1ère partie : Barycentres dans le plan 2ème partie ...mathscostebelle.free.fr/IMG/pdf/AL7MA12TEPA0109-Sequence-03.pdf · Séquence 3 – MA12 109 Exercice 1 On considère deux points

103Séquence 3 – MA12

> 1ère partie : Barycentres dans le plan

> 2ème partie : Angles et trigonométrie

© Cned – Académie en ligne

105Sommaire séquence 3 – MA12

1ère partie

Activité 1

Cours

Exercices d’application 1, 2

Exercices d’apprentissage 1, 2

Activités 2, 3

Cours


Exercices d’apprentissage 9, 10, 11

Activité 4

Cours� Multiplication par un réel� Propriété caractéristique� Théorème d’associativité� Coordonnées du barycentre de points pondérés


Exercices d’apprentissage 6, …, 14

AA

ABB

ABC

ABD

AA

ABB

ABC

ABD

AA

ABB

ABC

ABD

Chapitre 1 > Barycentre de deux points pondérés ..............................................................107

Chapitre 2 > Barycentre de trois points pondérés (ou plus) .............................111

Chapitre 3 > Propriétés du barycentre .......................................................................................................114

Chapitre 4 > Synthèse des connaissances .............................................................................................122

Chapitre 5 > Exercices d’approfondissement 1, 2, 3, 4 .................................................124

Chapitre 6 > Initiation à l’utilisation du logiciel GEOPLAN .................................126


Séquence 3 – MA12 107

.Activité 1� Le schéma ci-contre représente une tige AB de masse négligea-ble en équilibre sur un support.

À son extrémité A est suspendue une masse de 1 Kg.

À son extrémité B est suspendue une masse de 2 Kg.

Les forces exercées sur la tige en A et B sont toutes deux dirigéesvers le bas.

En physique vous avez vu que la tige est en équilibre lorsque le support est placé en un point G carac-térisé par :

Notons que ces trois conditions peuvent se traduire par : ce qui équivaut à

On dit que G est le barycentre des points pondérés et

� Sur le schéma ci-contre, AB étant toujours de masse négli-geable, on suspend 1 Kg en A par l’intermédiaire d’une pouliefixe P et 2 Kg normalement en B.

Ainsi, cette fois, la force exercée en A est dirigée vers le haut.

En physique vous avez vue que la tige est en équilibre lorsquele support est placé en un point G caractérisé par :

Notons que ces trois conditions peuvent se traduire par : ce

qui équivaut par exemple à ou

On dit que G est le barycentre des points pondérés et

� Exercice

a. Dans les conditions de la première expérience, on suspend 2 Kg en A et 3 Kg en B.

Donner la relation vectorielle qui caractérise le point G ; exprimer en fonction de et placer lepoint G en représentant le tout sur un schéma.

b. Dans les conditions de la deuxième expérience, on suspend 2 Kg en A et 3 Kg en B.

A Activité

Barycentre de deux points pondérés

A G B

G est sur la tige AB

G est entre A et B

GA 2GB=⎩⎪⎨⎪⎧

GA 2– GB=

GA 2GB+ 0.=

A 1,( ) B 2,( ).

A

P

GB

G est sur la tige AB

G est à droite de B

GA 2GB=⎩⎪⎨⎪⎧

GA 2GB=

GA 2GB+– 0= 1– ( )GA 2GB+ 0.=

A ; 1– ( ) B ; 2 ( ).

AG AB


108 Séquence 3 – MA12

Donner la relation vectorielle qui caractérise le point G ; exprimer en fonction de et placer lepoint G en représentant le tout sur un nouveau schéma.

c. Toujours dans les conditions de la deuxième expérience, on suspend 2 Kg en A et 2 Kg en B. Que va-t-il se passer ?

a. Point pondéré

Étant donné un nombre réel

α, l’expression « point pondéré est utilisée pour dire que lepoint A est affecté du coefficient

α.

b. Problème

Étant donnés deux points pondérés et posons nous la question suivante :

La relation définit-t-elle un point G et un seul ?

Procédons, pour y répondre comme dans l’exercice de l’activité 1, c’est-à-dire cherchons à exprimer le

vecteur en fonction du vecteur

L’égalité équivaut aux égalités successives suivantes :

Deux cas se présentent alors à nous :

la dernière égalité équivaut à relation qui définit un point G et un seul

de la droite appelé barycentre des points pondérés et

la relation équivaut à soit

ou

Ainsi, si et l’égalité n’est jamais satisfaite ; aucun point G ne vérifie

Dans les cas contraires, tout point G vérifie

c. Théorème et définition

Il résulte de l’étude précédente :

Étant donnés deux points pondérés et

si la relation définit un point G et un seul aligné avec les points Aet B.

Si on appelle barycentre des points pondérés et le point G défini

par

Si les points pondérés et n’ont pas de barycentre.

B Cours

AG AB

A ; α( ) »

A ; α( ) B ; β( ),

αGA βGB+ 0=

AG AB.

αGA βGB+ 0=αGA β GA AB+( )+ 0=

α β+( )GA βAB+ 0.=

α β+( )GA βAB– =

α β+( )AG βAB=

� 1er cas α β+ 0 ; ≠ AG βα β+------------- AB,=

AB( ), A ; α( ) B ; β( ).

� 2ème cas α β+ 0 ; = α β+( )AG βAB= 0AG βAB=0 βAB=

β 0= A B.=

β 0≠ A B≠ 0AG βAB=

αGA βGB+ 0.=

αGA βGB+ 0.=

� Théorème A α,,,,( ) B β,,,,( ),

α β+ 0,≠≠≠≠ αGA βGB+ 0====

� Définition α β+ 0,≠≠≠≠ A α,,,,( ) B β,,,,( )

αGA βGB+ 0.=

Remarque α β+ 0,= A α,( ) B β,( )



Exercice 1

On considère deux points distincts A et B (cela signifie :

Placer sur une figure le barycentre G des points pondérés et

Ce barycentre existe bien car (différent de 0)

Il est défini par c’est à dire encore par :

Exercice 2

On considère deux points distincts A et B.

Construire le barycentre G des points pondérés et

Ce barycentre existe bien car

En procédant comme dans l’exercice précédent, on obtient

Pour construire le point G on va utiliser la propriété de Thalès.

On trace pour cela une demi-droite passant par A que l’on gradue. On y place un point et un point

tels que et Ainsi,

On trace ensuite la parallèle à la droite qui coupe la droite en G tel que

Les points A, G et B étant dans cet ordre sur la droite on a bien

Exercice 1

On considère trois points A, B et C tels que

Déterminer

α et

β dans chacun des cas suivants :

A est le barycentre des points pondérés et

B est le barycentre des points pondérés et

C est le barycentre des points pondérés et

C Exercices d’application

D Exercices d’apprentissage

A B ).≠

A 2,( ) B 3– ,( ).

Réponse 2 3– 1– =

A B G2GA 3GB– 0=

2GA 3 GA AB+( )– 0=

2GA 3GA– 3AB– 0=

GA– 3AB=

AG 3AB=

A 3,( ) B 4,( ).

Réponse 3 4+ 0≠

AG 47-- AB.=

G′

B′ AG′ 4= AB′ 7.= AG′AB′---------

47-- .=

BB′( ) AB( ) AGAB------- AG′

AB′---------

47-- .= =

AB( ), AG 47-- AB.=

A G

G'

B'

B

AC 4AB.=

B α,( ) C β,( ).

C α,( ) A β,( ).

B α,( ) A β,( ).



Exercice 2

Considérer la figure ci-dessous

Compléter les affirmations suivantes, quand c’est possible.

a. donc B est le barycentre de et

b. donc C est le barycentre et

c. C est le barycentre de et

d. B est le barycentre de et

e. C est le barycentre de et

f. D est le barycentre de et

g. E est le barycentre de et

BA C D

E

... BA ... BC+ 0,= A ...,( ) C ...,( ).

... CA ... CB+ 0,= A ...,( ) B ...,( )

B ...,( ) D ...,( )

A ...,( ) D 5,( )

A 3,( ) B ...,( )

A 3,( ) C ...,( )

A 3,( ) B ...,( ).



.Activité 2Reprenons la première expérience de l’activité 1.

La tige AB repose maintenant en G sur une extré-mité d’une deuxième tige horizontale notée T.

À l’autre extrémité C de T est suspendue unemasse de 4 Kg.

L’ensemble est en équilibre lorsque la tige Trepose en H sur un support S.

� Exprimer par une relation vectorielle que latige AB est en équilibre.

� Pour l’équilibre de la tige T, tout se passecomme si on avait suspendu une masse de 3 Kgen G.

Exprimer cet équilibre par une relation vectorielle.

� Montrer que

On dit que ce point H est le barycentre des pointspondérés et

.Activité 3On considère trois points A, B et C non alignés.

� Montrer que l’égalité détermine un point G et un seul en exprimant en

fonction de et de Placer ces quatre points sur une figure.

� La relation définit-elle un point G ?

On montre, comme dans le paragraphe B b. du chapitre précédent, le théorème suivant :

Étant donnés trois points A, B et C et trois nombres réels α, β, γ,

si la relation définit un point G et un seul.

En effet : équivaut à

égalité qui détermine un point G et un seul.

On peut remarquer que si G n’est pas défini.

A Activités

B Cours

Barycentre de trois points pondérés ou plus

G

B

A

H T C

SHA 2HB 4HC+ + 0.=

A 1,( ), B 2,( ) C 4,( ).

2GA GB 3GC+ + 0= AG

AB AC.

2GA GB 3GC–+ 0=

� Théorème

α β γ+ + 0,≠≠≠≠ αGA βGB γ GC+ + 0====

αGA βGB γ GC+ + 0==== αGA β GA AB+( ) γ GA AC+( )+ + 0====

α β γ+ +( )AG βAB γ AC+====

AG βα β γ+ +---------------------- AB γ

α β γ+ +---------------------- AC,+====

α β γ+ + 0,====



Étant donnés trois points, A, B et C et trois nombres réels α, β et γ tels que le

barycentre des points pondérés et est le point G défini par

a. Remarque analogue à celle faite dans le cas de deux points :


b. La notion de barycentre se généralise à un nombre quelconque de points :

Par exemple, pour quatre points pondérés : si le barycentre des points pondérés

et est le point G défini par

Exercice 1

Soit un triangle ABC. Construire le barycentre des points pondérés et etmontrer que la droite est parallèle à la droite

Plusieurs possibilités se présentent à nous.

On peut, par exemple, comme on l’a fait jusqu’à main-

tenant exprimer le vecteur en fonction des vec-

teurs et

On sait par définition que

On en déduit :

Cette dernière égalité permet la construction du point G.

Il suffit en effet de placer le point D défini par et le point G est défini par :

En observant plus attentivement l’égalité on aurait pu voir que

Ainsi, devient ce qui permet d’écrire ou

Cette dernière égalité permet d’une part la construction du point G et montre d’autre part que les vec-

teurs et sont colinéaires ce qui prouve que les droites et sont parallèles.


� Définition α β γ+ + 0,≠≠≠≠A α,,,,( ), B β,,,,( ) C γ,,,,( )

αGA βGB γ GC+ + 0.====

α β γ+ + 0,= A α,( ), B β,( ) C γ,( )

α β γ δ 0,≠+ + +

A α,( ), B β,( ), C γ,( ) D δ,( ) αGA βGB γ GC δGD++ + 0.=

A 1,( ), B 2,( ) C 1– ,( )AC( ) GB( ).

D

A

G

B C

Réponse

AG

AB AC.

GA 2GB GC–+ 0.=

GA 2 GA AB+( ) GA AC+( )–+ 0=

2GA 2AB AC–+ 0=

AG AB 12-- AC.–=

AD 12-- AC– =

AG AB AD.+=

GA 2GB GC–+ 0,=

GA GC– CG GA+ CA.= =

GA 2GB GC–+ 0= 2GB CA+ 0,= 2GB CA– =

BG 12-- CA.=

BG CA BG( ) AC( )



Exercice 2

On considère un triangle ABC et le point D défini par :

Trouver des coefficients α, β et γ qui permettent de dire :

a. A est le barycentre de et

b. B est le barycentre de et

a. De l’égalité on déduit que :

et donc que A est le barycentre des points pondérés et

b. Transformons l’égalité en une relation entre les vecteurs et

Grâce à la relation de Chasles, on a :

d’où on déduit

ou encore

Ainsi, B est le barycentre des points pondérés et

On aurait pu tout aussi bien conclure : B est le barycentre des points pondérés et

En effet, l’égalité est équivalente à

Ce résultat sera repris et généralisé dans le chapitre suivant.

Exercice 3

Les points A, B, C et D sont les points qui ont été définis dans l’exercice d’application précédent. (ils

sont tels que

Trouver des coefficients α, β et γ qui permettent de dire :

� C est le barycentre de et

� D est le barycentre de et

Exercice 4

Soit un parallélogramme ABCD.

� Construire le barycentre G des points pondérés et

� Montrer que le point G appartient à la droite

Exercice 5

Étant donnés le triangle ABC et le point M de la figure ci-contre on appelle

le point défini par

� Construire ce point

� Soit G le barycentre des points pondérées et

a. Construire ce point G.

b. Exprimer en fonction de que peut-on en conclure ?


D

A

E

B C

AD AB 2AC.+=

D α,( ), B β,( ) C γ,( ).

A α,( ), D β,( ) C γ,( ).

Réponse AD AB 2AC,+=

AD AB 2AC+ +– 0=

D 1– ,( ),B 1,( ) C 2,( ).

AD AB 2AC+= BA, BD BC.

AB BD+( ) AB 2 AB BC+( )+=

BD– 2AB 2BC+ + 0=

2BA BD– 2BC+– 0.=

A 2– ,( ), D 1– ,( ) C 2,( ).

Remarque A 2,( ), D 1,( )C 2–,( ).

2BA BD– 2BC+– 0= 2BA BD 2BC–+ 0.=

AD AB 2AC ).+=

A α,( ), B β,( ) D γ,( )

A α,( ), B β,( ) C γ,( ).

A 1,( ), B 1,( ), C 2– ,( ) D 2,( ).

AB( ).

A

B C

M

M′

MM′ MA 2MB 3MC.+ +=

M′.

A 1,( ), B 2,( ) C 3,( ).

GM′ GM ;



.Activité 4Soit un triangle ABC et G le barycentre des points pondérés et

� O désignant un point quelconque du plan, exprimer en fonction de et

� a. En remplaçant le point O par le point A, montrer que

b. Écrire de même les égalités obtenues en remplaçant successivement O par B puis par C.

� On appelle I le barycentre des points pondérés et

a. Construire ce point I

b. Démontrer que G est le barycentre de et que peut on en conclure en ce qui con-cerne les points G, I et C ?

� Multiplication des coefficients par un réel non nula. On a vu dans l’exercice d’application no 2 du chapitre précédent, que le barycentre des points pon-dérés et est aussi le barycentre des points pondérés et

On a pu aussi voir à la dernière question de l’activité 4 que le barycentre des points pondérés et est aussi le barycentre de et

Plus généralement, si G est le barycentre de et et si k est un nombre réel non

nul, l’égalité est équivalente à l’égalité c’est à

dire encore à

On peut alors énoncer le théorème suivant :

Si k est un nombre réel non nul, et si

le barycentre de et est aussi le barycentre de et

Pour le théorème devient :

Si k est un nombre réel non nul,

le barycentre de et est aussi le barycentre de

Plus généralement ce théorème peut s’appliquer pour la détermination du barycentre d’unnombre quelconque de points pondérés.

b. Cas particuliers : Isobarycentre.

On appelle ainsi le barycentre de points affectés de coefficients égaux non nuls.

A Activité

B Cours

Propriétés du barycentre

A 1,( ), B 2,( ) C 3,( )

OG OA, OB OC.

AG 13-- AB 1

2-- AC.+=

A 1,( ) B 2,( )

I 3,( ) C 3,( ) ;

A 2– ,( ), D 1– ,( ) C 2,( ) A 2,( ), D 1,( )C 2– ,( ).

I 3,( )C 3,( ) I 1,( ) C 1,( ).

A α,( ), B β,( ) C γ,( )

αGA βGB γ GC+ + 0= k αGA βGB γ GC+ +( ) 0,=

kαGA kβGB kγ GC+ + 0.=

� Théorème α β γ 0,≠≠≠≠+ +

A α,,,,( ), B β,,,,( ) C γ,,,,( ) A kα,,,,( ), B kβ,,,,( )C kγ,,,,( ).

γ 0,====

� Théorème

A α,( ) B β,( ) A kα,( ), B kβ,( ).



Or, d’après le théorème précédent, le barycentre des points pondérés et est aussi le

barycentre des points pondérés et donc de et

Plus généralement l’isobarycentre de points pondérés est le barycentre de ces points affectésde coefficients égaux à 1.

En particulier il faut retenir que l’isobarycentre de deux points est le milieu de ces deux points.

En effet, dire que G est l’isobarycentre des points A et B, cela signifie que autrement

dit que égalité qui démontre que le point G est le milieu de

c. Autres exemples

Le barycentre des points pondérés et est le barycentre de et

Le barycentre des points pondérés et est le barycentre de et donc aussi de et

Le barycentre des points pondérés et est le barycentre de et

Le barycentre des points pondérés et est le barycentre de

et donc aussi de et

� Propriété caractéristique

a. On a vu dans l’activité 4 que si G est le barycentre des points pondérés et

quel que soit le point O,

Plus généralement si si G est le barycentre des points pondérés et

donc, pour tout point O, on a :

Si si G est le barycentre des points pondérés et alors, pour

tout point O,

Si s’il existe un point G tel que pour tout point O, alors le

point G est le barycentre des points pondérés et

En effet, puisque l’égalité est satisfaite pour tout point O, elle l’est pour

Elle devient

A α,( ) B α,( )

A 1α--- α,⎝ ⎠

⎛ ⎞ B 1α--- α,⎝ ⎠

⎛ ⎞ A 1,( ) B 1,( ).

GA GB+ 0,=

GA GB,– = AB[ ].

A 12,( ), B 6– ,( ) C 18,( ) A 2,( ),B 1– ,( ) C 3,( ).

A 0 4,,( ), B 1 2,,( ) C 0 8,,( ) A 4,( ),B 12,( ) C 8,( ) A 1,( ), B 3,( ) C 2,( ).

A 2– ,( ), B 1– ,( ) C 5– ,( ) A 2,( ), B 1,( )C 5,( ).

A 23--,⎝ ⎠

⎛ ⎞ , B 12--,⎝ ⎠

⎛ ⎞ C 16--,⎝ ⎠

⎛ ⎞ A 123-----,⎝ ⎠

⎛ ⎞ , B 62--,⎝ ⎠

⎛ ⎞

C 66--,⎝ ⎠

⎛ ⎞ , A 4,( ), B 3,( ) C 1,( ).

A 1,( ), B 2,( ) C 3,( ),

OG OA 2OB 3OC+ +1 2 3+ +

----------------------------------------- .=

α β γ 0,≠+ + A α,( ), B β,( )

C γ,( ), αGA βGB γ GC+ + 0,=

α GO OA+( ) β GO OB+( ) γ GO OC+( )+ + 0=

α β γ+ +( )GO αOA– βOB– γ OC–=

α β γ+ +( )OG αOA βOB γ OC+ +=

OG αOA βOB γ OC+ +α β γ+ +

--------------------------------------------- .=

� Théorème α β γ 0,≠+ + A α,( ), B β,( ) C γ,( ),


--------------------------------------------- .=

Réciproque α β γ 0,≠+ + OG αOA βOB γ OC+ +α β γ+ +

--------------------------------------------- ,=

A α,( ), B β,( ) C γ,( ).


---------------------------------------------=

O G ; =

αGA βGB γ GC+ + 0.=



On peut alors énoncer le théorème suivant qui résume les deux précédents :

(Propriété caractéristique)

Si le point G est le barycentre des points pondérés et si

et seulement si pour tout point O,

Ce théorème peut s’appliquer pour un nombre quelconque de points.

b. Exemple d’utilisation de ce théorème pour la construction d’un barycentre.

Soit un triangle ABC et G le barycentre des points pondérés et

Appliquons le théorème précédent :

Pour tout point O,

Cette relation étant satisfaite pour tout point O, elle l’est en remplaçant :

O par A ; elle devient

O par B ; on obtient

O par C ; on obtient

La dernière relation obtenue est peut être celle qui permettra la construction la plus simple du point G.

Il suffit en effet de placer le point E tel que puis G tel que

� Théorème d’associativitéa. Reprenons l’expérience illustrée dans l’activité 2.

G est le barycentre des points et

H est le barycentre des points et

On a montré que H est le barycentre des points pondérés et

Le barycentre des points pondérés et est aussi le barycentre des points et (l’équilibre de la tige T reste inchangé si on remplace la tige AB par un fil auquel on sus-pend un poids de 3 Kg).

Dans l’activité 4, on a montré que le barycentre des points pondérés et estaussi le barycentre des points et

Plus généralement soient

α,

β et

γ trois nombres réels tels que et

Soit G le barycentre des points pondérés et

soit I le barycentre des points pondérés et

Des égalités et il résulte que :

ce qui prouve que le point G est le barycentre des points pondérés et

� Théorème

α β γ 0,≠≠≠≠+ + A α,,,,( ), B β,,,,( ) C γ,,,,( )


-----------------------------------------------.====

A 2,( ), B 2,( ) C 1– ( ).

OG 2OA 2OB OC–+3

---------------------------------------- .=

AG 2AA 2AB AC–+3

---------------------------------------- ; = AG 23-- AB 1

3-- AC.– =

BG 23-- BA 1

3-- BC.–=

CG 23-- CA 2

3-- CB.+=

CA CB+ CE,= CG 23-- CE.=

A 1,( ) B 2,( ).

G 3,( ) C 4,( ).

A 1,( ), B 2,( ) C 4,( ).

A 1,( ), B 2,( ) C 4,( ) G 3,( )C 4,( ).

A 1,( ), B 2,( ) C 3,( )G 3,( ) C 3,( ).

α β γ 0≠+ + α β 0.≠+

A α,( ), B β,( ) C γ,( )

A α,( ), B β,( ).

αGA βGB γ GC+ + 0= αIA βIB+ 0,=

α GI IA+( ) β GI IB+( ) γ GC+ + 0=

α β+( )GI γ GC+ 0=

I α β+,( ) C γ,( ).



Si un point G est le barycentre des points pondérés et

Si un point I est le barycentre des points pondérés et

le point G est aussi le barycentre des points pondérés et

b. Le théorème d’associativité se généralise à un nombre quelconque de points.

Soit G le barycentre de points pondérés , et

Si H est le barycentre des points pondérés et

Alors G est le barycentre des points pondérés et

Il est souvent très efficace dans la recherche de solutions de certains problèmes ; en revanche sa re-démonstration dans les cas particuliers peut faciliter la rédaction.

c. Exemple d’utilisation de ce théorème pour la construction d’unbarycentre.

Étant donnés quatre points A, B, C et D, construisons le barycentre Gde et

Pour cela il peut être intéressant d’appeler I le milieu de

Ainsi G est le barycentre de et

Appelons maintenant J le milieu de

G est alors le barycentre de et donc le milieu de

d. Application du théorème d’associativité à la détermination de l’iso-barycentre de trois points.

Soit un triangle ABC et G son isobarycentre.

Appelons le milieu du segment donc l’isobarycentre despoints B et C.

G est le barycentre des points pondérés et

G est donc aussi le barycentre des points pondérés et

Il résulte de cette dernière affirmation que le point G appartient à la droite

En appelant et les milieux respectifs des segments et on montrerait de mêmeque le point G appartient aussi à chacune des droites et

Ainsi le point G appartient à chacune des médianes du triangle ABC.

C’est donc le centre de gravité du triangle ABC.

L’isobarycentre de trois points A, B et C est le centre de gravité du triangle ABC.

On a montré au passage que les trois médianes d’un triangle sont concourantes.

De plus puisque G est le barycentre des points pondérés on peut écrire que

On retrouve ainsi le théorème selon lequel le centre de gravité d’un triangle se trouve sur chaquemédiane aux deux tiers à partir du sommet.

� Coordonnées du barycentre de points pondérésOn suppose que le plan est rapporté à un repère

a. A et B sont deux points dont on connaît les coordonnées :

Soient α et β deux nombres réels tels que et G le barycentre de et

� Théorèmed’associativité

A α,,,,( ), B β,,,,( ) C γ,,,,( ).

A α,,,,( ), B β,,,,( ),

I α β+,,,,( ) C γ,,,,( ).

� Exemple A 1,( ), B 2,( ) C 3,( ) D 2,( ).

A 1,( ), B 2,( ), C 3,( )

H 6,( ) D 2,( ).

Remarque concernantle théorème

d’associativitéC

GD

A

B

IJA 1,( ), B 2,( ), C 1,( ) D 4,( ).

AC[ ].

I 2,( ), B 2,( ) D 4,( ).

IB[ ].

J 4,( ) D 4,( ) DJ[ ].

A

C'

B A' C

B'G

A′ BC[ ]

A 1,( ), B 1,( ) C 1,( ),

A 1,( ) A′ 2,( ).

AA′( ).

B′ C′ AC[ ], AB[ ],BB′( ) CC′( ).

� Théorème

Remarque

A 1,( ), A′ 2,( ),

GA 2GA′+ 0 ; = GA 2 GA AA ′+ ( )+ 0 ; = AG 23-- AA ′=

O ; i j ,( )

A xA yA,( ), B xB yB,( ).

α β 0≠+ A α,( ) B β,( ).



Utilisons la propriété caractéristique.

Pour le point O, origine du repère, on peut écrire :

Il en résulte que le point G a pour coordonnées : et car, ne

l’oublions pas, les coordonnées de O sont

Le plan étant rapporté à un repère, le barycentre G de points pondérés et

a pour coordonnées et

Ce théorème se généralise à un nombre quelconque de points.

b. Cas particuliers

L’isobarycentre I de deux points A et B, c’est à dire le milieu du segment

a pour coordonnées et (résultat que l’on connaissait déjà).

L’isobarycentre G de trois points A, B et C, c’est à dire le centre de gravité du triangle ABC

a pour coordonnées et

Exercice 1

Étant donné un triangle ABC, on appelle I le milieu de J le milieu de et K le point défini

par

Le droite coupe le droite en L.

On se propose dans un premier temps de montrer que les points B, J et K sont des points alignés, puis

de déterminer le nombre réel k tel que Pour cela :

�

Déterminer des réels

α,

β et

γ tels que I soit le barycentre des points pondérés et

et J le barycentre des points pondérés et

�

Montrer que K est le barycentre des points pondérés et En déduire que les pointsB, J et K sont alignés.

�

Soit M le barycentre de et montrer que les points M et L sont confondus.

En déduire le réel k cherché.

�

Le point I est le milieu du segment donc c’estl’isobarycentre des deux points B et C autrement dit, lebarycentre de et

De même, J est l’isobarycentre de A et de I, donc le bary-centre de ou...

Cette deuxième possibilité nous permet, grâce au théo-rème d’associativité de dire que J est le barycentre despoints pondérés et

Sans utiliser ce théorème, on aurait pu dire : I étant le milieu de en utilisant lapropriété caractéristique (I est le barycentre des points pondérés et


OG αOA βOB+α β+

----------------------------=

xG

αxA βxB+

α β+-------------------------= yG

αyA βyB+

α β+------------------------=

0 0,( ).

� Théorème A α,,,,( ) B β,,,,( )

xG

αxA βxB+

α β+-------------------------= yG

αyA βyB+

α β+------------------------=

AB[ ]

xI

xA xB+

2-----------------= yI

yA yB+

2-----------------=

xG

xA xB xC+ +

3-----------------------------= yG

yA yB yC+ +

3----------------------------=

BC[ ], AI[ ]

AK 13-- AC.=

CJ( ) AB( )

AL kAB.=

B β,( ) C γ,( )

A α,( ), B β,( ) C γ,( ).

A α,( ) C γ,( ).

A α,( ) B β,( ) ;

B I C

K

J

ARéponse BC[ ],

B 1,( ) C 1,( ).

A 1,( ), I 1,( ) A 2,( ), I 2,( ).

A 2,( ), B 1,( ) C 1,( ).

Remarque BC[ ], JB JC+ 2JI=B 1,( ) C 1,( ) ).



J est le milieu de ou

Finalement on établit l’égalité qui prouve que J est le barycentre de et

On peut donc prendre et

�

donc ou dernière égalité que l’on peut écrire sous

la forme et qui prouve que K est le barycentre de et

Pour résumer, on a établi : J est le barycentre de et

K est le barycentre de et

Le théorème d’associativité nous permet de conclure que J est le barycentre de et

Les points B, J et K sont donc des points alignés.

On peut même ajouter ceci :

J est le barycentre de et donc cette dernière égalité nous permet de

savoir, par exemple, que

�

M est le barycentre des points pondérés et donc M est un point de la droite

Or J est le barycentre de et le théorème d’associativité nous permet de con-clure que J est le barycentre de et Ainsi, les points M, J et C sont des points alignés ;autrement dit, le point M appartient à la droite comme c’est aussi un point de la droite c’est le point d’intersection de ces deux droites ; il résulte de tout cela que

L est donc le barycentre de et ce qui permet de savoir que

Exercice 2

Le plan est rapporté à un repère

On y considère les points et et le point M défini par

On se propose de calculer les coordonnées de ce point M de deux façons.

�

Traduire l’égalité directement à l’aide des coordonnées.

�

Montrer au préalable que ce point M est le barycentre des points A et B affectés de coefficients àdéterminer.

�

Appelons x et y les coordonnées du point M.

équivaut à soit à

équivaut à soit à

Le point M a pour coordonnées : et

�

L’égalité équivaut à autrement dit elle permet de savoir que le point

M est le barycentre des points pondérés et

Les résultats obtenus dans le paragraphe 4 permettent de conclure : et

AI[ ], JA JI– = 2JA 2JI+ 0=

2JA JB JC+ + 0,= A 2,( ),B 1,( ) C 1,( ).

α 2,= β 1= γ 1.=

AK 13-- AC,= 3AK AC= 3AK AK KC+( )– 0=

2KA KC+ 0= A 2,( ) C 1,( ).

A 2,( ), B 1,( ) C 1,( ).

A 2,( ) C 1,( ).

B 1,( ) K 3,( ).

B 1,( ) K 3,( ) JB 3JK+ 0 ; =

BJ 34-- BK.=

A 2,( ) B 1,( ), AB( ).

A 2,( ), B 1,( ) C 1,( ) ;M 3,( ) C 1,( ).

JC( ) ; AB( ),M L.=

A 2,( ) B 1,( ), AL 13-- AB.=

O ; i j ,( )

A 2 3,( ) B 1 2,– ( ) MA 3MB.=

MA 3MB=

Réponse

MA 3MB2 x– 3 1– x–( )=3 y– 3 2 y–( )=⎩

⎨⎧

⇔=

2 x– 3 1– x–( )= 2x 5,– = x 52-- ;– =

3 y– 3 2 y–( )= 2y 3= y 32-- .=

x 52--– = y 3

2-- .=

MA 3MB= MA 3MB– 0=A 1,( ) B 3– ,( ).

xM1 2 3 1– ( )×–×

1 3–---------------------------------------

52--– = =

yM1 3 3 2×–×

1 3–------------------------------

32-- .= =



Exercice 6

On considère un triangle ABC, I le milieu du segment et G le barycentre de et

Montrer que les points A, G et I sont alignés.

Exercice 7

Soit un triangle ABC ; on appelle I le barycentre de et J le barycentre de et et K le barycentre de et

�

Construire les points I, J et K.

�

Soit G le barycentre de et montrer que les trois droites et sont concourantes en G.

Exercice 8

Soit un triangle ABC ; on appelle E, F et G les points définis de la façon suivante :

�

Déterminer des réels

α,

β et

γ tels que :

E soit le barycentre de et F barycentre de et et G le barycentre de et

� Démontrer que les droites et sont concourantes.

Exercice 9

Montrer que le centre de symétrie d’un parallélogramme est l’isobarycentre de ses quatre sommets.

Exercice 10

Les quatre points A, B, C et D de la figure ci-dessous, sont quatre points quelconques.

On appelle I, J, E, F et G les milieux respectifs des segments et

� Démontrer que le point G est l’isobarycentre des points A, B, C et D.

� En déduire que les points G, I et J sont alignés.

Que dire de plus en ce qui concerne ces trois points ?

� Montrer que les milieux de et de sont sur une droite qui passe par G.

� H désigne le centre de gravité du triangle ABC ; montrerque les points G, D et H sont alignés. Sur quelles autres droi-tes remarquables de la figure se trouve encore ce point G ?


BC[ ] A 3,( ), B 1,( )C 1,( ).

B 3,( ) C 4,( ), C 4,( )A 1,( ) A 1,( ) B 3,( ).

A 1,( ), B 3,( ) C 4,( ) ; AI( ), BJ( )CK( )

BE 35-- BC= CF 1

4-- CA= AG 2

3-- AB.=

B β,( ) C γ,( ), A α,( ) C γ,( )A α,( ) B β,( ).

AE( ), BF( ) CG( )

AB[ ], CD[ ], AC[ ], BD[ ] EF[ ].

BC[ ] AD[ ]

A

B C

D



Exercice 11Montrer que si deux triangles ABC et ont même centre de gravité, alors

Étudier la réciproque.

Exercice 12

Au cours d’une épreuve d’examen, un candidat obtient 8 en Maths et 12 en Français.La note de Maths est affectée d’un coefficient égal à 2, le Français d’un coefficient égal à 3.Le candidat a-t-il la moyenne ?Représenter sur une droite graduée, la note de Maths par un point M, la note de Français par un pointF et la note moyenne par un point N.Pourquoi peut-on dire que N est le barycentre de et

Exercice 13

On considère trois points distincts A, B et C.

�

a. Déterminer le barycentre G de et

b. Soit M un point quelconque. Construire le point défini par

c. Montrer que la droite passe par G.

�

a. Existe-t-il un point I tel que

b. Soit N un point quelconque. Construire le point défini par

c. Soit P le barycentre de et Démontrer que la droite est parallèle à la droite

Exercice 14

Soit un triangle ABC et D le barycentre des points pondérés et

� Faire un schéma et placer le point D.

�

Soit M un point quelconque du plan. Exprimer en fonction de

�

Exprimer en fonction de si G désigne le centre de gravité de ABC.

�

Déterminer l’ensemble des points M du plan tels que :

On aurait pu dire : Déterminer le lieu de M...

Si A et B sont deux points quelconque, désigne la distance de A à B ;

Exercice 15

On considère un triangle ABC tel que et La bissectrice de l’angle coupe en I.

On note D le deuxième point de tel que

� Montrer que les triangles IAC et IBD sont de même forme.

� En déduire que

� Montrer que I est le barycentre de et

� La bissectrice de l’angle coupe en J et la bissectrice de l’angle coupe enK. En réutilisant ce qui précède, écrire J comme barycentre de A et C et K comme barycentre de A et Ben précisant les coefficients.

� Montrer que les bissectrices intérieures du triangle ABC sont concourantes et que leur point d’inter-section est le barycentre de et

A′B′C′

AA′ BB′ CC′+ + 0.=

M 2,( ) F 3,( ) ?

A 3,( ), B 1,( ), C 2,( ).

M′ MM′ 3MA MB 2MC+ +=

MM′( )

3IA IB– 2IC– 0 ? =

N′ NN′ 3NA NB– 2NC–=

B 1,( ) C 2,( ). NN′( )AP( ).

A 2– ,( ), B 1,( ) C 4,( ).

2MA– MB 4MC+ + MD.

MA MB MC+ + MG

2MA MB+– 4MC+ MA MB MC+ += .

Remarque

Rappel AB AB AB.=

AB c,= AC b= BC a.= BACBC( )

AI( ) BD BA.=

b IB× c IC.×=

B b,( ) C c,( ).

ABC AC( ) ACB AB( )

A a,( ), B b,( ) C c,( ).



� Barycentre de deux points pondérésÉtant donnés deux points pondérés et

si la relation définit un point G et un seul aligné avec les points Aet B.

Si on appelle barycentre des points pondérés et le point G défini par

si les points pondérés et n’ont pas de barycentre.

� Barycentre de trois points pondérés ou plusÉtant donnés trois points A, B et C et trois nombres réels α, β et γ,

si la relation définit un point G et un seul.

Étant donnés trois points A, B et C et trois nombres réels α, β et γ tels que

le barycentre des points pondérés et est le point G défini par

Remarque analogue à celle faite dans le cas de deux points :


La notion de barycentre se généralise à un nombre quelconque de points.

� Multiplication des coefficients par un réel non nulSi k est un nombre réel non nul,

le barycentre de et est aussi le barycentre de et


� IsobarycentreOn appelle ainsi le barycentre de points affectés de coefficients égaux.

L’isobarycentre de points pondérés est le barycentre de ces points affectés de coefficients égaux à 1.

L’isobarycentre de deux points est le milieu de ces deux points.

L’isobarycentre de trois points est le centre de gravité du triangle ayant ces trois pointscomme sommets.

Synthèse des connaissances

� Théorème A α,,,,( ) B β,,,,( ),

α β 0,≠≠≠≠+ αGA βGB+ 0====

Définition α β 0,≠+ A α,( ) B β,( )

αGA βGB+ 0.=

Remarque α β = 0+ A α,( ) B β,( )

� Théorème

α β γ+ 0,≠≠≠≠+ αGA βGB γ GC+ + 0=

Définition α β γ+ 0,≠+

A α,( ), B β,( ) C γ,( )

αGA βGB γ GC+ + 0.=

α β γ++ 0,= A α,( ), B β,( ) C γ,( )

� Théorème

A α,,,,( ), B β,,,,( ) C γ,,,,( ) A kα,,,,( ), B kβ,,,,( )C kγ,,,,( ).



� Propriété caractéristique(propriété caractéristique)

Si le point G est le barycentre des points pondérés et si

et seulement si pour tout point O,

Ce théorème peut s’appliquer pour un nombre quelconque de points.

� Théorème d’associativitéSi un point G est le barycentre des points pondérés et

Si un point I est le barycentre des points pondérés et

le point G est aussi le barycentre des points pondérés et

Le théorème d’associativité se généralise à un nombre quelconque de points.

� Coordonnées du barycentre de points pondérés

Le plan étant rapporté à un repère, le barycentre G de points pondérés et a

pour coordonnées et


� Théorème

α β γ+ 0,≠≠≠≠+ A α,,,,( ), B β,,,,( ) C γ,,,,( )


-----------------------------------------------.====

� Théorèmed’associativité

A α,,,,( ), B β,,,,( ) C γ,,,,( ).

A α,,,,( ) B β,,,,( ),

I α β+,,,,( ) C γ,,,,( ).

� Théorème A α,,,,( ) B β,,,,( )

xG

αxA βxB+

α β+-------------------------==== yG

αyA βyB+

α β+------------------------- .====



Exercice 1

A, B, C et D désignent quatre points quelconques du plan.

Soient les point I, J, E, F et G définis de la façon suivante :

� Montrer que G est le barycentre des points pondérés et

� Montrer que les points E, F et G sont alignés ; exprimer en fonction de

Exercice 2

On considère le triangle ABC ci-contre et trois points I, J et K définis detelle sorte que l’on ait :

J milieu du segment K milieu du segment et I milieu dusegment

� Placer ces points sur une figure,

� Tracer la parallèle à la droite passant par K et montrer que ladroite coupe la droite en un point E tel que

� La droite coupe la droite en F ; montrer que

� Montrer que le point I est le barycentre des points pondérés et

� Construire avec précision tous ces points.

(On propose dans le chapitre 6 une construction de la figure, le triangle ABC étant donné, avant touteétude préalable, avec le logiciel GEOPLAN, pour non initiés).

Exercice 3

Soit un triangle ABC. On appelle G son centre de gravité, O le centre du cercle passant par A, B et C et

H le point défini par

� Démontrer que le vecteur est colinéaire au vecteur si désigne le milieu du segment

En déduire que est une hauteur de ABC. Montrer que H est l’orthocentre de ABC.

� Démontrer la relation : que peut on en conclure en ce qui concerne les points O, G etH ?

Exercices d’approfondissement

AI 14-- AB ; = DJ 1

4-- DC ; = AE 1

3-- AD ; = BF 1

3-- BC ; = IG 1

3-- IJ.=

A 6,( ), B 2,( ), C 1,( ) D 3,( ).

EG EF.

A

B C

AI[ ], BJ[ ]KC[ ]

AI( )AI( ) BC( ) BE 2

3-- BC=

CI( ) AB( ) BF 13-- BA.=

A 1,( ), B 2,( ) C 4,( ).

OH OA OB OC.+ +=

AH OA′, A′BC[ ].

AH[ ]

OG 13-- OH ; =



Exercice 4

ABC est un triangle. On appelle T la relation qui à tout pointM associe le point défini par :

�

Représenter les images des points et de lafigure ci-contre.

�

Soit I le barycentre des points pondérés et

Montrer que I est un point invariant de T et que

�

Le point M décrit le segment

Quel est le lieu de son image ?

(voir dans le chapitre suivant, le dessin de ce lieu avec le logiciel GEOPLAN, indépendamment detoute étude)

Aide aux exercices d’approfondissement

Exercice 1

�

On peut commencer par montrer que I est le barycentre des points A et B affectés de coefficients àdéterminer.

�

On peut utiliser le théorème d’associativité.

Exercice 2

�

Pour construire une figure contenant tous ces points sur laquelle on pourra s’appuyer pour raison-ner, commencer par placer I, J et K.

�

Utiliser le théorème de Thalès dans les triangles BJE et si on désigne par le point d’inter-

section de la parallèle à passant par K avec

�

Considérer la parallèle à passant par J.

�

Transformer les égalités vectorielles obtenues en relations de barycentres.

Exercice 3

�

Montrer que équivaut à

�

Il suffit de transformer la relation

Exercice 4

�

On construit tel que

�

Ne pas oublier que I est le barycentre des points pondérés et et transfor-

mer l’égalité à l’aide de

�

S’interroger sur la nature de T.

A

B C

M3

M1

M2

M′MM′ MA MB– 2MC.+=

M1, M2 M3

A 1,( ),B 1– ,( ) C 2,( ).

IM′ IM– =

AC[ ].

CKE′, E′AE( ) BC( ).

CK( )

OA OB OC+ + OH= AH 2OA′.=

GA GB GC+ + 0.=

M1 M1M1′ AB– 2M1C ...+=

A 1,( ), B 1– ,( ) C 2,( )

MA MB– 2MC+ MI.



Construction de la figure de l’exercice d’approfondissement no 2

Ouverture de GEOPLAN

Construction du triangle ABC.

Cliquer sur Créez puis faire glisser la souris sur

Cliquer sur

puis

Le point A apparaît.

Il est possible de ledéplacer dans le planen le sélectionnant àl’aide de la souris eten faisant glissercelle ci.

Initiation à l’utilisation du logiciel GEOPLAN

� 1er exemple

Point → Point libre → dans le plan

dans le plan

Nom du point A→ → OK



construire de la même façon B et C

Construction du triangle

Un espace entre chaque point, puis Ok

En cliquant sur →



Méthode de construction

On place un point I quelconque, puis J le milieu de K le milieu de et le milieu de

On déplacera ensuite le point I pour l’amener en superposition avec

On construit un point I comme on l’a fait pour le point A.

Construction de J ; c’est le milieu de

IA[ ], JB[ ] I′ KC[ ].

I′.

IA[ ].



On construit de la même façon les points K et puis ensuite les segments et

On déplace ensuite le point I pour l’amener en superposition avec

Il est possible en cliquant sur d’effacer le point

I′ IA[ ], JB[ ] KC[ ].

I′.

I′

B C

A

K

I

J



Pour placer E qui a servi à la construction :

Désigner ce point par E et tracer

Procéder de même pour F

Dessin du lieu de l’exercice d’approfondissement no 4

Il faut tout d’abord construire le triangle ABC.

Ensuite créer un point M sur le segment

IE[ ].

B CE

A

K

I

J

� 2ème exemple

AC[ ]



Il s’agit maintenant de construire tel que

Pour cela on va utiliser le fait que est, bien évidemment, l’image M dans la translation de vecteur

c’est-à-dire de vecteur

En cliquant avec la souris sur le point M, on peut déplacer ce point sur on voit apparaître lesdifférentes images ; on peut conjecturer que le milieu de est un point fixe.

Dessin du lieu de M

A

B C

M

M′ MM′ MA MB– 2MC+=

M′

MM′, MA MB– 2MC.+

AC[ ] ;MM′[ ]



Construction du lieu étudié dans l’exercice d’apprentissage no 5 de lapremière partie de la séquence 2

dans un cas plus général :

Étant donnés une droite et un point F non situé sur quel est le lieu de M tel que si H est le projeté orthogonal de M sur

Construire tout d’abord trois points libres A, B et F.

La droite sera limitée au segment

Comment va-t-on construire un point M répondant à la question ?

On crée tout d’abord un point libre H sur le segment qui sera le projeté orthogonal de M sur

M M'

A

B C

� 3ème exemple

D( ) D( ),MF MH= D( ) ?

D( ) AB[ ].

AB[ ]D( ).

A H B

F



M se trouve donc d’une part sur la perpendiculaire à passant par H et d’autre part sur la média-trice de du fait de la condition

On construit donc ces deux droites et leur point d’intersection M.

Il reste à construire le lieu de M

D( )FH[ ] MF MH.=



En déplaçant le point H sur on peut remarquer que la médiatrice de est « tangente » à laparabole construite.

F

M

O

D( ), FH[ ]


135Sommaire séquence 3 – MA12

2ème partie

Activités 1, 2, 3

Cours� Le radian� Cercle trigonométrique

� Mesures des angles orientés� Propriétés


Exercices d’apprentissage 1, 2, 3, 4, 5

Activité 4

Cours� Définition� Propriétés� Repérage d’un point en polaire


Exercices d’apprentissage 6, 7, 8, 9, 10

AA

ABB

ABC

ABD

AA

ABB

ABC

ABD

Chapitre 2 > Trigonométrie ...............................................................................................................................................145

Chapitre 3 > Synthèse des connaissances .............................................................................................153

Chapitre 4 > Exercices d’approfondissement 1, 2, 3, 4 .................................................156

Chapitre 1 > Mesure en radians des angles orientés ......................................................137



.Activité 1On considère un cercle de centre O, de rayon 1.

Les points A, B et C sont définis par et

Placer les points et symétriques de A, B et Cpar rapport à

� Calculer les longueurs des arcs IJ, IA, IB, IC, et

� Le point M est tel que la longueur de l’arc IM est égaleà 1, c’est-à-dire au rayon. Trouver deux points consécutifsparmi ceux déjà placés sur le cercle tels que M soit entreces deux points. Calculer une valeur approchée en degrés de l’angle

A Activités

Mesure en radians des angles orientés

I'

J'

JC

B

A

IO

IOA 30°,=IOB 45°= IOC 60°.=

A′, B′ C′OJ( ).

II′, IC′,IB′ IA′.

IOM.



.Activité 2Sur le disque de rayon 1 de la figure ci-contre, on a fixé en A un fil.

On peut l’enrouler sur le disque de deux façons :

Par le haut, l’enroulement se fait dans le sens direct.

Par le bas, il se fera dans le sens rétrograde.

Après avoir noté sur ce fil quelques points de contacts avec le disque pendantl’enroulement, on le tend. Il occupe alors la position qu’il a sur la figure.

est le point du fil qui a été en contact avec B, dans l’enroulement dans lesens direct, pour la première fois.

Représenter les points du fil qui ont été en contact avec les points C, D pourla première fois ; on les appellera et

Représenter les points du fil qui ont été en contact avec les points A, B, C et Dpour la deuxième fois ; on les appellera et etc.

Procéder de la même façon pour l’enroulement dans le sens rétrograde ;notations pour les contacts avec B, C, D, A... etc.

La droite matérialisée par le fil tendu est rapporté au repère (l’abscissede I est égale à 1).

Indiquer sur la figure ci-contre les abscisses de tous les points que l’on vientde placer.

À titre d’exemple, le point a pour abscisse la longueur de filenroulée étant égale au demi périmètre du disque (de rayon 1 ne l’oublionspas !).

BI

AB

D

C

b1

b1

c1 d1.

a2, b2, c2 d2...

b′1, c′1, d′1, a′2...

A I,( )

c1 x π,=



.Activité 3À faire après avoir étudié les paragraphes 1, 2 et 3 de lapartie B suivante.

Le cercle trigonométrique ci-contre a été partagé endouze arcs de même longueur.

Placer sur ce cercle les points B, C, D et E tels que

et

On peut alors lire sur la figure que, par exemple,

On reporte cette mesure dans le tableau ci-dessous dans la case se situant à l’intersection de la ligne

et de la colonne

a. Compléter le tableau en procédant de la même façon.

b. Quelles remarques est-il possible de faire, concernant d’une façon plus générale :

et

c. Nous avions et et nous avons lu

Or on peut remarquer que autrement dit

Comparer de la même façon :

et

et

et

AO

OA OB,( ) π3--- ,= OB OC,( ) π

2--- ,= OC OD,( ) 5π

6------=

OD OE,( ) π3--- .– =

OA OC,( ) 5π6

------ .=

« OA » « OC ».

OA OB OC OD OE

OA π3--- 5π

6------

OB π2---

OC 5π6

------

OD π3---–

OE

u u,( ) ?

u v,( ) v u,( ) ?

OA OB,( ) π3---= OB OC,( ) π

2---= OA OC,( ) 5π

6------ .=

5π6

------ π3--- π

2---+= OA OB,( ) OB OC,( )+ OA OC,( ).=

OA OD,( ) OD OE,( )+ OA OE,( )

OA OC,( ) OC OD,( )+ OA OD,( )

OA OE,( ) OE OC,( )+ OA OC,( )



� Le radian

Si A et B sont deux points sur un cercle de centre O, de

rayon 1, la mesure en radians de l’angle géométrique est égale à la mesure de la longueur de l’arc AB, mesure quel’on pourrait obtenir, par exemple, en enroulant un fil le longdu cercle de A à B.

Ainsi, par exemple, si on reprend les données de l’activité 1,

on peut dire que les mesures en radians des angles

et sont respectivement : c’est-à-dire

π, et

En radians, les angles d’un triangle équilatéral sont égaux à les angles aigus d’un triangle rectan-

gle isocèle à

La somme des angles d’un triangle est égale à

π.

� Cercle trigonométriqueUne unité de longueur ayant été déterminée dans leplan, on appelle cercle trigonométrique, tout cercle derayon 1 sur lequel on a déterminé un sens positif ousens direct (et un sens rétrograde du même coup !).

On choisit sauf mention du contraire, comme sensdirect, le sens inverse au sens des aiguilles d’unemontre.

� Mesure des angles orientésa) Angles orientés

La donnée de deux vecteurs non nuls détermine un angle orienté.

Si et sont deux vecteurs non nuls, ils déterminent un angle orienté noté

Il faut bien faire attention à l’ordre dans lequel on cite les vecteurs.

En particulier comme on le reverra un peu plus loin de façon précise,

b) Mesures des angles orientés

� Cas des angles orientés de vecteurs unitaires (vecteurs dont lanorme est égale à 1)

Étant donné un angle orienté de vecteurs unitaires

On place les points A et B sur le cercle trigonométrique de centre O.

B Cours

B

A

O

C( )

AOB

IOI′,

IOJ, IOB IOA 2π2

------

π2--- , π

3--- , π

4--- π

6--- .

Rappelπ3--- ,

π4--- .

O A

u v u v,( ).

Une remarque

u v,( ) v u,( ).≠

O

A

B

OA OB,( ) :



On appelle mesure de tout nombre réel ayant :

Pour valeur absolue, la longueur de fil enroulée sur le cercle trigonométrique de A à B.

Pour signe, le signe quand l’enroulement s’est fait dans le sens direct.

le signe quand cet enroulement s’est fait dans le sens direct rétrograde.

� Cas général

Si et sont deux vecteurs non nuls

quelconques, on appelle le vecteur

et le vecteur

Ainsi et sont unitaires.

On a et on utilise ladéfinition précédente.

Reprenons les données de l’activité 2.

est une mesure de autres mesures de cet angle :

etc.

Connaissant une mesure de toutes les autres s’en déduisent en lui ajoutant 2

π ou 4

π ou ou en lui retranchant 2

π ou 4

π ou

On peut résumer cela en disant qu’une mesure de étant connue, toutes les autres s’endéduisent en lui ajoutant

Cela traduit le fait que, quand un point du fil coïncide avec un point du cercle trigonométrique, il coïn-cide de nouveau après des tours entiers supplémentaires, dans un sens ou dans l’autre.

On convient d’avoir la même notation pour l’angle et ses mesures, autrement dit, par exemple,

pourra désigner une mesure quelconque de ainsi :

π est une mesure de autres mesures :

Plus généralement,

� Généralisons. Nous admettons le théorème suivant :

Si

α est une mesure d’un angle orienté toutes ses autres mesures sont de la forme (ou ce qui revient au même : on écrit :

(Faut-il rappeler que

� est l’ensemble des entiers relatifs c’est-à-dire que :

Mesure principale d’un angle orienté

Parmi toutes les mesures d’un angle orienté une et une seule appartient à l’intervalle

C’est cette mesure que l’on appelle la mesure principale de l’angle

(C’est celle qui correspond à l’enroulement le plus court du fil sur le cercle.)

Si un angle a pour mesure puisque et que

est la mesure principale de cet angle.

OA OB,( )

« »+

« »–

O

A

B u vu v

OA

u

u------- OB v

v------- .

OA OB

u v,( ) OA OB,( )=

� Exemple

π2--- OA OB,( ) ; 5π

2------ π

2--- 2π,+= 9π

2------ π

2--- 4π,+=

3π–

2---------- π

2--- 2π,–= 7π–

2---------- π

2--- 4π–=

Remarquons ceci OA OB,( ),k 2π ,× k � ,∈ k 2π ,× k � .∈

OA OB,( )k 2π,× k �.∈

OA OB,( ) OA OB,( ) ; OA OB,( ) π2--- k 2π,×+=

k �.∈

OA OA– ,( ) ; π k 2π,×+ k �.∈

u u– ,( ) π k 2π,×+= k �.∈

�Théorème u v,( ),α k 2π,×+ k �∈ α 2kπ,+ k � ) ; ∈

u v,( ) α 2kπ,+= k �.∈

� ... 3– 2– 1– 0 1 2 3 4, ...,,,, ,,,, ,,,, ,,,, ,,,, ,,,, ,,,,{ } ? ) ====

u v,( ),π π ].,– ]

u v,( ).

� Exemples 15π4

--------- , 15π4

---------π– 16π+

4-----------------------

π–

4------- 2 2π×+= = π–

π–

4------- π,�<

π–

4-------



Si un angle a pour mesure puisque

et que

est la mesure principale de cet

angle.

Ces mesures principales peuvent être intéressan-tes pour des constructions d’angles ayant desmesures données.

Par exemple la construction de points A, B et Csur un cercle de centre O tels que

et est

rendue plus simple quand on sait que l’on peut écrire et

(Pour la figure, on a construit un triangle équilatéral OCI et la bissectrice de

� Propriétés des mesures des angles orientésNous admettons les propriétés suivantes :

Quels que soient les vecteurs non nuls et

Une mesure de est égale à 0.

(Les autres sont égales à

Une mesure de est égale à l’opposé de

(On obtiendra toutes les autres en ajoutant

Relation de Chasles

Une mesure de est égale à


Un résultat souvent utile : comparaison de et

D’après la relation de Chasles, on peut écrire :

une mesure de est donc égale à

On peut écrire

Exercice 1

On donne et déterminer les mesures principales de :

a. b. c.

a. D’après la relation de Chasles, on peut écrire :

Or on sait que donc :


A

B

C

O

I

J

35π–

6------------- ,

35π–

6-------------

36π– π+6

----------------------- π6--- 3 2π×–= =

π– π6--- π,�< π

6---

OA OB,( ) 15π4

---------= OA OC,( ) 35π–

6------------- ,=

OA OB,( ) π–

4-------= OA OC,( ) π

6--- .=

AOJ.

� Théorème u, v w :

u u,( ) 0= u u,( )

k 2π,× k � )∈

u v,( ) v u,( )– = u v,( ) v u,( )

k 2π,× k � )∈

u v,( ) v w,( )+ u w,( )= u v,( ) v w,( )+ u w,( ).

k 2π,× k � )∈

u v,( ) u v– ,– ( ).

u v– ,– ( ) u– u,( ) u v,( ) v v– ,( ).+ +=

u v– ,– ( ) π u v,( ) π+ + u v,( ) 2π ;+ = = u v– ,– ( ) u v,( ).

u– v– ,( ) u v,( ).=

u v,( ) 3π5

------– = u w,( ) 3π4

------ ; =

v w,( ) u– v,( ) u w– ,( )

Réponse v w,( ) v u,( ) u w,( ).+=

v u,( ) u v,( ),– = v w,( ) u v,( )– u w,( )+ 3π5

------ 3π4

------+27π20

--------- .= = =



ce n’est donc pas la mesure principale de

est une autre mesure de la mesure prin-

cipale de est

b. D’après la relation de Chasles, on peut écrire :

la mesure principale de est

c. D’après la relation de Chasles, on peut écrire :

la mesure principale de est

On aurait obtenu directement ce résultat en prenant comme mesure de

Exercice 2

Considérer la figure ci-dessous.

ABC est un triangle rectangle isocèle en A, ACE est un triangle rectangle isocèle en E et BCD est untriangle équilatéral.

Le plan étant orienté de façon habituelle, donner lesmesures principales des angles orientés suivants :

a. b. c.

d. e. f.

a. ABC est un triangle rectangle isocèle en A donc

et

En tenant compte de l’orientation, on conclut :

b. De même :

c. On sait que et donc

et

a pour mesure principale

d. En procédant de même on obtient

e.

27π20

--------- π ; > v w,( ).

27π20

--------- 2π– v w,( ) ; 27π20

--------- 2 π–13 π–

20------------- ; = π–

13 π–

20------------- π ; � <

v w,( ) 13π–

20------------- .

u– v,( ) u– u,( ) u v,( )+ π 3π5

------–2π5

------ .= = =

π– 2π5

------ π ; � < u– v,( ) 2π5

------ .

u w– ,( ) u w,( ) w w– ,( )+ 3π4

------ π+7π4

------ .= = =

7π4

------ 2π–π4--- ;– = π– π

4---– π ; � < u w– ,( ) π

4--- .–

Remarque π– w w– ,( ).

B

A E

C

D

BC BA,( ) AC AB,( ) AB AE,( )

CD CE,( ) CA DC,( ) AB CE,( ).

Réponse

BAC π2--- ,= CBA BCA π

4--- .= =

BC BA,( ) π4--- .=

AC AB,( ) π2--- .– =

AB AC,( ) π2---= AC AE,( ) π

4--- ,=

AB AE,( ) π2--- π

4---+ 3π

4------= = π–

3π4

------ π.�<

AB AE,( ) 3π4

------ .

CD CE,( ) π3---–

π4--- π

4---––

5π6

------ .– = =

CA DC,( ) CA CB,( ) CB CD,( ) CD DC,( )+ + π4--- π

3--- π+ +

19π12

--------- .= = =




f.


Exercice 1

ABCDEFGH est un octogone régulier de centre O.

Quelles sont les mesures principales des anglesorientés suivants ?

a.

b.

c.

d.

e.

Exercice 2

Compléter le tableau ci-dessous en donnant la mesure principale correspondante :

Exercice 3

On considère le triangle ABC ci-contre dans lequel

et

� Démontrer l’égalité suivante :

� En déduire

� Calculer

Exercice 4

A, B et C sont trois points distincts du plan tels que et

Calculer les mesures principales de :

a. b. c.

Exercice 5

Dessiner deux parallélogrammes ABCD et AMCN puis comparer et


50

19π12

--------- 2π–5π12------ ;– = π–

5 π12------– π. � < CA DC,( ) 5π

12------– .

AB CE,( ) AB AC,( ) AC CE,( )+ AB AC,( ) AC CA,( ) CA CE,( )+ += = π2--- π π

4---–+

5π4

------ ; = =

5π4

------ 2π–3π4

------ ,– = π– 3π4

------– π ; �< AB CE ,( ) 3π4

------– .

C

G

E

D

HF

B

AO

OA OB,( )

OB OG,( )

OD OG,( )

OF OA,( )

OG OE,( )

21π2

---------19π–

6-------------

37π4

---------29π–

5-------------

100π3

------------47π–

8-------------

C

A B

AB AC,( ) 2π5

------= BA BC,( ) π6--- .– =

AB AC,( ) BC BA,( ) CA CB,( )+ + π.=

CA CB,( ).

CA BC,( ).

BC BA,( ) 3π7

------= CA CB,( ) 2π9

------ .=

AB AC,( ) CA BC,( ) BC AB,( ).

MA MB,( ) NC ND,( ).



.Activité 4

Le cercle ci-dessous est un cercle trigonométrique de centre O ; A et B sont deux points de ce cercle

tels que

�

Placer sur ce cercle les points C, D, E, F, G, H, I, J et K tels que :

et

Le plan est rapporté au repère orthonormal

On dit que c’est un repère orthonormal direct ; on exprime par là, le fait que non

A Activité

Trigonométrie

OA OB,( ) π2--- .=

B

O A

OA OC,( ) π6--- ,= OA OD,( ) π

4--- ,= OA OE,( ) π

3--- ,= OA OF,( ) 2π

3------ ,= OA OG,( ) π,=

OA OH,( ) 3π4

------ ,– = OA OI,( ) π2---– = OA OJ,( ) π

6--- .– =

O ; OA OB ,( ).

OA OB,( ) π2---= et⎝

⎛

π2---⎠

⎞ .–



On se propose de lire les coordonnées des points précédents et de les noter dans le tableau ci-des-sous, avec la meilleure approximation possible ; dans la ligne «

α » on rappellera la mesure de l’anglequi a permis de placer le point concerné.

La colonne « E » est donnée à titre d’exemple.

�

a. Quelle est la nature du triangle OAE ?

b. On appelle M le projeté orthogonal de E sur calculer OM et ME ; en déduire les coordon-nées exactes du point E.

c. Calculer de même les coordonnés du point C, sachant que OCB est un triangle équilatéral.

d. On appelle N le projeté orthogonal de D sur quelle est la nature du triangle OND ?

e. Calculer ON et ND ; en déduire les coordonnées exactes du point D.

� Définitionsa. Repère orthonormal direct

On dit que est un repère orthonormal direct si :

et

b. Cosinus et sinus d’un nombre réel

α

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct

est le cercle trigonométrique de centre O.


α quelconque, on appelle M le point

de tel que

Il est essentiel de bien comprendre cette définition car elle permet de retrouver simplement un cer-tain nombre de résultats.

c. Exemples : dans l’activité 4 nous avons montré que, par exemple, etc.

(Pour retrouver ces résultats, ou des approximations de ces résultats avec la calculatrice, ne pasoublier de la mettre en mode « radians ».)

d. Tangente de

α

Si

A B G I C D E F H J

α

x 0,5

y 0,86

B Cours

Le cosinus et le sinus du réel

α sont les coordonnées de M.Ainsi :

Autrement dit :

π3---

OA( ) ;

OA( ) ;

O

K

J

M

HI

O ; i j ,( )

i j 1= = i j,( ) π2--- .=

O ; OI OJ ,( ).

C( )

C( ) OI OM,( ) α.=

αcos xM= αsin yM=

M α αsin,,,,cos( ).

π3---cos 1

2-- ,= π

3---sin 3

2-------=

αcos 0,≠ αtan αsinαcos

------------- .=



e. Remarque importante

Lorsque

α appartient à l’intervalle

α peut être considéré comme une mesure d’un angle aigud’un triangle rectangle.

et sont alors tout simplement le cosinus, le sinus et la tangente de l’angle

Rappelons que dans ce cas,

� Propriétésa. Propriétés résultant directement des définitions

Quel que soit le réel

α :

(théorème de Pythagore)

Quels que soient le réel

α et l’entier relatif k,

α et sont deux mesures d’un même angle

Il s’en suit :

b. Valeurs particulières (qu’il faut connaître absolument !)

Elles ont été calculées dans l’activité 4 ou résultent de calculs élémentaires, en ce qui concernela tangente.

Observer que la tangente de n’est pas définie car

c. Formules relatives aux angles associés

α 0

1 0

0 1

0 1

0 π2--- ,,

αcos , αsin αtan

IOM.

αcos côté adjacenthypoténuse

------------------------------ ,= αsin côté opposéhypoténuse--------------------------- ,= αtan côté opposé

côté adjacent------------------------------ .=

1– αcos 1� � 1– αsin 1� �

αcos2 αsin2+ 1=

OM αcos( )i αsin( )j.+=

α k 2π×+

OI OM,( ).

α k 2π×+( )cos αcos= α k 2π×+( )sin α.sin=

� Exemple 7π3

------cos π3--- 2π+⎝ ⎠

⎛ ⎞cos π3---cos 1

2-- .= = =

π6--- π

4---

π3--- π

2---

αcos 32

------- 22

-------12--

αsin 12-- 2

2-------

32

-------

αtan 33

------- 3

π2--- π

2---cos 0.=

O

K

J

M

M'K'

IH

α

– α O

M'

J

MK

HH'

– απ

O

M' K'

J

MK

IH

H'

+ απ α

α– ( )cos αcos=

α– ( )sin αsin– =

π α–( )cos αcos– =

π α–( )sin αsin=

π α+( )cos αcos– =

π α+( )sin αsin– =



d. Équations trigonométriques

L’observation des deux premiers schémas ci-dessus permet d’énoncer le théorème suivant.

Un nombre α étant donné,

l’équation a pour solutions ou


L’équation a pour solutions et (à 2π près).

L’équation a pour solutions et (à 2π près).

� Repérage d’un point en polairea. Un exemple

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct

Construisons le point M tel que et

calculons ses coordonnées.

Soit le point défini par

D’une part, la distance est égale à 1, donc ce point appartient au cercle trigonométrique de centre O.

O

J

H'

K'

IHK

M'

2 Mπ

α

α

π2--- α–⎝ ⎠

⎛ ⎞cos αsin=

π2--- α–⎝ ⎠

⎛ ⎞sin αcos .=

� Exemple π3---– ⎝ ⎠

⎛ ⎞cos π3---⎝ ⎠

⎛ ⎞cos 12-- ; = = 2π

3------⎝ ⎠

⎛ ⎞sin π π3---– ⎝ ⎠

⎛ ⎞sin π3---sin 3

2------- . = = =

5π4

------⎝ ⎠⎛ ⎞cos π π

4---+⎝ ⎠

⎛ ⎞cos π4---cos–

22

------- .– = = =

� Théorème

xcos αcos==== x α k 2π××××+==== x α– k 2π,××××+==== k �.∈∈∈∈

xsin αsin==== x α k 2π××××+==== x π α– k 2π×××× ,+==== k �.∈∈∈∈

xcos αcos x⇔ α ou x α– = = =xsin αsin x⇔ α ou x π α–= = =

à 2π près( )

à 2π près( )

� Exemples xcos π4---cos= x π

4---= x π

4---– =

xsin π3---sin= x π

3---= x π π

3---– 2π

3------= =

O I

M'

M

O ; i j ,( ).

OM 4= i OM,( ) π3--- ; =

M′ OM′ 14-- OM.=

OM′M′



D’autre part, puisque (en effet

On place sur le cercle trigonométrique le point tel que puis le point M tel que

Ainsi et

Les coordonnées de sont donc celles de M sont c’est-à-dire

b. Plus généralement :

Soient r un nombre réel strictement positif et

θ un nombre réel quelconque.

Une démarche analogue à celle qui a été suivie précédemment donnera la construction du point M tel

que et les coordonnées cartésiennes de M seront

Réciproquement : un point M distinct de O étant donné, est un nombre réel strictement posi-

tif, est un nombre réel et

Si M est un point distinct du point O, en posant et on dit que sont les coordonnées polaires de M.

Tout couple où r est un nombre réel strictement positif et

θ un réel quelconque est lecouple des coordonnées polaires d’un point M.

Le point M de coordonnées polaires a pour coordonnées cartésiennes et

�

Le point M de coordonnées cartésiennes a pour coordonnées polaires

En effet : si et autrement

dit

Notons que la construction de M est rendue plus aisée avec les coordonnées polaires (pour cet exem-ple).

�

Le point M de coordonnées polaires a pour coordonnées cartésiennes

En effet : et

Exercice 1

� On sait que et que Calculer

� On sait que et que Calculer


OM 4OM′,= i OM,( ) i OM′,( )= OM OM′,( ) 0).=

M′ i OM′,( ) π3---=

OM 4OM′.=

OM 4OM′ 4= = i OM′,( ) π3--- .=

M′ π3---cos π

3---sin,⎝ ⎠

⎛ ⎞ 4 π3---cos 4 π

3---sin,⎝ ⎠

⎛ ⎞ ,

2 2 3,( ).

OM r= θ i OM,( ),= r θcos r θsin,( ).

OM r=

i OM,( ) θ= M r θcos r θsin,( ).

� Définition r OM==== θ i OM,,,,( ),==== r θ,,,,( )

� Théorème r θ,,,,( )

r θ,( ) x r θcos=y r θ.sin=

� Exemples 2 2,( ) 2 π4---,⎝ ⎠

⎛ ⎞ .

r OM 2 2+ 2 ; = = = θ i OM,( ),= θcos xr-- 2

2-------= = θsin y

r--

22

------- ,= =

θ π4--- .=

3 π3---– ,⎝ ⎠

⎛ ⎞ 32--

3 3–

2--------------,⎝ ⎠

⎛ ⎞

x 3 π3---– cos 3 π

3---cos 3

2--= = = y 3 π

3---– sin 3 π

3---sin–

3 3–

2-------------- .= = =

αsin 35--= α π

2--- π, .∈ α.cos

xcos 13--– = x π– 0,[ ].∈ x.sin



�

De la formule on déduit que donc

ou Puisque finalement,

�

De la même façon, ou

donc

Exercice 2

Résoudre les équations suivantes et représenter les solutions sur un cercle trigonométrique :

a.

b.

c.

a. équivaut à or, on sait que

donc équivaut à

c’est-à-dire à ou

Soit S l’ensemble des solutions ;

Sur le cercle trigonométrique les solutions sont représentées par les points et de coordon-

nées polaires respectives et

b. équivaut à :

ou

ou

Soit S l’ensemble des solutions ;

Sur le cercle trigonométrique les solutions sont représen-tées par les points et de coordonnées

polaires respectives et et

Réponse αcos2 αsin2+ 1,= αcos2 1 αsin2– 1 925-----–

1625----- ,= = =

αcos 45--= αcos 4

5-- .– = α π

2--- π, ,∈ αcos 0 ; � αcos 4

5-- .– =

xsin2 1 xcos2– 1 19--–

89-- ; = = = xsin 2 2

3---------- = xsin 2 2

3---------- .– =

x π– 0,[ ],∈ xsin 2 23

---------- .– =

2 xsin 3– 0=

2 xcos2 xcos=

2 2x( )cos 1.=

O

M2 M1

Réponse 2 xsin 3– 0= xsin 32

------- ; =

π3---sin 3

2------- ; = 2 xsin 3– 0=

xsin π3--- ;sin = x π

3--- 2kπ+=

x π π3---– 2kπ,+= k �.∈

S π3--- 2kπ 2π

3------ 2kπ k �∈,+,+

⎩ ⎭⎨ ⎬⎧ ⎫

.=

M1 M2

1 π3---,⎝ ⎠

⎛ ⎞ 1 2π3

------,⎝ ⎠⎛ ⎞ .

O

M2N2

N1M1

2 xcos2 xcos= 2 xcos2 xcos– 0.=

xcos 2 xcos 1–( ) 0=

xcos 0= xcos 12--=

xcos π2---cos= xcos π

3---cos=

S π2---± 2kπ, k �∈+

π3---± 2kπ, k �∈+,

⎩ ⎭⎨ ⎬⎧ ⎫

.=

M1, M2, N1 N2

1 π3---,⎝ ⎠

⎛ ⎞ 1 π3---–,⎝ ⎠

⎛ ⎞ , 1 π2---,⎝ ⎠

⎛ ⎞ 1 π2---– ,⎝ ⎠

⎛ ⎞ .



c. équivaut à

c’est-à-dire ou à 2

π près et

ou à 2

π près.

Sur le cercle trigonométrique les solutions sont représentées par les points et de

coordonnées polaires respectives et

Exercice 6

Calculer

Exercice 7

Résoudre les équations suivantes et représenter les solutions sur un cercle trigonométrique

a.

b.

c.

d.

Exercice 8

On peut montrer que Admettons ce résultat.

� Calculer

� a. Montrer que

b. Calculer


O

N1

N2

M1

I

M2

2 2x( )cos 1.= 2x( )cos 12

------- 22

-------= =

2x( )cos π4---cos=

2x π4---± 2kπ,+=

x π8---± kπ,+=

x π8---= x π

8--- π+ 9π

8------= =

x π8---– = x π

8---– π+ 7π

8------= =

M1, M2, N1 N2

1 π8---,⎝ ⎠

⎛ ⎞ , 1 π8---– ,⎝ ⎠

⎛ ⎞ , 1 7π8

------,⎝ ⎠⎛ ⎞ 1 9π

8------,⎝ ⎠

⎛ ⎞ .

A π8---cos 3π

8------cos 5π

8------cos 7π

8------ .cos+ + +=

B π8---cos2 3π

8------cos2 5π

8------cos2 7π

8------ .cos2+ + +=

2 xcos 3+ 0=

2 xcos2 3 xcos 1+ + 0=

3x( )cos 0=

2 xsin2 xcos+ 2.=

π12-----cos 6 2+

4-------------------- .=

π12-----– ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ,cos 11π12

---------⎝ ⎠⎛ ⎞ ,cos 13π

12---------⎝ ⎠

⎛ ⎞ ,cos 35π12

---------⎝ ⎠⎛ ⎞ .cos

π12-----⎝ ⎠

⎛ ⎞sin 6 2–4

-------------------- .=

π12-----– ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ,sin 11π12

---------⎝ ⎠⎛ ⎞ ,sin 13π

12---------⎝ ⎠

⎛ ⎞ ,sin 35π12

---------⎝ ⎠⎛ ⎞ .sin



Exercice 9

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct

α, β, γ et δ sont quatre nombres réels tels que :

et ; et

et ; et .

Placer sur un cercle trigonométrique de centre O, les points A, B, C et D tels que :

; ; ; .

Exercice 10


� Construire les points A, B et C de coordonnées polaires respectives et calculer les abscisses et les ordonnées de ces points.

� Construire les points et

Quelles sont les coordonnées polaires de ces points ?

O ; i j ,( ).

α π2---– 0,∈ αcos 1

4--= β 0 π,[ ]∈ βcos 0 7.,– =

γcos 0 6,– = γsin 0 8,– = δcos 0 8,= δsin 0 6,– =

i OA,( ) α= i OB,( ) β= i OC,( ) γ= i OD,( ) δ=

O ; i j ,( ).

2 π6---,⎝ ⎠

⎛ ⎞ , 32-- π

4---– ,⎝ ⎠

⎛ ⎞ 3 2π3

------,⎝ ⎠⎛ ⎞ ;

D 2– 2– ,( ), E 3– 0,( ) F 3– 1,( ).



� Cercle trigonométriqueUne unité de longueur ayant été déterminée dans leplan, on appelle cercle trigonométrique, tout cercle derayon 1 sur lequel on a déterminé un sens positif ousens direct.

On choisit, sauf mention du contraire, comme sensdirect, le sens inverse au sens des aiguilles d’unemontre.

� Angles orientésLa donnée de deux vecteurs non nuls détermine un angle orienté.

Si et sont deux vecteurs non nuls ils déterminent un angle orienté noté

� Mesures des angles orientésCas des angles de vecteurs unitaires.

Étant donné un angle orienté de vecteurs unitaires,

On place les points A et B sur le cercle trigonométrique de centre O.

On appelle mesure de tout nombre réel ayant :

• Pour valeur absolue, la longueur de fil enroulée sur le cercle trigonométrique de A à B.

• Pour signe, le signe quand l’enroulement s’est fait dans le sens direct.

le signe quand cet enroulement s’est fait dans le sens rétrograde.

Cas général

Si et sont deux vecteurs non nuls

quelconques, on appelle le vecteur

et le vecteur

Ainsi et sont unitaires.

On a et on utilise ladéfinition précédente.

Si α est une mesure d’un angle orienté toutes ses autres mesures sont de la forme

on écrit :

Synthèse des connaissances

O A

+

u v u v,( ).

OA OB,( ) :

OA OB,( )

« »+

« »–

O

A

B u vu v

OA

u

u------- OB v

v------- .

OA OB

u v,( ) OA OB,( )=

� Théorème u v,,,,( ),

α k 2π,××××+ k �∈∈∈∈ u v,,,,( ) α 2kπ,+==== k �.∈∈∈∈



� Mesure principale d’un angle orientéParmi toutes les mesures d’un angle orienté une et une seule appartient à l’intervalle

C’est cette mesure que l’on appelle la mesure principale de l’angle

(C’est celle qui correspond à l’enroulement le plus court du fil sur le cercle.)

� Propriétés des mesures des angles orientésQuels que soient les vecteurs non nuls et

Une mesure de est égale à 0.

(Les autres sont égales à

Une mesure de est égale à l’opposé de


Relation de Chasles





� Cosinus et sinus d’un nombre réelRepère orthonormal direct

est un repère orthonormé direct si et

Cosinus et sinus d’un nombre réel

α




α quelconque, on appelle M le point de tel que

Tangente de

α

Si

Lorsque

α appartiennent à l’intervalle et sont alors tout simplement

le cosinus, le sinus et la tangente de l’angle

Le cosinus et le sinus du réel

α sont les coordonnées de M.

u v,( ),π– π ].,]

u v,( ).

u, v w :

u u,( ) 0= u u,( )

k 2π,× k �.)∈

u v,( ) v u,( )– = u v,( ) v u,( ).

k 2π,× k �.)∈

u v,( ) v w,( )+ u w,( )= u v,( ) v w,( )+ u w,( ).

k 2π,× k �.)∈

u v,( ) u– v– ,( )= u– v– ,( ) u v,( ).

k 2π,× k � ).∈

O

K

J

M

HI

O i j, ,( ) i j 1= =

i j,( ) π2--- .=

O ; OI OJ ,( ).

C( )

C( ) OI OM,( ) α.=

αcos xM= αsin yM=

M αcos αsin,,,,( ).

α 0,≠cos αtan αsinαcos

------------- .=

� Remarqueimportante :

0 π2--- ,, αcos , αsin , αtan

IOM. αcos côté adjacenthypoténuse

------------------------------ ,= αsin côté opposéhypoténuse--------------------------- ,=

αtan côté opposécôté adjacent------------------------------ .=



Propriétés

Quel que soit le réel

α :

(théorème de Pythagore)

Valeurs particulières à connaître parfaitement

� Formules relatives aux angles associés (il faut savoir les retrouver)

Équations trigonométriquesUn nombre a étant donné,



Coordonnées polairesSi M est un point distinct du point O, en posant et on dit que sont les coordonnées polaires de M.

Tout couple où r est un nombre réel strictement positif et

θ un réel quelconque est lecouple des coordonnées polaires d’un point M.

Le point M de coordonnées polaires a pour coordonnées cartésiennes et

α 0

1 0

0 1

0 1

1– αcos 1� � 1– αsin 1� �

αcos2 αsin2+ 1=OM αcos( )i αsin( )j.+=

α k 2π×+( )cos αcos= α k 2π×+( )sin α.sin=

π6--- π

4--- π

3--- π

2---

αcos 32

------- 22

-------12--

αsin 12-- 2

2------- 3

2-------

αtan 33

------- 3

O

K M

M'K'

IHα

α

O

K

J

M

M'K'

IHα

α

O

M'

J

MK

IHH'

α

π α

O

M' K'

J

MK

IH

H' α

π α+

α– ( )cos αcos=

α– ( )sin αsin– =

π α–( )cos αcos– =

π α–( )sin αsin=

π α+( )cos αcos– =

π α+( )sin αsin– =

xcos αcos= x α k 2π×+= x α– k 2π,×+= k �.∈

xsin αsin= x α k 2π×+= x π α– k 2π× ,+= k �.∈

xcos αcos x⇔ α ou x α– = = =xsin αsin x⇔ α ou x π α–= = =

à 2π près( )

à 2π près( )

� Définition r OM==== θ i OM,,,,( ),==== r θ,,,,( )

� Théorème r θ,,,,( )

r θ,,,,( ) x r θcos====y r θsin .====



Exercice 1

Dans la figure ci-contre,

� En écrivant

calculer

� Calculer

Exercice 2

On sait que et que

� Exprimer en fonction de

� En déduire et puis un encadrement de α à près à l’aide de la calculatrice.

Exercice 3

Sur la figure ci-contre et

On pose

� Montrer que � Justifier les égalités suivantes :

� Montrer que exprimer AM en fonction de

� Démontrer l’égalité suivante :

� Application

Calculer les valeurs exactes de et

Exercice 4



� Placer sur ce cercle trois points A, B et M tels que et

� Les droites et se coupent en N.

Exercices d’approfondissement

A B

C

D

AB AD,( ) π3--- ; = BA BC,( ) π

2--- ;– =

DA DC,( ) 5π6

------ .=

CD CB,( ) CD AD,( ) AD AB,( ) AB CB,( ),+ +=

CD CB,( ).

AB DC,( ), DA CB,( ).

αtan 0 75,= α 0 π2--- .,∈

αcos2 α.tan2

αcos αsin 10 2–

A O BC

MOA OB OM 1,= = = BOM β=

β ∈ 0 π2--- .,

OAM α.=

β 2α.=

αcos ACAM-------- AM

AB--------= =

AC 1 2α ;cos+ = α.cos

αcos2 1 2αcos+2

------------------------- .=

π8---cos π

12----- .cos

O ; i j ,( ).

C( )

OA OB,( ) 2π5

------= OA OM,( ) π5--- .=

OB( ) AM( )



a. Montrer que le triangle OAN et le triangle OMN sont des triangles isocèles.

b. On appelle H, K et L, les projetés orthogonaux respectifs de M sur M sur et O sur

Exprimer en fonction de ou les distances suivantes : OH, ON, AN, OK, AL, AM et AK.

�

En remarquant que et montrer les égalités suivantes :

�

Résoudre le système suivant :

a. En déduire et

b. Compléter le tableau suivant :

�

Sur la figure ci-dessous, et I est le milieu de

Calculer IS.

Soit T le point de tel que et R le milieu de calculer OR.

En déduire la construction d’un pentagone régulier.

� Aide aux exercices d’approfondissement

Exercice 1

�

Pour conclure il est intéressant de remarquer que car et

α

ON( ), OA( )AN( ).

π5---cos 2π

5------ ,cos

AN AM– 1= OK KA+ 1,=

π5---cos 2π

5------cos–

12-- ,= π

5---cos 2 2π

5------cos2+ 1.=

x y– 12--=

x 2y2+ 1=⎩⎪⎨⎪⎧

.

π5---cos 2π

5------ .cos

π5--- 2π

5------ 3π

5------ 4π

5------ 6π

5------ 7π

5------ 8π

5------ 9π

5------

αcos

OA 1= OA′[ ].

OA[ ] IT IS= OT[ ] ;

OIA' A

S

CD AD,( ) DC DA,( )= CD DC– =

AD DA.– =



Exercice 2

�

Eliminer entre les égalités et

Exercice 3

�

Utiliser le fait que dans un triangle la somme des angles est égale à

π radians et que OAM estisocèle.

�

Montrer au préalable que AMB est un triangle rectangle.

�

Pour trouver la valeur de utilisée dans un exercice, on vérifiera que :

Exercice 4

�

Le triangle OAM étant isocèle, on peut calculer l’angle OAM puis les angles du triangle OMN.

�

b. Pour le calcul de AK, écrire dans un premier temps,

�

Ne pas oublier que et que car

�

Le calcul de OR permet de voir que ; ce point R étant placé, c’est le projeté orthogo-

nal sur (OA) d’un point B du cercle tel que

■

αsin αtan αsinαcos

-------------= αsin2 αcos2+ 1.=

π12-----cos

2 3+4

---------------- 1 3+( )2

8----------------------- .=

AK AM 2π5

------ .cos×=

AN ON= MN 1= MN OM.=

OR2π5

------cos=

OA OB,( ) 2π5

------ ou 2π5

------ .– =


Documents

1ère partie : Barycentres dans le plan 2ème partie ...mathscostebelle.free.fr/IMG/pdf/AL7MA12TEPA0109-Sequence-03.pdf · Séquence 3 – MA12 109 Exercice 1 On considère deux points