 C/m3, a 10 cmet b 20 cm.

Figure 3.35 Problèmes 44 et 45

45P. La figure 3.35 b) montre une sphère creuse non conductrice, d’unrayon intérieur a et d’un rayon extérieur b, d’une densité de chargevolumique positive ρ A/r (entre a et b), où A est une constante etr, la distance depuis le centre de la sphère. De plus, une chargeponctuelle positive q se trouve au centre de la sphère. Quelle doit être lavaleur de A pour que le champ électrique à l’intérieur de la sphère (a r b) soit uniforme ? (Indice : La constante A estfonction de a mais pas de b.)

46P*. Une sphère non conductrice a une densité volumique de charge ρ.Supposez que r est le vecteur depuis le centre de la sphère jusqu’en

un point quelconque de celle-ci. a) Démontrez qu’on peut déterminerle champ électrique au point P à partir de E ρr /3ε0. (Remarquezque le résultat est indépendant du rayon de la sphère.) b) On creuseune cavité sphérique à l’intérieur de la sphère (voir la figure 3.36). En vous basant sur le principe de superposition, démontrez que le champélectrique est uniforme en tout point à l’intérieur de la cavité et qu’iléquivaut à E ρa /3ε0, où a est le vecteur position depuis le centre dela sphère jusqu’au centre de la cavité. (Remarquez que les rayons dela sphère et de la cavité ne déterminent aucunement le résultat.)


47P*. Une distribution volumique de charge non uniforme et àsymétrie sphérique produit un champ électrique d’une grandeur E Kr4 qui pointe radialement vers l’extérieur depuis le centre de lasphère. Ici, r représente la distance radiale à partir de ce centre et Kest une constante. Quelle est la densité volumique de la distributionde charge?

Problème supplémentaire

48. Le mystère des brisures de chocolat. Les explosions déclenchéespar des décharges électrostatiques constituent un grave danger dans lesinstallations de manutention de grain et de poudre. Une telle explosionest survenue dans les années 1970 dans une usine de confection de biscuits aux brisures de chocolat. Les ouvriers avaient l’habitudede décharger les sacs de poudre qu’on venait de leur livrer dans unbac de chargement. La poudre était ensuite soufflée à l’intérieur decanalisations en CPV (concentration pigmentaire volumique) mises à la terre jusqu’à destination du silo d’entreposage. On trouvait au fil de ce parcours deux conditions propices à une explosion : 1) la grandeur du champ électrostatique atteignait 3,0 106 N/C,voire davantage, de sorte qu’un claquage diélectrique et, conséquem-ment, des étincelles, étaient à craindre ; 2) l’énergie d’une étincelleétait de 150 mJ ou plus, de sorte qu’elle pouvait provoquer uneexplosion. Regardons ici la première condition pour la poudre circu-lant à l’intérieur des canalisations en CPV.

Supposez qu’on souffle une nappe de poudre de chocolat porteused’une charge négative à l’intérieur d’une canalisation cylindrique en CPV dont le rayon R 5,0 cm. Supposez maintenant que lapoudre et sa charge sont distribuées uniformément à l’intérieur de lacanalisation avec une densité de charge volumique . a) En vous servantdu théorème de Gauss, déterminez l’expression de la grandeur duchamp électrique E à l’intérieur de la canalisation en fonction de ladistance radiale r du centre de la canalisation. b) La grandeur s’accroît-elle ou décroît-elle en fonction de r ? c) Le champ électrique Epointe-t-il radialement vers l’intérieur ou l’extérieur ? d) En sup-posant que la densité volumique de charge a une valeur de 1,1 103 C/m3 (ce qui était une situation type chez le fabricant debiscuits), déterminez la grandeur maximale du champ électrique etl’endroit où celle-ci est atteinte. e) Des étincelles pouvaient-elles seformer et, si tel est le cas, à quel endroit ? (Cet exemple se poursuitau problème 57 du chapitre 4.)


a b

c

+q

–q

a

b

++++++

++++++++

++++

++++

++

++

+++

+++

+++

+++

+++

++

++

++++

++++

++++++++

++++++

b

a

q +

a) b)

a

Poste 3

Note

Suppression de creuse


64 Chapitre 4 Le potentiel électrique

Figure 4.2 Des sections de quatre surfaces équipotentielles possédant les potentiels électriques suivants : V1 100 V, V2 80 V, V3 60 V et V4 40 V. On aperçoit quatre trajectoires quelconques qu’une charged’essai peut emprunter. Deux lignes de champ électrique sont égalementillustrées.

Le travail d’une force extérieure

Supposons qu’on déplace une particule de charge q du point i au point f dans un champélectrique à l’aide d’une force extérieure. Au cours du mouvement, cette force accomplitun travail Wext sur la charge, alors que le champ électrique effectue sur elle un travail W.À partir du théorème de l’énergie cinétique, K Kf Ki Wnet , la variation K del’énergie cinétique de la particule est la suivante :

K Kf Ki Wext W. (4.11)

Supposons à présent que la particule est au repos avant et après le mouvement. Alors, Kf et Ki sont toutes deux nulles, et l’équation 4.11 se ramène à

Wext W. (4.12)

Autrement dit, le travail Wext que la force extérieure accomplit en cours de mouvementest égale à l’inverse additif du travail W accompli par le champ électrique, à conditionque l’énergie cinétique ne subisse aucune variation.

En faisant appel à l’équation 4.12 pour introduire Wext dans l’équation 4.1, on peutmettre en relation le travail de la force extérieure et la variation de l’énergie potentiellede la particule au cours du mouvement. On obtient alors

U Uf Ui Wext. (4.13)

De même, en se basant sur l’équation 4.12 afin de faire apparaître Wext dans l’équa-tion 4.7, on peut relier le travail Wext et la différence de potentiel électrique V entre le point de départ et le point d’arrivée de la particule. On obtient alors

Wext q V. (4.14)

Le travail Wext peut être positif, négatif ou nul, selon le signe et la grandeur de q et de V.C’est le travail qu’il faut effectuer afin de déplacer une particule de charge q dans unedifférence de potentiel V sans que l’énergie cinétique de cette particule soit modifiée.

VÉRIFIEZ VOS CONNAISSANCES 2 : Dans le schéma de la rubrique Vérifiez vos connaissances 1,nous déplaçons un proton du point i au point f dans un champ électrique uniforme. a) La forceextérieure que nous exerçons accomplit-elle un travail positif ou négatif ? b) Le proton sedéplace-t-il vers un point de potentiel plus élevé ou moins élevé ?

4.3 Les surfaces équipotentiellesL’ensemble des points adjacents qui ont un même potentiel électrique constitue une sur-face équipotentielle, qui peut être imaginaire ou réelle. Le champ électrique n’accom-plit aucun travail net sur une particule chargée, alors que celle-ci se déplace entre lespoints i et f d’une même surface équipotentielle. Ce principe découle de l’équation 4.7 quiveut que W soit nul lorsque Vf Vi . Puisque le travail (et, par conséquent, l’énergiepotentielle et le potentiel électrique) est indépendant de la trajectoire, W 0 quelle que soit la trajectoire entre les points i et f, et peu importe que cette trajectoire se situeentièrement ou non sur la surface équipotentielle.

La figure 4.2 présente une famille de surfaces équipotentielles associée avec le champ électrique produit par une distribution quelconque de charges. Le travailaccompli par le champ électrique sur une particule chargée alors que celle-ci se déplaced’une extrémité à l’autre des trajectoires I et II est nul, car chacune des trajectoiress’amorce et se termine sur la même surface équipotentielle. Le travail accompli alorsque la particule chargée se déplace d’une extrémité à l’autre des trajectoires III et IVn’est pas nul, mais sa valeur est la même pour les deux trajectoires, car leurs potentielssont identiques au départ et à l’arrivée. En effet, les trajectoires III et IV relient la mêmepaire de surfaces équipotentielles.

Par symétrie, on sait que les surfaces équipotentielles produites par une chargeponctuelle ou par une distribution de charge à symétrie sphérique forment une famillede sphères concentriques. Dans un champ électrique uniforme, les surfaces forment unefamille de plans perpendiculaires aux lignes de champ. En fait, les surfaces équipoten-

I

II

III IV

V1

V2

V3

V4


Figure 4.13 a) Une fine tige de chargeuniforme engendre un potentiel électrique V au point P. b) Un élémentde charge engendre un potentielinfinitésimal dV au point P.

Une ligne de charge

La figure 4.13 a) illustre une fine tige non conductrice de longueur L, possédant unecharge positive d’une densité linéique uniforme . On cherche à déterminer le potentiel électrique V attribuable à la tige au point P, à une distance perpendiculaire d à partir de l’extrémité gauche de la tige.

Soit un élément de longueur dx sur la tige (voir la figure 4.13 b). Cet élément de latige (comme n’importe quel autre) porte une charge infinitésimale

dq dx. (4.33)

Il engendre un potentiel électrique dV au point P, qui se trouve à une distance r (x2 d2)1/2

de l’élément. Si on considère l’élément comme une charge ponctuelle, on peut employerl’équation 4.32 afin de reformuler ainsi le potentiel dV :

dV = 1

4πε0

dq

r= 1

4πε0

λ dx

(x2 + d2)1/2. (4.34)

D’une part, la charge de la tige est positive et, d’autre part, on a supposé que V 0 à l’infini. Alors, après avoir lu la section 4.5, on sait que dV doit être positif dansl’équation 4.34.

On détermine ensuite le potentiel total V engendré par la tige au point P. On faitdonc l’intégration de l’équation 4.34 sur la longueur de la tige, depuis x 0 jusqu’à x L, en se servant de l’intégrale 17 qu’on trouve à l’annexe D. On obtient alors

V =∫

dV =∫ L

0

1

4πε0

λ

(x2 + d2)1/2dx

= λ

4πε0

∫ L

0

dx

(x2 + d2)1/2

= λ

4πε0

[ln

(x + (x2 + d2)1/2

)]L

0

= λ

4πε0

[ln

(L + (L2 + d2)1/2

)− ln d

].

On peut simplifier ce résultat en faisant appel à la relation générale ln A ln B ln(A/B).On obtient alors

V = λ

4πε0ln

[L + (L2 + d2)1/2

d

]. (4.35)

Étant donné que V est la somme des valeurs positives de dV, le potentiel électriquedevrait être positif. Toutefois, peut-on dire que l’équation 4.35 produit un résultatpositif ? Étant donné que l’argument du logarithme est toujours supérieur à un, le loga-rithme est un nombre positif et V est assurément positif.

Un disque chargé

À la section 2.7, on a calculé la grandeur du champ électrique en certains points de l’axecentral d’un disque de plastique de rayon R possédant une densité de charge uniforme sur une face. Ici, nous recherchons une expression pour V(z), soit le potentiel électriqueen n’importe quel point de l’axe central.

À la figure 4.14, on considère un élément de surface qui consiste en un anneau platde rayon R′ et d’une largeur radiale dR′. Il porte une charge donnée par :

dq = σ(2πR′)(dR′),

où (2πR′)(dR′) est l’aire de la face supérieure de l’anneau. Toutes les portions de cetélément de surface chargé se trouvent à la même distance r du point P sur l’axe du disque.


Figure 4.14 Un disque de plastique de rayon R, dont la face supérieure est chargée avec une densité surfaciquede charge . On cherche à déterminerle potentiel V au point P sur l’axe central du disque.

L

d

P

x

a)

b)

x

d

P

xdx

r

zr

P

R'

RdR'


4.12 Le potentiel d’un conducteur chargé et isolé 77

Si les signes des charges sont opposés et qu’il y a donc une force d’attraction, alorsl’agent extérieur fait un travail négatif sur le système en déplaçant la charge q2 à partird’une grande distance pour la rapprocher de q1 et la laisser finalement au repos. Ce travaildiminue l’énergie emmagasinée dans le système, qui ne peut donc pas être récupérée.(Sans un agent extérieur, q2 aurait tendance à accélérer vers q1; l’agent doit donc retenirq2 afin de l’immobiliser à la position désirée.)

Si q1 et q2 , de signes opposés, sont initialement rapprochées l’une de l’autre, un agentextérieur devra fournir un travail positif U afin de les éloigner d’une grande distance.Lorsqu’on applique ce concept aux atomes ou aux molécules, cette énergie prend lenom d’énergie de liaison, d’ionisation ou encore de dissociation. Cette quantitéreprésente l’énergie qui doit être fournie, par exemple, pour arracher un électron à unatome ou encore pour dissocier une molécule telle KCl en un ion K et un ion Cl.

Exemple 4.7Deux protons dans un noyau de 238U sont à une distance de 6,0 fml’un de l’autre. Quelle est l’énergie potentielle associée à la forceélectrique agissant entre ces deux particules ?

SOLUTION : Ici le concept clé veut que l’on considère les protons comme unsystème de deux charges ponctuelles, dont l’énergie potentielle peutêtre déterminée à partir de l’équation 4.43, où q1 q2 1,60 1019 C.On obtient

U = 1

4πε0

q1q2

r= (8,99 × 109 N · m2/C2)(1,60 × 10−19 C)2

6,0 × 10−15 m

= 3,8 × 10−14 J = 2,4 × 105 eV = 240 keV,

où on a posé que U 0 dans la situation où les deux protons sont très éloignés l’un de l’autre. Les deux protons sont maintenus enplace par l’interaction nucléaire forte, qui est attractive et responsablede la stabilité du noyau. Contrairement au cas de la force électrique,il n’y a pas d’expression mathématique simple pour représenter l’énergie potentielle associée à l’interaction nucléaire forte.

Exemple 4.8Deux objets, l’un ayant une masse de 0,002 2 kg et une charge q1

de 32 C, et l’autre ayant une masse de 0,003 9 kg et une charge de 18 C, sont initialement placés à une distance de 4,6 cm.L’objet 1 étant maintenu en position fixe, on relâche l’objet 2 à partirde l’état de repos. Quelle est la vitesse de l’objet 2 lorsque les deuxobjets sont à une distance de 2,3 cm ? On suppose que les deux objetsse comportent comme des charges ponctuelles.

SOLUTION : Ici, le concept clé se rapporte au principe de conservation de l’énergie. À mesure que les charges se rapprochent sous l’actionde la force électrique, la diminution de l’énergie potentielle est com-pensée par une augmentation égale d’énergie cinétique. L’état initialcorrespond à l’instant où l’objet 2 est relâché (où Ki 0), et l’étatfinal correspond à l’instant où la distance de séparation est de 2,3 cm.En se basant sur le principe de conservation de l’énergie, on doitavoir Ui Ki Uf Kf , ou encore, avec Ki 0,

Kf = Ui − Uf = −U = −q1q2

4πε0

(1

rf− 1

ri

)= −(8,99 × 109 N · m2/C2)(32 × 10−6 µC)

(18 106 µC)

(1

0,023 m− 1

0,046 m

)= 113 J,

vf =√

2Kf

m2=

√2(113 J)

0, 003 9 kg= 240 m/s.

Si on fixe plutôt l’objet 2 et qu’on relâche l’objet 1, l’énergie ciné-tique aura la même valeur de 113 J à l’instant où la distance de sépa-ration sera de 2,3 cm, car l’énergie est une propriété du systèmeentier. Si on relâchait les deux objets à partir de l’état de repos en leslaissant s’approcher mutuellement, l’énergie cinétique totale desdeux objets serait encore de 113 J, avec une distance de séparation de2,3 cm. Il serait alors possible de déterminer la vitesse individuellede chaque objet en appliquant le principe de conservation de la quan-tité de mouvement.ET RÉSUMÉ

4.12 Le potentiel d’un conducteur chargé et isolé

À la section 3.6, on a conclu que E 0 en tous les points intérieurs d’un conducteurisolé. On a utilisé le théorème de Gauss pour prouver qu’une charge excédentaire placéesur un conducteur isolé repose entièrement sur sa surface. (Ce raisonnement est valablemême lorsque le conducteur possède une cavité interne vide.) Ici, on se base sur le premierde ces faits pour prouver une extension du second :

Poste 3

Note

Suppression de =


La détermination de E à partir de V La composante de E,dans une direction quelconque, correspond à l’inverse additif de ladérivée du potentiel par rapport à la distance dans cette direction :

Es = −∂V

∂s. (4.40)

On peut déterminer les composantes x, y et z de E à partir de

Ex = −∂V

∂x; Ey = −∂V

∂y; Ez = −∂V

∂z. (4.41)

Lorsque E est uniforme, l’équation 4.40 est ramenée à

E = −V

s, (4.42)

où s est perpendiculaire aux surfaces équipotentielles. Le champ élec-trique est nul dans la direction parallèle à une surface équipotentielle.

L’énergie potentielle d’un système de charges ponctuellesL’énergie potentielle d’un système de charges ponctuelles est égaleau travail nécessaire afin d’assembler le système à partir des chargesinitialement au repos et infiniment distantes l’une de l’autre. Lorsquedeux charges sont éloignées d’une distance r,

U = W = 1

4πε0

q1q2

r. (4.43)

Le potentiel d’un conducteur chargé À l’état d’équilibre, une charge excédentaire placée sur un conducteur se trouvera dans sa totalité à la surface extérieure de ce dernier. La charge se répartirad’elle-même de sorte que le conducteur sera porté à un potentiel uniforme, même à ses points intérieurs.


QUESTIONS

1. La figure 4.21 illustre trois trajectoires sur lesquelles on peutdéplacer une sphère A chargée posi-tivement pour la rapprocher de lasphère B, qui est fixe. a) Ce mou-vement conduira-t-il la sphère A àun potentiel électrique inférieur ousupérieur ? Le travail accompli b) par la force extérieure et c) par le champ électrique (de la sphère B)est-il positif, négatif ou nul ? d) Classez les trajectoires par ordredécroissant selon le travail accompli par la force extérieure.

2. La figure 4.22 montre quatre paires de particules chargées. On suppose que V 0 à l’infini. Pour quelles paires existe-t-il un autrepoint où le potentiel net est nul sur l’axe représenté a) entre les parti-cules? b) à leur droite ? c) S’il y a lieu, le champ électrique est-il nul aumême endroit où le potentiel est nul ? d) Pour chacune des paires,existe-t-il des points en dehors de l’axe (ailleurs qu’à l’infini) où V 0?

Figure 4.22 Questions 2 et 8

3. La figure 4.23 représente unréseau carré de particules chargées,chacune étant tenue à une distanced de sa voisine. Quel est le potentielélectrique au point P situé au centredu carré si le potentiel électriqueest nul à l’infini ?

4. La figure 4.24 illustre quatreconfigurations dans lesquelles lesparticules chargées se trouventtoutes à une même distance dupoint d’origine. Classez les configu-rations par ordre décroissant enfonction du potentiel électrique netà l’origine. Supposez que le poten-tiel est nul à l’infini.

Figure 4.24 Question 4

5. a) À la figure 4.25 a), quel estle potentiel au point P dû à unecharge Q qui se trouve à une dis-tance R du point P? On supposeque V 0 à l’infini. b) À lafigure 4.25 b), la même charge Qa été distribuée uniformément sur un arc de cercle de rayon R.Quel est le potentiel au point Pqui se trouve au centre du cercle ?c) À la figure 4.25 c), la mêmecharge Q est distribuée uniformé-ment sur la circonférence d’uncercle de rayon R. Quel est lepotentiel au point P, le centredu cercle ? d) Classez les trois situations par ordre décroissantselon la grandeur du champ élec-trique établi au point P.

6. La figure 4.26 illustre trois ensembles de coupes transversales desurfaces équipotentielles ; tous les trois occupent des régions demême dimension spatiale. a) Classez les configurations par ordredécroissant selon la grandeur du champ électrique présent dans lazone. b) Dans quel ensemble le champ électrique se dirige-t-il vers lebas de la page ?


+ + AB 2

3

1


–2q +6q

1)

+3q –4q

2)

+12q +q

3)

–6q –2q

4)

–4q

+5q

–q

+q

–5q

+4q–2q

–2q

P

d


a) b) c) d)

–2q

–q

–2q

–2q

–7q

+2q +2q–4q–2q

–3q–9q

+2q

a)

Q

PR

b)

Q

PR

c)

40°(Plein angle)

Q PR+


20 V406080100

–140 V

–120

–100

–10 V

–30

–50

1) 2) 3)


7. La figure 4.27 représente le potentiel électrique V en fonction de x. a) Classez les cinq zones par ordre décroissant selon la grandeurde la composante x du champ électrique à l’intérieur de ces zones.Quel est le sens du champ le long de l’axe des x b) dans la zone 2 ? c) dans la zone 4 ?


8. La figure 4.22 illustre quatre paires de particules chargées. La distanceentre les charges est toujours la même. a) Classez les paires par ordredécroissant selon leur énergie potentielle électrique. b) Lorsqu’onaugmente la distance entre les particules formant chaque paire, l’énergiepotentielle de la paire s’accroît-elle ou décroît-elle ?

9. La figure 4.28 illustre un système constitué de trois particuleschargées. Si vous déplacez la particule portant la charge q du pointA au point D, la valeur des éléments suivants sera-t-elle positive,négative ou nulle ? a) La variation de l’énergie potentielle électriquedu système de trois particules. b) Le travail de la force électrostatiquerésultante sur la particule déplacée. c) Le travail de la force que vousexercez. d) Quelles seraient les réponses à ces trois questions si ledéplacement s’effectuait du point B au point C ?

10. Revenons à la situation présentée à la question 9. Le travail devotre force est-il positif, négatif ou nul si le déplacement se fait a) deA à B ? b) de A à C ? c) de B à D ? d) Classez ces mouvements parordre décroissant selon le travail accompli par votre force.

Figure 4.28 Questions 9 et 10


V

x1 2 3 4 5

+q

A +Q B C +Q D

d d d d d

EXERCICES ET PROBLÈMES

www La solution se trouve sur le Web, à l’adresse ci-dessous :

www.dlcmcgrawhill.ca/physique

SECTION 4.2 Le potentiel électrique

1E. Une batterie d’automobile de 12 V peut faire circuler dans un circuitune charge nette de 84 A • h (ampère-heure) d’une borne à l’autre. a) Quelle charge cela représente-t-il, en coulombs ? (Indice : Consultezl’équation 1.3.) b) Si cette charge dans sa totalité subit une différencede potentiel de 12 V, quelle somme d’énergie entre en jeu ?2E. La différence de potentiel électrique entre le sol et un nuage au coursd’un orage est de 1,2 109 V. Quelle est la variation d’énergie poten-tielle électrique d’un électron (exprimée en électron-volts) qui circuleentre le sol et ce nuage ?3P. Lors d’un coup de foudre, la différence de potentiel entre un nuageet le sol est de 1,0 109 V, et la charge qui passe de l’un à l’autre estde 30 C. a) Calculez la chute d’énergie de la charge ainsi transférée.b) Si toute cette énergie pouvait provoquer l’accélération d’une auto-mobile de 1 000 kg à partir du repos, quelle serait la vitesse finale duvéhicule ? c) Si cette énergie pouvait faire fondre de la glace, quellequantité de glace fondrait à une température de 0 °C ? La chaleurlatente de fusion de la glace est de 3,33 105 J/kg.

SECTION 4.4 La détermination du potentiel à partir du champ

4E. À la figure 4.29, le champ électrique effectue un travail de3,94 1019 J sur un électron quise déplace du point A au point B.Quelles sont les différences depotentiel électrique a) VB VA ? b) VC VA ? et c) VC VB ? 5E. Une feuille non conductrice et infinie a une densité surfaciquede charge 0,10 C/m2 sur uneface. Quelle est la distance entre dessurfaces équipotentielles consécu-tives dont la différence de potentielest de 50 V ?

6E. Deux grandes plaques conductrices et parallèles se trouvent à 12 cml’une de l’autre ; leurs charges, distribuées sur les faces intérieures, sont égales mais de signes opposés. Une force électrostatique de 3,9 1015 N agit sur un électron placé quelque part entre les plaques.(Ne tenez pas compte des effets de bord.) a) Déterminez le champélectrique à l’endroit où se trouve l’électron. b) Quelle est la différencede potentiel entre les plaques ? 7P. Un compteur de Geiger-Müller est doté d’un cylindre métalliquede 2,00 cm de diamètre ; un fil de 1,30 104 cm de diamètre esttendu le long de son axe. Si la différence de potentiel entre le fil et lecylindre est de 850 V, quel est le champ électrique à la surface a) du fil ?b) du cylindre? (Indice: Utilisez le résultat du problème 23 du chapitre 3.)8P. Le champ électrique à l’intérieur d’une sphère non conductrice derayon R, porteuse d’une charge distribuée uniformément dans sonvolume, s’oriente radialement. Sa grandeur est

E(r) = qr

4πε0R3 .

Ici q (positive ou négative) représente la charge nette à l’intérieur dela sphère et r, la distance à partir du centre de la sphère. a) Si V 0 aucentre de la sphère, déterminez le potentiel électrique V(r) à l’intérieur dela sphère. b) Quelle est la différence de potentiel électrique entre unpoint de la surface et le centre de la sphère ? c) Si q est positive,lequel de ces deux points se trouve au potentiel le plus élevé ?9P*. Une charge q est distribuée uniformément à l’intérieur d’unvolume sphérique de rayon R. a) En supposant que V 0 à l’infini,démontrez qu’on peut déterminer le potentiel à une distance rdu centre, où r R, à partir de l’équation suivante :

V = q(3R2 − r2)

8πε0R3 .

(Indice: Consultez la section 4.9.) b) Pourquoi ce résultat diffère-t-ilde celui du problème 8 a) ? c) Quelle est la différence de potentielentre un point à la surface et le centre de la sphère ? d) Pourquoi cerésultat ne diffère-t-il pas de celui du problème 8 b) ?

Ligne de champ électrique

Équipotentiels

A

B

C



Lorsqu’une personne souffre de fibrillation ventriculaire, une forme courante de crise cardiaque, les cavités cardiaques

ont du mal à pomper le sang, car les fibres musculaires se contractent et se détendent de façon imprévisible. Pour sauver

la vie d’une victime de fibrillation ventriculaire, il faut transmettre un choc aux muscles cardiaques afin de rétablir

leur rythme normal. On administre alors au patient une décharge de 20 A à travers la cage thoracique. Cette décharge

transfère 200 J d’énergie

électrique en l’espace de 2 ms.

Une puissance électrique d’environ

100 kW est nécessaire à cette

opération. Bien qu’il soit facile

de produire une telle puissance

dans un hôpital, la situation

est plus compliquée dans une

ambulance.

Loin de l’hôpital, où trouve-

t-on l’énergie nécessaire

à la défibrillation ?

La réponse à cette question se trouve dans ce chapitre.

La capacité5

104 Chapitre 5 La capacité

1. La figure 5.18 représente le graphique de la charge en fonction de la différence de potentiel de trois condensateurs plans dont l’airedes plaques et les distances entre elles figurent au tableau. Établissezle lien entre chacune des courbes et les condensateurs.

Condensateur Aire Distance

1 A d

2 2A d

3 A 2d

2. La figure 5.19 illustre un interrupteur ouvert, une pile dont la différence de potentiel est V, un ampèremètre A et trois condensateurssans charge identiques ayant une capacité C. Lorsque l’interrupteurest fermé et que le circuit atteint l’équilibre, quelles sont a) la dif-férence de potentiel aux bornes de chaque condensateur ? b) lacharge sur la plaque gauche de chaque condensateur ? c) Au cours duchargement, quelle est la charge nette qui passe dans l’ampèremètre ?


3. Quels sont, pour chacun des circuits de la figure 5.20, les conden-sateurs qui sont branchés en série, en parallèle ou qui ne sont pasbranchés selon l’un ou l’autre de ces modes ?


4. a) Les condensateurs C1 et C3 de la figure 5.21 a) sont-ilsbranchés en série ? b) Les condensateurs C1 et C2 de la même figuresont-ils en parallèle ? c) Classez par ordre décroissant les capacitéséquivalentes des quatre circuits de la figure 5.21.


5. Quelle est la capacité équivalente de trois condensateurs, chacunayant une capacité C, s’ils sont branchés à une pile a) en série ? b) enparallèle les uns avec les autres ? c) Sur quel schéma trouve-t-on unecapacité équivalente dont la charge est accrue ?

6. Vous devez relier à une pile les capacités C1 et C2, dont C1

est supérieure à C2, d’abord individuellement, puis en série et, pourterminer, en parallèle. Classez ces configurations par ordre décroissantselon la charge qui y est emmagasinée.

7. Au départ, on relie une simple capacité C1 à une pile. Ensuite, on ajoute la capacité C2 en parallèle. a) La différence de potentiel dela capacité C1 et b) la charge q1 accumulée sur C1 sont-elles à présentsupérieures, égales ou inférieures à ce qu’elles étaient précédemment?c) La capacité équivalente C12 de C1 et C2 est-elle supérieure, égale ouinférieure à celle de C1? d) La charge totale emmagasinée dans C1 etC2 est-elle supérieure, égale ou inférieure à la charge emmagasinéeprécédemment dans C1?

8. Refaites la question 7, en ajoutant cette fois la capacité C2

en série.

9. La figure 5.22 montre trois circuits, dont chacun est constituéd’un interrupteur et de deux condensateurs chargés au départ commeon l’indique. Lorsque les interrupteurs seront fermés, dans quel circuit(le cas échéant) les charges du condensateur gauche a) augmenteront-elles ? b) diminueront-elles ? c) demeureront-elles les mêmes ?


10. Deux sphères métalliques isolées A et B ont, respectivement, des rayons R et 2R et une même charge q. a) La capacité de la sphèreA est-elle supérieure, égale ou inférieure à celle de la sphère B ? b) La densité d’énergie à l’extérieur de la surface de A est-ellesupérieure, égale ou inférieure à celle qu’on trouve à l’extérieur de lasurface de B ? c) La densité d’énergie à une distance de 3R du centrede la sphère A est-elle supérieure, égale ou inférieure à celle qui setrouve à même distance du centre de la sphère B ? d) L’énergie totaledu champ électrique engendré par la sphère A est-elle supérieure,égale ou inférieure à celle de la sphère B ?

11. Lorsqu’on insère un diélectrique entre les plaques de l’un de cesdeux condensateurs identiques (voir la figure 5.23), les propriétés sui-vantes de ce condensateur augmentent-elles, diminuent-elles oudemeurent-elles les mêmes ? a) Sa capacité. b) Sa charge. c) Sa dif-férence de potentiel. d) Son énergie potentielle. e) Qu’en est-il desmêmes propriétés de l’autre condensateur ?



QUESTIONS

a

bc

V

q


A

C C

V

C

+ –

+–

+– +–

a) b) c)

+–

a)

C 1 C 2 +–

b)

C 1C 2

C 3

C 3

+–

c)

C 1 C 2

C 3

d)

C 1

C 2

C 3

+–

1)

6q

2C

3q

C

3)

6q

2C

3q

2C

2)

6q

3C

3q

C

P

κ

+–

C

C

114 Chapitre 6 Le courant et la résistance

Quelle est la vitesse de dérive des électrons de conduction à l’intérieur d’un fil de cuivre dont le rayon r 900 µm alors qu’uncourant uniforme i 17 mA y circule ? On suppose que chaqueatome de cuivre apporte un électron de conduction au courant et quela densité de courant est uniforme d’un bout à l’autre de la sectiontransversale du fil.

SOLUTION : Trois concepts clés sont ici en cause :

1. La vitesse de dérive vd est fonction de la densité de courant J et du nombre n d’électrons de conduction par unité de volume, selon l’équation 6.7, qu’il est possible d’exprimer en termes degrandeur comme J nevd .

2. Étant donné que la densité de courant est uniforme, sa grandeur Jest reliée au courant i et au diamètre du fil, selon l’équation 6.5 (J i/A, où A est l’aire de la section transversale du fil).

3. Puisqu’on se fonde sur la prémisse qu’il se trouve un électron deconduction par atome, le nombre n d’électrons de conduction parunité de volume est le même que le nombre d’atomes par unité devolume.

À partir de ce dernier concept, on peut formuler l’équation suivante :

n atomes (atomes) moles masse

par unité par (par unité) par unité(de volume) mole de masse (de volume)

Le nombre d’atomes par mole correspond simplement au nombred’Avogadro (NA 6,02 1023 mol1). Les moles par unité de massesont l’inverse de la masse par mole, qui est ici la masse molaire Mdu cuivre. La masse par unité de volume est la masse volumiqueρmasse du cuivre. Par conséquent,

n = NA

(1

M

)ρmasse = NAρmasse

M.

Après s’être reporté à l’annexe E pour connaître la masse molaire Met la masse volumique ρmasse du cuivre, on peut poser l’équationsuivante (en procédant à la conversion de quelques unités) :

n = (6,02 × 1023 mol−1)(8,96 × 103 kg/m3)

63,54 × 10−3 kg/mol

= 8,49 × 1028 électrons/m3

ou n 8,49 1028 m3.

À présent, on associe les deux premiers concepts pour formulerl’équation suivante :

i

A= nevd .

Lorsqu’on remplace A par πr2 ( 2,54 106 m2) et qu’on recherchela valeur de vd , on obtient

vd = i

ne(πr2)

= 17 × 10−3 A

(8,49 × 1028 m−3)(1,6 × 10−19 C)(2,54 × 10−6 m2)

= 4,9 × 10−7 m/s, (réponse)

qui représente une vitesse de 1,8 mm/h, plus lente que celle dudéplacement d’un escargot.

Il serait légitime de vous poser la question suivante : Si la vitessede dérive des électrons est aussi lente, pourquoi la lumière se fait-elleaussi rapidement lorsqu’on ferme l’interrupteur ? La confusion quirègne autour de cette question vient de ce fait qu’on ne fait pas la distinction entre la vitesse de dérive des électrons et la vitesse àlaquelle sont transmises dans les fils les variations apportées à la configuration du champ électrique. La seconde vitesse est à peu prèscelle de la lumière. Peu importe où les électrons se trouvent à l’intérieur du fil, ils amorcent leur dérive presque ensemble (toutcomme ceux qui sont présents dans l’ampoule). De même, lorsqu’onouvre le robinet d’un tuyau d’arrosage et que ce dernier est pleind’eau, une onde de pression parcourt le tuyau à la vitesse du son.Toutefois, la vitesse à laquelle l’eau circule dans le tuyau – marquéeà l’aide d’un colorant – est beaucoup plus lente.


Exemple 6.3

Figure 6.7 Un assortiment de résistances.Les bandes circulaires sont des codes de couleurs qui désignent la valeur de la résistance.

6.4 La résistance et la résistivitéLorsqu’on applique une même différence de potentiel entre les extrémités de tiges decuivre et de verre de forme géométrique similaire, on provoque des courants différents.La caractéristique du conducteur qui entre en jeu est sa résistance électrique. En effet,celle-ci dépend du matériau du conducteur et de ses caractéristiques géométriques telles que ses dimensions et sa forme. On détermine la résistance entre deux bornes d’unconducteur en appliquant une différence de potentiel V entre ces bornes, puis on mesurele courant i qui en résulte. La résistance R se formule alors ainsi :

R = V

i(la définition de R). (6.8)

L’unité SI exprimant la résistance qui découle de l’équation 6.8 est le volt par ampère.Cette association est si répandue qu’on lui attribue une appellation propre, l’ohm () :

1 ohm 1 1 volt par ampère 1 V/A. (6.9)

On appelle simplement résistance un conducteur dont la fonction à l’intérieur d’un circuitconsiste à fournir une résistance précise (voir la figure 6.7). Sur un schéma de circuit,

.

Poste 3

Note

Suppression de /


7.4 Les autres circuits à maille simple 135

Figure 7.4 a) Un circuit à maille simple contenant une pile réelle dont la résistance interne est ret la f.é.m.,E . b) Le même circuit étendu sur une ligne. On aperçoit également les potentielsobservés en traversant le circuit dans le sens horaire. On attribue de façon arbitraire une valeurnulle au potentiel Va , alors que les autres potentiels de ce circuit sont tracés par rapport à Va .

7.4 Les autres circuits à maille simpleOn élargit ici le concept de circuit à maille simple (voir la figure 7.3) de deux manières.

La résistance interne

La figure 7.4 a) illustre une pile réelle, dont la résistance interne est représentée par r,reliée à une résistance externe R. La résistance interne de la pile est la résistance élec-trique de ses matériaux conducteurs et, par conséquent, il s’agit d’une caractéristiqueintrinsèque de cette pile. Toutefois, à la figure 7.4 a), on a dessiné la pile comme si onpouvait la séparer en une pile ayant avec une f.é.m.E et une résistance r. L’ordre dessymboles importe peu.

Si on applique la loi des mailles dans le sens horaire à partir du point a, on obtientles différences de potentiel suivantes :

E ir iR 0. (7.3)

En isolant le courant, on obtient

i = E

R + r. (7.4)

Il faut noter que cette équation se ramène à l’équation 7.2 dans le cas d’une pile idéale,c’est-à-dire si r 0.

La figure 7.4 b) est la représentation graphique des différences de potentiel électriquedans le circuit. (Afin de mieux faire le lien entre la figure 7.4 b) et le circuit fermé de lafigure 7.4 a), on peut imaginer qu’on enroule le graphique pour former un cylindre dontle point a à gauche chevauche le point a à droite.) On peut alors voir comment la traversée du circuit ressemble à une randonnée en montagne s’achevant par le retour aupoint de départ. On revient de la même façon vers l’élévation (le potentiel) de départ.

Dans cet ouvrage, lorsqu’on ne précise pas qu’une pile est réelle ou si on ne donneaucune résistance interne, on peut en général supposer qu’elle est idéale. Toutefois, dansla réalité, les piles sont bien sûr toutes réelles et elles ont une résistance interne.

Les résistances en série

La figure 7.5 a) montre trois résistances reliées en série à une pile idéale dont la f.é.m.estE . Cette expression a cependant peu de relation avec la configuration géométriquedes résistances sur un schéma. L’expression en série signifie plutôt que les résistancessont raccordées l’une à la suite de l’autre par un fil et qu’une différence de potentiel Vest appliquée aux deux extrémités de la série. À la figure 7.5 a), les résistances sontreliées les unes aux autres entre a et b, et la pile maintient une différence de potentiel V

R i

i

i

Pile réelle

r

i

a

b+

–

a)

Pile réelle Résistance

a b a

r

ir

Pote

nti

el (

V)

R

i

iRVaVa

Vb

b)


7.6 Les circuits à mailles multiples 139

Figure 7.7 Un circuit à mailles multiplesconstitué de trois branches : la branchede gauche bad, la branche de droite bcd et la branche médiane bd.Le circuit est également constitué de trois mailles : la maille de gauchebadb, la maille de droite bcdbet la grande maille badcb.

7.6 Les circuits à mailles multiplesLa figure 7.7 représente un circuit où se trouve plus d’une maille. Pour simplifier, on suppose que les piles sont idéales. Ce circuit compte deux nœuds aux points b et d,de même que trois branches raccordées à ces nœuds. Il s’agit de la branche de gauche(bad), de la branche de droite (bcd) et de la branche médiane (bd). Quels sont lescourants qui circulent dans ces branches ?

On désigne chacun des courants de façon arbitraire à l’aide d’un indice différentselon les branches. Ainsi, le courant i1 a une même valeur partout dans la branche bad ;i2 a une même valeur partout dans la branche bcd et il en va de même pour i3 à l’intérieurde la branche bd. On convient de façon tout aussi arbitraire du sens des courants.

Plaçons-nous au nœud d ; la charge parvient à ce nœud par les courants entrants i1 eti3, et elle en ressort par le courant sortant i2. Étant donné qu’il ne peut y avoir d’accumu-lation ni de perte de charge sur un nœud, la somme de courant entrant doit égaler lasomme de courant sortant :

i1 i3 i2. (7.15)

On peut facilement vérifier que cette condition appliquée au nœud b entraîne exactementla même équation. L’équation 7.15 découle d’un principe général :

LA LOI DES NŒUDS: La somme algébrique des courants qui entrent dans un nœud est égale à la somme des courants qui en sortent.

Il s’agit de la loi des nœuds de Kirchhoff. Elle provient du principe de la conservation dela charge dans le cas d’un courant continu ; aucune charge ne s’accumule sur un nœudni ne s’y perd. Par conséquent, nos principaux outils servant à résoudre des circuitscomplexes sont la loi des mailles (fondée sur la conservation de l’énergie) et la loi desnœuds (fondée sur la conservation de la charge).

L’équation 7.15 est une équation à trois inconnues. Afin de résoudre complètementle circuit (c’est-à-dire pour déterminer les trois courants), on doit faire appel à deuxautres équations incluant ces mêmes inconnues. On les obtient en se basant sur la loi desmailles. Dans le circuit de la figure 7.7, on peut choisir parmi trois mailles : la maille degauche (badb), la maille de droite (bcdb) ou la grande maille (badcb). Puisque le choixdes mailles importe peu, on choisit ici la maille de gauche et celle de droite.

Si on parcourt la maille de gauche à partir du point b dans le sens antihoraire, la loides mailles donne ceci :

E 1 i 1R1 i 3R3 0. (7.16)

Si on parcourt la maille de droite à partir du point b dans le sens antihoraire, la loi desmailles donne ceci :

i 3R3 i 2R2 E 2 0. (7.17)

On dispose à présent de trois équations (7.15, 7.16 et 7.17) relatives aux trois courantsinconnus qu’on peut résoudre à partir de plusieurs méthodes.

RÉSOLUTION DE PROBLÈMES

1re stratégie : Faire une hypothèse sur le sens du courantLorsqu’on tente de résoudre un problème concernant un circuit, on n’apas besoin de connaître à l’avance le sens du courant. En effet, on peutsupposer son sens, bien que cela puisse nous sembler incorrect.Ainsi, supposons que le courant de la figure 7.6 a) se dirige dans lesens antihoraire, c’est-à-dire qu’on inverse le sens des flèches qui yfigurent. Si on applique la loi des mailles dans le sens antihoraire à partir du point a, on obtient

E 1 ir1 iR ir2 E 2 0

ou i = − E 1 − E 2

R + r1 + r2.

En substituant les valeurs numériques de l’exemple 7.1, on obtient i 240 mA. Le signe négatif permet de déduire que le courant circule dans le sens contraire à celui qu’on avait supposé au départ.

R 2R3R1

a b c

d

i 1 i 3 i 2

+ –1 2

– +


148 Chapitre 7 Les circuits

On décharge un condensateur d’une capacité C à travers une résistance R.a) En exprimant le temps en nombre de constantes de temps τ RC,à quel moment la charge instantanée accumulée sur le condensateuratteindra-t-elle la moitié de sa valeur de départ ?

SOLUTION : À partir du concept clé en cause, la charge du condensateurvarie selon l’équation 7.36 :

q q0et/RC,

où q0 est la charge de départ. On veut déterminer le temps t auquel q 1

2 q0 ou auquel

12 q0 q0et/RC. (7.41)

Lorsque q0 est annulée, on s’aperçoit que le temps recherché estcaché à l’intérieur de l’argument d’une fonction exponentielle. Afind’isoler le symbole t à l’équation 7.41, on prend le logarithme natureldes deux membres de l’équation. (Le logarithme naturel est la fonctioninverse de la fonction exponentielle.) On obtient alors

ln 12 = ln(et/RC) = − t

RC,

ou t = (−ln 12

)RC = 0,69RC = 0,69τ . (réponse)

b) À quel moment l’énergie emmagasinée dans le condensateuratteint-t-elle la moitié de sa valeur de départ ?

SOLUTION : Deux concepts clés interviennent ici. En premier lieu, l’énergie Uemmagasinée dans le condensateur est reliée à la charge q du mêmecondensateur par l’équation 5.1 (U Q2/2C). En second lieu, cettecharge décroît en fonction de l’équation 7.36. Si on associe ces deuxidées, on obtient

U = q2

2C= q2

0

2Ce2t/RC U0e2t/RC,

où U0 est l’énergie emmagasinée au départ. On veut déterminer lemoment auquel U 1

2 U0 ou auquel

12 U0 U0e2t/RC.

On annule U0 , et on prend les logarithmes naturels des deux mem-bres de l’équation. Ainsi,

ln 12 = − 2t

RC

ou t = −RCln 1

2

2= 0,35RC = 0,35τ . (réponse)

La charge met plus de temps (0,69 τ par rapport à 0,35τ) à chuter à la moitié de sa valeur de départ que n’en met l’énergie emmagasinéeà atteindre la moitié de sa valeur initiale. Un tel résultat n’est-il pasétonnant ?

Exemple 7.5

RÉVISION ET RÉSUMÉ

La f.é.m. Une source de f.é.m. fait un travail sur les charges afinde maintenir une différence de potentiel entre ses bornes de sortie. Si dW est le travail que le dispositif accomplit pour transporter la charge positive dq de la borne négative à la borne positive, alors la f.é.m. (le travail par unité de charge) du dispositif se formule ainsi :

E = dW

dq(la définition deE ). (7.1)

Le volt est l’unité SI exprimant la f.é.m. et la différence de potentiel.Le dispositif de f.é.m. idéal n’a aucune résistance interne. La différencede potentiel entre ses bornes est égale à la f.é.m. Un véritable dispo-sitif de f.é.m. a une résistance interne. La différence de potentielentre ses bornes est égale à la f.é.m. seulement en l’absence de courantà l’intérieur du dispositif.

L’analyse des circuits La différence de potentiel aux bornes d’unerésistance R lorsqu’on la traverse dans le sens du courant se lit iR ;dans le sens opposé, elle se lit iR. La différence de potentiellorsqu’on traverse un dispositif de f.é.m. idéal de la borne négative à la borne positive vaut E ; dans le sens opposé, elle vaut E . Le principe de la conservation de l’énergie conduit à la loi des mailles :

La loi des mailles : La somme algébrique des différences depotentiel rencontrées en parcourant une maille fermée d’un circuitest nulle.

Le principe de la conservation de la charge conduit à la loi des nœuds :

La loi des nœuds: La somme des courants qui entrent dans unnœud est égale à la somme des courants qui en sortent.

Les circuits à maille simple Le courant circulant dans un circuità maille simple qui contient une résistance R, une source de f.é.m.E etune résistance interne r se formule comme suit :

i = E

R + r, (7.4)

qui se réduit à i E /R pour un dispositif de f.é.m. idéal, où r 0.

La puissance Lorsqu’une pile réelle (dont la f.é.m. estE et la résistance interne r) agit sur les porteurs de charge présents dans le courant qui la traverse, le taux P de transfert d’énergie vers les por-teurs de charge se formule ainsi :

P iV, (7.11)

où V est la différence de potentiel entre les bornes de la pile. Le tauxPr de transfert d’énergie sous forme de chaleur à l’intérieur de la pilese formule comme suit :

Pr i 2r. (7.13)

Le taux Pfém auquel l’énergie chimique se transforme à l’intérieur de la pile se formule ainsi :

Pfém iE . (7.14)

Les résistances en série Les résistances en série sont traver-sées par un même courant. La résistance équivalente qui peut rem-placer un ensemble de résistances en série se formule comme suit :

Réq =n∑

j = 1

Rj (n résistances en série). (7.7)



24E. En vous reportant à la figure 7.7, calculez la différence de poten-tiel entre les points c et d en utilisant tous les trajets possible.Supposez queE 1 4,0 V,E 2 1,0 V, R1 R2 10 et R3 5,0 .

25E. On relie en parallèle neuf fils de cuivre de longueur l et dediamètre d afin de former un seul conducteur composite ayant unerésistance R. Quel doit être le diamètre D d’un fil de cuivre unique delongueur l pour que sa résistance soit identique à celle du fil composite?

26P. À la figure 7.30, déterminez la résistance équivalente entre lespoints a) F et H et b) F et G. (Indice : Supposez qu’une pile est reliéeà chaque paire de points.)


27P. On vous confie un certain nombre de résistances de 10 .Chacune de ces résistances peut produire au maximum 1,0 W avantd’être détruite. Quelle quantité minimale de ces résistances vousfaudra-t-il assembler en série ou en parallèle pour former une résis-tance de 10 qui pourra produire au moins 5,0 W ?

28P. a) Quelle est la résistance équivalente du réseau représenté à lafigure 7.31 ? b) Déterminez le courant à l’intérieur de chaque résistance. Supposez que R1 100 , R2 R3 50 , R4 75 , E 6,0 V et que la pile est idéale.


29P. On relie en parallèle deux piles ayant une f.é.m.E et une résistanceinterne r à une résistance R (voir la figure 7.32 a]). a) Quelle doit êtrela valeur de R pour obtenir un taux de dissipation d’énergie maximal ?b) Quel est ce taux de dissipation maximal de l’énergie ?

30P. On vous confie deux piles ayant une f.é.m.E et une résistanceinterne r. Vous pouvez les relier soit en parallèle (voir la figure 7.32 a]),soit en série (voir la figure 7.32 b]) afin d’établir un courant dans unerésistance R. a) Élaborez les formules du courant circulant dans Rdans les deux cas. Quelle configuration fournira le courant le plusélevé b) si R r ? c) si R r ?

Figure 7.32 Problèmes 29 et 30


31P. À la figure 7.33,E 1 3,00 V,E 2 1,00 V, R1 5,00 , R2 2,00 , R3 4,00 et les deux piles sont idéales. Quel est letaux auquel l’énergie est dissipée a) dans R1? b) dans R2? c) dans R3 ?Quelle est la puissance d) de la pile 1 ? e) de la pile 2 ?

32P. En vous reportant au circuit de la figure 7.34, quelle doit être la valeur de R pour que la pile idéale transfère l’énergie vers les résistances a) au taux de 60,0 W ? b) à un taux maximal ? c) à un tauxminimal ? d) Évaluez ces taux.


33P. a) Calculez le courant qui circule dans chacune des piles idéalesde la figure 7.35. Supposez que R1 1,0 , R2 2,0 ,E 1 2,0 Vet queE 2 E 3 4,0 V. b) Calculez Va Vb .


34P. Dans le circuit de la figure 7.36,E a une valeur constante mais Rest variable. Déterminez la valeur de R qui se traduira par le chauffagemaximal de cette résistance. La pile est idéale.

35P. Un fil de cuivre dont le rayon a 0,250 mm est doté d’une gaine d’aluminium ayant un rayon extérieur b 0,380 mm. a) Un courant i 2,00 A circule à l’intérieur du fil composite. En vous reportant au tableau 7.1, calculez le courant qui circule dans chaque matériau. b) Si une différence de potentiel V 12,0 Ventre les extrémités du fil produit ce courant, quelle est la longueurdu fil composite ?


www

G

HF

5,00 Ω 5,00 Ω

5,00 Ω 5,00 Ω

5,00 Ω

R2+–

R1

R3

R4

+ – + –+ –

+ –r

r rr

RR

a) b)

+–2R1

+– 1

R2R3

4,00 Ω

12,0 Ω

7,00 Ω

R

+ –

24,0 V

+–3

R1+– 2

R2+– 1

R1R1

R1

a

b

+–

2,00 Ω

5,00 Ω R

Poste 3

Note

Inversion de la flèche


196 Chapitre 9 Les champs magnétiques produits par un courant

Figure 9.18 Les lignes de champ magnétique dans un vrai solénoïde de longueur finie. Le champ est fort et uniforme aux points intérieurscomme P1, mais il est relativementfaible aux points extérieurs comme P2 .

Appliquons maintenant le théorème d’Ampère,∮B · ds = µ0iint, (9.23)

au solénoïde idéal de la figure 9.19, où B est uniforme dans le solénoïde et égal à zéro à l’extérieur du solénoïde. On utilise un parcours d’intégration de forme rectangulaireabcda. On écrit

∮ B · ds comme la somme de quatre intégrales, une pour chaque segmentde boucle : ∮

B · ds =∫ b

a

B · ds +∫ c

b

B · ds

+∫ d

c

B · ds +∫ a

d

B · ds.(9.24)

La première intégrale du membre de droite de l’équation 9.24 est Bh, où B est lagrandeur du champ uniforme B à l’intérieur du solénoïde et h la longueur (arbitraire) du segment allant de a à b. La deuxième intégrale de même que la quatrième sont égalesà zéro parce que, pour chaque élément ds de ces segments, B est soit perpendiculaire à ds,soit égal à zéro. Par conséquent, le produit B • ds est égal à zéro. La troisième intégrale,qui est prise le long d’un segment situé à l’extérieur du solénoïde, est aussi égale à zéroparce que B 0 en tout point à l’extérieur. Donc,

∮ B · ds a la valeur Bh pour la boucle rectangulaire entière.

Le courant intérieur net iint encerclé par le parcours d’intégration rectangulaire dansla figure 9.19 n’est pas le même que le courant i dans les spires du solénoïde, car lesspires passent plus d’une fois à travers cette boucle. On suppose un nombre de spires npar unité de longueur du solénoïde. Donc, la boucle comprend nh spires et

iint i(nh).

Le théorème d’Ampère donne alors

Bh 0inh

ou B 0in (un solénoïde idéal). (9.25)

Même si on a dérivé l’équation 9.25 pour un solénoïde idéal et infiniment long, elleest valable pour les solénoïdes réels si on l’applique seulement aux points intérieurs, àbonne distance des extrémités du solénoïde. L’équation 9.25 concorde avec le faitexpérimental que la grandeur B du champ magnétique ne dépend pas du diamètre ou dela longueur du solénoïde, et que B est uniforme dans toute la largeur du solénoïde. Unsolénoïde représente donc une façon pratique d’établir un champ magnétique uniformeconnu dans une expérimentation, tout comme un condensateur plan (ou un condensateurà plaques parallèles) fournit un moyen pratique d’établir un champ électrique uniformeconnu.

Le champ magnétique d’une bobine toroïdale

La figure 9.20 a) montre une bobine toroïdale, qu’on peut décrire comme un solénoïdeen forme de beigne. Quel champ magnétique B est établi en ses points intérieurs (au cœurdu beigne) ? On peut trouver ce champ à l’aide du théorème d’Ampère et de la symétriepropre au beigne.

D’après la symétrie, on voit que les lignes de B forment des cercles concentriquesà l’intérieur de la bobine, et qu’elles sont dirigées comme dans la figure 9.20 b).

P2

P1

Figure 9.19 L’application du théorèmed’Ampère à une section d’un longsolénoïde idéal parcouru par un courant i. Le parcours d’intégrationest le rectangle abcd.

a b

d ch

i

B

Figure 9.20 a) Une bobine toroïdale parcourue par un courant i. b) Une section transversale horizontale de la bobine. Le champ magnétique intérieur (dans le tube en forme de beigne) peut être déterminé en appliquant le théorème d’Ampère et en utilisant un parcours d’intégrationcomme dans l’illustration.

r

i

b)

i

a)

B

Parcours d’intégration



45E. Combien de constantes de temps doivent s’écouler avant qu’uncondensateur non chargé au départ, présent dans un circuit RCen série, atteigne 99 % de sa charge finale ?

46E. Dans un circuit RC en série,E 12,0 V, R 1,40 Met C 1,80 µF. a) Calculez la constante de temps. b) Déterminez la charge maximale qui s’accumulera sur le condensateur. c) Queltemps faut-il pour que la charge atteigne 16,0 µC ?

47E. On relie en série une résistance de 15,0 k et un condensateur,après quoi on leur applique de manière soudaine une différence depotentiel de 12,0 V. La différence de potentiel aux bornes du conden-sateur augmente à 5,00 V en 1,30 µs. a) Calculez la constante detemps du circuit. b) Déterminez la capacité du condensateur.

48P. La différence de potentiel entre les plaques d’un condensateurfuyant (dont la charge fuit d’une plaque à l’autre) de 2,0 µF chute auquart de sa valeur de départ en 2,0 s. Quelle est la résistance équivalenteentre les plaques du condensateur ?

49P. On relie en série une résistance de 3,00 M et un condensateur de 1,00 µF à une pile idéale dont la f.é.m. estE 4,00 V. Une seconde après le raccordement, quel est le taux auquel a) la charge du condensateur augmente ? b) l’énergie est emmagasinée à l’intérieurdu condensateur ? c) l’énergie thermique est produite à l’intérieur dela résistance ? d) la pile fournit de l’énergie ?

50P. On charge un condensateur C initialement neutre jusqu’à pleinecapacité à l’aide d’une source de f.é.m. constante reliée en série à unerésistance R. a) Démontrez que l’énergie finale emmagasinée dans lecondensateur représente la moitié de l’énergie fournie par la sourcede f.é.m. b) En intégrant le terme i2R sur le temps, démontrez quel’énergie thermique que produit la résistance représente également lamoitié de l’énergie fournie par la source de f.é.m.

51P. On décharge un condensateur porté initialement à une différencede potentiel de 100 V à travers une résistance, alors qu’on ferme l’interrupteur qui les relie à un moment t 0. Lorsque t 10,0 s, la différence de potentiel aux bornes du condensateur est de 1,00 V. a) Quelle est la constante de temps du circuit ? b) Quelle est la différence de potentiel aux bornes du condensateur lorsque t 17,0 s ?

52P. La figure 7.42 représente lecircuit d’un feu clignotant commeceux qu’on pose sur les grands axesroutiers pour diriger les automo-bilistes. La lampe fluorescente L(dont la capacité est négligeable)est reliée en parallèle au condensa-teur C d’un circuit RC. Un courantcircule à l’intérieur de cette lampeseulement lorsque sa différence de potentiel atteint la tension declaquage VL . Le cas échéant, le condensateur se décharge complète-ment par la lampe, et le feu clignote brièvement. Supposez que l’onveuille produire deux clignotements par seconde. Quelle serait larésistance R d’une lampe ayant une tension de claquage VL 72,0 Vreliée à une pile idéale de 95,0 V et à un condensateur de 0,150 µF ?

53P. On décharge un condensateur de 1,0 µF qui emmagasine audépart 0,50 J d’énergie à travers une résistance de 1,0 M. a) Quelleest la charge initiale du condensateur ? b) Quel courant circule à l’inté-rieur de la résistance lorsque la décharge débute ? c) Déterminez l’expression de VC, la différence de potentiel aux bornes du conden-sateur et VR, la différence de potentiel aux bornes de la résistance, enfonction du temps. d) Exprimez le taux de production de l’énergiethermique à l’intérieur de la résistance en fonction du temps. www

www

54P. Le contrôleur d’un jeu électronique est fait d’une résistance variablereliée aux plaques d’un condensateur de 0,220 µF. Ce dernier estporté à une différence de potentiel de 5,00 V, puis on le décharge à travers la résistance. Une minuterie interne mesure le temps que metla différence de potentiel entre les plaques à décroître jusqu’à 0,800 V.Si le temps de décharge doit se situer entre 10,0 µs et 6,00 ms, dans quel intervalle la résistance doit-elle pouvoir varier ?

55P*. Sur le circuit de la figure 7.43,E 1,2 kV, C 6,5 µF, R1 R2 R3 0,73 M. Alors que C est neutre, on ferme l’inter-rupteur S (à t 0). a) Déterminez le courant qui circule dans chacune des résistances lorsque t 0 et t → ∞ . b) Tracez qualita-tivement le graphique de la différence de potentiel V2 aux bornes deR2 en fonction du temps allant de t 0 à t ∞ . c) Quelles sont lesvaleurs numériques de V2 aux bornes de R2 à t 0 et à t → ∞ ? d) Quelle est l’interprétation physique de t → ∞ ?


Problème supplémentaire

56. Une crise cardiaque ou une électrocution? Cette histoire fait suiteau problème 45 du chapitre 6. La figure 7.44 représente le trajet élec-trique que le courant emprunte à travers un des pieds du pique-niqueurpour monter vers son torse (jusqu’au cœur) avant de redescendre et de s’échapper par l’autre pied. a) À partir des données disponibles,déterminez la différence de potentiel entre les pieds de l’homme en supposant que la distance de la tige fuyante au premier pied est de0,50 m inférieure à la distance la séparant du second pied b) Supposez que la résistance d’un pied en contact avec le sol humidea une valeur caractéristique de 300 et que la résistance de la cagethoracique a la valeur communément acceptée de 1 000 . Quelle étaitalors la valeur du courant qui traversait le torse de l’homme ? c) Uncourant oscillant entre 0,10 A et 1,0 A suffit à déclencher la fibril-lation du cœur humain. La fibrillation subie par la victime est-elleattribuable à la fuite de courant ?


+–

R

C L


C

+–

S

R3

R2

R1

0,50 m


10.6 Les générateurs et les moteurs 217

Figure 10.12 a) Lorsque vous retirez une plaque conductrice d’un champmagnétique, un courant de Foucault est induit dans la plaque. Une boucletypique d’un courant de Foucault est illustrée. b) On fait osciller commeun pendule une plaque conductricetournant sur son pivot dans la régiond’un champ magnétique. Lorsque la plaque entre dans le champ et en sort, un courant de Foucault est induit dans la plaque.

Les courants de Foucault

Supposons qu’on remplace la boucle de courant de la figure 10.10 par une plaque conductrice. Si on retire la plaque du champ magnétique comme on l’a fait avec laboucle de courant (voir la figure 10.12 a), le mouvement du champ par rapport au conducteur induit encore un courant dans le conducteur. Donc, on rencontre de nouveauune force d’opposition et on doit effectuer un travail à cause du courant induit. Dans le casde la plaque, toutefois, les électrons de conduction composant le courant induit ne suiventpas un parcours, comme c’était le cas dans la boucle. Les électrons tournoient plutôt à l’intérieur de la plaque, comme s’ils étaient pris dans un remous. Un tel courant se nomme le courant de Foucault et peut être représenté (voir la figure 10.12 a) commes’il suivait un parcours simple.

Comme dans la boucle de courant de la figure 10.10, le courant induit dans laplaque produit une énergie mécanique qui est dissipée sous forme d’énergie thermique.Cette dissipation est plus apparente à la figure 10.12 b) ; une plaque conductrice a un mouvement de rotation sur son pivot et se balance en pénétrant un champ magnétiqueà la manière d’un pendule. Chaque fois que la plaque entre dans le champ et en sort, une portion de son énergie mécanique est transférée sous forme d’énergie thermique.Après plusieurs oscillations, il ne reste plus d’énergie mécanique et la plaque réchaufféepend sur son pivot.

VÉRIFIEZ VOS CONNAISSANCES 3 : Ce schéma représente quatre boucles de fil dont les côtésont une longueur de L ou de 2L. Les quatre boucles se déplaceront dans une région de champmagnétique uniforme B (qui sort directement de la page) à la même vitesse constante. Classez par ordre décroissant les quatre boucles selon la f.é.m. maximale induite lorsqu’ellestraverseront le champ.

10.6 Les générateurs et les moteursPour illustrer la loi de l’induction de Faraday, nous expliquerons ici le principe qui sous-tend le fonctionnement des générateurs et des moteurs électriques.

La figure 10.13 montre les composants de base d’un générateur. Une boucle de filconducteur tourne à une vitesse angulaire constante dans un champ magnétiqueextérieur. (Un dispositif qui n’est pas illustré sur la figure doit produire la rotation de laboucle. Dans les centrales électriques, ce dispositif peut être une turbine actionnée parune chute d’eau ou la vapeur d’une bouilloire.) Pour simplifier, on suppose que le champmagnétique est uniforme dans la région de la boucle.

Le flux magnétique à travers la boucle est exprimé par la relation B BA cos . Le mouvement de rotation de la boucle fait en sorte que l’angle entre le champ magnétique et les vecteurs surface d A représentant des portions de la boucle varie enfonction du temps selon l’équation t. La f.é.m. induite dans la boucle tournante est

E = −dB

dt= −BA

d

dt(cos ωt) = BAω sin ωt. (10.18)

S’il y a un nombre N de tours de fil conducteur, le flux net est simplement multiplié par N. Ainsi, la f.é.m. nette devientE NBA sin t.

La f.é.m. induite varie en fonction du temps selon une fonction sinusoïdale (voir lafigure 10.14). Si le générateur est branché à une résistance externe R, un courant induiti E /R est produit dans le circuit ; ce courant circule à l’intérieur de la boucle tournanteet des fils branchés à la résistance externe.

La figure 10.14 montre que le courant change de sens au cours d’une révolution. Un tel courant est appelé un courant alternatif (CA). La f.é.m. produite par ce générateurest elle-même appelée la f.é.m. alternative ou la tension CA.

On veut maintenant déterminer le sens du courant induit dans la boucle. Lorsquecette dernière est dans la position indiquée à la figure 10.13, un petit déplacement angulaire produit une diminution du flux. Donc, d’après la loi de Lenz, le courant induit

Courant de Foucault

Pivot

a)

b)

B

B

Figure 10.13 Un générateur simple. Le mouvement de rotation de la bobineproduit un courant qui change de sensau cours d’une révolution. Le courantest dirigé vers une résistance externe.Le contact électrique se fait par leglissement des brosses sur les anneaux,tous les deux en métal.

d

R

i

i

Résistanceexterne

B

A

Axe

i

i

C

S


238 Chapitre 10 L’induction et l’inductance

uniforme B dont la grandeur est de0,50 T. La boucle subit ensuite unerotation, de sorte que N décrit unmouvement conique par rapport àla direction du champ, à un tauxconstant de 100 révolutions/min ;l’angle ne change pas durant ceprocessus. Quelle est la f.é.m. induitedans la boucle ?

11P. À la figure 10.36, supposez que le flux dans la boucle est de B(0)à l’instant t 0. Supposez ensuite que le champ magnétique B variede façon continue mais non précisée, en grandeur et en direction, de sorte qu’à l’instant t le flux est égal à B(t). a) Démontrez que la charge nette q(t) qui a traversé la résistance R en un temps t est de

q(t) = 1

R[B(0) − B(t)]

et qu’elle est indépendante du type de variation de B.b) Si B(t) B(0) dans un cas particulier, on a q(t) 0. Le courantinduit est-il nécessairement nul pendant l’intervalle de 0 à t ?

12P. Une petite boucle circulaire ayant une aire de 2,00 cm2 est placéede façon concentrique dans le plan d’une grande boucle circulaire dont le rayon mesure 1,00 m. Le courant dans la grande boucle varieuniformément, passant de 200 A à 200 A (un changement de sens)en un temps de 1,00 s à partir de t 0. a) Quel est le champ magné-tique produit au centre de la petite boucle par le courant de la grandeboucle à t 0, t 0,500 s et t 1,00 s ? b) Quelle est la f.é.m.induite dans la petite boucle à t 0,500 s ? (Étant donné la petitetaille de la boucle, supposez que le champ B produit par la boucleextérieure est uniforme dans l’aire de la petite boucle).

13P. Supposez que 100 spires de fil de cuivre isolé sont enroulées autourd’un cylindre de bois dont la section transversale est de 1,20 103 m2.Les deux bornes terminales sont reliées à une résistance. La résistancenette du circuit est de 13,0 . Si un champ magnétique uniforme estappliqué longitudinalement sur le cylindre et varie de 1,60 T dans un sens jusqu’à 1,60 T dans l’autre sens, quelle quantité de chargecircule dans le circuit ? (Indice: Consultez le problème 11.)

14P. À un certain endroit, le champ magnétique de la Terre a unegrandeur B 0,590 gauss. Il est incliné vers le bas et forme un anglede 70,0° avec l’horizontale. Une bobine de fil plate et circulaire est placée horizontalement. Elle a un rayon de 10,0 cm, elle comporte1 000 spires et a une résistance nette de 85,0 . La bobine est reliéeà un multimètre qui a une résistance de 140 . La boucle accomplitune demi-révolution autour d’un diamètre, et elle se retrouve de nouveauà l’horizontale. Quelle quantité de charge circule dans le multimètrependant le retournement ? (Indice: Consultez le problème 11.)

15P. Une boucle de fil carrée de 2,00 m de côté est perpendiculaire à un champ magnétique uniforme,et la moitié de l’aire de la boucle se trouve dans le champ (voir lafigure 10.41). La boucle comprendune pile de 20,0 V dont on peutnégliger la résistance interne. Si la grandeur du champ varie enfonction du temps de sorte que B 0,042 0 0,870t, où B estexprimée en teslas et t en secondes,quels sont a) la f.é.m. nette dans lecircuit ? b) le sens du courant dansla pile ?

www

16P. Un fil est plié en trois segmentscirculaires ayant chacun un rayon r 10 cm (voir la figure 10.42).Chaque segment forme le quadrantd’un cercle, ab étant situé dans le plan des xy, bc dans le plan des yzet ca dans le plan des zx. a) Si unchamp magnétique uniforme Bpointe dans la direction positive x,quelle est la f.é.m. produite dans le fil lorsque B augmente à un tauxde 3,0 mT/s ? b) Quel est le sens du courant dans le segment bc?

17P. Une bobine rectangulaire de N spires, d’une longueur a et d’unelargeur b, subit une rotation à une fréquence f dans un champ magné-tique uniforme B (voir la figure 10.43). La bobine est reliée à des cylindres également en rotation, avec lesquels le contact se faitpar des brosses de métal. a) Démontrez que la f.é.m. induite dans la bobine (en fonction du temps t) est donnée par

E = 2πfNabB sin (2πft) = E 0 sin (2πft).

C’est là le principe de fonctionnement des génératrices commercialesà courant alternatif. b) Concevez une boucle qui produira une f.é.m.deE 0 150 V avec une rotation de 60,0 révolutions/s dans un champmagnétique uniforme de 0,500 T.


18P. Un fil rigide plié pour former un demi-cercle de rayon a subitune rotation à une fréquence f dans un champ magnétique uniforme(voir la figure 10.44). Quelles sont a) la fréquence et b) l’amplitude de la f.é.m. variable induite dans la boucle ?


19P. Une génératrice d’électricité comporte 100 spires de fil formantune boucle rectangulaire de 50,0 cm sur 30,0 cm, entièrement placéedans un champ magnétique uniforme de grandeur B 3,50 T. Quelleest la valeur maximale de la f.é.m. produite lorsque la boucle accom-plit 1 000 révolutions/min sur un axe perpendiculaire à B?

20P. À la figure 10.45, un fil forme une boucle circulaire fermée avecun rayon R 2,0 m et une résistance de 4,0 . Le cercle est centrésur un long fil rectiligne. À l’instant t 0, le courant dans le long filrectiligne est de 5,0 A, et il est dirigé vers la droite. Par la suite, le courant varie à un taux i 5,0 A (2,0 A/s2)t 2. (Le fil rectiligneest isolé, et il n’y a pas de contact électrique entre ce dernier et le fil

www

www

B

Nθ

Boucle

B

20,0 V




r

r

r

a

b

c

z

y

x

b

a

R

Contact à glissementB

B

R

a


284 Chapitre 12 Les oscillations électromagnétiques et le courant alternatif

L’amplitude du courant

On commence avec la figure 12.11 a) où le phaseur représente le courant de l’équa-tion 12.56 à un instant arbitraire t. La longueur du phaseur est l’amplitude I du courant, sa projection sur l’axe vertical est le courant i à un instant t et son angle de rotation estla phase ωt du courant à l’instant t.

Dans la figure 12.11 b), les phaseurs représentent les tensions dans R, L et C aumême instant t. Chaque phaseur est orienté selon l’angle de rotation du phaseur decourant I de la figure 12.11 a), en se basant sur les données du tableau 12.2 :

La résistance : Le courant et la tension sont ici en phase, et l’angle de rotation du phaseur de tension VR est donc le même que celui du phaseur I.

Le condensateur : Le courant est en avance de 90° sur la tension, et l’angle de rotationdu phaseur de tension VC est inférieur de 90° à celui du phaseur I.

L’inducteur : Le courant est ici en retard de 90° sur la tension, et l’angle de rotationdu phaseur de tension vL est donc supérieur de 90° à celui du phaseur I.

La figure 12.11 b) montre également les tensions instantanées vR , vC et vL dans R, Cet L à l’instant t. Ces tensions sont les projections des phaseurs correspondants sur l’axevertical de la figure.

Dans la figure 12.11 c), le phaseur représente la f.é.m. appliquée selon l’équation 12.55.La longueur du phaseur est l’amplitudeE m de la f.é.m., la projection du phaseur sur l’axevertical est la f.é.m.E à un instant t et l’angle de rotation du phaseur est la phase ωtde la f.é.m. à un instant t.

D’après la loi des mailles, on sait qu’en tout instant, la somme des tensions vR , vC

et vL est égale à la f.é.m.E appliquée :

E vR vC vL. (12.57)

Donc, à l’instant t, la projection deE de la figure 12.11 c) est égale à la somme algébriquedes projections vR , vC et vL de la figure 12.11 b). En fait, puisque les phaseurs tournentensemble, cette égalité est toujours valable. Cela signifie que le phaseurE m de la figure 12.11 c) doit être égal à la somme vectorielle des trois phaseurs de tension VR , VC

et VL de la figure 12.11 b).

Figure 12.11 a) Un phaseur représentant le courant alternatif dans le circuit RLC de la figure 12.7à l’instant t. L’amplitude I, la valeur instantanée i et la phase (ωt ) sont indiquées. b) Les phaseurs représentant les tensions dans l’inducteur, la résistance et le condensateur, orientés par rapport au phaseur de courant en a). c) Un phaseur représentant la f.é.m. alternativequi fournit le courant en a). d) Le phaseur de la f.é.m. est égal à la somme vectorielle des troisphaseurs de tension en b). Dans ce cas, les phaseurs de tension VL et VC ont été ajoutés pour obtenir leur phaseur net (VL VC ).

φ

vR

a)

– ω

i

b)

I

vL

vC

VL

VR

VC

d)

VL – VC

VRφ

dt

ωdt

m

φ – ωdt

c)

m

φ – ωdt ωdt


Dans la figure 12.7, R 200 , C 15,0 µF, L 230 mH, f 60,0 Hz etE m 36,0 V. (Ces paramètres sont ceux qui sont utilisés dans les exemples 12.4, 12.5 et 12.6.)

a) Quelle est l’amplitude I du courant ?

SOLUTION : Le concept clé est que l’amplitude I du courant dépend de l’amplitudeE m de la f.é.m. de la source et de l’impédance Z du circuit,d’après l’équation 12.62 (I E m /Z). Donc, on doit trouver Z, quidépend de la résistance R du circuit, de la réactance capacitive XC

et de la réactance inductive XL .L’unique résistance du circuit est la résistance donnée R. La

réactance capacitive est causée par la capacité C et, d’après l’exemple12.6, XL 86,7 . L’impédance du circuit est donc

Z =√

R2 + (XL − XC )2

=√

(200 )2 + (86,7 − 177 )2

= 219 .

On trouve ensuite

I = E m

Z= 36,0 V

219 = 0,164 A. (réponse)

b) Quelle est la constante de phase du courant dans le circuit parrapport à la f.é.m. de la source ?

SOLUTION : Le concept clé est le suivant : la constante de phase dépend dela réactance inductive, de la réactance capacitive et de la résistancedu circuit, d’après l’équation 12.65. On résout cette équation pourtrouver et on obtient

= tan−1 XL − XC

R= tan−1 86,7 − 177

200

= −24,3 = −0,424 rad. (réponse)

La constante de phase négative concorde avec le fait que la chargeest surtout capacitive ; ainsi, XC > XL .

Exemple 12.7


12.10 La puissance dans les circuits à courant alternatif

Dans le circuit RLC de la figure 12.7, la source d’énergie est la génératrice de courantalternatif. Une partie de l’énergie fournie est emmagasinée dans le champ électrique ducondensateur, une autre partie est emmagasinée dans le champ magnétique de l’inducteuret une dernière partie est dissipée sous forme d’énergie thermique dans la résistance. En régime permanent – tel qu’on le suppose ici – l’énergie moyenne emmagasinée dansle condensateur et dans l’inducteur sont toutes deux constantes. Le transfert net d’énergiese produit donc de la génératrice vers la résistance, où l’énergie électromagnétique estdissipée sous forme d’énergie thermique.

D’autre part, le taux instantané auquel l’énergie est dissipée dans la résistance peutêtre récrit à partir des équations 6.22 et 12.29 :

P i2R [I sin(ωt ]2R I 2R sin2(ωt ). (12.68)

L’énergie est dissipée dans la résistance au taux moyen donné par la moyenne temporellede l’équation 12.68. Dans un cycle complet, la valeur moyenne de sin , où est unevariable, est nulle (voir la figure 12.14 a]), mais la valeur moyenne de sin2 est de 1

2(voir la figure 12.14 b]). (Dans la figure 12.14 b), il faut noter que les régions ombréessituées au-dessous de la courbe mais au-dessus de la ligne de 1

2 ont exactement la même surface que les régions non ombrées situées au-dessous de cette ligne). Donc,on peut écrire, d’après l’équation 12.68,

Pmoy = I 2R

2=

(I√2

)2

R. (12.69)

La quantité I/√

2 est nommée la valeur efficace de l’intensité du courant i :

I eff = I√2

(la valeur efficace du courant). (12.70)

On peut maintenant récrire l’équation 12.69 sous cette forme :

Pmoy I 2eff R (la puissance moyenne). (12.71)

Figure 12.14 a) Le graphique de sin en fonction de . Dans un cycle, la valeur moyenne de la fonction est nulle. b) Le graphique de sin2 en fonction de . Dans un cycle, la valeur moyenne de la fonction est de 1

2 .

0

+1

–1

0 π π2 π

sin

a)

0

+1

0 π π2

sin2

b)

+ 1–2

θ

θ

θ

θ

3

π3

Poste 3

Note

Suppression de =



Toutefois, le faible courant alternatif primaire Imag induit un flux magnétique B

dans le noyau de fer. Puisque le noyau se prolonge dans la bobine secondaire, ce fluxinduit s’étend également dans les spires de cette bobine secondaire. D’après la loi deFaraday sur l’induction (voir l’équation 10.6), la f.é.m. induite par spireE tour est la même dans la bobine primaire et dans la bobine secondaire. De plus, la tension Vp entre les bornes de la bobine primaire est égale à la f.é.m. qui y est induite, et la tension Vs

entre les bornes de la bobine secondaire est aussi égale à la f.é.m. qui y est induite. On peut donc écrire

E tour = dB

dt= Vp

Np= Vs

Ns

et ainsi

Vs = VpNs

Np(la transformation de la tension). (12.79)

Si Ns Np , le transformateur est survolteur puisqu’il élève la tension primaire Vp

à une plus grande tension Vs . De la même façon, si Ns Np , le dispositif est alors un transformateur dévolteur.

Jusqu’à maintenant, avec l’interrupteur S ouvert, aucune énergie n’est transférée de la génératrice vers le reste du circuit. On ferme maintenant S pour relier la bobinesecondaire à la charge résistive R. (En général, la charge comprendrait aussi des élémentsinductifs et capacitifs, mais on ne considère ici que la résistance R.) On constate quel’énergie est maintenant transférée à partir de la génératrice. On explique maintenantpourquoi.

Plusieurs phénomènes se produisent lorsqu’on ferme l’interrupteur S.1. Un courant alternatif Is apparaît dans le circuit secondaire, provoquant une dissipation

d’énergie Is2R ( Vs

2/R) dans la charge résistive.2. Ce courant produit son propre flux magnétique dans le noyau de fer, et ce flux induit

(d’après les lois de Faraday et de Lenz) une f.é.m. opposée dans les spires de labobine primaire.

3. La tension Vp de la bobine primaire ne peut varier en réaction à cette f.é.m. opposée,parce qu’elle doit toujours être égale à la f.é.m.E fournie par la génératrice. Le faitde fermer l’interrupteur S n’y change rien.

4. Pour maintenir Vp , la génératrice produit maintenant (en plus de Imag) un courantalternatif Ip dans le circuit primaire ; l’amplitude et la constante de phase de Ip

sont précisément celles qui sont requises pour que la f.é.m. induite au primaire par Ip annule la f.é.m. produite au primaire par le courant Is du secondaire. Puisque la constante de phase de Ip n’est pas de 90° comme celle de Imag, ce courant Ip

peut transférer de l’énergie à la bobine primaire.On veut relier Is à Ip . Plutôt qu’analyser le processus complexe en détail, on

applique simplement le principe de la conservation de l’énergie. Le taux auquel lagénératrice transfère l’énergie à la bobine primaire est égal à IpVp . Le taux auquel labobine primaire transfère ensuite l’énergie à la bobine secondaire (par le biais du champmagnétique reliant les deux bobines) est IsVs . Comme on suppose qu’aucune énergien’est perdue durant le processus, le principe de la conservation de l’énergie implique que

IpVp IsVs .

En substituant Vs de l’équation 12.79, on trouve

Is = IpNp

Ns(la transformation des courants). (12.80)

Cette équation indique que le courant Is dans la bobine secondaire peut différer du courant Ip dans la bobine primaire, selon le rapport du nombre de spires Np /Ns .

Le courant Ip apparaît dans le circuit primaire à cause de la charge résistive R dansle circuit secondaire. Pour trouver Ip , on substitue Is Vs /R dans l’équation 12.80, et on substitue ensuite Vs de l’équation 12.79. On trouve

Ip = 1

R

(Ns

Np

)2

Vp. (12.81)

Physique 2 © Les Éditions de la Chenelière inc.R-1

CHAPITRE 1VÉRIFIEZ VOS CONNAISSANCES 1. C et D s’attirent, B et D s’attirent.

2. a) Vers la gauche b) Vers la gauche c) Vers la gauche 3. a) 1, 3, 2

b) Inférieur 4. 15e (la charge nette de 30e est également répartie).

QUESTIONS 1. Non, seulement pour les particules chargées, les objets

chargés semblables aux particules et les sphères creuses (notamment

les sphères solides) de charge uniforme. 2. Tous s’équivalent.

3. a et b 4. a) Entre elles b) Charge positive c) Instable

5. 2q2/4πε0r2, vers le haut de la page 6. a et d s’équivalent, ensuite

b et c s’équivalent. 7. a) Identique b) Inférieure c) S’annulent

d) S’additionnent e) Les composantes qui s’additionnent f) La direc-

tion positive de y g) La direction négative de y h) La direction posi-

tive de x i) La direction négative de x 8. a) Neutre b) Négative

9. a) Une possibilité b) Véritablement 10. Quand suffisamment

d’électrons se sont déplacés vers l’extrémité éloignée de la tige,

tout autre électron de conduction est repoussé, tant par les électrons

accumulés à l’extrémité de la tige que par les charges négatives

de la tige. 11. Non (la charge est répartie entre la personne

et le conducteur). EXERCICES ET PROBLÈMES 1. 1,39 m 2. 2,81 N

3. a) 4,9 107 kg b) 7,1 1011 C 4. 38 F 5. a) 0,17 N

b) 0,046 N 6. a) q1 9q2 b) q1 25 q2 7. Soit 1,00 C et

3,00 C, soit 1,00 C et 3,00 C 8. q1 4q2 9. a) La

charge 4q/9 doit se trouver sur la droite où les deux charges posi-

tives se rejoignent, à une distance L/3 de la charge q. 10. 14 cm

de q1, 24 cm de q2 11. a) 5,7 1013 C, non b) 6,0 105 kg

12. a) F21 34,5 N ; 10,3° b) x3 8,4 cm et y3 2,7 cm

13. q Q/2 14. a) q = Q

2√

2b) q = −2Q

√2 15. b) 2,4 108 C

16. x 3,1 cm 17. a) L

2

(1 + 1

4πε0

qQ

Wh2

)b)

√3qQ/(4πε0W )

18. 2,89 109 N 19. 1,32 1013 C 20. 0,19 MC

21. a) 3,2 1019 C b) Deux 22. a) 8,99 1019 N b) 625

23. 6,3 1011 24. r 5,1 m 25. 122 mA 26. 13 MC

27. a) 0 b) 1,9 109 N 28. 1,7 108 N 29. a) 9B b) 13N c) 12C

30. a) F = Q2α (1 − α)

4πε0 d2

CHAPITRE 2VÉRIFIEZ VOS CONNAISSANCES 1. a) Vers la droite b) Vers la gauche

c) Vers la gauche d) Vers la droite (la charge de p et de e est la

même, et p est plus éloigné) 2. Elles sont toutes égales. 3. a) En

direction de y b) En direction de x c) En direction de y

4. a) Vers la gauche b) Vers la gauche c) Elle diminuera. 5. a) Elles

sont toutes égales. b) 1 et 3 sont égales, 2 et 4 sont égales.

QUESTIONS 1. a) En direction de x b) Vers le sol et vers la droite

c) A 2. a) À gauche b) Non 3. Deux points : un à gauche des parti-

cules, l’autre entre les protons 4. q/4πε0d2, vers la gauche

5. a) Oui b) Il s’en approche. c) Non (les vecteurs champ ne sont

pas alignés). d) Elles s’annulent. e) Elles s’additionnent. f) Vers

celles qui s’additionnent g) Vers y 6. Elles sont toutes égales.

7. e, b, puis a et c sont égales, ensuite d (zéro) 8. a) Vers

la droite b) Pour q1 et q3, elle augmente ; pour q2, elle diminue ;

pour n, elle demeure la même. 9. a) Vers le bas b) 2 et 4 vers le bas

et 3 vers le haut 10. a) Positif b) Identique 11. a) 4, 3, 1, 2 b) 3, puis

1 et 4 sont égales, ensuite 2 12. L’excès de charges accumulées

crée un champ électrique, la proximité d’un second corps, de pré-

férence un corps pointu, concentre cet excès et augmente le champ

électrique, causant ainsi un claquage diélectrique dans l’air (l’étin-

celle). EXERCICES ET PROBLÈMES 1. a) 6,4 1018 N b) 20 N/C

4. 56 pC 5.∣∣ Erés

∣∣ = 6,4 × 105 N/C, vers l’est 6. 3,07 1021 N/C,

radialement vers l’extérieur 8. 50 cm de q1 et 100 cm de q2

10. 0. 11.∣∣ Erés

∣∣ = q/πε0a2 12. 1,02 105 N/C, vers le haut

14. 6,88 1028 C • m 15. Erés ≈ −kp

r3 17. 0,51

19. Erés = − qε0π2 R2

j 20. |q|π2ε0r2, à la verticale vers le bas

21. z = R/√

2 22. a) q/L b) q/4 πε0a(L a) 25. 6,3 103 N/C

26. R/√

3 27. −0,010 2 N/C i 28. 3,51 1015 m/s2

29. 2,03 107 N/C, vers le haut 30. 6,6 1015 N

31. a) 4,8 1013 N b) 4,8 1013 N 32. a) 1,5 103 N/C, vers

le haut b) 2,4 1016 N, vers le haut c) 1,6 1026 N, vers le sol

d) 1,5 1010 33. a) 0,029 C 34. a) 1,92 1012 m/s2

b) 1,96 105 m/s 35. a) 7,12 102 m b) 2,85 108 s c) 11,2%

36. 5,0e 37. (1,641 0,004) 1019 C 38. a) 2,7 106 m/s

b) 1 000 N/C 39. a) −2,1 × 1013 m/s2 jb) v (1,5 105i) (2,8 106j ) 40. 27µm

41. a) F 0,245 N, θ 11,3° 42. a) Oui b) La plaque supérieure,

2,73 cm 43. a) 9,30 1015 C • m b) 2,05 1011 J 44. a) 0

b) 8,5 1022 N • m c) 0 45. 2pE cos θ0 46. (1/2π), √

pE/I

47. a) 1 103 N/C b) Non uniforme

CHAPITRE 3VÉRIFIEZ VOS CONNAISSANCES 1. a) EA b) EA c) 0 d) 0 2. a) 2 b) 3

c) 1 3. a) Égal b) Égal c) Égal 4. a) 50e b) 150e 5. 3 et 4 sont

à égalité, puis 2 et 1 QUESTIONS 1. a) 12 N • m2/C b) 0 2. a) a2

b) πr2 c) 2πrh 3. a) Les quatre b) Aucune (elles sont égales).

4. Toutes s’équivalent. 5. a) S3, S2, S1 b) Toutes s’équivalent.

c) S3, S2, S1 d) Toutes s’équivalent (0). 6. Toutes s’équivalent.

7. a) 2, 1, 3 b) Toutes s’équivalent. 8. a) Toutes s’équivalent

(E 0). b) Toutes s’équivalent. 9. a) a, b, c, d b) a et b s’équivalent,

puis c et d. EXERCICES ET PROBLÈMES 1. a) 693 kg/s b) 693 kg/s

c) 347 kg/s d) 347 kg/s e) 575 kg/s 2. 0,015 N • m2/C 3. a) 0

b) 3,92 N • m2/C c) 0 d) 0 pour chaque champ 4. a) 2q et 2q

ou les quatre charges b) 2q et q c) Impossible 5. 2,0 105 N • m2/C

6. πa2E 7. a) 8,23 N • m2/C b) 8,23 N • m2/C c) 72,8 pC dans

chaque cas 8. a) 1,3 108 C/m3 b) 8,2 1010 e/m3 9. 3,54 µC

RÉPONSES AUX SECTIONSVérifiez vos connaissances,

Questions, Exercices et problèmes

Réponses aux sections R-3

24. a) 35 pF b) 21 nC c) 6,3 µJ d) 0,60 MV/m e) 1,6 J/m3 25. 0,27 J

26. 10 ¢ 27. a) 2,0 J 28. a) q1 0,211 mC, q2 0,105 mC,

q3 0,316 mC b) V1 V2 21,1 V, V3 78,9 V c) U1 2,22 mJ,

U2 1,11 mJ, U3 12,5 mJ 29. a) 2 V b) Ui ε0AV2/2d, Uf 2Ui

c) ε0AV2/2d 30. a) q1 q2 0,333 mC, q3 0,400 mC

b) V1 33,3 V, V2 66,7 V, V3 100 V c) U1 5,6 mJ,

U2 11 mJ, U3 20 mJ 32. 0,11 J/m3 34. 4,0 35. Pyrex

36. a) 6,2 cm b) 280 pF 37. 81 pF/m 38. a) 0,73 nF

b) 28 kV 39. 0,63 m2 42.ε0 A

4d

(κ1 + 2κ2κ3

κ2 + κ3

)43. a) 10 kV/m

b) 5,0 nC c) 4,1 nC 44. a) 13,4 pF b) 1,15 nC c) 1,13 104 N/C

d) 4,33 103 N/C 45. a) C 4πε0κ(

abb−a

)b) q 4πε0κV

(ab

b−a

)c) q′ q

(1− 1

κ

)46. a) 7,2 b) 0,77 µC 48. a) 4,9 mJ b) Non

CHAPITRE 6VÉRIFIEZ VOS CONNAISSANCES 1. 8 A, vers la droite 2. a) à c) Vers la droite

3. a) et c) s’équivalent, puis b) 4. Le dispositif 2 5. a) et b) s’équivalent,

ensuite d), puis c) QUESTIONS 1. a, b et c s’équivalent, ensuite d (nul)

2. a), b) et c) s’équivalent, ensuite d) 3. b), a), c) 4. Elle augmente.

5. Égalité entre A, B et C, puis égalité entre A B et B C,

puis A B C 6. a) à d) dessus-dessous, devant-derrière,

gauche-droite 7. a) à c) 1 et 2 s’équivalent, puis 3 8. C, ensuite A

et B s’équivalent, puis D 9. C, A, B 10. a) Les conducteurs 1

et 4 ; les semi-conducteurs 2 et 3 b) 2 et 3 c) Les quatre matériaux

EXERCICES ET PROBLÈMES 1. a) 1 200 C b) 7,5 1021 2. 6,7 µC/m2

3. 5,6 ms 4. a) 2,4 105 A/m2 b) 1,8 1015 m/s 5. a) 6,4

A/m2, nord b) Non ; l’aire de la section transversale 6. Calibre 14

7. 0,38 mm 8. a) 0,654 µA/m2 b) 83,4 MA 9. a) 2 1012 b) 5 000

c) 10 MV 10. a) J0A/3 b) 2J0A/3 11. 13 min 12. 2,0 106 (Ω • m)1

13. 2,0 108 Ω • m 14. 0,536 Ω 15. 100 V 16. a) 1,53 kA

b) 54,1 MA/m2 c) 10,6 108 Ω • m; platine 17. 2,4 Ω 18. a) 250 °C

b) Oui 19. 54 Ω 20. 2R 21. 3,0 22. a) 6,00 mA b) 1,59 108 V

c) 21,2 nΩ 23. 8,2 104 Ω • m 24. a) 38,3 mA b) 109 A/m2

c) 1,28 cm/s d) 227 V/m 25. 1 900 °C 26. a) 1,73 cm/s

b) 3,24 pA/m2 27. a) 0,43 %, 0,001 7 %, 0,003 4 % 28. 0,40 Ω29. a) R ρL/πab 31. 560 W 32. 14 kC 33. a) 1,0 kW b) 26 ¢

34. 11,1 Ω 35. 0,135 W 36. a) 28,8 Ω b) 2,60 1019 s1

37. a) 10,9 A b) 10,6 Ω c) 4,5 MJ 38. a) 5,85 m b) 10,4 m

39. 660 W 40. a) 4,46 $ pour un mois de 31 jours b) 144 Ωc) 0,833 A 41. a) 3,1 1011 b) 25 µA c) 1 300 W, 25 MW

42. a) 1,3 105 A/m2 b) 94 mV 43. a) 17 mV/m b) 243 J

44. a) i ρπR2v b) 17 µA c) Non, le courant est perpendiculaire

à la différence de potentiel radial. d) 1,3 W e) 260 mJ f) À la sortie de

la canalisation à l’intérieur du silo 45. a) J I/2πr2 b) E ρ • I/2πr2

c) V = ρ I

2π

(1

r− 1

b

)d) 0,16 A/m2 e) 16 V/m f) 0,16 MV

CHAPITRE 7VÉRIFIEZ VOS CONNAISSANCES 1. a) Vers la droite b) Tous s’équivalent.

c) b, puis a et c s’équivalent d) b, puis a et c s’équivalent

2. a) Les trois s’équivalent. b) R1, R2, R3 3. a) Inférieure b) Supérieure

c) Égale 4. a) V/2, i b) V, i/2 5. a) 1, 2, 4, 3 b) 4, égalité entre 1

et 2 ; 3 QUESTIONS 1. 3, 4, 1, 2 2. a) En série b) Parallèle c) Parallèle

3. a) Non b) Oui c) Toutes s’équivalent. 4. a) Égale b) Supérieur

5. En parallèle, R2, R1, en série 6. 2,0 A 7. a) Égale b) Identiques

c) Inférieure d) Supérieur 8. 60 µC 9. a) Inférieure b) Inférieur

c) Supérieure 10. a) Toutes s’équivalent. b) 1, 3, 2 11. c, b, a

EXERCICES ET PROBLÈMES 1. a) 320 $ b) 4,8 ¢ 2. 11 kJ 3. 14 h 24

4. a) Antihoraire b) Pile 1 c) B 5. a) 0,50 A b) P1 1,0 W,

P2 2,0 W c) P1 6,0 W fournis, P2 3,0 W absorbés 6. a) 80 J

b) 67 J c) 13 J représentant l’énergie thermique produite

à l’intérieur de la pile 7. a) 14 V b) 100 W c) 600 W d) 10 V, 100 W

9. a) 50 V b) 48 V c) B est relié à la borne négative 10. 10 V

11. 2,5 V 12. a) 994 Ω b) 9,9 104 W 13. 8,0 Ω 14. Le câble

15. a) r1 r2 b) La pile ayant r1 16. a) 1 000 Ω, 0,30 V

b) 2,3 103 18. 4,0 Ω et 12 Ω 19. 5,56 A 20. 4,50 Ω21. i1 50 mA, i2 60 mA, Vab 9,0 V 22. 0,00 A, 2,00 A,

2,40 A, 2,86 A, 3,00 A, 3,60 A, 3,75 A, 3,94 A 23. a) L’ampoule 2

b) l’ampoule 1 24. Vd Vc 0,25 V, pour les différents trajets

25. 3d 26. a) 2,50 Ω b) 3,13 Ω 27. 9 28. a) 120 Ω b) i1 51 mA,

i2 i3 19 mA, i4 12 mA 29. a) R r/2 b) Pmax 2/2r

30. a) En série : 2/(2r R), en parallèle : 2/(r 2R) b) En série

c) En parallèle 31. a) 0,346 W b) 0,049 9 W c) 0,709 W d) 1,26 W

e) 0,158 W 32. a) 19,5 Ω b) 0 c) ∞ d) 82,3 W, 57,6 W

33. a) La pile 1, 0,67 A en moins ; la pile 2, 0,33 A en plus ;

la pile 3, 0,33 A en plus b) 3,3 V 34. 1,43 Ω 35. a) Cu : 1,11 A,

Al : 0,893 A b) 126 m 36. a) 13,5 kΩ b) 1 500 Ω c) 167 Ωd) 1 480 Ω 37. 0,45 A 38. a) 12,5 V b) 50 A 39. 3,0 %

42. a) a : 70,9 mA, 4,70 V ; b : 55,2 mA, 4,86 V b) a : 66,3 Ω ;

b : 88,0 Ω 44. a) 0,41τ b) 1,1τ 45. 4,6τ 46. a) 2,52 s b) 21,6 µC

c) 3,40 s 47. a) 2,41 µs b) 161 pF 48. 0,72 MΩ 49. a) 0,955 µC/s

b) 1,08 µW c) 2,74 µW d) 3,82 µW 51. a) 2,17 s b) 39,6 mV

52. 2,35 MΩ 53. a) 1,0 103 C b) 1,0 103 A

c) VC 1,0 103 et V, VR 1,0 103 et V d) P e2t W

54. 24,8 Ω à 14,9 kΩ 55. a) Si t 0, i1 1,1 mA,

i2 i3 0,55 mA ; si t ∞, i1 i2 0,82 mA, i3 0

c) Si t 0, V2 400 V ; si t ∞, V2 600 V

d) Après que plusieurs constantes (τ 7,1 s) se sont écoulées,

le régime permanent est atteint.

CHAPITRE 8VÉRIFIEZ VOS CONNAISSANCES 1. a) z b) x c) FB 0 2. a) 2, puis 1

et 3 à égalité (zéro) b) 4 3. a) z et z, à égalité ; y et y

à égalité ; x et x à égalité (zéro) b) y 4. a) L’électron b) Dans

le sens des aiguilles d’une montre 5. En direction de y

6. a) Toutes les orientations sont égales. b) 1 et 4 à égalité, puis 2

et 3 à égalité QUESTIONS 1. a) Non, car v et FB doivent être perpen-

diculaires b) Oui c) Non, car B et FB doivent être perpendiculaires

2. a, b et c s’équivalent, puis d (zéro) 3. a) FE b) FB 4. 2, 5, 6, 9, 10

5. a) Négative b) Égale c) Égal d) Un demi-cercle 6. Entrant dans

la page : a, d, e ; sortant de la page : b, c, f (la particule est chargée

négativement) 7. a) B1 b) Le champ B1 entre dans la page ;

le champ B2 sort de la page. c) Plus court 8. 1i, 2e, 3c, 4a, 5g, 6j,

7d, 8b, 9h, 10f, 11k 9. a) Fil 1 : 180° ; fil 2 : 270° ; fil 3 : 90° ;

fil 4 : 0° ; fil 5 : 315° ; fil 6 : 225° ; fil 7 : 135° ; fil 8 : 45° b) Fils 1 et 2

à égalité, puis fils 3 et 4 à égalité c) Fil 8, puis fils 5 et 6 à égalité,

puis fil 7 10. a) Positif b) 1 et 2 s’équivalent, puis 3 est à zéro

EXERCICES ET PROBLÈMES 1. a) 6,2 1018 N b) 9,5 108 m/s2

c) Demeure constante à 550 m/s 2. a) 9,56 1014 N, 0 b) 0,267°

3. a) 400 km/s b) 835 eV 4. a) (6,2 1014 N)k b) (6,2 1014 N)kPhysique 2 © Les Éditions de la Chenelière inc.

R-4 Réponses aux sections

5. a) Vers l’est b) 6,27 1014 m/s2 c) 2,98 mm 6. a) 1,4 1018 N

b) 1,6 1019 N c) 1,0 1018 N 7. a) 3,4 104 T, horizontale

et vers la gauche b) Oui, si sa vitesse est la même que celle de

l’électron 8. a) 3,75 km/s 9. 0,27 mT

10. (11,4 V/m)i (6,00 V/m)j (4,80 V/m)k 11. 6,8 105 V/m

12. 7,4 µV 13. b) 2,84 103 14. 38,2 cm/s 15. 21 µT

16. a) 1,11 107 m/s b) 0,316 mm 17. a) 2,05 107 m/s b) 467 µT

c) 13,1 MHz d) 76,3 ns 18. 127 u 19. a) 0,978 MHz b) 96,4 cm

20. a) 2,60 106 m/s b) 0,109 µs c) 0,140 MeV d) 70,0 kV

22. a) 1,0 MeV b) 0,50 MeV 23. rd √

2rp ; r∝ rp

24. a) 495 mT b) 22,7 mA c) 8,17 MJ

25. v(t) v0xi v0y cos (ωt)j v0y sin (ωt)k, où ω eB/m

26. a) 0,36 ns b) 0,17 mm c) 1,5 mm 27. a) 0,252 T b) 130 ns

28. a) q b) πm/qB 29. a) 18 MHz b) 17 MeV 30. 240 m

31. a) 8,5 MeV b) 0,80 T c) 34 MeV d) 24 MHz e) 34 MeV, 1,6 T,

34 MeV, 12 MHz 32. 28,2 N, horizontale et vers l’ouest

33. 20,1 N 34. 467 mA, de gauche à droite

35. (2,5 103 N)j (0,75 103 N)k 36. 0,10 T, à 31°

de la verticale 37. a) 3,3 108 A b) 1,0 1017 W c) Totalement

irréaliste 38. 4,3 103 N • m, y négatif 39. a) 0, 0,138 N, 0,138 N

42. 2πaiB sin θ, normale dans le plan de la boucle (vers le haut)

44. a) 542 Ω, reliée en série avec le galvanomètre b) 2,52 Ω, reliée

en parallèle 45. qvaB/2 46. 2,45 A 47. 2,08 GA 48. a) 12,7 A

b) 0,080 5 N • m 49. a) 0,184 A • m2 b) 1,45 N • m 50. a) 0,30 A • m2

b) 0,024 N • m 51. a) 20 min b) 5,9 102 N • m

52. a) 2,86 A • m2 b) 1,10 A • m2 53. 0,335 A • m2, 297° dans

le sens antihoraire par rapport à l’axe des y positifs, dans le plan

des yz 54. a) (8,0 104 N • m) (0,12i 0,90j 1,0k)

b) 6,0 104 J 55. a) (6,00 104 N/m2) y dl k b) (18,8 µN)k56. (0,10 V/m)k 57. a) 77° b) 77° 58. 2,0 T

CHAPITRE 9VÉRIFIEZ VOS CONNAISSANCES 1. a, c, b 2. b, c, a 3. d, a et c à égalité, b

4. d, a, b et c à égalité (zéro) QUESTIONS 1. c, d, a et b à égalité

2. a) Il entre dans la page. b) Plus grand 3. c, a, b 4. b, d, c, a (zéro)

5. a) 1, 3, 2 b) Inférieur à 45° 6. a, b et d à égalité, c 7. c et d

à égalité, b, a 8. b, a, d, c (zéro) 9. d, a et e à égalité, b, c

10. a) 2 opposé à 4 b) 2 et 4 opposés à 6 c) 1 et 5 opposés à 3 et 6

d) 1 et 5 opposés à 2, 3 et 4 EXERCICES ET PROBLÈMES 1. a) 3,3 µT

b) Oui 2. 12 nT 3. a) 16 A b) D’ouest en est 4. Suivant une ligne

parallèle au fil à une distance de 4,0 mm 5. a) µ0qvi/2πd, antipa-

rallèle à i b) Même grandeur, parallèle à i 6. 0 7. 2 rad

8. , entrant dans le plan de la page 9. ,

sortant de la page 10. a) 0 b) µ0i/4R, entrant dans le plan de la page

c) Même résultat que b) 18. √

2µ0i/8πa,entrant dans le plan de

la page 19. (µ0i/2π) 1n(1 /d), vers le haut 20. 200 µT, entrant

dans le plan de la page 21. a) Il est impossible d’avoir une autre

valeur que B 0 à mi-chemin entre les fils. b) 30 A 22. En tout

point parallèle situé entre les deux fils à une distance d/4 du fil

parcouru par le courant i 23. 4,3 A, sortant de la page 24. À partir

de la gauche : (46,9 µN/m)j, (18,8 µN/m)j, 0, (18,8 µN/m)j,(46,9 µN/m)j 25. 80 µT, vers le haut 26. 0,338 µ0i2/a, vers le

centre du carré 27. 0,791 µ0i2/πa, 162° sens antihoraire à partir

0iµ4 ( (1

b1a

θ

π0iµ

4 ( (1R1

1R2

de l’horizontale 28. b) 2,3 km/s 29. 3,2 mN, en direction du fil

30. 5µ0i 31. a) (2,0 A)µ0 b) 0 34. 1 : (2,0 A)µ0 ;2 : (13,0 A)µ0 35. µ0J0r2/3a 36. a) 0,13 µT b) 0,14 µT 38. 3i/8,

entrant dans le plan de la page 40. 5,71 mT 41. 0,30 mT 42. 108 m

43. a) 533 µT b) 400 µT 46. 0,272 A 47. a) 4,77 cm b) 35,5 µT

48. a) 4 ; b) 1/2 49. 0,47 A • m2 50. 8µ0Ni/5√

5R 51. a) 2,4 A • m2

b) 46 cm 52. b) ia2 54. b) (0,060 A • m2)j c) (9,6 1011 T)j ,

(4,8 1011 T))j 56. a) µ0i

4

(1

a+ 1

b

)entrant dans le plan de

la page b)1

2iπ(a2 b2), entrant dans le plan de la page 57. a) 79 µT

b) 1,1 106 N • m 58. a) (µ0i/2R)(11/π), sortant de la page

b) (µ0i/2πR)(√

1 + π2), sortant de la page à un angle de 18°

CHAPITRE 10VÉRIFIEZ VOS CONNAISSANCES 1. b, d et e à égalité, a et c à égalité (zéro)

2. a et b à égalité, c (zéro) 3. c et d à égalité, a et b à égalité

4. b, sortant ; c, sortant ; d, entrant ; e, entrant 5. d et e 6. a) 2, 3, 1

(zéro) b) 2, 3, 1 7. 1 et 2 à égalité, 3 QUESTIONS 1. a) Toutes à

égalité (zéro) b) 2, puis 1 et 3 à égalité (zéro) 2. Il en sort.

3. a) Il entre. b) Antihoraire c) Plus grande 4. a) Vers la gauche

b) Vers la droite 5. 3, 1, 2 6. d et c s’équivalent, puis b, a 7. c, b, a

8. c, a, b 9. a) Plus élevé b) Égal c) Égal d) Égal (zéro) 10. a, 2 ;

b, 4 ; c, 1 ; d, 3 EXERCICES ET PROBLÈMES 1. 1,5 mV 2. µ0nAi0ω cos ωt

3. a) 31 mV b) De la droite vers la gauche 4. a) 11mV b) 0

c) 11 mV 5. a) 1,1 103 Ω b) 1,4 T/s 6. b) 58 mA 7. 30 mA

8. 0,452 V 9. a) µ0iR2πr2/2x3 b) 3µ0iπR2r2v/2x4 c) Dans le même

sens que le courant dans la grande boucle 10. 0 11. b) Non

12. a) 1,26 104 T, 0, 1,26 104 T b) 5,04 108 V

13. 29,5 mC 14. 15,5 µC 15. a) 21,7 V b) Antihoraire 16. a) 24 µV

b) de c à b 17. b) Concevez-la de façon que Nab (5/2π) m2

18. a) f b) π2a2fB 19. 5,50 kV 20. 0 21. 80 µV, sens horaire

22. a) 0,598 µV b) Sens antihoraire 23. a) 13 µWb/m

b) 17 % c) 0 24. a) µ0ia

2πln

(2r + b

2r − b

)b) 2 µ0iabv/πR (4r2 b2)

25. 3,68 µW 26. A2B2/R∆t 27. a) 48,1 mV b) 2,67 mA c) 0,128 mW

28. v mgR/B22 29. a) 600 mV, vers le haut b) 1,5 A, sens horaire

c) 0,90 W d) 0,18 N vers la gauche e) Même que c) 30. a) 85,2 T • m2

b) 56,8 V c) 1 31. a) 240 µV b) 0,600 mA c) 0,144 µW

d) 2,88 108 N e) Même que c) 32. 1 : 1,07 mV ; 2 : 2,40 mV ;

3 : 1,33 mV 33. a) 71,5 µV/m b) 143 µV/m 34. 0,15 V/m

36. a) 2,45 mWb b) 0,645 mH 37. 0,10 µWb 38. a) µ0i/ b) πµ0R2/

40. a) Il décroît. b) 0,68 mH 41. Faites varier le courant à 5,0 A/s.

42. a) 16 kV b) 3,1 kV c) 23 kV 43. b) Afin que le champ magnétique

variable d’un inducteur n’induise pas de courant dans l’autre inducteur

c) Léq =N∑

n = 1

Ln 44. b) Afin que le champ magnétique variable

d’un inducteur n’induise pas de courant dans l’autre inducteur

c) 1

Léq=

N∑n = 1

1

Ln45. 6,91 L 46. 12,3 s

47. 46 Ω 48. a) b) 0,135 c) 0,693 L 49. a) 8,45 ns b) 7,37 mA

50. (42 20t) V 51. 12,0 A/s 52. a) 0,29 mH b) 0,29 ms

53. a) i1 i2 3,33 A b) i1 4,55 A, i2 2,73 A

c) i1 0, i2 1,82 A (inversé) d) i1 i2 0 54. I. a) 2,0 A b) 0

c) 2,0 A d) 0 e) 10 V f) 2,0 A/s II. a) 2,0 A b) 1,0 A c) 3,0 A Physique 2 © Les Éditions de la Chenelière inc.

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1.1 L’électromagnétisme - Chenelière Éducation · la soie avec l’extrémité de la tige afin d’accroître le nombre de points de contact. Ainsi, on accroît la quantité