2-Les ondes mécaniques

La plus grosse corde d’une guitare a une longueur de 92,9 cm et

une masse de 5,58 g. On l’installe sur la guitare et on fait des ondes

stationnaires dans la corde. Une fois installée, il y a 65,5 cm entre

les deux points d’attache de la corde. Quelle doit être la tension de

la corde pour que la fréquence de la première harmonique soit de

82,4 Hz (qui est la fréquence que doit avoir la grosse corde d’une

guitare) ?

mathforum.org/mathimages/index.php/Special:Thumb

Découvrez comment résoudre ce problème dans ce chapitre.

Luc Tremblay Collège Mérici, Québec

Version 2017b 2-Les ondes mécaniques 2

Qu’est-ce qu’une onde mécanique ? Supposons qu’au départ, on a de la matière immobile. Cette matière va s’appeler le milieu. Soudainement, quelque chose déplace un peu de matière dans ce milieu. Ce déplacement est une perturbation. On remarque alors que la perturbation se propage dans la matière. Cette perturbation qui se propage est une onde. Prenons un exemple pour illustrer le tout : un ressort tendu (montré sur la figure). Initialement, le ressort (qui est le milieu) est immobile. Soudainement, on déplace un peu le bout du ressort, ce qui crée une perturbation. Cette perturbation va alors se propager le long du ressort jusqu’à ce qu’elle arrive à l’autre bout. On vient de faire une onde dans le ressort. Ce type d’onde dans la matière porte le nom d’onde mécanique progressive. Une onde mécanique est une perturbation d’un milieu matériel. Certaines ondes ne sont pas des ondes mécaniques. La lumière, par exemple, est une perturbation des champs électrique et magnétique qui se propage. Comme ces champs ne sont pas faits de matière, la lumière n’est pas une onde mécanique. Progressive signifie que c’est une onde qui se déplace. Nous verrons plus tard qu’il existe aussi des ondes stationnaires.

Une onde mécanique progressive est une perturbation qui se propage dans un milieu.

Vous pouvez voir dans ce vidéo une onde mécanique progressive dans un ressort. http://www.youtube.com/watch?v=ubRlaCCQfDk

Haber-Schaim, Cross, Dodge, Walter, Tougas, Physique PSSC, éditions CEC, 1974

Il y a plusieurs types d’ondes. Par exemple, quand on lance une pierre dans l’eau, il y a une perturbation qui apparait à l’endroit où la pierre est entrée dans l’eau. On voit alors cette perturbation se propager à la surface de l’eau sous forme de vagues. Le saut de ce fou crée des ondes à la surface de l’eau lors du contact. http://www.youtube.com/watch?v=IY861UGa1Fo



La matière n’est pas transportée par l’onde Avant l’arrivée de l’onde, les particules composant le milieu sont dans une position d’équilibre. Quand l’onde passe dans le milieu, elle déplace les particules le composant. Toutefois, l’onde ne fait que déplacer temporairement la matière. Celle-ci reviendra à sa position d’équilibre après le passage de l’onde. On peut bien voir ce phénomène sur l’image de droite dans laquelle une onde passe dans un ressort tendu. Un point du milieu a été identifié par un point noir. Quand l’onde passe, on voit que ce point est déplacé de sa position d’équilibre et qu’il revient à sa position d’équilibre après le passage de la perturbation. La matière composant le milieu n’est donc pas transportée par l’onde, elle ne fait que se déplacer temporairement de la position d’équilibre lors du passage de l’onde. Après le passage de l’onde, chaque morceau de matière composant le ressort est revenu à même position qu’il avait avant le passage de l’onde. L’animation suivante vous montre aussi ce phénomène. http://gilbert.gastebois.pagesperso-orange.fr/java/son/melde/melde.htm (et cliquez sur Signal au bas) On peut voir dans ce vidéo un petit canard se déplacer autour d’une position d’équilibre lors du passage de vagues. Il n’est pas entrainé par la vague. http://www.youtube.com/watch?v=-o-VgeabKjI


Quand on observe des vagues sur une plage, il est évident qu’elle pousse de la matière, comme des algues ou des surfeurs. Ces vagues sont différentes parce qu’elles déferlent. C’est ce qui arrive quand la hauteur de l’onde devient trop grande par rapport à la profondeur. Il s’agit d’un type d’onde bien différent de ce qu’on va traiter ici. On traite ici d’ondes qui correspondent aux vagues qui ne déferlent pas.

Ondes transversales et longitudinales Ondes transversales Dans une onde transversale, le mouvement de la matière formant le milieu est dans une direction perpendiculaire à la direction de propagation de l’onde. C’est le cas, par exemple, des ondes dans une corde.



hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/sound/tralon.html

Ondes longitudinales Dans une onde longitudinale, le mouvement de la matière formant le milieu est dans la même direction que la direction de propagation de l’onde. On peut faire ce type d’onde dans un ressort.

yperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/sound/tralon.html

Le vidéo suivant montre une animation des deux types d’ondes. http://www.youtube.com/watch?v=Rbuhdo0AZDU Le vidéo suivant vous montre qu’on peut faire les deux types d’ondes dans un ressort. http://www.youtube.com/watch?v=ilZj8JUTvy8 L’applet suivant vous permet d’explorer le mouvement de la matière lors du passage d’une onde transversale http://gilbert.gastebois.pagesperso-orange.fr/java/ondes/transversales/onde.htm ou longitudinale. http://gilbert.gastebois.pagesperso-orange.fr/java/ondes/longitudinales/son.htm Les ondes sont possibles uniquement s’il y a une force qui s’oppose à la déformation du milieu Si on veut qu’il y ait une onde dans un milieu, il doit y avoir une force qui s’oppose aux déformations du milieu. Si on déplace une corde tendue de la position d’équilibre, la tension de la corde cherchera à ramener la corde à sa position d’équilibre. Il y a donc une force qui s’oppose aux déformations du milieu.



Les ondes longitudinales dans la matière sont des ondes de compression. Quand on compresse un objet, l’élasticité du corps s’oppose à cette compression. Comme il y a une force qui s’oppose à cette compression, il est possible d’avoir des ondes de compression dans toutes les substances. (Ces ondes sont en fait des ondes sonores.) Dans les ondes transversales, la matière est déplacée d’un côté à l’autre de la direction de propagation. Dans un solide, ce déplacement de matière entraine des forces de compression et d’élasticité qui cherchent à rétablir la position de départ et les ondes transversales sont possibles. Dans les fluides (liquides et gaz), il n’y a aucune force qui s’oppose au déplacement de la matière. Si on prend un morceau d’eau et qu’on le déplace un peu, aucune force ne cherche à ramener l’eau déplacée à l’endroit de départ. Les ondes transversales sont donc impossibles dans les fluides. C’est cette propriété qui permet de savoir que l’intérieur de la Terre est liquide. Les tremblements de terre envoient des ondes longitudinales et transversales partout dans la Terre. Comme on capte seulement les ondes longitudinales de l’autre côté de la Terre, cela veut dire que les ondes transversales ne peuvent traverser l’intérieur de la Terre et donc que l’intérieur de la Terre est liquide. En déterminant à quels endroits on peut recevoir les ondes transversales sur Terre, on peut même déterminer la taille de la région liquide.

principles.ou.edu/eq_seismo/seismo_interior_simple.html

Pourquoi des ondes sinusoïdales ? Nous allons maintenant nous concentrer sur des ondes dont la forme est décrite par une fonction sinusoïdale. Cela semble un peu restrictif, car l’onde peut avoir n’importe quelle forme, mais ça ne l’est pas puisqu’on peut démontrer que n’importe quelle forme d’onde peut être écrite comme étant une somme d’ondes sinusoïdales. C’est le théorème de Fourier, qui est le résultat de 30 ans de débat au début du 19e siècle. On peut voir sur la figure ci-contre comment une somme de sinus peut donner une onde de forme différente. La somme des 6 fonctions sinusoïdales du haut donne le signal du bas. Cette somme est une série de Fourier et c’est un sujet important des mathématiques universitaires.

acousticslab.org/psychoacoustics/PMFiles/Module02.htm



Le clip suivant vous montre comment on arrive à des formes d’onde particulière en additionnant des fonctions sinusoïdales (appelés ici des harmoniques) http://www.youtube.com/watch?v=Lu2nnvYORec Un peu de vocabulaire Pour une onde sinusoïdale dans une corde, on a les éléments suivants

L’amplitude (A) est la valeur du déplacement maximum du milieu. Les crêtes sont les endroits où le déplacement du milieu atteint sa valeur maximale positive. Les creux sont les endroits où le déplacement de milieu atteint sa valeur maximale négative. Les nœuds sont les endroits où le déplacement du milieu est nul. Les points en phase sont des points qui sont à la même position sur un cycle du sinus. Il peut y avoir un ou plusieurs cycles entre ces points en phase. On remarque que toutes les crêtes sont en phase et que tous les creux sont en phase. La longueur d’onde (λ) est la distance entre les crêtes. (De façon correcte, c’est la distance entre deux points en phase les plus près. C’est donc la longueur d’un cycle du sinus.) L’onde se déplace à une certaine vitesse (v), déterminée par les caractéristiques du milieu. Peu importe l’amplitude et la longueur d’onde, la vitesse est toujours la même. Examinons maintenant le mouvement d’un endroit précis du milieu pour voir comment il bouge. On va prendre une onde transversale pour illustrer.



Avec le passage de l’onde, la particule du milieu montrée sur la figure va monter et descendre. En ce moment, elle est en train de monter puisque c’est une crête qui arrive. La particule doit monter puisqu’elle formera la crête de l’onde dans quelques instants. On prouvera un peu plus tard (dans un exemple) que le mouvement de cette particule est un mouvement harmonique simple. Selon ce qu’on a vu au chapitre 1, ce mouvement des particules du milieu est caractérisé par la fréquence et la période. Dans l’animation suivante, on envoie des ondes sinusoïdales dans un milieu. http://gilbert.gastebois.pagesperso-orange.fr/java/son/melde/melde.htm (et cliquez sur Progressive au bas) On remarque assez facilement que chaque morceau du milieu semble faire une oscillation harmonique quand l’onde passe. La période de l’onde (T) est le temps que prendront les particules du milieu pour faire une oscillation complète. La fréquence de l’onde (f) est le nombre d’oscillations que feront les particules du milieu en une seconde. La relation trouvée au chapitre 1 entre ces deux quantités est toujours valide.

1f

T=

Lien entre la fréquence et la longueur d’onde Pour trouver le lien entre la longueur d’onde et la fréquence, on va prendre la situation suivante sur une corde.



La particule au bout du milieu, identifiée par *, est, à ce moment, au somment de son mouvement. Avec l’onde qui arrive, elle va descendre puis remonter pour atteindre de nouveau sa position maximale quand la crête suivante arrivera au bout de la corde. La particule aura alors fait un cycle complet. Cela veut dire que le temps pour faire une oscillation (période T) est égal au temps que ça va prendre pour que la crête arrive au bout de la corde. Comme cette crête est à une distance λ et qu’elle arrive avec une vitesse v, le temps qu’elle prend pour arriver est λ/v. On a donc

Tv

λ=

Ce qui nous donne Lien entre λλλλ et f ou lien entre λλλλ et T

v fT

λλ= =

Fonction décrivant l’onde Imaginons qu’il y a une onde sinusoïdale dans une corde. Dans ce cas, le déplacement de la matière se fait perpendiculairement à la direction de propagation de l’onde.


On va trouver une formule qui nous donne le déplacement de la corde par rapport à la position d’équilibre (ligne pointillée à y = 0). Ce déplacement sera noté y. On sait que l’onde sinusoïdale à la forme d’un sinus. Pour que l’onde monte jusqu’à la hauteur A, on devra multiplier le sinus par A puisque la valeur maximale d’un sinus est 1. Un sinus a un cycle de 2π, mais on doit pouvoir ajuster la longueur du cycle pour avoir n’importe quelle longueur d’onde. On y arrive avec la fonction

2siny A x

π

λ

=



Si on commence un cycle à x = 0, le cycle doit se terminer à x = λ. Si on met x = λ dans cette équation, on a sin (2π). Il y a donc bel et bien un cycle, car la période d’un sinus est 2π. Sous cette forme, cette fonction ne peut pas décrire une onde, car elle est immobile. On doit pouvoir la modifier pour que la fonction se déplace en fonction du temps. Pour trouver cette fonction, on va travailler avec deux systèmes d’axes. Il y aura un système d’axe immobile (x et y) et un système d’axe qui suit le sinus dans son déplacement (x' et y').

Comme les axes x' et y' suivent le sinus dans son déplacement, le sinus est immobile par rapport à ces axes. L’équation du sinus avec ces axes est donc

2' sin 'y A x

π

λ

=

Pour avoir cette fonction avec des axes immobiles, on doit trouver le lien entre ces deux systèmes d’axes.

La valeur de x est la distance entre un point du plan et l’axe des y alors que x' est la distance entre le point et l’axe des y'. On a alors, selon la figure,

'x x vt= −



Les valeurs de y et y' sont les distances entre le point et les axes des x et des x'. Comme les axes des x et des x' sont à la même hauteur, on a donc

'y y= En effectuant le changement dans l’équation du sinus, on obtient

( )

2' sin '

2sin

2 2sin

y A x

y A x vt

vy A x t

π

λ

π

λ

π π

λ λ

=

= −

= −

Cette onde se déplace vers les x positifs. Si on voulait que l’onde se déplace vers les x négatifs, on changerait le signe de la vitesse. On peut donc avoir

2 2sin

vy A x t

π π

λ λ

= ±

où on utilise le signe – si l’onde va vers les x positifs et le signe + si l’onde va vers les x négatifs. Puisque

vf

λ=

on obtient

2sin 2y A x ft

ππ

λ

= ±

Certaines combinaisons de variables sont courantes dans l’étude des ondes et on a inventé des symboles pour les représenter. Définition de k et ωωωω

2

22

k

fT

π

λπ

ω π

=

= =



k (à ne pas confondre avec la constante des ressorts du chapitre 1) est le nombre d’onde. Il est en rad/m et il représente le nombre de cycles de l’onde qu’on a sur une distance de 2π mètres. ω, qui est identique au ω utilisé au chapitre 1, est la fréquence angulaire. Elle est en rad/s et elle représente le nombre de cycles d’oscillation effectuée durant un temps de 2π secondes. Il y a un lien entre ces variables et la vitesse. Ce lien se trouve ainsi.

22

1

v f

v f

vk

λ

λπ

π

ω

=

=

=

On a donc Lien entre ωωωω et k

vk

ω=

Avec ces nouvelles variables, la fonction décrivant l’onde devient donc

( )siny A kx tω= ±

Il s’agit d’une onde sinusoïdale se déplaçant avec une vitesse v vers les x positifs ou les x négatifs selon le signe choisi dans le sinus. On n’a pas encore la forme la plus générale. Pour l’instant, on peut ajuster l’amplitude, la longueur d’onde et la vitesse de déplacement, mais pas la forme de l’onde à t = 0. Avec cette formule, on doit avoir la forme suivante à t = 0.

L’onde doit avoir y = 0 à x = 0. Or il se pourrait très bien que l’onde ait une forme différente à t = 0. Par exemple, elle pourrait être de la forme suivante.



Ça reste une forme sinusoïdale, mais elle est déplacée vers la gauche. Or, on sait comment décaler un sinus à t = 0 : il faut ajouter une constante de phase φ. Selon la valeur de la constante de phase, le sinus sera plus ou moins décalé d’un côté ou de l’autre à t = 0. On aura alors le résultat final suivant. Fonction décrivant une onde sinusoïdale progressive

( )siny A kx tω φ= ± +

On choisit le signe négatif si l’onde va vers les x positifs. On choisit le signe positif si l’onde va vers les x négatifs.

Examinons si on obtient bien une onde qui se déplace à la bonne vitesse. Choisissons une amplitude de 1 cm, une longueur d’onde de 2 cm et une vitesse de 1 cm/s vers les x positifs. Cela implique que la fréquence est de 0,5 Hz. Choisissons également une constante de phase nulle. L’équation de cette onde est donc

( )1 sin 100 rad radm sy cm x tπ π= −

À t = 0, l’onde est donc ( )1 sin 100 rad

my cm xπ= . Le graphique de cette fonction est

À t = 0,5 s, l’équation est ( )21 sin 100 radmy cm x ππ= − . Le graphique de cette fonction est



À t = 1 s, l’équation est ( )1 sin 100 rad

my cm xπ π= − . Le graphique de cette fonction est

À t = 1,5 s, l’équation est ( )3

21 sin 100 radmy cm x ππ= − . Le graphique de cette fonction est

On voit très bien dans cette série de graphiques que le sinus se déplace vers la droite avec une vitesse de 1 cm/s. Ondes longitudinales On se rappelle que dans une onde longitudinale, l’oscillation de la matière est dans la même direction que la direction de propagation de l’onde.




Le déplacement ne se faisant pas dans la direction des y, nous ne pourrons pas noter ce déplacement par la lettre y. Nous ne pouvons pas utiliser x non plus, car il est déjà utilisé pour indiquer la position des particules du milieu. Nous allons donc utiliser la lettre s pour indiquer le déplacement des particules du milieu par rapport à leurs positions d’équilibre. Le déplacement du milieu pour une onde longitudinale sinusoïdale est donc

( )sins A kx tω φ= ± +

Pour une onde dans un ressort, la fonction ressemble à ceci.


Dans les calculs qui suivent, on ne donnera que les formules pour les ondes transversales, mais on peut très bien obtenir les formules pour les ondes longitudinales en remplaçant y par s.

Vitesse et accélération des particules du milieu À partir de la formule de la position des particules du milieu en fonction du temps, on peut obtenir la formule de la vitesse et de l’accélération des particules du milieu. Comme la vitesse est la dérivée de la position, on a

y

yv

t

∂=

∂

Ce qui nous donne Vitesse des particules du milieu

( )cosyv A kx tω ω φ= ± ± +


maxyv Aω=



Erreur fréquente : Confondre v et vy

Il faut éviter de confondre la vitesse de l’onde et la vitesse de déplacement de particule du milieu. Dans le cas d’une corde, la vitesse de l’onde (v) est la vitesse de déplacement des crêtes dans le sens des x alors que la vitesse

du milieu (vy), (ici la vitesse de la corde) est dans le sens des y. Il n’y a pas de lien direct entre ces deux vitesses.

On trouve l’accélération en dérivant une fois de plus.

yva

t

∂=

∂

Ce qui nous donne Accélération des particules du milieu

( )2 sina A kx tω ω φ= − ± +


2

maxa Aω=

Calcul des valeurs de A et φφφφ à partir des conditions initiales On peut calculer les valeurs de A et φ si on sait la position et la vitesse de la corde à un certain endroit et à un certain moment. À partir de la formule de la position on a

( )siny

kx tA

ω φ± + =

À partir de la formule de la vitesse de la corde on a



( )cos yvkx t

Aω φ

ω

±± + =

Puisque

( ) ( )2 2sin cos 1kx t kx tω φ ω φ± + + ± + =

on a

22

1yvy

A Aω

+ =

Ce qui nous donne Calcul de l’amplitude de l’onde

2

2 2yvy A

ω

+ =

Aussi, puisque

( )( )

( )sin

tancos

kx tkx t

kx t

ω φω φ

ω φ

± += ± +

± +

on a

( )( )

( )tan

y

yA

v

A

kx tω

ω φ±

± + =

Ce qui nous donne Calcul de la constante de phase

( )tany

ykx t

v

ωω φ± + =

±


Attention :

- La valeur de φ est en radians. Mettez votre calculatrice en radians pour obtenir la bonne valeur.



- Si la valeur de ± vy est négative, il faut ajouter π radians à la réponse obtenue avec la calculatrice.

- Si la vitesse est nulle, vous devez faire l’arctangente de infini ou de – infini selon le signe de y. Ne paniquez pas, les réponses de ces arctangentes sont π/2 et –π/2.

Exemple 2.2.1 Une onde sinusoïdale progressive se dirige vers les x positifs sur une corde tendue. La longueur d’onde est de 40 cm et la fréquence est de 8 Hz. À t = 0 s et x = 0 m, le déplacement de la corde est y = 15 cm et la vitesse de la corde est vy = 1000 cm/s.

a) Quelle est la période ? La période est

1 10,125

8T s

f Hz= = =

b) Quelle est la vitesse de l’onde ? La vitesse de l’onde est

0,4 8 3,2 msv f m Hzλ= = × =

c) Quelle est la fonction représentant cette onde ?

La fonction est

( )siny A kx tω φ= − +

On a choisi le signe négatif, car l’onde va vers les x positifs. Reste à trouver k, ω, A et φ. Le nombre d’onde est

2 25

0, 4radmk

m

π ππ

λ= = =

La fréquence angulaire est

2 2 8 16 radsf Hzω π π π= = × =



On trouve l’amplitude avec

( )

2

2 2

222 1000

1516

24,9

y

cms

rads

vA y

A cm

A cm

ω

π

= +

= +

=

et la constante de phase avec

( )

( )

( )

tan

16 15tan

1000

tan 0,754

2, 496

y

cms

ykx t

v

cm

rad

ωω φ

πφ

φ

φ

− + =−

×=

−

= −

=

(On ajoute π à la valeur de la calculatrice parce que le diviseur est négatif.) La fonction représentant l’onde est donc

( )24,9 sin 5 16 2,496rad radm sy cm x t radπ π= − +

d) Quelle est la position en fonction du temps du morceau de corde situé à x = 20 cm ? Si on met x = 20 cm dans l’équation précédemment obtenue, on a

( )

( )

24,9 sin 5 0, 2 16 2,496

24,9 sin 16 5,638

rad radm s

rads

y cm m t rad

cm t rad

π π

π

= − +

= − +

Ce n’est peut-être pas évident à cause du signe négatif de ω, mais c’est l’équation d’une oscillation harmonique. Pour les puristes qui n’aiment pas ce signe négatif, on peut l’enlever avec certaines propriétés des sinus.

( )

( )

( )

24,9 sin 16 5,638

24,9 sin 16 5,638

24,9 sin 16 2, 496

rads

rads

rads

y cm t rad

cm t rad

cm t rad

π

π

π

= − +

= − −

= −

Pour cette dernière étape, on a utilisé –sin x = sin (x + π)



On obtient donc une formule décrivant un mouvement harmonique. On obtiendrait une fonction sinusoïdale similaire (mais avec un φ différent) pour n’importe quelle position x. Cela prouve bien que chaque morceau de corde fait un mouvement harmonique lors du passage d’une onde sinusoïdale.

e) Quelle est la vitesse maximale de la corde ?

La vitesse maximale de la corde est

max 16 0, 249 12,52rad my s sv A mω π= = × =

f) Quelle est la vitesse de la corde à x = 1 m et t = 1 s ?

La formule donnant la vitesse de la corde est

( )

( )

10, 249 16 cos 5 16 2,496

12,52 cos 5 16 2,496

rad rady m s

m rad rads m s

v m s x t rad

x t rad

π π π

π π

−= − × − +

= − − +

À t = 1 s et x = 1 s, on a

( )12,52 cos 5 1 16 1 2, 496

10,00

m rad rady s m s

ms

v m s radπ π= − × − × +

= −

La vitesse des ondes ne dépend que du milieu (dans un milieu non dispersif) Presque partout dans ces notes, nous allons parler d’ondes dans des milieux non dispersifs. Cela signifie que toutes les ondes, peu importe leur forme, vont à la même vitesse dans un milieu. Vitesse dans un milieu non dispersif

Toutes les ondes vont à la même vitesse dans un milieu non dispersif. Les ondes sonores qui se propagent dans l’air sont dans un milieu non dispersif. Ainsi, les sons graves et aigus vont à la même vitesse dans l’air. Si ce n’était pas le cas, le son pourrait être considérablement modifié si les sons aigus allaient plus vite que les sons graves par exemple. On entendrait alors les sons aigus avant les sons graves. Ça modifierait bien



l’allure d’un spectacle de musique si le son de la basse arrivait 1 seconde après le son de la guitare. Pour changer la vitesse d’une onde, il faut changer le milieu. Pour une onde dans une corde, cela peut vouloir dire qu’on va changer la tension de la corde. Pour une onde sonore, on peut modifier la température de l’air par exemple. Cela implique aussi que l’onde gardera toujours la même forme en se propageant dans le milieu. Dans un milieu dispersif, la forme de l’onde va changer à mesure que l’onde va se propager.

Erreur fréquente : la vitesse change avec λλλλ ou f. Il arrive parfois que certains étudiants utilisent la formule v = λf pour déduire que la vitesse de l’onde change si on change la longueur d’onde ou

la fréquence. C’est faux. La vitesse de l’onde est toujours la même, pour toutes les longueurs d’onde. Cette formule nous dit plutôt que la fréquence va changer si on change la longueur d’onde puisque la vitesse doit rester la même. On peut voir une démonstration de cela dans le vidéo suivant. Dans la séquence du haut, il y a une onde avec une fréquence plus petite que dans la séquence du bas. On voit très bien qu’une fréquence plus basse nous donne une longueur d’onde plus grande. On remarque aussi que la vitesse de l’onde est la même bien que l’onde soit différente. http://www.youtube.com/watch?v=7Iv4GmyXsCQ Les ondes transversales et longitudinales peuvent avoir des vitesses différentes dans le même milieu Dans un solide, il peut y avoir des ondes longitudinales et des ondes transversales. Comme les forces qui s’opposent à la déformation à l’origine de la propagation de ces ondes sont différentes pour ces deux types d’ondes, elles peuvent avoir des vitesses différentes. Même si les ondes se propagent dans le même milieu, la vitesse de ces deux types d’ondes peut être différente, car elles ne sont pas de même nature. Toutes les ondes longitudinales ont la même vitesse et toutes les ondes transversales ont la même vitesse, différente de celle des ondes longitudinales. Par exemple, les tremblements de terre créent des ondes longitudinales et transversales dans le sol. Dans ce cas, les ondes longitudinales vont plus vite que les ondes transversales. En gros, les ondes longitudinales ont une vitesse de 6 km/s près de la surface de la Terre alors que les ondes transversales ont plutôt une vitesse de 3 km/s. On peut même calculer la distance de l’épicentre en mesurant l’écart de temps entre l’arrivée des ondes longitudinales (qu’on appelle les ondes primaires, parce qu’elles arrivent en premier) et transversales (qu’on appelle les ondes secondaires).



La vitesse des ondes dans une corde Pour trouver la vitesse des ondes dans une corde tendue, nous allons calculer les forces qui s’exercent sur un petit morceau de corde. Supposons que l’onde a la forme suivante.

www.wikipremed.com/image.php?img=010201_68zzzz120700_19602_68.jpg&image_id=120700

Nous allons regarder les forces sur le morceau situé au sommet de l’onde.

La tension et l’angle étant les mêmes de chaque côté du petit morceau, la somme des forces en x est nulle par symétrie. Par contre, elle n’est pas nulle en y. Elle est plutôt

2 sin2y TF Fθ

= −

∑

Si le morceau est très petit, l’angle sera minuscule et on peut alors faire l’approximation que sinθ θ≈ . On a alors

22y T tF F Fθ

θ

= − = −

∑

L’angle est simplement la longueur de l’arc de cercle (la longueur du petit bout de corde) divisé par le rayon de courbure. On a donc

y T

lF F

r

∆= −∑

Il faut ensuite trouver l’accélération du morceau de corde. Il y a un truc pour y arriver assez facilement : on prend le point de vue d’un observateur se déplaçant à la même vitesse que



l’onde. Pour cet observateur, l’onde est immobile et c’est la corde qui se déplace vers la gauche à la vitesse v. Au point le plus haut de l’onde, la corde suit alors un arc de cercle et fait donc un mouvement circulaire.

www.wikipremed.com/image.php?img=010201_68zzzz120700_19602_68.jpg&image_id=120700

Comme la corde fait une partie de mouvement circulaire au sommet de l’onde, son accélération est

2va

r=

On a donc

2

2

y y

T

T

F ma

l vF m

r r

F l mv

=

∆− = −

∆ =

∑

La masse du petit morceau de corde dépend de sa longueur. Si la masse linéique de la corde (en kg/m) est

masse

longueurµ =

alors, la masse du morceau est

masse longueur

m l

µ

µ

= ×

= ∆

On a donc

2

2

2

T

T

T

F l mv

F l lv

F v

µ

µ

∆ =

∆ = ∆

=

Ce qui donne finalement



Vitesse des ondes dans une corde

TFv

µ=

On voit que cette vitesse ne dépend pas de la forme de l’onde, mais uniquement des caractéristiques du milieu comme la force de tension et la densité de la corde. Exemple 2.3.1 Une masse de 2 kg est suspendue à l’extrémité d’une corde de 6 m de long et ayant une masse de 300 g tel qu’illustré sur la figure. Quelle est la vitesse des ondes dans la corde ?

La vitesse des ondes dans une corde est donnée par

TFv

µ=

Pour trouver la vitesse, il faut donc trouver la tension et la masse linéique.

www.chegg.com/homework-help/questions-and-answers/physics-archive-2012-february-11

La tension de la corde se trouve en faisant la somme des forces sur la masse.

0

19,6

y T

T

T

F mg F

F mg

F N

= − + =

=

=

∑

La masse linéique de la corde est

0,30,05

6kgm

masse kg

longueur mµ = = =

La vitesse est donc

19,619,8

0,05T m

skgm

F Nv

µ= = =



L’onde ne transporte peut-être pas de matière, mais elle transporte de l’énergie. On va déterminer combien il y a d’énergie dans une onde et à quel rythme elle est reçue au bout de la corde (ce qui est la puissance de l’onde). Énergie dans une onde sinusoïdale Supposons qu’il y ait une onde sinusoïdale ayant une certaine longueur D dans une corde, telle qu’illustrée dans cette figure.

Chaque particule (de masse m) composant la corde fait alors une oscillation harmonique. L’énergie d’une masse en oscillation harmonique étant de

2 21

2E m Aω=

l’énergie de toutes les masses en oscillation est

( )

2 2

2 2

2 2

1

21

21

2

E m A

m A

M A

ω

ω

ω

=

=

=

∑

∑

où M est la masse de la corde dans la région où il y a l’onde. Cette masse est

M longueur

D

µ

µ

= ×

=

On obtient alors Énergie d’une onde sinusoïdale de longueur D (en joules)

2 21

2E D Aµ ω=



Puissance d’une onde sinusoïdale On va maintenant calculer comment cette onde amène d’énergie chaque seconde au bout de la corde. Cette puissance est

ÉnergiePuissance

temps=

On a déjà la quantité d’énergie dans l’onde. Reste à trouver pendant combien de temps cette onde amène de l’énergie au bout de la corde. On commence à compter le temps quand le devant de l’onde arrive et on arrête de compter le temps quand le derrière de l’onde arrive. Le temps est donc le temps que va prendre le derrière de l’onde pour arriver quand le devant de l’onde vient d’arriver au bout de la corde. Or, le derrière de l’onde est à une distance D et arrive avec la vitesse v.

Le temps d’arrivée de l’onde est donc

Dtemps

v=

On a donc

2 212

Dv

D APuissance

µ ω=

Ce qui permet d’obtenir Puissance d’une onde sinusoïdale (en watts)

2 21

2P v Aµ ω=



Exemple 2.4.1 Une onde sinusoïdale dans une corde a une longueur de 3 m, une longueur d’onde de 25 cm et une amplitude de 1 cm. La tension de la corde est de 500 N et sa masse linéique est de 50 g/m.

a) Quelle est l’énergie dans cette onde ? L’énergie est

2 21

2E D Aµ ω=

On doit donc trouver la vitesse de l’onde et la fréquence pour calculer l’énergie. La vitesse est

500100

0,05T m

skgm

F Nv

µ= = =

La fréquence est

100 0,25

400

ms

v f

m f

f Hz

λ=

= ×

=

L’énergie est donc

( ) ( )

2 2

2 2

1

21

0,05 3 2 400 0,01247,37

kgm

E D A

m Hz m

J

µ ω

π

=

= × × ×

=

b) Quelle est la puissance de cette onde ?

La puissance est

( ) ( )

2 2

2 2

1

21

0,05 100 2 400 0,0121579

kg mm s

P v A

Hz m

W

µ ω

π

=

= × × ×

=



L’interférence est la superposition d’ondes. Le résultat de la rencontre de deux ondes est particulièrement simple : les déplacements provoqués par chacune des ondes s’additionnent. C’est ce qu’on appelle le principe de superposition. Principe de superposition

1 2 3toty y y y= + + +…

Illustrons le tout par un exemple. Deux ondes ayant une forme rectangulaire se dirigent l’une vers l’autre. Les distances sont indiquées en centimètres sur la figure par un quadrillage. Chaque onde a une vitesse de 1 cm/s et provoque un déplacement de 1 cm de la corde par rapport à la position d’équilibre. À t = 1 s, les devants de chaque onde arrivent en contact et l’interférence commence. À t = 2 s, l’onde de longueur 1 se retrouve au milieu de l’onde de longueur 3. On voit qu’à cet endroit, les déplacements provoqués par chaque onde (qui est de 1 cm) s’additionnent pour faire un déplacement de 2 cm. À t = 3 s, l’interférence se termine et à t = 4 s, on voit les deux ondes qui reprennent leur forme initiale et continue leur chemin. Le passage des deux ondes l’une à travers l’autre n’affecte pas du tout la forme des ondes. Elles reprennent la même forme après qu’elles aient interféré. Dans ce cas, le déplacement de la corde est plus grand à l’endroit où les ondes se superposent que le déplacement provoqué par une seule onde. On parle alors d’interférence constructive. Vous pouvez admirer un magnifique clip illustrant le résultat de la rencontre de deux ondes sur une corde. L’onde du haut est l’onde allant vers la droite. L’onde du milieu est l’onde allant vers la gauche et au bas on retrouve l’addition de ces deux ondes. http://www.youtube.com/watch?v=8IRZYOC7DeU Vous pouvez aussi regarder cette démonstration. http://www.youtube.com/watch?v=YviTr5tH8jw



Dans cet autre exemple, une des ondes faisant un déplacement négatif sur la corde. À t = 2 s, la petite onde se retrouve au milieu de la grande onde. À l’endroit où les ondes se superposent, le déplacement fait par la grande onde (1 cm) s’additionne au déplacement fait par la petite onde (-1 cm). Le résultat est 0 cm et on voit que la corde est à sa position d’équilibre partout où la petite onde interfère avec la grande onde. Dans ce cas, le déplacement de la corde est nul à l’endroit où les ondes se superposent. Quand le déplacement résultant de la superposition des ondes est inférieur au déplacement fait par une seule onde, on parle d’interférence destructive. On voit encore une fois qu’après le passage des ondes l’une à travers l’autre, elles ont repris exactement la même forme qu’elles avaient avant de se superposer. Encore une fois, vous pouvez admirer la rencontre de deux ondes, mais cette fois-ci une onde fait un déplacement positif (celle allant

vers la droite) et une autre fait un déplacement négatif (celle allant vers la gauche). http://www.youtube.com/watch?v=95macpu6xgM Voici aussi une démonstration d’interférence destructive. http://www.youtube.com/watch?v=URRe-hOKuMs Ces éléments sont vrais uniquement pour ondes dans des milieux linéaires. Dans un milieu non linéaire, l’onde résultante de la superposition des ondes n’est pas simplement la somme des ondes. Aussi, dans un milieu non linéaire, la forme des ondes après leur passage l’une à travers l’autre est différente de la forme qu’elles avaient avant qu’elles se rencontrent. On n’explorera pas les milieux non linéaires dans ces notes.

Passage d’un milieu à un autre Il peut arriver qu’une onde change de milieu. Ce pourrait être une onde qui passe d’une corde à une autre corde quand les cordes sont reliées bout à bout.



Vitesse, fréquence et longueur d’onde En changeant de milieu, la fréquence de l’onde ne peut pas changer. S’il arrive 50 oscillations par seconde à l’endroit où les milieux se rencontrent, 50 oscillations par seconde doivent aussi repartir. Il ne peut pas se perdre ou s’accumuler d’oscillations à l’endroit où les milieux se rencontrent. Fréquence lors d’un changement de milieu

La fréquence ne change pas en passant d’un milieu à l’autre

1 2f f=

Par contre, la vitesse risque d’être différente si on change de milieu, car la vitesse dépend des caractéristiques du milieu. Comme

vf

λ=

et que la fréquence reste identique, on a

1 2f f=

En remplaçant f par v/λ, on a Longueur d’onde lors d’un changement de milieu

1 2

1 2

v v

λ λ=

Ainsi, si la vitesse est plus grande dans le milieu 2, la longueur d’onde sera plus grande. On peut voir ce phénomène dans le vidéo suivant. http://www.youtube.com/watch?v=IEjdCAKubCc Ondes réfléchie et transmise On va examiner des ondes sur une corde pour illustrer ce qui se passe quand une onde change de milieu. Par exemple, l’onde pourrait passer d’une corde ayant une certaine masse linéique à une autre corde ayant une masse linéique différente.



www.kshitij-iitjee.com/reflection-and-transmission-of-waves

Une partie de l’onde se transmettra dans l’autre milieu, alors qu’une partie de l’onde sera réfléchie. On voudra connaître l’amplitude de ces ondes transmise et réfléchie. Toutefois, l’amplitude de ces ondes dépend d’une quantité qui dépend du milieu : l’impédance L’impédance L’impédance est une caractéristique du milieu. Pour une onde se propageant sur une corde, l’impédance du milieu est définie par

TFZ

v=

En fait, on peut obtenir plusieurs versions de la formule l’impédance en utilisant la formule de la vitesse de l’onde. On obtient alors Impédance du milieu pour une onde dans une corde

TT

FZ F µv

vµ= = =

Pour comprendre un peu plus ce que représente cette impédance, imaginons qu’on génère une onde dans une corde en appliquant une force variable au bout de la corde. On aura alors la situation suivante.



Si on veut qu’il y ait équilibre au bout de la corde, il faut que cette force soit égale à la tension de la corde. La composante en y de cette force est

siny TF F θ= −

Or, si l’angle est petit, on a

sin tany

xθ θ

∂≈ =

∂

(Si vous l’aviez oublié, la tangente de l’angle d’inclinaison d’une fonction est égale à la pente, donc à la dérivée de la fonction.) On a alors

( )( )

( )

sin

cos

y T

T

T

yF F

x

A kx tF

x

F Ak kx t

ω φ

ω φ

∂= −

∂

∂ − += −

∂

= − − +

La vitesse de la corde à cet endroit est

( )( )

( )

sin

cos

y

yv

t

A kx t

t

A kx t

ω φ

ω ω φ

∂=

∂

∂ − +=

∂

= − − +

Si on divise la force par la vitesse, on obtient

( )( )

cos

cosy T

y

T

T

F F Ak kx t

v A kx t

F k

F

vZ

ω φ

ω ω φ

ω

− − +=

− − +

=

=

=

On voit donc que la vitesse de la corde est donnée par

yy

Fv

Z=



Imaginons qu’on applique une force périodique sinusoïdale dont la composante en y a une amplitude F0 au bout de la corde. L’amplitude de la vitesse (donc la vitesse maximale de la corde) est

0maxy

Fv

Z=

Puisque cette vitesse maximale est Aω, on obtient

0

01

FA

ZF

AZ

ω

ω

=

= ⋅

Cette équation signifie que si on garde donc toujours la même amplitude pour la force et la même fréquence, alors l’amplitude de l’onde dépend uniquement de l’impédance. Plus l’impédance est grande, plus l’amplitude sera faible, tel qu’illustré sur la figure.

On peut donc interpréter l’impédance comme représentant la réponse du milieu à une perturbation. Plus l’impédance est grande, plus la réponse du milieu sera petite pour une perturbation identique. Amplitudes des ondes réfléchie et transmise Si l’onde initiale a une amplitude A, alors les amplitudes des ondes réfléchies et transmises sont les suivantes.



Amplitudes des ondes réfléchie et transmise

1 2

1 2

1

1 2

2

R

T

Z ZA A

Z Z

ZA A

Z Z

−=

+

=+

Si vous le désirez, vous pouvez voir la preuve de ces formules dans ce document. http://physique.merici.ca/ondes/preuveAretAt.pdf (C’est une preuve pour les ondes dans une corde, mais le résultat est valide pour tous les types d’ondes.)

Exemple 2.6.1 Une onde sinusoïdale ayant une amplitude de 1 cm et une fréquence de 50 Hz arrive à une jonction entre deux cordes. La figure suivante nous donne les caractéristiques de deux cordes.

Quelles sont les puissances des ondes incidente, réfléchie et transmise ?

La puissance d’une onde est

2 2 2 21 1

2 2P v A Z Aµ ω ω= =

Pour calculer les puissances, il nous faut les impédances des milieux. Ces impédances sont

1 1

2 2

400 0,0625 5

400 0,01 2

kg kgT m s

kg kgT m s

Z F µ N

Z F µ N

= = ⋅ =

= = ⋅ =

Ainsi la puissance de l’onde incidente est

( ) ( )2 22 2

1

1 15 2 50 0,01 24,67

2 2kg

incidente sP Z A Hz m Wω π= = ⋅ ⋅ ⋅ =



Pour trouver les puissances des ondes réfléchie et transmise, il nous faut les amplitudes de ces ondes. On trouve ces amplitudes avec

1 2

1 2

1

1 2

2

R

T

Z ZA A

Z Z

ZA A

Z Z

−=

+

=+

L’amplitude de l’onde réfléchie est

1 2

1 2

5 21

5 2

0,429

R

kg kgs s

kg kgs s

Z ZA A

Z Z

cm

cm

−=

+

−=

+

=

L’amplitude de l’onde transmise est

1

1 2

2

2 51

5 2

1,429

T

kgs

kg kgs s

ZA A

Z Z

cm

cm

=+

⋅=

+

=

Ça peut sembler bizarre que l’onde transmise ait une plus grande amplitude que l’onde incidente, mais c’est possible. Comme le milieu 2 a une impédance plus petite, l’effet de l’onde sur ce milieu est plus grand. On va voir que la puissance de cette onde est inférieure même si elle a une amplitude plus grande.

Pour chacune des ondes réfléchie et transmise, la puissance est donc

( ) ( )

( ) ( )

2 22 21

2 22 22

1 15 2 50 0,00429 4,53

2 21 1

2 2 50 0,01429 20,142 2

kgR s

kgT s

P Z A Hz m W

P Z A Hz m W

ω π

ω π

= = ⋅ ⋅ ⋅ =

= = ⋅ ⋅ ⋅ =

On remarque que la somme des puissances de l’onde réfléchie et de l’onde transmise est égale à la puissance de l’onde incidente. Ce sera évidemment toujours le cas. Dans cet exemple, 81,6 % de l’énergie est transmise et 18,4 % de l’énergie de l’onde est réfléchie.



Réflexion et transmission selon la différence d’impédance Impédances très différentes Examinons ce qui arrive si l’impédance Z1 est beaucoup plus grande que l’impédance Z2. On a alors

1 2 1

1 2 1R

Z Z ZA A A A

Z Z Z

−= ≈ =

+

L’onde réfléchie a pratiquement la même amplitude que l’onde initiale. Cela signifie que presque toute l’énergie de l’onde initiale s’est réfléchie et qu’il y a très peu d’énergie dans l’onde transmise. L’onde est donc presque entièrement réfléchie. Si l’impédance Z1 est beaucoup plus petite que l’impédance Z2, on a alors

1 2 2

1 2 2R

Z Z ZA A A A

Z Z Z

− −= ≈ = −

+

L’onde réfléchie a pratiquement la même amplitude que l’onde incidente. (On s’occupera de la signification du signe négatif un peu plus loin.) Encore une fois, cela signifie qu’il y a beaucoup de réflexion et qu’il n’y a pratiquement pas d’énergie dans l’onde transmise. Impédances ayant des valeurs près l’une de l’autre Si l’impédance Z1 est presque identique à l’impédance Z2, on a alors

1 2

1 2

0R

Z ZA A

Z Z

−= ≈

+

Dans ce cas, il n’y a pas d’onde réfléchie et l’onde se transmet au complet dans l’autre milieu. C’est ce qu’on appelle l’ « impedance matching ». Par exemple, on peut arriver à cette situation avec des cordes ayant la même tension et faites de matériaux différents, mais ayant des masses linéiques identiques. C’est un concept très important dans les circuits électriques avec des ondes de courants (courants alternatifs). Si les impédances sont identiques, il n’y aura pas de réflexion de signal. Cela se produit, par exemple, si vous branchez des hautparleurs à votre chaine stéréo. L’amplificateur, qui a une certaine impédance, envoie des signaux vers les hautparleurs, qui ont aussi une certaine impédance. Si l’impédance n’est pas la même, il y aura des réflexions du signal entre le récepteur et les hautparleurs, ce qui se traduira par un écho dans le son. Il faut donc choisir des hautparleurs avec la bonne impédance. Les valeurs d’impédance sont indiquées derrière votre amplificateur et vos hautparleurs.



On arrive donc à la conclusion suivante. Règles pour la réflexion et la transmission.

Plus l’impédance des milieux est différente, plus la réflexion sera grande et plus la transmission sera petite.

Si les impédances des milieux sont identiques, l’onde est complètement transmise et il

n’y a pas de réflexion.

Inversion de l’onde réfléchie Que signifiait le signe négatif devant l’amplitude de l’onde réfléchie quand Z2 est plus grand que Z1? Ce signe signifie que l’onde réfléchie est inversée par rapport à l’onde incidente. Ce n’est pas si évident à constater avec une onde sinusoïdale, mais c’est assez facile avec une onde qui est formée d’une seule bosse. Si l’impédance Z1 est plus grande que Z2, l’amplitude de l’onde réfléchie est positive et on a la situation suivante.

www.transtutors.com/physics-homework-help/waves/reflection-and-refraction-of-waves.aspx

L’onde réfléchie est dans le même sens que l’onde incidente. Si l’impédance Z1 est plus petite que Z2, l’amplitude de l’onde réfléchie est négative et on a la situation suivante.

www.transtutors.com/physics-homework-help/waves/reflection-and-refraction-of-waves.aspx



L’onde réfléchie est dans le sens inverse par rapport à l’onde incidente. L’amplitude de l’onde transmise ne pouvant jamais être négative, elle n’est jamais inversée par rapport à l’onde incidente. Inversion des ondes réfléchie et transmise

Si Z2 > Z1, l’onde réfléchie est inversée.

Si Z2 < Z1, l’onde réfléchie n’est pas inversée.

L’onde transmise n’est jamais inversée Voyons ce que ça donne pour des ondes dans des cordes. Dans ce cas, l’impédance est

TT

FZ F

vµ= =

Généralement, les tensions de cordes bout à bout sont les mêmes et seule la masse linéique est différente. On remarque alors que l’impédance est plus grande si la masse linéique est plus grande ou si la vitesse de l’onde est plus petite. Les règles d’inversion de l’onde réfléchie deviennent alors

Si µ2 > µ1ou si v2 < v1 l’onde réfléchie est inversée.

Si µ2 < µ1 ou si v2 > v1, l’onde réfléchie n’est pas inversée. Dans ces images, une onde se propage dans deux ressorts tendus (qui agissent comme des cordes) attachés bout à bout. Le ressort plus gros a une masse linéique plus petite que le ressort plus petit. (Oui oui, vous avez bien lu. Le petit est peut-être en métal alors que le gros est peut-être en plastique.) L’impédance du gros ressort est donc plus petite que celle du petit ressort.




Dans la série d’images de gauche, l’onde arrive dans le milieu d’impédance plus petite et tente d’aller dans le milieu avec une impédance plus grande. Il y a une onde transmise, qui est dans le même sens que l’onde qui arrivait dans le milieu 1. Il y a également une onde réfléchie, qui est inversée puisque l’impédance du milieu 2 est plus grande que celle du milieu 1. On peut remarquer que la vitesse de l’onde est plus petite dans le milieu 2, ce qui nous indique que l’impédance du milieu 2 est plus grande. Dans la série d’images de droite, l’onde arrive cette fois dans le milieu d’impédance plus grande et tente d’aller dans le milieu avec une impédance plus petite. L’onde transmise est encore une fois dans le même sens que l’onde qui arrivait dans le milieu 1. L’onde réfléchie est aussi dans le même sens puisque l’impédance du milieu 2 est plus petite que celle du



milieu 1. On remarque ici que la vitesse dans le milieu 2 est plus grande que dans le milieu 1, ce qui confirme que l’impédance du milieu 2 est plus petite que celle du milieu 1.

L’onde arrive au bout d’une corde Les formules d’amplitude de l’onde réfléchie nous permettront de déterminer ce qui arrive quand une onde arrive au bout d’une corde. Corde fixée au bout Une onde se déplace le long d’une corde dont le bout est solidement fixé à quelque chose. Quand l’onde arrive au bout de la corde, il se passe la même chose qui se passe quand l’onde change de milieu. Ici, les deux milieux sont la corde et l’objet sur lequel la corde est attachée. Cet objet étant fixe, il ne sera pas perturbé du tout par le mouvement de la corde, ce qui signifie que cet objet se comporte comme un milieu avec une impédance énorme. On revient donc à notre situation où Z2 est beaucoup plus grand que Z1. On avait alors trouvé que l’amplitude de l’onde réfléchie est de –A, ce qui signifie que l’onde est totalement réfléchie, mais qu’elle est inversée. On a donc la situation suivante.

www.schoolphysics.co.uk/age16-19/Wave%20properties/Wave%20properties/text/Phase_change/index.html

En voici une démonstration. http://www.youtube.com/watch?v=LTWHxZ6Jvjs Cette onde est inversée, car en arrivant au bout de la corde, la corde tire sur le point d’attache vers le haut. Selon la troisième loi de Newton, le point d’attache tire alors sur la corde vers le bas, ce qui crée l’onde vers le bas qui repart vers la gauche. Corde libre au bout Imaginons maintenant que la corde n’est pas fixée au bout ou qu’elle est fixée à une tige par un anneau très peu massif pouvant glisser sans aucune friction. Alors, c’est comme si elle tentait de passer dans une corde dont la masse linéique est nulle, donc qui a une impédance nulle. On revient donc à notre situation où Z2 est beaucoup plus petit que Z1. On avait alors trouvé que l’amplitude de l’onde réfléchie est de A, ce qui signifie que l’onde est totalement réfléchie et qu’elle n’est pas inversée. On a donc la situation suivante.



www.schoolphysics.co.uk/age16-19/Wave%20properties/Wave%20properties/text/Phase_change/index.html

En voici une démonstration. http://www.youtube.com/watch?v=aVCqq5AkePI

Dans ce cas-ci, quand l’onde arrive au bout, le bout de la corde monte beaucoup plus haut que prévu, car il y a deux fois moins de tension sur le dernier morceau de corde. Habituellement, chaque morceau de corde est ramené à sa position d’équilibre par les tensions de chaque côté du morceau. Cependant, il n’y a que la tension d’un seul côté qui s’exerce sur le dernier morceau de corde. Ce manque de tension fait que ce dernier morceau monte plus haut que prévu, ce qui va exercer une force vers le haut sur le reste de la corde. C’est cette force vers le haut qui crée une nouvelle onde vers le haut allant vers la gauche.

Il est également possible d’obtenir des ondes stationnaires. Dans ce type d’onde dans une corde, chaque morceau de corde oscille, mais les crêtes et les nœuds de l’onde n’avancent pas. On montre dans le vidéo suivant plusieurs possibilités d’onde stationnaire. Vous pouvez voir que ce sont des ondes stationnaires puisque les nœuds de l’onde restent immobiles. http://www.youtube.com/watch?v=jovIXzvFOXo http://gilbert.gastebois.pagesperso-orange.fr/java/son/melde/melde.htm (et cliquez sur Stationnaire au bas de la page)

L’onde stationnaire est le résultat de la superposition de deux ondes progressives identiques allant dans des directions opposées Les ondes stationnaires sont le résultat de la superposition de deux ondes : une onde allant vers la droite et une onde identique allant vers la gauche. Dans le vidéo, l’onde stationnaire est le résultat de l’onde fait par la personne, qui va vers la gauche, et de la réflexion de cette onde à l’autre bout du milieu, qui va vers la droite. Démontrons que cette somme donne bien une onde stationnaire. L’onde allant vers les x positifs est décrite par la fonction

( )1 siny A kx tω= −



et l’onde allant vers les x négatifs (même amplitude et longueur d’onde) est décrite par

( )2 siny A kx tω= +

(On a noté l’amplitude de chaque onde avec A. L’amplitude résultante des deux ondes superposées sera notée Atot.) Nous avons mis des constantes de phase nulle pour simplifier. Nous aurions obtenu les mêmes résultats si on les avait laissées là. La somme des deux ondes est

( ) ( )sin sintoty A kx t kx tω ω= − + +

Pour écrire cette équation sous une autre forme, utilisons l’identité trigonométrique suivante

( ) ( )1 11 2 1 2 1 22 2sin sin 2sin cosθ θ θ θ θ θ+ = + −

On obtient alors

( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 12 22 sin costoty A kx t kx t kx t kx tω ω ω ω= − + + − − +

En simplifiant, on obtient Équation d’une onde stationnaire

2 sin costoty A kx tω=

Voici l’interprétation de cette équation.

�

oscillation en fonction du tempsAmplitude qui dépend de la position

2 sin costoty A kx tω= ×��

Chaque morceau du milieu fait donc une oscillation, avec une amplitude qui dépend de la position. C’est ce qu’on voyait dans le vidéo : à certains endroits, la matière oscille avec beaucoup d’amplitude et à d’autres endroits, il n’y a pas d’oscillations du tout (l’amplitude est nulle). Amplitude d’oscillation d’une onde stationnaire

2 sintotA A kx=



Atot est l’amplitude de l’onde résultante et A est l’amplitude de chaque onde qui se superpose. On a pris la valeur absolue puisqu’on sait qu’une valeur négative de l’amplitude est simplement un déphasage de π déguisé. L’amplitude d’oscillation de l’onde stationnaire atteint sa valeur maximale (2A) au centre des ventres d’oscillation. L’amplitude d’oscillation atteint sa valeur minimale (0) aux nœuds de l’onde stationnaire. Rappelez-vous que A est l’amplitude de chacune des ondes progressives qui forment l’onde stationnaire et non pas l’amplitude de l’onde stationnaire.

www.allaboutcircuits.com/vol_3/chpt_2/2.html

Sur cette image, vous voyez la corde dans une position la plus loin de sa position d’équilibre (ligne noire) et dans l’autre position la plus éloignée de sa position d’équilibre (ligne grise). La corde oscille entre ces deux positions. Les modes d’oscillation de l’onde stationnaire Une corde tendue est attachée à quelque chose à chaque bout. Il ne peut y avoir de mouvement à chaque bout de la corde. Cela veut dire qu’on doit retrouver un nœud de l’onde à chaque bout (x = 0 et x = L). À x = 0, l’amplitude de l’onde est déjà nulle puisque

2 sin 0 0totA A k= × =

(C’est beau, mais on arrive à ce résultat parce qu’on a mis des constantes de phase nulles dans nos équations. Si on avait mis des constantes de phase non nulles, elles auraient dû répondre à une condition pour qu’il y ait un nœud à x = 0.) À x = L, on doit avoir

2 sin 0

sin 0

0, , 2 , 3 , 4 ,

A kL

kL

kL π π π π

=

=

= ± ± ± ± …

La dernière s’obtient en trouvant toutes les solutions possibles de l’arcsinus. Les solutions négatives doivent être rejetées puisque la longueur de la corde ne peut pas être négative. En oubliant ces solutions négatives, on peut écrire ce résultat de la façon suivante.



kL nπ= (n est un entier positif) Ce qui nous donne

2

2

kL n

L n

L

n

π

ππ

λ

λ

=

=

=

On ne peut donc pas avoir n’importe quelle longueur d’onde pour obtenir une onde stationnaire, seules certaines valeurs sont possibles. Il y a quand même plusieurs solutions. Pour identifier ces solutions, nous allons ajouter un indice à la longueur d’onde. Ainsi, λ3 sera la valeur de la longueur d’onde pour n = 3. On a donc Longueurs d’onde possible pour obtenir une onde stationnaire

2n

L

nλ = (n est un entier positif)

Regardons ce que représentent certaines de ces possibilités.

universe-review.ca/R12-03-wave.htm



Vous pouvez admirer ce qu’on obtient avec n = 1, 2, 3 et 4. On appelle mode ou harmonique chacune de ces possibilités. Pour n = 5, par exemple, on parle de 5e harmonique, de 5e mode ou de mode d’ordre 5. Remarquez que la distance entre les nœuds est toujours égale à la moitié de la longueur d’onde. Distance entre les nœuds d’une onde stationnaire

distance2

λ=

Si on ne peut pas avoir n’importe quelle longueur d’onde, on ne peut pas avoir n’importe quelle fréquence. Les fréquences possibles se trouvent avec

vf

λ=

Ce qui nous permet d’obtenir Fréquences possibles pour une onde stationnaire

2n

nvf

L=

La fréquence du mode fondamental (f

�) est appelée la fréquence fondamentale. Puisque

1 2

vf

L=

On peut aussi écrire Fréquences possibles pour une onde stationnaire

1nf nf=

On remarque que la fréquence augmente à mesure qu’on va vers des harmoniques élevées. Vous pouvez retourner voir le vidéo vu précédemment pour voir différentes harmoniques pour les ondes stationnaires. Remarquez comment la fréquence d’oscillation de la main augmente pour créer des modes d’ordre supérieur. http://www.youtube.com/watch?v=jovIXzvFOXo



Si la personne tentait de faire une onde à une fréquence qui ne correspond pas à la fréquence d’une onde stationnaire, il y aurait bel et bien un mouvement des particules du milieu, mais ce ne serait pas une onde stationnaire, ce serait quelque chose de plus désordonné. Dans le cas d’onde dans une corde, on peut utiliser le résultat obtenu pour la vitesse pour obtenir Fréquences possibles pour une onde stationnaire dans une corde tendue

2T

n

Fnf

L µ=

Quand on pince une corde de guitare, on envoie des ondes dans la corde. Comme la corde est fixée à chaque bout, on pourrait montrer que seules les ondes stationnaires sont créées dans cette corde. Plusieurs ondes stationnaires peuvent être présentes en même temps sur la corde, mais la note jouée par l’instrument est toujours la fréquence de la première harmonique. La note jouée par une corde sera donc

1

1

2T

note

Ff f

L µ= =

On peut voir que cette équation représente bien ce qui se passe avec les cordes d’une guitare. (Sachez que les fréquences élevées correspondent à des sons aigus et que les fréquences basses correspondent à des sons graves. Nous verrons cela au chapitre suivant). Si on pince une corde, on obtient un son. Si on réduit la longueur de cette corde, en appuyant sur une frette, le son sera plus aigu. C’est ce que prévoie notre formule puisque f augmente si L diminue. Si on pince la grosse corde, le son sera plus grave qu’avec la corde la plus petite. La grosse corde a une masse linéique plus grande que celle de la petite corde (elle est plus massive pour une même longueur). On voit que la formule prévoit aussi que la fréquence sera plus basse si la masse linéique est plus grande. Si on étire la corde en jouant avec les vis d’ajustement, on augmentera sa tension, ce qui donnera un son plus aigu. Encore une fois, notre formule prévoit que la fréquence va augmenter si la tension augmente. On peut également étirer la corde en la tassant la corde de côté quand on appuie sur la frette. On peut alors faire des effets de vibrato de cette façon. (Le paragraphe suivant s’adressant à ceux qui connaissent un peu plus la musique.) Notre formule prévoit aussi que la distance entre les frettes sera de plus en plus petite à mesure qu’on diminue la longueur de la corde. Supposons que pour passer de 300 Hz à 600 Hz (une octave), il faut réduire la longueur de la corde de 0,6 m à 0,3 m. Il y aura donc 12 demi-tons sur une distance de 30 cm. Pour augmenter encore d’une octave, il faudra



réduire la longueur de la corde de 0,3 m à 0,15 m pour passer de 600 Hz à 1200 Hz puisque la fréquence est proportionnelle à 1/L. On aura donc 12 demi-tons sur une distance de 15 cm. Ils sont donc tous plus rapprochés puisqu’on a le même nombre de demi-tons sur une distance deux fois plus courte. Mr Borowicz vous fait une belle démonstration de tous ces effets dans les 5 premières minutes de ce vidéo. http://www.youtube.com/watch?v=tXwJnr56LFo Exemple 2.7.1 La plus grosse corde d’une guitare a une longueur de 92,9 cm et une masse de 5,58 g. On l’installe sur la guitare et on fait des ondes stationnaires dans la corde. Une fois installée, il y a 65,5 cm entre les deux points d’attache de la corde.

a) Quelle doit être la tension de la corde pour que la fréquence de la première harmonique soit de 82,4 Hz (qui est la fréquence que doit avoir la grosse corde d’une guitare) ? La tension peut être trouvée à partir de la formule de la fréquence de la première harmonique

1

1

2TF

fL µ

=

si on connait la masse linéique. Comme la masse linéique est

0,005580,00601

0,929kgm

masse kg

longueur mµ = = =

la tension est

1

1

2

182,4

2 0,655 0,00601

70,03

T

Tkgm

T

Ff

L

FHz

m

F N

µ=

=×

=

b) Quelles sont alors les fréquences des 2e, 3e et 4e harmoniques ? La fréquence des autres harmoniques est



1

2

3

4

2 82,4 164,8

3 82,4 247,2

4 82,4 329,6

nf nf

f Hz Hz

f Hz Hz

f Hz Hz

=

= × =

= × =

= × =

Si on pince cette corde de guitare, on va entendre en même temps des sons ayant ces fréquences.

c) Si l’amplitude d’oscillation de l’onde stationnaire est de 0,1 mm à 3 cm du bout de la corde à la troisième harmonique, quelle est l’amplitude d’oscillation au centre des ventres ? L’amplitude au centre des ventres est 2A, tel que vu précédemment.

www.allaboutcircuits.com/vol_3/chpt_2/2.html

Pour trouver cette amplitude à partir de l’amplitude à une autre position, on va utiliser la formule suivante.

2 sintotA A kx=

Avec Atot = 0,1 mm à x = 0,03 m, nous pourrons trouver 2A à condition de connaitre la valeur de k. Celle-ci se trouve avec la longueur d’onde. À la 3e harmonique, on a

2 2 0,6550,4367

3 3

L mmλ

×= = =

Ainsi, k est

214,39 rad

mkπ

λ= =

Puisque l’amplitude est de 0,1 mm cm à x = 3 cm, on a

2 sin

0,0001 2 sin14,39 0,03

0,0001195

tot

radm

A A kx

m A m

A m

=

= ×

=



L’amplitude au centre des ventres est donc

2 0,000239 0,239A m mm= = Parfois, on pourra voir l’impression qu’il nous manque des informations pour résoudre, mais ce n’est pas le cas. Si on applique deux fois la même équation, beaucoup de choses se simplifient quand on divise une équation par une autre. Voici un exemple. Exemple 2.7.2 Une onde stationnaire dans une corde tendue a une fréquence fondamentale de 100 Hz quand la tension est de 200 N. Quelle devrait être la tension pour avoir une fréquence fondamentale de 500 Hz ?

On sait que

1

1

2

1 200100

2

TFf

L µ

NHz

L µ

=

=

et on veut

1

1

2

1500

2

T

T

Ff

L µ

FHz

L µ

′′=

′=

En divisant cette deuxième équation par la première, on arrive à

12500

100 1 2002

5200

5000

T

T

T

F

L µHz

Hz N

L µ

F

NF N

′

=

′=

′ =



Lien entre λλλλ et f ou lien entre λλλλ et T

v fT

λλ= =

Définition de k et ωωωω

2

22

k

fT

π

λπ

ω π

=

= =

Lien entre ωωωω et k

vk

ω=

Fonction décrivant une onde sinusoïdale progressive



Vitesse des particules du milieu

( )cosyv A kx tω ω φ= ± ± +


maxyv Aω=

Accélération des particules du milieu

( )2 sina A kx tω ω φ= − ± +


max ²ya Aω=

Calcul de l’amplitude de l’onde

2

2 2yvy A

ω

+ =



Calcul de la constante de phase

( )tany

ykx t

v

ωω φ± + =

±


Vitesse des ondes dans une corde

TFv

µ=

Énergie d’une onde sinusoïdale de longueur D (en joules)

2 21

2E D Aµ ω=

Puissance d’une onde sinusoïdale (en watts)

2 21

2P v Aµ ω=

Principe de superposition

1 2 3toty y y y= + + +…

Fréquence et longueur d’onde lors d’un changement de milieu

1 2f f=

1 2

1 2

v v

λ λ=

Impédance du milieu pour une onde dans une corde

TT

FZ F µv

vµ= = =



Amplitudes des ondes réfléchie et transmise

1 2

1 2

1

1 2

2

R

T

Z ZA A

Z Z

ZA A

Z Z

−=

+

=+

Règles pour la réflexion et la transmission.

Plus l’impédance des milieux est différente, plus la réflexion sera grande et plus la transmission sera petite.

Si les impédances des milieux sont identiques, l’onde est complètement transmise et il

n’y a pas de réflexion. Inversion des ondes réfléchie et transmise

Si Z2 > Z1, l’onde réfléchie sera inversée.

Si Z2 < Z1, l’onde réfléchie ne sera pas inversée.

L’onde transmise n’est jamais inversée Équation d’une onde stationnaire

2 sin costoty A kx tω=

Amplitude d’oscillation d’une onde stationnaire

2 sintotA A kx=

Longueurs d’onde possible pour obtenir une onde stationnaire

2n

L

nλ = (n est un entier positif)



Distance entre les nœuds d’une onde stationnaire

distance2

λ=

Fréquences possibles pour une onde stationnaire

12n

nvf nf

L= =

Fréquences possibles pour une onde stationnaire dans une corde tendue

2T

n

Fnf

L µ=



2.2 Les ondes sinusoïdales progressives

1. Une onde sonore a une vitesse de 350 m/s et une fréquence de 400 Hz. a) Quelle est la période de l’onde ? b) Quelle est la longueur d’onde de l’onde ?

2. En 4 secondes, une onde sur une corde a avancé de 30 m pendant qu’un morceau de la corde a fait 20 oscillations complètes. Quelle est la longueur d’onde de l’onde ?

3. Cette onde se déplace à 40 m/s vers la droite sur une corde. (Les distances sont en centimètres sur le dessin.)

a) Quelle est la fréquence de cette onde (approximativement) ? b) Quelle est la vitesse maximale de la corde (approximativement) ?

4. L’équation d’une onde sur une corde est

0,2 sin 10 2004

rad radm sy m x t

π = ⋅ + ⋅ +

a) Dans quelle direction va cette onde ? b) Quelle est la longueur d’onde ? c) Quelle est la vitesse de cette onde ? d) Quelle est la vitesse de la corde à x = 1 m et t = 1 s ?

5. Une onde transversale se déplace vers les x positifs avec une vitesse de 50 m/s. À t = 0 s, la corde à x = 0 m est à y = 2 cm et a une vitesse de -100 cm/s. Sachant que la période de l’onde est de 0,1 s, écrivez l’équation de l’onde.




2.3 La vitesse des ondes

6. Une onde ayant une longueur d’onde de 50 cm se déplace à 30 m/s sur une corde. À quelle vitesse ira une onde ayant une longueur d’onde de 20 cm si elle se déplace sur la même corde ayant la même tension ?

7. Une corde ayant une longueur de 2 m a une tension de 200 N. Une onde passe d’un

bout à l’autre de la corde en 0,05 s. Quelle est la masse de la corde ?

8. Quand la tension d’une corde est de 50 N, la vitesse des ondes dans la corde est de 40 m/s. Quelle sera la vitesse des ondes si on augmente la tension à 80 N ?

9. Sur une corde ayant une tension de 50 N, il y a une onde décrite par l’équation

0,2 sin 10 2004

rad radm sy m x t

π = ⋅ + ⋅ +

a) Quelle est la masse linéique de cette corde ? b) Quelle est la grandeur de la vitesse maximale de la corde ?

2.4 L’énergie dans les ondes sinusoïdales

10. Une onde a les caractéristiques suivantes :

Amplitude : 2 mm Longueur d’onde : 40 cm Vitesse de l’onde : 50 m/s Longueur de l’onde sur la corde : 10 m

a) Combien d’énergie y a-t-il dans cette onde si la masse linéique de la corde est

de 25 g/m ? b) Quelle est la puissance de cette onde si la masse linéique de la corde est de

25 g/m ?

11. Une source ayant une puissance de 20 W génère une onde ayant une longueur d’onde de 12,5 cm et une fréquence de 200 Hz. Quelle est l’amplitude de l’onde si la tension de la corde est de 80 N ?

12. L’onde ayant cette équation

( )2 sin 10 50rad radm sy cm x tπ π= ⋅ − ⋅

se propage sur une corde ayant une masse linéique de 50 g/m. Quelle est la puissance de cette onde ?



2.5 L’interférence

13. Dessinez le résultat de la superposition de ces ondes.

www.kwantlen.ca/science/physics/faculty/mcoombes/P1101_Solutions/Waves/P1101_13_Solutions.htm

14. Dessinez l’onde résultante 2,5 secondes plus tard.

www.chegg.com/homework-help/questions-and-answers/wave-pulses-string-approach-timet-0-shown-figure-pulse-2is-

inverted-downward-deflection-st-q142130

15. Dessinez l’onde résultante 2,5 secondes plus tard.

www.chegg.com/homework-help/questions-and-answers/wave-pulses-string-approach-timet-0-shown-figure-pulse-2is-

inverted-downward-deflection-st-q142130



2.6 La réflexion et la transmission des ondes

16. Dans la situation montrée sur la figure, une onde sinusoïdale ayant une longueur d’onde de 20 cm et une amplitude de 5 mm part du côté gauche du fil d’aluminium pour se diriger vers le fil d’acier.

www.chegg.com/homework-help/questions-and-answers/figure-aluminum-wire-length-l1-600-cm-cross-sectional-area -

100-10-2-cm2-density -260-g-cm3--q1127206

a) Quelle est la vitesse de l’onde dans le fil d’aluminium ? b) Quelle est la fréquence de l’onde quand elle est dans le fil d’aluminium ? c) Quelle est la vitesse de l’onde dans le fil d’acier ? d) Quelle est la fréquence de l’onde quand elle est dans le fil d’acier ? e) Quelle est la longueur d’onde de l’onde quand elle est dans le fil d’acier ? f) Quelle est l’impédance du fil d’aluminium ? g) Quelle est l’impédance du fil d’acier ? h) Quelle est l’amplitude de l’onde réfléchie ? (Spécifiez si l’onde réfléchie est

inversée.) i) Quelle est l’amplitude de l’onde transmise ? j) Quel pourcentage de la puissance de l’onde initiale est transmis dans le câble

d’acier ?

17. Une onde sur une corde arrive à un endroit où la masse linéique de la corde change.

www.acs.psu.edu/drussell/Demos/reflect/reflect.html

a) Dans quelle direction (vers le haut ou vers le bas) sera l’onde transmise ? b) Dans quelle direction (vers le haut ou vers le bas) sera l’onde réfléchie ? c) Quelle sera la vitesse de l’onde transmise ? d) Quelle sera la vitesse de l’onde réfléchie ?



18. Une onde se propage sur une corde ayant une certaine impédance. L’onde arrive alors à une jonction entre deux cordes. En passant d’une corde à l’autre, la moitié de l’énergie de l’onde est transmise et l’autre moitié est réfléchie. Sachant que l’impédance de la deuxième corde (Z2) est plus grande que l’impédance de la première corde (Z1), déterminez le rapport des impédances des deux cordes (Z2/Z1) ?

2.7 Les ondes sinusoïdales stationnaires

19. L’équation d’une onde stationnaire est

( ) ( )6 sin 40 cos 200rad radtot m sy cm x tπ π= ⋅ ⋅ ⋅

a) Quelle est la fréquence de cette onde ? b) Quelle est la longueur d’onde de cette onde ? c) Quelle est la vitesse des ondes sur cette corde ? d) Quelle est la vitesse de la corde à x = 0,02 m et t = 0,022 s ? e) Quelle est l’amplitude des oscillations à x = 0,5 cm ?

20. Ces deux ondes se superposent pour former une onde stationnaire

( )

( )1

2

2 sin 10 50

2 sin 10 50

rad radm s

rad radm s

y cm x t

y cm x t

π π

π π

= ⋅ − ⋅

= ⋅ + ⋅

Quelle est l’équation de l’onde stationnaire résultante ( ) ( )2 sin costoty A kx tω= ?

21. Deux ondes sinusoïdales allant dans des directions opposées se rencontrent pour

former une onde stationnaire sur une corde. Ces ondes ont toutes le deux une amplitude de 5 cm, une longueur d’onde de 20 cm et une période de 0,05 s. a) Quelle est l’équation de l’onde stationnaire ?

( ) ( )2 sin costoty A kx tω=

b) Quelle est la distance entre les nœuds de l’onde stationnaire ? c) Quelle est l’amplitude des oscillations à 1 cm des nœuds ?

22. Une onde stationnaire a une amplitude de 5 mm au centre des ventres et la distance entre les nœuds de l’onde stationnaire est de 20 cm. La tension de la corde est de 12 N et la masse linéique de la corde est de 30 g/m. Quelle est l’équation de l’onde stationnaire ?

( ) ( )2 sin costoty A kx tω=



23. Une corde a une longueur de 60 cm et une masse linéique de 20 g/m. Quelle doit être la tension de la corde pour que la fréquence de la quatrième harmonique soit de 400 Hz ?

24. La fréquence de la deuxième harmonique sur une corde est de 400 Hz. Quelle est la vitesse des ondes sur cette corde si elle a une longueur de 2 m ?

25. L’équation d’une onde stationnaire est

( ) ( )2 sin 20 cos 300rad radtot m sy cm x tπ π= ⋅ ⋅ ⋅

Quelle est la longueur de la corde si cette onde stationnaire correspond à la troisième harmonique ?

26. Une corde a une longueur de 50 cm et une tension de 350 N. Quelle est la masse linéique de la corde si la fréquence fondamentale des ondes stationnaires est de 50 Hz ?

27. Une corde tendue a une fréquence fondamentale de 200 Hz si la tension est de 100 N. Quelle devrait être la tension si on voulait que la fréquence de la cinquième harmonique soit de 500 Hz ?

28. Quelle doit être la masse de l’objet suspendu pour obtenir cette onde stationnaire

sachant que la masse linéique de la corde est de 36 g/m et que la fréquence d’oscillation est de 160 Hz ?

www.chegg.com/homework-help/questions-and-answers/7-figure-string-tied-sinusoidal-oscillator-p-running-support-q-

stretched-block-mass-m-sepa-q3858893

29. Une corde tendue a une fréquence fondamentale de 50 Hz si la corde a une longueur

de 100 cm. Quelle devrait être la longueur d’une corde ayant la même tension et la même masse linéique si on voulait que la fréquence de la deuxième harmonique soit de 400 Hz ?



30. La corde A a une longueur de 1 m et une tension de 100 N alors que la corde B a une longueur de 25 cm et une tension de 25 N. Quel est le rapport de la fréquence fondamentale de la corde A sur la fréquence fondamentale de la corde B (f

1A / f1B

) si les cordes ont la même masse linéique ?

31. La corde A est tendue et a une fréquence fondamentale de 360 Hz. Quelle sera la

fréquence fondamentale de la corde B qui a la même tension et la même masse linéique que la corde A si sa longueur est de seulement 40 % de la longueur de la corde A ?

32. Dans une corde, la fréquence d’une harmonique est de 520 Hz. La fréquence de l’harmonique suivante est de 650 Hz. Quelle est la fréquence de la première harmonique ?

Défis (Questions plus difficiles que les questions qu’il y aura à l’examen.)

33. Un bout d’une corde ayant une masse linéique de 0,2 kg/m est attaché au plafond, tel qu’illustré sur la figure. Dans cette position, la tension de la corde varie d’un point à l’autre dans la corde. La longueur de la corde est de 2 m. Combien de temps prendra une onde pour traverser la corde de haut en bas ?

www.chegg.com/homework-help/questions-and-answers/consider-rope-length-mass-per-unit-length-hanging-vertically-shown-let-refer-height-point--q203224

34. Un anneau de corde ayant un rayon de 25 cm tourne sur lui-même avec une vitesse angulaire de ω = 2 rad/s, ce qui met la corde sous tension. Une onde est présente sur la corde. Quelle est la vitesse de cette onde ? (Négligez l’effet de la gravitation.)

www.123rf.com/photo_7684927_ropes-set--isolated-design-elements-gibbet-knot-loop-spiral.html



2.2 Les ondes sinusoïdales progressives

1. a) 0,0025 s b) 0,875 m 2. 1,5 m 3. a) 200 Hz b) 75,4 m/s 4. a) vers les x négatifs b) 0,6283 m c) 20 m/s d) -38,23 m/s 5. ( )2

50,02556 sin 20 0,8986radmy m x tπ π= ⋅ ⋅ − ⋅ +

2.3 La vitesse des ondes

6. 30 m/s 7. 0,25 kg 8. 50,6 m/s 9. a) 0,125 kg/m b) 40 m/s

2.4 L’énergie dans les ondes sinusoïdales

10. a) 0,3084 J b) 1,542 W 11. 2,813 mm 12. 1,234 W

2.5 L’interférence

13.

14.



15.

2.6 La réflexion et la transmission des ondes

16. a) 44,27 m/s b) 221,4 Hz c) 28 m/s d) 221,4 Hz e) 12,65 cm f) 0,4427 kg/s g) 0,7 kg/s h) On a une onde inversée ayant une amplitude de 1,126 mm i) 3,874 mm j) 94,9 %

17. a) vers le haut b) vers le bas c) 12,65 m/s d) 20 m/s 18. Z2/Z2 = 5,828

2.7 Les ondes sinusoïdales stationnaires

19. a) 100 Hz b) 5 cm c) 5 m/s d) -21,07 m/s 20. ( ) ( )4 sin 10 cos 50rad rad

tot m sy cm x tπ π= ⋅ ⋅ ⋅

21. a) ( ) ( )0,1 sin 10 cos 40rad radtot m sy m x tπ π= ⋅ ⋅ ⋅ b) 10 cm c) 3,090 cm

22. ( ) ( )0,005 sin 5 cos 100rad radtot m sy m x tπ π= ⋅ ⋅ ⋅

23. 288 N 24. 800 m/s 25. 15 cm 26. 0,14 kg/m 27. 25 N 28. 33,85 kg 29. 25 cm 30. 0,5 31. 900 Hz 32. 130 Hz

Défis

33. 0,9035 s 34. 0,5 m/s (La même vitesse que la corde!)

Documents

2-Les ondes mécaniques