Estimation de moyennes, d’écarts types et de proportions

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1 Estimation d’une moyennes, d’un écart type

a) Généralité

On a une population sur laquelle est définie une variable statistique X de moyenne m et

d’écart type où m et sont inconnus.

On a prélevé un échantillon aléatoire non exhaustif de taille n et on a relevé la valeur prise

par X pour chacun des éléments de l’échantillon. On a obtenu me pour la moyenne de cet

échantillon pour X et e pour l’écart type de l’échantillon pour X.

population

échantillon de taille n

moyenne inconnue : m moyenne : me

écart type inconnu : écart type : e

D’une manière générale on applique les règles suivantes :

∗ On choisit la moyenne me de l’échantillon comme estimation ponctuelle m

de la moyenne

inconnue de la population.

∗ On choisit le nombre en

n

1où n est l’effectif de l’échantillon et e est l’écart type de

l’échantillon, comme estimation ponctuelle

de l’écart type inconnu de la population.

b Étude d’un exemple

Une société s’approvisionne en pièces brutes qui, conformément aux conditions fixées par elle,

doivent avoir une masse moyenne de 780 grammes.

Au moment où 500 pièces sont réceptionnées, on en prélève au hasard un échantillon de 36

pièces dont on mesure la masse.

On obtient les résultats suivants :

À combien peut-on estimer la moyenne et l’écart type des masses pour la population

constituée des 500 pièces à l’aide des résultats obtenus sur cet échantillon ?

Masse des pièces (en grammes) Nombre de pièces

[745 ; 755[

[755 ; 765[

[765 ; 775[

[775 ; 785[

[785 ; 795[

[795 ; 805[

2

6

10

11

5

2

Résolution

On calcule d’abord la moyenne me et l’écart type e se ramène à la série statistique suivante :

xi 750 760 770 780 790 800

ni 2 6 10 11 5 2

On tient compte du manque de précision de la méthode employée (regroupement au centre

d’une classe des observations concernant cette classe).

Après utilisation de la calculette, on prend les résultats suivants : me = 774,7 ete = 12,36.

On prend aussi 35

36e = 12,53.

Finalement on prend m

= 774,7 et

= 12,53 comme estimations respectives de la moyenne

m de la population et de l’écart type de cette population.

2 Estimation d’une proportion d’un écart type

a) Situation générale

On a une population ; p est la proportion d’éléments de la population ayant une certaine

propriété.

On étudie F la variable aléatoire qui donne, dans tout échantillon aléatoire non exhaustif de

taille n, la proportion d’éléments qui possèdent la propriété.

On sait que F est une variable aléatoire d’espérance p et d’écart type = n

pp )1( où

p et sont inconnues.

De plus pour n suffisamment grand, F suit approximativement la loi normale N (p ;

b) Les estimations de p et

On prélève un échantillon aléatoire non exhaustif de taille n et on relève la proportion f des

éléments de l’échantillon possédant la propriété.

population

échantillon de taille n

proportion inconnue f proportion connue f

On applique en général les règles suivantes :

∗ On choisit la proportion f des éléments de l’échantillon comme estimation ponctuelle p

de

la proportion p d’éléments de la population.

∗ On choisit 1

)1(

n

ff comme estimation ponctuelle de l’écart type de la variable

aléatoire F.